Edita Pelantová, katedra matematiky / 16

Transkrypt

1 Edita Pelantová, katedra matematiky seminář současné matematiky, září 2010

2 Axiomy reálných čísel Axiomy tělesa Axiom 1. x + y = y + x a xy = yx (komutativní zákon). Axiom 2. x + (y + z) = (x + y) + z a (xy)z = x(yz) (asociativní zákon) Axiom 3. x(y + z) = xy + xz (distributivní zákon) Axiom 4. Existuje prvek 0 R takový, že x + 0 = x pro každé x R. Axiom 5. Pro každé x R existuje prvek v R (označovaný jako x) takový, že x + ( x) = 0 Axiom 6. Existuje prvek 1 R různý od 0 takový, že 1.x = x pro každé x R. Axiom 7. Pro každé x 0 existuje prvek v R (označovaný jako x 1 ) takový, že xx 1 = 1. seminář současné matematiky, září

3 Axiomy reálných čísel Uspořádání na M Relace na množině M se nazývá uspořádání, když má následující tři vlastnosti: pro každé x M platí x x jestliže x y a y x, pak x = y jestliže x y a y z, pak x z (reflexivita) (antisymetrie) (tranzitivita) seminář současné matematiky, září

4 Axiomy reálných čísel Axiomy uspořádání Axiom 8. Pro každé x R platí bud x y nebo y x. Axiom 9. Když x y, pak x + z y + z pro každé z R. Axiom 10. Když x y a 0 z, pak xz yz. seminář současné matematiky, září

5 Axiomy reálných čísel Axiom úplnosti seminář současné matematiky, září

6 Axiomy reálných čísel Axiom úplnosti Řekneme, že množina A R je omezená shora, když existuje K R nazývané horní závora, že pro všechny x A platí x K. Množinu horních závor množiny A označujeme A. seminář současné matematiky, září

7 Axiomy reálných čísel Axiom úplnosti Řekneme, že množina A R je omezená shora, když existuje K R nazývané horní závora, že pro všechny x A platí x K. Množinu horních závor množiny A označujeme A. Řekneme, že číslo a A R je minimem množiny A, když pro všechny x A platí a x. seminář současné matematiky, září

8 Axiomy reálných čísel Axiom úplnosti Řekneme, že množina A R je omezená shora, když existuje K R nazývané horní závora, že pro všechny x A platí x K. Množinu horních závor množiny A označujeme A. Řekneme, že číslo a A R je minimem množiny A, když pro všechny x A platí a x. Axiom úplnosti Množina horních závor A má minimum pro každou neprázdnou shora omezenou množinu A seminář současné matematiky, září

9 Dedekindovy řezy, 1872 Uvažujeme těleso Q s obvyklým uspořádaním a operacemi + a. Definice řezu Uspořádanou dvojici (A, B) nazveme Dedekindovým řezem, když 1 A Q a B Q, 2 A B = Q, 3 ( a A)( b B)(a < b), 4 A nemá maximum, tj. ke každému a A existuje a A tak, že a < a. Množinu všech Dedekindových řezů označíme R. seminář současné matematiky, září

10 Uspořádání Dedekindových řezů ostře větší (A 1, B 1 ) (A 2, B 2 ), když ( a 2 A 2 )( b 1 B 1 )(b 1 < a 2 ). Definice uspořádání (A 1, B 1 ) (A 2, B 2 ), když (A 1, B 1 ) = (A 2, B 2 ) nebo (A 1, B 1 ) (A 2, B 2 ) Nutno ověřit pro relaci reflexivitu symetrii transitivitu seminář současné matematiky, září

11 Sčítání Dedekindových řezů Konstrukce by měla zachovat Q R. Jak to formálně zařídit? Definice součtu (A 1, B 1 ) (A 2, B 2 ) := (A, B), kde A := A 1 +A 2 = {a 1 +a 2 a 1 A 1, a 2 A 2 } a B := {b b Q a b / A} Který řez má roli nulového prvku? Který řez je opačný k danému řezu? Definice součinu (A 1, B 1 ) (A 2, B 2 ) :=? seminář současné matematiky, září

12 Splnění axiomu úplnosti Necht M R je shora omezená množina. Označme (C, D) její horní závoru. Tedy platí (A, B) (C, D) pro každé (A, B) M. Definice suprema E := A a F := {x Q x / E}. (A,B) M Nutno ověřit, že i) (E, F ) je řez, ii) (E, F ) je horní závora množiny M a iii) (E, F ) je nejmenší horní závora množiny M. seminář současné matematiky, září

