Funkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál
|
|
|
- Przybysław Olejnik
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky
2 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Zobrazení a funkce více proměnných Zobrazení 3 Limita a spojitost funkce 4 Parciální a směrové derivace Parciální derivace Směrové derivace Totální diferenciál Tečná nadrovina ke grafu funkce
3 Plán přednášky 1 Literatura 2 Zobrazení a funkce více proměnných Zobrazení 3 Limita a spojitost funkce 4 Parciální a směrové derivace Parciální derivace Směrové derivace Totální diferenciál Tečná nadrovina ke grafu funkce
4 Doporučené zdroje Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text.
5 Doporučené zdroje Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s.
6 Doporučené zdroje Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp.
7 Doporučené zdroje Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. Předmětové záložky v IS MU
8 Plán přednášky 1 Literatura 2 Zobrazení a funkce více proměnných Zobrazení 3 Limita a spojitost funkce 4 Parciální a směrové derivace Parciální derivace Směrové derivace Totální diferenciál Tečná nadrovina ke grafu funkce
9 Křivky a funkce jsou speciální případy zobrazení F : E m E n. Stejně jako u vektorových prostorů, volba souřadnic, tj. našeho pohledu na věc, může zjednodušit nebo zhoršit naše vnímání. Změna souřadnic invertibilní zobrazení R n R n.
10 Křivky a funkce jsou speciální případy zobrazení F : E m E n. Stejně jako u vektorových prostorů, volba souřadnic, tj. našeho pohledu na věc, může zjednodušit nebo zhoršit naše vnímání. Změna souřadnic invertibilní zobrazení R n R n. 2/3*Pi 1/2*Pi 1/3*Pi Příklad: polohu P zadáváme jako vzdálenost od počátku souřadnic r a úhel ϕ mezi spojnicí s počátkem a osou x. 5/6*Pi Pi 7/6*Pi 1/6*Pi 0 0 1/6 1/3 1/2 2/3 5/6 12*Pi 11/6*Pi 4/3*Pi 3/2*Pi 5/3*Pi
11 Křivky a funkce jsou speciální případy zobrazení F : E m E n. Stejně jako u vektorových prostorů, volba souřadnic, tj. našeho pohledu na věc, může zjednodušit nebo zhoršit naše vnímání. Změna souřadnic invertibilní zobrazení R n R n. 2/3*Pi 1/2*Pi 1/3*Pi Příklad: polohu P zadáváme jako vzdálenost od počátku souřadnic r a úhel ϕ mezi spojnicí s počátkem a osou x. 5/6*Pi Pi 7/6*Pi 0 1/6*Pi 0 1/6 1/3 1/2 2/3 5/6 12*Pi 11/6*Pi 4/3*Pi 3/2*Pi 5/3*Pi Přechod z polárních souřadnic do standardních je P polární = (r, ϕ) (r cos ϕ, r sin ϕ) = P kartézské
12 Křivky a funkce jsou speciální případy zobrazení F : E m E n. Stejně jako u vektorových prostorů, volba souřadnic, tj. našeho pohledu na věc, může zjednodušit nebo zhoršit naše vnímání. Změna souřadnic invertibilní zobrazení R n R n. 2/3*Pi 1/2*Pi 1/3*Pi Příklad: polohu P zadáváme jako vzdálenost od počátku souřadnic r a úhel ϕ mezi spojnicí s počátkem a osou x. 5/6*Pi Pi 7/6*Pi 0 1/6*Pi 0 1/6 1/3 1/2 2/3 5/6 12*Pi 11/6*Pi 4/3*Pi 3/2*Pi 5/3*Pi Přechod z polárních souřadnic do standardních je P polární = (r, ϕ) (r cos ϕ, r sin ϕ) = P kartézské Graf funkce můžeme také vnímat jako obraz zobrazení R n R n+1.
13 Funkce jedné proměnné v polárních souřadnicích Jak už jsme podotkli, kartézské souřadnice jsou nejběžnější, ale nikoliv jediné možné. Mnohé objekty mají např. v polárních souřadnicích výrazně jednodušší vyjádření (toho využijeme i později zejména pro výpočty obsahů či objemů takových objektů).
14 Funkce jedné proměnné v polárních souřadnicích Jak už jsme podotkli, kartézské souřadnice jsou nejběžnější, ale nikoliv jediné možné. Mnohé objekty mají např. v polárních souřadnicích výrazně jednodušší vyjádření (toho využijeme i později zejména pro výpočty obsahů či objemů takových objektů). Příklad Archimedova spirála má v polárních souřadnicích rovnici r(ϕ) = a + bϕ, kde a, b R jsou parametry.
15 Plán přednášky 1 Literatura 2 Zobrazení a funkce více proměnných Zobrazení 3 Limita a spojitost funkce 4 Parciální a směrové derivace Parciální derivace Směrové derivace Totální diferenciál Tečná nadrovina ke grafu funkce
16 Limita funkce více proměnných Definici limity funkce v bodě lze takřka slovo od slova přepsat podle situace v případě funkcí jedné proměnné (okoĺı bodu již ale samozřejmě vypadají jinak).
17 Limita funkce více proměnných Definici limity funkce v bodě lze takřka slovo od slova přepsat podle situace v případě funkcí jedné proměnné (okoĺı bodu již ale samozřejmě vypadají jinak). Definice Funkce f : R n R má ve svém hromadném bodě a R n limitu L, jestliže ke každému okoĺı O(L) bodu L existuje okoĺı O(a) bodu a tak, že pro všechna x O(a) \ {a} platí f (x) O(L). Píšeme lim f (x) = L. x a
18 Limita funkce více proměnných Definici limity funkce v bodě lze takřka slovo od slova přepsat podle situace v případě funkcí jedné proměnné (okoĺı bodu již ale samozřejmě vypadají jinak). Definice Funkce f : R n R má ve svém hromadném bodě a R n limitu L, jestliže ke každému okoĺı O(L) bodu L existuje okoĺı O(a) bodu a tak, že pro všechna x O(a) \ {a} platí f (x) O(L). Píšeme lim f (x) = L. x a Obdobně jde (při vhodné definici okoĺı) limitu definovat i v nevlastních bodech (kterých je pro n 1 již 2 n ).
19 Limita funkce více proměnných Definici limity funkce v bodě lze takřka slovo od slova přepsat podle situace v případě funkcí jedné proměnné (okoĺı bodu již ale samozřejmě vypadají jinak). Definice Funkce f : R n R má ve svém hromadném bodě a R n limitu L, jestliže ke každému okoĺı O(L) bodu L existuje okoĺı O(a) bodu a tak, že pro všechna x O(a) \ {a} platí f (x) O(L). Píšeme lim f (x) = L. x a Obdobně jde (při vhodné definici okoĺı) limitu definovat i v nevlastních bodech (kterých je pro n 1 již 2 n ). Má-li mít funkce v daném bodě limitu, nesmí záležet na cestě, po které k danému bodu konvergujeme (analogie limit zleva a zprava u funkcí jedné proměnné).
