Obsah. 1 Konstrukce (definice) Riemannova integrálu Výpočet Newtonova Leibnizova věta Aplikace výpočet objemů a obsahů 30
|
|
|
- Sabina Klimek
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Určitý integrál Robert Mřík 6. září 8 Obsh 1 Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. Výpočet Newtonov Leibnizov vět Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo 19 4 Aplikce výpočet objemů obshů 3 c Robert Mřík, 8
2 1 Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. N následujících strnách si vysvětlíme geometricky hlvní myšlenky definice Riemnnov integrálu. Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. c Robert Mřík, 8
3 Integrál (x x + ) dx. 3 Křivk n obrázku je grfem funkce y = x x + Rozdělíme intervl. Norm dělení je. Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. c Robert Mřík, 8
4 Integrál (x x + ) dx Křivk n obrázku je grfem funkce y = x x + Rozdělíme intervl. Norm dělení je. Zvolíme reprezentnty v kždém podintervlu. Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. c Robert Mřík, 8
5 Integrál (x x + ) dx Křivk n obrázku je grfem funkce y = x x + Rozdělíme intervl. Norm dělení je. Zvolíme reprezentnty v kždém podintervlu. Nkreslíme integrální součet ploch červeného obrzce. Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. c Robert Mřík, 8
6 Integrál (x x + ) dx. 1 3 Zjemníme dělení. Norm tohoto dělení je 1. Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. c Robert Mřík, 8
7 Integrál (x x + ) dx Zjemníme dělení. Norm tohoto dělení je 1. Zvolíme reprezentnty v kždém podintervlu. Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. c Robert Mřík, 8
8 Integrál (x x + ) dx Zjemníme dělení. Norm tohoto dělení je 1. Zvolíme reprezentnty v kždém podintervlu. Nkreslíme integrální součet ploch červeného obrzce. Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. c Robert Mřík, 8
9 Integrál (x x + ) dx Ponecháme dělení. Norm dělení je pořád 1. Zvolíme reprezentnty v kždém podintervlu, le jink, než v předchozím kroku. Nkreslíme integrální součet ploch červeného obrzce. Integrální součet závisí n výběru reprezentntů Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. c Robert Mřík, 8
10 Integrál (x x + ) dx Zjemníme dělení. Norm tohoto dělení je.6 (nejdelší intervl je ten poslední). Zvolíme reprezentnty určíme integrální součet ploch červeného obrzce..3.8 Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. c Robert Mřík, 8
11 Integrál (x x + ) dx Opět zjemníme dělení. Norm tohoto dělení je. Zvolíme reprezentnty určíme integrální součet. Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. c Robert Mřík, 8
12 Integrál (x x + ) dx. 3 Pokrčujeme ve zjemňování dělení. Nyní je norm.1. Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. c Robert Mřík, 8
13 Integrál (x x + ) dx. 3 Pokrčujeme ve zjemňování dělení d infimum. Nyní je norm.5. Pokud se hodnot integrálních součtů ustálí (integrální součty mjí limitu při normě dělení jdoucí k nule) pokud tto limit nezávisí ni n konkrétním výběru reprezentntů ni n způsobu, jk dělení zjmeňujeme, říkáme, že funkce je Riemnnovsky integrovtelná její Riemnnův (= určitý) integrál je on limit integrálních součtů. Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. c Robert Mřík, 8
14 Definice (dělení intervlu). Bud [, b] uzvřený intervl < < b <. Dělením intervlu [, b] rozumíme konečnou posloupnost D = {x, x 1,..., x n } bodů z intervlu [, b] s vlstností = x < x 1 < x < x 3 < < x n 1 < x n = b. Čísl x i nzýváme dělící body. Normou dělení D rozumíme mximální číslo, které udává vzdálenost sousedních dělících bodů. Normu dělení D oznčujeme ν(d). Je tedy ν(d) = mx{x i x i 1, 1 i n}. Definice (integrální součet). Bud [, b] uzvřený intervl f funkce definovná ohrničená n [, b]. Bud D dělení intervlu [, b]. Bud R = {ξ 1,..., ξ n } posloupnost čísel z intervlu [, b] splňující x i 1 ξ i x i pro i = 1..n. Potom součet n σ(f, D, R) = f (ξ i )(x i x i 1 ) i=1 nzýváme integrálním součtem funkce f příslušným dělení D výběru reprezentntů R. Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. c Robert Mřík, 8
15 Definice (Riemnnův integrál). Bud [, b] uzvřený intervl f funkce definovná ohrničená n [, b]. Bud D n posloupnost dělení intervlu [, b] R n posloupnost reprezentntů. Řekneme, že funkce f je Riemnnovsky integrovtelná n intervlu [, b], jestliže existuje číslo I R s vlstností lim σ(f, D n n, R n ) = I pro libovolnou posloupnost dělení D n, splňující lim n ν(d n ) = při libovolné volbě reprezentntů R n. Číslo I nzýváme Riemnnův integrál funkce f n intervlu [, b] oznčujeme f (x) dx. Definice (horní dolní mez). Číslo v definici Riemnnov integrálu se nzývá dolní mez číslo b horní mez Riemnnov integrálu. Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. c Robert Mřík, 8
16 Vět 1 (postčující podmínky pro integrovtelnost funkce). 1. Funkce spojitá n intervlu [, b] je n tomto intervlu Riemnnovsky integrovtelná.. Funkce ohrničená n [, b], která má n tomto intervlu konečný počet bodů nespojitosti je Riemnnovsky integrovtelná. 3. Funkce monotonní n [, b] je n tomto intervlu Riemnnovsky integrovtelná. Vět (linerit určitého integrálu vzhledem k funkci). Necht f, g jsou funkce integrovtelné n [, b], c necht je reálné číslo. Pk pltí [f (x) + g(x)] dx = cf (x) dx = c f (x) dx + f (x) dx. g(x) dx, Vět 3 (ditivit určitého integrálu vzhledem k mezím). Necht f je funkce integrovtelná n [, b]. Bud c (, b) libovolné. Pk je f integrovtelná n intervlech [, c] [c, b] pltí f (x) dx = c f (x) dx + c Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. c Robert Mřík, 8 f (x) dx.
