Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzích

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzích"

Przybysław Domański
6 lat temu
Przeglądów:

Periodický pohyb obecného ve dvou dimenzích Autor: Šárka Petříčková (A05221, sarpet@students.zcu.cz) Vedoucí: Ing. Petr Nečesal, Ph.D.

1 Periodický pohyb obecného ve dvou dimenzích Autor: Šárka Petříčková (A05221, Vedoucí: Ing. Petr Nečesal, Ph.D. Matematické metody v aplikovaných vědách a ve vzdělávání, Fakulta aplikovaných věd, Západočeská univerzita v Plzni Matematické modelování, Šárka Petříčková / 14

2 Program prezentace 1 Motivace 2 Harmonický oscilátor 3 Speciální typ obecného Popis systému Analytické řešení Postup získání periodických řešení Vizualizace 4 Další cíle Šárka Petříčková / 14

3 Definice úlohy Systém dvou nelineárních diferenciálních rovnic druhého řádu s po částech konstantními funkcemi k(x, y) and l(x, y) x + k(x, y)x = 0, y + l(x, y)y = 0, Cílem je pro speciální volbu funkcí k(x, y) a l(x, y) zformulovat podmínky pro existenci periodických řešení. Šárka Petříčková / 14

4 Motivace Motivace Mechanika, elektrotechnika (LC obvody), optika, kvantová fyzika, chemie, biologie Dvourozměrný mechanický oscilátor s tuhostí pružin měnící se v závislosti na znaménku souřadnic x, y okamžité výchylky (tyč kmitající mezi čtyřmi stěnami různých tuhostí) l 1 k 1 k 2 l 2 Šárka Petříčková / 14

5 Harmonický oscilátor oscilátor Popis systému Netlumený oscilátor jednotkové hmotnosti bez přidané budící síly Oscilace okolo stabilní rovnovážné pozice Hookův zákon x + kx = 0 y + ly = 0 x(t) = A sin( kt) y(t) = B sin( lt ϕ) Lissajousovy obrazce J. A. Lissajous (FR, ), N. Bowditch (USA, ) Trajektorie je uzavřená právě tehdy, když platí k l podmínkách. Q, nezávisle na počátečních Šárka Petříčková / 14

6 Speciální typ obecného Systém dvou nelineárních diferenciálních rovnic druhého řádu se speciálními, po částech konstantními, funkcemi k(x) and l(x) x + k(x)x = 0, y + l(x)y = 0, { k1 pro x > 0, k(x) = k 2 pro x 0, { l1 pro x > 0, l(x) = l 2 pro x 0. Šárka Petříčková / 14

7 Speciální typ obecného Systém může být přepsán jako x + k 1 x + k 2 x = 0, (1) y + l 1 χ(x + )y l 2 χ(x )y = 0, (2) x + := max{x, 0}, x := max{ x, 0}, χ(x + ) = { 1 pro x > 0, 0 pro x 0, χ(x ) = { 1 pro x < 0, 0 pro x 0. Vlastnosti (1) - nezávislá na y and pozitivně homogenní (Fučíkova rovnice) (2) - lineární (Meissnerova rovnice [E. MEISSNER, Über Schüttel-schwingungen in Systemen mit Periodisch Veranderlicher Elastizität; Schweizer Bauzeitung, 72, No. 10 (1918), pp ]) (1)+(2) - autonomní Šárka Petříčková / 14

8 Analytické řešení pro x S. Fučík (CR, )[ S. FUČÍK; Solvability of Nonlinear Equations and Boundary Value Problems, D. Reidel Publishing Company, Dordrecht (1980), Chpt , pp ] E. N. Dancer (AUS, )[E. N. DANCER, On the Dirichlet problem for weakly nonlinear elliptic partial differential equations, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 76A (1977), pp ] Analytická metoda střelby, lepení půlvln Autonomní a pozitivně homogenní systém = x(0) = 0, x (0) = 1 x(t) = { 1 k1 sin( k 1t) for t (0, T 0) 1 k2 sin( k 2( π k1 t)) for t (T 0, T ) T 0 = π k1 T = nπ k1 + nπ k2 n N Šárka Petříčková / 14

