Operace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument)

Transkrypt

1 KAPITOLA : Funkce - úvod [MA-8:P.] reálná funkce (jedné) reálné proměnné... f : A R zobrazení množin A R do množin reálných čísel R funkční hodnota... = f() ( argument) ( tj. reálná funkce f : A R je,,předpis, který každému číslu z množin A přiřazuje právě jedno reálné číslo = f() ) definiční obor... D(f) (= A) ( není-li výslovně uveden, bereme za D(f) největší množinu, na níž má daný předpis smsl - tzv. maimální definiční obor ) obor hodnot... H(f) = { R = f() pro nějaké A } D(g) = A D(f) = A, f() = g() D(g)... { g zúžení funkce f ((z A ) na A ), f rozšíření funkce g ((z A ) na A ) Příklad: ) D(f) = N... posloupnost ( více viz odstavec. ) ) f() = a ( R), D(f) = R... konstantní funkce ) f() = sin... D(f) = R; g() = sin,,... D(g) =, g zúžení funkce f, f rozšíření funkce g pro < 0 4) f() = sgn = 0 pro = 0... signum ( znaménko ) pro > 0 graf funkce f... { (, f()) D(f)} Příklad: ) f() = ( 0 : f() = ; 0 : f() = ) f() = ) f() = sgn = = ) f() = [] f g na M... M D(f) D(g) a f() g() M (analogick ostatní nerovnosti) Operace s funkcemi h h() D(h) součet f + g f() + g() D(f) D(g) rozdíl f g f() g() D(f) D(g) součin f g f() g() D(f) D(g) podíl f g f() g() (D(f) D(g)) \ { g() = 0 } násobek ( a R ) a f a f() D(f)

2 složená funkce... h = g f... h() = g(f()) (musí platit H(f) D(g)) f vnitřní funkce, g vnější funkce [MA-8:P.] vliv skládání na změnu grafu funkce... viz skripta [JT-DIP] str. 8 (0), Věta.. Vlastnosti funkcí prostá funkce... f( ) f( ) pro (tj. f( ) = f( ) = ) inverzní funkce... f () = f() =... D(f ) = H(f) (f musí být prostá) Definice: Řekneme, že funkce f je na množině A D(f) omezená, jestliže eistuje S R tak, že pro všechna A platí: f() S, zdola omezená, jestliže eistuje L R tak, že pro všechna A platí: L f(), shora omezená, jestliže eistuje K R tak, že pro všechna A platí: f() K. ( Je-li A = D(f), vnecháváme v názvu:,,na množině A. Podobně i u dalších pojmů. ) Poznámka: Funkce je na množině A omezená, právě kdž je na ní omezená zdola i shora. Funkce je omezená právě tehd, kdž je její obor hodnot omezená množina (analogick funkce omezené z jedné stran). Příklad.: Funkce f() = + také f(). je omezená. Pro každé R = D(f) totiž platí např. 0 + nebo Definice: Řekneme, že funkce f je na množině A D(f) neklesající, jestliže f( ) f( ), A, <, nerostoucí, jestliže f( ) f( ), A, <, monotonní, je-li na A neklesající nebo nerostoucí, rostoucí, jestliže f( ) < f( ), A, <, klesající, jestliže f( ) > f( ), A, <, rze monotonní, je-li na A rostoucí nebo klesající. rostoucí ( f( ) f( ) ) ( ) > 0, A, klesající ( f( ) f( ) ) ( ) < 0, A, (podobně pro nerostoucí a neklesající) Poznámka: Každá funkce rostoucí na A je na A neklesající, každá funkce klesající na A je na A nerostoucí, a ted každá funkce rze monotonní na A je na A monotonní. Zřejmě žádná funkce není na jedné množině rostoucí a klesající zároveň, nerostoucí a zároveň neklesající jsou jen konstantní funkce. Platí: Pokud je funkce f rze monotonní na D(f), pak je prostá a eistuje k ní inverzní funkce f. Funkce f má stejný tp monotonie jako f. Uvažujme např. funkci f, která je klesající, a libovolnou dvojici různých čísel u, u D(f ). Označíme-li f (u ) = v, f (u ) = v, pak z definice inverzní funkce máme v, v D(f) a f(v ) = u, f(v ) = u. Protože je funkce f klesající, je 0 > (f(v ) f(v ))(v v ) = (u u )(f (u ) f (u ). Inverzní funkce f je ted také klesající. Příklad: ) Funkce f() = [] je neklesající na celém svém D(f) = R, je ale také rostoucí např. na Z (protože f(k) = k pro k Z) nebo na {k + k Z} (nebot f(k + ) = k pro k Z).