17 Vět 4 (monotonie vzhledem k funkci). Bud te f g funkce integrovtelné n [, b] tkové, že f (x) g(x) pro x (, b). Pk pltí f (x) dx g(x) dx. Definice (střední hodnot). Bud f funkce (Riemnnovsky) integrovtelná n intervlu [, b]. Číslo 1 b f (x) dx b se nzývá střední hodnot funkce f n intervlu [, b]. Funkce Střední hodnot stř. hodnot b b Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. c Robert Mřík, 8
18 Výpočet Newtonov Leibnizov vět. Vět 5 (Newtonov Leibnizov vět). Necht funkce f (x) je Riemnnovsky integrovtelná n [, b]. Necht F (x) je funkce spojitá n [, b], která je intervlu (, b) primitivní k funkci f (x). Pk pltí f (x) dx = [F (x)] b = F (b) F (). Příkld. (x x + ) dx = [ x 3 3 x + x ] 3 = = = 6 [ ] Výpočet Newtonov Leibnizov vět. c Robert Mřík, 8
19 3 Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo Vrátíme se k definici Riemnnov integrálu k integrálním součtům. Budeme se snžit co nejlépe proximovt plochu pod křivkou. Pro větší početní komfort budeme intervl dělit n stejně dlouhé dílky. Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo c Robert Mřík, 8
20 Integrál (x x + ) dx. 3 Dělení integrální součet Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo c Robert Mřík, 8
21 Integrál (x x + ) dx. I h ( ) f (x ) + f (x 1 ) + f (x ) + f (x 3 ) h = 1 je délk mezi sousedními znčkmi n ose x x = x 1 = 1 x = x 3 = 3 Nhrdíme kždý obdélník lichoběžníkem. Aproximce je lepší výpočet se moc nezhorší. Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo c Robert Mřík, 8
22 Integrál (x x + ) dx. I h ( ) f (x ) + f (x 1 ) + f (x ) + f (x 3 ) + f (x 4 ) + f (x 5 ) h =.6 je délk mezi sousedními znčkmi n ose x x = x 1 =.6 x = 1. x 3 = 1.8 x 4 =.4 x 5 = 3 Volíme krtší výšku lichoběžníků proximce je ještě lepší, počítání je všk delší. Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo c Robert Mřík, 8
23 Integrál (x x + ) dx. I h ( ) f (x ) + f (x 1 ) + + f (x 5 ) + f (x 6 ) h =.5 je délk mezi sousedními znčkmi n ose x x x 1 x x 3 x 4 x 5 x 6 Pro jemnější dělení je proximce ještě lepší. Chyb, které se dopustíme, je mlá jestliže použijeme dosttečně jemné dělení, funkce se příliš neliší od lineární funkce (to le neovlivníme). Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo c Robert Mřík, 8
24 sin x Příkld. Hledejme dx. n = 1, h =.1. 1 x 1 i x i = + hi y i = sin x i x i m my i Součet v posledním sloupci je S = proto sin x x dx h S = S = Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo c Robert Mřík, 8
25 sin x Příkld. Hledejme dx. n = 1, h =.1. 1 x i x i = + hi y i = sin x i x i m my i Rozdělíme intervl n 1 dílků, n = 1. Délk jednoho dílku bude h = Součet v posledním sloupci je S = proto b = 1 sin x 1 x dx n h S 1 = = S = Výpočet zznmenáme v následující tbulce (budeme zokrouhlovt n 6 desetinných míst). Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo c Robert Mřík, 8
26 sin x Příkld. Hledejme dx. n = 1, h =.1. 1 x 1 i x i = + hi y i = sin x i x i m my i Součet v posledním sloupci je S = proto sin x x dx h S = S = Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo c Robert Mřík, 8
27 sin x Příkld. Hledejme dx. n = 1, h =.1. 1 x 1 i x i = + hi y i = sin x i x i m my i Součet v posledním sloupci je S = proto sin x x dx h S = S = Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo c Robert Mřík, 8
28 sin x Příkld. Hledejme dx. n = 1, h =.1. 1 x 1 i x i = + hi y i = sin x i x i m my i Součet v posledním sloupci je S = proto sin x x dx h S = S = Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo c Robert Mřík, 8
29 sin x Příkld. Hledejme dx. n = 1, h =.1. 1 x 1 i x i = + hi y i = sin x i x i m my i Součet v posledním sloupci je S = proto sin x x dx h S = S = Použití přesnějších metod vede k přesnější hodnotě I které jsme se odchýlili n čtvrtém desetinném místě.. = , od Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo c Robert Mřík, 8
30 4 Aplikce výpočet objemů obshů Obsh křivočrého lichoběžníku objem rotčního těles y y x x S = f (x) dx f (x) dx Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
31 Obsh množiny mezi křivkmi objem těles, vzniklého rotcí této množiny y f (x) g(x) y b x x S = [f (x) g(x)] dx [ ] f (x) g (x) dx Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
32 Určete obsh množiny mezi křivkmi y = 1 (x 1) x + y =. 1 (x 1) = x 1 (x x + 1) = x 1 x + x 1 = x 3x x = (3 x)x = S = 1 (x 1) ( x) dx = [ = x + 3x dx = = = 9 x x 1 (x x + 1) + x dx ] 3 = [ ] [ ] Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
33 Určete obsh množiny mezi křivkmi y = 1 (x 1) x + y =. 1 (x 1) = x 1 (x x + 1) = x 1 x + x 1 = x 3x x = (3 x)x = S = 1 (x 1) ( x) dx = 1 (x x + 1) + x dx [ ] 3 [ ] [ 3 První z křivek = x je prbol, + 3x dx = x3 druhá 3 + z křivek je přímk 3x = y = x. 33 Křivky se protínjí v bodě, jehož x-ová splňuje rovnici ] = = 9 1 (x 1) = x Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
34 Určete obsh množiny mezi křivkmi y = 1 (x 1) x + y =. 1 (x 1) = x 1 (x x + 1) = x 1 x + x 1 = x 3x x = (3 x)x = S = 1 (x 1) ( x) dx = [ = x + 3x dx = x x = = 9 Průsečíky křivek jsou body [, ] [3, 3]. 1 (x x + 1) + x dx ] 3 = [ ] [ ] Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
