Elementární funkce. Edita Pelantová. únor FJFI, ČVUT v Praze. katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze
|
|
|
- Ludwik Brzozowski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Elementární funkce Edita Pelantová FJFI, ČVUT v Praze Seminář současné matematiky katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze únor 2013 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
2 Polynomiální aproximace K dispozici: konečný počet sčítání, odčítání, násobení a porovnání čísel. Přesně umíme vyčíslit polynomy p(x). Co ostatní funkce f (x)? c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
3 Polynomiální aproximace K dispozici: konečný počet sčítání, odčítání, násobení a porovnání čísel. Přesně umíme vyčíslit polynomy p(x). Co ostatní funkce f (x)? Taylorovy polynomy? c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
4 Polynomiální aproximace K dispozici: konečný počet sčítání, odčítání, násobení a porovnání čísel. Přesně umíme vyčíslit polynomy p(x). Co ostatní funkce f (x)? Taylorovy polynomy? Cílem aproximace polynomem na intervalu [a, b] minimalizovat maximální chybu max x [a,b] p(x) f (x) =: f p c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
5 Polynomiální aproximace K dispozici: konečný počet sčítání, odčítání, násobení a porovnání čísel. Přesně umíme vyčíslit polynomy p(x). Co ostatní funkce f (x)? Taylorovy polynomy? Cílem aproximace polynomem na intervalu [a, b] minimalizovat maximální chybu max x [a,b] p(x) f (x) =: f p Taylor je nejlepší aproximace v jiném smyslu. c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
6 Polynomiální aproximace K dispozici: konečný počet sčítání, odčítání, násobení a porovnání čísel. Přesně umíme vyčíslit polynomy p(x). Co ostatní funkce f (x)? Taylorovy polynomy? Cílem aproximace polynomem na intervalu [a, b] minimalizovat maximální chybu max x [a,b] p(x) f (x) =: f p Taylor je nejlepší aproximace v jiném smyslu. Věta (Weierstrass, 1885) Necht f je spojitá funkce. Pro každé ε > 0 existuje polynom p takový, že f p < ε c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
7 Klasické polynomy V prostoru polynomu P n hledáme polynom nejbližší k funkci f. Označení P n = reálné polynomu stupně n. c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
8 Klasické polynomy V prostoru polynomu P n hledáme polynom nejbližší k funkci f. Označení P n = reálné polynomu stupně n. skalární součin na prostoru spojitých funkcí na intervalu [a, b] Daná váha w : (a, b) R + f, g = b a f (x)g(x)w(x)d x c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
9 Klasické polynomy V prostoru polynomu P n hledáme polynom nejbližší k funkci f. Označení P n = reálné polynomu stupně n. skalární součin na prostoru spojitých funkcí na intervalu [a, b] Daná váha w : (a, b) R + f, g = b a f (x)g(x)w(x)d x Na intervalu [ 1, 1] Legendreovy polynomy: váha w(x) = 1 L n (x) := 1 2 n n! d n d x n [ (x 2 1) n] Čebyševovy polynomy: váha w(x) = 1 1 x 2 C n (x) := 1 cos(n arccos x) 2n 1 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
10 Aproximace e x do 2. stupně na intervalu [ 1, 1] c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
11 Aproximace e x do 2. stupně na intervalu [ 1, 1] L 0 (x) = 1, L 1 (x) = x, L 2 (x) = 3 2 x 2 1 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
12 Aproximace e x do 2. stupně na intervalu [ 1, 1] L 0 (x) = 1, L 1 (x) = x, L 2 (x) = 3 2 x 2 1 e x, L 0 = e e 1, e x, L 1 = 2e 1, e x, L 2 = e 7e 1 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
13 Aproximace e x do 2. stupně na intervalu [ 1, 1] L 0 (x) = 1, L 1 (x) = x, L 2 (x) = 3 2 x 2 1 e x, L 0 = e e 1, e x, L 1 = 2e 1, e x, L 2 = e 7e 1 L 0, L 0 = 2, L 1, L 1 = 2 3, L 2, L 2 = 2 3 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
14 Aproximace e x do 2. stupně na intervalu [ 1, 1] L 0 (x) = 1, L 1 (x) = x, L 2 (x) = 3 2 x 2 1 e x, L 0 = e e 1, e x, L 1 = 2e 1, e x, L 2 = e 7e 1 L 0, L 0 = 2, L 1, L 1 = 2 3, L 2, L 2 = 2 3 Aproximace pomocí Legendrea 15 4 (e 7 e )x e x e 3 4e x x c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
15 Aproximace e x do 2. stupně na intervalu [ 1, 1] L 0 (x) = 1, L 1 (x) = x, L 2 (x) = 3 2 x 2 1 e x, L 0 = e e 1, e x, L 1 = 2e 1, e x, L 2 = e 7e 1 L 0, L 0 = 2, L 1, L 1 = 2 3, L 2, L 2 = 2 3 Aproximace pomocí Legendrea 15 4 (e 7 e )x e x e 3 4e x x Aproximace pomocí Čebyševa x x c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
16 Porovnání kvality aproximace Max.Error = Max.Error = Max.Error = max p(x) x [ 1,1] ex = maximální chyba pro Taylora pro Legendrea pro Čebyševa c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
17 Porovnání kvality aproximace Max.Error = Max.Error = Max.Error = max p(x) x [ 1,1] ex = maximální chyba pro Taylora pro Legendrea pro Čebyševa Hledáme polynom p (x) stupně n tak, aby Jak hledat takové p? f p = min p P n f p c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
