Matematické modelování elmg. polí 2. kap.: Magnetostatika

Transkrypt

1 Matematické modelování elmg. polí 2. kap.: Magnetostatika Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/ ), na kterém se společně podílela Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava a Západočeská univerzita v Plzni

2 Matematické modelování elmg. polí Magnetostatika Osnova Magnetostatika Modelová úloha 2d magnetostatika Variační formulace Metoda konečných prvků Hraniční integrální formulace Metoda hraničních prvků Párování konečných a hraničních prvků 3d magnetostatika Variační formulace Metoda konečných prvků

3 Magnetostatika popisuje magnetická (silová) pole stacionárních proudů. Zákon zachování náboje Úbytek náboje v objemovém elementu odpovídá toku náboje z povrchu elementu: ρ(x) ρ(x)v(x) n(x) ds(x) = dv (x), t Ω kde v je rychlost toku náboje (rychlost elektronů), t je čas. Označme j(x) := ρ(x)v(x) hustotu elektrického proudu. Pak Gaussova věta dává div(j(x)) = ρ(x). t Označme dále tok elektrického náboje trubicí o průřezu Σ jako elektrický proud I(Σ) := j(x) n(x) ds(x) = konst. Σ Ω

4 Magnetostatika Lorentzova síla je síla působící na pohybující se náboj nebo na proudovodič. PSfrag B replacements B q v l j, I F Σ F = qv B F = j(x) B(y) ds(x) dl(y) = l Σ(y) kde B je pole magnetické indukce. l I(y)n(y) B(y) dl(y),

5 Magnetostatika Neexistují magnetické náboje. B(x) n(x) ds(x) = 0 Gaussova věta dává: Ω div(b(x)) = 0 pro x R 3. Ampérův zákon (ve vakuu) Magnetické pole rotuje kolem budících proudů: B(x) dl(x) = µ 0 j(x) n(x) ds(x), Σ kde µ 0 = 4π 0 7 je permeabilita vakua, přičemž ε 0 µ 0 = /c 2, kde c je rychlost světla. Stokesova věta dává: rot(b(x)) = µ 0 j(x) pro x R 3. Σ

6 Příklad 5: Pole dlouhého vodiče B(x) dl(x) = µ 0 j(x) n(x) ds(x) Σ B(r)2πr = µ 0 I B(r) = µ 0I 2πr Σ Magnetostatika B B r B B Σ PSfrag replacements I Příklad 6: Pole dlouhé cívky B(x) dl(x) = µ 0 j(x) n(x) ds(x) Σ Σ Bl = µ 0 nli B = µ 0 ni, kde n je hustota závitů. B = 0 Σ PSfrag replacements I, n B I, n

7 Ampérův zákon ve feromagnetiku Magnetostatika Ve feromagnetických materiálech se po vložení do magnetického pole vytvoří vrstvy zmagnetizovaných proudových smyček orientovaných v souladu s vnějším polem tak, že magnetické pole zesilují. Označme j mag (x) = rot(m(x)) hustotu magnetizovaných dipólů, kde M je magnetizace. rot(b(x)) = µ 0 (j(x) + j mag (x)) ( ) ( rot B(x) := rot B(x) M(x) ) = µ 0 j(x), µ r µ 0 kde µ r je relativní permebailita. Označme H(x) := µ 0 µ r (x) B(x) magnetickou intenzitu: B PSfrag replacements B rot(h(x)) = j(x) pro x R 3.

8 Magnetický vektorový potenciál Magnetostatika Energie proudové smyčky: W = I B(x) n(x) ds(x). Σ Definujme magnetický vektorový potenciál A: rot(u(x)) = B(x). Stokesova věta dává W = I rot(u(x)) n(x) ds(x) = I u(x) dl(x). Σ Σ B n I PSfrag replacements I Σ I u je nejednoznačný, nebot B(x) = rot(u(x)) = rot(u(x) + φ(x)) Jednoznačnost můžeme vynutit např. Coulombovskou kalibrační podmínkou: div(u(x)) = 0 a poklesem v nekonečnu u(x) 0 pro x.

9 Podmínky na rozhraní Magnetostatika PSfrag replacements Γ Γ, j Γ B Ω µ µ µ 2 µ Σ 2 n n H B 2 H 2 Ω B(x) n(x) ds(x) = 0 (B (x) B 2 (x)) n (x) = 0 pro x Γ. Σ H(x) dl(x) = µ 0 Σ j(x) n(x) ds(x) (H (x) H 2 (x)) n (x) = j Γ (x) pro x Γ.