9 Analytické řešení pro x S. Fučík (CR, )[ S. FUČÍK; Solvability of Nonlinear Equations and Boundary Value Problems, D. Reidel Publishing Company, Dordrecht (1980), Chpt , pp ] E. N. Dancer (AUS, )[E. N. DANCER, On the Dirichlet problem for weakly nonlinear elliptic partial differential equations, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 76A (1977), pp ] Analytická metoda střelby, lepení půlvln Autonomní a pozitivně homogenní systém = x(0) = 0, x (0) = 1 x(t) = { 1 k1 sin( k 1t) for t (0, T 0) 1 k2 sin( k 2( π k1 t)) for t (T 0, T ) T 0 = π k1 T = nπ k1 + nπ k2 n N Šárka Petříčková / 14

10 Analytické řešení pro y Výběr první Fučíkovy křivky (n = 1) Řešení pro y (pro l 1 > 0, l 2 > 0) y(t) = { y1(t) = A sin( l 1t) + B cos( l 1t), t (0, T 0) y 2(t) = C sin( l 2(t T )) + D cos( l 2(t T )), t (T 0, T ). Periodické podmínky y(0) = y(t ) y (0) = y (T ) y(t 0 ) = y(t 0+) y (T 0 ) = y (T 0+) Systém čtyř rovnic o neznámých A,B,C,D a l 1,l 2 Eliminace A,B,C,D Implicitní předpis F (l 1, l 2) = 0 křivek 2 sin( l 1T 0) sin( l 2(T 0 T )) ( l1 +l 2 l1 l2 ) 2 cos( l 2(T 0 T )) cos( l 1T 0) = 0 Šárka Petříčková / 14

11 Analytické řešení pro y Výběr první Fučíkovy křivky (n = 1) Řešení pro y (pro l 1 > 0, l 2 > 0) y(t) = { y1(t) = A sin( l 1t) + B cos( l 1t), t (0, T 0) y 2(t) = C sin( l 2(t T )) + D cos( l 2(t T )), t (T 0, T ). Periodické podmínky y(0) = y(t ) y (0) = y (T ) y(t 0 ) = y(t 0+) y (T 0 ) = y (T 0+) Systém čtyř rovnic o neznámých A,B,C,D a l 1,l 2 Eliminace A,B,C,D Implicitní předpis F (l 1, l 2) = 0 křivek 2 sin( l 1T 0) sin( l 2(T 0 T )) ( l1 +l 2 l1 l2 ) 2 cos( l 2(T 0 T )) cos( l 1T 0) = 0 Šárka Petříčková / 14

12 Analytické řešení pro y Výběr první Fučíkovy křivky (n = 1) Řešení pro y (pro l 1 > 0, l 2 > 0) y(t) = { y1(t) = A sin( l 1t) + B cos( l 1t), t (0, T 0) y 2(t) = C sin( l 2(t T )) + D cos( l 2(t T )), t (T 0, T ). Periodické podmínky y(0) = y(t ) y (0) = y (T ) y(t 0 ) = y(t 0+) y (T 0 ) = y (T 0+) Systém čtyř rovnic o neznámých A,B,C,D a l 1,l 2 Eliminace A,B,C,D Implicitní předpis F (l 1, l 2) = 0 křivek 2 sin( l 1T 0) sin( l 2(T 0 T )) ( l1 +l 2 l1 l2 ) 2 cos( l 2(T 0 T )) cos( l 1T 0) = 0 Šárka Petříčková / 14

13 Analytické řešení pro y Výběr první Fučíkovy křivky (n = 1) Řešení pro y (pro l 1 > 0, l 2 > 0) y(t) = { y1(t) = A sin( l 1t) + B cos( l 1t), t (0, T 0) y 2(t) = C sin( l 2(t T )) + D cos( l 2(t T )), t (T 0, T ). Periodické podmínky y(0) = y(t ) y (0) = y (T ) y(t 0 ) = y(t 0+) y (T 0 ) = y (T 0+) Systém čtyř rovnic o neznámých A,B,C,D a l 1,l 2 Eliminace A,B,C,D Implicitní předpis F (l 1, l 2) = 0 křivek 2 sin( l 1T 0) sin( l 2(T 0 T )) ( l1 +l 2 l1 l2 ) 2 cos( l 2(T 0 T )) cos( l 1T 0) = 0 Šárka Petříčková / 14

