Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19

Transkrypt

1 (6) Určitý integrál Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 1 / 28

2 Newtonův integrál Zdroj: Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 2 / 28

3 Newtonův integrál - definice Definice Necht f a F jsou definované na intervalu [a, b], necht F je tamtéž spojitá a necht F je primitivní funkcí k f na (a, b). Hodnotou Newtonova integrálu funkce f přes interval (a, b) pak rozumíme číslo (N) a f (x) dx = F(b) F(a). Zdroj: Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 3 / 28

4 Newtonův integrál - příklad Definice Hodnotou Newtonova integrálu funkce f přes interval (a, b) pak rozumíme číslo (N) a f (x) dx = F(b) F(a). Příklad π 0 sin x dx = [ cos x] π 0 = cos π ( cos 0) = = 2 Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 4 / 28

5 Newtonův integrál - záporné funkce Zdroj: Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 5 / 28

6 Newtonův integrál - příklad Příklad π sin x dx = [ cos x] π π = cos π ( cos π) = 1 1 = 0 π Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 6 / 28

7 Newtonův integrál II - definice Definice Necht funkce f má na (a, b) primitivní funkci F, limity lim x a+ F(x), lim x b F(x) existují a jejich rozdíl je definován. Hodnotou Newtonova integrálu funkce f přes interval (a, b) pak rozumíme číslo (N) a f (x) dx = lim F(x) lim F(x). x b x a+ Pokud (N) f (t) dt existuje vlastní, pak říkáme, že integrál je konvergentní. a Není-li integrál konvergentní, říkáme, že je divergentní. Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 7 / 28

8 Newtonův integrál - příklad Příklad dx = [ 2 x ] 1 = 2(1 0) = 2. x 0 Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 8 / 28

9 Newtonův integrál - příklad Příklad 1 [ 1 x 2 dx = 1 ] ( ) ( ) = lim x 1 lim x 1 x 1 = = 1 x 1+ x Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 9 / 28

10 Newtonův integrál - příklad Příklad x dx = [ln x]1 0 = lim ln x lim ln x = x 1 x 0 Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 10 / 28

11 Newtonův integrál - problematický příklad Příklad 0 cos x dx Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 11 / 28

12 Newtonův integrál - problematický příklad Příklad 1 1 sgnx dx Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 12 / 28

13 Newtonův integrál - poznámky Poznámka Množinu všech funkcí f : (a, b) R, které mají konvergentní = (konečné číslo) Newtonův integrál od a do b, značíme N (a, b). Poznámka 1. f se někdy říká určitý integrál. a 2. Hodnota (N) f nezávisí na použité primitivní funkci. (Nezávisí na a konstantě.) 3. Pro (N) f tedy mohou nastat následující možnosti: a neexistuje (N) f vlastní { a existuje + nevlastní Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 13 / 28

14 Vlastnosti Newtonova integrálu Věta (Vlastnosti Newtonova integrálu) (a) Necht f, g N (a, b) a α R. Potom f + g N (a, b), αf N (a, b) a platí (f + g) = f + a a a a a (b) Necht f, g N (a, b) a f g. Pak f g, a a g. αf = α f. Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 14 / 28

15 Vlastnosti Newtonova integrálu Věta (Vlastnosti Newtonova integrálu) (c) Necht a < b < c + a f N (a, c). Potom f N (a, b), f N (b, c) a platí (d) Necht f N (a, b). Pak c f = f + c a a b f = a a b f. f. Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 15 / 28

16 Vlastnosti - příklady Příklad Necht funkce f je spojitá a platí, že f (x) < 0 pro všechna x (a, b). Pak f (x) dx a B A je určitě kladný B je určitě záporný C se může rovnat 0 Příklad Jsou následující tvrzení pravdivá? 1. Necht f je funkce, pak Ne 2. Jestliže x 6. Ne f (x) dx f (x) dx 3 0 f (x) dx. g(x) dx, pak f (x) g(x) pro všechna Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 16 / 28

17 Per partes Věta (Per partes pro určitý integrál) Necht funkce F je primitivní k f na (a, b), G je primitivní ke g na (a, b). Potom pokud je pravá strana definována. gf = [GF] b a a a Gf, Příklad π 0 x cos x Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 17 / 28

18 Substituce pro určitý integrál Věta (Substituce pro určitý integrál) Necht ϕ : (α, β) (a, b) splňuje ϕ((α, β)) = (a, b) a ϕ má vlastní nenulovou derivaci na (α, β). Potom β α f (ϕ(x)) ϕ (x) dx = pokud alespoň jeden z integrálů existuje. ϕ(β) ϕ(α) f (y) dy, Příklad 2 1 2x (x 2 + 1) 3 dx x dx Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 18 / 28

19 Riemannův integrál Zdroj: integr%c3%a1l Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 19 / 28

20 Riemannův integrál Zdroj: Poznámka Animace Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 20 / 28

21 Riemannův integrál Zdroj: sum Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 21 / 28

22 Riemannův integrál - definice Definice Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a, b], jestliže platí a = x 0 < x 1 < < x n = b. Normou dělení D = {x j } n j=0 rozumíme číslo ν(d) = max{x j x j 1 ; j = 1,..., n}. Jsou-li navíc dány body t 1,..., t n takové, že t i [x i1, x i ], nazýváme toto dělení dělení s význačnými body. Zdroj: Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 22 / 28

23 Riemannův integrál - definice Definice Necht f je omezená funkce na (uzavřeném a omezeném) intervalu [a, b]. Necht D je dělení intervalu [a, b] s význačnými body. Riemannovou sumou funkce f na intervalu [a, b] s dělením D rozumíme S(f, D) = n f (t i )(x i x i 1 ). i=1 Zdroj: Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 23 / 28

24 Riemannův integrál - definice Definice Zdroj: sum Řekneme, že funkce f má na intervalu [a, b] Riemannův integrál, jestliže pro každou posloupnost dělení D j intervalu [a, b] s význačnými body, takovou, že lim j ν(d j ) = 0, existuje vlastní limita lim S(f, D n) = I. n Značíme I = (R) a f (x) dx. Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 24 / 28

25 Vztah Newtonova a Riemannova integrálu Věta Necht f je spojitá na [a, b]. Pak f R([a, b]) N (a, b) a (R) a f = (N) a f. Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 25 / 28

26 Riemannův integrál - příklad Příklad Použijte riemannovské sumy k odhadu integrálu jestliže hodnoty funkce f jsou 12 0 f (x) dx, x f (x) Table: Book.pdf Horní odhad: 606 Dolní odhad: 480 Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 26 / 28

27 Integrály - příklady Příklad Na obrázku je lichá funkce. Jestliže víte, že f (x) dx 2 f (x) dx 2 2 f (x) dx = 4, určete Zdroj: Book.pdf -4, 0 Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 27 / 28

28 Integrály - příklady Příklad Rozřad te integrály do skupin: A B C D E 0 π π 0 π π π 2 π 2 2π 0 sin x dx cos x dx sin x dx cos x dx e x sin x dx 1. kladné záporné 1: D, E 2: B, C 3: A Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 28 / 28