3 [MA-8:P.] ) Funkce f() = není klesající na celém definičním oboru D(f) = (, 0) (0, ), protože např. < a f( ) = = f(). Tato funkce je ale klesající na každém z intervalů (, 0) a na (0, ). Máme totiž (f() f()) ( ) = ( )( ) = ( ) = ( ) }{{}, kde pro sgn = sgn platí > 0. 0 Poznámka: Budeme-li dále mluvit o intervalech, nebudeme brát v úvahu interval jednobodové ( tj. tpu a, a ). Definice: Řekneme, že funkce f je sudá, jestliže pro každé D(f) platí: D(f) a f( ) = f(). Řekneme, že funkce f je lichá, jestliže pro každé D(f) platí: D(f) a f( ) = f(). Poznámk: ) Pokud je funkce f lichá a 0 D(f), pak f(0) = 0. Je-li f sudá a D(f) {0}, pak f není prostá. ),, sudá sudá = lichá lichá = sudá,,, sudá lichá = lichá sudá = lichá Definice: Řekneme, že funkce f je periodická s periodou T > 0, jestliže pro každé D(f) platí ± T D(f) a f( + T ) = f() ( = f( T ) ) základní perioda... nejmenší perioda (pokud eistuje) - nemají ji např.: konstantní funkce (periodou je každé kladné číslo), Dirichletova funkce: f() = pro Q, f() = 0 pro Q racionální číslo) (periodou je každé kladné Poznámka: Pokud je T perioda funkce f a k N, pak k T je také perioda funkce f.. Posloupnosti posloupnost reálných čísel... reálná funkce definovaná na množině přirozených čísel n tý člen posloupnosti... funkční hodnota v bodě n N Analogick lze definovat i posloupnost kompleních čísel. Značení: člen posloupnosti... a n, b n apod. posloupnost... (a n ) n=, (a n ) n N, (a, a, a,... ) ( často také : {a n } n= apod. ) Obecněji: Množinu N nahradíme množinou N 0 nebo { k, k +, k +,... }, k N ( k Z ) apod. Platí: Posloupnost (a n ) n= je rostoucí právě tehd, kdž pro každé n N platí a n+ > a n neboli a n+ a n > 0. (Protože zde máme právě tehd, kdž, je možné roustoucí posloupnosti definovat jako posloupnosti s touto vlastností. Viz dodatek na konci kapitol.) Analogick pro další tp monotonie. Poznámka: Uvažujme nejdříve posloupnost a n = 8(n )(n )(n )+7n. Není těžké ověřit, že rozdíl dvou po sobě jdoucích členů této posloupnosti lze vjádřit ve tvaru a n+ a n = 4(n ) +, a je ted vžd kladný. Posloupnost je tudíž rostoucí. Podívejme se nní na funkci f() = 8( )( )( ) + 7. Stejně jako u posloupnosti (a n ) n= dostaneme pro tuto funkci, že pro každé D(f) = R platí f(+) f() = 4( ) +. Zvětší-li se ted argument funkce o jedničku, zvětší se i její funkční hodnota. To ale ještě nezaručuje, že je funkce f rostoucí. Ab rostoucí bla, musela b se funkční hodnota zvětšit při jakémkoliv zvětšení argumentu. A to zde neplatí. Máme totiž např. 5 > a zároveň f( 7 5 ) = 4 5 < 4 = f(). Při zkoumání monotonie funkce ted nestačí porovnat její hodnot v bodech a +.

