Obsah. 1.2 Integrály typu ( ) R x, s αx+β

Transkrypt

1 Sbírka úloh z matematické analýzy. Čížek Jiří Kubr Milan. prosince 006

2 Obsah Neurčitý integrál.. Základní integrály Integrály typu ) R, s α+β γ+δ d Integrály typu Rsin, cos ) d Integrály typu R, a + b + c) d Binomické integrály

3 Kapitola Neurčitý integrál. Integrační vzorce. Funkce f) f) d Podmínky n a n+ n+ + C n N, R a+ a+ + C a R, a, 0, + ) ln + C R {0} e e + C R a a ln a + C R, a > 0, a sin cos + C R cos sin + C R cos tg + C R, k+)π, k Z sin cotg + C R, kπ, k Z arcsin + C, ) + arctg + C R sh ch + C R ch sh + C R ch th + C R sh cth + C R {0} + ln + + ) + C R ln + + C R, Poznámka: Také lze psát d arccos + C poněvadž platí d arccotg + C, + arcsin + arccos π,, arctg + arccotg π, R.

4 . Základní integrály. Poznámka: Ve všech výsledcích této kapitoly je vynechána integrační konstanta.. Užitím základních integračních vzorců vypočtěte f) d, je-li a) f) ; b) f) ; c) f) + ; d) f) ) ; + ln + e) f) ) ; 7 + f) f) + ; + g) f) ) ; h) f) ) ) ); + i) f) ; arcsin j) f) + ; arctg k) f) + + ) ; arctg l) f) a e, a e a ; e +ln a m) f) ;, ln,) n) f) + 0 ; ) ln ln ) o) f) + sin + cos ; cos + sin p) f) arcsin + arccos ; π q) f) + + ; ln r) f) tg ; tg s) f) cotg ; cotg t) f) th ; th u) f) cth ; cth ; v příkladech t) a u) užijte vztahu ch sh v) f) sin ; sin w) f) ; tg cotg cos cos sin ) f) +cos +cos ; y) f) + ; tg + ) + arctg z) f) e + e + ; e e +

5 . Necht f) d F ) + C t.j. F je primitivní funkce k f). Ukažte, že pro a 0 platí fa + b) d F a + b) + C. a Řešení: Platí d d { F a + b) + C a } d a d F a + b) a F a + b) a fa + b).. Užitím předchozího vzorce vypočtěte f) d, je-li a) f) + ) ; b) f) ) ; c) f) 8 ; d) f) 8 ) 8 ; e) f) ) / ; 6 + )6 8 ) 8) 8 8 ) 8 ) f) f) + ; 6 arctg g) f) ; arcsin h) f) e + e ; e e i) f) sin sin α; α R; cos sin α j) f) sin +π/) ; cotg ) + π k) f) ; ch l) f) +cos ; m) f) cos ; n) f) +sin ; tg π th tg cotg ) ) ; užijte vztahu sin cos π o) f) ++ ; arctg + p) f) ; arcsin. Ukažte, že f ) d ln f) + C f) na vnitřku M definičního oboru funkce f ) f). Řešení: Pro M je d d ln f) + C f ) f).. Užitím předchozího vzorce vypočtěte f) d v příkladech h)-l) určete množinu M z příkladu.), je-li a) f) + ; ln + b) f) e e + ; lne + ) c) f) cotg; ln sin d) f) tg; ln cos

6 e) f) th; f) f) cth; g) f) h) f) e e ; ln ; i) f) +ln ) ; j) f) arcsin ; k) f) l) f) m) f) cos sin cos ; cos + sin ; sin +cos ; 6. Užitím substituce vypočtěte f) d, je-li a) f) ; d) f) sin ; e) f) ; + ln ch ln sh 6 ln e ln ln ln + ln ln arcsin ln sin ln + sin ln + cos ) b) f) arcsin ; c) f) ln + ; Řešení: a) Platí d t d ln pro, 0). ln b) Daný integrál rozdělíme nejdříve na dva integrály. Platí arcsin d arcsin arcsin t + C + C t ln ln d arcsin d. V prvém integrálu zavedeme substituci t, neboli d ; ve druhém arcsin u, tedy du. Oud plyne, že pro 0, ). d u du t t u u + C arcsin + C c) Položíme-li u ln +, platí du + ++ ) d d ln + d a tedy u du u + C ln + + C pro, ). Všiměte si, že f je lichá a F sudá. d) Platí d sin d sin cos pro kπ podle příkladu. d tg cos d cos tg ln tg + C

7 e) Výsledek najdete v úvodní tabulce. Získáme jej substitucí sht. Platí d + sht d cht t + C argsh + C ln + + ) + C. Tento integrál je však možné vypočítat i bez znalosti hyperbolických funkcí. Substituce cotg t, t 0, π), d sin t, převádí obecně integrál R, + ) d z racionální funkce R v proměnných, + na integrál R sin t, cos t) z racionální funkce R v proměnných sin t, cos t, který se naučíme řešit v odstavci.. V našem případě dostaneme d + sin t cotg t + sin t ln tg t + C ln cotg t + C podle příkladu d). Dále platí cotgt cotg t cotg t a oud cotg t cotg t 0, neboli ) cotg t, ± +. Poněvadž t ) 0, π, je cotg t > 0 a musíme vyloučit znaménko pro všechna R je + < 0). To nám dává konečný výsledek d + ln + + ) + C, R. Poznámka: Jako v příkladu 6d) lze substitucí sin t, t ) 0, π vypočítat d ln + ) + C,, + ). Protože f) je sudá, primitivní funkce F ) ln + je lichá a protože Df) DF ), ), + ), platí i poslední vzorec úvodní tabulky. 7. Pomocí věty o substituci najděte f) d, je-li a) f) sin cos ; b) f) c) f) + ) ; +) ; sin + ) +) d) f) ; + + e) f) + ; + ) + f) f) ; + ) + g) f) ; h) f) e ; 8 e i) f) e cos sin ; e cos j) f) ln ; ln k) f) arctg + ; arctg l) f) sin cotg ; cotg 6

8 m) f) sin ; cos n) f) cos ; sin sin +cos o) f) sin cos ; sin p) f) e ; e cos q) f) + ; arctg r) f) cos ; ln tg + ) ) π, užijte vztahu cos sin + π a příkladu 6d) s) f) sh ; ln th, užijte vztahu sh sh ch a postupu z příkladu 6d) t) f) ch ; arctg e u) f) etg +cotg cos ; e tg + ln tg, rozdělte daný integrál na dva ) v) f) sin + cos ; arctg tg, vydělte čitatele i jmenovatele cos ) Poznámka: Funkce F ) arctg tg je primitivní k funkci f v množině M DF ) R {k + ) π } ; k Z. Pro funkci F, s DF ) R, která je dána předpisem F ) arctg ) tg + kπ, k ) π ), k + )π ; k Z, platí F ) f), R a F je tedy spojitá v R. Přesvědčte se o tom. Graf funkce F jsme slepili posouváním částí grafu F. Nakreslete obrázek a vše si rozmyslete. w) f) arcsin ) f) ; pro > vytkněte z a výsledek rozšiřte sudě na R, ) arcsin sin, cos +cos ; y) f) +e ; vyjádřete cos pomocí sin ; slepte opět primitivní funkci k f na celém R ln + + e ); vytkněte e z + e a užijte příkladu 6d) z) f) e ; arcsin e, vytkněte e / z e 8. Užitím integrace per partes vypočtěte f) d, je-li a) f) e ; b) f) n ln, n ; c) f) ln + + ); d) f) ln + ; e) f) arcsin ; f) f) a, a > 0; g) f) e a cos b, resp. e a sin b), a + b > 0; h) f) ln n, n N {0}; i) f) n e a, n N {0}, a 0; j) f) + ) n, n N. Řešení: a) Do integrálu e d zavedeme nejdříve substituci t; oud d. Je tedy te t u t v e t u v e t te t + e t e t t + ) + C e + ) + C. 7

9 b) Platí n ln d u ln u v n v n+ n+ je n ) n+ n + ln n + n d n+ n + ) ln + C. n + ) Pro n se daný integrál řeší substitucí t ln viz příklad 7j)). c) Platí d) Je ln + + ) d u ln + + ) v u + v ln + + d ) ln + + ) + + C + ln + d u ln + v u ln d v ln + ln + C Podmínka > 0 je splněna, nebot funkce ln + pro, ). ln + + ln + d + d d + C. ln + ln ) e) Je arcsin d u arcsin v u arcsin v arcsin u arcsin v u v je definována pro + > 0, t. j. arcsin d arcsin + arcsin d arcsin + arcsin + C. Tento integrál lze řešit i substitucí sin t, t π, π ). f) Platí a d u a v u v a + a d a. Jestliže v posledním integrálu odečteme a přičteme a, dostaneme a a + a + a ) d a a d+ a +a d a a a d + a arcsin a. Pro hledaný integrál I dostáváme rovnici a I + a arcsin a řešením je a + a arcsin ) + C. a a jejím 8

