Stavový popis Stabilita spojitých systémů (K611MSAP) Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT. čtvrtek 20. dubna 2006

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Stavový popis Stabilita spojitých systémů (K611MSAP) Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT. čtvrtek 20. dubna 2006"

Bogna Skrzypczak
6 lat temu
Przeglądów:

1 Modelování systémů a procesů (K611MSAP) Přednáška 4 Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT Pravidelná přednáška K611MSAP čtvrtek 20. dubna 2006

2 Obsah 1 Laplaceova transformace Přenosová funkce Impulsní odezva Přechodová odezva 2 3 4

3 Obsah 1 Laplaceova transformace Přenosová funkce Impulsní odezva Přechodová odezva 2 3 4

4 Obsah 1 Laplaceova transformace Přenosová funkce Impulsní odezva Přechodová odezva 2 3 4

5 Obsah 1 Laplaceova transformace Přenosová funkce Impulsní odezva Přechodová odezva 2 3 4

6 Diferenciální rovnice Laplaceova transformace Přenosová funkce Impulsní odezva Přechodová odezva Rovnici ÿ(t) + 2aẏ(t) + (a 2 + b 2 )y(t) = u(t) s počátečními podmínkami ve tvaru y(0) = c 1 a ẏ(0) = c 2 řešíme pomocí Laplaceovy transformace. ( ) d L dt y(t) = py(p) y(0) ( ) d 2 L dt 2 y(t) = p 2 Y(p) py(0) ẏ(0)

7 Algebraický tvar Laplaceova transformace Přenosová funkce Impulsní odezva Přechodová odezva p 2 Y(p) py(0) ẏ(0)+2a(py(p) y(0))+(a 2 +b 2 )Y(p) = U(p) Rovnici vyřešíme vzhledem k obrazu výstupní veličiny Y(p) ( ) p 2 + 2ap + (a 2 + b 2 ) Y(p) = U(p) + py(0) + ẏ(0) + 2ay(0) Y(p) = U(p) + c 2 + (p + 2a)c 1 (p + a + ib)(p + a ib)

8 Přenosová funkce Laplaceova transformace Přenosová funkce Impulsní odezva Přechodová odezva Přenosová funkce H(p) je definována jako podíl obrazu výstupu k obrazu vstupu Y(p) pro nulové počáteční podmínky U(p) a tedy H(p) = Y(p) U(p) = 1 (p + a + ib)(p + a ib)

9 Impulsní odezva Laplaceova transformace Přenosová funkce Impulsní odezva Přechodová odezva Impulsní odezvu určíme jako inversní Laplaceovu transformaci přenosové funkce a platí ( ) L 1 (H(p)) = L 1 1 (p + a) 2 + b 2 = 1 b e at sin bt

10 Přechodovou odezvu Laplaceova transformace Přenosová funkce Impulsní odezva Přechodová odezva Přechodovou odezvu s(t) ( určíme inversní Laplaceovu transformaci s(t) = L 1 H(p) 1 ) a platí p = ( ) L 1 1 p((p + a) 2 + b 2 = ) 1 [ a 2 + b 2 1 e at cos bt a ] b e at sin bt

11 Vypouštění nádrže

12 Matematický popis Diferenciální rovnice, která popisuje systém: A h (t) + k h(t) = q(t) = w e t Počáteční podmínky a nastavení konstant: h(0) = 4 k = 0.5 m 2 /s w = 4 m 3 /s A = 0.25 m 2

13 Matematické řešení 1 Laplaceova transformace 2 Vyjádření H(p) A(pH(p) h(0)) + k H(p) = Q(p) = H(p) = 3 Rozklad na parciální zlomky H(p) = 4 Zpětná Laplaceova transformace 4(p + 5) (p + 1)(p + 2) w p + 1 a p b p + 2 = 16 p p + 2 h(t) = L 1 {(H(p)} = 16e t 12e 2t

14 Simulink Model h (t) 1 s Integrator h(t) k/a Gain Add Scope Clock (w/a)*exp( u) Fcn

15 Výsledek

17 Matematický popis Diferenciální rovnice, která popisuje systém: m ẍ(t) = k x(t) + m a 1(t) ω 2 = k m ẍ(t) + ω 2 x(t) = a 1(t) Počáteční podmínky a nastavení konstant: ẋ(0) = x(0) = 0

18 Matematické řešení Laplaceova transformace X(p) = p 2 X(p) + ω 2 X(p) = a p 1 p 2 + ω 2 a p = F 1(p)F 2 (p) f 1 (t) = L 1 {F 1 (p)} = sin(ωt) ω f 2 (t) = L 1 {F 2 (p)} = a 1(t)!!!x(t) f 1 (t) f 2 (t)!!!

19 Matematické řešení Konvoluční teorém x(t) = (f 1 f 2 )(t) = t 0 f 1 (u)f 2 (t u)du x(t) = t 0 t sin(ωu) ω a 1(t u)du [ cos(ωu) ] t x(t) = a ω 0 sin(ωu)du = a ω ω 0 x(t) = a ω2(1 cos(ωt)).

20 Simulink Model k = m = a = 2 x 1 x 1 x s s Integrator Integrator1 Scope k/m Gain1 Add a Step Gain

21 Výsledek

22 Diferenciální rovnici druhého řádu ÿ(t) + a 1 ẏ(t) + a 0 y(t) = u(t) s počátečními podmínkami ve tvaru y(0) = c 1 a ẏ(0) = c 2, převedeme na stavový popis volbou stavového vektoru x 1 (t) = y(t), x 2 (t) = ẏ(t).

23 Dosadíme nejprve x 2 (t) = ẏ(t) do původní diferenciální rovnice ẋ 2 (t) + a 1 x 2 (t) + a 0 x 1 (t) = u(t). (1) Současně platí ẋ 1 (t) = ẏ(t) = x 2 (t). (2) Dostáváme tak ] [ [ẋ1 (t) = ẋ 2 (t) ][ ] [ 0 1 x1 (t) 0 + u(t) a 0 a 1 x 2 (t) 1]

24 ] [ ] [ẋ1 (t) x1 (t) = A + Bu(t) ẋ 2 (t) x 2 (t) Rovnici pro výstup vyjádříme z definice stavových veličin y(t) = [ 1 0 ][ ] x 1 (t) + 0 u(t). x 2 (t) Matice D je tedy nulová a pro výstupní matici dostáváme C = [ 1 0 ]. (3) Počáteční podmínky se transformují do stavového popisu takto y(0) = x 1 (0) = c 1 a ẏ(0) = x 2 (0) = c 2. (4)

25 Diferenciální rovnice 2. řádu Diferenciální rovnice 2. řádu ÿ(t) + a ẏ(t) + b y(t) = u(t) má za nulových počátečních podmínek přenosovou funkci H(p) = 1 p 2 + a p + b = 1 (p + k 1 )(p + k 2 ). Poloha pólů přenosové funkce H(p) rozhoduje o stabilitě systému.

26 Kritérium stability 1 Stabilní systém Reálná část všech pólů přenosové funkce H(p) leží v levé části p-roviny. 2 Nespojitý systém Reálná část alespoň jednoho pólu přenosové funkce H(p) leží v pravé části p-roviny. 3 Mez stability Reálná část pólů přenosové funkce H(p) je rovna nule.

Podobne dokumenty

Inverzní Z-transformace

Inverzní Z-transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 9. přednáška 11MSP úterý 16. dubna 2019 verze: 2019-04-15 12:25