20 Vlastnosti limit Analogické jako v případě jedné proměnné: Věta jednoznačnost limity, a někdy také o dvou policajtech :)
21 Vlastnosti limit Analogické jako v případě jedné proměnné: Věta jednoznačnost limity, věta o třech limitách a, a někdy také o dvou policajtech :)
22 Vlastnosti limit Analogické jako v případě jedné proměnné: Věta jednoznačnost limity, věta o třech limitách a, linearita, tj. lim (c f (x) + d g(x)) = c lim f (x) + d lim g(x), x a x a x a a někdy také o dvou policajtech :)
23 Vlastnosti limit Analogické jako v případě jedné proměnné: Věta jednoznačnost limity, věta o třech limitách a, linearita, tj. lim (c f (x) + d g(x)) = c lim f (x) + d lim g(x), x a x a x a multiplikativita, divisibilita, a někdy také o dvou policajtech :)
24 Vlastnosti limit Analogické jako v případě jedné proměnné: Věta jednoznačnost limity, věta o třech limitách a, linearita, tj. lim (c f (x) + d g(x)) = c lim f (x) + d lim g(x), x a x a x a multiplikativita, divisibilita, je-li lim x a f (x) = 0 a funkce g(x) je ohraničená v nějakém ryzím okoĺı bodu x, pak lim f (x)g(x) = 0. x a a někdy také o dvou policajtech :)
25 Příklad Vypočtěte limitu funkce f (x, y) = x 2 +y 2 x 2 +y v bodě (0, 0).
26 Příklad Vypočtěte limitu funkce f (x, y) = x 2 +y 2 x 2 +y v bodě (0, 0). Příklad Vypočtěte limitu funkce f (x, y) = (x + y) sin 1 x sin 1 y v bodě (0, 0).
27 Příklad Vypočtěte limitu funkce f (x, y) = x 2 +y 2 x 2 +y v bodě (0, 0). Příklad Vypočtěte limitu funkce f (x, y) = (x + y) sin 1 x sin 1 y v bodě (0, 0). Příklad Vypočtěte limitu funkce f (x, y) = xy x 2 +y 2 v bodě (0, 0).
28 Spojitost funkce Definice Funkce f : R n R je spojitá v hromadném bodě a R n, pokud má v a vlastní limitu a platí lim f (x) = f (a). x a
29 Spojitost funkce Definice Funkce f : R n R je spojitá v hromadném bodě a R n, pokud má v a vlastní limitu a platí Věta (Weierstrassova) lim f (x) = f (a). x a Spojitá funkce na kompaktní množině zde nabývá maxima i minima.
30 Spojitost funkce Definice Funkce f : R n R je spojitá v hromadném bodě a R n, pokud má v a vlastní limitu a platí Věta (Weierstrassova) lim f (x) = f (a). x a Spojitá funkce na kompaktní množině zde nabývá maxima i minima. Věta (Bolzanova) Necht f : R n R je spojitá na otevřené souvislé množině A. Jsou-li a, b A takové, že f (a) < 0 < f (b), pak existuje c A tak, že f (c) = 0.
31 Plán přednášky 1 Literatura 2 Zobrazení a funkce více proměnných Zobrazení 3 Limita a spojitost funkce 4 Parciální a směrové derivace Parciální derivace Směrové derivace Totální diferenciál Tečná nadrovina ke grafu funkce
32 Parciální derivace jsou nejsnazším rozšířením pojmu derivace funkce jedné proměnné, kdy se na funkci f (x 1,..., x n ) více proměnných díváme jako na funkci jedné proměnné x i a ostatní považujeme za konstatní.
33 Parciální derivace jsou nejsnazším rozšířením pojmu derivace funkce jedné proměnné, kdy se na funkci f (x 1,..., x n ) více proměnných díváme jako na funkci jedné proměnné x i a ostatní považujeme za konstatní. Definice Existuje-li limita 1 ( lim f (x t 0 t 1,..., xi 1, xi + t, xi+1,..., xn) f (x1,..., xn) ), říkáme, že funkce f : E n R má v bodě [x1,..., x n] parciální derivaci podle proměnné x i a značíme f xi (x1,..., x n) (příp. f x i (x1,..., x n) nebo f x i (x1,..., x n)).
34 Parciální derivace jsou nejsnazším rozšířením pojmu derivace funkce jedné proměnné, kdy se na funkci f (x 1,..., x n ) více proměnných díváme jako na funkci jedné proměnné x i a ostatní považujeme za konstatní. Definice Existuje-li limita 1 ( lim f (x t 0 t 1,..., xi 1, xi + t, xi+1,..., xn) f (x1,..., xn) ), říkáme, že funkce f : E n R má v bodě [x1,..., x n] parciální derivaci podle proměnné x i a značíme f xi (x1,..., x n) (příp. f x i (x1,..., x n) nebo f x i (x1,..., x n)). Podobně jako v případě jedné proměnné, pokud má funkce f : E n R parciální derivace ve všech bodech nějaké otevřené množiny, jsou tyto derivace rovněž funkcemi z E n do R.
35 Pro funkce v E 2 dostáváme x f (x 1 0, y 0 ) = lim t 0 t (f (x 0 + t, y 0 ) f (x 0, y 0 )) = f (x, y 0 ) f (x 0, y 0 ) = lim, x x0 x x 0 y f (x 1 0, y 0 ) = lim t 0 t (f (x 0, y 0 + t) f (x 0, y 0 )) = f (x 0, y) f (x 0, y 0 ) = lim. y y 0 y y 0
36 Pro funkce v E 2 dostáváme x f (x 1 0, y 0 ) = lim t 0 t (f (x 0 + t, y 0 ) f (x 0, y 0 )) = f (x, y 0 ) f (x 0, y 0 ) = lim, x x0 x x 0 y f (x 1 0, y 0 ) = lim t 0 t (f (x 0, y 0 + t) f (x 0, y 0 )) = f (x 0, y) f (x 0, y 0 ) = lim. y y 0 y y 0 Poznámka Parciální derivace funkce f : E 2 R podle x v bodě [x 0, y 0 ] udává směrnici tečny v bodě [x 0, y 0, f (x 0, y 0 )] ke křivce, která je průsečíkem grafu G f s rovinou y = y 0.
37 Parciální derivace vs. spojitost Rozdíl oproti funkcím jedné proměnné! Protože parciální derivace popisují chování funkce v okoĺı daného bodu jen velmi omezeně (pouze ve směru souřadných os), může se v jiných směrech chovat velmi divoce. Poznámka Z existence všech parciálních derivací v daném bodě neplyne spojitost v tomto bodě.
38 Parciální derivace vs. spojitost Rozdíl oproti funkcím jedné proměnné! Protože parciální derivace popisují chování funkce v okoĺı daného bodu jen velmi omezeně (pouze ve směru souřadných os), může se v jiných směrech chovat velmi divoce. Poznámka Z existence všech parciálních derivací v daném bodě neplyne spojitost v tomto bodě. Příklad Funkce f (x, y) = { 1 pro x=0 nebo y=0 0 jinak má v bodě [0, 0] obě parciální derivace nulové, přitom v tomto bodě neexistuje limita, a tedy není ani spojitá.
