Kristýna Kuncová. Matematika B2

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Kristýna Kuncová. Matematika B2"

Milena Sikorska
6 lat temu
Przeglądów:

1 (3) Průběh funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 1 / 26

2 Monotonie (x 2 ) = 2x (sin x) = cos x Jak souvisí derivace funkce a fakt, zda je funkce rostoucí nebo klesající? Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 2 / 26

3 Monotonie (x 2 ) = 2x Přiřad te 1 f (x) > 0 2 f (x) 0 3 f (x) < 0 4 f (x) 0 D, A, C, B A f neklesající B f nerostoucí C f klesající D f rostoucí Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 3 / 26

4 Vztah první derivace a monotonie Věta (vztah derivace a monotonie) Necht I je interval a f je spojitá funkce na I. Necht Int I označuje množinu všech vnitřních bodů intervalu I. Necht existuje f (x) pro každé x Int I. Potom (i) je-li f (x) > 0 pro každé x Int I, pak je f rostoucí na I; (ii) je-li f (x) 0 pro každé x Int I, pak je f neklesající na I; (iii) je-li f (x) < 0 pro každé x Int I, pak je f klesající na I; (iv) je-li f (x) 0 pro každé x Int I, pak je f nerostoucí na I. Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 4 / 26

5 Extrémy (x 2 ) = 2x (sin x) = cos x Jak souvisí derivace funkce s existencí extrému? Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 5 / 26

6 Extrémy: potíže (x 3 ) = 3x 2 Jak souvisí derivace funkce s existencí extrému? Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 6 / 26

7 Extrémy: potíže podruhé Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 7 / 26

8 Extrémy: Další možnosti Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 8 / 26

9 Extrémy: Shrnutí Zdroj : Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 9 / 26

10 Nutná podmínka existence extrémů Věta (Nutná podmínka existence extrému) Necht I je interval, f je reálná funkce a a je vnitřním bodem I. Je-li a bodem lokálního extrému funkce f, pak bud f (a) neexistuje nebo f (a) = 0. Zdroj : Poznámka Bod a, pro nějž platí f (a) = 0, zveme bodem stacionárním. Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 10 / 26

11 Extrémy: příklad Necht funkce f má spojitou derivaci f (x), která se v bodě x = 2 mění ze záporné na kladnou. Která z následujících tvrzení jsou pravdivá? A 2 je stacionárním bodem funkce f (x). B f (2) je lokální maximum C f (2) je lokální minimum D f (2) je lokální maximum E f (2) je lokální minimum Zdroj: A, C Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 11 / 26

12 Extrémy: příklad Věta Jestliže funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu [a, b], pak na [a, b] nabývá svého (globálního) maxima i minima. Která tvrzení plynou z předchozí věty? A Jestliže f má na [a, b] globální maximum, pak f musí být na [a, b] spojitá. B Jestliže f není na [a, b] spojitá, pak f nemá na [a, b] globální maximum. C Jestliže f nemá na [a, b] globální maximum, pak f není na [a, b] spojitá. C Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 12 / 26

13 Konvexita a konkavita (x 3 ) = 6x (sin x) = sin x Jak souvisí druhá derivace funkce s konvexitou a konkavitou? Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 13 / 26

14 Konvexita a konkavita (x 3 ) = 6x Přiřad te 1 f (x) > 0 2 f (x) < 0 A f je ryze konvexní na I. B f je ryze konkávní na I. A, B Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 14 / 26

15 Konvexita a konkavita Věta (vztah druhé derivace a konvexity či konkávnosti) Necht f je spojitá funkce na intervalu I R a necht má f na Int I spojitou první derivaci. Je-li f (x) > 0 pro každé x Int I, pak f je ryze konvexní na I. Je-li f (x) < 0 pro každé x Int I, pak f je ryze konkávní na I. Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 15 / 26

16 Konvexita a konkavita: příklad Uhodněte, která křivka znázorňuje funkci, první derivaci a druhou derivaci: derivative first second.html Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 16 / 26

17 Inflexní bod Zdroj : illustration of inflection point.gif Pozn: Aminace Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 17 / 26

18 Inflexní bod Definition Necht f je reálná funkce a a R. Řekneme, že f má v bodě a inflexi, jestliže existuje vlastní f (a) a a existuje δ R, δ > 0 takové, že bud x P (a, δ) : f (x) > f (a) + f (a)(x a) x P + (a, δ) : f (x) < f (a) + f (a)(x a) nebo x P (a, δ) : f (x) < f (a) + f (a)(x a) x P + (a, δ) : f (x) > f (a) + f (a)(x a) a a Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 18 / 26

19 Inflexní bod (x 3 ) = 6x (sin x) = sin x Jak souvisí druhá derivace funkce a inflexní bod? Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 19 / 26

20 Inflexní bod - potíže (x 4 x) = 12x 2 Zdroj : to the 4th minus x.svg Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 20 / 26

21 Inflexní bod Věta (nutná podmínka pro inflexi) Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže existuje f (a) a je různá od nuly, pak a není inflexním bodem funkce f. Věta (postačující podmínka pro inflexi) Necht f má spojitou první derivaci na intervalu (a, b) a c (a, b). Předpokládejme, že nebo x (a, c) : f (x) > 0 a x (c, b) : f (x) < 0 x (a, c) : f (x) < 0, a x (c, b) : f (x) > 0. Pak c je inflexním bodem f. Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 21 / 26

22 Průběh: příklady Najděte funkci, která má maxima a minima v nekonečném množství bodů. sin x Najděte funkci, která je konvexní a přitom kladná. e x Je pravda, že je-li f (a) = 0, pak f má v a inflexní bod? Ne Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 22 / 26

23 Asymptoty Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 23 / 26

24 Asymptoty Definition Necht f je reálná funkce definovaná na nějakém okolí bodu. Necht a, b R. Řekneme, že f má v bodě asymptotu ax + b, jestliže ( ) f (x) ax b = 0. (1) lim x Analogicky definujeme asymptotu v bodě. Věta (tvar asymptoty) Funkce f má v bodě asymptotu ax + b právě tehdy, když f (x) lim = a R a lim (f (x) ax) = b R. (2) x x x Analogické tvrzení platí pro asymptotu v bodě. Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 24 / 26

25 Průběh funkce: příklad Načrtněte funkci y = f (x). Je definovaná a spojitá na celém R Zdroj : Calculus, Hughes-Hallet, Gleason, McCallum Načrtněte funkci y = f (x). Je definovaná a spojitá na celém R Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 25 / 26

26 Aplikace extrémů: příklad Bača by rád oplotil obdélníkový výběh pro ovce. K dispozici má 20 metrů pletiva a pozemek u řeky. Jaké mají být rozměry pozemku, aby byl co největší? Zdroj : Zadání inspirováno: Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 26 / 26

Podobne dokumenty

Co nám prozradí derivace? 21. listopadu 2018

Co nám prozradí derivace? 21. listopadu 2018 Co nám prozradí derivace? Seminář sedmý 21. listopadu 2018 Derivace základních funkcí Tečna a normála Tečna ke grafu funkce f v bodě dotyku T = [x 0, f (x 0 )]: y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Normála: y