18 Nejlepší aproximace na intervalu Věta (Čebyšev) Polynom p stupně n je nejlepší aproximace funkce f na intervalu [a, b] právě tehdy, když existuje alespoň n + 2 bodů takových, že a x 0 < x 1 <... < x n < x n+1 b p (x i ) f (x i ) = ( 1) i [p (x 0 ) f (x 0 )] = ± f p c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
19 Nejlepší aproximace e x do 2. stupně na intervalu [ 1, 1] Hledáme polynom p (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 a body x 0 < x 1 < x 2 < x 3 tak, aby... Čebyševova věta c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
20 Nejlepší aproximace e x do 2. stupně na intervalu [ 1, 1] Hledáme polynom p (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 a body x 0 < x 1 < x 2 < x 3 tak, aby... Čebyševova věta x 0 = 1, x 3 = 1 (z konvexnosti funkce e x ) a derivace e x p (x) je nulová v bodech x 1 a x 2 (body extrému) a 0 a 1 + a 2 e 1 = +ɛ a 0 + a 1 x 1 + a 2 x1 2 ex 1 = ɛ a 0 + a 1 x 2 + a 2 x2 2 ex 2 = +ɛ a 0 + a 1 + a 2 e = ɛ a 1 + 2a 2 x 1 e x 1 = 0 a 1 + 2a 2 x 2 e x 2 = 0 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
21 Nejlepší aproximace e x do 2. stupně na intervalu [ 1, 1] Nejlepší aproximace, chyba =0.045 p (x) = x x c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
22 Nejlepší aproximace e x do 2. stupně na intervalu [ 1, 1] Nejlepší aproximace, chyba =0.045 p (x) = x x Aproximace pomocí Legendrea, chyba = p(x) = x x Aproximace pomocí Čebyševa, chyba =0.050 p(x) = x x Aproximace pomocí Taylora, chyba =0.218 p(x) = 0.5x 2 + x + 1 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
23 Racionální aproximace Když máme k dispozici přesné dělení, c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
24 Racionální aproximace Když máme k dispozici přesné dělení, vhodné racionální aproximace r(x) = p(x) q(x), kde p(x), q(x) jsou polynomy c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
25 Racionální aproximace Když máme k dispozici přesné dělení, vhodné racionální aproximace r(x) = p(x) q(x), kde p(x), q(x) jsou polynomy Věta (Čebyšev) Ireducibilní racionální funkce r (x) = p(x) q(x) je nejlepší aproximaci funkce f na [a, b] mezi racionálními funkcemi z R n,m právě tehdy, když existuje alespoň k = 2 + max{m + deg(p), n + deg(q)} bodů a x 0 < x 1 <... < x k 1 b takových, že r (x i ) f (x i ) = ( 1) i [r (x 0 ) f (x 0 )] = ± f r vhodné na vysoce nepolynomiální funkce (limity ± v konečných bodech, nekonečné derivace... ) c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
26 Aproximace funkce tg na intervalu [ π 4, π 4 ] Nejlepší aproximace polynomem z P 13 chyba = , vyčíslujeme 14 operací p (x) = x x x x x x 13 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
27 Aproximace funkce tg na intervalu [ π 4, π 4 ] Nejlepší aproximace polynomem z P 13 chyba = , vyčíslujeme 14 operací p (x) = x x x x x x 13 Nejlepší aproximace mezi R 3,4 chyba = , vyčíslujeme 8 operací r (x) = x x x x 4 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
28 Tabulkové aproximace Interval, na kterém chceme funkci počítat, rozděĺıme na menší intervaly a na každém počítame funkci pomocí jiné aproximace. Interval Stupeň Chyba [0, π 4 ] [0, π 4 ] [0, π 4 ] [0, π 8 ] ( π 8, π 4 ] [0, π 16 ] ( π 16, π 8 ] ( π 8, 3π 16 ] ( 3π 16, π 4 ] c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
29 Tabulkové aproximace Interval, na kterém chceme funkci počítat, rozděĺıme na menší intervaly a na každém počítame funkci pomocí jiné aproximace. Interval Stupeň Chyba [0, π 4 ] [0, π 4 ] [0, π 4 ] [0, π 8 ] ( π 8, π 4 ] [0, π 16 ] ( π 16, π 8 ] ( π 8, 3π 16 ] ( 3π 16, π 4 ] Pozor! Norma vyžaduje monotonii sin c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
30 Tabulkové aproximace Obecně: čím menší interval, na kterém aproximujeme polynomem, tím lepší přesnost. Uvažujme interval [0, a] a arctan x, deg. 10 e x, deg.4 ln(1 + x), deg c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
31 Tabulkové aproximace funkce sin x na [0, π 4 ] v tabulce uloženy velice přesné hodnoty sin c j a cos c j, kde c j = j 16 pro j = 0, 1,..., 14 k dispozici je dobrá polynomiální aproximace sin x a cos x na [0, 1 32 ] Algoritmus (Tangova metoda 1991) 1 Pro x [0, π 4 ] nalezni nejbližší c j a polož r = x c j. 2 Spočítej sin r a cos r pomocí polynomiální aproximace. 3 Spočítej sin x = sin c j cos r + cos c j sin r. c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
32 Shift and Add algoritmy Když x = d i ln(1 + 2 i ), kde d i {0, 1}, pak i=0 ( ) exp x = exp d i ln(1 + 2 i ) i=0 = (1 + 2 i ) d i i=0 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
33 Shift and Add algoritmy Když x = d i ln(1 + 2 i ), kde d i {0, 1}, pak výpočet e x i=0 ( ) exp x = exp d i ln(1 + 2 i ) i=0 = (1 + 2 i ) d i i=0 E 0 := 1, E n = E n 1 (1 + d n 2 n ) = E n 1 + d n 2 n E n 1 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