39 Směrové derivace Zmíněný nedostatek parciálních derivací se pokusíme napravit zavedením derivace v libovolném směru.
40 Směrové derivace Zmíněný nedostatek parciálních derivací se pokusíme napravit zavedením derivace v libovolném směru. Definice Funkce f : R n R má derivaci ve směru vektoru v R n v bodě x E n, jestliže existuje derivace d v f (x) složeného zobrazení t f (x + tv) v bodě t = 0, tj. d v f (x) = lim t 0 1 (f (x + tv) f (x)). t Směrovou derivaci v bodě x často značíme rovněž f v (x).
41 Směrové derivace Zmíněný nedostatek parciálních derivací se pokusíme napravit zavedením derivace v libovolném směru. Definice Funkce f : R n R má derivaci ve směru vektoru v R n v bodě x E n, jestliže existuje derivace d v f (x) složeného zobrazení t f (x + tv) v bodě t = 0, tj. d v f (x) = lim t 0 1 (f (x + tv) f (x)). t Směrovou derivaci v bodě x často značíme rovněž f v (x). Speciální volbou jednotkových vektorů ve směru souřadných os dostáváme právě parciální derivace funkce f.
42 Směrové derivace jsou tedy běžné derivace funkce jedné proměnné ϕ(t) = f (x + tv), proto i pro ně platí obvyklá pravidla pro derivování. Věta Existují-li pro v R n směrové derivace d v f (x), d v g(x) funkcí f, g : E n R v bodě x E n, pak: 1 d kv f (x) = k d v f (x), pro libovolné k R,
43 Směrové derivace jsou tedy běžné derivace funkce jedné proměnné ϕ(t) = f (x + tv), proto i pro ně platí obvyklá pravidla pro derivování. Věta Existují-li pro v R n směrové derivace d v f (x), d v g(x) funkcí f, g : E n R v bodě x E n, pak: 1 d kv f (x) = k d v f (x), pro libovolné k R, 2 d v (f ± g)(x) = d v f (x) ± d v g(x),
44 Směrové derivace jsou tedy běžné derivace funkce jedné proměnné ϕ(t) = f (x + tv), proto i pro ně platí obvyklá pravidla pro derivování. Věta Existují-li pro v R n směrové derivace d v f (x), d v g(x) funkcí f, g : E n R v bodě x E n, pak: 1 d kv f (x) = k d v f (x), pro libovolné k R, 2 d v (f ± g)(x) = d v f (x) ± d v g(x), 3 d v (fg)(x) = d v f (x) g(x) + f (x)d v g(x),
45 Směrové derivace jsou tedy běžné derivace funkce jedné proměnné ϕ(t) = f (x + tv), proto i pro ně platí obvyklá pravidla pro derivování. Věta Existují-li pro v R n směrové derivace d v f (x), d v g(x) funkcí f, g : E n R v bodě x E n, pak: 1 d kv f (x) = k d v f (x), pro libovolné k R, 2 d v (f ± g)(x) = d v f (x) ± d v g(x), 3 d v (fg)(x) = d v f (x) g(x) + f (x)d v g(x), 4 pro g(x) 0 je d v f (x) g(x) = 1 g 2 (x) (d v f (x) g(x) f (x)d v g(x)).
46 Směrové derivace jsou tedy běžné derivace funkce jedné proměnné ϕ(t) = f (x + tv), proto i pro ně platí obvyklá pravidla pro derivování. Věta Existují-li pro v R n směrové derivace d v f (x), d v g(x) funkcí f, g : E n R v bodě x E n, pak: 1 d kv f (x) = k d v f (x), pro libovolné k R, 2 d v (f ± g)(x) = d v f (x) ± d v g(x), 3 d v (fg)(x) = d v f (x) g(x) + f (x)d v g(x), 4 pro g(x) 0 je d v f (x) g(x) = 1 g 2 (x) (d v f (x) g(x) f (x)d v g(x)).
47 Směrové derivace jsou tedy běžné derivace funkce jedné proměnné ϕ(t) = f (x + tv), proto i pro ně platí obvyklá pravidla pro derivování. Věta Existují-li pro v R n směrové derivace d v f (x), d v g(x) funkcí f, g : E n R v bodě x E n, pak: 1 d kv f (x) = k d v f (x), pro libovolné k R, 2 d v (f ± g)(x) = d v f (x) ± d v g(x), 3 d v (fg)(x) = d v f (x) g(x) + f (x)d v g(x), 4 pro g(x) 0 je d v f (x) g(x) = 1 g 2 (x) (d v f (x) g(x) f (x)d v g(x)). Poznámka Neplatí ale aditivita vzhledem ke směrům: d u+v f (x) d u f (x) + d v f (x). Rovněž je vidět z výše uvedené věty, že směrová derivace nezávisí jen na směru vektoru, ale i na jeho velikosti.
48 Směrové derivace vs. spojitost Že nám ke spojitosti nepomohlo ani zavedení směrových derivací, ukazuje následující příklad. Příklad Funkce definovaná předpisem f (x, y) = x 4 y 2 x 8 + y 4 mimo počátek a f (0, 0) = 0, má v počátku všechny směrové derivace nulové, přitom zde není spojitá (nebot při konvergenci po různých parabolách dostáváme různé limity).
49 Směrové derivace vs. spojitost Že nám ke spojitosti nepomohlo ani zavedení směrových derivací, ukazuje následující příklad. Příklad Funkce definovaná předpisem f (x, y) = x 4 y 2 x 8 + y 4 mimo počátek a f (0, 0) = 0, má v počátku všechny směrové derivace nulové, přitom zde není spojitá (nebot při konvergenci po různých parabolách dostáváme různé limity). Již v případě limit jsme viděli, že nestačí zkoumat chování funkce ve směru souřadných os (parciální derivace), ani po přímkách (směrové derivace), proto by nás uvedené chování nemělo překvapit.
50 Směrové derivace vs. spojitost Že nám ke spojitosti nepomohlo ani zavedení směrových derivací, ukazuje následující příklad. Příklad Funkce definovaná předpisem f (x, y) = x 4 y 2 x 8 + y 4 mimo počátek a f (0, 0) = 0, má v počátku všechny směrové derivace nulové, přitom zde není spojitá (nebot při konvergenci po různých parabolách dostáváme různé limity). Již v případě limit jsme viděli, že nestačí zkoumat chování funkce ve směru souřadných os (parciální derivace), ani po přímkách (směrové derivace), proto by nás uvedené chování nemělo překvapit. Ke spojitosti potřebujeme silnější pojem, tzv. totální diferenciál,
51 Diferenciál funkce jedné proměnné V minulém semestru jste si říkali, že diferenciál dy funkce jedné proměnné v bodě x 0 je přírůstek na tečně ke grafu funkce y = f (x) v tomto bodě a jeho existence je ekvivalentní existenci derivace tamtéž.