10 Matematické modelování elmg. polí Magnetostatika Osnova Magnetostatika Modelová úloha 2d magnetostatika Variační formulace Metoda konečných prvků Hraniční integrální formulace Metoda hraničních prvků Párování konečných a hraničních prvků 3d magnetostatika Variační formulace Metoda konečných prvků

11 3d geometrie, redukce do 2d Modelová úloha Ω r x 2 Ω back j PSfrag replacements x 2 Ω left j Ω Ω + x Ω r x Ω front j Ω right j x 3 Ω +... kladná proudová hustota j, Ω... záporná proudová hustota j, Ω r... feromagnetikum µ r

12 Modelová úloha 3d matematický model Hledáme u 0 : Ω 0 R 3 a u r : Ω r R 3 tak, že rot(rot(u r (x))) = 0, x Ω r, rot(rot(u 0 (x))) = µ 0 j(x), x Ω 0 := R 3 \ Ω r, div(u k (x)) = 0, x Ω k, k {0, r}, ( (u 0 (x) u r (x)) ) n r (x) = 0, x Ω r, rot(u 0 (x)) µ r rot(u r (x)) n r (x) = 0, x Ω r, u 0 (x) 0, x, kde j(x) := (0, 0, j) pro x Ω left j, j(x) := ( j, 0, 0) pro x Ω front j, j(x) := (0, 0, j) pro x Ω right j, j(x) := (j, 0, 0) pro x Ω back j, j(x) := 0 jinde.

13 Modelová úloha 2d matematický model Hledáme u 0 : Ω 0 R a u r : Ω r R tak, že u r (x) = 0, x Ω r, u 0 (x) = µ 0 j(x), x Ω 0 := R 2 \ Ω r, u 0 (x) u r (x) = 0, x Ω r, u 0 (x)/ n(x) µ r u r (x)/ n(x) = 0, x Ω r, u 0 (x) 0, x, kde Magnetická indukce je pak tato: j(x) := B(x, x 2, x 3 ) = rot(0, 0, u(x, x 2 )) = j, x Ω, j, x Ω +, 0, jinde. ( u(x, x 2 ), u(x ), x 2 ), 0. x 2 x

14 Matematické modelování elmg. polí Magnetostatika Osnova Magnetostatika Modelová úloha 2d magnetostatika Variační formulace Metoda konečných prvků Hraniční integrální formulace Metoda hraničních prvků Párování konečných a hraničních prvků 3d magnetostatika Variační formulace Metoda konečných prvků

15 Ořezání výpočetní oblasti Variační formulace Uvažujme d := 2, Ω R 2 pokrývající Ω r a Ω j a necht u(x) = 0 pro x Ω. Neuvažujeme tedy nadále neomezenou oblast. Dopuštíme se tím chyby v modelování! Zjednodušme zápis geometrie, konstanty µ r a řešení takto: { { µ 0 µ r, x Ω r, u r (x), x Ω r, µ(x) := u(x) = µ 0, x R 2 \ Ω r, u 0 (x), x Ω 0 := Ω \ Ω r. Greenova věta Pro spoj. dif. funkce q, v : ω R a pěkné ω R d s vnější jedn. normálou n(x) platí: q(x) v(x) dx = q(x) v(x) dx + q(x) v(x) n i (x) ds(x). x i x i ω ω ω

16 Odvození variační formulace Variační formulace Vezměme diferencovatelnou funkci v : Ω R, v(x) = 0 pro x Ω. Z první rovnice Ω r µ 0 µ r (x) u r(x) v(x) dx = 0 a aplikací Greenovy věty dostáváme Ω r µ 0 µ r (x) u r(x) v(x) dx Ω r µ 0 µ r (x) u r (x) n(x) v(x) ds(x) = 0. Podobně přenásobíme v a /µ 0 druhou rovnici, zintegrujeme ji a z Greenovy věty u 0 (x) u 0 (x) v(x) dx v(x) ds(x) = j(x) v(x) dx. Ω 0 µ 0 Ω 0 µ 0 n(x) Ω j

17 Variační formulace Odvození variační formulace (pokrač.) Sečteme předchozí rovnice s vědomím, že normály k Ω r a k Ω 0 na Ω r Ω 0 jsou opačné u 0 (x) u(x) v(x) dx v(x) ds(x)+ Ω µ(x) Ω µ 0 n(x) ( u0 (x) + Ω r µ 0 n(x) ) u r (x) v(x) ds(x) = j(x) v(x) dx. µ r (x) n(x) Ω Použijeme v = 0 na Ω a definice j(x), µ(x) a u(x) a dostáváme variační rovnici u(x) v(x) dx = j(x) v(x) dx. µ(x) Ω Řešení u i testovací funkce v bereme z prostoru V 0 := H 0(Ω) := C 0 (Ω)., kde v := Ω v(x)2 + v(x) 2 dx. Ω

18 Variační formulace Ω Variační formulace Hledáme u V 0 tak, že u(x) v(x) dx = µ(x) Ω j(x) v(x) dx v V 0. Pro tuto úlohu lze dokázat existenci jednoznačného řešení a jeho spojitou závislost na změnách geometrie Ω i materiálové funkce ε. Energetická formulace K variační formulaci lze dojít i z principu minima elektrostatické energie ϕ(v) := 2 µ(x) v(x) 2 dx j(x) v(x) dx. Ω Minimum ϕ nastane ve stacionárním bodě u V 0, tj. v V 0 : ϕ ϕ(u + tv) ϕ(u) (u, v) := lim = u(x) v(x) dx t 0 t µ(x) Ω Ω Ω j(x) v(x) dx = 0.

19 Matematické modelování elmg. polí Magnetostatika Osnova Magnetostatika Modelová úloha 2d magnetostatika Variační formulace Metoda konečných prvků Hraniční integrální formulace Metoda hraničních prvků Párování konečných a hraničních prvků 3d magnetostatika Variační formulace Metoda konečných prvků

20 Diskretizace oblasti Metoda konečných prvků Necht d := 2. Diskretizujme Ω do m trojúhelníků tak, že sousedé mají společnou hranu nebo bod, hrany zachytí hranice podoblastí a nejostřejší úhel je zdola omezený Ω = m k=t k, T i T j = pro i j, x PSfrag replacements 6 x

21 MKP báze Metoda konečných prvků Nad každým uzlem diskretizace x i, i =, 2,..., n definujeme konečně prvkovou bázovou funkcí e h i (x) : Ω R tak, že i k : e h i (x) T k = a k i + b k i x + c k i x 2 a e h i (x j ) = δ ij := {, i = j, 0, i j, kde a k i, bk i, ck i R. Máme aproximaci V h := e h (x),..., e h n(x) prostoru V := H (Ω). MKP aproximace Neumannovy úlohy MKP aproximace formulace bez okrajové podmínky by byla tato: hledáme ũ h (x) = n ũ j e h j (x): j= Ã ũ = b, kde (Ã) ij := a(e h j, e h i ), ( b) i := b(e h i ), kde a(u, v), resp. b(v), je bilineární, resp. lineární, forma na levé, resp. pravé, straně variační rovnice. Řešení této tzv. Neumannovy úlohy není jednoznačé.

22 Sestavení MKP matic a vektorů Metoda konečných prvků Iterujeme přes trojúhelníky a sčítáme lokální matice a vektory pravých stran, tj. např. m m à = G k (A k ), b = H k (b k ), k= kde A k R 3 3, b k R 3 a G k : R 3 3 R n n, zobrazuje lokální matice na globální, H k : R 3 R n zobrazuje lokální vektory na globální. Lokální příspěvky jsou tyto: k= A k := ( ) B k T µ k B k det(r k ), 2 b k := j k det(rk ), 2 2 kde µ k := µ(x) T k, j k := j(x) T k, R k := ( x k 2 x k, x k 3 x k ) a x k, x k 2, x k 3 jsou uzly trojúhelníku T k uspořádané v pravotočivém smyslu.

23 Metoda konečných prvků MKP aproximace homogenní Dirichletovy úlohy Bud I := {i, i 2,..., i p } množina indexů uzlů neležících na hranici Ω. Pak Galerkinovská aproximace naší homogenní Dirichletovy úlohy je: hledáme u h (x) := n 0 k= u k e i k(x) V h 0 : a(u h, e i k) = b(e i k) i k I a odpovídající soustava lineárních rovnic vznikne restrikcí předchozí soustavy na I A u = b, kde A := ÃI,I, b := b I a u := (u, u 2..., u p ).

24 Numerické řešení u a B Metoda konečných prvků Volba µ r := 5000, J := 0.25, Ω := ( 6, 6) ( 6, 6), Ω := ( 3, 2) ( 3, 3), Ω + := (2, 3) ( 3, 3), Ω r := ( 2, 2) ( 4, 4), s diskretizačním parametrem h := 0.25 vede na n := 240 uzlů a m := 4608 trojúhelníků. 6 x x PSfrag replacements 6 6 x

25 Matematické modelování elmg. polí Magnetostatika Osnova Magnetostatika Modelová úloha 2d magnetostatika Variační formulace Metoda konečných prvků Hraniční integrální formulace Metoda hraničních prvků Párování konečných a hraničních prvků 3d magnetostatika Variační formulace Metoda konečných prvků

26 Hraniční integrální formulace Metoda potenciálů Uvažujme d := 2 a přeškálujme geometrii tak, že diam (Ω r Ω Ω + ) <. Hledáme řešení pomocí poteciálů jednoduché vrstvy u r (x) := w r (y) g(x, y) dl(y), x Ω r, Γ r ( ) u 0 (x) := w 0 (y) g(x, y) dl(y) + µ 0 j g(x, y) dy g(x, y) dy, x Ω 0, Γ r Ω + Ω kde Ω 0 := R 2 \ Ω r Ω + Ω, Γ r := Ω r, Γ + := Ω +, Γ := Ω, g(x, y) := 2π ln x y je fundamentální řešení Laplaceovy rovnice a kde w r, w 0 : Γ r R, w + : Γ + R a w : Γ R jsou neznámé hustoty potenciálů. Řešení splňuje u r (x) = 0, x Ω r, u 0 (x) = j(x), x Ω 0 a u 0 (x) C, x, kde C = 0 díky symetrii úlohy. Zbývá splnit podmínky přechodu.

27 Hraniční integrální formulace Vlastnosti potenciálu jednoduché vrstvy Pro po částech spojité w r je Γ r w r (y) g(x, y) dl(y) harmonická funkce v Ω r a v R 2 \Ω r. Pro x Γ r bod spojitosti w r, v jehož okolí je Γ hladká, platí, že pro Ω r x x Γ r : w r (y) g( x, y) dl(y) w r (y) g(x, y) dl(y), Γ r Γ r n r (x) x w r (y) g( x, y) dl(y) Γ r 2 w g(x, y) r(x) + w r (y) Γ r n(x) dl(y). přičemž / n(x) je derivace podle vnější jednotkové normály k Ω r. Podobně platí pro spojité w 0 a Ω 0 x x Γ r : w 0 (y) g( x, y) dl(y) w 0 (y) g(x, y) dl(y), Γ r Γ r n r (x) x w 0 (y) g( x, y) dl(y) Γ r 2 w g(x, y) 0(x) + w 0 (y) Γ r n(x) dl(y).

28 Vlastnosti Newtonova potenciálu Hraniční integrální formulace Newtonův objemový potenciál je spojitý i se svou normálovou derivací nezávisle, zda se k hranici blížíme zevnitř, či zvenku, tedy pro Γ r x x Γ r : g( x, y) dl(x) g(x, y) dl(x), Ω ± Ω ± g(x, y) n r (x) x g( x, y) dl(x) Ω ± Ω ± n(x) dl(x)

29 Formulace Hraniční integrální formulace Pro x R 2, resp. x Γ r (až na rohy), zaved me operátory [V r w](x) := w(y) g(x, y) dl(y), [K r w](x) := w(y) Γ r Γ r a funkce ( ) N(x) := µ 0 j g(x, y) dy g(x, y) dy, Ω + Ω ( ) g(x, y) M(x) := µ 0 j Ω + n(x) dy g(x, y) Ω n(x) dy Pak podmínky přechodu dávají následující hraniční integrální formulaci { V r w r V r w 0 = N, x Γ r, µ r ( 2 I + K r) w r ( 2 I + K r) w 0 = M, x Γ r, kde I značí identické zobrazení. g(x, y) n(x) dl(y)

30 Matematické modelování elmg. polí Magnetostatika Osnova Magnetostatika Modelová úloha 2d magnetostatika Variační formulace Metoda konečných prvků Hraniční integrální formulace Metoda hraničních prvků Párování konečných a hraničních prvků 3d magnetostatika Variační formulace Metoda konečných prvků

31 Diskretizace hranic Diskretizujme Γ r do disjunktních úseček Metoda hraničních prvků m r k= S k r = Γ r a uvažujme po úsečkách konstantní bázové funkce f i r tak, že f i r(x) S j r = δ ij pro i, j =,..., m r. Hledáme souřadnice neznámých hustot w r, w 0 R m w r (x) := m r k= w rk f i r(x), w 0 (x) := m r k= w 0k f i r(x).

32 Metoda hraničních prvků Kolokační metoda Rovnice splníme pouze ve středech úseček x k r Sr k ( ) ( V r,r V r,r µ r 2 I ) r + K r,r 2 I r K r,r ( wr w 0 ) = ( ) N, () M kde I r R m r m r je jednotková matice a kde (V r,r ) ij := S j r g(xi r, y) dl(y), (K r,r ) ij := S j r xg(x i r, y) n j r dl(y), (N) i := N(x i r), (M) i := M(x i r), přičemž n j r značí jednotkovou normálu k S j r směřující ven z Ω r.

33 Výpočet prvků vektorů N Metoda hraničních prvků Prvky matic V r,r a K r,r vypočteme stejně jako v kapitole Elektrostatika. Při výpočtu N použijeme následující integrál: b d a kde c ln x y 2 dy 2 dy = F (a) F (b) F 2 (a, c)+f 2 (a, d)+f 2 (b, c) F 2 (b, d)+ + F 3 (a, c) F 3 (a, d) F 3 (b, c) + F 3 (b, d) 3(b a)(d c), F (y ) := π 2 sgn(y x ) y (y 2x ) (sgn(c x 2 ) sgn(d x 2 )), F 2 (y, y 2 ) := ( (y x ) 2 (y 2 x 2 ) 2) arctg y x y 2 x 2, F 3 (y, y 2 ) := (y x )(y 2 x 2 ) ln x y 2

34 Výpočet prvků vektorů M Při výpočtu M použijeme tento integrál: b d Metoda hraničních prvků b d (x y) n x ln x y n dy 2 dy = dy a c a c x y 2 2 dy = G (a) G (b)+ +G 2 (a, c) G 2 (a, d) G 2 (b, c)+g 2 (b, d) G 3 (a, c)+g 3 (a, d)+g 3 (b, c) G 3 (b, d), kde G (y ) := π 2 y x n (sgn(d x 2 ) sgn(c x 2 )), G 2 (y, y 2 ) := ((y x )n (y 2 x 2 )n 2 ) arctg y x y 2 x 2, G 3 (y, y 2 ) := 2 ((y x )n 2 + (y 2 x 2 )n )) ln x y 2.

35 Numerické řešení w r a w 0 Metoda hraničních prvků Volba µ r := 5000, J := 0.25, Ω := ( 0.06, 0.06) ( 0.06, 0.06), Ω := ( 0.03, 0.02) ( 0.03, 0.03), Ω + := (0.02, 0.03) ( 0.03, 0.03), Ω r := ( 0.02, 0.02) ( 0.04, 0.04), h := vede na m r := 96 úseček. w x PSfrag replacements 0 x x

36 Numerické řešení u a B Metoda hraničních prvků Volba µ r := 5000, J := 0.25, Ω := ( 0.06, 0.06) ( 0.06, 0.06), Ω := ( 0.03, 0.02) ( 0.03, 0.03), Ω + := (0.02, 0.03) ( 0.03, 0.03), Ω r := ( 0.02, 0.02) ( 0.04, 0.04), h := vede na m r := 96 úseček x x PSfrag replacements x

37 Matematické modelování elmg. polí Magnetostatika Osnova Magnetostatika Modelová úloha 2d magnetostatika Variační formulace Metoda konečných prvků Hraniční integrální formulace Metoda hraničních prvků Párování konečných a hraničních prvků 3d magnetostatika Variační formulace Metoda konečných prvků

38 Odvození formulace Párování konečných a hraničních prvků Základem párování je následující variační rovnice na oblasti Ω r : u r (x) u r (x) v(x) dx = u r (x) v(x) dx v(x) dl(x) = 0, µ r Ω r Ω r µ r Γ r µ r n(x) v níž nahradíme tok u r přes Γ r tokem u 0 Ω r µ r u r (x) v(x) dx u 0 (x) Γ r n(x) v(x) dl(x) = 0. Řešení u 0 hledáme opět v následujícím tvaru ( ) u 0 (x) := w 0 (y) g(x, y) dl(y) + µ 0 j g(x, y) dy g(x, y) dy, Γ r Ω + Ω kde x R 2 \ Ω r. Zbývá zaručit spojitost řešení u r (x) u 0 (x) = 0, x Γ r.

39 Odvození formulace Párování konečných a hraničních prvků S využitím symbolů V r, K r, jeho skoku a definic N a M: hledáme u r V r := H (Ω r ) a w 0 : Γ r R tak, že { ar (u r, v) b r (( 2 I + L r) w0, v ) = b r (M, v) v V r, u r V r w 0 = N x Γ r, kde I je identita a kde a r (u r, v) := Galerkinova formulace úlohy Ω r µ r u r v dx, b r (u, v) := Γ r u v dl(x). Zaved me W r := H /2 (Γ r ) Sobolevův prostor stop na Γ r. Hledáme u r V r a w 0 W r : { ar (u r, v) b r (( 2 I + L r) w0, v ) = b r (M, v) v V r, b r (u r, q) b r (V r w 0, q) = b r (N, q) q W r.

40 Párování konečných a hraničních prvků Konečně prvková diskretizace Diskretizace V r metodou konečných prvků vede na triangulaci Ω r do m r trojúhelníků T k, v jejichž uzlech x i, i {, 2,..., n r }, definujeme konečně prvkové bázové funkce e h i. Máme aproximaci V h r V r. Bilineární forma a r (.,.) vede na matici A r R n r n r x PSfrag replacements x

41 Párování konečných a hraničních prvků Hraničně prvková diskretizace Diskretizace prostoru W r metodou hraničních prvků je indukována předchozí triangulací Ω r. To vede na s r hraničních úseček Sr i a p r hraničních uzlů x i,..., x, ip r kde i k {, 2,..., n r }. Nad úsečkami Sr i definujeme hraničně-prvkové nespojité po částech konstantní bázové funkce fr, i jejichž lineární obal nám dá prostor Wr h W r. Při diskretizaci MHP bilineární formy b r (.,.) použijeme nejhrubší kvadraturní formuli, a to obdélníkové pravidlo f(x) dx f(x k r ) Sr k, S k r kde x k r je střed úsečky Sr k a Sr k je její délka. To nám umožní využít již napočítané prvky matic V r,r, K r,r a vektorů N, M.

42 Párování konečných a hraničních prvků Galerkinova metoda Párováním vede na ( ) ( ) ( ) Ar B r ur br =. C r D r w 0 c r kde řádky B r R n r s r a složky b R n r jsou (B r ) i, := 2 ( ) 2 Si r 2 I r K r,r, (b r ) i := 2 Si r k= i k, 2 (M) ik. k= přičemž i, i 2 {, 2,..., p r } jsou hraniční indexy uzlů S i r. Dále C r R s r n r (C r ) i,j := { 2 Si r, pokud x j, j {, 2,..., n r }, je jeden ze dvou uzlů S i r, 0, jinak. Konečně matice D r R s r s r a vektor c r R s r jsou definovány po řádcích takto: (D r ) i, := S i r (V r,r ) i,, (c r ) i := S i r (N) i.

43 Párování konečných a hraničních prvků Numerické řešení u a B Volba µ r := 5000, J := 0.25, Ω r := ( 0.02, 0.02) ( 0.04, 0.04), Ω := ( 0.03, 0.02) ( 0.03, 0.03), Ω + := (0.02, 0.03) ( 0.03, 0.03), h := vede na n r := 544 MKP uzlů a s r := 96 MHP úseček x x PSfrag replacements 0.06 x

44 Matematické modelování elmg. polí Magnetostatika Osnova Magnetostatika Modelová úloha 2d magnetostatika Variační formulace Metoda konečných prvků Hraniční integrální formulace Metoda hraničních prvků Párování konečných a hraničních prvků 3d magnetostatika Variační formulace Metoda konečných prvků

45 Ořezání výpočetní oblasti Variační formulace Uvažujme d := 3, Ω R 2 pokrývající Ω r a Ω j a necht u(x) n(x) = 0 pro x Ω. Neuvažujeme tedy nadále neomezenou oblast. Dopuštíme se tím chyby v modelování! Zjednodušme zápis geometrie, konstanty µ r a řešení takto: { { µ 0 µ r, x Ω r, u r (x), x Ω r, µ(x) := u(x) = µ 0, x R 2 \ Ω r, u 0 (x), x Ω 0 := Ω \ Ω r.

46 Greenova věta ω Variační formulace Pro spoj. dif. funkce ϕ, ψ : ω R a pěkné ω R d s vnější jedn. normálou n(x) platí: ϕ(x) ψ(x) dx = ϕ(x) ψ(x) dx + ϕ(x) ψ(x) n i (x) ds(x). x i x i ω Opakovaným použitím si odvodíme analogii Greenovy formule pro operátor rot [( w3 rot(w) v = w ) ( 2 w v + w ) ( 3 w2 v 2 + w ) ] v 3 = Ω Ω x 2 x 3 x 3 x x x [( ) ( ) ( 2 )] v v v 2 v 2 v 3 v 3 = w 3 w 2 + w w 3 + w 2 w + Ω x 2 x 3 x 3 x x x 2 + [(w 3 n 2 w 2 n 3 ) v + (w n 3 w 3 n ) v 2 + (w 2 n w n 2 ) v 3 ] = Ω = w ( rot(v)) (w n) v = w rot(v) + w (v n). Ω Ω Ω ω Ω

47 Odvození variační formulace Variační formulace Vezměme dif. funkci v : Ω R 3, v(x) n(x) = 0 pro x Ω. Z první rovnice Ω r µ 0 µ r (x) rot(rot(u r(x))) v(x) dx = 0 a aplikací Greenovy věty dostáváme Ω r µ 0 µ r (x) rot(u r(x)) v(x) dx Ω r µ 0 µ r (x) rot(u r(x)) (v(x) n(x)) ds(x) = 0. Podobně přenásobíme v a /µ 0 druhou rovnici, zintegrujeme ji a z Greenovy věty rot(u 0 (x)) v(x) dx rot(u 0 (x)) (v(x) n(x)) ds(x) = j(x) v(x) dx. Ω 0 µ 0 Ω 0 µ 0 Ω j

48 Variační formulace Odvození variační formulace (pokrač.) Sečteme předchozí rovnice s vědomím, že normály k Ω r a k Ω 0 na Ω r Ω 0 jsou opačné rot(u(x)) rot(v(x)) dx + rot(u 0 (x)) (v(x) n(x)) ds(x)+ Ω µ(x) Ω µ (( 0 + rot(u 0 (x)) ) ) Ω r µ 0 µ r (x) rot(u r(x)) n(x) v(x) ds(x) = j(x) v(x) dx. Ω Použijeme v n = 0 na Ω a definice j(x), µ(x) a u(x) a dostáváme variační rovnici rot(u(x)) rot(v(x)) dx = j(x) v(x) dx. µ(x) Ω Řešení u i testovací funkce v bereme z prostoru V 0 := H 0 (rot; Ω) := C 0 (Ω)3. rot, kde v rot := Ω v(x) 2 + rot(v(x)) 2 dx. Ω

49 Variační formulace Odvození variační formulace (pokrač.) Potenciál u je jednoznačný až na libovolné gradientní pole ϕ. Minimalizujme E(v) := 2 µ(x) rot(v(x)) 2 dx j(x) v(x) dx, Ω jehož nekonečně mnoho stacionárních bodů ũ = u + ϕ V 0 jsou řešením rovnice E (u + ϕ, v) = 0 v V 0. Jednoznačnost dodá Coulombova kalibrační podmínka: hledáme u V 0 tak, že v V 0 : E(u) E(v) vzhledem k div(u) = 0, přičemž kalibrační podmínku chápeme ve slabém smyslu. Hledáme u V 0 a λ V 0 := H0(Ω) tak, že { Ω µ rot(u) rot(v) + Ω λ v = Ω j v v V 0, Ω u ϕ = 0 ϕ V 0. Ω

50 Matematické modelování elmg. polí Magnetostatika Osnova Magnetostatika Modelová úloha 2d magnetostatika Variační formulace Metoda konečných prvků Hraniční integrální formulace Metoda hraničních prvků Párování konečných a hraničních prvků 3d magnetostatika Variační formulace Metoda konečných prvků

51 Diskretizace oblasti Metoda konečných prvků Necht d := 3. Diskretizujme Ω do m čtyřstěnů tak, že sousedé mají společnou stěnu, hranu, nebo bod, stěny zachytí hranice podoblastí a nejostřejší úhel je zdola omezený Ω = m k=t k, T i T j = pro i j.

52 MKP aproximace V := H (Ω) Metoda konečných prvků Nad každým uzlem diskretizace x i, i =, 2,..., n definujeme konečně prvkovou bázovou funkcí e h i (x) : Ω R tak, že { i k : e h i (x) T k = a k i + b k i x + c k i x 2 + d k i x 3 a e h, i = j, i (x j ) = δ ij := 0, i j, kde a k i, b k i, c k i, d k i R. Máme aproximaci V h := e h (x),..., e h n(x) prostoru V.

53 PSfrag replacements Metoda konečných prvků Lokální bázové funkce V h Zobrazme T s vrcholy (uzly) x, x 2, x 3 a x 4 na T k s vrcholy x k, x k 2, x k 3 a x k 4 x := R k ( x) := R k x + x k, kde R k := ( x k 2 x k, x k 3 x k, x k 4 x ) k. x 3 x 4 R k x 3 x k 4 x 2 x 0 x x3 x 2 x k x 2 x k 3 x x k 2 Pak e k i(x) := ê i ( x) pro i {, 2, 3, 4} a x T při substituci x := R k ( x), kde ê ( x) := x x 2 x 3, ê 2 ( x) := x, ê 3 ( x) := x 2, ê 4 ( x) := x 3.