34 Shift and Add algoritmy Když x = d i ln(1 + 2 i ), kde d i {0, 1}, pak výpočet e x i=0 ( ) exp x = exp d i ln(1 + 2 i ) i=0 = (1 + 2 i ) d i i=0 E 0 := 1, E n = E n 1 (1 + d n 2 n ) = E n 1 + d n 2 n E n 1 Kvůli odhadu chyby: exp x E n Pro x [0, ln 2] ( = exp i=n+1 0 e x E n = ) ( d i ln(1 + 2 i ) < exp i=n+1 2 i) = exp( 1 2 n ) ( 1 E n e x ) e x < 2 ( 1 e 1 2 n ) 1 2 n 1 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
35 Rozvoje čísla do nekonečných řad Věta Necht (w n ) je klesající posloupnost kladných čísel taková, že w n je konvergentní a w n k=n+1 n=1 w k. Pak pro každé x [0, w n ] posloupnosti (t n ) a (d n ) definované jako { 1 když tn + w t 0 = 0, t n+1 = t n + d n w n, d n = n x 0 jinak n=1 splňují x = lim t n = lim n n n d k w k k=1 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
36 Rozvoj do řady d n ln(1 + 2 n ) Tabelovány hodnoty w n = ln(1 + 2 n ) pro n = 1, 2, 3,... Algoritmus: vstup x a požadovaná přesnost N polož t 0 = 0 a pro n = 1, 2,..., N dělej { t n+1 = t n + d n ln(1 + 2 n 1 když tn + ln(1 + 2 ), d n = n ) x 0 jinak ln(1 + 2 n ) > 1, proto algoritmus funguje pro x [0, 1] Pozor! Porovnání je časově náročné u dlouhých čísel! c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
37 Posun proměnné do vhodného intervalu Co velká x? Algoritmus: vstup x 1 Najdi k N tak, aby y = x k ln 2 [0, ln 2] 2 Spočítej předchozí metodou e y 3 Polož e x = e y+k ln 2 = 2 k e y (tedy posuň binární tečku v e y o k míst) c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
38 Algoritmus CORDIC pro sin a cos Rozvoj θ = n=0 d n arctan 2 n, kde d n = ±1. Tabelováno arctan 2 n c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
39 Algoritmus CORDIC pro sin a cos Rozvoj θ = n=0 d n arctan 2 n, kde d n = ±1. Tabelováno arctan 2 n vstup: z 0 := θ, x 0 := 1, y 0 := 0 x n+1 := x n d n y n 2 n y n+1 := y n + d n x n 2 n z n+1 := z n d n arctan 2 n d n+1 := sign z n+1 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
40 Algoritmus CORDIC pro sin a cos Rozvoj θ = n=0 d n arctan 2 n, kde d n = ±1. Tabelováno arctan 2 n vstup: z 0 := θ, x 0 := 1, y 0 := 0 x n+1 := x n d n y n 2 n y n+1 := y n + d n x n 2 n z n+1 := z n d n arctan 2 n d n+1 := sign z n+1 Věta: Položme K = n= n = Pak lim x n = K cos θ a lim y n = K sin θ a lim z n = 0 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
41 Algoritmus CORDIC pro sin a cos Rozvoj θ = n=0 d n arctan 2 n, kde d n = ±1. Tabelováno arctan 2 n vstup: z 0 := θ, x 0 := 1, y 0 := 0 x n+1 := x n d n y n 2 n y n+1 := y n + d n x n 2 n z n+1 := z n d n arctan 2 n d n+1 := sign z n+1 Věta: Položme K = n= n = Pak lim x n = K cos θ a lim y n = K sin θ a lim z n = 0 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
42 Další problémy k řešení Posun proměnné do vhodného intervalu Range reduction přesné vyčíslování polynomu (Hornerovo schema, Knuthova metoda) Zaokrouhlování k nejbližšímu machine number. c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
43 Další problémy k řešení Posun proměnné do vhodného intervalu Range reduction přesné vyčíslování polynomu (Hornerovo schema, Knuthova metoda) Zaokrouhlování k nejbližšímu machine number. Paradoxy: podle normy IEEE-754 single precision arithmetic, nejbližší machine number k π 2 je l = = > π 2 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
44 Další problémy k řešení Posun proměnné do vhodného intervalu Range reduction přesné vyčíslování polynomu (Hornerovo schema, Knuthova metoda) Zaokrouhlování k nejbližšímu machine number. Paradoxy: podle normy IEEE-754 single precision arithmetic, nejbližší machine number k π 2 je l = = > π 2 pro x , tan(arctan x) = = tan(l) c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
45 Další problémy k řešení Posun proměnné do vhodného intervalu Range reduction přesné vyčíslování polynomu (Hornerovo schema, Knuthova metoda) Zaokrouhlování k nejbližšímu machine number. Paradoxy: podle normy IEEE-754 single precision arithmetic, nejbližší machine number k π 2 je l = = > π 2 pro x , tan(arctan x) = = tan(l) Programy Maple, Mathematica, Mathlab, Sage: Práce v tělesech Q[β], kde β kořen polynomu s racionálními koeficienty. Do této kategorie patří všechny úlohy s vlastními čísly a vektory racionálních matic. c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor / 19
Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18
Komplexní analýza Mocninné řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18 Posloupnosti komplexních čísel opakování
Edita Pelantová, katedra matematiky / 16
Edita Pelantová, katedra matematiky seminář současné matematiky, září 2010 Axiomy reálných čísel Axiomy tělesa Axiom 1. x + y = y + x a xy = yx (komutativní zákon). Axiom 2. x + (y + z) = (x + y) + z a
Aproximace funkcí 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885. Body proložíme lomenou čarou.