10 Poznámka: Integrály typu R, a ) d, kde R je racionální funkce v proměnných a a, se obecně řeší substitucí a sin t, t π, π ). Vypočtěte tímto postupem znovu příklad 8f) a posud te, který výpočet je jednodušší. g) Pro a 0 je e a cos b d u cos b v e a u b sin b v a ea a ea cos b+ b e a sin b d a u sin b v e a u b cos b v a ea a ea cos b + b a ea sin b b a I. Z dané rovnice vypočteme e a cos b d ea a a cos b + b sin b) + C. + b Integrál K e a sin b d můžeme vypočítat stejným způsobem nebo využít předchozího výpočtu. Platí totiž a ea cos b + b a K a oud K e a sin b d b a I ) a ea cos b + C ea a a sin b b cos b) + C. + b Pro a 0 a b 0 je výpočet obou integrálů jednoduchý a odvozené vzorce rovněž platí. Poznámka: Ten, kdo zná Eulerův vztah e a+ib e a cos b + i sin b), může uvedený integrál vypočítat následujícím způsobem: I + ik e a+ib) d ea+ib) a + ib ea a cos b + i sin b)a ib) + b ea a a cos b + b sin b) + ia sin b b cos b). + b Oddělením reálné a imaginární části v tomto vztahu dostaneme oba vzorce pro I i K současně. h) Jestliže označíme I n ln n d, dostaneme I n u ln n v u n lnn v lnn n ln n d ln n ni n, tedy posloupnost {I n } n je určena rekurentně prvým členem I 0 a rekurentní formulí I n ln n ni n, n N. Oud I ln d ln, I ln d ln ln + atd. i) Analogicky jako v předchozím příkladu můžeme psát I n n e a d u n u n n v e a v a ea 9

11 n a ea n a tedy opět dostaneme rekurentní formuli n e a d n a ea n a I n, I n n a ea n a I n. Vypočtěte I, I, I, víte-li, že I 0 ea a. j) Označme K n d + n ). Potom platí u + K n ) v n u n v + ) n+ + ) n + n d + ) n+ Z rovnice K n + ) n + n + + ) n+ d + ) n + nk n nk n+. + ) + nk n n nk n+ dostaneme rekurentní formuli K n+ n + ) n + n n K n, odkud můžeme postupně spočítat K, K,..., nebot K arctg. Poznámka: Této rekurentní formule budeme v dalším používat při integraci racionální funkce, jejíž jmenovatel má komplení vícenásobné kořeny a při výpočtu integrálů, které se na integrály z racionálních funkcí zmíněného typu převádějí. 9. Vypočtěte f) d, je-li a) f) ln ; b) f) e ; c) f) cos ; d) f) sh; e) f) e ; f) f) sin ; ln, srovnejte s příkladem 8b) e + ), srovnejte s příkladem 8i) sin + cos ch sh e + + ), srovnejte s příkladem 8i) cos + sin cos ) g) f) arctg ; arctg ln + ) h) f) arcsin ; arcsin + ) i) f) ch; + 9 sh + ) 7 ch j) f) cos ; k) f) arctg ; l) f) cos ; tg + ln cos arctg + arctg ) 8 + sin + cos ), užijte vzorec cos +cos m) f) ln + ); ln + ) + arctg n) f) tg ; tg + ln cos o) f) arcsin + ; + arcsin + p) f) e ; q) f) ln ; ), zaved te substituci t e 7 9 ln ln + 8) 0

12 r) f) ) ln ; ln + ln + ) s) f) arccos ; arccos + 9 t) f) e ; e ) u) f) arctg ; arctg + arctg v) f) sin ; 6 ) cos 6 ) sin, v příkladech t)-v) užijte substituce t w) f) arctg ; + )arctg arctg + ln + ) ) f) + a ; { + a + a ln + + a ) }, užijte postupů z příkladů 8f) a 6e) y) f) e e sin cos ); sin cos ), užijte příklad 8g) z) f) e sin e ; 8 cos sin ), 0. Vypočtěte f) d, je-li užijte vzorec sin a) f) + 8, b) f) + ), c) f) +, cos a příklad 8g) d) f) +, e) f) +)+ ), f) f) +) ++). Řešení: a) Poněvadž je daná racionální funkce neryze lomená, musíme nejdříve provést dělení: + 8) : ) ) + ). Poslední zlomek je již racionální ryze lomená funkce, kterou rozložíme na součet parciálních zlomků ) + ) A + B + C +, kde A, B, C jsou zatím neznámé konstanty. Vynásobením rovnosti výrazem ) dostaneme A ) + B + ) + C ). Položíme-li 0, dostaneme pro neznámou A rovnici 8 A A. Analogicky dosazením dostaneme 0 8B B, dosazením dostaneme 8C C. Pro 0, ± je tedy + 8 d + d+ d+ d+ d + ++ ln + ln ln + +C + d ++ln b) Danou racionální funkci rozložíme na součet parciálních zlomků. Platí Oud + ) A + B + C + D + E ). d + d ) + ) + A ) + B ) + C ) + D ) + E. +C.

13 Srovnáním koeficientů u odpovídajících si mocnin dostaneme soustavu lineárních algebraických rovnic Řešením soustavy rovnic dostaneme : 0 A +D : A +B D +E : A B +C : 0 B C 0 : C C, B, A, D, E. je nyní + ) d d d d + + d + d ) ln ) + C ln + C. ) Poznámka: Ostrogradského metoda) Je-li P ) Q) ryze lomená racionální funkce, kde Q) k α i ) ki t.j. polynom Q má kořeny α i s násobností k i, i,,..., k, při čemž α i mohou být komplení). Označme Q ) i k α i ), Q ) Q) Q ). i V předchozím příkladu 0b) je Q) ), Q ) ). Potom je P ) Q) d P ) Q ) + P ) Q ) d, kde funkce P Q je výraz P a P Q jsou ryze lomené racionální funkce. V předchozím příkladu 0b) Q součet integrálů všech parciálních zlomků, které mají ve jmenovateli vyšší mocninu kořenověho činitele než, t.j. P d d Q + + d ), výraz P Q je součet prvního a čtvrtého parciálního zlomku, t.j. P Q ). Musíme určit polynomy P a P ; zapíšeme je pomocí neurčitých koeficientů + ) d A + B + C D + E + ) ) d. Tuto rovnost zderivujeme a vynásobíme nejmenším společným jmenovatelem všech zlomků. Dostaneme tak + ) A + B ) A + B + C A + B + C ) ) + D + E )

14 a dále + A+B) ) A +B+C){ )+}+D+E) ). Porovnáním koeficientů u stejných mocnin dostaneme soustavu lineárních algebraických rovnic: : 0 D : A D + E : B E : 0 B C 0 : C Její řešení je C, D 0, B, E, + ) d ) Nyní zbývá rozložit funkci ) a A. Oud tedy dostáváme d ). na parciální zlomky a vypočítat d ). ) A + B, A ) + B. Dosazením do poslední rovnosti dostaneme B, dosazením 0 dostaneme A. Je tedy d ) ) d ln ln ) + C ln + C. a oud + ) d + ) ln + C. Uvedená Ostrogradského metoda je výhodná v případě vícenásobných kompleních kořenů polynomu Q. Vyhneme se totiž užití rekurentní formule pro integrál d + ), n n N, n. Příležitostně tuto metodu připomeneme. c) Jestliže danou racionální funkci rozložíme na součet parciálních zlomků, dostaneme + ) + ) A + + B + C + ; A + ) + B + C) + ). Porovnáním koeficientů u stejných mocnin dostaneme soustavu lineárních rovnic : 0 A +B : 0 A +B +C 0 : A +C s řešením A, B, C. Platí tedy d + ln + )d + ln + 6 ln + 6 kde K d + + d + d ) + + d d + ln K, d ) arctg + C +