35 Určete obsh množiny mezi křivkmi y = 1 (x 1) x + y =. 1 (x 1) = x 1 (x x + 1) = x 1 x + x 1 = x 3x x = (3 x)x = y 3 x 3 y = 1 (x 1) = 1 (x x + 1) = x x = x( x) Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
36 Určete obsh množiny mezi křivkmi y = 1 (x 1) x + y =. y 3 x 3 S = 1 (x 1) ( x) dx = [ = x + 3x dx = x x 1 (x x + 1) + x dx ] 3 = = 9 x + y = y = x = [ ] [ ] Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
37 Určete obsh množiny mezi křivkmi y = 1 (x 1) x + y =. y 3 x 3 S = 1 (x 1) ( x) dx = [ = Umocníme. x + 3x dx = = = 9 x x 1 (x x + 1) + x dx ] 3 = [ ] [ ] Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
38 Určete obsh množiny mezi křivkmi y = 1 (x 1) x + y =. y 3 x 3 S = 1 (x 1) ( x) dx = [ = x + 3x dx = = = 9 Uprvíme integrnd. x x 1 (x x + 1) + x dx ] 3 = [ ] [ ] Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
39 Určete obsh množiny mezi křivkmi y = 1 (x 1) x + y =. y 3 x 3 S = 1 (x 1) ( x) dx = [ = x + 3x dx = x x 1 (x x + 1) + x dx ] 3 = [ ] = = 9 f (x) dx = [F (x)] b = F (b) F () [ ] Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
40 Určete obsh množiny mezi křivkmi y = 1 (x 1) x + y =. y 3 x 3 S = 1 (x 1) ( x) dx = [ = x + 3x dx = x x 1 (x x + 1) + x dx ] 3 = [ ] = = 9 f (x) dx = [F (x)] b = F (b) F () [ ] Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
41 Určete obsh množiny mezi křivkmi y = 1 (x 1) x + y =. y 3 x 3 S = 1 (x 1) ( x) dx = [ = x + 3x dx = = = 9 Dopočítáme obsh množiny. x x 1 (x x + 1) + x dx ] 3 = [ ] [ ] Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
42 Určete obsh množiny mezi křivkmi y = e x y = e x pro x [, 1] objem těles, které vznikne rotcí této množiny okolo osy x. S = ex e x dx = [ e x + e x] 1 = e1 + e 1 [ e + e ] = e + 1 e [ 1 (ex ) (e x ) dx = π e x e x dx = π ex + 1 ] 1 e x [ 1 = π e + 1 ( 1 e e + 1 )] [ 1 e = π e + 1 ] e 1 Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
43 y = e x, y = e x, x [, 1], S =?, V =?. y 1 1 x S = ( ) f (x) g(x) dx ( ) f (x) g (x) dx S = ex e x dx = [ e x + e x] 1 = e1 + e 1 [ e + e ] = e + 1 e [ 1 (ex ) (e x ) dx = π e x e x dx = π ex + 1 ] 1 e x [ 1 = π e + 1 ( 1 e e + 1 )] [ 1 e = π e + 1 ] e 1 Zkreslíme křivky. Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
44 y = e x, y = e x, x [, 1], S =?, V =?. y 1 1 x S = ( ) f (x) g(x) dx ( ) f (x) g (x) dx S = ex e x dx = [ e x + e x] 1 = e1 + e 1 [ e + e ] = e + 1 e [ 1 (ex ) (e x ) dx = π e x e x dx = π ex + 1 ] 1 e x [ 1 = π e + 1 ( 1 e e + 1 )] [ 1 e = π e + 1 ] e 1 Vyjádříme obsh plochy jko určitý integrál. Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
45 y = e x, y = e x, x [, 1], S =?, V =?. y 1 1 x S = ( ) f (x) g(x) dx ( ) f (x) g (x) dx S = ex e x dx = [ e x + e x] 1 = e1 + e 1 [ e + e ] = e + 1 e [ 1 (ex ) (e x ) dx = π e x e x dx = π ex + 1 ] 1 e x [ 1 = π e + 1 ( 1 e e + 1 )] [ 1 e = π e + 1 ] e 1 Vypočteme neurčitý integrál. Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
46 y = e x, y = e x, x [, 1], S =?, V =?. y 1 1 x S = ( ) f (x) g(x) dx ( ) f (x) g (x) dx S = ex e x dx = [ e x + e x] 1 = e1 + e 1 [ e + e ] = e + 1 e [ 1 (ex ) (e x ) dx = π e x e x dx = π ex + 1 ] 1 e x [ 1 = π e + 1 ( 1 e e + 1 )] [ 1 e = π e + 1 ] e 1 Vypočítáme určitý integrál pomocí Newtonovy Leignizovy formule. Dosdíme tedy meze. Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
47 y = e x, y = e x, x [, 1], S =?, V =?. y 1 1 x S = ( ) f (x) g(x) dx ( ) f (x) g (x) dx S = ex e x dx = [ e x + e x] 1 = e1 + e 1 [ e + e ] = e + 1 e [ 1 (ex ) (e x ) dx = π e x e x dx = π ex + 1 ] 1 e x [ 1 = π e + 1 ( 1 e e + 1 )] [ 1 e = π e + 1 ] e 1 Dopočítáme numericky. Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
48 y = e x, y = e x, x [, 1], S =?, V =?. y 1 1 x S = ( ) f (x) g(x) dx ( ) f (x) g (x) dx S = ex e x dx = [ e x + e x] 1 = e1 + e 1 [ e + e ] = e + 1 e [ 1 (ex ) (e x ) dx = π e x e x dx = π ex + 1 ] 1 e x [ 1 = π e + 1 ( 1 e e + 1 )] [ 1 e = π e + 1 ] e 1 Vyjádříme objem těles jko určitý integrál. Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
49 y = e x, y = e x, x [, 1], S =?, V =?. y 1 1 x S = ( ) f (x) g(x) dx ( ) f (x) g (x) dx S = ex e x dx = [ e x + e x] 1 = e1 + e 1 [ e + e ] = e + 1 e [ 1 (ex ) (e x ) dx = π e x e x dx = π ex + 1 ] 1 e x [ 1 = π e + 1 ( 1 e e + 1 )] [ 1 e = π e + 1 ] e 1 Uprvíme, bychom mohli použít vzorec. Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
50 y = e x, y = e x, x [, 1], S =?, V =?. y 1 1 x S = ( ) f (x) g(x) dx ( ) f (x) g (x) dx S = ex e x dx = [ e x + e x] 1 = e1 + e 1 [ e + e ] = e + 1 e [ 1 (ex ) (e x ) dx = π e x e x dx = π ex + 1 ] 1 e x [ 1 = π e + 1 ( 1 e e + 1 )] [ 1 e = π e + 1 ] e 1 Vypočteme neurčitý integrál. Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
51 y = e x, y = e x, x [, 1], S =?, V =?. y 1 1 x S = ( ) f (x) g(x) dx ( ) f (x) g (x) dx S = ex e x dx = [ e x + e x] 1 = e1 + e 1 [ e + e ] = e + 1 e [ 1 (ex ) (e x ) dx = π e x e x dx = π ex + 1 ] 1 e x [ 1 = π e + 1 ( 1 e e + 1 )] [ 1 e = π e + 1 ] e 1 Použijeme Newtonovu Leibnizovu formuli. Dosdíme tedy meze. Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
52 y = e x, y = e x, x [, 1], S =?, V =?. y 1 1 x S = ( ) f (x) g(x) dx ( ) f (x) g (x) dx S = ex e x dx = [ e x + e x] 1 = e1 + e 1 [ e + e ] = e + 1 e [ 1 (ex ) (e x ) dx = π e x e x dx = π ex + 1 ] 1 e x [ 1 = π e + 1 ( 1 e e + 1 )] [ 1 e = π e + 1 ] e 1 Uprvíme. Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