52 Diferenciál funkce jedné proměnné V minulém semestru jste si říkali, že diferenciál dy funkce jedné proměnné v bodě x 0 je přírůstek na tečně ke grafu funkce y = f (x) v tomto bodě a jeho existence je ekvivalentní existenci derivace tamtéž. Ukázali jste si, že diferenciál závislé proměnné dy je lineární funkcí diferenciálu nezávislé proměnné dx, splňující dy = f (x 0 ) dx.
53 Diferenciál funkce jedné proměnné V minulém semestru jste si říkali, že diferenciál dy funkce jedné proměnné v bodě x 0 je přírůstek na tečně ke grafu funkce y = f (x) v tomto bodě a jeho existence je ekvivalentní existenci derivace tamtéž. Ukázali jste si, že diferenciál závislé proměnné dy je lineární funkcí diferenciálu nezávislé proměnné dx, splňující dy = f (x 0 ) dx. Formálně říkáme, že funkce f : R R je diferencovatelná v x 0, pokud existuje A R tak, že f (x 0 + h) f (x 0 ) Ah lim = 0. h 0 h (Přitom z definice derivace snadno plyne, že pak A = f (x 0 ).)
54 Následující definice věrně sleduje chování diferenciálu funkcí jedné proměnné:
55 Následující definice věrně sleduje chování diferenciálu funkcí jedné proměnné: Definice Funkce f : E n R je diferencovatelná v bodě x, jestliže existuje vektor a = (a 1,..., a n ) R n takový, že pro všechny směry v R n platí lim v 0 1 ( ) f (x + v) f (x) a v = 0. v
56 Následující definice věrně sleduje chování diferenciálu funkcí jedné proměnné: Definice Funkce f : E n R je diferencovatelná v bodě x, jestliže existuje vektor a = (a 1,..., a n ) R n takový, že pro všechny směry v R n platí lim v 0 1 ( ) f (x + v) f (x) a v = 0. v Lineární funkci df definovanou předpisem v a v (závislou na vektorové proměnné v) nazýváme diferenciál funkce f. V literatuře se často také říká totální diferenciál df funkce f.
57 Diferenciál vs. spojitost Díky tomuto zesílení parciálních a směrových derivací již dostáváme spojitost: Věta Je-li funkce f : R n R diferencovatelná v bodě x R n, pak je v tomto bodě spojitá.
58 Diferenciál vs. spojitost Díky tomuto zesílení parciálních a směrových derivací již dostáváme spojitost: Věta Je-li funkce f : R n R diferencovatelná v bodě x R n, pak je v tomto bodě spojitá. Důkaz: Z diferencovatelnosti f v bodě x plyne f (x + v) f (x) = a v + τ(v), kde lim v 0 τ(v) v = 0.
59 Diferenciál vs. spojitost Díky tomuto zesílení parciálních a směrových derivací již dostáváme spojitost: Věta Je-li funkce f : R n R diferencovatelná v bodě x R n, pak je v tomto bodě spojitá. Důkaz: Z diferencovatelnosti f v bodě x plyne τ(v) f (x + v) f (x) = a v + τ(v), kde lim v 0 v = 0. Proto: ( ) ( ) lim f (x + v) f (x) = lim a v + τ(v) = 0, v 0 v 0 a tedy lim f (x + v) = f (x). v 0
60 Věta Je-li funkce f diferencovatelná v bodě x, pak má v tomto bodě všechny směrové (a tedy i parciální) derivace. Pro libovolné v R n je přitom d v f (x) = df (x)(v), tj. v označení z definice diferenciálu d v f (x) = a v.
61 Věta Je-li funkce f diferencovatelná v bodě x, pak má v tomto bodě všechny směrové (a tedy i parciální) derivace. Pro libovolné v R n je přitom d v f (x) = df (x)(v), tj. v označení z definice diferenciálu Důkaz: d v f (x) = a v. 1( ) 1( ) d v f (x) = lim f (x + tv) f (x) = lim df (x)(tv) + τ(tv) = t 0 t t 0 t τ(tv) = df (x)(v) + v lim = df (x)(v) = a v. t 0 tv
62 Věta Je-li funkce f diferencovatelná v bodě x, pak má v tomto bodě všechny směrové (a tedy i parciální) derivace. Pro libovolné v R n je přitom d v f (x) = df (x)(v), tj. v označení z definice diferenciálu Důkaz: d v f (x) = a v. 1( ) 1( ) d v f (x) = lim f (x + tv) f (x) = lim df (x)(tv) + τ(tv) = t 0 t t 0 t τ(tv) = df (x)(v) + v lim = df (x)(v) = a v. t 0 tv Poznámka Z předchozího je ihned vidět, že vektor parciálních derivací f (x) je přímo roven vektoru a.
63 Uvažujme f : E 2 R se spojitými parciálními derivacemi. Diferenciál v pevném bodě [x 0, y 0 ] je lineární funkce df : E 2 R df = f x dx + f y dy na přírůstcích se souřadnicemi danými právě parciálními derivacemi.
64 Uvažujme f : E 2 R se spojitými parciálními derivacemi. Diferenciál v pevném bodě [x 0, y 0 ] je lineární funkce df : E 2 R df = f f dx + x y dy na přírůstcích se souřadnicemi danými právě parciálními derivacemi. Příklad Přímo z definice určete df a funkci τ pro f (x, y) = x 2 + y 2 v obecném bodě [x, y ].
65 Uvažujme f : E 2 R se spojitými parciálními derivacemi. Diferenciál v pevném bodě [x 0, y 0 ] je lineární funkce df : E 2 R df = f f dx + x y dy na přírůstcích se souřadnicemi danými právě parciálními derivacemi. Příklad Přímo z definice určete df a funkci τ pro f (x, y) = x 2 + y 2 v obecném bodě [x, y ]. Řešení Kvůli přehlednosti označme h := dx, k := dy. Pak f (x + dx, y + dy) f (x, y ) = = (x + h) 2 + (y + k) 2 (x ) 2 (y ) 2 = = 2x h + 2y h + h 2 + k 2. Odtud df (x, y )(h, k) = 2x h + 2y k a τ(h, k) = h 2 + k 2.
66
67 Obecněji v případě funkcí více proměnných píšeme obdobně df = f x 1 dx 1 + f x 2 dx f x n dx n ( ) a platí: Věta Necht f : E n R je funkce n proměnných, která má v okoĺı bodu x E n spojité parciální derivace. Pak existuje její diferenciál df v bodě x a jeho souřadné vyjádření je dáno rovnicí ( ).
68 Přibližné výpočty Podobně jako v případě diferenciálu funkcí jedné proměnné lze i diferenciál funkce více proměnných využít k (velmi) přibližným výpočtům. Příklad Pomocí diferenciálu přibližně vypočteme e 0,053 0,02.
