Teorie. kuncova/ Definice 1. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže existuje.

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Teorie. kuncova/ Definice 1. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže existuje."

Stanisław Wojciechowski
6 lat temu
Przeglądów:

1 8. cvičení kuncova/ Teorie Definice. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže eistuje h 0 fa + h) fa), h pak tuto itu nazýváme derivací funkce f v bodě a. Značíme f fa + h) fa) a) :=. h 0 h Věta Aritmetika derivací). Necht a R a necht f a g jsou funkce definované na nějakém okolí bodu a. Necht eistují f a) R a g a) R. a) Platí f ± g) a) = f a) ± g a), b) Je-li alespoň jedna z funkcí f, g spojitá v bodě a, pak fg) a) = f a)ga) + fa)g a), c) Je-li funkce g spojitá v bodě a a navíc ga) 0, pak ) f a) = f a)ga) fa)g a) g ga), vždy je-li výraz na pravé straně definován. Věta 3 O derivaci složené funkce). Necht f má derivaci v bodě y 0 R, g má derivaci v bodě 0 R, y 0 = g 0 ) a g je v bodě 0 spojitá. Potom je-li výraz na pravé straně definován. f g) 0 ) = f y 0 )g 0 ) = f g 0 )) g 0 ), Věta 4 O derivaci inverzní funkce). Necht f je spojitá a ryze monotónní v intervalu I a necht a je vnitřním bodem I. Označme b := fa). Potom a) je-li f a) R \ {0}, pak f ) b) = f a) ; b) je-li f a) = 0 a f je rostoucí respektive klesající), pak f ) b) = respektive f ) b) = ).

2 Příklady. a) b) 3 n + a 3 n + b) 3 n + )3n + ) a, b R, a, b > 0. Řešení: Obvyklým způsobem rozšíříme n + a n b 3 n + a) + 3 n + b) ) 3 n + a 3 n + b = a b)n/3 + 5 n n n /3 V OAL 3 n + )3n + ) 3 n n + a ) 3 n + n n + n) b a 3 n b n = a b) 3 + 0) ) = a b) π 4 sinπ π 4 )) cos π 4 ) k, k Z. Řešení: Použijeme větu o itě složené funkce., a y 0 fy) zbývá do počítat. Tedy y 0 sin πy cosy + π )yk = y 0 g) = π 4 g) = 0 π 4 sin πy fy) = cos y + π y k, sin πy cos y cos π sin y sin π y k sin πy = y 0 πy V OAL = π, k = 0 0, k > 0 neeistuje,, sin y sin y π yk k < 0, liché k < 0, sudé c) lnn + ) ln n)n α

3 α R Řešení: Limita lnn + ) ln n)n α lnn + ) ln n = n α = lnn + ) + ln n konverguje k, neb lnn + n ) n α n n lnn + n ) n ln + ) = z věty o itě složené funkce, a následně z Heineho. Zbývá n α lnn + ) + ln n lnn + ) + ln n Víme, že pro a, b > 0. Odtud pro α > 0 máme ln a n n b = 0, Pro α = 0 máme lnn+) + n α ln n n α = A konečně pro α < 0 jest lnn + ) + ln n = 0 n α lnn + ) + ln n = 0 d) α R. log + α ) 0+ α, 3

4 Řešení: Rovnou rozeberme parametr. Pro α < 0 jde argument logaritmu k, a tedy logaritmus není definován. Pro α = 0 jest 0+ α = a z věty o itě složené funkce P) máme dohromady Zbývá α > 0: log + α ) = log0) = log + α ) 0+ α =. log + α ) + α + α α = log + α ) 0+ + α Máme z věty o. složené funkce P) dále + log + α ) 0+ + α =, 0+ Výsledek bude záviset na hodnotě [ + + ] =. 0+ α. α [ + + ] Tedy, pro α > 0 a zároveň α > 0 vyjde původní ita + 0, pro α = 0 vyjde původní ita + a pro α < 0 vyjde původní ita +.. Spočtěte derivace následujících funkcí ) a) Řešení: Použijeme aritmetiku derivací AD) a poučku: n = n n, tedy ) AD = = Nezapomeneme na podmínky: > 0 kvůli druhé odmocnině a jmenovateli). 4

5 b) 3 Řešení: Totéž: 3 ) = /3 / ) AD = 3 /3 ) / = c) Podmínky: > 0. a Řešení: Budeme derivovat podíl a navíc složenou funkci. Tak tedy: a ) AD a a = a Nyní si zderivujeme složenou funkci, vnější funkce bude f) = y, a vnitřní g) = a, která je navíc spojitá na celém R. fy) = y g) = nezapomeneme, že a je konstanta a její dce je tudíž nulová, celkem fg)) = a ) Nyní se můžeme vrátit k původnímu výrazu: a a = a ) a = a a a a ) 3 d) Podmínky: : a > 0 pod odmocninou a ve jmenovateli), tedy a >. 4 ln + Řešení: Složená funkce, vnější f) = ln y a vnitřní g) =, spojitá až + na = ±, takže: f ) = y a g ) = + ) ) + ), 5

