2 Sférická trigonometrie. Obsah. 1 Základní pojmy. Kosinová věta pro stranu. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.

Transkrypt

1 Obsah 1 2 Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.

2 Referenční plochy, souřadnicové soustavy Důležité křivky - loxodroma, ortodroma Kartografická zobrazení, třídění zobrazení. Tissotova indikatrix, hlavní směry. Kartografická zkreslení (délkové, směrníkové, úhlové a plošné). Jednoduchá zobrazení kuželová, azimutální a válcová. Odvození zobrazovacích rovnic pro jednoduchá zobrazení. Azimutální a válcové projekce. Křovákovo zobrazení. Gaussovo konformní zobrazení elipsoidu v poledníkových pásech. Cassini-Soldnerovo zobrazení.

6 Literatura texty/index.html Buchar P.: Matematická kartografie (skriptum ČVUT)

7 Požadavky Vypracování semestrální práce Zkouška - písemná + ústní.

8 Požadavky Vypracování semestrální práce Zkouška - písemná + ústní.

9 Matematická kartografie Řeší různé způsoby zobrazení Země (resp. koule, elipsoidu) do roviny na základě požadavků na ně kladených. Důležitý obor pro tvorbu map, a vyjádření jejich zkreslení. Důlěžitý obor pro určení základních geometrických veličin (úhlů, délek) na mapách.

10 Matematická kartografie Řeší různé způsoby zobrazení Země (resp. koule, elipsoidu) do roviny na základě požadavků na ně kladených. Důležitý obor pro tvorbu map, a vyjádření jejich zkreslení. Důlěžitý obor pro určení základních geometrických veličin (úhlů, délek) na mapách.

11 Obsah 1 2 Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník

12 Kulová plocha Kulovou plochou nazýváme množinu všech bodů v prostoru E 3, jejíž každý bod X má od pevně zvoleného bodu O, který nazýváme střed kulové plochy, konstantní vzdálenost OX = r > 0 (tzv. poloměr). Pro zjednodušení úvah budeme v mnoha případech uvažovat OX = r = 1. Kulovou plochu o poloměru r = 1 nazýváme jednotková kulová plocha. Figure: Kulová plocha (převzato z [3])

13 Přímky a úsečky na sféře, délka úsečky V rovinné geometrii rozumíme úsečkou nejkratší spojnici dvou bodů. Přímku chápeme jako úsečku nekonečně prodlouženou na obě strany. Stejně zavádíme pojem úsečky a přímky i na kulové ploše (s-přímka, s-úsečka).

14 Hlavní kružnice Nechť jsou dány dva libovolné body A, B na kulové ploše a bod O, střed kulové plochy. Rovina proložená body A, B a středem O protíná kulovou plochu v kružnici k, která se nazývá hlavní kružnice. Figure: Hlavní kružnice (převzato z [3])

15 Vedlejší kružnice Všechny ostatní kružnice na kulové ploše vzniklé řezem roviny, která neprochází středem kulové plochy, nazýváme vedlejší kružnice. Pro jednotkovou kulovou plochu je poloměr libovolné hlavní kružnice roven jedné, vedlejší kružnice mají poloměr r menší než 1.

16 Délka s-úsečky Pro měření délek na sféře využijeme obloukové míry. Na tomto místě proto připomeneme jak pojem obloukové míry, tak definici radiánu. Velikost úhlu α vyjádříme v obloukové míře jako délku oblouku l, který je vyťat rameny úhlu α na jednotkové kružnici se středem ve vrcholu úhlu. Radiánem nazýváme úhel ρ, jehož oblouková míra je rovna 1; jeho velikost ve stupňové míře je ρ = 180 /π. = 57 17

17 Délka s-úsečky Pro měření délek na sféře využijeme obloukové míry. Na tomto místě proto připomeneme jak pojem obloukové míry, tak definici radiánu. Velikost úhlu α vyjádříme v obloukové míře jako délku oblouku l, který je vyťat rameny úhlu α na jednotkové kružnici se středem ve vrcholu úhlu. Radiánem nazýváme úhel ρ, jehož oblouková míra je rovna 1; jeho velikost ve stupňové míře je ρ = 180 /π. = Figure: Délka úsečky - převzato z [3])

