Statistika (KMI/PSTAT)

Transkrypt

1 Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení deváté aneb Důležitá rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 15

2 Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina může nabývat libovolnou hodnotu z konečného nebo nekonečného intervalu reálných čísel. Statistika (KMI/PSTAT) 2 / 15

3 Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina může nabývat libovolnou hodnotu z konečného nebo nekonečného intervalu reálných čísel. Distribuční funkce náhodné veličiny Distribuční funkce náhodné veličiny X je pro každé reálné číslo x definována vztahem F (x) = P (X x). Hodnota distribuční funkce v bodě x tedy znamená pravděpodobnost, že náhodná veličina X má hodnotu nejvýše x. Statistika (KMI/PSTAT) 2 / 15

4 Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina může nabývat libovolnou hodnotu z konečného nebo nekonečného intervalu reálných čísel. Distribuční funkce náhodné veličiny Distribuční funkce náhodné veličiny X je pro každé reálné číslo x definována vztahem F (x) = P (X x). Hodnota distribuční funkce v bodě x tedy znamená pravděpodobnost, že náhodná veličina X má hodnotu nejvýše x. Hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Je-li X spojitá náhodná veličina, potom existuje nezáporná funkce f(x) taková, že pro všechna reálná čísla x 0 platí x0 F (x 0 ) = f(x) dx. Funkci f(x) nazýváme hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny X. Statistika (KMI/PSTAT) 2 / 15

5 Charakteristiky náhodné veličiny Hustota pravděpodobnosti má tyto vlastnosti: f(x) 0 f(x) dx = 1 P (a X b) = F (b) F (a) = b a f(x) dx pro a < b Statistika (KMI/PSTAT) 3 / 15

6 Číselné charakteristiky spojité náhodné veličiny Mějme spojitou náhodnou veličinu X s hustotou pravděpodobnosti f(x), kde M představuje množinu všech možných hodnot x náhodné veličiny X. Střední hodnota náhodné veličiny X je definována vztahem E(X) = x f(x) dx. M Druhý obecný moment náhodné veličiny X je definován vztahem E(X 2 ) = x 2 f(x) dx. M Rozptyl náhodné veličiny X je definován vztahem { [X ] } 2 [ ] 2 D(X) = E E(X) = x E(X) f(x) dx = E(X 2 ) ( E(X) ) 2. M Medián x je taková hodnota náhodné veličiny X, pro kterou platí P (X x) = P (X x) = 0, 5. Statistika (KMI/PSTAT) 4 / 15

7 Rovnoměrné (spojité) rozdělení náhodné veličiny Rovnoměrné rozdělení používáme k modelování situací, kdy obor hodnot náhodné veličiny je oboustranně omezen (je to tedy interval) a není možné předpokládat, že některé hodnoty z tohoto intervalu by se vyskytovaly častěji než jiné. To znamená, že pravděpodobnost, že hodnota náhodné veličiny pochází z libovolného podintervalu od α do β je stejná, jako že pochází z jakéhokoliv jiného podintervalu stejné délky. Statistika (KMI/PSTAT) 5 / 15

8 Rovnoměrné (spojité) rozdělení náhodné veličiny Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrným (spojitým) rozdělením náhodné veličiny X, která nabývá hodnot x (a, b), nazveme takové rozdělení pravděpodobnosti, jehož hustota je { 1, x (a, b) f(x) = b a. 0, jinak Distribuční funkce je potom popsána rovnicemi 0, x a x a F (x) =, x (a, b). b a 1, x b b b 1 Střední hodnota je dána vzorcem E(X) = x f(x) dx = x a a b a dx = a + b 2. Rozptyl je dán vzorcem D(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = (b a)2. 12 Statistika (KMI/PSTAT) 6 / 15

9 Rovnoměrné (spojité) rozdělení Rovnoměrné rozdělení Představme si ideální systém městské hromadné dopravy, ve které určitá linka přijíždí na zastávku v naprosto přesném intervalu 10 minut. Náhodnou veličinou X je doba čekání na tuto linku při náhodném příchodu na zastávku. 1 Jaké jsou možné hodnoty této náhodné veličiny? 2 Namalujte a popište graf hustoty pravděpodobnosti této náhodné veličiny. 3 Jaká je pravděpodobnost, že na autobus budete čekat od 2 do 7 minut? 4 Jaká je pravděpodobnost, že na autobus budete čekat více než 6 minut? Statistika (KMI/PSTAT) 7 / 15