Příklad Známe následující hodnoty funkce Φ: u Φ(u) 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885 Odhadněte přibližně hodnoty Φ(1,02) a Φ(1,16). Možnosti: Vezmeme hodnotu v nejbližším bodě. Body proložíme lomenou čarou.
Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f(b) f(a) b a. Geometricky
Monotónie a extrémy funkce Diferenciální počet - průběh funkce Věta o střední hodnotě (Lagrange) Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f (ξ)
MATEMATIKA 3. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATIKA 3 Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Osnova: Komplexní funkce - definice, posloupnosti, řady Vybrané komplexní funkce
5. a 12. prosince 2018
Integrální počet Neurčitý integrál Seminář 9, 0 5. a. prosince 08 Neurčitý integrál Definice. Necht funkce f (x) je definovaná na intervalu I. Funkce F (x) se nazývá primitivní k funkci f (x) na I, jestliže
(1) Derivace. Kristýna Kuncová. Matematika B2 17/18. Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35
(1) Derivace Kristýna Kuncová Matematika B2 17/18 Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35 Růst populací Zdroj : https://www.tes.com/lessons/ yjzt-cmnwtvsq/noah-s-ark Kristýna Kuncová (1) Derivace 2 / 35 Růst
Výzvy, které před matematiku staví
1 / 21 Výzvy, které před matematiku staví výpočetní technika Edita Pelantová Katedra matematiky, FJFI, České vysoké učení technické v Praze 25. pledna 2018 Praha Zápisy čísel v minulosti 2 / 21 Římský
Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19
(6) Určitý integrál Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 1 / 28 Newtonův integrál Zdroj: https://kwcalculus.wikispaces.com/integral+applications Kristýna Kuncová (6)
Funkce zadané implicitně. 4. března 2019
Funkce zadané implicitně 4. března 2019 Parciální derivace druhého řádu Parciální derivace druhého řádu funkce z = f (x, y) jsou definovány: Parciální derivace 2 f 2 = ( ) f 2 f 2 = ( ) f 2 f a 2 f 2 f
Vybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2018-2019 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 1 / 11 Křivkový integrál Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 2 / 11 Parametricky zadaná křivka v R 3 :
x2 + 2x 15 x 2 + 4x ) f(x) = x 2 + 2x 15 x2 + x 12 3) f(x) = x 3 + 3x 2 10x. x 3 + 3x 2 10x x 2 + x 12 10) f(x) = log 2.
Příklady k 1 zápočtové písemce Definiční obor funkce Určete definiční obor funkce: x + x 15 1 f(x x + x 1 ( x + x 1 f(x log x + x 15 x + x 1 3 f(x x 3 + 3x 10x ( x 3 + 3x 10x f(x log x + x 1 x3 + 5x 5
Co nám prozradí derivace? 21. listopadu 2018
Co nám prozradí derivace? Seminář sedmý 21. listopadu 2018 Derivace základních funkcí Tečna a normála Tečna ke grafu funkce f v bodě dotyku T = [x 0, f (x 0 )]: y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Normála: y
(13) Fourierovy řady
(13) Fourierovy řady Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (13) Fourierovy řady 1 / 22 O sinech a kosinech Lemma (O sinech a kosinech) Pro m, n N 0 : 2π 0 2π 0 2π 0 sin nx dx = sin nx cos mx
Kristýna Kuncová. Matematika B3
(10) Vícerozměrný integrál II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 1 / 30 Transformace Otázka Jaký obrázek znázorňuje čtverec vpravo po transformaci u = x + y a
Kristýna Kuncová. Matematika B2
(3) Průběh funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 1 / 26 Monotonie (x 2 ) = 2x (sin x) = cos x Jak souvisí derivace funkce a fakt, zda je funkce rostoucí nebo klesající?
Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19. Kristýna Kuncová (1) Vzorové otázky 1 / 36
(1) Vzorové otázky Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (1) Vzorové otázky 1 / 36 Limity - úlohy Otázka Určete lim x 0 f (x) A -3 B 0 C 5 D 7 E D Zdroj: Calculus: Single and Multivariable,
Určitý (Riemannův) integrál a aplikace. Nevlastní integrál. 19. prosince 2018
Určitý (Riemnnův) integrál plikce. Nevlstní integrál Seminář 9. prosince 28 Určitý integrál Existence: Necht funkce f (x) je definovná n uzvřeném intervlu, b. Necht je splněn n tomto intervlu kterákoliv
Obsah. Petr Hasil. (konjunkce) (disjunkce) A B (implikace) A je dostačující podmínka pro B; B je nutná podmínka pro A A B: (A B) (B A) A (negace)
Množiny, číselné obory, funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 Obsah Množinové operace Operace s funkcemi Definice
Matematika 2, vzorová písemka 1
Matematika 2, vzorová písemka Pavel Kreml 9.5.20 Přesun mezi obrazovkami Další snímek: nebo Enter. Zpět: nebo Shift + Enter 2 3 4 Doporučení Pokuste se vyřešit zadané úlohy samostatně. Pokud nebudete vědět
Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1 řádu Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter
Matematika (KMI/PMATE)
Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam (smysl) koeficientů lineární
kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův)
TÉMA 7: Pružný poloprostor, modely podloží pružný poloprostor základní předpoklady pružný poloprostor Boussinesqueovo řešení kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův) 1 Pružný poloprostor (1) vychází z
Obsah. Limita posloupnosti a funkce. Petr Hasil. Limita posloupnosti. Pro a R definujeme: Je-li a < 0, pak a =, a ( ) =. vlastní body.
Obsah a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I Úvod 2 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 2 / 90 Úvod Úvod Pro a R definujeme:
Numerické metody minimalizace
Numerické metody minimalizace Než vám klesnou víčka - Stříbrnice 2011 12.2. 16.2.2011 Emu (Brkos 2011) Numerické metody minimalizace 12.2. 16.2.2011 1 / 19 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Princip minimalizace
Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187
Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými
Numerické metody 8. května FJFI ČVUT v Praze
Obyčejné diferenciální rovnice Numerické metody 8. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Základní metody Pokročilejší metody Soustava Vyšší řád Program 1 Úvod Úvod - Úloha Základní úloha, kterou řešíme
1 Definice. A B A B vlastní podmnožina. 4. Relace R mezi množinami A a B libovolná R A B. Je-li A = B relace na A
1 Definice 1. Množiny: podmnožina: A B x(x A x B) průnik: A B = {x A x B} sjednocení: A B = {x x A x B} rozdíl: A B = {x A x B} A B A B vlastní podmnožina 2. uspořádaná dvojice: (x, y) = {{x}, {x, y}}
Úvodní informace. 18. února 2019
Úvodní informace Funkce více proměnných Cvičení první 18. února 2019 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Úvodní informace. Komunikace: e-mail: olga@majling.eu nebo olga.majlingova@fs.cvut.cz
Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 24. z aˇr ı 2013 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 24. z aˇr ı / 52
í150doc-start í251doc-start Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 24. září 2013 1 / 52 Matematika 1 Jiří Fišer 24. září 2013 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 24. září 2013 1 / 52 Zimní semestr
Matematická analýza II pro kombinované studium. Konzultace první a druhá. RNDr. Libuše Samková, Ph.D. pf.jcu.cz
Učební texty ke konzultacím předmětu Matematická analýza II pro kombinované studium Konzultace první a druhá RNDr. Libuše Samková, Ph.D. e-mail: lsamkova@ pf.jcu.cz webová stránka: home.pf.jcu.cz/ lsamkova/
1 Derivace funkce a monotonie
MA 10. cvičení intervaly monotonie a lokální extrémy Lukáš Pospíšil,2012 1 Derivace funkce a monotonie Jelikož derivace funkce v daném bodě je de-facto směrnice tečny (tangens úhlu, který svírá tečna s
(2) Funkce. Kristýna Kuncová. Matematika B2. Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25
(2) Funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25 Sudá a lichá funkce Určete, které funkce jsou sudé a které liché: liché: A, D, E sudé: B Kristýna Kuncová (2) Funkce 2 / 25
TGH01 - Algoritmizace
TGH01 - Algoritmizace Jan Březina Technical University of Liberec 28. února 2017 Co je to algoritmus? Porovnávání algoritmů Porovnávání algoritmů Co je to algoritmus? Který algoritmus je lepší? Záleží
Operace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument)
![Operace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument)](/thumbs/95/126221157.jpg "Operace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument)")
KAPITOLA : Funkce - úvod [MA-8:P.] reálná funkce (jedné) reálné proměnné... f : A R...... zobrazení množin A R do množin reálných čísel R funkční hodnota... = f() ( argument) ( tj. reálná funkce f : A
Numerické metody a statistika
Numerické metody a statistika Radek Kučera VŠB-TU Ostrava 2016-2017 ( ) Numerické metody a statistika 2016-2017 1 / 17 Číslo předmětu: 714-0781/02 Rozsah: 2+2 Hodnocení: 6 kreditů Přednáší: Radek Kučera
1 Soustava lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Soustava lineárních rovnic 2 Řešitelnost soustavy lineárních rovnic 3 Gaussova eliminační metoda 4 Jordanova eliminační
Linea rnı (ne)za vislost
[1] Lineární (ne)závislost Skupiny, resp. množiny, vektorů mohou být lineárně závislé nebo lineárně nezávislé... a) zavislost, 3, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010,
Inverzní Z-transformace
Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 9. přednáška 11MSP úterý 16. dubna 2019 verze: 2019-04-15 12:25
Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text
Stochastické modelování v ekonomii a financích Konzistence odhadu LWS. konzistence OLS odhadu. Předpoklady pro konzistenci LWS
Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě Stochastické modelování v ekonomii a financích 7. 12. 2009 Obsah Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě 1 Whitův 2 pro 3 heteroskedasticitě
Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více
5 Diferenciální počet funkcí více proměnných Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více proměnných, především budeme pracovat s funkcemi dvou proměnných Ukážeme
Sb ırka pˇr ıklad u z matematick e anal yzy II Petr Tomiczek
Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah 0 Diferenciální rovnice. řádu 0. Separace proměnných Příklad : Najděte obecné řešení (obecný integrál) diferenciální rovnice y = tg x tg y.