15 a tady d + ln arctg + C. Poznámka: Polynom + má kořeny,, ±i. Tyto kořeny jsou jednoduché, takže je můžeme dosadit do vztahu A + ) + B + C) + ). Dosazením kořenu dostaneme A A. Dosazením +i dostaneme B + i + C ) + i, B + C + ib ) + i ), Oud B + C) B + i B + B + C). 6C C, B + C 0 B C. d) Je Vícenásobné kořeny dosazujeme vícekrát, ale až po zderivování předvedeme v poznámce k řešení příkladu 0e)). Oba kompleně sdružené kořeny nemá smysl dosazovat, nebot dostaneme rovnost kompleně sdružených čísel a porovnáním reálných a imaginárních částí tutéž soustavu rovnic. Nejrychlejší postup výpočtu neurčitých koeficientů v rozkladu na součet parciálních zlomků je dosadit ty kořeny, které se dají dosadit snadno a pak porovnávat koeficienty u stejných mocnin, počínaje těmi nejvyššími a nejnižšími. a tedy + + ) + + ) + ) + A + B C + D +, A + B) + ) + C + D) + + ). Srovnáním koeficientů dostaneme soustavu lineárních rovnic : 0 A + C : 0 A + B + C + D : 0 A B + C + D 0 : A B + D. Řešením soustavy je čtveřice A, B, C, D. Platí tedy kde d d d d + d I d + + d + d ln I + I ), d + +, I d +. + d+

16 Je I d + ) + d + ) + arctg + ) + C. Analogicky I d ) + Shrnutím dostaneme d + ln arctg ) + C. arctg + ) + arctg ) ) + C. Poznámky:.) Součet arctg + ) + arctg ) lze vyjádřit pomocí jediné hodnoty funkce arctg. Bud te u, v R, pak arctg u + arctg v π, π). Pokud jsou u, v R navíc taková, že u v 0, pak arctg u + arctg v π, π ), tgarctg u)tgarctg v) 0 a platí Skutečně tgarctg u + arctg v) arctg u + arctg v arctg u + v uv. tgarctg u) + tgarctg v) tgarctg u)tgarctg v) u + v uv.,, pak Tedy pokud je + ) ) 0, t. j. pokud platí arctg + ) + arctg ) arctg ) arctg. Výraz arctg je definován pro R {, } a platí arctg ) ) + + ) ) + ) + ) + ) +,. Stejně tak arctg + ) + arctg ) ) ) + ) + +, R. + ) Tedy obě funkce jsou primitivní k funkci arctg + ) + arctg ) arctg + a liší se tedy o konstantu. Přesně π pro, ) 0 pro, ) π pro, + ).

17 .) Obecně lze ukázat, že π + arctg u+v uv pro u > 0, v > 0, uv > π pro u > 0, v > 0, uv arctg u + arctg v arctg u+v uv pro uv < π pro u < 0, v < 0, uv π + arctg u+v uv pro u < 0, v < 0, uv >. e) Pro rozklad dané funkce na součet parciálních zlomků platí + ) + ) A + + B + C + + D + E + ) A + ) + B + C) + ) + ) + D + E) + ). Srovnáním koeficientů dostaneme soustavu lineárních rovnic : 0 A +B : 0 B +C : 0 A +B +C +D : B +C +D +E 0 : 0 A +C +E Abychom nemuseli řešit tuto nepříjemnou soustavu, využijeme postupu z příkladu 0a). Srovnejte též poznámku k řešení příkladu 0c)). Pro dostaneme A A a oud B, C, D, E. Platí tedy kde d + ) + ) ln d + ln + + arctg + I + K, d + ), K d + ). + + ) Zavedeme-li v integrálu I substituci + t, dostaneme + +C. Pro výpočet integrálu K použijeme rekurentní formuli z příkladu 8j). Podle ní je K K + ) + K + ) + arctg + C. Shrnutím dostáváme d + ) + ) ln + + arctg + ) + + ) + arctg +C ln ) + C. Použijeme-li k výpočtu Ostrogradského metodu, nemusíme znát reku- Poznámka: rentní vzorec z příkladu 8j). Platí totiž d + ) + ) A + B C + D + E + ) + ) d.

18 Derivováním tohoto vztahu a vynásobením nejmenším společným jmenovatelem + ) + ) dostaneme + ) + ) A A + B) + + ) + C + D + E + ) + ), A + ) + ) + )A + B) + C + D + E) + ). Porovnáním koeficientů u stejných mocnin dostaneme soustavu : 0 C : 0 A +D : 0 A B +C : A B +D 0 : 0 A +E Z druhé rovnice plyne, že D A, z páté E A; dosazením D A do čtvrté rovnice dostaneme B A. Když toto vyjádření a C 0 dosadíme do třetí rovnice, dostaneme 0 A A + A A D, E B. Tedy d + ) + ) + ) + + ) + ) d. Racionální lomenou funkci v posledním integrálu rozložíme na součet parciálních zlomků: + ) + ) A + + B + C + ; A + ) + B + C) + ). Dosazením dostaneme A A, dosadíme-li i, máme + i C B + ic + B) B B, C + B B, C 0. Proto + ) + ) d + ) d + + ln + ) ln + + C ln + C, a tedy celkově d + ) + ) + ) + ln + + C. + Jak se vám Ostrogradského metoda líbí? f) Rozklad na součet parciálních zlomků dává + ) + + ) A + B C + D + + ) + E + F + + ), + ) A + B) + + ) + C + D) + + ) + E + F. Porovnáním koeficientů dostaneme soustavu lineárních rovnic : 0 A : A + B : 8A +B + C : 6 8A +8B +C + D : A +8B +C +D +E 0 : B +D +F 7

19 s řešením A 0, B, C 0, D, E 0, F. Tedy + ) d + + ) d + ) + d + ) + + d + ) + arctg + ) K + K. Použitím stejné rekurentní formule jako v předchozím příkladu dostaneme K K ) + K ) + arctg + ) + C, ) + K ) + + ) ) + arctg + ) + C. 8 Shrnutím dostaneme + ) d + + ) arctg + ) arctg + ) ) + + ) ) + 8 arctg + ) + C 8 arctg + ) + ) ) ) + C 8 arctg + ) ) + C. Poznámka: Podle Ostrogradského metody je + ) d + + ) A + B + C + D + + ) + Oud E + F + + d. + ) + + ) A + B + C + + ) + )A + B + C + D) + + ) + E + F + +, + ) A + B + C) + + ) + )A + B + C + D)+ +E + F ) + + ). Porovnáním koeficientů u stejných mocnin dostaneme : 0 E : A + F : A B +F : 6 6A C +8F : B C D +8F 0 : C D +F. Řešením soustavy dostaneme A 8 B 8, C 8 8, D, F 8. Tedy + ) d + + ) ) + d 8 + ) + 8 arctg + ) ) + C. 8

20 . Vypočtěte f) d, je-li a) f) +)+), ln + ln + b) f), 0 {ln + + ln } c) f) + 9 )+) ) ln, ) ) +) 7 d) f), ln 6 ln 6 ln + e) f) , + ln + {ln + ln + } + ln + f) f) + ++), ln ) g) f) +, ln ln 9 h) f) + ), + + ln ) i) f) 8 +, 8 ln ) j) f) +) +), ln k) f) , ln 7 ln + 0 ln l) f) +), ln + m) f), ln + ++ arctg + n) f) + +, + + ln arctg + o) f), ln + arctg { } p) f) +) +), ln { q) f) ++ ) +), ln } + + arctg 7 ) r) f) , ln + ) ln + ) + arctg arctg s) f) + +), +) + ln + ) 8 arctg t) f) +) +), 6 ln 8 ln + ) ln + ) +) u) f) +9), 6 +9) ) + 68 arctg v) f) +), Poznámky:.) V příkladu i) zlomek + vydělte a pak umocněte ) + 6 arctg.) V příkladu o) lze při výpočtu postupovat tak, že do rozkladu t t na součet parciálních zlomků se dosadí t a zlomky, které nejsou parciální, se znovu rozloží na součet parciálních zlomků..) V příkladu q) zkuste Ostrogradského metodu..) V příkladu s) zapište čitatele ve tvaru + + ). Lze aplikovat též Ostrogradského metodu..) V příkladu t) je vhodné zadanou funkci rozšířit výrazem a provést substituci t. 6.) V příkladech u) a v) jsou dané funkce parciální zlomky, proto lze využít příkladu 8j). Výsledek zkontrolujte Ostrogradského metodou. 9

21 . Integrály typu ) R, s α+β γ+δ d.. Vypočtěte f) d, je-li a) f) +, b) f) + +, c) f) + +, d) f) +, e) f) + +, f) f) g) f) ) +), h) f) , Řešení: a) V integrálu + d zavedeme substituci Platí tedy 6 Označíme-li F t) a je tedy F t) plyne oud, že + t t + t, d 6t t + ). t + t t + ) 6 t t +, pak t t + ) t ) t + + ) t. d df {F t)} t) ) t) + t t. Podle příkladu 0c) víme, že F t) ln t + t t + + arctg t, {F t) + F t)} + C ln t lnt t + )t + t + )+ + { arctg t arctg t + } + C ln ln t t + t + + arctg + C + t t t + t + arctg + t +C ln t t + t + + arctg + t π +C ln t t + t + + arctg + t + K, kde t +. Při úpravě výsledku jsme použili lichosti funkce arctg a vzorec z poznámek.) a.) k příkladu 0d). b) Do integrálu + + d zavedeme substituci + + t, tedy t, d t. 0