18 Vzdálenost d(a, B) mezi dvěma body A, B na sféře S Délka nejkratšího kruhového oblouku, který tyto body spojuje - v obloukové míře odpovídá velikosti příslušného středového úhlu. Figure: Délka s-úsečky (převzato z [3])

19 Sférický trojúhelník Trojhran: Figure: Trojhran s vyznačeným úhlem při hraně OB (převzato z [3])

20 Sférický trojúhelník Průnik trojhranu O(A B C ) a kulové plochy, jejíž střed je ve vrcholu O trojhranu - sférický trojúhelník Figure: Sférický trojúhelník (převzato z [3])

21 Sférický trojúhelník Délky stran (jsou určeny úhly BOC, AOC, AOB) úhly α, β, γ, což jsou úhly příslušného trojhranu. Strany sférického trojúhelníku jsou zároveň délky příslušných oblouků BC, AC, AB hlavních kružnic.

22 Sférický trojúhelník Délky stran (jsou určeny úhly BOC, AOC, AOB) úhly α, β, γ, což jsou úhly příslušného trojhranu. Strany sférického trojúhelníku jsou zároveň délky příslušných oblouků BC, AC, AB hlavních kružnic.

23 Sférický trojúhelník Trojúhelník definovaný pomocí trojhranu se nazývá konvexní nebo také Eulerův. Každý z jeho základních prvků, tj. stran a úhlů, je menší než π.

24 Polární trojúhelník Krajní body průměru kulové plochy, kolmého na rovinu dané hlavní kružnice, se nazývají póly této kružnice. Mějme na kulové ploše sférický trojúhelník ABC. Nechť A 0 je pól hlavní kružnice určené body B, C, ležící na stejné polokouli jako bod A. Analogicky získáme i body B 0, C 0. Říkáme, že trojúhelník A 0B 0 C 0 je polární k danému trojúhelníku ABC.

25 Polární trojúhelník Figure: Polární trojúhelník (převzato z [3])

26 Polární trojúhelník Figure: Polární trojúhelník (převzato z [3]) Jestliže trojúhelník A 0 B 0 C 0 je polární k trojúhelníku ABC, pak také obráceně trojúhelník ABC je polární k trojúhelníku A 0 B 0 C 0. Strany polárního trojúhelníku jsou a 0 = 180 α, b 0 = 180 β, c 0 = 180 γ; jeho úhly jsou α 0 = 180 a, β 0 = 180 b, γ 0 = 180 c

27 Sférická kružnice Sférická kružnice (kružnice na kulové ploše) je množinou všech bodů kulové plochy, které mají od daného bodu C na kulové ploše sférickou vzdálenost r, M = {X S; d(xc) = r}, kde d(xc) je sférická vzdálenost bodů X, C Bod C je sférický střed kružnice, vzdálenost r nazýváme (sférický) poloměr kružnice.

28 Obsah Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník 1 2 Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník

29 Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník a, b, c, α, β, γ (0 o, 180 o ) Součet libovolných dvou stran je vetší než strana třetí. Proti stejným stranám leží stejné úhly, proti vetší straně leží vetší úhel. Součet všech stran je menší než 360 o, tj. a + b + c < 360 o. Součet všech úhlu je vetší než 180 o a menší než 540 o, tj. 180 o < a + b + g < 540 o. Rozdíl mezi součtem všech úhlu sférického trojúhelníku a úhlem prímým se nazývá exces sférického trojúhelníku (nadbytek), znací se e, tj. e = a + b

30 Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník Matematický základ pro rešení problému, které se vyskytují v geodézii, kartografii, astronomii Kosinová veta pro úhel Řešení sférického trojúhelníku

31 Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník Opakování rovinná trigonometrie... wikipedie Kosinová věta Pravoúhlý trojúhelník

32 Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník Figure: odvození (Převzato z [3])

33 Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník BS = BA sin α BA = BO sin c BS = BO sin c sin α BS = BC sin γ BC = BO sin a BS = BO sin a sin γ porovnáním a po úpravě Obdobně platí: sin c sin α = sin a sin γ sin a sin α = sin c sin γ sin b sin β = sin c sin γ, sin a sin α = sin b sin β.

