FAKULTA STAVEBNÍ. Stavební statika. Telefon: WWW:

Transkrypt

1 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ Stavební statika Úvod, opakování, soustavy sil Jiří Brožovský Kancelář: LP H 406/3 Telefon: jiri.broovsky@vsb.c WWW:

2 Stavební statika? (1) 2

3 Stavební statika? (2) 3

4 Doporučená literatura 1. on-line: přednášky doc. Martina Krejsy: 2. on-line: příklady dr. Vladimíry Michalcové: 3. on-line: příklady dr. Lenky Lausové: 4. učebnice: Jaroslav Kadlčák, Jiří Kytýr: Statika stavebních konstrukcí I., VUTIUM,

5 Průběh koušky vstupní test: kontrola ákladních nalostí (uspěl/neuspěl) písemná část: 3-5 příkladů, pro úspěšné absolvování je a každý příklad nutno ískat nadpoloviční počet bodů ústní část: 3 otáky teorie předmětu + diskuse o písemné části bodování jako v ostatních předmětech (nutno ískat nejméně 51 bodů, možno ískat maimálně 100 bodů) 5

6 Náplň předmětu Silové soustavy v rovině a prostoru (opakování). Vnitřní síly nosníků, integrálně derivační vtahy. Přímé, lomené nosníky, oblouky. Nosníky s klouby. Příhradové nosníky. Průřeové charakteristiky. Pohyblivé atížení, příčinkové čáry. Varování: Znalosti uvedených témat v rosahu učiva střední školy nestačí ani k ískání ápočtu, natož pak k vykonání koušky. Doporučuje se průběžné studium nové látky. 6

7 Systém souřadnic v rovině X-Z Dále budeme tento systém souřadnic používat. 7

8 Opakování pojmů matematiky Pythagorova věta. Goniometrické funkce. Příklady použití goniometrických funkcí. Trojčlenka. 8

9 Opakování: Pythagorova věta Platí poue pro pravoúhlé trojúhelníky! c 2 = a 2 + b 2 b c a c = a = b = a 2 + b 2 c 2 b 2 c 2 a 2 a, b... odvěsny, c... přepona (naproti pravému úhlu). 9

10 Opakování: Goniometrické funkce Uvedené vtahy platí poue pro pravoúhlé trojúhelníky! Sinus α: sin (α) = b c b c Kosinus α: cos (α) = a c Tangens α: tan (α) = b a a α tan α = sin(α) cos(α) a, b... odvěsny, c... přepona (naproti pravému úhlu). 10

11 Aplikace opakování: Roklad síly na pravoúhlé složky Využití Pythagorovy věty a goniometrických funkcí. α F F = F 2 + F 2 y Fy F α cos(α) = F F F = F cos(α) sin(α) = F y F F y = F sin(α) 11

12 Aplikace opakování: Výpočet délky šikmé úsečky Využití Pythagorovy věty a goniometrických funkcí. b α a L a α b L = a 2 + b 2 cos(α) = a L L = a cos(α) sin(α) = b L L = b sin(α) 12

13 Opakování: Trojčlenka b e a b = e = a b e a e = b a Využití: např. podobnost trojúhelníků. 13

14 Opakování: Fyika mechanika Základní předpoklady Přímková soustava sil Rovnoběžník sil Rovinný svaek sil Statický moment síly k bodu Dvojice sil v rovině Rovinná soustava rovnoběžných sil Obecná soustava sil v rovině 14

15 Fyika ákladní předpoklady Zkoumáme objekty lineárně pružného materiálu (platí Hookeův ákon: vtah mei atížením a deformací je lineární) Materiál všech koumaných těles je iotropní (má ve všech směrech stejné vlastnosti) Předpokládáme, že deformace vyvolané atížením jsou malé (vliv deformací na polohu sil můžeme anedbat) Tyto předpoklady umožňují, že můžeme účinky růných atížení (např. sil) na konstrukci sčítat (velké jednodušení výpočtů). 15