22 Po substituci dostáváme integrál musíme tedy provést dělení se zbytkem: t )t t +t. Tato funkce není ryze lomená, t 6 t ) : t + t ) t t + t t t + t. Jestliže poslední zlomek rozložíme na parciální zlomky, dostaneme tedy Dosazením t máme A s řešením B, C. Platí tedy t t ln t + t t + t + 8 kde t +. c) V integrálu a tedy t t t )t + t + ) A t + Bt + C t + t +, t t At + t + ) + Bt + C)t ). a srovnáním koeficientů dostaneme soustavu rovnic t : A +B t 0 : 0 A C t lnt + t + ) 7 t t + t + t t ln t ) + ) t t ln t ) ) t+ 7 + t t ln t ) + 8 lnt + t + ) 7 t + arctg + C, d zavedeme substituci + t + t, d 6t t ) t. Oud 6t t ) At + Bt + C Dt + Et + F t + t. Derivováním tohoto vztahu a následným vynásobením výrazem t ) dostaneme 6t t ) At + B t t At + Bt + C) t ) + Dt + Et + F t, 6t At + B)t ) t At + Bt + C) + Dt + Et + F )t ). Porovnáním koeficientů u stejných mocnin t dostaneme t : 0 D, t : 0 A +E, t : 0 C D, t : 0 A E.

23 Oud A C D E 0 a 6t B + F )t ) Bt. Opětovným porovnáním koeficientů u stejných mocnin t dostaneme soustavu rovnic t : 6 B +F, t 0 : 0 B +F, jejímž řešením je dvojice B, F. Tedy 6t t ) t t t t t ln t t + t + + arctg t + + C podle příkladu 0c) a vzorce pro t z řešení příkladu a). Oud t t + ln t + t + t t + + arctg t + + C, kde t +, d) Do integrálu + d zavedeme substituci Je tedy + + t t, d t t ). t. Oud t + t t t ) t t ) At + Bt + Ct + D Et + F t ) + t. Zderivováním tohoto vztahu a vynásobením výrazem t ) dostaneme t t At + Bt + C)t ) tat + Bt + Ct + D) + Et + F )t t + ). Porovnáním koeficientů u stejných mocnin t dostaneme soustavu rovnic t : 0 E t : A + F t : 0 B E t : A C F t : 0 B D + E t 0 : 0 C + F. Z první, třetí a páté rovnice dostaneme B D E 0, z druhé, čtvrté a šesté A, C F. Oud plyne, že t t t ) + t t t t ) + ln + t t + K ) ln +K + ln + + ) + + )+)+K { ln + + sgn ) } + K.

24 e) Je Po vydělení dostaneme d + + t, t, d t. t t 6 + t + t t 8 t + t +. t 8 t + t + t t t + t + + t 6t 8 t + t +. Rozklad ryze lomené části na parciální zlomky dává t 6t 8 t + t + A t + + Bt + C t t +, t 6t 8 At t + ) + Bt + C)t ). Srovnáním koeficientů dostaneme soustavu rovnic t : A +B t : 6 A +B +C t 0 : 8 A +C, jejímž řešením je trojice A, B, C 7. Platí tedy kde K t 0 t t + 7 Tedy výsledně t 6 t 8t + 6t + 8t + ln t + + K, t ) + 7 t 7 t t + lnt t + ) 7 lnt t + ) 7 arctg t + C t t + lnt t + ) ) t ln + ) + ln 6 + ) 7 7 arctg 7 + C. f) Platí + d t, t, d t t t Do tohoto integrálu zavedeme substituci +t u, tedy t u u du, + u + u ). t + t. Platí tedy u u ) 8u 8 + u ) du 8u + u ) du Au + Bu + Cu + D Eu + F + u ) + u + du.

25 Zderivováním tohoto vztahu a vynásobením výrazem u + ) dostaneme 8u 8u Au +Bu+C)u +) uau +Bu +Cu+D)+Eu+F )u +u +). Porovnání koeficientů u stejných mocnin u dává soustavu rovnic u : 0 E u : 8 A + F u : 0 B +E u : 8 A C +F u : 0 B D + E u 0 : 0 C + F jejímž řešením je A 6, B D E 0, c, F. Oud kde u u u + u + arctg u + C, + ) +. po dosazení za u a po úpravě dostáváme + d ) + arctg Poznámka: Pro t 0, platí arctg tg u sin u cos u ) + arccos + C. t + + C +t arccos t. Skutečně pro u 0, π platí cos u cos u, tedy u arctg + cos u + cos u. Položíme-li cos u t, je u arccos t, což dává uvedený výsledek. g) Integrál d ) +) nejdříve upravíme. Platí d ) + ) + Zavedením substituce + t dostaneme + d ) + ). Tedy + t t, d t t ), t t, + t. t t ) t t t + + C. h) Jestliže v integrálu + ++ d vydělíme čitatele i jmenovatele, dostaneme tedy q + q + + d. Zavedení substituce + t )t t + )t ) t dává t + t t t + ) t )., d t t ),

26 Rozklad na parciální zlomky má tvar t t + ) t ) A t + + B t + ) + C t + ) + D t, t At + t t ) + Bt ) + Ct ) + Dt + t + t + ). Srovnáním koeficientů u stejných mocnin t dostaneme soustavu rovnic t : 0 A + D t : 0 A +B +D t : A +C +D t 0 : 0 A B C + D, jejímž řešením je čtveřice D, A, B, C. Tedy ln t + t + + t + ) ln t + C ln t + t t t + ) + C + + ln ) + C ln + + ) + C { ln + } ) + C { ln + + } + K, kde K C.. Vypočtěte f) d, je-li a) f) +, { ln + )} b) f) +, + ln + ) c) f), ) + 8) d) f) + +, + ) e) f) +, ln + ) f) f) +, ln + g) f) ++ +, ln + h) f) +, i) f) +, ln ) ) / 9 + ) 9/ j) f) + +, t + ln t t arctg t+ +t+, kde t + k) f) +, ln arctg + l) f) + + +, 6 ) + ) +) m) f) + ), 0 n) f), ln ) { 9 + ) 8 + ) ) ) + + ) 6 + ) }

27 o) f) + + +, 6t t t + t + 6 t 6 7 t7 + ln + t ) 6arctg t, kde t 6 + p) f) + + ), ln ln 6 + ) 9 ln 6 + ) arctg q) f), + ) ln +) + + arctg r) f), +) ) +. Integrály typu Rsin, cos ) d.. Vypočtěte f) d, je-li a) f) sin cos, b) f) sin cos, c) f) sin cos, d) f) cos sin, e) f) sin cos, f) f) cos, ab 0, a sin +b cos ) g) f) sin cos cos, h) f) sin 8 +cos 8 cos ) i) f ) sin a cos b, f ) cos a cos b, j) f) cos cos cos, f ) sin a sin b, a b, k) f) sin cos, l) f) sin+a) sin+b). Řešení: a) Platí sin cos d sin sin ) cos d sin t cos d t t ) t 8 t 6 + t ) t9 9 t7 7 + t + C 9 sin9 7 sin7 + sin + C. b) Užitím goniometrických vzorců pro poloviční argument dostaneme c) Platí cos + cos sin cos d sin + cos ) d { 8 8 t sin cos d { 6 6 sin + ) sin ) d cos )+cos ) d 8 sin d + cos )d + } sin cos d } t + C 6 6 sin + 8 sin + C. sin cos cos d ) d cos d cos d + cos d tg + + cos ) d tg + + sin + C 6

28 tg 6 + sin ) + C. Poznámky:.) Zavedeme-li substituci tg t, t π, π ), která je standardně používána při výpočtu integrálů tohoto typu, dostaneme sin cos d t t +) t + t + t + t + t + ) + t + ) t t arctg t + t t + ) t + + t t + ) + arctg t + C podle příkladu 8j). Je tedy sin cos d tg + tg + tg ) + C t + ) a ukazuje se, že substituce vyžaduje v tomto konkrétním příkladu poněkud delší výpočet..) Substituce t tg není pro výpočet integrálu cos d vhodná. Postup při výpočtu integrálů tvaru sin m cos n d, m N {0}, n N, je následující m sin m cos cos n d ) m cos n d k0 m ) ) k k cos k n) d. Je-li k Z, pak se cos k d řeší substitucí t tg právě když je k < 0. Je-li k > 0, potom postupujeme jako v příkladu b). d) Po jednoduché úpravě integrandu dostaneme cos d cos sin sin sin d t t ) cos sin ) cos ) d t ) + t t ) t Protože t At + B Ct + D t ) t + t, dostaneme derivováním a násobením výrazem t ) t At ) tat + B) + Ct + D)t ). Porovnáním koeficientů u stejných mocnin dostaneme soustavu rovnic t : 0 C t : A +D t : 0 B C t 0 : A D cos t sin d t ) t ). jejímž řešením je A, B C 0, D. Je tedy t t t ) + t t t t ) ln t + t + C cos cos sin ln cos + cos + C cos cos sin tg ln + C. 7

