Geometrická nelinearita: úvod

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Geometrická nelinearita: úvod"

Michalina Górecka
5 lat temu
Przeglądów:

1 Geometrická nelinearita: úvod Opakování: stabilita prutů Eulerovo řešení s využitím teorie 2. řádu) Stabilita prutů Ritzovou metodou Stabilita tenkých desek 1

2 Geometrická nelinearita Velké deformace průhyby, pootočení,... ) Při popisu úlohy záleží na volbě referenčního systému souřadnic: v dalším tetu se bude předpokládat pevná soustava souřadnic během řešení se neměnící) Lagrangeovská Často se zavádí jen některé nelineární aspekty: např. teorie 2. řádu vyžaduje rovnováhu na zdeformované konstrukci, ale předpokládá malé deformace jako v lineární teorii pružnosti) 2

3 Teorie 2. řádu F q Klasicky teorie 1. řádu: M) = q L 2 q 2 2. Teorie 2. řádu: R M) w) L R M) 2 = M) + F w), Tedy: M) 2 = q L 2 2 q +F w). 2 3

4 Opakování: Eulerovo řešení 1) F vyšetřujeme ztrátu stability prutu zatíženého osovou silou postupy lineární teorie pružnosti a statiky nestačí je třeba uvažovat splnění podmínek rovnováhy na deformované konstrukci teorie 2. řádu w) 4

5 Opakování: Eulerovo řešení 2) Moment v bodě : F M = F w Vyjádření pomocí rovnice průhybové čáry: w = M EI = F w EI w Po úpravě a označení α 2 = F EI : w + α 2 w = 0 w) L 5

6 Opakování: Eulerovo řešení 3) F Rovnice: Obecné řešení: w + α 2 w = 0 w) L w = C 1 sin α + C 2 cos α 6

7 Opakování: Eulerovo řešení 4) F Obecné řešení: Okrajové podmínky 1): Pro = 0 je w = 0) = 0: w = C 1 sin α + C 2 cos α w) L 0 = C 1 sin α 0 + C 2 cos α 0 C 2 = 0 7

8 Opakování: Eulerovo řešení 5) Obecné řešení: F Okrajové podmínky 2): Pro = L je w = L) = 0: w = C 1 sin α + C 2 cos α 0 = C 1 sin α L = C 1 sin α L w) L Pro C 1 0 musí být sin αl = 0: αl = k π... k = 1, 2, 3,... 8

9 Opakování: Eulerovo řešení 6) Obecné řešení: F w = C 1 sin α + C 2 cos α Po dosazení okrajových podmínek: w) L w = C 1 sin kπ L 9

10 Opakování: Eulerovo řešení 7) F Dosadíme za α 2 : α 2 = F E I F = α2 EI... α L = 1 π Po úpravě a označení F cr = F w) L F cr = π 2EI L 2 Což je známá Eulerova kritická síla. 10

11 Ritzova metoda 1) F Aproimace průhybu: w = a 1 sin π L Potenciální energie: 1. Π N = F u a = F EA F L, u a... zkrácení prutu dle linenární teorie nezávisí na w) 2. Π M = F u b, u b... zkrácení v důsledku pootočení prutu w) L 11

12 Ritzova metoda 2) Zkrácení v důsledku pootočení prutu: du = d d cos ϕ Taylorův rozvoj : du Stručně: du d d1 1 2 ϕ2 ) = 1 2 ϕ2 d 1 2 w ) 2 d du 1 2 w ) 2 d d ϕ Pro celý prut: u b = 1 2 L 0 w ) 2 d 12

13 Ritzova metoda 3) Zvolení aproimace: Derivace: w = a 1 sin π L d ϕ du w = a 1 π L π cos L, π 2 w = a1 sin πl L2 Dosazení za u b = 1 2 L0 w ) 2 d: u b = π2 L 2L 2 a2 1 0 π π2 cos2 d = l 4L a2 1 13

14 Ritzova metoda 4) Potenciální energie: Π e = F u b = π2 4L F a2 1 Π i = 1 2 L 0 EIw ) 2 1 d = 2 EIA2 π 4 1 L 4 L 0 π π4 EI sin2 d = L 4 L 3 a2 1 Celková potenciální energie systému: Π = Π e + Π i = π2 4L F + π4 4 ) EI L 3 a 2 1 +Π N ) 14

15 Ritzova metoda 5) Hledání eterému minima) potenciální energie pomocí Π a 1 = 0: Π a 1 = π2 4L F + π4 EI 4L 3 ) 2a 1 = 0 Za předpokladu, že a 1 0: π2 4L F + π4 EI 4L 3 = 0 A tedy výsledek je shodný s Eulerovým řešením): F = π2 EI L 2 15

16 Stabilita stěno)desek 1) stabilitní problémy v důsledku zatížení v rovině konstrukce stěna vybočení deska z b a y Rovnice úlohy zatížení jen ve směru ): 4 w w 2 y w y 4 = N 2 w D 2 16

17 Stabilita stěno)desek 2) y Deska na všech okrajích prostě uložená: P 4 w w 2 y w y 4 = N 2 w D 2 Hledané řešení: w, y) = δ sin mπ nπy sin, m, n = 1, 2, 3,... a b Po dosazení: m 2 a 2 + n2 ) 2 b 2 = p n 2 D π 2 b 2 b a P 17

18 Stabilita stěno)desek 3) y Tedy: p = Dπ2 b 2 n 2 m 2 a 2 + n2 ) 2 b 2 Zbývá určit vhodná m, n. Doporučeno m = 1 viz Šejnoha). Protože P má být minimální P N = 0: Dπ 2 b 2 1 na 2 + n ) b 2 1 n 2 a ) b 2 = 0 b a P Vyjde: n = b a P 18

19 Stabilita stěno)desek 4) y P Protože n = b a : P = 4Dπ2 a 2 = Eh3 π 2 31 ν 2 )a 2 Což je hodnota hledaného kritického zatížení pozor na to, že dle výchozích předpokladů musí být n celé číslo!). b a P 19

20 Stabilita stěno)desek 5) Další možná předpokládaná průhybová plocha: Dosazením za w: 4 f y 4 2m2 π 2 2 f a 2 y 2 + Za předpokladu N D > m2 π 2 a 2 kde α = m 2 π 2 a 2 + w = fy) sin mπ a m 4 π 4 a 4 N D bude obecné řešení: m 2 π 2 a 2 ) f = 0 fy) = C 1 e ay + C 2 e ay + C 3 cos βy + C 4 sin βy N D m2 π 2 a 2, β = m2 π 2 a 2 + N m 2 π 2 Da 2 20

21 Stabilita stěno)desek 6) Řešení pro desku na třech okrajích prostě podepřenou: Okraj y = 0: N w = 0, Okraj y = b: m = 0 : D 2 w Y 2 + ν 2 ) w 2 = 0 b m = 0 : D 2 w Y 2 + ν 2 ) w 2 = 0 a R y = 0 : D 3 w y ν) 3 ) w 2 y = 0 kde R y je svislá reakce na volném okraji. y N 21

22 Stabilita stěno)desek 7) Z okrajových podmínek pro y = 0: C 1 = C 2, 3 = 0 A dále: w = fy) = A sinh αy + B sin βy Z okrajových podmínek pro y = b: Aα A α 2 ν m2 π 2 a 2 α 2 2 ν) m2 π 2 a 2 ) ) sinh αb B β 2 + ν m2 π 2 a 2 sin βb = 0 cosh αb Bβ β ν) m2 π 2 ) cos βb = 0 ) a 2 22

23 Stabilita stěno)desek 8) Aα A α 2 ν m2 π 2 a 2 α 2 2 ν) m2 π 2 a 2 ) ) sinh αb B β 2 + ν m2 π 2 a 2 sin βb = 0 cosh αb Bβ β ν) m2 π 2 ) cos βb = 0 ) a 2 Protože je třeba, aby A 0 a B 0: β α 2 ν m2 π 2 a 2 ) tanh αb = α β 2 + ν m2 π 2 a 2 ) tanh βb Výrazy α a β obsahují N, řešení lze najít numerickými metodami. 23

24 Stabilita stěno)desek: literatura Další doporučená literatura: Harvančík J., Drahoňovský, Z.: Výpočty prútových a plošných konstrukcií, Alfa, Bratislava, 1970 Ravinger, J., Psotný, M.: Analýza konštrukcií, Nelineárne úlohy, STU, Bratislava, 2006 Šejnoha, J., Bittnarová, J.: Stabilita skořepin. Doplňkové striptum. ČVUT, Praha,

Podobne dokumenty

Geometrická nelinearita: úvod

Geometrická nelinearita: úvod Opakování: stabilita prutů (Eulerovo řešení s využitím teorie 2. řádu) Stabilita prutů Ritzovou metodou Stabilita tenkých desek 1 Geometrická nelinearita Velké deformace (průhyby,