podle přednášky doc. Eduarda Fuchse 16. prosince 2010
Jak souvisí plochá dráha a konečná geometrie? L ubomíra Balková podle přednášky doc. Eduarda Fuchse Trendy současné matematiky 16. prosince 2010 (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince 2010
TGH01 - Algoritmizace
TGH01 - Algoritmizace Jan Březina Technical University of Liberec 31. března 2015 Metainformace materiály: jan.brezina.matfyz.cz/vyuka/tgh (./materialy/crls8.pdf - Introduction to algorithms) SPOX: tgh.spox.spoj.pl
Lineární algebra - iterační metody
Lineární algebra - iterační metody Numerické metody 7. dubna 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Rozdělení Metody Zastavení SOR Programy 1 Úvod Úvod - LAR Mějme základní úlohu A x = b, (1) kde A R n,n je
(a). Pak f. (a) pro i j a 2 f
Připomeň: 1. Necht K R n. Pak 1. Funkce více proměnných II 1.1. Parciální derivace vyšších řádů K je kompaktní K je omezená a uzavřená. 2. Necht K R n je kompaktní a f : K R je spojitá. Pak f nabývá na
Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici
Řešení ODR v MATLABu Přednáška 3 15. října 2018 Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 Víme, že v intervalu a, b existuje jediné řešení. (f (x, y) a f y jsou spojité
Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta. Ukázky aplikací matematiky
Lineární a nelineární problémy v geometrickém modelování Zbyněk Šír Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta Ukázky aplikací matematiky Zbyněk Šír (MÚ UK) - Lineární a nelineární problémy v geometrickém
Metody, s nimiž se seznámíme v této kapitole, lze použít pro libovolnou
2. Řešení nelineárních rovnic Průvodce studiem Budeme se zabývat výpočtem reálných kořenů nelineární rovnice f(x) =0, (2.0.1) kde f je v jistém smyslu rozumná reálná funkce. Pro některé funkce (kvadratické,
Univerzita Palackého v Olomouci
Počítačová grafika - 5. cvičení Radek Janoštík Univerzita Palackého v Olomouci 22.10.2018 Radek Janoštík (Univerzita Palackého v Olomouci) Počítačová grafika - 5. cvičení 22.10.2018 1 / 10 Reakce na úkoly
DFT. verze:
Výpočet spektra signálu pomocí DFT kacmarp@fel.cvut.cz verze: 009093 Úvod Signály můžeme rozdělit na signály spojité v čase nebo diskrétní v čase. Další možné dělení je na signály periodické nebo signály
Geometrická nelinearita: úvod
Geometrická nelinearita: úvod Opakování: stabilita prutů Eulerovo řešení s využitím teorie 2. řádu) Stabilita prutů Ritzovou metodou Stabilita tenkých desek 1 Geometrická nelinearita Velké deformace průhyby,
Numerické metody KI/NME. Doc. RNDr. Jiří Felcman, CSc. RNDr. Petr Kubera, Ph.D.
Numerické metody KI/NME Doc. RNDr. Jiří Felcman, CSc. RNDr. Petr Kubera, Ph.D. RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. Ústí nad Labem 2016 Kurz: Obor: Klíčová slova: Anotace: Numerické metody Informační systémy, Informatika
MATEMATIKA 1 ALEŠ NEKVINDA. + + pokud x < 0; x. Supremum a infimum množiny.
MATEMATIKA ALEŠ NEKVINDA DIFERENCIÁLNÍ POČET Přednáška Označíme jako na střední škole N, Z, Q, R a C postupně množinu přirozených, celých, racionálních, reálných a komplexních čísel R = R { } { } Platí:
7. Aplikace derivace
7. Aplikace derivace 7A. Taylorův polynom 7. Aplikace derivace Verze 20. července 207 Derivace funkce se využívá při řešení úloh technické prae i teorie. Uvedeme několik z nich: vyčíslení hodnot funkce,
Obsah. 1.2 Integrály typu ( ) R x, s αx+β
Sbírka úloh z matematické analýzy. Čížek Jiří Kubr Milan. prosince 006 Obsah Neurčitý integrál.. Základní integrály...................................... Integrály typu ) R, s α+β γ+δ d...........................
Kapitola 2. Nelineární rovnice
Kapitola. Nelineární rovnice Formulace: Je dána funkce f : R! R definovaná na intervalu ha; bi. Hledáme x ha; bi tak, aby f(x) = 0. (x... kořen rovnice) Poznámka: Najít přesné řešení analyticky je možné
Katedra kybernetiky skupina Inteligentní Datové Analýzy (IDA) Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Vytěžování dat Filip Železný Katedra kybernetiky skupina Inteligentní Datové Analýzy (IDA) Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Filip Železný (ČVUT) Vytěžování dat 1 / 26
Teorie. kuncova/ Definice 1. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže existuje.
8. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Definice. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže eistuje h 0 fa + h) fa), h pak tuto itu nazýváme derivací funkce f v bodě
Logika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
Petr Beremlijski, Marie Sadowská
Počítačová cvičení Petr Beremlijski, Marie Sadowská Katedra aplikované matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB - Technická univerzita Ostrava Cvičení : Matlab nástroj pro matematické modelování
Stavový popis Stabilita spojitých systémů (K611MSAP) Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT. čtvrtek 20. dubna 2006
Modelování systémů a procesů (K611MSAP) Přednáška 4 Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT Pravidelná přednáška K611MSAP čtvrtek 20. dubna 2006 Obsah 1 Laplaceova transformace Přenosová funkce
Matematika III Stechiometrie stručný
Matematika III Stechiometrie stručný matematický úvod Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík Ústav matematiky Přednášky LS 2015-2016 Obsah 1 Zápis chemické reakce 2 umožňuje jednotný přístup
x y (A)dy. a) Určete a načrtněte oblasti, ve kterých je funkce diferencovatelná. b) Napište diferenciál funkce v bodě A = [x 0, y 0 ].
![x y (A)dy. a) Určete a načrtněte oblasti, ve kterých je funkce diferencovatelná. b) Napište diferenciál funkce v bodě A = [x 0, y 0 ].](/thumbs/94/121813288.jpg "x y (A)dy. a) Určete a načrtněte oblasti, ve kterých je funkce diferencovatelná. b) Napište diferenciál funkce v bodě A = [x 0, y 0 ].")
II.4. Totální diferenciál a tečná rovina Značení pro funkci z = f,: totální diferenciál funkce f v bodě A = 0, 0 ]: dfa = A 0+ A 0 Označme d = 0, d = 0. Pak dfa = A d+ A d Příklad91.Je dána funkce f, =.
MATEMATIKA 3 NUMERICKÉ METODY. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATIKA 3 NUMERICKÉ METODY Dana Černá http://kmd.fp.tul.cz Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci INFORMACE O PŘEDMĚTU Konzultační hodiny: ÚT 11:00-12:00, budova G,
Poznámky z matematiky
Poznámky z matematiky Verze: 6. října 04 Petr Hasil hasil@mendelu.cz http://user.mendelu.cz/hasil/ Ústav matematiky Lesnická a dřevařská fakulta Mendelova univerzita v Brně Vytvořeno s podporou projektu
Energetické principy a variační metody ve stavební mechanice
Energetické principy a variační metody ve stavební mechanice Přetvárná práce vnějších sil Přetvárná práce vnitřních sil Potenciální energie Lagrangeův princip Variační metody Ritzova metoda 1 Přetvárná
Matematika prˇedna sˇka Lenka Prˇibylova 7. u nora 2007 c Lenka Prˇibylova, 200 7
Matematika přednáška Lenka Přibylová 7. února 2007 Obsah Základy matematické logiky 9 Základní množinové pojmy 13 Množina reálných čísel a její podmnožiny 16 Funkce 18 Složená funkce 20 Vlastnosti funkcí
Okrajový problém podmínky nejsou zadány v jednom bodu nejčastěji jsou podmínky zadány ve 2 bodech na okrajích, ale mohou být
Obyčejné diferenciální rovnice 1 Úvod Obyčejnou diferenciální rovnici N-tého řádu f ( x,y,y,y,...,y (N)) = g(x) převádíme na soustavu N diferenciálních rovnic 1. řádu. Provedeme substituce y z 1 y z 2...
GEM a soustavy lineárních rovnic, část 2
GEM a soustavy lineárních rovnic, část Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část / Minulá přednáška Gaussova
Obsah. 1 Konstrukce (definice) Riemannova integrálu Výpočet Newtonova Leibnizova věta Aplikace výpočet objemů a obsahů 30
Určitý integrál Robert Mřík 6. září 8 Obsh 1 Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. Výpočet Newtonov Leibnizov vět. 18 3 Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo 19 4 Aplikce výpočet objemů obshů 3 c Robert
(4) (b) m. (c) (d) sin α cos α = sin 2 k = sin k sin k. cos 2 m = cos m cos m. (g) (e)(f) sin 2 x + cos 2 x = 1. (h) (f) (i)
(3) (e) sin( θ) sin θ cos( θ) cos θ sin(θ + π/) cos θ cos(θ + π/) sin θ sin(θ π/) cos θ cos(θ π/) sin θ sin(θ ± π) sin θ cos(θ ± π) cos θ sin(θ ± π) sin θ cos(θ ± π) cos θ (f) cos x cos y (g) sin x sin
Nekomutativní Gröbnerovy báze
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Zuzana Požárková Nekomutativní Gröbnerovy báze Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: RNDr. Jan Št ovíček, Ph.D. Studijní
Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32
Komplexní analýza Úvod Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32 Základní informace Stránky předmětu: http://math.feld.cvut.cz/bohata/kan.html
Robotika. Kinematika 13. dubna 2017 Ing. František Burian Ph.D.