69 Přibližné výpočty Podobně jako v případě diferenciálu funkcí jedné proměnné lze i diferenciál funkce více proměnných využít k (velmi) přibližným výpočtům. Příklad Pomocí diferenciálu přibližně vypočteme e 0,053 0,02. Řešení Využijeme diferenciál funkce f (x, y) = e x3 +y v bodě x = [0, 0] s diferencemi v = (0,05; 0,02). Máme df (x, y) = e x3 +y 3x 2 dx + e x3 +y dy, a tedy df (0, 0) = 0 dx + 1 dy, což celkem dává odhad e 0,053 0,02 = f (0,05; 0,02) f (0, 0) + df (0,05; 0,02) = 1 0,02 = 0,98.
70 Tečná nadrovina ke grafu funkce Pro f : E 2 R a pevný bod [x 0, y 0 ] E 2 uvažme rovinu v E 3 : z = f (x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ). Je to jediná rovina procházející (x 0, y 0 ), ve které leží derivace a tedy i tečny všech křivek c(t) = (x(t), y(t), f (x(t), y(t))). Říkáme jí tečná rovina ke grafu funkce f.
71 Tečná nadrovina ke grafu funkce Pro f : E 2 R a pevný bod [x 0, y 0 ] E 2 uvažme rovinu v E 3 : z = f (x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ). Je to jediná rovina procházející (x 0, y 0 ), ve které leží derivace a tedy i tečny všech křivek c(t) = (x(t), y(t), f (x(t), y(t))). Říkáme jí tečná rovina ke grafu funkce f. Na obrázku jsou zobrazeny dvě tečné roviny ke grafu funkce f (x, y) = sin(x) cos(y). Červená čára je obrazem křivky c(t) = (t, t, f (t, t)) x x
72 Obecně pro f : E n R je tečnou rovinou afinní nadrovina v E n+1.
73 Obecně pro f : E n R je tečnou rovinou afinní nadrovina v E n+1. Tato nadrovina 1 prochází bodem (x, f (x)) 2 její zaměření je grafem lineárního zobrazení df (x) : E n R, tj. diferenciálu v bodě x E n.
74 Obecně pro f : E n R je tečnou rovinou afinní nadrovina v E n+1. Tato nadrovina 1 prochází bodem (x, f (x)) 2 její zaměření je grafem lineárního zobrazení df (x) : E n R, tj. diferenciálu v bodě x E n. Analogie s funkcemi jedné proměnné Diferencovatelná funkce f má na E n v bodě x E n nulový diferenciál tehdy a jen tehdy, když její složení s libovolnou křivkou procházející tímto bodem zde má stacionární bod. To ovšem neznamená, že v takovém bodě musí mít f aspoň lokálně bud maximum nebo minimum. Stejně jako u funkcí jedné proměnné můžeme rozhodovat teprve podle derivací vyšších.
Funkce více proměnných: limita, spojitost, derivace
Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, derivace Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 22. 9. 2014 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Zobrazení a funkce více
Funkce zadané implicitně. 4. března 2019
Funkce zadané implicitně 4. března 2019 Parciální derivace druhého řádu Parciální derivace druhého řádu funkce z = f (x, y) jsou definovány: Parciální derivace 2 f 2 = ( ) f 2 f 2 = ( ) f 2 f a 2 f 2 f
(1) Derivace. Kristýna Kuncová. Matematika B2 17/18. Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35
(1) Derivace Kristýna Kuncová Matematika B2 17/18 Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35 Růst populací Zdroj : https://www.tes.com/lessons/ yjzt-cmnwtvsq/noah-s-ark Kristýna Kuncová (1) Derivace 2 / 35 Růst
Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f(b) f(a) b a. Geometricky
Monotónie a extrémy funkce Diferenciální počet - průběh funkce Věta o střední hodnotě (Lagrange) Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f (ξ)
Co nám prozradí derivace? 21. listopadu 2018
Co nám prozradí derivace? Seminář sedmý 21. listopadu 2018 Derivace základních funkcí Tečna a normála Tečna ke grafu funkce f v bodě dotyku T = [x 0, f (x 0 )]: y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Normála: y
MATEMATIKA 3. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATIKA 3 Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Osnova: Komplexní funkce - definice, posloupnosti, řady Vybrané komplexní funkce
Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19
(6) Určitý integrál Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 1 / 28 Newtonův integrál Zdroj: https://kwcalculus.wikispaces.com/integral+applications Kristýna Kuncová (6)
Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více
5 Diferenciální počet funkcí více proměnných Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více proměnných, především budeme pracovat s funkcemi dvou proměnných Ukážeme
Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18
Komplexní analýza Mocninné řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18 Posloupnosti komplexních čísel opakování
Matematika (KMI/PMATE)
Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam (smysl) koeficientů lineární
Kristýna Kuncová. Matematika B3
(10) Vícerozměrný integrál II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 1 / 30 Transformace Otázka Jaký obrázek znázorňuje čtverec vpravo po transformaci u = x + y a
Kristýna Kuncová. Matematika B2
(3) Průběh funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 1 / 26 Monotonie (x 2 ) = 2x (sin x) = cos x Jak souvisí derivace funkce a fakt, zda je funkce rostoucí nebo klesající?
x y (A)dy. a) Určete a načrtněte oblasti, ve kterých je funkce diferencovatelná. b) Napište diferenciál funkce v bodě A = [x 0, y 0 ].
![x y (A)dy. a) Určete a načrtněte oblasti, ve kterých je funkce diferencovatelná. b) Napište diferenciál funkce v bodě A = [x 0, y 0 ].](/thumbs/94/121813288.jpg "x y (A)dy. a) Určete a načrtněte oblasti, ve kterých je funkce diferencovatelná. b) Napište diferenciál funkce v bodě A = [x 0, y 0 ].")
II.4. Totální diferenciál a tečná rovina Značení pro funkci z = f,: totální diferenciál funkce f v bodě A = 0, 0 ]: dfa = A 0+ A 0 Označme d = 0, d = 0. Pak dfa = A d+ A d Příklad91.Je dána funkce f, =.
Vybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2018-2019 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 1 / 11 Křivkový integrál Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 2 / 11 Parametricky zadaná křivka v R 3 :
Úvodní informace. 18. února 2019
Úvodní informace Funkce více proměnných Cvičení první 18. února 2019 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Úvodní informace. Komunikace: e-mail: olga@majling.eu nebo olga.majlingova@fs.cvut.cz
Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19. Kristýna Kuncová (1) Vzorové otázky 1 / 36
(1) Vzorové otázky Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (1) Vzorové otázky 1 / 36 Limity - úlohy Otázka Určete lim x 0 f (x) A -3 B 0 C 5 D 7 E D Zdroj: Calculus: Single and Multivariable,
Linea rnı (ne)za vislost
[1] Lineární (ne)závislost Skupiny, resp. množiny, vektorů mohou být lineárně závislé nebo lineárně nezávislé... a) zavislost, 3, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010,
(2) Funkce. Kristýna Kuncová. Matematika B2. Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25
(2) Funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25 Sudá a lichá funkce Určete, které funkce jsou sudé a které liché: liché: A, D, E sudé: B Kristýna Kuncová (2) Funkce 2 / 25
(13) Fourierovy řady
(13) Fourierovy řady Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (13) Fourierovy řady 1 / 22 O sinech a kosinech Lemma (O sinech a kosinech) Pro m, n N 0 : 2π 0 2π 0 2π 0 sin nx dx = sin nx cos mx
1 Soustava lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Soustava lineárních rovnic 2 Řešitelnost soustavy lineárních rovnic 3 Gaussova eliminační metoda 4 Jordanova eliminační
5. a 12. prosince 2018
Integrální počet Neurčitý integrál Seminář 9, 0 5. a. prosince 08 Neurčitý integrál Definice. Necht funkce f (x) je definovaná na intervalu I. Funkce F (x) se nazývá primitivní k funkci f (x) na I, jestliže
Numerické metody minimalizace
Numerické metody minimalizace Než vám klesnou víčka - Stříbrnice 2011 12.2. 16.2.2011 Emu (Brkos 2011) Numerické metody minimalizace 12.2. 16.2.2011 1 / 19 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Princip minimalizace
Obsah. Limita posloupnosti a funkce. Petr Hasil. Limita posloupnosti. Pro a R definujeme: Je-li a < 0, pak a =, a ( ) =. vlastní body.