6 tady jsme použili větu o derivování podílu má podmínky, které jsme ovšem pořešili o dva řádky výše). Celekem: ) 4 ln SD= ) ) + ) = ) + ) Podmínky: ±, neb se vyskytuje ve jmenovateli s -. Ale navíc máme ještě výraz uvnitř logaritmu, který musí být kladný. Tedy: e) což dává podmínku: >. + > 0, e + ) Řešení: Tady se seznámíme s e a otestujeme aritmetiku derivací. Tedy: e + )) AD = e + ) + e + ) = e + ) + e ) = e f) Věta použita, neb e je spojité všude. p ) q + Řešení: Dce podílu a zároveň součinu: p ) q ) AD= [ p ) q + p q ) q )] + ) p ) q + + ) g) Podmínky:, pro případ, kdy p < 0 nebo q < 0 nutno ještě přidat podmínky: 0,, což nám zároveň zaručí spojitost pro podmínky věty. Řešení: Tady nutno nejprve rozepsat a až poté derivovat: = e ln. To je složená funkce, tedy: f) = e y, f ) = e y a g) = ln a g ) = ln + derivace součinu, je spojité na celém R). Celkem máme: e ln ) = e ln ln + ) = ln + ) Jelikož se vyskytuje v logaritmu, tak > 0. Jinak i ln jsou spojité a jejich součin je také spojitý, máme podmínky věty. 6

7 h) i) lnln ln 3 )) Řešení: Úloha na víceré užití složené funkce, začneme od začátku: f) = ln y, f ) = y, g) = ln ln 3 ), s její derivací počkáme. Takže máme: lnln ln 3 ))) SD = ln ln 3 ) ln ln 3 )) věnujme se zbylé derivaci, vnější funkce f) = y, f ) = y a vnitřní g) = lnln 3 ). Celkem: ln ln 3 )) SD = lnln 3 ) lnln 3 )). Dále, vnější f) = ln y, f ) = y a vnitřní g) = ln3, derivace se uvidí za chvíli. Získali jsme: lnln 3 )) SD = ln 3 ln3 ) Pokračujeme, vnější f) = y 3, f ) = 3y a vnitřní g) = ln, g ) =, celkem ln 3 ) = 3 ln Takže celé dohromady to je: lnln ln 3 ))) SD = ln ln 3 ) ln ln 3 )) SD = ln ln 3 ) lnln3 ) lnln 3 )) SD = ln ln 3 ) lnln3 ) ln 3 ln3 ) SD = ln ln 3 ) lnln3 ) ln 3 3 ln ln ) SD = ln ln 3 ) lnln3 ) ln 3 3 ln = 6 lnln 3 ) ln Věty jsme používali bez předpokladů, je potřeba je doplnit. Polynomy i logaritmy jsou spojité na svém definičním oboru, takže ten musíme určit. Z logaritmů máme ln ln 3 ) > 0 ln 3 > ln > > e. sinsinsin )) Řešení: Toto je složená funkce, ovšem o poznání hezčí, než ta minulá. Takže už bez detailů 7

8 j) sinsinsin ))) SD = cossinsin )) sinsin )) SD = cossinsin )) cossin ) sin ) SD = cossinsin )) cossin ) cos ) Jelikož spojité je tady všechno, kam se kdo podívá skládáme spojité funkce), tak podmínky věty splněny. sin sin Řešení: derivujeme podíl a ještě dvě složené funkce. Nejprve podíl vše je spojité): sin ) AD= sin ) sin sin sin ) sin sin a nyní se podíváme na ty složené fce: první případ sin, vnější f) = y, f ) = y a vnitřní g) = sin, g ) = cos, sinus je spojitý, dohromady sin ) SD = sin cos. druhý případ sin, vnější f) = sin y, f ) = cos y, vnitřní g) =, g ) =. Polynomy jsou spojité, máme tedy dohromady sin ) SD = cos Dosadíme zpět a máme: sin ) AD= sin ) sin sin sin ) SD = sin sin sin cos sin sin cos sin k) Podmínky: ve jmenovateli nesmí být nula, tedy kπ. Řešení: Nejprve přepíšeme tan tan = e tan ln a uvědomíme si, že ln je úplně obyčejná konstanta ten zbytek je složená funkce. Máme vnější funkci f) = e y, f ) = e y, vnitřní g) = ln tan, spojitost vyřešíme za chvíli a máme: e tan ln ) = e tan ln ln tan ) 8