Robotika Kinematika 13. dubna 2017 Ing. František Burian Ph.D., Řízení stacionárních robotů P P z q = f 1 (P) q z Pøímá úloha q U ROBOT q P R q = h(u) P = f (q) DH: Denavit-Hartenberg (4DOF/kloub) A i
Stabilita proudění. Matematický ústav, Univerzita Karlova. 7. května 2015
Stabilita proudění Vít Průša prusv@karlin.mff.cuni.cz Matematický ústav, Univerzita Karlova 7. května 2015 Vít Průša (Univerzita Karlova) Stabilita proudění 7. května 2015 1 / 30 Obsah 1 Úvod Stabilita
Funkce více proměnných: limita, spojitost, derivace
Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, derivace Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 22. 9. 2014 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Zobrazení a funkce více
Algebra I Cvičení. Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se
Algebra I Cvičení Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se kterými jsem při přípravě cvičení spolupracoval. Sbírka vznikla modifikací některých
Chyby, podmíněnost a stabilita
Chyby, podmíněnost a stabilita Numerické metody 4. března 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Čísla v počítači Chyby Citlivost Stabilita 1 Čísla v počítači Čísla v počítači - Celá čísla jméno bity rozsah typy
ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Matematika I (KMI/PMATE) Co se naučíme? x = a a x = b. rozumět pojmu střední hodnota funkce na daném intervalu. Obrázek 1.
Mtemtik I (KMI/PMATE). Integrální počet funkcí jedné proměnné.. Co se nučíme? Po sérii přednášek věnovných integrálům byste měli být schopni: rozumět definici pojmu neurčitý integrál používt metodu přímé
Matematická analýza 2. Kubr Milan
Matematická analýza. Kubr Milan. února 008 Obsah Vektorové funkce jedné reálné proměnné. 3. Základní pojmy...................................... 3. Křivky v R n........................................
ROBUST January 19, Zdeněk Fabián Ústav informatiky AVČR Praha
ROBUST 2014 Zdeněk Fabián Ústav informatiky AVČR Praha January 19, 2014 Starověk x 1,..., x n data průměry Starověk x 1,..., x n data průměry aritm., geom., harm. Novověk Model F a skórová funkce Ψ F inferenční
Laplaceova transformace
Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 5. přednáška 11MSP 219 verze: 219-3-17
1 Dedekindovy řezy (30 bodů)
Pokročilá matematická analýza úlohy pro zimní semestr Dedekindovy řezy ( bodů) V této úloze se pokusíme seznámit s Dedekindovými řezy, pomocí nichž zavedeme reálná čísla. Tuto konstrukci vymyslel a publikoval
Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je. Nejprve shrneme pojmy a fakta, které znáte ze střední školy.
1 Kapitola 1 Množiny 1.1 Základní množinové pojmy Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je souhrn, nebo soubor navzájem rozlišitelných objektů, kterým říkáme prvky. Pro známé množiny
Matematická analýza pro učitele (text je v pracovní verzi)
Matematická analýza pro učitele (text je v pracovní verzi) Martina Šimůnková 6. června 208 2 Obsah Úvod 7. Co je to funkce.......................... 7.2 Co budeme na funkcích zkoumat................. 9.2.
Obsah. Aplikovaná matematika I. Vlivem meze Vlivem funkce Bernhard Riemann. Mendelu Brno. 3 Vlastnosti určitého integrálu
Určitý integrál Aplikovná mtemtik I Dn Říhová Mendelu Brno Obsh Zákldní úloh integrálního počtu Definice určitého integrálu 3 Vlstnosti určitého integrálu 4 Výpočet určitého integrálu 5 Geometrické plikce
Speciální funkce, Fourierovy řady a Fourierova transformace
1 Speciální funkce, Fourierovy řady a Fourierova transformace Při studiu mnoha přírodních jevů se setkáváme s veličinami, které jsou všude nulové s výjimkou malého časového intervalu I, ale jejich celková
FAKULTA STAVEBNÍ JOSEF DALÍK NUMERICKÉ METODY II
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JOSEF DALÍK NUMERICKÉ METODY II STUDIJNÍ MATERIÁL Tento studijní materiál byl zpracován s podporou projektu OPVK ESF Rozvoj a modernizace doktorského studijního
Lineární algebra II, přednáška Mgr. Milana Hladíka, Ph.D.
Lineární algebra II, přednáška Mgr. Milana Hladíka, Ph.D. Poznámky sepsal Robert Husák Letní semestr 29/21 Obsah 1 Permutace 1 2 Determinant 3 3 Polynomy 7 4 Vlastní čísla 9 5 Positivně definitní matice
Kombinatorika a grafy I
Kombinatorika a grafy I Martin Balko 1. přednáška 19. února 2019 Základní informace Základní informace úvodní kurs, kde jsou probrány základy kombinatoriky a teorie grafů ( pokračování diskrétní matematiky
1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
FAKULTA STAVEBNÍ NUMERICKÉ METODY II
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JOSEF DALÍK, JIŘÍ VALA, OTO PŘIBYL NUMERICKÉ METODY II STUDIJNÍ MATERIÁL Tento studijní materiál byl zpracován s podporou projektu OPVK ESF Rozvoj a modernizace
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Lukáš Perůtka Hledání optimálních strategií číselného síta Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: Prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc.,
Komplexní analýza. Příklad Body. Nepište obyčejnou tužkou ani červeně, jinak písemka nebude přijata. Soupis vybraných vzorců. 4a.
Komplexí aalýa Písemá část koušky (XX.XX.XXXX) Jméo a příjmeí:... Podpis:... Příklad.. 3.. 5. Body Před ahájeím práce Vyplňte čitelě rubriku Jméo a příjmeí a podepište se. Během písemé koušky smíte mít
Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze
Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Stručné poznámky z MA4 LS 2011/2012 Proseminář z matematické analýzy Zapisovatelé: Zúčastnění posluchači Přednášející: Mgr. Robert Šámal, Ph.D.