29 e) Platí d sin cos tg t d t + t + + t + t ) t + t t +) t +) t + ) t t + t t t + C tg cotg ) + tg cotg ) + C Poznámky:.) Daný integrál můžeme též přepsat do tvaru d sin cos 6 d sin tg t t d 8 + ) t t +) { 8 t } t + C 8 cotg + cotg ) + C. Jestliže si uvědomíme, že cotg cotg tg ), ověříme snadno, že oba výsledky jsou stejné. Obecně se dvě primitivní funkce, vypočítané dvěma různými postupy, mohou lišit pouze o konstantu..) Uvedený integrál můžeme též vypočítat následujícím postupem d cos sin cos + sin ) d sin cos d sin cos + d sin cos. Zopakujeme-li tento postup ještě dvakrát, dostaneme d sin + d sin cos + d cos cotg d sin + 8 d sin + d + sin + d cos + tg d cos tg cotg ) +tg cotg cotg +C a snadno ověříme, že výsledek je opět stejný..) Lze také počítat + d sin sin cos + cos ) sin cos d sin tg d + ) cos + d d cos + sin + cos sin cos d + d sin cos + cotg d + ) sin tg + tg + tg cotg ) cotg cotg + C tg cotg ) + tg cotg ) + C.) Uvedený integrál ilustruje situaci, se kterou se v dalším budeme v dalším setkávat poměrně často, hlavně v paragrafu., který bude pojednávat o metodách výpočtu integrálů typu R, a + b + c) d. Pro výpočet se bude nabízet více postupů někdy až 8) a naším úkolem bude vybrat ten, který je nejefektivnější, tj. správný a krátký. V příkladu e) to bude nejspíš postup z bodu.) těchto poznámek. 8

30 f) Je cos d a sin + b cos ) a t + b ) b a b t + ) cos d a tg + b ) cos at b u b a du ab tg t d cos du u + ). podle příkladu 8j) platí { u ab u + ) + arctg u Poznámky:.) Do integrálu } + C ab { atg b a tg b { ab tg a tg ab a tg + arctg + b b + } + C. } atg + arctg + C b sin d a cos +b sin ) bychom substituovali t cotg. cos.) Primitivní funkce k f) eistuje v celém R. Získáme ji slepením výsledku příkladu f). a sin +b cos ).) Pokud v předpisu funkce f nahradíme znaménko + znaménkem, lze výpočet provést obdobně, ale lim f) +, lim F ), je-ji 0 ±arctg b 0 a + kπ, F 0 primitivní funkce k f. Jednotlivé díly grafu F nelze slepit žádnou volbou konstanty. g) Integrand nejdříve upravíme. Platí Nyní platí sin cos sin 8 + cos 8 sin cos ) + + cos ) sin + 6 cos + cos. sin cos sin 8 + cos 8 d cos + 6 cos + tg t t + ) + 6t + ) + sin d + 6 cos + cos d cos t tg d cos t t + 8t + 8 t t + + )t + ). t t + ) 8 Získanou racionální funkci rozložíme na součet parciálních zlomků označme u t ). u u + 8u + 8 A u Dosazením u dostaneme A + dostaneme B. Platí tedy + ) B u + ; u Au + ) + Bu + + ). t ) +, dosazením u + t + 9

31 t + ) + t ) + + tg arctg + tg arctg + C { + arctg tg + arctg tg } + C. h) Užitím vzorců pro poloviční úhel dostaneme cos d cos ) cos sin sin d { cotg + cotg } + C. { cotg sin d } d sin Poznámka: Integrály ze součinů goniometrických funkcí tvaru sin a sin b, sin a cos b, cos a cos b se snadno spočítají úpravou integrandu užitím jednoho z následujících vzorců: sin a cos b {sina + b) + sina b)} cos a cos b {cosa + b) + cosa b)} sin a sin b {cosa b) cosa + b)}. i) Použitím předchozí poznámky dostaneme sin a cos b d { cosa + b) + a + b cos a cos b d { sina + b) sina b) + a + b a b sin a sin b d { sina b) sina + b) a b a + b Napište vzorce i pro b ±a 0. j) Užitím vzorců z předchozí poznámky dostaneme } cosa b) + C a b } + C } + C cos cos cos cos + cos ) cos cos + cos + cos ) + cos 6 + cos + cos ) a oud cos cos cos d + sin sin + sin + C. 8 0

32 k) Integrand nejdříve upravíme do vhodnějšího tvaru. Platí sin cos sin cos + cos 6 sin { cos + cos 6 cos cos 6} sin { cos + cos 6 cos 0 + cos )} sin 8 sin 6+ 8 sin + 8 sin 8 sin sin sin 8 sin 6 sin 8 6 sin sin sin 8 sin. 6 Oud plyne, že sin cos d cos + cos + cos 6 cos 8+ cos +C Poznámka: V příkladech i),j),k) spočteme konečnou) Fourierovu řadu integrované funkce a tu pak integrujeme člen po členu. Každá funkce tvaru cos j k cos l m, cos j k sin l m, sin j k sin l m, j, k, l, m N, má konečný Fourierův rozvoj, který lze spočítat postupem z příkladu k). Obecněji: Každá funkce tvaru P n sin, cos ), kde P n je polynom ve dvou proměnných, má konečný Fourierův rozvoj. Co to je Fourierova řada, se dozvíte později. l) Je-li a b kπ pro k Z, potom platí sin + a) sin + b), a tedy d cotg + a) + C. sin + a) sin + b) Analogicky pro a b k + )π, k Z, platí sin + a) sin + b), a tedy d cotg + a) + C. sin + a) sin + b) Jestliže je a b kπ k Z, potom je a tedy cotgu cotgv cos u sin v cos v sin u sin u sin v cotg + a) cotg + b) sinv u) sin u sin v sinb a) sin + a) sin + b) a oud d sin + a) sin + b) {cotg + a) cotg + b)} d sinb a) sinb a) ln sin + a) sin + b) + C. Poznámka: Na tento integrál lze převézt i integrály d cos + a) cos + b), d sin + a) cos + b), poněvadž cos α sin π α) a funkce sin je lichá viz též návod k příkladům 9m),n)).

33 . Vypočtěte f) d, je-li a) f) cos, sin sin b) f) sin, cos + cos c) f) sin, sin d) f) cos, + sin e) f) sin cos, cos cos f) f) sin cos, 7 cos7 cos g) f) sin 8 cos, 9 sin9 sin h) f) cos, sin sin + sin i) f) sin cos, 6 sin6 sin8 + 0 sin0 0 6 cos cos + cos ) j) f) sin 7 cos, 6 sin8 0 sin0 + sin ; zkuste též substituci t cos k) f) sin 6, 6 sin + 6 sin + 8 sin l) f) cos 6, 6 + sin + 6 sin 8 sin m) f) cos cos, sin sin + sin n) f) cos sin, cos 6 7 cos7 cos ; užijte vyjádření cos cos cos 6. Vypočtěte f) d, je-li a) f) sin cos, b) f) cos sin, cos cos sin sin c) f) cos sin, sin ln sin sin d) f) sin cos, +sin ln sin sin sin e) f) sin cos, cos + f) f) sin cos, cos g) f) cos sin, sin h) f) cos sin, cos + i) f) cos, j) f) sin, k) f) sin cos, ln cos +cos + ln tg + ln tg cos + cos ln +cos { ln +sin sin + sin cos { ln cos +cos cos sin ln +sin sin sin + } } sin cos l) f) cos sin, ln tg sin + cos m) f) cos sin, ln tg + cos + cos ; srovnejte substituce t sin a t tg sin sin n) f) cos, cos sin o) f) cos, ln cos cos ; vyjádřete sin pomocí sin a cos cos p) f) sin, sin cotg ; vyjádřete cos pomocí sin a cos