53 Určete objem těles, vzniklého rotcí množiny pod grfem funkce y = e x pro x [, 1] okolo osy x. ( e ) x dx ( e ) x dx = e x dx x = t 4x = t 4 dx = t dt dx = 1 t dt = 1 t e t dt u = t u = 1 = 1 ( ) t e t 1 e t dt = 1 (te t e t) v = e t v = e t = 1 et (t 1) = 1 e x ( x 1 ) ( e ) x 1 dx = x e ( x 1 ) [ 1 x ( x 1 ) ] 1 e Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
54 V =?, x [, 1], y = e x y() = e = e = 1 y(1) = e 1 = e 1.7 e y Obrázek y = 1 e x x x e y = 1 1 x e x 1 x x x = 1 x 1 e x x x 1 ( e ) x dx Odhdneme průběh funkce y = e x. Dom si ( e ) spočíteje obsh tohoto x = obrzce t (postup je podobný jko postup 4x = t x dx = e x dx 4 dx = t dt = 1 uvedený níže, výsledek je S = ). t e t dt 1 Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, x
55 V =?, x [, 1], y = e x ( e ) x dx ( e ) x dx = e x dx x = t 4x = t 4 dx = t dt dx = 1 t dt = 1 t e t dt u = t u = 1 = 1 ( ) t e t 1 e t dt = 1 (te t e t) v = e t v = e t = 1 et (t 1) = 1 e x ( x 1 ) ( e ) x 1 dx = x e ( x 1 ) [ 1 Užijeme vzorec pro objem. [ e x ( x 1 ) ] 1 ( ) ( ) ] Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
56 V =?, x [, 1], y = e x ( e ) x dx ( e ) x dx = e x dx x = t 4x = t 4 dx = t dt dx = 1 t dt = 1 t e t dt u = t u = 1 = 1 ( ) t e t 1 e t dt = 1 (te t e t) v = e t v = e t = 1 et (t 1) = 1 e x ( x 1 ) ( e ) x 1 dx = x e ( x 1 ) [ 1 x ( ) ] 1 e x 1 Vypočítáme bokem neurčitý integrál. [ ( ) ( ) ] Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
57 V =?, x [, 1], y = e x ( e ) x dx ( e ) x dx = e x dx Uprvíme funkci. x = t 4x = t 4 dx = t dt dx = 1 t dt = 1 t e t dt u = t u = 1 = 1 ( ) t e t 1 e t dt = 1 (te t e t) v = e t v = e t = 1 et (t 1) = 1 e x ( x 1 ) ( e ) x 1 dx = x e ( x 1 ) [ 1 [ e x ( x 1 ) ] 1 ( ) ( ) ] Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
58 V =?, x [, 1], y = e x ( e ) x dx ( e ) x dx = e x dx Použijeme substituci. x = t 4x = t 4 dx = t dt dx = 1 t dt = 1 t e t dt u = t u = 1 = 1 ( ) t e t 1 e t dt = 1 (te t e t) v = e t v = e t = 1 et (t 1) = 1 e x ( x 1 ) ( e ) x 1 dx = x e ( x 1 ) [ 1 [ e x ( x 1 ) ] 1 ( ) ( ) ] Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
59 V =?, x [, 1], y = e x ( e ) x dx ( e ) x dx = e x dx Použijeme substituci. x = t 4x = t 4 dx = t dt dx = 1 t dt = 1 t e t dt u = t u = 1 = 1 ( ) t e t 1 e t dt = 1 (te t e t) v = e t v = e t = 1 et (t 1) = 1 e x ( x 1 ) ( e ) x 1 dx = x e ( x 1 ) [ 1 [ e x ( x 1 ) ] 1 ( ) ( ) ] Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
60 V =?, x [, 1], y = e x ( e ) x dx ( e ) x dx = e x dx x = t 4x = t 4 dx = t dt dx = 1 t dt = 1 t e t dt u = t u = 1 = 1 ( ) t e t 1 e t dt = 1 (te t e t) v = e t v = e t = 1 et (t 1) = 1 e x ( x 1 ) ( e ) x 1 dx = x e ( x 1 ) Použijeme metodu per-prtés u [ v 1 dx = x ( u v u ) ] 1v dx x 1 [ e ( ) ( ) ] Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
61 V =?, x [, 1], y = e x ( e ) x dx ( e ) x dx = e x dx Dokončíme integrci. x = t 4x = t 4 dx = t dt dx = 1 t dt = 1 t e t dt u = t u = 1 = 1 ( ) t e t 1 e t dt = 1 (te t e t) v = e t v = e t = 1 et (t 1) = 1 e x ( x 1 ) ( e ) x 1 dx = x e ( x 1 ) [ 1 [ e x ( x 1 ) ] 1 ( ) ( ) ] Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
62 V =?, x [, 1], y = e x Vytkneme ( e ) x dx ( e ) x dx = e x dx x = t 4x = t 4 dx = t dt dx = 1 t dt = 1 t e t dt u = t u = 1 = 1 ( ) t e t 1 e t dt = 1 (te t e t) v = e t v = e t = 1 et (t 1) = 1 e x ( x 1 ) ( e ) x 1 dx = x e ( x 1 ) [ 1 [ e x ( x 1 ) ] 1 ( ) ( ) ] Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
63 V =?, x [, 1], y = e x ( e ) x dx ( e ) x dx = e x dx x = t 4x = t 4 dx = t dt dx = 1 t dt = 1 t e t dt u = t u = 1 = 1 ( ) t e t 1 e t dt = 1 (te t e t) v = e t v = e t = 1 et (t 1) = 1 e x ( x 1 ) ( e ) x 1 dx = x e ( x 1 ) [ 1 x ( ) ] 1 Použijeme zpětnou substituci pro návrt k proměnné x. Integrční konstnt e x 1 může být libovolná, volíme ji npříkld nulovou. [ ( ) ( ) ] Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
64 V =?, x [, 1], y = e x ( e ) ( x dx e ) x 1 dx = x e ( x 1 ) [ 1 e x ( x 1 ) ] 1 [ 1 = π e( 1 ) 1 e( 1 ) ] [ ] e = π + 1 = π e + 1 Použijeme Newtonovu Leibnizovu větu. Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
65 V =?, x [, 1], y = e x ( e ) ( x dx e ) x 1 dx = x e ( x 1 ) [ 1 e x ( x 1 ) ] 1 [ 1 = π e( 1 ) 1 e( 1 ) ] [ ] e = π + 1 = π e + 1 Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
66 KONEC Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
Určitý (Riemannův) integrál a aplikace. Nevlastní integrál. 19. prosince 2018
Určitý (Riemnnův) integrál plikce. Nevlstní integrál Seminář 9. prosince 28 Určitý integrál Existence: Necht funkce f (x) je definovná n uzvřeném intervlu, b. Necht je splněn n tomto intervlu kterákoliv
Obsah. Aplikovaná matematika I. Vlivem meze Vlivem funkce Bernhard Riemann. Mendelu Brno. 3 Vlastnosti určitého integrálu
Určitý integrál Aplikovná mtemtik I Dn Říhová Mendelu Brno Obsh Zákldní úloh integrálního počtu Definice určitého integrálu 3 Vlstnosti určitého integrálu 4 Výpočet určitého integrálu 5 Geometrické plikce
Matematika I (KMI/PMATE) Co se naučíme? x = a a x = b. rozumět pojmu střední hodnota funkce na daném intervalu. Obrázek 1.