13 Cantorova konstrukce reálných čísel, 1871 Uvažujeme těleso Q s obvyklým uspořádaním a operacemi + a. Označme B množinu všech cauchyovských posloupnosti na Q, tedy posloupnosti (a n ) n N takových, že a n Q pro každé n N a navíc ( ε > 0)( n 0 N)( n, m N, n, m > n 0 )( a n a m < ε) Definice ekvivalence na B Necht (a n ) n N, (b n ) n N B. Řekneme, že (a n ) (b n ), pokud ( ε > 0)( n 0 N)( n N, n > n 0 )( a n b n < ε). Nutno ověřit, že je ekvivalence (nutné využít trojúhelníkovou nerovnost).

14 Zúplnění Q Ekvivalence na množině rozděĺı množinu do navzájem disjunktních tříd ekvivalence, sjednocení všech tříd dá celou původní množinu. Definice R Třídu ekvivalence na množině B nazveme reálné číslo; množinu reálných čísel označíme R. Nutno definovat, a uspořádání.

15 a Definice Necht A, B R. Zvolme (a n ) A a (b n ) B. Pak (a n + b n ) je cauchyovská posloupnost s racionálními prvky. Oznčme C třídu ekvivalence, do které (a n + b n ) patří. Klademe A B = C. Ukázat nezávislost C na volbě (a n ) A a (b n ) B. Co je nulový prvek? Co je opačný prvek? Definice???? Ověřit všechny axiomy tělesa.

16 uspořádání Ostře větší Varianta 1 Necht A, B R a A B. Řekneme, že A B, když ( )( )( ) (a n ) A (b n ) B n 0 N )( n > n 0 )(a n < b n Ostře větší Varianta 2 Necht A, B R a A B. Řekneme, že A B, když ( )( )( )( ) ε > 0 (a n ) A (b n ) B n 0 N )( n > n 0 )(a n + ε < b n Definice uspořádání???? Ověřit všechny axiomy uspořádání. Ověřit platnost axiomu úplnosti.

17 Kolik různých konstrukcí reálných čísel existuje? Věta Každé dvě struktury R 1, 1, 1, 1 a R 2, 2, 2, 2, které splňují axiomy 1-11 jsou navzájem izomorfní, tj. existuje bijekce φ : R 1 R 2 taková, že pro všechny x, y R 1 platí: φ(x 1 y) = φ(x) 2 φ(y), φ(x 1 y) = φ(x) 2 φ(y), x 1 y φ(x) 2 φ(y). Co je izomorfizmus mezi Cantorovými a Dedekindovými reálnými čísly?

18 poučení Bůh je jen jeden

19 poučení Bůh je jen jeden až na izomorfizmus

20 Úlohy pro samostatnou práci Definovat násobení Dedekindových řezů, ukázat, ze to je skutečně řez, ověřit existenci jednotkového prvku a inverzního prvku.

21 Úlohy pro samostatnou práci Definovat násobení Dedekindových řezů, ukázat, ze to je skutečně řez, ověřit existenci jednotkového prvku a inverzního prvku. Pro Dedekindovy řezy ověřit axiomy uspořádání.

22 Úlohy pro samostatnou práci Definovat násobení Dedekindových řezů, ukázat, ze to je skutečně řez, ověřit existenci jednotkového prvku a inverzního prvku. Pro Dedekindovy řezy ověřit axiomy uspořádání. Ověřit platnost axiomu úplnosti v Cantorově konstrukci

23 Úlohy pro samostatnou práci Definovat násobení Dedekindových řezů, ukázat, ze to je skutečně řez, ověřit existenci jednotkového prvku a inverzního prvku. Pro Dedekindovy řezy ověřit axiomy uspořádání. Ověřit platnost axiomu úplnosti v Cantorově konstrukci Najít izomorfizmus mezi Cantorovými a Dedekindovými reálnými čísly.

24 Úlohy pro samostatnou práci Definovat násobení Dedekindových řezů, ukázat, ze to je skutečně řez, ověřit existenci jednotkového prvku a inverzního prvku. Pro Dedekindovy řezy ověřit axiomy uspořádání. Ověřit platnost axiomu úplnosti v Cantorově konstrukci Najít izomorfizmus mezi Cantorovými a Dedekindovými reálnými čísly. Rešerše o jiných konstrukcích reálných čísel (Eudoxova reálná čísla bez použití racionálních), popř. důkaz jedoznačnosti R.