16 Přímková soustava sil F4 = 10 kn F3 = 40 kn F2 = 20 kn R = 20 kn F1 = 10 kn Všechny síly leží v jedné přímce Na místě působení v rámci přímky neáleží Výslednice (síla, kterou le soustavu sil nahradit a která má stejný účinek) : R = n i=1 F i Příklad: R = 4 i=1 F i = = 20 kn 16

17 Přímková soustava sil Stanovte směr a velikost výslednic Určete, da nějaká e soustav je v rovnováe (R = 0) a) b) c)

18 Rovnoběžník sil φ F1 Výpočet výslednice dvou sil číselně pomocí kosinové věty: F2 180 φ R R = P F F 1F 2 cos(φ) Např. F1 = 10 kn, F2 = 11 kn, φ = 20 o : R = cos(20 0 ) = 20,68kN 18

19 Roklad síly na pravoúhlé složky Zvláštní (jednodušší, tedy užitečnější) případ rovnoběžníku sil α F F = F 2 + F 2 y Fy F α cos(α) = F F F = F cos(α) sin(α) = F y F F y = F sin(α) Silový pravoúhelník je de obdélník. 19

20 Rovinný svaek sil Skupina sil se společným působištěm Výslednici hledáme ve třech krocích: 1. roklad všech sil na složky ve směru α R os X a Y 2. suma složek v jednotlivých směrech: R = n i=1 F,i, R = n i=1 F y,i 3. Určíme výslednici a její úhel od osy : R = R 2 + R 2, cos(α) = R R 20

21 Rovinný svaek sil příklad (1) Stanovte směr a velikost výslednice svaku sil: F 1 = 10 kn, F 2 = 12 kn. F2 215 o 30 o F1 21

22 Rovinný svaek sil příklad (2) Roklad síly F1: F 1 = F 1 sin 30 o = 10 0, 5 = 5 kn ( ) F 1 = F 1 cos 30 o = 10 0, 866 = 8.66 kn ( ) F2 215 o F1 30 o F1 F1 F1 22

23 Rovinný svaek sil příklad (3) Roklad síly F2: F 2 = (F 2 cos 55 o ) = (20 0, 574) = 6, 89 kn ( ) F 2 = (F 2 sin 55 o ) = (12 0, 819) = 9, 83 kn ( ) F2 30 o 215 o F2 215 o F2 F1 o 55 F2 23

24 Rovinný svaek sil příklad (4) Výslednice F sil ve směru osy : n i=1 F i, = F 1 + F 2 = 5, 0 6, 89 = 1, 89 kn ( ) F2 215 o F1 o 55 F2 F2 F1 F1 24

25 Rovinný svaek sil příklad (5) Výslednice F sil ve směru osy : n i=1 F i, = F 1 + F 2 = 8, 66 9, 83 = 0, 17 kn ( ) F2 215 o F1 o 55 F2 F2 F1 F1 25

26 Rovinný svaek sil příklad (6) Výslednice F : F = F 2 + F 2 = ( 1, 89) 2 + (0, 17) 2 = 1, 90 kn ( ) F2 β F F F F1 cos β = F F = 0, 17 1, 90 β = 5, 13o 26

27 Statický moment síly k bodu (1) s rameno síla Stanovíme: M = P p Jednotka: [N m] bod p 90 o paprsek síly P + Moment se nemění, pokud se síla libovolně posunuje po svém paprsku. Moment je kladný, otáčí-li proti směru hodinových ručiček. 27

28 Statický moment síly k bodu (2) s p = 0,6 m 90 o P = N Výpočet velikosti momentu: M = P p + M = , 6 = N m 28

29 Statický moment síly k bodu (3) Stanovte výsledný moment sil k bodu s (úhly jsou ve stupních): 20 kn 12 s kn 6 kn 12 kn 29

30 Dvojice sil p P P Stanovíme: M = P p Jednotka: [N m] P p P Otáčením dvojice sil se moment nemění. Výslednice více dvojic sil je jejich algebraickým součtem. P Moment dvojice sil je stejný ke všem bodům p tělesa. P 30

31 Dvojice sil Stanovte výsledný moment dvojic sil na obráku

32 Varignonova momentová věta M d = R d p d = n i=1 P i p i + m j=1 M j, kde M j je moment j-té dvojice sil a P i p i statický moment i-té síly k momentovému středu d. 32

33 Rovinná soustava rovnoběžných sil S Výslednice: d R R = n P i i=1 Výsledný statický moment (k bodu S): M r = R d = n i=1 Poloha výslednice (k bodu S): P i p i pi Pi d = M r R 33

34 Stanovte polohu a velikost výslednice M = F i r i = = 708 knm R = F i = 37 kn ( ), r = M R = = 19, 14 m 34

35 Podmínky rovnováhy obecné rovinné soustavy sil Vždy 3, obvykle ve složení: R = n i=1 R = n i=1 P i, = 0 P i, = 0 M s = n (P i, p i, + P i, p i, ) + m i=1 j=1 M j = 0 35

36 Výsledný účinek rovinné soustavy sil (1) P1 P2 a. Roložíme všechny síly P1 P2 P1 P1 P1 P2 P2 P i na složky P i, a P i,. b. Posuneme působiště všech P i, do osy c. Posuneme působiště P2 všech P i, do osy 36

37 Výsledný účinek rovinné soustavy sil (2) d. Stanovíme výslednice α P c1 P d1 P P1 d2 P2 sil ve směrech a : P = n P i, i=1 c2 P1 P2 P1 P2 P = n P i, i=1 e. Stanovíme velikost a směr výslednice: P = P 2 + P 2 y, sin(α) = P P 37

38 Výsledný účinek rovinné soustavy sil (3) d1 c1 Μ P1 d2 P2 f. Stanovíme moment c2 P1 P1 soustavy sil k počátku: P2 P2 M = n i=1 P i, c i + n i=1 P i, d i 38

39 Výsledný účinek rovinné soustavy sil (4) Varianty vyjádření M R R R, R, M složky výslednice v počátku a moment k libovolnému bodu v rovině M α R R, (α), M výslednice v počátku (a její směr) a moment k libovolnému bodu v rovině Zo d R, (α), d posunutá výslednice (a směr) a její α R rameno 39

40 Soustava sil příklad (1) Stanovte výslednici a výsledný moment rovinné soustavy sil. 0, ο kn ο kn 40

41 Soustava sil příklad (2) 0,0 5 4 P1 ο 30 P1 12 P2 50 ο P1 = 10 kn P2 P2 = 12 kn 7 P 1, P 1, = 10 sin(30 o ) = 5,0kN( ) = 10 cos(30 o ) = 8,660kN( ) P 2, = 12 cos(50 o ) = = 7,714kN( ) P 2, = 12 sin(50 o ) = 9,193kN( ) Znaménka jednotlivým složkám přiřaujeme podle jejich smyslu (kladná síla jde ve směru kladné souřadnicové osy)! 41

42 Soustava sil příklad (3) 0, P1 = 5,0 P1 = 8,660 P2 = 9,193 4 P2 = 7,714 7 P1 = 10 kn P2 = 12 kn Moment k bodu [0,0]: P = 2 i=1 P = 2 P = P = i=1 P i, = 5,0 7,714 = 2,714kN( P i, = 8, ,193 = 17,853kN( P 2 + P 2 ( 2,714) 2 + (17,953) 2 = 18,058kN M = 2 i=1 P i, d + 2 i=1 P i, d M = 5,0 4 7,714 7 = 8, , = 196,226kN m 42

43 Soustava sil příklad (4) Výsledný účinek: P = 2,714 0,0 α P = 17,853 P = 18,058 Μ = 196,226 tan(α) = P P = 2,714 18,057 = 0,150 α = arctan( P P ) = = 8,53 o Pon: Kladný moment otáčí proti směru hodinových ručiček (de vyšel áporný vi výpočet M). 43