Mtemtik I (KMI/PMATE). Integrální počet funkcí jedné proměnné.. Co se nučíme? Po sérii přednášek věnovných integrálům byste měli být schopni: rozumět definici pojmu neurčitý integrál používt metodu přímé
Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19
(6) Určitý integrál Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 1 / 28 Newtonův integrál Zdroj: https://kwcalculus.wikispaces.com/integral+applications Kristýna Kuncová (6)
5. a 12. prosince 2018
Integrální počet Neurčitý integrál Seminář 9, 0 5. a. prosince 08 Neurčitý integrál Definice. Necht funkce f (x) je definovaná na intervalu I. Funkce F (x) se nazývá primitivní k funkci f (x) na I, jestliže
Matematika 2, vzorová písemka 1
Matematika 2, vzorová písemka Pavel Kreml 9.5.20 Přesun mezi obrazovkami Další snímek: nebo Enter. Zpět: nebo Shift + Enter 2 3 4 Doporučení Pokuste se vyřešit zadané úlohy samostatně. Pokud nebudete vědět
Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18
Komplexní analýza Mocninné řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18 Posloupnosti komplexních čísel opakování
Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f(b) f(a) b a. Geometricky
Monotónie a extrémy funkce Diferenciální počet - průběh funkce Věta o střední hodnotě (Lagrange) Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f (ξ)
Vybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2018-2019 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 1 / 11 Křivkový integrál Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 2 / 11 Parametricky zadaná křivka v R 3 :
MATEMATIKA 3. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATIKA 3 Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Osnova: Komplexní funkce - definice, posloupnosti, řady Vybrané komplexní funkce
Co nám prozradí derivace? 21. listopadu 2018
Co nám prozradí derivace? Seminář sedmý 21. listopadu 2018 Derivace základních funkcí Tečna a normála Tečna ke grafu funkce f v bodě dotyku T = [x 0, f (x 0 )]: y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Normála: y
Numerické metody minimalizace
Numerické metody minimalizace Než vám klesnou víčka - Stříbrnice 2011 12.2. 16.2.2011 Emu (Brkos 2011) Numerické metody minimalizace 12.2. 16.2.2011 1 / 19 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Princip minimalizace
Matematika (KMI/PMATE)
Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam (smysl) koeficientů lineární
Inverzní Z-transformace
Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 9. přednáška 11MSP úterý 16. dubna 2019 verze: 2019-04-15 12:25
Příklad 1.2 Nalezněte obsah oblasti ohraničené křivkami y =lnx, y =ln 2 x.
Kpitol Aplikce určitého integrálu. Délk, obsh, objem Příkld. Nlezněte obsh oblsti ohrničené křivkmi xy 4, x + y 5. Návod. Soustv rovnice xy 4,x + y 5mádvěřešení[, 4] [4, ]. (viz obr.) Oblst ohrničená křivkmi
Edita Pelantová, katedra matematiky / 16
Edita Pelantová, katedra matematiky seminář současné matematiky, září 2010 Axiomy reálných čísel Axiomy tělesa Axiom 1. x + y = y + x a xy = yx (komutativní zákon). Axiom 2. x + (y + z) = (x + y) + z a
Úvodní informace. 18. února 2019
Úvodní informace Funkce více proměnných Cvičení první 18. února 2019 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Úvodní informace. Komunikace: e-mail: olga@majling.eu nebo olga.majlingova@fs.cvut.cz
(2) Funkce. Kristýna Kuncová. Matematika B2. Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25
(2) Funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25 Sudá a lichá funkce Určete, které funkce jsou sudé a které liché: liché: A, D, E sudé: B Kristýna Kuncová (2) Funkce 2 / 25
Funkce zadané implicitně. 4. března 2019
Funkce zadané implicitně 4. března 2019 Parciální derivace druhého řádu Parciální derivace druhého řádu funkce z = f (x, y) jsou definovány: Parciální derivace 2 f 2 = ( ) f 2 f 2 = ( ) f 2 f a 2 f 2 f
(1) Derivace. Kristýna Kuncová. Matematika B2 17/18. Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35
(1) Derivace Kristýna Kuncová Matematika B2 17/18 Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35 Růst populací Zdroj : https://www.tes.com/lessons/ yjzt-cmnwtvsq/noah-s-ark Kristýna Kuncová (1) Derivace 2 / 35 Růst
Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1 řádu Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter
Numerické metody 8. května FJFI ČVUT v Praze
Obyčejné diferenciální rovnice Numerické metody 8. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Základní metody Pokročilejší metody Soustava Vyšší řád Program 1 Úvod Úvod - Úloha Základní úloha, kterou řešíme
Diferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se
Diferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se separovanými proměnnými. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské
1 Soustava lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Soustava lineárních rovnic 2 Řešitelnost soustavy lineárních rovnic 3 Gaussova eliminační metoda 4 Jordanova eliminační
Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187
Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými
Aproximace funkcí 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885. Body proložíme lomenou čarou.
Příklad Známe následující hodnoty funkce Φ: u Φ(u) 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885 Odhadněte přibližně hodnoty Φ(1,02) a Φ(1,16). Možnosti: Vezmeme hodnotu v nejbližším bodě. Body proložíme lomenou čarou.
Kristýna Kuncová. Matematika B2
(3) Průběh funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 1 / 26 Monotonie (x 2 ) = 2x (sin x) = cos x Jak souvisí derivace funkce a fakt, zda je funkce rostoucí nebo klesající?
Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici
Řešení ODR v MATLABu Přednáška 3 15. října 2018 Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 Víme, že v intervalu a, b existuje jediné řešení. (f (x, y) a f y jsou spojité
MATEMATICKÁ ANALÝZA II. Martin Klazar
MATEMATICKÁ ANALÝZA II (učebnice předběžná verze, červen 2019) Mrtin Klzr Obsh Předmluv Obsh přednášek zkoušk iv v Úvod 1 1 Primitivní funkce 3 1.1 Zákldní vlstnosti primitivních funkcí...............
x2 + 2x 15 x 2 + 4x ) f(x) = x 2 + 2x 15 x2 + x 12 3) f(x) = x 3 + 3x 2 10x. x 3 + 3x 2 10x x 2 + x 12 10) f(x) = log 2.