10 Rovnoměrné (spojité) rozdělení Rovnoměrné rozdělení Představme si ideální systém městské hromadné dopravy, ve které určitá linka přijíždí na zastávku v naprosto přesném intervalu 10 minut. Náhodnou veličinou X je doba čekání na tuto linku při náhodném příchodu na zastávku. 1 Jaké jsou možné hodnoty této náhodné veličiny? 2 Namalujte a popište graf hustoty pravděpodobnosti této náhodné veličiny. 3 Jaká je pravděpodobnost, že na autobus budete čekat od 2 do 7 minut? 4 Jaká je pravděpodobnost, že na autobus budete čekat více než 6 minut? Rovnoměrné rozdělení Generátor náhodných čísel v PC vytváří náhodná čísla z rozmezí 0, 1. S jakou pravděpodobností bude vylosováno číslo a) x = 0, 3251 b) menší než x = 0, 4 c) číslo větší než x = 0, 7 d) číslo z rozmezí 0,4 až 0,7? Statistika (KMI/PSTAT) 7 / 15

11 pravděpodobnosti má zcela výjimečnou pozici mezi ostatními pravděpodobnostními rozděleními spojité náhodné veličiny. Toto rozdělení je použitelné tam, kde koĺısání hodnot náhodné veličiny kolem střední hodnoty je způsobeno velkým počtem nepatrných a nezávislých vlivů. Řekneme, že náhodná veličina X má normální rozdělení pravděpodobnosti, tj. X No[µ, σ 2 ], jestliže hustota pravděpodobnosti f(x) je popsána vzorcem f(x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2, < x <. má dva parametry µ a σ 2, kde µ je střední hodnota rozdělení a σ 2 je jeho rozptyl. Je tedy E(X) = µ, D(X) = σ 2. Statistika (KMI/PSTAT) 8 / 15

12 Distribuční funkce normálního rozdělení má tvar F (x) = 1 x σ 2π e (t µ)2 2σ 2 dt. Obrázek : Hustota pravděpodobnosti normálního rozdělení X No[180, 10 2 ] Statistika (KMI/PSTAT) 9 / 15

13 Výpočet F (x) podle vzorce je obtížný, proto náhodnou veličinu X transformujeme na normovanou veličinu U, kde U = X µ σ. Po této transformaci dostaneme tzv. normované náhodné rozdělení U, kde je f(u) = 1 e u2 2, F (u) = 1 u e t2 2 dt. 2π 2π Parametry normovaného normálního rozdělení U jsou E(U) = 0, D(U) = 1. Hodnoty normovaného normálního rozdělení jsou tabelovány. Protože je rozdělení symetrické okolo nuly, stačí v tabulce uvést hodnoty pravděpodobností pouze pro u > 0. Potom platí F ( u) = 1 F (u). Často máme najít pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnoty z intervalu x 1 až x 2. Z vlastností distribuční funkce plyne P (u 1 < U < u 2 ) = F (u 2 ) F (u 1 ). Statistika (KMI/PSTAT) 10 / 15

14 Necht X je náhodná veličina s normovaným normálním rozdělením No[0, 1]. Určete, jaká je pravděpodobnost, že hodnota X bude a) menší než 1, 25 b) větší než 2, 1 c) menší než 1, 5 d) větší než 0, 45 e) v rozmezí 0, 35 až 1, 87 f) v rozmezí 1, 35 až 0, 55 Statistika (KMI/PSTAT) 11 / 15

15 Necht X je náhodná veličina s normovaným normálním rozdělením No[0, 1]. Určete, jaká je pravděpodobnost, že hodnota X bude a) menší než 1, 25 b) větší než 2, 1 c) menší než 1, 5 d) větší než 0, 45 e) v rozmezí 0, 35 až 1, 87 f) v rozmezí 1, 35 až 0, 55 a) P (X < 1, 25) = F (1, 25) = 0, Statistika (KMI/PSTAT) 11 / 15

16 Necht X je náhodná veličina s normovaným normálním rozdělením No[0, 1]. Určete, jaká je pravděpodobnost, že hodnota X bude a) menší než 1, 25 b) větší než 2, 1 c) menší než 1, 5 d) větší než 0, 45 e) v rozmezí 0, 35 až 1, 87 f) v rozmezí 1, 35 až 0, 55 a) P (X < 1, 25) = F (1, 25) = 0, b) P (X > 2, 1) = 1 F (2, 1) = 1 0, = 0, Statistika (KMI/PSTAT) 11 / 15