54 Gradient uzlové báze Metoda konečných prvků Pro smíšenou bilineární formu Ω u ϕ potřebujeme spočítat gradienty bázových funkcí, pro něž lze ukázat platnost analogického vzorce jako ve 2 dimenzích B k := ( e k (x), e k 2 (x), e k 3 (x), e k 4 (x) ) = ( R k) T , 0 0 kde matice (R k ) T obsahuje derivace vnitřní funkce, tedy afinního zobrazení R k, a sloupce druhé matice jsou gradienty referenčních bázových funkcí.

55 Metoda konečných prvků Nédélecova MKP aproximace V := H(rot; Ω) Nad každou orientovanou hranou E i : x i x i 2, i {, 2,..., n e } diskretizace definujeme konečně prvkovou bázovou funkci, kde t j := ( x j 2 x ) j / x j 2 x j, ξ i (x) T k = a i k + b i k x a ξ i (x) t j dl(x) = δ ij, E j x 3 x R k 3 Ê 5 Ê 3 E k 6 Ê 6 Ê 2 E k 0 Ê x 2 Ê 4 E k 3 E k 5 E k 2 x 2 E k 4 x x

56 Metoda konečných prvků Lokální bázové funkce V h Uvažujme ref. čtyřstěn s orientovanými hranami Ê : x x 2, Ê 2 : x x 3, Ê 3 : x x 4, Ê 4 : x 2 x 3, Ê 5 : x 3 x 4, Ê 6 : x 4 x 2 a ref. bázové funkce 0 ξ ( x) := 0 + x, ξ 0 2 ( x) := + 0 x, ξ3 ( x) := 0 + x, ξ 0 4 ( x) := 0 x, 0 0 ξ5 ( x) := 0 x, ξ6 ( x) := x. 0 0 Jim odpovídající konečně prvkové bázové funkce jsou tyto: ξ k i (x) = sign k (E k i ) ( { R k) T ξ( x), signk (E k i, orientace E k i shodná s ) :=, orientace E k i opačná k Êi.

57 Rotace hranové báze Potřebujeme rotace hranových funkcí Metoda konečných prvků B k rot := ( rot(ξ ), rot(ξ 2 ), rot(ξ 3 ), rot(ξ 4 ), rot(ξ 5 ), rot(ξ 6 ) ) = det(r k ) Rk diag ( sign k (E k i ) ) Potřebujeme hodnoty bázových funkcí v těžišti x k c := (/4) 4 i= xk i čtyřstěnu T k B k Id := ( ξ (x k c), ξ 2 (x k c), ξ 3 (x k c), ξ 4 (x k c), ξ 5 (x k c), ξ 6 (x k c) ) = ( R k) T diag ( sign k (E k i ) ) 6 i=. i=.

58 Lokální matice a vektory Metoda konečných prvků Lokální příspěvek do matice bilineární formy Ω (/µ)rot(u) v je A k := ( ) B k T µ k rot B k det(r k ) rot, 6 kde µ k := µ(x) T k. Lokální příspěvek do matice bilineární formy Ω u ϕ je B k := ( ) B k T B k det(r k ) Id. 6 Lokální příspěvek vektoru lineární formy Ω j v je kde j k := j(x) T k. b k := ( ) B k T Id j k det(rk ), 6

59 Globální matice a vektory m à := G k (A k ), k= Metoda konečných prvků m B := L k (B k ), k= m b := H k (b k ), kde G k : R 6 6 R n e n e, L k : R 4 6 R n n e a H k : R 6 R n e zobrazují lokální hranové matice, uzlově hranové matice, resp. lokální hranové vektory na globální. A := ÃI e,i e, B := B I,I e, b := b I e, kde I e := { i e, i e 2,..., i e p e } a I := {i, i 2,..., i p } jsou indexy hran a uzlů mimo Ω. MKP aproximace ( ) A B T B 0 ( ) u λ = ( ) b, 0 kde u h (x) := p e k= u k ξ ie k (x), B h (x) T k = B k rot u k, kde u k je lokální vektor řešení doplněný o nuly pro hrany čtyřstěnu T k ležící na Ω. k=

60 Numerické řešení B := rot(u) Metoda konečných prvků Volba geometrie Ω := ( 6, 6) 3, Ω j := ( 3, 3) 3 \ ( 2, 2 3, 3 2, 2 ), Ω r := ( 2, 2) ( 4, 4) ( 2, 2), h := vede na n := 240 uzlů a m := 4608 trojúhelníků.