Příklady k 1 zápočtové písemce Definiční obor funkce Určete definiční obor funkce: x + x 15 1 f(x x + x 1 ( x + x 1 f(x log x + x 15 x + x 1 3 f(x x 3 + 3x 10x ( x 3 + 3x 10x f(x log x + x 1 x3 + 5x 5
Elementární funkce. Edita Pelantová. únor FJFI, ČVUT v Praze. katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze
Elementární funkce Edita Pelantová FJFI, ČVUT v Praze Seminář současné matematiky katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze únor 2013 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor 2013 1 / 19 Polynomiální
Lineární algebra - iterační metody
Lineární algebra - iterační metody Numerické metody 7. dubna 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Rozdělení Metody Zastavení SOR Programy 1 Úvod Úvod - LAR Mějme základní úlohu A x = b, (1) kde A R n,n je
Matematická analýza II pro kombinované studium. Konzultace první a druhá. RNDr. Libuše Samková, Ph.D. pf.jcu.cz
Učební texty ke konzultacím předmětu Matematická analýza II pro kombinované studium Konzultace první a druhá RNDr. Libuše Samková, Ph.D. e-mail: lsamkova@ pf.jcu.cz webová stránka: home.pf.jcu.cz/ lsamkova/
Matematická analýza II (NMUM102)
Mtemtická nlýz II (NMUM102) Mrtin Rmoutil 2. července 2018 Kpitol 1 Hlubší věty o limitním chování funkcí 1.1 L Hospitlovo prvidlo V této první kpitole si dokážeme tk zvné L Hospitlovo prvidlo. To může
Funkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál
Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 29. 9. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura
MATEMATIKA 2. Úlohy, otázky, aplikace
MATEMATIKA Úlohy, otázky, plikce elektronický učební text Václv NÝDL, Rent KLUFOVÁ, Rdk ŠTĚPÁNKOVÁ Ktedr plikovné mtemtiky informtiky Ekonomická fkult, Jihočeská univerzit v Českých Budějovicích Tto publikce
Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32
Komplexní analýza Úvod Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32 Základní informace Stránky předmětu: http://math.feld.cvut.cz/bohata/kan.html
Matematická analýza pro učitele (text je v pracovní verzi)
Matematická analýza pro učitele (text je v pracovní verzi) Martina Šimůnková 6. června 208 2 Obsah Úvod 7. Co je to funkce.......................... 7.2 Co budeme na funkcích zkoumat................. 9.2.
YNUM - Numerická matematika
YNUM - Numerická mtemtik Ivn Pultrová 5. květn 009 Progrm (6 přednášek, 6 cvičení): Polynomiální interpolce, numerická integrce, chyb integrce. Metod nejmenších čtverců. Diskrétní Fourierov trnsformce.
Obsah. Petr Hasil. (konjunkce) (disjunkce) A B (implikace) A je dostačující podmínka pro B; B je nutná podmínka pro A A B: (A B) (B A) A (negace)
Množiny, číselné obory, funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 Obsah Množinové operace Operace s funkcemi Definice
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU
Funkce více proměnných: limita, spojitost, derivace
Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, derivace Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 22. 9. 2014 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Zobrazení a funkce více
3.1 Derivace funkce Definice derivace Vlastnosti derivace Derivace elementárních funkcí... 49
Obsh Číselné množiny reálné funkce 5. Množin reálných čísel...................................... 5. Množin kompleních čísel.....................................3 Reálné funkce jedné reálné proměnné..............................
Stavový popis Stabilita spojitých systémů (K611MSAP) Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT. čtvrtek 20. dubna 2006
Modelování systémů a procesů (K611MSAP) Přednáška 4 Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT Pravidelná přednáška K611MSAP čtvrtek 20. dubna 2006 Obsah 1 Laplaceova transformace Přenosová funkce
Obsah. 1.5 Věty o střední hodnotě integrálu... 23
Obsh Riemův itegrál. Určitý itegrál: Cuchyov-Riemov defiice...............2 Určitý itegrál jko limit poslouposti.................. 9.3 Vlstosti určitého itegrálu......................... 3.4 Výpočet určitého
Obsah. 1.2 Integrály typu ( ) R x, s αx+β
Sbírka úloh z matematické analýzy. Čížek Jiří Kubr Milan. prosince 006 Obsah Neurčitý integrál.. Základní integrály...................................... Integrály typu ) R, s α+β γ+δ d...........................
Statistika (KMI/PSTAT)
Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení deváté aneb Důležitá rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 15 Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina
1 Definice. A B A B vlastní podmnožina. 4. Relace R mezi množinami A a B libovolná R A B. Je-li A = B relace na A
1 Definice 1. Množiny: podmnožina: A B x(x A x B) průnik: A B = {x A x B} sjednocení: A B = {x x A x B} rozdíl: A B = {x A x B} A B A B vlastní podmnožina 2. uspořádaná dvojice: (x, y) = {{x}, {x, y}}
Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více
5 Diferenciální počet funkcí více proměnných Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více proměnných, především budeme pracovat s funkcemi dvou proměnných Ukážeme
Metody, s nimiž se seznámíme v této kapitole, lze použít pro libovolnou
2. Řešení nelineárních rovnic Průvodce studiem Budeme se zabývat výpočtem reálných kořenů nelineární rovnice f(x) =0, (2.0.1) kde f je v jistém smyslu rozumná reálná funkce. Pro některé funkce (kvadratické,
Kapitola 2. Nelineární rovnice
Kapitola. Nelineární rovnice Formulace: Je dána funkce f : R! R definovaná na intervalu ha; bi. Hledáme x ha; bi tak, aby f(x) = 0. (x... kořen rovnice) Poznámka: Najít přesné řešení analyticky je možné
podle přednášky doc. Eduarda Fuchse 16. prosince 2010
Jak souvisí plochá dráha a konečná geometrie? L ubomíra Balková podle přednášky doc. Eduarda Fuchse Trendy současné matematiky 16. prosince 2010 (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince 2010
MATEMATIKA 1 ALEŠ NEKVINDA. + + pokud x < 0; x. Supremum a infimum množiny.