34 Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník Figure: Kosinová věta odvození (Převzato z [3])

35 Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník Podle kosinové věty rovinné trigonometrie platí pro ABC resp. ACO: AC 2 = AB 2 + BC 2 2AB BC cos β AC 2 = OA 2 + OC 2 2OA OC cos b Pravé strany rovnic dáme do rovnosti a využijeme Pythagorovu větu pro OAB resp. OBC: 2OA OC cos b = OB 2 OB {}} 2 {{}}{ OA 2 AB 2 + OC 2 BC 2 +2AB BC cos β 2OA OC cos b = 2OB 2 + 2AB BC cos β

36 Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník Podle kosinové věty rovinné trigonometrie platí pro ABC resp. ACO: AC 2 = AB 2 + BC 2 2AB BC cos β AC 2 = OA 2 + OC 2 2OA OC cos b Pravé strany rovnic dáme do rovnosti a využijeme Pythagorovu větu pro OAB resp. OBC: 2OA OC cos b = OB 2 OB {}} 2 {{}}{ OA 2 AB 2 + OC 2 BC 2 +2AB BC cos β 2OA OC cos b = 2OB 2 + 2AB BC cos β

37 Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník Zkrátíme dvěma a obě strany vyděĺıme délkami stran OA a OC. Za poměry stran můžeme následně dosadit odpovídající goniometrické funkce rovinné trigonometrie: cos b = OB OC OB OC + AB OA BC OC cos β cos b = cos a cos c + sin c sin a cos β Obdobně pro zbývající strany a úhly. Tento vztah nazýváme kosinová věta pro stranu ve sférickém trojúhelníku: Jsou-li a, b, c strany a α, β, γ úhly sférického trojúhelníku. Platí: cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α

38 Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník Jsou-li a, b, c strany a α, β, γ úhly sférického trojúhelníku, pak platí: cos α = cos β cos γ + sin β sin γ cos a (a cyklické rovnosti).

39 Pravoúhlý sférický trojúhelník Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník pravoúhlé - mají jeden úhel pravý, strana proti pravému úhlu se nazývá přepona, zbylé strany jsou odvěsny, rovnoramenné - mají dvě strany shodné, tyto strany nazýváme ramena, zbývající strana je základna, rovnostranné - mají všechny strany shodné polární -...

40 Pravoúhlý sférický trojúhelník Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník V případě pravoúhlého trojúhelníku se věta sinová a kosinová výrazně zjednoduší. Položme γ = 90 (sin γ = 1, cos γ = 0): věta sinová pro pravoúhlý sférický trojúhelník bude mít tvar: sin a = sin c sin α, sin b = sin c sin β věty kosinové pro pravoúhlý sférický trojúhelník se změní na: cos α = sin β cos a, cos β = sin α cos b kos. věta pro úhel cos c = cos a cos b kos. věta pro stranu

41 Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník Neperovo pravidlo pro pravoúhlý trojúhelník: Do kruhového schématu zapíšeme nejprve přeponu c, po stranách přilehlé úhly α, β a proti nim rozdíly 90 a, 90 b, kde a, b jsou odvěsny pravoúhlého trojúhelníku. Dle Neperova pravidla platí:, že a kosinus každého prvku v kruhovém schématu je roven součinu sinů protilehlých prvků kosinus každého prvku v kruhovém schématu zároveň součinu kotangent sousedních prvků.

42 Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník Neperovo pravidlo pro pravoúhlý trojúhelník Figure: Převzato z [3]

43 Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník Neperovo pravidlo pro pravoúhlý trojúhelník Figure: Neperovo pravidlo, Převzato z [3]

44 Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník Zdroje: Grafarend E., Krumm F.: Map Projections, Springer, Germany, 2006 Buchar P.: Mtematická kartografie 10, Skriptum ČVUT, 2002 Hložek M.:, Dimplová práce ZČU, 2005