17 Necht X je náhodná veličina s normovaným normálním rozdělením No[0, 1]. Určete, jaká je pravděpodobnost, že hodnota X bude a) menší než 1, 25 b) větší než 2, 1 c) menší než 1, 5 d) větší než 0, 45 e) v rozmezí 0, 35 až 1, 87 f) v rozmezí 1, 35 až 0, 55 a) P (X < 1, 25) = F (1, 25) = 0, b) P (X > 2, 1) = 1 F (2, 1) = 1 0, = 0, c) P (X < 1, 5) = 1 F (1, 5) = 1 0, = 0, Statistika (KMI/PSTAT) 11 / 15

18 Necht X je náhodná veličina s normovaným normálním rozdělením No[0, 1]. Určete, jaká je pravděpodobnost, že hodnota X bude a) menší než 1, 25 b) větší než 2, 1 c) menší než 1, 5 d) větší než 0, 45 e) v rozmezí 0, 35 až 1, 87 f) v rozmezí 1, 35 až 0, 55 a) P (X < 1, 25) = F (1, 25) = 0, b) P (X > 2, 1) = 1 F (2, 1) = 1 0, = 0, c) P (X < 1, 5) = 1 F (1, 5) = 1 0, = 0, d) P (X > 0, 45) = F (0, 45) = 0, Statistika (KMI/PSTAT) 11 / 15

19 Necht X je náhodná veličina s normovaným normálním rozdělením No[0, 1]. Určete, jaká je pravděpodobnost, že hodnota X bude a) menší než 1, 25 b) větší než 2, 1 c) menší než 1, 5 d) větší než 0, 45 e) v rozmezí 0, 35 až 1, 87 f) v rozmezí 1, 35 až 0, 55 a) P (X < 1, 25) = F (1, 25) = 0, b) P (X > 2, 1) = 1 F (2, 1) = 1 0, = 0, c) P (X < 1, 5) = 1 F (1, 5) = 1 0, = 0, d) P (X > 0, 45) = F (0, 45) = 0, e) P (0, 35 < X < 1, 87) = F (1, 87) F (0, 35) = 0, , = 0, Statistika (KMI/PSTAT) 11 / 15

20 Necht X je náhodná veličina s normovaným normálním rozdělením No[0, 1]. Určete, jaká je pravděpodobnost, že hodnota X bude a) menší než 1, 25 b) větší než 2, 1 c) menší než 1, 5 d) větší než 0, 45 e) v rozmezí 0, 35 až 1, 87 f) v rozmezí 1, 35 až 0, 55 a) P (X < 1, 25) = F (1, 25) = 0, b) P (X > 2, 1) = 1 F (2, 1) = 1 0, = 0, c) P (X < 1, 5) = 1 F (1, 5) = 1 0, = 0, d) P (X > 0, 45) = F (0, 45) = 0, e) P (0, 35 < X < 1, 87) = F (1, 87) F (0, 35) = 0, , = 0, f) P ( 1, 35 < X < 0, 55) = F (0, 55) F ( 1, 35) = F (0, 55) [1 F (1, 35)] = F (0, 55) + F (1, 35) 1 = 0, Statistika (KMI/PSTAT) 11 / 15

21 Životnost baterie je náhodnou veličinou X s normálním rozdělením s parametry µ = 300 hodin a σ = 35 hodin. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná baterie bude mít životnost větší než 320 hodin? Statistika (KMI/PSTAT) 12 / 15

22 Životnost baterie je náhodnou veličinou X s normálním rozdělením s parametry µ = 300 hodin a σ = 35 hodin. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná baterie bude mít životnost větší než 320 hodin? Je X No[300, 35 2 ]. Převedením na normované rozdělení dostaneme Je tedy U = X = = = 4. = 0, P (X > 320) = P (U > 0, 57) = 1 F (0, 57) = 1 0, = 0, Pravděpodobnost, že náhodně vybraná baterie vydrží pracovat déle než 320 hodin je přibližně p = 0, 284. Statistika (KMI/PSTAT) 12 / 15

23 Při výstupní kontrole je součástka uznána za kvalitní, jestliže se její rozměr pohybuje v rozmezí 35 až 37 mm. Rozměry součástek mají normální rozdělení se střední hodnotou µ = 36, 2 mm a směrodatnou odchylkou 0, 3 mm. Jaká je pravděpodobnost, že rozměr součástky, náhodně vybrané ke kontrole, bude v požadovaných mezích? Statistika (KMI/PSTAT) 13 / 15