MATEMATIKA ALEŠ NEKVINDA DIFERENCIÁLNÍ POČET Přednáška Označíme jako na střední škole N, Z, Q, R a C postupně množinu přirozených, celých, racionálních, reálných a komplexních čísel R = R { } { } Platí:
Operace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument)
![Operace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument)](/thumbs/95/126221157.jpg "Operace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument)")
KAPITOLA : Funkce - úvod [MA-8:P.] reálná funkce (jedné) reálné proměnné... f : A R...... zobrazení množin A R do množin reálných čísel R funkční hodnota... = f() ( argument) ( tj. reálná funkce f : A
Obsah. Limita posloupnosti a funkce. Petr Hasil. Limita posloupnosti. Pro a R definujeme: Je-li a < 0, pak a =, a ( ) =. vlastní body.
Obsah a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I Úvod 2 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 2 / 90 Úvod Úvod Pro a R definujeme:
fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Extrémy Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného
Laplaceova transformace
Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 5. přednáška 11MSP 219 verze: 219-3-17
Minimalizace automatů. Z. Sawa (VŠB-TUO) Teoretická informatika 2. října / 53
Minimlizce utomtů Z. Sw (VŠB-TUO) Teoretická informtik 2. říjn 2018 1/ 53 Minimlizce konečného utomtu Předpokládejme deterministický konečný utomt A = (Q,Σ,δ,q 0,F). Definice Stvy q,q Q nzýváme ekvivlentní,
Teorie. kuncova/ Definice 1. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže existuje.
8. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Definice. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže eistuje h 0 fa + h) fa), h pak tuto itu nazýváme derivací funkce f v bodě
1 Dedekindovy řezy (30 bodů)
Pokročilá matematická analýza úlohy pro zimní semestr Dedekindovy řezy ( bodů) V této úloze se pokusíme seznámit s Dedekindovými řezy, pomocí nichž zavedeme reálná čísla. Tuto konstrukci vymyslel a publikoval
Matematika prˇedna sˇka Lenka Prˇibylova 7. u nora 2007 c Lenka Prˇibylova, 200 7
Matematika přednáška Lenka Přibylová 7. února 2007 Obsah Základy matematické logiky 9 Základní množinové pojmy 13 Množina reálných čísel a její podmnožiny 16 Funkce 18 Složená funkce 20 Vlastnosti funkcí
Petr Beremlijski, Marie Sadowská
Počítačová cvičení Petr Beremlijski, Marie Sadowská Katedra aplikované matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB - Technická univerzita Ostrava Cvičení : Matlab nástroj pro matematické modelování
Sb ırka pˇr ıklad u z matematick e anal yzy II Petr Tomiczek
Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah 0 Diferenciální rovnice. řádu 0. Separace proměnných Příklad : Najděte obecné řešení (obecný integrál) diferenciální rovnice y = tg x tg y.
Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 24. z aˇr ı 2013 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 24. z aˇr ı / 52
í150doc-start í251doc-start Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 24. září 2013 1 / 52 Matematika 1 Jiří Fišer 24. září 2013 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 24. září 2013 1 / 52 Zimní semestr
Numerické metody KI/NME. Doc. RNDr. Jiří Felcman, CSc. RNDr. Petr Kubera, Ph.D.
Numerické metody KI/NME Doc. RNDr. Jiří Felcman, CSc. RNDr. Petr Kubera, Ph.D. RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. Ústí nad Labem 2016 Kurz: Obor: Klíčová slova: Anotace: Numerické metody Informační systémy, Informatika
Kombinatorika a grafy I
Kombinatorika a grafy I Martin Balko 1. přednáška 19. února 2019 Základní informace Základní informace úvodní kurs, kde jsou probrány základy kombinatoriky a teorie grafů ( pokračování diskrétní matematiky
Linea rnı (ne)za vislost
[1] Lineární (ne)závislost Skupiny, resp. množiny, vektorů mohou být lineárně závislé nebo lineárně nezávislé... a) zavislost, 3, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010,
7. Aplikace derivace
7. Aplikace derivace 7A. Taylorův polynom 7. Aplikace derivace Verze 20. července 207 Derivace funkce se využívá při řešení úloh technické prae i teorie. Uvedeme několik z nich: vyčíslení hodnot funkce,
FAKULTA STAVEBNÍ. Stavební statika. Telefon: WWW:
VYSOKÁ ŠKOA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA AKUTA STAVEBNÍ Stavební statika Pohyblivé zatížení Jiří Brožovský Kancelář: P H 406/3 Telefon: 597 32 32 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz WWW: http://fast0.vsb.cz/brozovsky
Škola matematického modelování 2017
Počítačová cvičení Škola matematického modelování 2017 Petr Beremlijski, Rajko Ćosić, Marie Sadowská Počítačová cvičení Škola matematického modelování Petr Beremlijski, Rajko Ćosić, Marie Sadowská Katedra
Geometrická nelinearita: úvod
Geometrická nelinearita: úvod Opakování: stabilita prutů Eulerovo řešení s využitím teorie 2. řádu) Stabilita prutů Ritzovou metodou Stabilita tenkých desek 1 Geometrická nelinearita Velké deformace průhyby,
Speciální funkce, Fourierovy řady a Fourierova transformace
1 Speciální funkce, Fourierovy řady a Fourierova transformace Při studiu mnoha přírodních jevů se setkáváme s veličinami, které jsou všude nulové s výjimkou malého časového intervalu I, ale jejich celková
III. Dvojný a trojný integrál
III. vojný a trojný integrál III.. Eistence Necht je měřitelná v Jordanově smslu množina v E resp. E a funkce f je omezená na. Necht množina bodů nespojitosti funkce f v má míru. Potom f je integrovatelná
Hana Marková Pseudospektrum matice
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Hana Marková Pseudospektrum matice Katedra numerické matematiky Vedoucí diplomové práce: Doc. RNDr. Vladimír Janovský, DrSc. Studijní
x y (A)dy. a) Určete a načrtněte oblasti, ve kterých je funkce diferencovatelná. b) Napište diferenciál funkce v bodě A = [x 0, y 0 ].
![x y (A)dy. a) Určete a načrtněte oblasti, ve kterých je funkce diferencovatelná. b) Napište diferenciál funkce v bodě A = [x 0, y 0 ].](/thumbs/94/121813288.jpg "x y (A)dy. a) Určete a načrtněte oblasti, ve kterých je funkce diferencovatelná. b) Napište diferenciál funkce v bodě A = [x 0, y 0 ].")
II.4. Totální diferenciál a tečná rovina Značení pro funkci z = f,: totální diferenciál funkce f v bodě A = 0, 0 ]: dfa = A 0+ A 0 Označme d = 0, d = 0. Pak dfa = A d+ A d Příklad91.Je dána funkce f, =.