4 Speciální případ posloupností [MA-8:P.4] konstantní posloupnost a n = A R pro každé n N nerostoucí a neklesající, omezená aritmetická posloupnost a R, d R ( d diference ) a n+ = a n + d pro n N, tj. a n = a + (n ) d pro n N ( rekurentní zadání ) ( zadání vzorcem pro n-tý člen ) pro d > 0 rostoucí, zdola omezená, shora neomezená, pro d < 0 klesající, shora omezená, zdola neomezená, Platí: a + a a n = s n = (a + a n ) n = (a + (n ) d) n ( důkaz např. indukcí ) geometrická posloupnost a R, q R ( q kvocient ) a n+ = a n q pro n N, tj. a n = a q n pro n N ( pokládáme tu q 0 = pro každé q R ) pro q = nebo a = 0 konstantní pro q >, a > 0 rostoucí, zdola omezená, shora neomezená, neomezená, pro 0 < q <, a > 0 klesající, omezená, pro q < 0, a 0 není monotonní, je omezená, shora Platí: a + a a n = s n = a qn q pro q >, a < 0 klesající, shora omezená, zdola pro 0 < q <, a < 0 rostoucí, omezená pro q <, a 0 není monotonní, není omezená zdola ani pro q ( důkaz např. indukcí ) a + a a n = s n = n a pro q = ( zřejmé ). Elementární funkce podrobně viz skripta [JT-DIP] stran 0-40 ( - 4) ( je potřeba znát dobře graf! ). Mocnina. Funkce α, a, log a Mocnin s racionálními eponent n N : a n = a a a }{{} n krát a R m N : sudé a m = m a (= m = a a 0) a 0, ) liché a m = m a (= m = a) a R m, n N, nesoudělná : a n m = ( m a) n a 0, ) pro m sudé a R pro m liché q Q + : a q = a q a 0 a podmínk z a q a 0 = a R

5 Mocnin s reálnými eponent [MA-8:P.5] Pro a > 0 definujeme: a α = lim n aαn, kde (α n ) n= Q je taková posloupnost, že lim n α n = α. Poznámka: Lze ukázat, že taková posloupnost konvergující k α vžd eistuje a že na jejím výběru uvedená limita nezávisí. Dále zřejmě vžd dostaneme a α > 0. (Pokud jste se ještě nesetkali s limitami, porozumíte této definici a poznámce, až probereme další kapitolu.) Vlastnosti jsou stejné jako u racionálních eponentů (a, b > 0, ( a ( a b ) r = a r b r ; b a r + s = a r a s ) r = a r b r r, s R): a r s = ( a r ) s a r = a r A) OBECNÁ MOCNINA f() = α... α R pevné pro α racionální: D(f) a H(f) závisí na α (viz výše), vžd (0, ) D(f) a pro α 0 též (0, ) H(f) pro α iracionální: D(f) = (0, ), H(f) = (0, ) α > α = 0 < α < α = 0 α < 0 graf zúžení funkce f() = α na interval 0, ) resp. (0, ) B) EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE (o základu a) f() = a... a > 0 pevné D(f) = R, H(f) = (0, ) pro a, H(f) = {} pro a = speciálně pro a = e ( Eulerovo číslo ) značíme e = ep()... eponenciální funkce ( e =., 78, definuje se předpisem e = lim n ( + n )n - viz skripta [JT-DIP] příklad.6 ) Poznámka: Kdbchom zúžili definiční obor funkce a na přirozená čísla, dostali bchom geometrickou posloupnost (a n n) n= s prvním členem a a kvocientem také a.

6 [MA-8:P.6] 0 < a < a > a = graf funkce f() = a C) LOGARITMICKÁ FUNKCE (o základu a) ( inverzní funkce k eponenciální funkci ) log a = a =... a > 0, a pevné ( pro a = není funkce a prostá! ) D(f) = (0, ), H(f) = R speciálně pro a = e značíme log e = ln... přirozený logaritmus a > 0 < a < graf funkce f() = log a Vlastnosti logaritmů ( a, b > 0, a, b ;, > 0 ; r R): ( ) log a = log a log a ( ) = log a + log a ( ) log a = log a log a log a r = r log a log a = log b log b a, speciálně : log a = ln ln a (máme log a = = a log b = log b a log b = log b a log b = log a log b a)

7 [MA-8:P.7] Platí: a = e ln a pro a > 0, R ( protože e ln a = e ln a a přirozený logaritmus je funkce inverzní k e ). Goniometrické a cklometrické funkce A) GONIOMETRICKÉ FUNKCE sin... D(f) = R, H(f) =,, lichá, -periodická cos... D(f) = R, H(f) =,, sudá, -periodická tg = sin cos... D(f) = k Z( + k, + k), H(f) = R, lichá, -periodická cotg = cos sin... D(f) = k Z(k, (k + )), H(f) = R, lichá, -periodická cos sin graf funkcí sin a cos tg 0 cotg graf funkcí tg a cotg Vbrané vlastnosti funkcí sin a cos : sin = cos ( ) cos = sin ( + ) sin + cos = sin = sin cos cos = cos sin sin = ( cos ) cos = ( + cos )