Obsah a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I Úvod 2 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 2 / 90 Úvod Úvod Pro a R definujeme:
Matematická analýza 2. Kubr Milan
Matematická analýza. Kubr Milan. února 008 Obsah Vektorové funkce jedné reálné proměnné. 3. Základní pojmy...................................... 3. Křivky v R n........................................
Diferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se
Diferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se separovanými proměnnými. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské
x2 + 2x 15 x 2 + 4x ) f(x) = x 2 + 2x 15 x2 + x 12 3) f(x) = x 3 + 3x 2 10x. x 3 + 3x 2 10x x 2 + x 12 10) f(x) = log 2.
Příklady k 1 zápočtové písemce Definiční obor funkce Určete definiční obor funkce: x + x 15 1 f(x x + x 1 ( x + x 1 f(x log x + x 15 x + x 1 3 f(x x 3 + 3x 10x ( x 3 + 3x 10x f(x log x + x 1 x3 + 5x 5
Určitý (Riemannův) integrál a aplikace. Nevlastní integrál. 19. prosince 2018
Určitý (Riemnnův) integrál plikce. Nevlstní integrál Seminář 9. prosince 28 Určitý integrál Existence: Necht funkce f (x) je definovná n uzvřeném intervlu, b. Necht je splněn n tomto intervlu kterákoliv
Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text
Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32
Komplexní analýza Úvod Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32 Základní informace Stránky předmětu: http://math.feld.cvut.cz/bohata/kan.html
Aproximace funkcí 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885. Body proložíme lomenou čarou.
Příklad Známe následující hodnoty funkce Φ: u Φ(u) 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885 Odhadněte přibližně hodnoty Φ(1,02) a Φ(1,16). Možnosti: Vezmeme hodnotu v nejbližším bodě. Body proložíme lomenou čarou.
Sb ırka pˇr ıklad u z matematick e anal yzy II Petr Tomiczek
Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah 0 Diferenciální rovnice. řádu 0. Separace proměnných Příklad : Najděte obecné řešení (obecný integrál) diferenciální rovnice y = tg x tg y.
Edita Pelantová, katedra matematiky / 16
Edita Pelantová, katedra matematiky seminář současné matematiky, září 2010 Axiomy reálných čísel Axiomy tělesa Axiom 1. x + y = y + x a xy = yx (komutativní zákon). Axiom 2. x + (y + z) = (x + y) + z a
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU
Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187
Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými
(a). Pak f. (a) pro i j a 2 f
Připomeň: 1. Necht K R n. Pak 1. Funkce více proměnných II 1.1. Parciální derivace vyšších řádů K je kompaktní K je omezená a uzavřená. 2. Necht K R n je kompaktní a f : K R je spojitá. Pak f nabývá na
Stochastické modelování v ekonomii a financích Konzistence odhadu LWS. konzistence OLS odhadu. Předpoklady pro konzistenci LWS
Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě Stochastické modelování v ekonomii a financích 7. 12. 2009 Obsah Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě 1 Whitův 2 pro 3 heteroskedasticitě
Numerické metody 8. května FJFI ČVUT v Praze
Obyčejné diferenciální rovnice Numerické metody 8. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Základní metody Pokročilejší metody Soustava Vyšší řád Program 1 Úvod Úvod - Úloha Základní úloha, kterou řešíme
podle přednášky doc. Eduarda Fuchse 16. prosince 2010
Jak souvisí plochá dráha a konečná geometrie? L ubomíra Balková podle přednášky doc. Eduarda Fuchse Trendy současné matematiky 16. prosince 2010 (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince 2010
fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Extrémy Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného
Inverzní Z-transformace
Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 9. přednáška 11MSP úterý 16. dubna 2019 verze: 2019-04-15 12:25
Matematika 2, vzorová písemka 1
Matematika 2, vzorová písemka Pavel Kreml 9.5.20 Přesun mezi obrazovkami Další snímek: nebo Enter. Zpět: nebo Shift + Enter 2 3 4 Doporučení Pokuste se vyřešit zadané úlohy samostatně. Pokud nebudete vědět
Mendelova univerzita v Brně user.mendelu.cz/marik
INŽNÝRSKÁ MATMATIKA Robert Mařík Mendelova univerzita v Brně marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik ABSTRAKT. Učební text k mým přednáškám z předmětu Inženýrská matematika. Text je poměrně hutný a není
Stavový popis Stabilita spojitých systémů (K611MSAP) Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT. čtvrtek 20. dubna 2006
Modelování systémů a procesů (K611MSAP) Přednáška 4 Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT Pravidelná přednáška K611MSAP čtvrtek 20. dubna 2006 Obsah 1 Laplaceova transformace Přenosová funkce
7. Aplikace derivace
7. Aplikace derivace 7A. Taylorův polynom 7. Aplikace derivace Verze 20. července 207 Derivace funkce se využívá při řešení úloh technické prae i teorie. Uvedeme několik z nich: vyčíslení hodnot funkce,
Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 8. přednáška: Kvadratické formy Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la Text byl vytvořen
1 Definice. A B A B vlastní podmnožina. 4. Relace R mezi množinami A a B libovolná R A B. Je-li A = B relace na A
1 Definice 1. Množiny: podmnožina: A B x(x A x B) průnik: A B = {x A x B} sjednocení: A B = {x x A x B} rozdíl: A B = {x A x B} A B A B vlastní podmnožina 2. uspořádaná dvojice: (x, y) = {{x}, {x, y}}
Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici
Řešení ODR v MATLABu Přednáška 3 15. října 2018 Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 Víme, že v intervalu a, b existuje jediné řešení. (f (x, y) a f y jsou spojité
Elementární funkce. Edita Pelantová. únor FJFI, ČVUT v Praze. katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze
Elementární funkce Edita Pelantová FJFI, ČVUT v Praze Seminář současné matematiky katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze únor 2013 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor 2013 1 / 19 Polynomiální
Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1 řádu Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter
MATEMATIKA 1 ALEŠ NEKVINDA. + + pokud x < 0; x. Supremum a infimum množiny.