24 Při výstupní kontrole je součástka uznána za kvalitní, jestliže se její rozměr pohybuje v rozmezí 35 až 37 mm. Rozměry součástek mají normální rozdělení se střední hodnotou µ = 36, 2 mm a směrodatnou odchylkou 0, 3 mm. Jaká je pravděpodobnost, že rozměr součástky, náhodně vybrané ke kontrole, bude v požadovaných mezích? Je X No[36.2, ]. Převedením na normované rozdělení dostaneme U = X , u 1 = = = 4, u = = 0.8. = Hledaná pravděpodobnost je P (35 < X < 37) = P ( 4 < U < 2, 67) = F (2, 67) F ( 4) = F (2, 67) + F (4) 1 = 0, , = 0, 9962 Pravděpodobnost, že součástka bude v požadovaných mezích činí přibližně p = 0, 996. Statistika (KMI/PSTAT) 13 / 15

25 Výrobce trolejbusů připravuje nový typ trolejbusu. Při návrhu stanovuje různé detaily týkající se trolejbusu. Jedním z nich je výška dveří, která má být taková, aby jimi prošlo 95 % lidí. Předpokládejme, že výška lidí, kteří používají městskou dopravu podléhá normálnímu rozdělení s parametry µ = 180 cm a směrodatnou odchylkou σ = 10 cm. Jaká by tedy měla být výška dveří? Statistika (KMI/PSTAT) 14 / 15

26 Výrobce trolejbusů připravuje nový typ trolejbusu. Při návrhu stanovuje různé detaily týkající se trolejbusu. Jedním z nich je výška dveří, která má být taková, aby jimi prošlo 95 % lidí. Předpokládejme, že výška lidí, kteří používají městskou dopravu podléhá normálnímu rozdělení s parametry µ = 180 cm a směrodatnou odchylkou σ = 10 cm. Jaká by tedy měla být výška dveří? Z tabulek pro normovanou distribuční funkci normálního rozdělení vyčteme, že Φ(u) = 0, 95 platí pro u = 1, 65. Je tedy Φ(1, 65) = 0, 95, resp. P (U 1, 65). = 0, 95. Nyní musíme zjistit, která hodnota x v X No[180, 10 2 ] odpovídá u = 1, 65 pro U N[0, 1]. U = X µ σ 1, 65 = x Výška dveří trolejbusu by měla být rovna 196,5 cm. 16, 5 = x 180 x = 196, 5 Statistika (KMI/PSTAT) 14 / 15

27 Výrobce trolejbusů připravuje nový typ trolejbusu. Při návrhu stanovuje různé detaily týkající se trolejbusu. Jedním z nich je výška dveří, která má být taková, aby jimi prošlo 95 % lidí. Předpokládejme, že výška lidí, kteří používají městskou dopravu podléhá normálnímu rozdělení s parametry µ = 180 cm a směrodatnou odchylkou σ = 10 cm. Jaká by tedy měla být výška dveří? Z tabulek pro normovanou distribuční funkci normálního rozdělení vyčteme, že Φ(u) = 0, 95 platí pro u = 1, 65. Je tedy Φ(1, 65) = 0, 95, resp. P (U 1, 65). = 0, 95. Nyní musíme zjistit, která hodnota x v X No[180, 10 2 ] odpovídá u = 1, 65 pro U N[0, 1]. U = X µ σ 1, 65 = x Výška dveří trolejbusu by měla být rovna 196,5 cm. 16, 5 = x 180 x = 196, 5 Uvedená hodnota představuje 95% kvantil, nebot je 95% všech hodnot menších nebo rovných 196,5 cm a 5% je stejných nebo větších než 196,5 cm. Statistika (KMI/PSTAT) 14 / 15

28 Úlohy k samostatné práci Příklad I Předepsaný objem automaticky plněné krabice s mlékem je 1 litr. Povolená tolerance (směrodatná odchylka) činí 0.03 litru. 1 Kolik krabic v zásilce kusů bude mít objem menší než 0.97 litru? 2 Jaká by musela být směrodatná odchylka, aby pouze 4 % krabic mělo svůj objem mimo povolený interval (0.97, 1.03) litru? Příklad II Zkouška nového stroje musí probíhat nepřetržitě 24 hodin a je nezbytně nutné, aby po celou tuto dobu byl stroj pod kontrolou diagnostického zařízení. Víme, že diagnostické zařízení má poruchu průměrně jednou za hodin. Zjistěte, zda čas čekání na poruchu diagnostického zařízení je s pravděpodobností p = 0.99 delší, než čas vymezený na zkoušku. Příklad III Váha automaticky vyráběného výrobku (v gramech) je náhodná veličina X No[152.4, 0.16]. Kolik procent výrobků je těžších než 153 gramů? Statistika (KMI/PSTAT) 15 / 15