8 [MA-8:P.8] sin( ± ) = sin cos ± cos sin cos( ± ) = cos cos sin sin sin + sin = sin + cos sin sin = cos + sin cos + cos = cos + cos cos cos = sin + sin Ze vzorce pro součet sinů máme kde sin A cos B = (sin + sin ), A = +, B =, tj. = A + B, = A B. Ted sin A cos B = (sin(a + B) + sin(a B)). Podobně lze převést na součet nebo rozdíl i součin sinů a součin kosinů dostaneme: cos A cos B = (cos(a + B) + cos(a B)) a sin A sin B = (cos(a + B) cos(a B)). (Tento přepis se hodí při integraci uvedených součinů). Základní hodnot goniometrických funkcí sin 0 0 cos 0 0 tg 0 0 cotg 0 0 B) CYKLOMETRICKÉ FUNKCE ( inverzní ke goniometrickým zúženým na vhodný interval ) f D(f) H(f) f D(f ) H(f ) sin,, arcsin,, cos 0,, arccos, 0, tg (, ) R arctg R (, ) cotg ( 0, ) R arccotg R ( 0, ) Poznámka: Je potřeba mít na paměti, že cklometrické funkce nejsou inverzními funkcemi ke goniometrickým funkcím jako takovým, ale jen k jejich zúžením na určitý interval. Máme tak sice např. arcsin(sin 0) = arcsin 0 = 0, ale arcsin(sin()) = arcsin 0 = 0, arcsin ( sin ( )) = arcsin( ) =. Rozmslete si, že pro funkci arctg platí: Je-li ( + k, + k), kde k Z, pak = arctg (tg ) + k. Bude se nám to hodit, až budeme počítat integrál pomocí metod substitice a použijem substituci t = tg.

9 [MA-8:P.9] arcsin arccos graf funkcí arcsin a arccos arctg 4 arccotg graf funkcí arctg a arccotg. Hperbolické a hperbolometrické funkce A) HYPERBOLICKÉ FUNKCE f D(f) H(f) sinh = e e R R cosh = e + e R, ) tgh = sinh cosh = e e e + e R (, ) cotgh = cosh sinh = e + e e e R \ { 0 } (, ) ( )

10 [MA-8:P.0] cosh sinh cotgh tgh graf hperbolických funkcí Vbrané vlastnosti funkcí sinh a cosh : sinh < cosh cosh sinh = sinh = sinh cosh cosh = cosh + sinh B) HYPERBOLOMETRICKÉ FUNKCE ( inverzní k hperbolickým, případně zúženým na vhodný interval ) f D(f) H(f) f D(f ) H(f ) sinh R R argsinh R R cosh 0, ), ) argcosh, ) 0, ) tgh R (, ) argtgh (, ) R cotgh R \ { 0 } (, ) (, ) argcotgh (, ) (, ) R \ { 0 }

11 [MA-8:P.] argcosh argsinh argtgh argcotgh graf hperbolometrických funkcí Vjádření hperbolometrických funkcí pomocí logaritmů argsinh = ln( + + ), R argcosh = ln( + ),, ) argtgh = ( ) + ln, (, ) ( viz Příklad. ) argcotgh = ( ) + ln, (, ) (, ) Příklad.: Pro < vjádřete argtgh pomocí logaritmické funkce. Řešení: Označíme = argtgh. Pak = tgh = e e e + e. Po rozšíření zlomku výrazem e postupně dostáváme = e e + ( e + ) = e ( ) e = Ted e = e = + ( + ) = ln. argtgh = ( + ) ln.

12 .4 Dodatek: Omezené a monotonní posloupnosti [MA-8:P.] Následující definice monotonie a omezenosti posloupností jsou ekvivalentní definicím omezenosti a monotonie funkcí pro případ, kd definičním oborem funkce je množina přirozených čísel. Definice : Řekneme, že posloupnost (a n ) n= je omezená ( shora omezená zdola omezená ), jestliže je množina jejích členů omezená ( shora omezená zdola omezená ), tj. jestliže eistuje K R takové, že a n K ( a n K K a n ) pro všechna n N. Poznámka : Posloupnost je omezená právě tehd, kdž je omezená shora i zdola. Poznámka : Na omezenost či neomezenost posloupnosti nemá vliv změna konečně mnoha jejích členů. Definice : Řekneme, že posloupnost (a n ) n= je neklesající ( nerostoucí ), jestliže a n+ a n ( a n+ a n ) pro každé n N. Posloupnost nazveme monotonní, je-li neklesající nebo nerostoucí. Řekneme, že posloupnost (a n ) n= je rostoucí ( klesající ), jestliže a n+ > a n ( a n+ < a n ) pro každé n N. Posloupnost nazveme rze monotonní, je-li rostoucí nebo klesající.