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta
Univerzita arlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAALÁŘSÁ PRÁCE Matěj Novotný Operátory skládání na prostorech funkcí atedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Jiří Spurný
Komplexní analýza. Příklad Body. Nepište obyčejnou tužkou ani červeně, jinak písemka nebude přijata. Soupis vybraných vzorců. 4a.
Komplexí aalýa Písemá část koušky (XX.XX.XXXX) Jméo a příjmeí:... Podpis:... Příklad.. 3.. 5. Body Před ahájeím práce Vyplňte čitelě rubriku Jméo a příjmeí a podepište se. Během písemé koušky smíte mít
Powyższe reguły to tylko jedna z wersji gry. Istnieje wiele innych wariantów, można też ustalać własne zasady. Miłej zabawy!
Krykiet W krykieta może grać od 2 do 4 osób, którzy albo grają każdy przeciw każdemu, albo dzielą się na dwie drużyny. Bramki oraz palik startowy i powrotne umieszcza się tak, jak pokazano na rysunku.
TGH01 - Algoritmizace
TGH01 - Algoritmizace Jan Březina Technical University of Liberec 28. února 2017 Co je to algoritmus? Porovnávání algoritmů Porovnávání algoritmů Co je to algoritmus? Který algoritmus je lepší? Záleží
6 Dedekindovy řezy (30 bodů)
Pokročilá lineární algebra 3. série 6 Dedekindovy řezy (3 bodů) V této úloze se pokusíme seznámit s Dedekindovými řezy, pomocí nichž zavedeme reálná čísla. Tuto konstrukci vymyslel a publikoval Dedekind
Algebra I Cvičení. Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se
Algebra I Cvičení Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se kterými jsem při přípravě cvičení spolupracoval. Sbírka vznikla modifikací některých
algebrou úzce souvisí V druhém tematickém celku se předpokládá základní znalosti z matematické analýzy
1 Úvodem Prezentace předmětu VMP je vytvořena pro nový předmět, který si klade za cíl seznámit studenty se základy lineární algebry a se základy numerické matematiky. Zejména v prvním tématu budeme pracovat
Internetová matematická olympiáda 8. ročník, Baví se student Fakulty strojního inženýrství VUT v Brně (FSI) s kamarádem:
Internetová matematická olympiáda 8. ročník, 24. 11. 2015 1. Baví se student Fakulty strojního inženýrství VUT v Brně (FSI) s kamarádem: Kamarád: Co jsi tak veselý? Něco slavíš? Student FSI: Já přímo ne,
Mendelova univerzita v Brně user.mendelu.cz/marik
INŽNÝRSKÁ MATMATIKA Robert Mařík Mendelova univerzita v Brně marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik ABSTRAKT. Učební text k mým přednáškám z předmětu Inženýrská matematika. Text je poměrně hutný a není
Matematická analýza II
Mtemtická lýz II Edit Peltová ktedr mtemtiky Fkult jderá fyzikálě ižeýrská ČVUT Trojov 3, 20 00 Prh Předmluv Skriptum je určeo studetům prvího ročíku FJFI jko učebí pomůck k předáškám z mtemtické lýzy.
Matematická analýza 2. Kubr Milan
Matematická analýza. Kubr Milan. února 008 Obsah Vektorové funkce jedné reálné proměnné. 3. Základní pojmy...................................... 3. Křivky v R n........................................
kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův)
TÉMA 7: Pružný poloprostor, modely podloží pružný poloprostor základní předpoklady pružný poloprostor Boussinesqueovo řešení kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův) 1 Pružný poloprostor (1) vychází z
DFT. verze:
Výpočet spektra signálu pomocí DFT kacmarp@fel.cvut.cz verze: 009093 Úvod Signály můžeme rozdělit na signály spojité v čase nebo diskrétní v čase. Další možné dělení je na signály periodické nebo signály
TGH01 - Algoritmizace
TGH01 - Algoritmizace Jan Březina Technical University of Liberec 31. března 2015 Metainformace materiály: jan.brezina.matfyz.cz/vyuka/tgh (./materialy/crls8.pdf - Introduction to algorithms) SPOX: tgh.spox.spoj.pl
Slabá formulace rovnic proudění tekutin
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁC Mark Dostalík Slabá formulace rovnic proudění tekutin Matematický ústav UK Vedoucí bakalářské práce: Studijní program: Studijní
1 Derivace funkce a monotonie
MA 10. cvičení intervaly monotonie a lokální extrémy Lukáš Pospíšil,2012 1 Derivace funkce a monotonie Jelikož derivace funkce v daném bodě je de-facto směrnice tečny (tangens úhlu, který svírá tečna s
Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzích
Periodický pohyb obecného ve dvou dimenzích Autor: Šárka Petříčková (A05221, sarpet@students.zcu.cz) Vedoucí: Ing. Petr Nečesal, Ph.D. Matematické metody v aplikovaných vědách a ve vzdělávání, Fakulta
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. bankovnictví. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Barbora Janečková Aplikace 2-dimenzionálních rozdělení v bankovnictví Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí
Energetické principy a variační metody ve stavební mechanice
Energetické principy a variační metody ve stavební mechanice Přetvárná práce vnějších sil Přetvárná práce vnitřních sil Potenciální energie Lagrangeův princip Variační metody Ritzova metoda 1 Přetvárná
ÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur
ÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur 2011 2 Obsah 1 Algebraické základy 3 1.1 Binární relace.................................. 3 1.2 Zobrazení a operace............................... 7 1.3 Algebry s jednou
MATEMATIKA 3 NUMERICKÉ METODY. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATIKA 3 NUMERICKÉ METODY Dana Černá http://kmd.fp.tul.cz Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci INFORMACE O PŘEDMĚTU Konzultační hodiny: ÚT 11:00-12:00, budova G,
Matematika III Stechiometrie stručný
Matematika III Stechiometrie stručný matematický úvod Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík Ústav matematiky Přednášky LS 2015-2016 Obsah 1 Zápis chemické reakce 2 umožňuje jednotný přístup
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 28 Studijní program: Studijní obory: Fyzika FFUM Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Příklad 25 bodů Nechť {x n } je posloupnost, f : R R
Anna Kratochvílová Anna Kratochvílová (FJFI ČVUT) PDR ve zpracování obrazu / 17
Parciální diferenciální rovnice ve zpracování obrazu Anna Kratochvílová FJFI ČVUT 10. 6. 2009 Anna Kratochvílová (FJFI ČVUT) PDR ve zpracování obrazu 10. 6. 2009 1 / 17 Obsah 1 Motivace 2 Vyšetření pomocí
PARADIGMATA PROGRAMOVÁNÍ 1B
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO PARADIGMATA PROGRAMOVÁNÍ 1B JAN KONEČNÝ, VILÉM VYCHODIL VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM