Kombinatorika a grafy I

Transkrypt

1 Kombinatorika a grafy I Martin Balko 1. přednáška 19. února 2019

2 Základní informace

3 Základní informace úvodní kurs, kde jsou probrány základy kombinatoriky a teorie grafů ( pokračování diskrétní matematiky ).

4 Základní informace úvodní kurs, kde jsou probrány základy kombinatoriky a teorie grafů ( pokračování diskrétní matematiky ). Stránky přednášky: kam.mff.cuni.cz/ balko/kgi1819 informace o přednášce, probraná témata, prezentace, zápisky...

5 Základní informace úvodní kurs, kde jsou probrány základy kombinatoriky a teorie grafů ( pokračování diskrétní matematiky ). Stránky přednášky: kam.mff.cuni.cz/ balko/kgi1819 informace o přednášce, probraná témata, prezentace, zápisky... Cvičení: ponděĺı, 15:40 v S11 (J. Fiala), pátek, 9:00 v T9 (J. Fiala), pátek, 10:40 v S7 (M. Balko), pátek, 10:40 v T5 (J. Fiala).

6 Základní informace úvodní kurs, kde jsou probrány základy kombinatoriky a teorie grafů ( pokračování diskrétní matematiky ). Stránky přednášky: kam.mff.cuni.cz/ balko/kgi1819 informace o přednášce, probraná témata, prezentace, zápisky... Cvičení: ponděĺı, 15:40 v S11 (J. Fiala), pátek, 9:00 v T9 (J. Fiala), pátek, 10:40 v S7 (M. Balko), pátek, 10:40 v T5 (J. Fiala). Doporučená literatura: J. Matoušek a J. Nešetřil: Kapitoly z diskrétní matematiky. J. Matoušek a T. Valla: Kombinatorika a grafy I. T. Kaiser: Přednáška Samoopravné kódy.

7 Zápočet a zkouška

8 Zápočet a zkouška Podmínky k získání zápočtu: zisk 100 bodů z celkových zhruba 150 bodů (tedy zhruba 2/3), krátká písemka na začátku každého cvičení (vyjma prvního), týdenní domácí úlohy, zápočet je nutnou podmínkou účasti u zkoušky.

9 Zápočet a zkouška Podmínky k získání zápočtu: zisk 100 bodů z celkových zhruba 150 bodů (tedy zhruba 2/3), krátká písemka na začátku každého cvičení (vyjma prvního), týdenní domácí úlohy, zápočet je nutnou podmínkou účasti u zkoušky. Průběh zkoušky: ústní s písemnou přípravou, 5 otázek, z toho 3 na ověření základních pojmů a jejich aplikace, 1 na ověření znalosti důkazů z přednášky a 1 přehledová.

10 Sylabus

11 Sylabus Předběžný plán:

12 Sylabus Předběžný plán: odhady faktoriálu a binomických koeficientů, vytvořující funkce a jejich aplikace, konečné projektivní roviny a latinské čtverce, toky v sítích (minimaxová věta), Hallova věta a její aplikace, Ušaté lemma, struktura 2-souvislých grafů, počet koster úplného grafu, dvojí počítání (počet koster K n e, Spernerova věta), základní Ramseyovy věty, samoopravné kódy.

13 Sylabus Předběžný plán: odhady faktoriálu a binomických koeficientů, vytvořující funkce a jejich aplikace, konečné projektivní roviny a latinské čtverce, toky v sítích (minimaxová věta), Hallova věta a její aplikace, Ušaté lemma, struktura 2-souvislých grafů, počet koster úplného grafu, dvojí počítání (počet koster K n e, Spernerova věta), základní Ramseyovy věty, samoopravné kódy. Průchod kombinatorikou do šířky, rozšiřující témata na přednáškách KAM a IÚUK.

14 Odhady faktoriálu

15 1 + x ex

16 1 + x e x Obrázek: Funkce e x a 1 + x.

17 1 + x e x Obrázek: Funkce 2 x a 1 + x.

18 1 + x e x Obrázek: Funkce 4 x a 1 + x.

19 1 + x e x Obrázek: Funkce e x a 1 + x.

20 Stirlingův vzorec

21 Stirlingův vzorec n! 2πn ( ) n n e Obrázek: James Stirling ( ) a Abraham de Moivre ( ). Zdroje: a

22 Stirlingův vzorec Obrázek: Funkce x! a 2πx ( x e ) x.

23 Stirlingův vzorec Obrázek: Funkce x! a 2πx ( x e ) x.

24 Stirlingův vzorec Obrázek: Funkce x! a 2πx ( x e ) x.

25 Velikost čísla 52!

26 Velikost čísla 52! 52! = počet možných zamíchání kanastových karet

27 Velikost čísla 52! 52! = počet možných zamíchání kanastových karet Zdroj:

28 Velikost čísla 52! 52! = počet možných zamíchání kanastových karet Zdroj: Jak velké je toto číslo?

29 Velikost čísla 52! = e ( ) e = ! = π ( ) e = e ( ) e = =

30 Velikost čísla 52! = e ( ) e = ! = π ( ) e = e ( ) e = =

31 Velikost čísla 52! = e ( ) e = ! = π ( ) e = e ( ) e = =

32 Velikost čísla 52! = e ( ) e = ! = π ( ) e = e ( ) e = =

33 Velikost čísla 52! = e ( ) e = ! = π ( ) e = e ( ) e = =

34 Velikost čísla 52! = e ( ) e = ! = π ( ) e = e ( ) e = =

35 Odhady binomických koeficientů

36 Náhodné procházky

37 Náhodné procházky Náhodné procházky lze uvážit i ve vícedimenzionálních mřížkách.

38 Náhodné procházky Náhodné procházky lze uvážit i ve vícedimenzionálních mřížkách. Obrázek: Náhodné procházky v Z 2 a Z 3. Zdroj:

39 Náhodné procházky Náhodné procházky lze uvážit i ve vícedimenzionálních mřížkách. Obrázek: Náhodné procházky v Z 2 a Z 3. Zdroj: V Z 2 střední hodnota počtu návratů roste do nekonečna, ale v Z 3 už ne.

40

41 A drunk man will find his way home, but a drunk bird may get lost forever. Shizuo Kakutani

42 A drunk man will find his way home, but a drunk bird may get lost forever. Shizuo Kakutani Děkuji za pozornost.