x y (A)dy. a) Určete a načrtněte oblasti, ve kterých je funkce diferencovatelná. b) Napište diferenciál funkce v bodě A = [x 0, y 0 ].

Transkrypt

1 II.4. Totální diferenciál a tečná rovina Značení pro funkci z = f,: totální diferenciál funkce f v bodě A = 0, 0 ]: dfa = A 0+ A 0 Označme d = 0, d = 0. Pak dfa = A d+ A d Příklad91.Je dána funkce f, =. a Určete a načrtněte oblasti, ve kterých je funkce diferencovatelná. b Napište diferenciál funkce v bodě A = 0, 0 ]. Řešení : Postačující podmínkou pro diferencovatelnost je spojitost parciálních derivací spojitost funkcí = 1 = Dostaneme tto množin : D 1 = {,] E : < 0, < 0}, D = {,] E : < 0, > 0}, D = {,] E : > 0, > 0}. D 4 = {,] E : > 0, < 0}, D D dfa = Ad+ Ad tj. dfa = 0 1 d+ 0 0 D 1 D d 0 0 Příklad9.Určete totální diferenciál a přibližný přírůstek funkce z = v bodě A =,1] pro = 0.1 a = 0.. Porovnejte s přesným přírůstkem funkce. Řešení : Totální diferenciál v bodě A je dza = Ad+ Ad. Přitom = A = 1 4 = 1 A = 1 dza = 1 4 d+ 1 d. Položíme-li d = = 0.1 a d = = 0., pak obdržíme hledaný diferenciál funkce f v bodě A při daných přírůstcích, : dza = = 0.075, přičemž přesný přírůstek z = z 0 +, 0 + z 0, 0 = = z.1,1. z,1 = Příklad 9. Pomocí totálního diferenciálu vpočítejte přibližně přírůstek funkce z = arctg při změně od 0 = 1 do 1 = 1. a od 0 = do 1 =.1. 1

2 Řešení : Přírůstek přibližně nahradíme diferenciálem tj. z =. dza = A d+ A d, kde A = 1, ], d = 0., d = 0.1. Spočítáme A = 1 1+ = 10, A = 1 A 1+ 1 = A Potom dza = = = Příklad94.Vpočítejte přibližně hodnotu výrazu ln pomocí totálního diferenciálu vhodně zvolené funkce. Řešení : Položme z, = ln 1, 0 = 9, 0 = 1, pak d = 0.0, d = Použijeme vztah z = z+ 0, + 0 z 0, 0. = 0, 0 d+ 0, 0 d, ze kterého dostaneme z+ 0, + 0 =. z 0, 0 + 0, 0 d+ 0, 0 d. Připravme si : z 0, 0 = ln = 0, A = = 1 6, 9,1] A = = 1. Nní dosadíme a vpočteme hledanou 9,1] hodnotu ln = = Příklad 95.Vpočítejte přibližnou hodnotu výrazu 0,98,04 pomocí totálního diferenciálu vhodně zvolené funkce. Řešení : z, =, 0 = 1, 0 =, tj. A = 1,], d = 0.0, d = 0.04, = 1, = ln, takže z0.98,.04 =. za+dza = za+ A d+ A d = = = Příklad 96.Najděte rovnici tečné rovin τ a normál n grafu funkce f, = 4 v bodě T =,1,?]. Vpočítejte přibližně hodnotu funkce f v bodě.,1.]. Řešení : Tečná rovina τ má rovnici τ : z z 0 = A 0+ A 0, kde A = 0, 0 ] =,1], a z 0 = z 0, 0. V daném případě z 0 = = 4 = T =,1,4], A = 4 A = 8, A = 8 A = 8 = τ : z 4 = = 8 8 z 4 = 0. Normála n je přímka procházející bodem T, jejímž směrovým vektorem je normálový 14

