5. a 12. prosince 2018

Transkrypt

1 Integrální počet Neurčitý integrál Seminář 9, 0 5. a. prosince 08

2 Neurčitý integrál Definice. Necht funkce f (x) je definovaná na intervalu I. Funkce F (x) se nazývá primitivní k funkci f (x) na I, jestliže platí F (x) = f (x) pro každé x I. Množina všech primitivních funkcí k funkci f (x) na I se nazývá neurčitý integrál z funkce f (x) a značí se f (x): f (x) = F (x) Věta. Necht funkce F (x) je primitivní k funkci f (x) na intervalu I. Pak každá jiná primitivní funkce k funkcif (x) na I má tvar F (x) + c, kde c R. Věta. Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak na tomto intervalu existuje alespoň jedna primitivní funkce k funkci f.

3 Věta. Necht na intervalu I existují integrály f (x) a g(x). Pak na I existují také integrály (f (x) ± g(x)) a a f (x), kde a R je libovolná konstanta, a platí: (f (x) ± g(x)) = f (x) ± g(x), a f (x) = a f (x) Neurčitý integrál ze součtu (rozdílu) je součtem (rozdílem) neurčitých integrálů, konstantu lze z neurčitého integrálu vytknout. Přímo z definice neurčitého integrálu vyplývá platnost rovností [ f (x)] = f (x) a F (x) = F (x) + c, c R

4 Základní integrační metody Tabulkové integrály Metoda per partes Substituční metoda

5 Tabulkové integrály 0 = c = x + c 3 x α = xα+ α + + c α R, α 4 = ln x + c x 5 e x = e x + c 6 a x = ax ln a + c, a > 0 7 sin x = cos x + c 8 cos x = sin x + c 9 = arctgx + c + x 0 = arcsinx + c x cos = tgx + c x Příklady ( x 3 ) x x 3 x x 4 x + ( 3 ) x x x x + + x sin x cos x cos x cos x cotg x

6 Substituční metoda Připomenutí: (F [ϕ(x)]) = F [ϕ(x)] ϕ (x) Věta. Necht funkce f (u) má na otevřeném intervalu J primitivní funkci F (u), funkce ϕ(x) má derivaci na otevřeném intervalu I a pro libovolé x I je ϕ(x) J. Pak má složená funkcef [(ϕ(x))]ϕ (x) na intervalu I primitivní funkci a platí f [(ϕ(x))]ϕ (x) = F [ϕ(x)] + c Použití: Označíme u = ϕ(x). Rovnost u = ϕ(x) diferencujeme: u = du =, ϕ (x) = dϕ(x) Nahradíme ϕ(x) u, ϕ (x) du: f [(ϕ(x))]ϕ (x) = ϕ(x) = u ϕ (x) = du = f (u) du

7 Příklady : substituční metoda sin x cos x x ln x x arccosx e x e x + sin x e 5x x + 9 4x x

8 Metoda per-partes Připomenutí: (u(x) v(x)) = u (x) v(x) + u(x) v (x) u(x) v (x) = u(x) v(x) u (x) v(x) Příklady. (x + 3) cos x. x ln x 3. x ln x 4. ln x arctgx e x cos x cos(ln x)x x sin x

9 Racionální funkce Racionální funkce je podíl dvou mnohočlenů. f (x) = a 0 + a x + a x + + a k x k b 0 + b x + b x + + b l x l Každou neryze lomenou racionální funkci (stupeň čitatele je větší než stupeň jmenovatele nebo je mu roven) lze dělením převést na součet mnohočlenu a ryze lomené racionální funkce (stupeň čitatele je menší než stupeň jmenovatele). x 3 + x + x x x + 3x 4 9x 3 + 3x x + x + x +

10 Parciální zlomky A, k N, α, A R (x α) k Bx + C (x + px + q) k, k N, B, C, p, q R, p 4q < 0

11 Rozklad na parciální zlomky Necht R(x) = P(x) je racionální ryze lomená funkce. Q(x) Podle rozkladu jmenovatele Q(x) = a(x α ) k... (x α r ) kr (x +p x +q ) l... (x +p s x +q s ) ls rozkládáme R(x) na součet parciálních zlomků: k násobnému reálnému kořenu α hledáme A i : A x α,..., A k (x α) k l násobným komplexně sdruženým kořenům odpovídajícím x + px + q hledáme M, N,..., M l, N l : B x + C x + px + q,..., B l x + C l (x + px + q) l

12 Rozklad na parciální zlomky - příklady.. x x 6x + 5 x (x ) x + 8 x x + x 3 3x 4 9x 3 + 3x x + x + x +

13 Integrály obsahující goniometrické funkce: R(cos x, sin x) cos m (x) sin n (x), m, n Z aspoň jedno z čísel m, n je liché: substituce: (m je liché) sin x = t resp. (n je liché) cos x = t cos x = dt resp. sin x = dt, sin x = cos x cos x = sin x obě čísla jsou sudá, nezáporná úprava: sin cos x x =, cos x = obě čísla jsou sudá, alespoň jedno záporné: substituce: t = tg x + cos x univerzální substituce t = tg x, x ( π, π), x = arctg t, = t t dt, sin x =, cos x = + t + t + t

14 Příklady cos 5 x sin x sin x cos x, x (0, π) sin 4 x cos x

15 Substituce t = tg x sin x Příklad cos 8 x Integrujme na např. I = ( π, π ). m = : sudé, n = 8: sudé záporné, použijeme t = tg x t = tg x, x = arctg t, = + t dt, x I Potřebujeme vyjádřit sin x, cos x pomocí tg x. t sin x =, cos x = + t + t Potřebné vztahy odvodíme z pravoúhlého trojúhelníka, jehož jeden úhel má velikost x. Přilehlou odvěsnu zvoĺıme rovnu, protilehlá odvěsna bude mít velikost tg x. Z Pythagorovy věty vypočteme velikost přepony + t. Použijeme definice funkcí sinus a kosinus (poměr velikostí protilehlé, resp. přilehlé odvěsny ku přeponě). sin x cos 8 x = substituce t = tg x = ) ( t + t ( ) 8 + t dt = + t

16 sin x cos 8 x = substituce t = tg x = ( ) t + t ( ) 8 + t dt = + t = = ( t + t ) 4 + t + t dt = t ( + t ) dt = t t5 5 + t7 7 + C = = 3 tg3 x + 5 tg5 x + 7 tg7 x + C

17 Univerzální substituce t = tg x, x ( π, π) t = tg x, x = arctg t, = + t dt, x I Potřebujeme vyjádřit sin x, cos x pomocí tg x. sin x = t, cos x + t = + t sin x = t t, cos x = + t + t Příklad, x (0, π) sin x cos x + Potřebné vztahy odvodíme z pravoúhlého trojúhelníka, jehož jeden úhel má velikost x. Přilehlou odvěsnu zvoĺıme rovnu, protilehlá odvěsna bude mít velikost tg x. Z Pythagorovy věty vypočteme velikost přepony + t. Použijeme definice funkcí sinus a kosinus (poměr velikostí protilehlé, resp. přilehlé odvěsny ku přeponě) a vzorce pro dvojnásobný úhel sin α = sin α cos α, cos α = cos α sin α.

18 Příklad = = sin x cos x + = t + t t + t + t = tg x = dt +t sin x = t + t cos x = t + t 4t + t + + t dt = Rozložíme na parciální zlomky: t t(t ) = A t + + t dt = ln + t dt = t t = t t dt = B t A(t ) + Bt = A =, B = = + C = ln tg x + C

19 Integrály obsahující odmocniny R(x, s x): substituce x = t s x + x + Příklad: x + x R(x, s ax + b): substituce ax + b = t s R(x, ax + bx + c): Eulerovy substituce, goniometrické substituce