34 q) f) cos sin, {ln tg + ln tg } r) f) +cos ) sin, 6 ln +cos ) cos ) +cos ) 7. Vypočtěte f) d, je-li a) f) sin cos 6, tg b) f) sin, cotg cotg c) f) sin cos, tg + tg cotg d) f) sin cos 0, tg + 7 tg7 + 9 tg9 e) f) cos + sin, arctg tg ) f) f) +sin, arctg tg ) g) f) tg, tg tg ln cos h) f) cotg, + cotg cotg i) f) tg 6, tg tg + tg j) f) cotg 6, cotg + cotg cotg k) f) tg 8, 7 cotg7 + cotg cotg + cotg + l) f) +tg, { + ln sin + cos } m) f) +tg, { + ln sin + cos } n) f) sin +sin, arctg tg ) 8 Poznámky:.) Výsledky příkladů e) a f) lze slepit na primitivní funkci v celém R..) V příkladech l) a m) je výsledek funkce spojitá v bodech k + ) π, k Z, nebot v těchto bodech lze zadanou funkci spojitě dodefinovat nulou. 8. Vypočtěte f) d, je-li a) f), ab 0, a sin +b cos ab arctg a b tg ) b) f) tg cos, ln sin ln cos c) f) sin, tg + arctg tg ) d) f) sin +tg, cotg tg arctg e) f) cos +sin cos sin, { sin + ln tg + π f) f) cos +sin, arctg g) f) sin cos cos +sin, h) f) cos 6 +sin 6, ) } tg ln sin +sin arctg tg i) f) sin tg, { cos sin cos ln cos sin } ; lze též užít identitu sin cos cos + sin sin + cos )cos sin ) j) f) sin + cos sin cos +9 cos, sin k) f) sin +cos, 6 arctg tg + lntg + 9) sin cos ln sin +cos ) + sin cos arctg cos

35 cos l) f) sin cos, m) f) sin + cos ), ln sin cos +sin cos 8 arctg { arctg tg sin +cos cos sin +cos n) f) cos sin cos, ln sin cos cos o) f) a sin +b cos ), a 0, cos a a sin +b cos 9. Vypočtěte f) d, je-li a) f) sin cos, b) f) sin cos, c) f) cos cos, d) f) sin sin, e) f) sin + ) cos ), f) f) sin cos + ), g) f) cos a cos b, h) f) cos cos cos, i) f) sin sin sin, 6 } cos 6 8 cos cos cos 6 0 sin + 6 sin sin 8 sin 8 cos + ) cos + ) sin + ) 0 cos + ) sin + ) + 8a sin a + 8b sin b + 6a+b) sin a + b)+ 6a b) sin a b), aba b ) sin sin 7 + sin + sin 8 cos 6 cos + cos 6 j) f) sin sin sin, cos 6 + cos 6 0 cos 6 cos 7 6 k) f) sin sin + a) sin + b), cos + a + b) cos a cos + b) cos + a b) l) f) sin +cos, ln tg + ) π 8 m) f) sin+a) cos+b), cosa b) ln sin+a) cos+b), cosa b) 0; užijte vztah tg u + cotg u cosu v) cos u sin v. Co dostaneme pro cosa b) 0? n) f) cos+a) cos+b), sina b) ln cos+b) cos+a), sina b) 0; užijte vztah tg u tg v sinu v) cos u cos v. Jaký je výsledek pro sina b) 0? o) f) sin sin a, cos a ln sin a, užijte vzorec pro sin α sin β a příklad m). cos +a Vypočtěte též pro a k + ) π, k Z. p) f) cos +cos a, sin a ln cos a, užijte vzorec pro cos α + cos β a příklad n). cos +a Vypočtěte též pro a kπ, k Z. cos q) f) tg tg + a), cotg a ln cos+a) ; ukažte, že cos a tg tg + a) cos cos+a) a užijte příklad n). Řešte též pro a kπ, k Z. r) f) cotg cotg + a), cotg a ln ; ukažte, že cotg cotg + a) sin+a) sin cos a sin sin+a) a užijte příklad l). Řešte též pro a kπ, k Z.

36 0. Vypočtěte f) d, je-li a) f) a sin +b cos, ab 0, b) f) sin cos +, c) f) +ε cos, ε > 0, d) α sin +β cos f) a sin +b cos, ab 0, e) sin cos f) sin + cos, f) α sin +β cos +γ f) a sin +b cos +c, g) f) sin +cos sin + cos, h) f) α sin +β sin cos +γ cos a sin +b cos, ab 0, i) f) sin sin cos + cos α sin +β cos sin + cos, j) f) a sin +b cos ), ab 0 sin +cos k) f) +ε cos ), 0 < ε <, l) f) sin sin cos + cos. Řešení: a) Do daného integrálu zavedeme substituci tg t. Nyní platí d cos Dosazením do integrálu dostaneme d a sin + b cos d cos t +, cos cos t + t t +, sin sin cos tg cos t + at t + + b t ) t + t t +. bt + at + b. Položíme-li bt at b 0, dostaneme kořeny t a+ a +b b, t a a +b t t ), a tedy bt + at + b b t a b t A t t + B t t, b, neboli a oud tudíž A + B 0, At + Bt b b At t ) + Bt t ) A bt t ), B bt t ), A B a + b a + b. Je tedy d a sin + b cos a + b ln t t t t + C a + b ln tg t tg t + C. Poznámka: Předchozí výpočet je u těchto typů integrálů trochu zdlouhavý. Rychlejší cesta vede přes vyjádření jmenovatele pomocí funkce sin. Platí a sin + b cos { } a + b a a + b sin + b a + b cos a + b sin + ϕ),

37 kde cos ϕ a a + b, sin ϕ b a + b. Tato dvojice rovností určuje ϕ jednoznačně v množině ) 0, π π, π) ) π, π π, π). Oud plyne, že d a sin + b cos tg π a + b ln + ϕ ) + C a + b ln tg + tg ϕ tg tg ϕ + C, kde sgn tg ϕ určíme podle kvadrantu, v němž leží úhel ϕ a tg ϕ a cos ϕ + cos ϕ + b a a + b + a a + b a. b Oud t tg ϕ, t cotg ϕ t a d a sin + b cos a + b ln tg t tg t + C. b) Platí d sin cos + t + t + c) Označme d +ε cos. i. Je-li ε, potom tg t d t + ) t d + cos t + t t + t t + + 6t + t + ) arctg tg + + C. + t+ d cos tg + C. Pro další hodnoty ε zavedeme substituci tg t, takže dostaneme d + ε cos t + + ε εt t + ε)t + + ε. ii. Bud 0 < ε <. Potom je + ε ε +ε t + ε arctg ) ε + ε tg + C. iii. Necht je ε >. Potom užitím vzorce t ln + t t + C dostaneme + ε ε ε + ε+ t + ε ε ln + t t ε ε+ ε ε+ + C 6

38 ε + + t ε ε ln + C ε + t ε ε ln ε + ) + t ε + ε )t ε + ε ) t + C +ε ε ln t + + ε )t t + + ε t t + +ε t + ε )t t + + C +ε ε ε ln + cos ) + cos ) + ε sin +ε ε + cos ) cos ) + C ε ln ε + cos + ε sin + ε cos + C d) Poznámka: Za povšimnutí stojí skutečnost, že daný integrál spojitě závisí na parametru ε, i když se výsledky pro 0 < ε < a ε > formálně dosti liší. Ověřte si, že d lim ε + ε cos lim d ε + + ε cos tg. Integrační konstanty pokládáme všude rovny 0. Analogicky lim ε 0 + Čitatel v integrandu napíšeme nejdříve ve tvaru d +ε cos. α sin + β cos A{a sin + b cos }+ B{a cos b sin }, jmenovatel derivace čitatele kde A a B jsou zatím neznámá čísla. Srovnáním koeficientů u sin a cos, což jsou lineárně nezávislé funkce, dostaneme sin : α Aa Bb cos : β Ab +Ba. Získaná soustava má jediné řešení právě když a + b 0 determinant soustavy) a řešení má tvar A a + b α b αa + βb β a a + b ; B a + b a α βa αb b β a + b. Oud plyne, že α sin + β cos d A + B ln a sin + b cos + K a sin + b cos Poznámky:.) Výše popsaná úprava ukazuje, že v tomto typu integrálu se můžeme dokonce vyhnout zavedení univerzální substituce tg t. Pomocí ní dostaneme α sin + β cos a sin + b cos d A arctg t + B ln bt at b t + βt αt β) bt at b)t + ) ) A arctg tg ) + B ln a sin + b cos, kde A a B jsou konstanty, vypočtené v řešení příkladu d). Jediné dva problémy jsou tedy 7

39 i. technický, tj. provedení rovnosti označené ) zkontrolujte) a ii. slepení funkce Aarctg tg ) definované v R {k + )π, k Z}) na výraz A. Je to pochopitelné - integrál z příkladu d) je formulován tak, aby bylo vhodné použít substituci t a sin + b cos..) Přímé použití univerzální substituce t tg může obecně vést ke složitým integrálům z racionální lomené funkce P t) Qt). Je-li tato funkce ryze lomená, lze pomocí Ostrogradského metody psát P t) Qt) P t) Qt) + P t) Q t), kde Q je součin všech kořenových činitelů polynomu Qt), Qt) Qt) ep t) eqt), Q t) a funkce P t) Pt) Q t) jsou ryze lomené. Rozložíme-li Q t) na součet parciálních zlomků, je třeba vypočítat integrály t α t tg t + pt + q d cos d sin α + cos ), d cos + p sin + q + cos ). V následujících příkladech se budeme snažit daný integrál vhodnou úpravou a následnou substitucí bud vypočítat přímo nebo alespoň převést na integrál typu d a sin +b cos +c, kde je užití substituce t tg efektivní - srovnejte s příkladem f). e) Dosadíme-li α, β, a, b do vzorce z předchozího příkladu, dostaneme sin cos sin + cos d { + ln sin + cos } + K. f) Čitatele v integrandu upravíme nejdříve do tvaru α sin + β cos + γ A{a sin + b cos + c} +B{a cos b sin } +C jmenovatel derivace jmenovatele kde A, B, C jsou zatím neurčená čísla. Srovnáním koeficientů u funkcí sin a cos jde o nezávislé funkce) dostaneme soustavu jejíž determinant je sin : α Aa Bb cos : β Ab +Ba : γ Ac +C, a b 0 b a a + b 0. pomocí Cramerova pravidla má tedy řešení α b 0 A a + b β a 0 αa + βb γ 0 a + b, B a + b a α 0 b β 0 0 γ βa αb a + b, 8

40 C a + b a b α b a β 0 0 γ γ cαa + βb) a + b. Daný integrál můžeme nyní přepsat do tvaru α sin + β cos + γ d A + B ln a sin + b cos + c + C a sin + b cos + c Jestliže do zbývajícího integrálu zavedeme substituci tg t, dostaneme d a sin + b cos + c c b)t + at + b + c a výpočet tohoto integrálu při konkrétních hodnotách a, b, c je snadný: d a sin + b cos + c. i. je-li b c, a 0, pak b 0 a b tg, ii. je-li b c, a 0, je a ln atg + b. iii. Bud nyní b c a D a + b c diskriminant kvadratického trojčlenu ) c b t + at + b + c. A. Je-li D < 0 tj. přímka a + by + c 0 je nesečna jednotkové kružnice + y ), pak c a b arctg c b)tg + a c a b. B. Je-li D 0 tečna), pak c b)tg +a. C. Je-li D > 0 sečna) a t < t kořeny trojčlenu ), pak c b)t t ) ln tg t tg t. Tuto funkci lze zapsat ve tvaru K ln α sin + β cos + γ α sin + β cos + γ, ovšem tento zápis je praktický jen tehdy, mají-li dva ze tří polynomů t t ), t t ), t t )t t ) hezké koeficienty tj. nejlépe racionální). g) Dosadíme-li α, β, γ 0, a, b, c do vzorce z předchozího příkladu, dostaneme sin + cos ) d sin + cos ln sin + cos + d sin + cos. Dále d sin + cos tg t d t + 6t + 6t + 6t + t ) t + ) t t. Řešením rovnice t t 0 dostaneme dvojici kořenů t ) 7 +, t )

41 Dále platí t t A + B. t t t t Srovnáním koeficientů u stejných mocnin t dostaneme soustavu s řešením A, B. Tedy 0 A +B At +Bt d sin + cos ln t t t t + K tg ln ) 7 tg + ) 7 + K tg ln ) + 7 tg ) 7 + K a výsledně sin + cos ) d sin + cos ln sin + cos + ln tg ) + 7 tg ) 7 + K. h) Rozmyslete si, že zlomek tg + 7 tg 7+ koeficienty v tomto zápisu budou ošklivé. lze upravit do tvaru Čitatel v integrandu se pokusíme rozložit do tvaru α sin +β cos +γ α sin +β cos +γ, ale některé α sin +β sin cos +γ cos A cos a sin +b cos )+B sin a sin +b cos )+C. Poněvadž jsou funkce, sin, cos lineárně nezávislé, můžeme obě strany rovnosti pomocí těchto funkcí vyjádřit a srovnat koeficienty. Platí Tedy Aa + Bb α cos ) + β sin + γ + cos ) sin + Ab Ba + cos ) + cos ) + C. cos : α + γ Ab Ba sin : β Aa +Bb : α + γ Ab +Ba +C. Determinant této soustavy algebraických rovnic jhe b a 0 a b 0 b a a + b 0; Tato soustava má tedy řešení A a + b α + γ a 0 β b 0 α + γ a βa + γb αb a + b, 0

42 B a + b C a + b Platí tedy α sin + β sin cos + γ cos kde cos ϕ a sin + b cos A sin B cos + a a +b, sin ϕ b α + γ 0 a β 0 b α + γ b a α + γ a b β b a α + γ b a +b βb + αa γa a + b, αb βab + γa ) a + b. d A sin B cos + C C a + b ln tg + ϕ ) + K, podle příkladu 0a). d a sin + b cos i) Dosazením α β a, γ b do výsledku příkladu h) dostaneme sin sin cos + cos d sin + cos cos + sin + 8 d sin + cos cos + sin + 8 d sin + ϕ), kde cos ϕ, sin ϕ, tedy tg ϕ a ϕ arctg. Výsledně dostaneme cos + sin + 8 ln tg + arctg ) + K. Poznámka: Jestliže do integrálu d sin + cos zavedeme substituci tg d sin + cos tg ln + tg + C a pro tyto výsledky musí platit tg ln + tg ln tg + arctg ) + K. Užitím součtového vzorce pro funkci tangens lze ukázat, že tg + arctg ) + tg + tg, t, dostaneme pokud k +)π arctg, k +)π, k Z. Oud plyne, že K ln +. j) Upravíme-li čitatel integrandu jako v příkladu d), dostáváme α sin + β cos a sin + b cos ) d B a cos b sin a sin + b cos ) d + A kde A B a sin + b cos + A tg a + b ln + ϕ ) + K, αa + βb βa αb a, B + b a + b, cosϕ Viz příklad d) a poznámka k příkladu a)). a a + b, sin ϕ d a sin + b cos b a + b.

43 k) Je d + ε cos ) tg t d t + { t + + ε t ) t + } t + ) { ε)t + + ε}. Pro vhodná A, B, C, D R platí t + ) { ε)t + + ε} At + B ε)t + + ε + Ct + D ε)t + + ε. Oud zderivováním a vynásobením výrazem { ε)t + + ε} dostaneme t + A{ ε)t + + ε} ε)tat + B) + Ct + D){ ε)t + + ε}. porovnáním koeficientů u stejných mocnin t dostaneme tj. t ; 0 C t : ε)a + ε)d t : 0 B t 0 : + ε)a + + ε)d A + D ε, A + D + ε. Oud D ε, A ε ε a tedy t + ) { ε)t + + ε} ε ε t ε)t + + ε + ε + ε ε ) + ε) ε arctg ε + ε t ) ε)t + + ε ε ε t ε)t + + ε + K. Protože tg ε)tg + + ε sin cos ε) sin + + ε) cos sin ε +ε cos ) + + cos ) sin + ε cos, plyne oud, že ) ε ε ) arctg + ε tg ε ε sin + ε cos + K. Primitivní funkci v celém R získáme slepováním. l) Jmenovatel v integrandu je možno napsat ve dvou tvarech sin sin cos + cos γ + α sin + β cos ) c a sin + b cos ) kde α, β, γ, a, b, c R jsou zatím neznámé koeficienty. Jestliže použijeme prvého vyjádření, dostaneme neboli sin sin cos + cos γ + α sin + αβ sin cos + β cos, cos sin + + cos ) γ + α β cos ) + αβ sin + + cos ).

44 Srovnáním koeficientů dostaneme soustavu α + β + γ 7 ; αβ ; α + β. Z druhé rovnice plyne, že β α a dosazením do třetí rovnice dostaneme α + α neboli α + α 0 s řešením α, oud α, β, γ. Platí tedy sin sin cos + cos + sin cos ). Pro α, β, γ dostaneme stejný výsledek. Užitím druhého vyjádření dostaneme soustavu c a b 7, ab, a b s řešením a, b, c 6. Platí tedy sin sin cos + cos 6 sin + cos ). V dalším kroku přepíšeme čitatel do tvaru sin + cos Acos + sin ) + B cos sin ). V závorkách jsou derivace výrazů sin cos a sin + cos. Srovnáním koeficientů dostaneme soustavu A B, A + B s řešením A, B. Platí tedy sin + cos ) d sin sin cos + cos + cos + sin ) d + sin cos ) + cos sin ) d 6 sin + cos ) arctg sin cos ) + kde t sin + cos. Poněvadž je 6 t A + B, 6 t 6 + t 6 t plyne oud A B 0, A + B 6 s řešením A B. Tedy výsledně 6 sin + cos ) d sin sin cos + cos arctg sin cos ) ln 6 + t + K 6 t 6 + sin + cos arctg sin cos ) ln + K. 6 sin cos

45 Poznámky:.) Předvedený postup výpočtu je poměrně dlouhý. Přímý výpočet pomocí substituce t tg není ovšem kratší. sin + cos ) d sin sin cos + cos t t ) t + 8t t 8t +. Rovnici vydělíme t a dostaneme ) t + 8t t 8t + 0 t + t ) + t ) 0. t Substitucí u t t, u t + t dostaneme rovnici u + 8u s kořeny u, ±i 6. Dosazením u do substituční rovnice dostaneme t + i 6 t 0. Pro tuto rovnici je D i 6 6 i) a tedy t, +i 6 ± 6 i. Řešení rovnice ) je tedy t +i), t +i), t t i), t t i). Oud plyne { } { } t +8t t 8t+ t 6 )t + 6 ) t )t ). Pro vhodná A, B, C, D R platí t + t + t + 8t t 8t + At + B t 6 )t + 6 ) { t + t + At + B) t )t ) { } +Ct + D) t 6 )t + 6 ). porovnáním koeficientů u stejných mocnin t dostaneme soustavu rovnic + Ct + D t )t + 6+) } t : 0 A +C t : 6 + )A +B 6 )C +D t : 6 + ) A )B + 6 ) C 6 )D t 0 : 6 + ) B + 6 ) D. Dosadíme-li z první rovnice do druhé a třetí, dostaneme a tedy 8A 6 +B +D A )B 6 )D 8 6)B +8 6 )D )B +7 6)D. Protože 8 6, , 7 6 6, 8 6, 6 6, 7, ,,

46 máme Oud 6, + 8 6, , 8 6, , 6 6, B , D , B + D 8A 6 A C t t ) 6 t + 8t t 8t + 0 ln t )t + 6+) t 6 )t + 6 ) arctg ) t 6 arctg 6 0 t ) + K. Tedy celkově dostáváme sin + cos ) d 6 sin sin cos + cos 0 ln tg + tg + + 6) tg + tg + 6) arctg tg arctg tg K Zkontrolujte správnost vypočtených konstant. Původní výpočet byl určitě jednodušší..) Oběma způsoby tj. postupem z řešení příkladu 0h) i první části této poznámky) lze obecně vypočítat integrál a sin + b cos ) d α sin + β sin cos + γ cos, je-li D β αγ < 0. Je-li D 0, je tento integrál vypočítán v příkladu 0j) pro jiné označení konstant). Pro D > 0 lze jmenovatel α sin + β sin cos + γ cos zapsat ve tvaru α sin + β cos )α sin + β cos ) tj. a sin + b cos α sin + β sin cos + γ cos A α sin + β cos + B α sin + β cos, a sin + b cos Aα sin + β cos ) + Bα sin + β cos ). Porovnáním koeficientů vypočteme z této rovnosti čísla A, B R jednoznačně, poněvadž α β α β. Výpočet integrálů z obou posledních zlomků se efektivně provádí substitucí t tg a je podrobně popsán v řešení příkladu 0f). Řešení příkladu 0h) tj. výpočet α sin +β sin cos +γ cos a sin +b cos d) bylo jednodušší. Co může způsobit záměna čitatele a jmenovatele!. Vypočtěte f) d je-li a) f) cos, arctg tg ) b) f) + sin, arctg tg + c) f) sin + cos, tg d) f) sin + cos +, tg +

47 e) f) sin +cos, ln + cos ) + arctg tg sin f) f) sin cos, ln sin cos ; Užijte postupu z příkladu 0d) sin g) f) +sin +cos, { ln + sin + cos ) tg )} π 8 ; V příkladech g) a h) užijte postup z příkladu 0f) sin + cos h) f) sin cos +, lnsin cos + ) 6 arctg tg + sin i) f) sin + cos, sin + cos ) + ln tg + ) arctg ; V příkladech i)-k) užijte postupu z příkladu 0h) sin cos j) f) sin +cos, sin cos ) ln tg + ) π 8 k) f) sin sin cos + cos sin +cos, sin + cos + ln tg + ) π 8 sin cos l) f) sin + cos, sin ln +sin arctg cos ; Vyjádřete jmenovatele ve tvaru + cos nebo sin a rozdělte na dva integrály sin cos m) f) + sin cos, ln sin +cos )+ sin cos ) + ln sin cos ) 6 + sin cos ) ; Užijte postupu z příkladu 0l) Poznámka: V příkladech a), b), e), h) lze slepováním vytvořit primitivní funkci v celém R. V příkladech c) a d) lze výsledek rozšířit tak, aby vyšel zlomek s původním jmenovatelem: cos tg cos sin cos cos sin ) cos sin ) + cos sin sin + cos cos sin sin + cos. + V příkladu d) proved te sami. V příkladu m) určete definiční obor integrandu i výsledku a ukažte, že se rovnají.. Vypočtěte f) d, je-li a) f), b) f) tg cos sin, c) f) sin. + sin Řešení: a) Platí d tg tg t d t + Podle příkladu 0d) platí du u + ln u + u + a tedy tt + ) t u u du u u + + arctg u u + C du u +. { d tg tg + } tg + tg ln tg tg + + arctg + C. tg 6

48 Poznámka: Funkce f) tg je definována a spojitá v Df) k Z kπ, k + ) π ), její primitivní funkce F ) v DF ) kπ, k + ) π ) k + ) π ), k + )π. k Z b) Je Vhodnou volbou konstant lze F slepit v libovolném bodě kπ + π stačí napsat arctg tg + ) + arctg tg ) místo arctg tg tg ). Pokud budeme chtít F ) upravit pomocí vzorce tg sin k Z F ) )k ln cos, potom sin + sin + cos sin sin + cos + arctg sin cos sin, kπ, k + ) π ) a ještě by bylo třeba slepit uprostřed každého intervalu!). Výsledek příkladu j) platí jen na intervalu kπ, k + ) π ), kde k je sudé. d cos sin cos d u sin sin ) sin cos d du sin du u 6. Poněvadž platí u 6 u ) + u ) u) + u + u ) + u) u + u ), dostaneme dále, že a oud u 6 A u + B + u + Cu + D + u + u + Eu + F u + u A + u + u ) + u ) + B u + u ) u ) + Cu + D) u ) u + u )+ +Eu + F ) u ) + u + u ). Dosazením u dostaneme A, dosadíme-li u, vyjde B. Protože u 6 u + ) + u u ) + u + u ) u u u u ) + u + u ) u + u u ) + u + u ) + u + u + u je sudá v proměnné u, platí totéž o Cu+D +u+u + Eu+F u+u a tedy Cu + D u + u + Eu + F + u + u Cu + D + u + u + Eu + F u + u. +u Oud plyne E C a F D. Tedy dostáváme +u +u Cu+D u+u Cu D u+u. Po vynásobení + u Cu + D) u + u ) Cu D) + u + u ) D C D)u. 7

49 Oud porovnáním koeficientů vyjde D, C. Tedy ln + u u + u + u + u + du u u u + du ln + u u + ln u + u + u u + + ln + u u + ln u + u + u u + + ln + u u + ln u + u + u u + + du u + ) + + du ) + u+ + du ) u + du ) u + { arctg u + + arctg u } + C. Užijeme-li vzorce z poznámky k řešení příkladu 0d), můžeme psát dále ln + u) u + u + ) u) u u + ) + arctg + C { u u ln + u) u ) u) + u ) + arctg u u ) + C } ln + sin sin + ln sin + sin + arctg sin sin ) + C. Poznámka: Integrály z příkladů a),b) jsou speciální případy integrálu sin α cos β d, kde α a β jsou racionální čísla. Jsou-li čísla α a β celá, umíme tyto integrály spočítat viz příklady -7). Jestliže alespoň jedno z racionálních čísel α a β není celé, je situace komplikovanější: i) Je-li α celé liché resp. β celé liché), spočteme integrál sin α cos β d substitucí t cos resp. t sin ; viz b)). ii) Jestliže žádné z racionálních čísel α, β není celé liché, lze daný integrál spočítat v případě, že α + β 0,,,... viz a) pro α + β 0), c)-f) má řešení ve tvaru K tg r resp. K cotg r ), kde r je racionální, nebot α + β návod k řešení g) lze užít nejen k řešení případu α + β, ale i pro další sudá α + β < ). Obecně substitucí t tg, ) 0, π, lze daný integrál upravit na tvar sin α cos β d t α + t α+β ). To je t.zv. binomický integrál, který lze vyjádřit pomocí elementárních funkcí právě tehdy, když alespoň jedno z čísel α+β, α+, β+ je celé viz paragraf.). Substitucí t sin, ) 0, π, dostaneme sin α cos β d takže alespoň hodnotu π 0 sin α cos β d 0 t α t) β t α t) β, α + B, β + ) 8