3 vektor rovin τ. Ted n :,,z] =,1,4]+t8, 8, 1, t R. Funkční hodnotu v bodě., 1.] vpočteme přibližně dosazením souřadnic bodu do rovnice tečné rovin z = f.,1.. = z.,1. = = = =. Příklad97.Najděte rovnici tečné rovin τ ploch z = rovnoběžné s danou rovinou : 5 z = 0. Řešení : Musíme najít bod A, v němž = 5, =. Z toho dostaneme soustavu { + +1 = 5, rovnic Odtud =. 0 = 1, 0 =,z 0 = z 0, 0 =, takže T = 1,,]. Rovnice tečné rovin τ : 5 z +d = 0, T τ = τ : 5 z +4 = 0. Vpočítejte přibližně hodnot daných výrazů pomocí totálního diferenciálu : ] ] ln1.0 arctg ] Najděte rovnici tečné rovin τ a rovnici normál n ploch z = f, v bodě T : 101. z = 4 +, T =,4,?] z = 0;,,z] =,4,0]+t1,16, 5, t R] 10. z =, T = 0,0,?] z = 0;,,z] = t0,0,1, t R] 10. z = cos 1, T = 1, π,?] 104. z = 1 1 ] arcsin, T =,,? z = π ;,,z] = 1, ] ] 4 π π,0 +t 0, π 4, 1, t R,,z] = π +z π + = 0; 1,, π ] +tπ,,1, t R Najděte rovnici tečné rovin τ ploch z = z, rovnoběžné s rovinou : 105. z =, : 8 6 z 15 = 0 τ : 8 6 z +1 = 0] 106. z = ln +, : z +5 = 0 τ : z = 0] 107. z = +6 +, : 4+6 z = 0 τ : 4+6 z 1 = 0] II.5. Derivace a diferenciál všších řádů Příklad 108. Najděte všechn parciální derivace druhého řádu funkce f, = e +. Řešení : f = = e +, 15

4 f = = e + e + = e + 1+, f = f = f = f = f = f = = e+, = 6 e + 1+ e + 4 = 6 e , = e + e + = e + 1+, f = f = = e Vidíme, že pro danou funkci f platí f = f ve všech bodech,] E. Příklad109.Ukažte, že funkce u = u,t = arctg t vhovuje parciální diferenciální rovnici u + u t = 0 v E. Řešení : u = 1+ t, u = t 1+ t = 8 t 1+ t, u t = u t = 1+ t t 1 = 4 t 1+ t. Po dosazení je zřejmé, že rovnice platí ve všech bodech,t] E. Příklad110.*Je dána funkce f, { pro,] 0,0] f, = + 0 pro,] = 0,0]. Dokažte, že f 0,0 f 0,0. Řešení : Snadno se přesvědčíme, že funkce f je v bodě 0,0] spojitá : lim f, = 0 = f0,0. Derivace f 0,, f,0, f 0,0, f 0,0,] 0,0] vpočítáme pomocí příslušných definic : f 0, = lim h 0 fh, f0, h f,0 = lim k 0 f,k f,0 k f 0,0 = lim k 0 f 0,k f 0,0 k f h,0 f 0,0 f 0,0 = lim h 0 h h h 0 h + h 0 = lim = lim h k k 0 +k k 0 k k = lim k 0 k = lim h = 1, f 0,0 f 0,0. h 0 h =, =, =, 16

5 Jsou dána skalární pole ϕ,,z a vektorové pole f = U,V,W, která mají spojité parciální derivace. řádu v oblasti D E. Označme: =,, ϕ, gradϕ = ϕ =, ϕ, ϕ div f = f = U + V + W, rot f = f =, W V, U W, V U Příklad 111.Je dáno skalární pole ϕ,,z = + z z +. Vpočítejte gradϕ, rotgradϕ. Řešení : Funkce ϕ,,z = +z z + je diferencovatelná v oblasti E. Pak ϕ gradϕ =, ϕ, ϕ = z, z, z rotgradϕ = z = z, z =, +, z z = 0 z, z Poznámka: Parciální derivace. řádu funkce ϕ jsou spojité v E. Příklad 11.Je dáno vektorové pole f = U,V,W =, z, div f, rot f, divrot f. Řešení : Vektorové pole f = U,V,W =, z, Df = {,,z] E : +z 0}. z =. Vpočítejte +z je definováno v množině +z Parciální derivace: U =, V =, W = +z U =, V = 0, W = 1 +z U = 0, V = z, W = +z divf = +0 +z, rot f 1 = +z +z; +z 0;, divrotf 1 = div +z +z; +z ; 1 = +z + 1 +z +0 = 0 Poznámka: Souřadnicové funkce U, V, W mají spojité parciální derivace. řádu v Df. 11. Necht v oblasti D E má skalární pole ϕ,,z spojité parciální derivace. řádu. Dokažte, že rotgradϕ = 0 v D Necht v oblasti D E má vektorové pole fu,v,w spojité parciální derivace. řádu. Dokažte, že divrot f = 0 v D. 17

6 Najděte diferenciál uvedeného řádu : Příklad 115.* z = sin+, d z =? Řešení : Diferenciál n-tého řádu d n f = d+ nf, d potom d z = d +d z z = d + z dd + z d = = 4sin+d 4sin+dd sin+d = = sin+d+d. Příklad 116.* z = +, d z =? Řešení : d z = z d + z d d + z dd + z d z =, z = +, z = 6, z = 6 +, z = 1, z = 6, z = 6, z = z = 0, d z = 6d 6d. Příklad 117.* u = e, d ua =?, d ua =?, d n ua =?, A = 0,0] Řešení : d ua = e d d A = d d, d ua = e d d A = d d, d n ua = e d d n A = d d n. Diferenciál lze použít v důležité Talorově větě : Necht f, je funkce n+1-krát diferencovatelná v každém vnitřním bodě obdélníka M se středem v bodě A = 0, 0 ]. Potom ke každému bodu,] M eistuje bod ξ,η] M takový, že f, = fa+dfa+ d fa! + + dn fa n! kde dfa = df 0, 0 = A 0+ A 0, +R n+1, d fa = f A 0 f + A f A 0,. d n fa = R n+1 = n k=0 n k 1 n+1! dn+1 fξ,η. n f k n ka 0 k 0 n k, Příklad118.*Napište Talorův rozvoj funkce f, = v okolí bodu A =, 1] a výsledek vužijte k výpočtu přibližné hodnot funkce f v bodě.1, 1.1]. 18

7 Řešení : fa = 16, d = 0 =, d = 0 = +1, f A = } +4 = 1 A = dza = 1d+5d = , f A = = 5 A f A = 6 = 1 A f A = 6+ = 10 = d za = 1d +1dd 10d = A = , f A = 6 = 6 A f A = 6 f A = 6 f A = f A = 0 = d za = 6d 18dd = , f, = , R 4 = 0, protože derivace 4. a vššího řádu jsou nulové f.1; 1.1 = = = = Příklad119.*Napište Talorův rozvoj čtvrtého stupně funkce f, = cos + v okolí bodu 0,0]. Řešení : Použijeme Talorův vzorec pro cosz =. 1 z + z4, do kterého dosadíme 4! z = + : cos + = ;! 4! T 4, = Najděte parciální derivace druhého řádu dané funkce : 10. φs,t = lns +t φ ss = st s s +t, φtt = 1 ] s s φst +t, = φts = s +t φ = 1 t 4 cos +sin, φ tt = t cos, φ t = φ t = t sin] 11. φ,t = cos t 1. f, = e a+b f = a e a+b, f = b e a+b, f = f = abe a+b] 1. Ověřte, že funkce u,t = sin ct a funkce u,t = sinωct sinω vhovují diferenciální rovnici u t = u c tzv. vlnová rovnice. 14. Ověřte, že funkce u, = e sin vhovuje diferenciální rovnici u + u = 0 Laplaceova rovnice. Rozložte funkci f, podle Talorov vět v okolí bodu A: 15.* f, = , A = 1, ] f, = ] 16.* f, = + +1, A =, 1] f, = ]

8 II.6. Gradient. Derivace ve směru Určete úhel mezi gradient daných funkcí v bodě A : Příklad 17. f,,z = +z, g,,z = sinz++ z 1, A = 1,1,0] Řešení : gradf =,, = 1, ln+z, = gradfa = 1,0,1 gradg = zcosz+1,1+ z 1,cosz = gradga = 1,1,0 Označme ϕ = gradfa,gradga. Potom cosϕ = gradfa gradga gradfa gradga = 1,0,1 1,1,0 = 1 = ϕ = π. Příklad 18. f, = arctg, g, =, A = 1,1] 1 1 Řešení : gradfa = fa =, 1, gradga =,1, cosϕ = gradfa gradga gradfa gradga = 1, 1 1,1 = = 4 10 ϕ = arccos. 10 Příklad19.Určete, ve kterých bodech z Df E je gradient funkce f,,z = + +z z roven nulovému vektoru. Řešení : gradf = z, z,z = 0,0,0 = z = 0 z = 0 z = 0 Je zřejmé, že jeden z bodů bude bod A 1 = 0,0,0]. Další spočítáme ze soustav : = z z = 0 = z = ±1 z z = 0 = = ±1 } = A = 1,1,1], A = 1,1, 1], A 4 = 1, 1,1], A 5 = 1, 1, 1]. Příklad10.Určete, ve kterých bodech z Df E má gradient funkce f, = + / velikost 9. Řešení : gradf, = +, + = = 9, = 81, + = 9 = + =. Hledané bod leží ted na kružnici se středem 0,0] a poloměrem. Vpočtěte derivaci funkce f ve směru s v bodě A : Příklad 11. f, = 4 + +, s =, 4, A = 1,] 0

9 Řešení : s A = gradfa s s, gradf = 8 +,+, gradfa = 10,1, s A = 10,1, 4 = = 5. Příklad1.f,,z = + z, A =,,4]; směr s je vektor AB, kde B =,4,]. Řešení : s = AB = 1,,, A s A =,4, z s 1,, = 6,8, 8 = s = =. Příklad1.Určete derivaci funkce z = +ln+ v bodě A =, ] ve směru tečn k parabole = 4. Uvažujte vektor svírající ostrý úhel s vektorem i. Řešení : Souřadnice směrového vektoru tečn získáme z její směrnice A s s =, = 1, k A = A = 1 = tgα = α = π 6, β α Nní si připravíme gradza = s = cosα,sinα = hledaná derivace bude s A = gradza s s = 91, 1, s = A 91 +, = + 15, , 4 15, 1 = 95 0., takže Příklad14.Určete v jakém směru je derivace funkce f, = + + v bodě A = 1,1] maimální a vpočítejte tuto derivaci. Řešení : Z obecné teorie víme, že derivace je maimální ve směru gradientu. gradfa = + 1, + A = 4, = s = 4,. s A = gradfa s s = Příklad15.Je dána funkce z = +, bod A = 1,], vektor s = 1,1. Určete a ve kterých bodech je funkce z diferencovatelná, b s A, c tečnou rovinu ke grafu funkce z v bodě T = 1,,?]. 1 1 Řešení : a z =, z = + + = {,] E : > }, = 5 = + > 0 = > 1