9 l) Násobením konstantou si neděláme hlavu. Opět složená funkce, vnější f) = tany, f ) = cos y vnitřní g) =, g ) =, je spojitá mimo nulu, celkem tan ) = takže máme: cos e tan ln ) = e tan ln tan ) = tan ln cos Podmínky: 0 a kvůli tangens π +kπ, k Z. Cestou jsme potřebovli spojitost tan, což jsme právě pořešili, neb jsme vyhodili nepěkné a zlé body, které nám spojitost kazí. Jinde je tangens po určitých intervalech!) spojitý, což stačí, protože nám stačí spojitost na okolí. arcsin sin ) Řešení: Nejprve si uvědomíme, že arcsin sin ), protože když jsme si povídali o arkussinus, tak jsme to popisovali jako: něco jako inverzi. Slova něco jako, jsou tu dost důležitá. Kdyžtak si udělejte obrázek. Nyní k derivaci. Složená funkce, vnější f) = arcsin y, f ) = a vnitřní g) = sin, y g ) = cos, sinus je spojitý na celém R, tedy arcsin sin )) = cos cos = = sgncos ). sin cos Tady se vrátíme k úvaze ze začátku, kdyby se funkce rovnala identitě ), tak by její derivace byla, ale ona není. závisí na znaménku kosinu. Podmínky: arkussinus je definován jen na intervalu [ ; ], čili v krajních bodech má jen jednostranné derivace, a na jejich okolí není definován jen z jedné strany), tedy nutno vyhodit body, kde sin = ±, tedy = π +kπ, ke k Z. S touto podmínkou koresponduje i podmínka ze jmenovtele derivace sin. m) arcctg Řešení: Konstanta nas nezmate a dáme se do složené funkce: vnější f) = arcctg y, f ) = a vnitřní g) = +y, g ) =, g je spojitá mimo 0, takže: ) SD arcctg = + = + Podmínky: už jsme pořešili, takže jen rekapitulace: 0. 9

10 n) o) Řešení: Aritmetika derivací: arcsin ) + arcsin arcsin ) + arcsin ) AD = arcsin ) ) + arcsin ) ) jednotlivé sčítance pořešíme zvlášt. Uděláme si přípravu pomocí složené funkce. Nejprve f) = y, f ) = y, vnitřní g) = arcsin, g ) =, g je spojitá na svém definičním oboru, dohromady: arcsin ) ) SD = arcsin. Dále, vnější f) = y, f ) = y vnitřní g) =, je spojitá na celém R, g ) =, celkem ) SD = ). Nyní jsme připraveni to celé dát dohromady. Takže arcsin ) ) + arcsin ) ) AD = arcsin ) + arcsin ) ) + ) arcsin + arcsin ) SD = arcsin ) + arcsin + )arcsin + = arcsin arcsin + ) = arcsin. Podmínky: vyplývají z definice arkussinu, [ ; ], krajní body vyjmeme, jednak kvůli výskytu ve jmenovateli zlomků a jednak proto, že tam arkussinus má jen jednostranné dce. cosh ctgh sinh ln ) Řešení: Opět si připravíme složené funkce předem. Nejprve vnější f) = y, f ) = y a vnitřní g) = sinh, g ) = cosh, je spojité na célém R, dohromady sinh ) = sinh cosh. Další složenou fcí je vnější f) = ln y, f ) = y a vnitřní g) = ctgh, g ) =, g je definována a spojitá na R bez 0. Dohromady máme sinh lnctgh)) SD = ctgh sinh Dále vnější f) = ctghy, f ) = polynom je spojitý na celém R. Dohromady máme ctgh ) = sinh sinh y a vnitřní g) =, g ) =,. 0

11 Hurá na celou funkci. Dle aritmetiky dcí a dce složené fce sinh 3 cosh sinh cosh sinh 4 cosh ctgh sinh ln ) ) = ctgh sinh Chybí nám podmínky, tedy: sinh 0, tedy 0. Navíc kvůli logaritmu ctgh > 0, což jest > 0.

Podobne dokumenty

(1) Derivace. Kristýna Kuncová. Matematika B2 17/18. Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35

(1) Derivace. Kristýna Kuncová. Matematika B2 17/18. Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35 (1) Derivace Kristýna Kuncová Matematika B2 17/18 Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35 Růst populací Zdroj : https://www.tes.com/lessons/ yjzt-cmnwtvsq/noah-s-ark Kristýna Kuncová (1) Derivace 2 / 35 Růst