Funkce zadané implicitně. 4. března 2019

Transkrypt

1 Funkce zadané implicitně 4. března 2019

2 Parciální derivace druhého řádu Parciální derivace druhého řádu funkce z = f (x, y) jsou definovány: Parciální derivace 2 f 2 = ( ) f 2 f 2 = ( ) f 2 f a 2 f 2 f = ( ) f 2 f = ( ) f nazýváme smíšené parciální derivace. Věta Jsou-li smíšené parciální derivace spojité v bodě A, pak jsou si v tomto bodě rovny. z = x 2 y + y 3 x 4 z = x 2 + xy + y 2 3

3 Příklad z = x 2 + xy + y 2 3 K = PLOCHA z = x 2 + xy + y 2 3 k = Matice kvadratické plochy δ = λ 1 = λ 2 = 1 2 λ 3 = 3 2 IZOKŘIVKY z = const x 2 + xy + y 2 = C PARABOLICKÁ ELIPSY

4 Je jedna izokřivka funkce? z = x 2 + xy + y 2 3 z = F (x, y) PLOCHA z = 0 x 2 + xy + y 2 = 3 y? =g(x) jedna izokřivka PARABOLICKÁ obecně F (x, y) = C není funkce ALE v okoĺı bodu [1, 1] D(F ) je rovnicí F (x, y) = 0 definovaná funkce jedné proměnné (y = g(x))

5 x 2 + xy + y 2 3 = 0 v okoĺı [1, 1] Rovnicí x 2 + xy + y 2 3 = 0 v okoĺı [1, 1] je definovaná funkce jedné proměnné, ale y = g(x) neumíme z rovnice vyjádřit. Vlastnosti funkce y = g(x) zjistíme z derivací této funkce. Derivace 1. řádu. d ( zderivujeme rovnici: x 2 + xy(x) + y 2 (x) 3 ) = d dx dx (0) 2x + y(x) + xy (x) + 2y(x)y (x) = 0 y (x + 2y(x)) = 2x y(x) a vyjádříme y 2x + y(x) (x) = x + 2y(x). Derivace 2. řádu: zderivujeme derivaci y = (2 + y (x))(x + 2y(x)) (2x + y(x))(1 + 2y (x)) (x + 2y(x)) 2 Pro funkci y = g(x) v bodě x = 1 platí: y(1) = 1 y (1) = 1 y (1) = 2 3 klesající konkávní

6 Funkce, zadaná implicitně rovnicí F (x, y) = 0 z = F (x, y) F (x, y) = 0 Pro funkci dvou proměnných je rovnicí F (x, y) = 0 popsána izokřivka. Pokud v bodě A = [x 0, y 0 ] D(F ) R 2 platí: 1 F (A) = 0, tj. bod A leží na izokřivce, 2 F, F jsou spojité v okoĺı bodu A, 3 0, potom existuje R-okoĺı bodu A, ve kterém je rovnicí F (x, y) = 0 (implicitně) určena jediná funkce jedné proměnné y = g(x), která má spojitou derivaci, a pro kterou platí y 0 = g(x 0 ). Definiční obor funkce g(x), D(g) R, x (x 0 R, x 0 + R).

7 Derivace funkce jedné proměnné, zadané implicitně Rovnici F (x, y) = 0, kde y = g(x) tj. rovnici F (x, g(x)) = 0 F derivujeme: 1 + F g (x) = 0 F g (x) = F a vyjádříme g (x) = F F v bodě x 0 platí: y 0 = g(x 0 ), Používáme označení: F = F F x, = F y, Zderivovanou rovnici F x + F y g (x) }{{} součin podruhé g (x 0 ) = 2 F 2 = F 2 F xx, = F xy, = 0 derivujeme F (x 0, y 0 ) F (x 0, y 0 ) 2 F 2 = F yy F xx + F xy g (x) + (F yx + F yy g (x)) g (x)+f y g (x) = 0 }{{}}{{} derivace F x derivace F y F xx + 2F xy g (x) + F yy (g (x) ) 2 + Fy g (x) = 0 Použijeme vyjádření první derivace a osamostatníme g (x).