10 b 1 s A =, 1 1,1 = 1 4 4, c T = 1,,], τ : z = Příklad 16. Určete vektor s, v jehož směru je rchlost změn funkčních hodnot funkce f,,z = + +z z v bodě A = 1, 1,] maimální a tuto maimální rchlost vpočítejte. Řešení : Funkce maimálně roste, resp. klesá, ve směru s, resp. s, kde s = gradfa = 6, 6,6 = s o = s s = 1, 1,1, 1, 1,1 A = 6, 6,6 = 18 = 6 a s s A = 6. Příklad17.Určete, ve kterých bodech je gradient funkce f,,z = + +z z kolmý k ose. Řešení : i = 1,0,0jesměrovýmvektoremos, gradf = z, z,z, i gradf znamená i gradf = 0. Odtud z = 0 takže hledané bod leží na ploše = z. Příklad18.Určete úhel vektorů gradfa a gradga, kde f,,z = + +z, g,,z = z + +z, A =,4,0]. Řešení : gradfa = 1+ 1, + 1,z =, 9 4,0 A gradga = z + +z, z + +z, + + cosϕ =, 9 4,0 0,0,17, 9 4,0 0,0,17 = 0 = ϕ = π A = 0,0,17 = gradfa gradga Určete gradient daných funkcí 19. f, = 140. f, = sin + 1 gradf, + = 141. f, = ln f,,z = z +ln 15 1 gradf, = fu,v,t = t u +v gradfu,v,t = + 5, ] + 5 gradf, = cos + ], cos, + gradf,,z = tu u +v, ] + z, z + 1 ], tv ] u +v, u +v

11 Určete gradient daných funkcí v bodě A 144. f, = arccotg, A = 4,1] 145.,,z = z, A =,1,4] gradfa = 1 ] 5, 5 gradfa =,, 1 ] 146. f,,z = z + z 4 ], A = 1,, ] 10 gradfa =, 9 8, Ve kterých bodech je gradientem funkce f, = ln + 1 vektor 1, 16? 9 v bodech 1, ] a Ve kterém bodě je gradient funkce f,,z = + z z a kolmý k ose z; b rovnoběžný s osou z; c roven nulovému vektoru? 7, 4]] a v bodech rovin z = tj.,,] b v bodech přímk = 1, =, z = t, t R ] c 1,, 149. Nalezněte úhel ϕ gradientů funkce f, = arcsin 1, 0, v bodech A = 1,1],B =,4]. ϕ = arccos ] 5 Je dána funkce f,, bod A a vektor s. Určete, ve kterých bodech je funkce f diferencovatelná, spočítejte A a napište rovnici tečné rovin ke grafu funkce f s v bodě T = A, fa] : 150. f, = +, A = 1,0], s = 1, f, = + +, A = 1,0], s = 1, {,] E : 0}, E, ] s A = 0, + z = 0 s A = 8, + z 1 = Určete v jakém směru je derivace funkce f, = ln +, v bodě A =,0] maimální a vpočítejte tuto derivaci. s = gradfa = ] 0, 6, 9 s A = ] 15. Určete derivaci funkce f, = v bodě A =,] ve směru s, svírající s vektorem i úhel α = π. α = π je směrový úhel s A = 154.* Určete derivaci funkce f,,z = + z 5z v bodě A = 1,, 1] ve směru s, jehož směrové úhl jsou α = π,β = π 4,γ 0, π. 7 A = s ] ]

12 Příklad 155. Je dána funkce z = f, = 18 anapište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené množině M E n. Určete a načrtněte v E množinu D, ve které je daná funkce z = f, diferencovatelná. Zdůvodněte! burčete a načrtněte graf funkce z = 18. cvpočítejte derivaci funkce f v bodě A = 1, ] ve směru, který je určen vektorem s = AB, kde bod B = 0,0]. Popište chování funkce f v bodě A v daném směru funkce roste, resp. klesá, jak rchle odhad. d Napište rovnici tečné rovin a parametrické vjádření normál ke grafu funkce z = f, v bodě dotku T = 1,,?]. e Napište rovnice izokřivek tj. f, = k této funkce pro k = 0, k =. Izokřivk načrtněte. Řešení: 1 a f = 18, f 1 = > 0 D = {,] E : 18 > 0}, tj. vnitřek elips se středem v počátku, poloos: a =, b =, Zdůvodnění: v oblasti D má daná funkce spojité parciální derivace Promítnutí ploch do průmětn z D b z Grafem je horní polovina tj. z 0 elipsoidu + +z = 18, S = 0,0,0], a = c =, b = c gradfa = 1/,4/, s = 1,, s A = 5/5, daná funkce je v bodě A v daném směru rostoucí, směr tečn svírá se směrem s úhel asi 50 d A = 1, ] Df, T = 1,,?] leží na ploše z T = fa = Tečná rovina τ má rovnici z z 0 = A 0+ A 0, A = 1, A = 4 τ : z = , po úpravě na obecný tvar 4 +z = 18, 4