MATEMATIKA ALEŠ NEKVINDA DIFERENCIÁLNÍ POČET Přednáška Označíme jako na střední škole N, Z, Q, R a C postupně množinu přirozených, celých, racionálních, reálných a komplexních čísel R = R { } { } Platí:
Teorie. kuncova/ Definice 1. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže existuje.
8. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Definice. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže eistuje h 0 fa + h) fa), h pak tuto itu nazýváme derivací funkce f v bodě
kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův)
TÉMA 7: Pružný poloprostor, modely podloží pružný poloprostor základní předpoklady pružný poloprostor Boussinesqueovo řešení kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův) 1 Pružný poloprostor (1) vychází z
Matematická analýza pro učitele (text je v pracovní verzi)
Matematická analýza pro učitele (text je v pracovní verzi) Martina Šimůnková 6. června 208 2 Obsah Úvod 7. Co je to funkce.......................... 7.2 Co budeme na funkcích zkoumat................. 9.2.
GEM a soustavy lineárních rovnic, část 2
GEM a soustavy lineárních rovnic, část Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část / Minulá přednáška Gaussova
Obsah. 1 Konstrukce (definice) Riemannova integrálu Výpočet Newtonova Leibnizova věta Aplikace výpočet objemů a obsahů 30
Určitý integrál Robert Mřík 6. září 8 Obsh 1 Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. Výpočet Newtonov Leibnizov vět. 18 3 Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo 19 4 Aplikce výpočet objemů obshů 3 c Robert
Matematická analýza II pro kombinované studium. Konzultace první a druhá. RNDr. Libuše Samková, Ph.D. pf.jcu.cz
Učební texty ke konzultacím předmětu Matematická analýza II pro kombinované studium Konzultace první a druhá RNDr. Libuše Samková, Ph.D. e-mail: lsamkova@ pf.jcu.cz webová stránka: home.pf.jcu.cz/ lsamkova/
Operace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument)
![Operace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument)](/thumbs/95/126221157.jpg "Operace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument)")
KAPITOLA : Funkce - úvod [MA-8:P.] reálná funkce (jedné) reálné proměnné... f : A R...... zobrazení množin A R do množin reálných čísel R funkční hodnota... = f() ( argument) ( tj. reálná funkce f : A
Geometrická nelinearita: úvod
Geometrická nelinearita: úvod Opakování: stabilita prutů Eulerovo řešení s využitím teorie 2. řádu) Stabilita prutů Ritzovou metodou Stabilita tenkých desek 1 Geometrická nelinearita Velké deformace průhyby,
Obsah. Petr Hasil. (konjunkce) (disjunkce) A B (implikace) A je dostačující podmínka pro B; B je nutná podmínka pro A A B: (A B) (B A) A (negace)
Množiny, číselné obory, funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 Obsah Množinové operace Operace s funkcemi Definice
Rovnice proudění Slapový model
do oceánského proudění Obsah 1 2 3 Co způsobuje proudění v oceánech? vyrovnávání rozdílů v teplotě, salinitě, tlaku, ρ = ρ(p, T, S) vítr - wind stress F wind = ρ air C D AU 2 10 slapy produkují silné proudy,
Laplaceova transformace
Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 5. přednáška 11MSP 219 verze: 219-3-17
Jednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.
Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah 1 2 Obsah 1 2 Společné vlastnosti jednoduchých zobrazení: Zobrazovací ref. plocha je rovina - souřadnice X, Y, případně ρ, ɛ Zobrazovaná ref. plocha je eliposid
Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzích
Periodický pohyb obecného ve dvou dimenzích Autor: Šárka Petříčková (A05221, sarpet@students.zcu.cz) Vedoucí: Ing. Petr Nečesal, Ph.D. Matematické metody v aplikovaných vědách a ve vzdělávání, Fakulta
Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.
Lineární prostor Lineární kombinace Lineární prostory nad R Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 1.1 1.4 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: Lineární algebra 01A-2018: Lineární
Matematika III Stechiometrie stručný
Matematika III Stechiometrie stručný matematický úvod Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík Ústav matematiky Přednášky LS 2015-2016 Obsah 1 Zápis chemické reakce 2 umožňuje jednotný přístup
Komplexní analýza. Příklad Body. Nepište obyčejnou tužkou ani červeně, jinak písemka nebude přijata. Soupis vybraných vzorců. 4a.
Komplexí aalýa Písemá část koušky (XX.XX.XXXX) Jméo a příjmeí:... Podpis:... Příklad.. 3.. 5. Body Před ahájeím práce Vyplňte čitelě rubriku Jméo a příjmeí a podepište se. Během písemé koušky smíte mít
Metody, s nimiž se seznámíme v této kapitole, lze použít pro libovolnou
2. Řešení nelineárních rovnic Průvodce studiem Budeme se zabývat výpočtem reálných kořenů nelineární rovnice f(x) =0, (2.0.1) kde f je v jistém smyslu rozumná reálná funkce. Pro některé funkce (kvadratické,
Matematika I (KMI/PMATE) Co se naučíme? x = a a x = b. rozumět pojmu střední hodnota funkce na daném intervalu. Obrázek 1.
Mtemtik I (KMI/PMATE). Integrální počet funkcí jedné proměnné.. Co se nučíme? Po sérii přednášek věnovných integrálům byste měli být schopni: rozumět definici pojmu neurčitý integrál používt metodu přímé
Kapitola 2. Nelineární rovnice
Kapitola. Nelineární rovnice Formulace: Je dána funkce f : R! R definovaná na intervalu ha; bi. Hledáme x ha; bi tak, aby f(x) = 0. (x... kořen rovnice) Poznámka: Najít přesné řešení analyticky je možné
Nekomutativní Gröbnerovy báze
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Zuzana Požárková Nekomutativní Gröbnerovy báze Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: RNDr. Jan Št ovíček, Ph.D. Studijní
Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je. Nejprve shrneme pojmy a fakta, které znáte ze střední školy.
1 Kapitola 1 Množiny 1.1 Základní množinové pojmy Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je souhrn, nebo soubor navzájem rozlišitelných objektů, kterým říkáme prvky. Pro známé množiny
Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 24. z aˇr ı 2013 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 24. z aˇr ı / 52
í150doc-start í251doc-start Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 24. září 2013 1 / 52 Matematika 1 Jiří Fišer 24. září 2013 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 24. září 2013 1 / 52 Zimní semestr
Zadání: Vypočítejte hlavní momenty setrvačnosti a vykreslete elipsu setrvačnosti na zadaných
Příklad k procvičení : Průřeové charakteristik Zadání: Vpočítejte hlavní moment setrvačnosti a vkreslete elipsu setrvačnosti na adaných obracích. Příklad. Zadání: Rokreslení na jednoduché obrace: 500 T
DFT. verze:
Výpočet spektra signálu pomocí DFT kacmarp@fel.cvut.cz verze: 009093 Úvod Signály můžeme rozdělit na signály spojité v čase nebo diskrétní v čase. Další možné dělení je na signály periodické nebo signály
Obsah. 1.2 Integrály typu ( ) R x, s αx+β
Sbírka úloh z matematické analýzy. Čížek Jiří Kubr Milan. prosince 006 Obsah Neurčitý integrál.. Základní integrály...................................... Integrály typu ) R, s α+β γ+δ d...........................
Jednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.
Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah 1 2 Obsah 1 2 Společné vlastnosti jednoduchých zobrazení: Zobrazovací ref. plocha je rovina - souřadnice X, Y, případně ρ, ɛ Zobrazovaná ref. plocha je eliposid
Referenční plochy. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.
Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah 1 2 Souřadnice na elipsoidu Zeměpisné souřadnice Kartografické souřadnice Izometrické (symetrické) souřadnice Pravoúhlé a polární souřadnice 3 Ortodroma Loxodroma
Logika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
VŠB-Technická univerzita Ostrava
VŠB-Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky Využití metod nehladké optimalizace v tvarové optimalizaci Ing. Petr Beremlijski Obor: Informatika a
Speciální funkce, Fourierovy řady a Fourierova transformace
1 Speciální funkce, Fourierovy řady a Fourierova transformace Při studiu mnoha přírodních jevů se setkáváme s veličinami, které jsou všude nulové s výjimkou malého časového intervalu I, ale jejich celková
David Nádhera Kontinuace implicitně zadané křivky
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE David Nádhera Kontinuace implicitně zadané křivky Katedra numerické matematiky Vedoucí bakalářské práce: Doc. RNDr. Vladimír Janovský
Poznámky z matematiky
Poznámky z matematiky Verze: 6. října 04 Petr Hasil hasil@mendelu.cz http://user.mendelu.cz/hasil/ Ústav matematiky Lesnická a dřevařská fakulta Mendelova univerzita v Brně Vytvořeno s podporou projektu
Automatové modely. Stefan Ratschan. Fakulta informačních technologíı. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Automatové modely Stefan Ratschan Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Stefan
Matematika II. Ing. Radek Fučík, Ph.D. WikiSkriptum. verze: 25. října 2019
Mtemtik II Ing. Rdek Fučík, Ph.D. WikiSkriptum verze: 25. říjn 209 Obsh Integrce rcionálních funkcí 4 2 Zobecněný Riemnnův integrál 5 2. Definice........................................ 5 2.2 Kritéri konvergence.................................
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta
Univerzita arlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAALÁŘSÁ PRÁCE Matěj Novotný Operátory skládání na prostorech funkcí atedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Jiří Spurný
Numerické metody a statistika
Numerické metody a statistika Radek Kučera VŠB-TU Ostrava 2016-2017 ( ) Numerické metody a statistika 2016-2017 1 / 17 Číslo předmětu: 714-0781/02 Rozsah: 2+2 Hodnocení: 6 kreditů Přednáší: Radek Kučera
Katedra fyziky. Dvourozměrné sigma modely. Two-Dimensional Sigma Models
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská Katedra fyziky Obor: Matematické inženýrství Zaměření: Matematická fyzika Dvourozměrné sigma modely Two-Dimensional Sigma Models
Škola matematického modelování 2017
Počítačová cvičení Škola matematického modelování 2017 Petr Beremlijski, Rajko Ćosić, Marie Sadowská Počítačová cvičení Škola matematického modelování Petr Beremlijski, Rajko Ćosić, Marie Sadowská Katedra
Definice Řekneme, že PDA M = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,Z 0,F) je. 1. pro všechna q Q a Z Γ platí: kdykoliv δ(q,ε,z), pak δ(q,a,z) = pro všechna a Σ;
Deterministické zásobníkové automaty Definice 3.72. Řekneme, že PDA M = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,Z 0,F) je deterministický (DPDA), jestliže jsou splněny tyto podmínky: 1. pro všechna q Q a Z Γ platí: kdykoliv δ(q,ε,z),
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky bakalářská práce vícebodové okrajové úlohy Plzeň, 18 Hana Levá Prohlášení Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala
Základy obecné algebry
. Základy obecné algebry Ústav matematiky, Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně, 2013 Obsah 1 Algebraické struktury 3 1.1 Operace a zákony................................. 3 1.2 Některé důležité typy
algebrou úzce souvisí V druhém tematickém celku se předpokládá základní znalosti z matematické analýzy
1 Úvodem Prezentace předmětu VMP je vytvořena pro nový předmět, který si klade za cíl seznámit studenty se základy lineární algebry a se základy numerické matematiky. Zejména v prvním tématu budeme pracovat
Petr Beremlijski, Marie Sadowská
Počítačová cvičení Petr Beremlijski, Marie Sadowská Katedra aplikované matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB - Technická univerzita Ostrava Cvičení : Matlab nástroj pro matematické modelování
Algebra I Cvičení. Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se
Algebra I Cvičení Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se kterými jsem při přípravě cvičení spolupracoval. Sbírka vznikla modifikací některých
Obsah. Zobrazení na osmistěn. 1 Zobrazení sféry po částech - obecné vlastnosti 2 Zobrazení na pravidelný konvexní mnohostěn
Obsah 1 2 3 Použití Zobrazení rozsáhlého území, ale hodnoty zkreslení nesmí přesáhnout určitou hodnotu Rozdělením území na menší části a ty pak zobrazíme zvlášť Nevýhodou jsou však samostatné souřadnicové
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. bankovnictví. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Barbora Janečková Aplikace 2-dimenzionálních rozdělení v bankovnictví Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí
Internet a zdroje. (Zdroje na Internetu) Mgr. Petr Jakubec. Katedra fyzikální chemie Univerzita Palackého v Olomouci Tř. 17.
Internet a zdroje (Zdroje na Internetu) Mgr. Petr Jakubec Katedra fyzikální chemie Univerzita Palackého v Olomouci Tř. 17. listopadu 12 26. listopadu 2010 (KFC-INTZ) Databáze, citování 26. listopadu 2010
Okrajový problém podmínky nejsou zadány v jednom bodu nejčastěji jsou podmínky zadány ve 2 bodech na okrajích, ale mohou být
Obyčejné diferenciální rovnice 1 Úvod Obyčejnou diferenciální rovnici N-tého řádu f ( x,y,y,y,...,y (N)) = g(x) převádíme na soustavu N diferenciálních rovnic 1. řádu. Provedeme substituce y z 1 y z 2...
Tvarová optimalizace pro 3D kontaktní problém
Tvarová optimalizace pro 3D kontaktní problém s Coulombovým třením Petr Beremlijski, Jaroslav Haslinger, Michal Kočvara, Radek Kučera a Jiří V. Outrata Katedra aplikované matematik Fakulta elektrotechnik
(A B) ij = k. (A) ik (B) jk.
Příklady z lineární algebry Michael Krbek 1 Opakování 1.1 Matice, determinanty 1. Je dána matice 1 2 0 M = 3 0 1. 1 0 1 Určete M 2, MM T, M T M a vyjádřete M jako součet symetrické a antisymetrické matice!