8 Druhá derivace Pro druhou derivaci g (x) platí: g (x) = 1 (F y ) 3 det 0 F x F y F x F xx F xy F y F xy F yy

9 Připomenutí Známe-li první a druhou derivaci funkce jedné proměnné g(x) v bodě x 0, můžeme určit: rovnici tečny ke grafu funkce v bodě dotyku [x 0, y 0 ] t : y y 0 = g (x 0 )(x x 0 ) tj. y = y 0 + g (x 0 )(x x 0 ) rovnici normály n : y y 0 = 1 g (x 0 ) (x x 0) tj. y = y 0 1 g (x 0 ) (x x 0) lokální extrémy např. je-li g (x 0 ) = 0 a g (x 0 ) > 0 je hodnota y 0 lokálním minimem funkce v bodě x 0... Taylorův polynom 1. nebo 2. stupně T 1 (x) = g(x 0 ) + g (x 0 )(x x 0 ) + g (x 0 ) (x x 0 ) 2 2 přibližné hodnoty funkce v bodech x 0 ± ε

10 Tečna a normála Necht y = g(x) je funkce určená implicitně rovnicí F (x, y) = 0 v bodě A = [x 0, y 0 ]. Tečna ke grafu funkce y = g(x) v bodě dotyku A je určena rovnicí t : (x x 0 ) + (y y 0 ) = 0 Normála je určena rovnicí: n : (x x 0 ) (y y 0 ) = 0

11 Příklady Sbírka ÚTM: příklady: řešené , neřešené

12 Funkce dvou proměnných, zadaná implicitně Pro funkci tří proměnných je rovnicí F (x, y, z) = 0 popsána plocha. Pokud v okoĺı bodu A = [x 0, y 0, z 0 ] D(F ) R 3 platí: 1 F (A) = 0 2 F, F, F z, opět značíme F x, F y, F z jsou spojité a 3 0, z tj. F z (A) 0 potom existuje okoĺı bodu A, ve kterém je rovnicí F (x, y, z) = 0 (implicitně) určena jediná funkce dvou proměnných z = g(x, y), která má spojité parciální derivace. Pro derivace g a g v bodě [x 0, y 0 ] platí g(x 0, y 0 ) = F x(a) F z (A) g(x 0, y 0 ) = F y (A) F z (A)

13 Připomenutí Známe-li parciální derivace 1.řádu funkce dvou proměnných g(x, y) v bodě [x 0, y 0 ], můžeme určit: rovnici tečné roviny ke grafu funkce v bodě dotyku [x 0, y 0, z 0 ] τ : z z 0 = g(x 0, y 0 ) (x x 0 ) + g(x 0, y 0 ) (y y 0 ) ( ) g(x0, y 0 ) g(x 0, y 0 ) jejíž normálový vektor n =,, 1 parametrické vyjádření normály Taylorův polynom 1. stupně p : X = [x 0, y 0, z 0 ] + t n, T 1 (x, y) = g(x 0, y 0 ) + g(x 0, y 0 ) diferenciál funkce v bodě [x 0, y 0 ] gradient dg(x 0, y 0 ) = g(x 0, y 0 ) ( g(x0, y 0 ) grad g(x 0, y 0 ) =, t R (x x 0 ) + g(x 0, y 0 ) (y y 0 ) dx + g(x 0), y 0 dy ) g(x 0, y 0 ) derivaci funkce g(x, y) v bodě [x 0, y 0 ] ve směru s g(x 0, y 0 ) = grad g(x 0, y 0 ) s s s

14 Příklady Sbírka ÚTM: příklady: řešené , neřešené

15 Tečná rovina implicitně zadané funkce Tečná rovina ke grafu funkce z = g(x, y), zadané rovnicí F (x, y, z) = 0 v bodě dotyku A je určena rovnicí τ : (x x 0 ) + (y y 0 ) + (z z 0 ) = 0 z Příklady Napište rovnici tečné rovinyτ a normály n k ploše xyz 2 x y z = 0 v bodě A = [1, 1, 1] Napište rovnici takové tečné rovinyτ k ploše x 2 + y 2 + z 2 1 = 0, která je rovnoběžná s rovinou ρ : x + 2y + z = 0