13 normála n :,,z] = 1,,]+t1, 4,, t R e Izokřivk jsou elips: + = 18 k + = 18hraniceDf,pro k=0, + = 9 prok =. k = k = 0 Příklad 156. Je dána funkce z = f, = 5. anapište a zdůvodněte, ve kterých bodech,] E je funkce z = f, diferencovatelná. Množinu těchto bodů načrtněte. bvpočítejte parciální derivace 1. řádu dané funkce v bodě A = 4,5]. Popište chování dané funkce v bodě A funkce roste, resp. klesá, v jakém směru a odhadněte, jak rchle. curčete směr s, ve kterém funkce f v bodě A nejrchleji klesá. Vpočítejte derivaci funkce f v bodě A v tomto směru s. d Napište diferenciál funkce f v bodě A = 4, 5]. Jeho užitím vpočítejte přibližnou hodnotu funkce f v bodě 4., 5.]. e Načrtněte graf funkce z = f,. Řešení : a Na množině D = {,] E : 5 > 0} má daná funkce spojité parciální derivace. D je vnitřek parabol s vrcholem v počátku a osou v ose b A = 4, daná funkce je v bodě A v kladném směru os rostoucí, a to pod úhlem asi 50 55, A = 5, daná funkce je v bodě A v kladném směru os klesající, 6 úhel mezi vektorem tečn a vektorem j je asi 40. c s = gradfa = 4/,5/6, gradfa gradfa A = = gradfa = 89/6 =. 1.6, s gradfa funkce je v bodě A ve směru vektoru s klesající a úhel mezi tečnou a vektorem s je asi 60 d dfa = 4 d 5 6 d, f4., 5. =. fa =.85. 5

14 e Graf je dolní polovina z 0 rotačního paraboloidu = +z /5, osa rotace je v ose. z z 157. a Určete a načrtněte v E oblasti, ve kterých je funkce z = ln 4 diferencovatelná a zdůvodněte. b Určete gradient této funkce f v bodě A =, 4]. Popište, co vpočtený vektor udává. Určete velikost derivace zadané funkce v bodě A ve směru gradientu. c Určete vektor s, v jehož směru je derivace dané funkce v bodě A nulová. Ověřte výpočtem. d Napište rovnice izokřivek této funkce pro k = 0 a pro k = ln4. ad 1 = {,] E ; < 0, < 4/}, D = {,] E ; > 0, > 4/},] bgradfa = 1, 1/ udává směr maimálního růstu dané funkce v bodě A, 9 5/10] c s gradfa = 0 s gradfa,např. s = 1/, 1, d = 5/, = 8/. ] 158. Jedánafunkcef, = +6+,bodA = 1,]asměr s =,. a Vpočítejte A. Je to směr maimálního růstu funkce f v bodě A? s b Určete všechn bod, v nichž je gradf, = 0. c Najděte bod dotku a rovnici tečné rovin τ ke grafu funkce f rovnoběžné s rovinou : 4+6 z + = 0. a ] s A = 11, NE b = 1/10, = /10, ct = 1,0,], 4+6 z 1 = 0. ] 159. Je dána funkce z = f, = sin. a Určete, kde je funkce diferencovatelná a vpočítejte f, f. b Napište rovnici tečné rovin ke grafu funkce f v bodě dotku 1, 1,?]. c Užitím diferenciálu vpočítejte přibližnou hodnotu funkce f v bodě 0.9, 1.1]. af = cos, f = sin cos ] b z =, cf0.9, 1.1. = 0.4.] 6