14 Analytické řešení pro y Výběr první Fučíkovy křivky (n = 1) Řešení pro y (pro l 1 > 0, l 2 > 0) y(t) = { y1(t) = A sin( l 1t) + B cos( l 1t), t (0, T 0) y 2(t) = C sin( l 2(t T )) + D cos( l 2(t T )), t (T 0, T ). Periodické podmínky y(0) = y(t ) y (0) = y (T ) y(t 0 ) = y(t 0+) y (T 0 ) = y (T 0+) Systém čtyř rovnic o neznámých A,B,C,D a l 1,l 2 Eliminace A,B,C,D Implicitní předpis F (l 1, l 2) = 0 křivek 2 sin( l 1T 0) sin( l 2(T 0 T )) ( l1 +l 2 l1 l2 ) 2 cos( l 2(T 0 T )) cos( l 1T 0) = 0 Šárka Petříčková / 14

15 Analytické řešení pro y Výběr první Fučíkovy křivky (n = 1) Řešení pro y (pro l 1 > 0, l 2 > 0) y(t) = { y1(t) = A sin( l 1t) + B cos( l 1t), t (0, T 0) y 2(t) = C sin( l 2(t T )) + D cos( l 2(t T )), t (T 0, T ). Periodické podmínky y(0) = y(t ) y (0) = y (T ) y(t 0 ) = y(t 0+) y (T 0 ) = y (T 0+) Systém čtyř rovnic o neznámých A,B,C,D a l 1,l 2 Eliminace A,B,C,D Implicitní předpis F (l 1, l 2) = 0 křivek 2 sin( l 1T 0) sin( l 2(T 0 T )) ( l1 +l 2 l1 l2 ) 2 cos( l 2(T 0 T )) cos( l 1T 0) = 0 Šárka Petříčková / 14

16 Postup získání periodických řešení 1) Volba n-té křivky Fučíkova spektra a jednoho z parametrů k 1, k 2 pro danou periodu 2) Určení druhého parametru použitím předpisu pro Fučíkovo spektrum Šárka Petříčková / 14

17 Postup získání periodických řešení 1) Volba n-té křivky Fučíkova spektra a jednoho z parametrů k 1, k 2 pro danou periodu 2) Určení druhého parametru použitím předpisu pro Fučíkovo spektrum Šárka Petříčková / 14

18 Postup získání periodických řešení 1) Volba n-té křivky Fučíkova spektra a jednoho z parametrů k 1, k 2 pro danou periodu 2) Určení druhého parametru použitím předpisu pro Fučíkovo spektrum Šárka Petříčková / 14

19 Postup získání periodických řešení 1) Volba n-té křivky Fučíkova spektra a jednoho z parametrů k 1, k 2 pro danou periodu 2) Určení druhého parametru použitím předpisu pro Fučíkovo spektrum 3) Výběr bodu na křivce zadané implicitně F (l 1, l 2) = 0 v (l 1, l 2)-rovině Šárka Petříčková / 14

20 Postup získání periodických řešení 1) Volba n-té křivky Fučíkova spektra a jednoho z parametrů k 1, k 2 pro danou periodu 2) Určení druhého parametru použitím předpisu pro Fučíkovo spektrum 3) Výběr bodu na křivce zadané implicitně F (l 1, l 2) = 0 v (l 1, l 2)-rovině Šárka Petříčková / 14

21 Postup získání periodických řešení 4) Určení počátečních podmínek pro proměnnou y 5) Vytvoření grafů Šárka Petříčková / 14

22 Vizualizace Šárka Petříčková / 14

23 Vizualizace Šárka Petříčková / 14

24 Vizualizace Šárka Petříčková / 14

25 Vizualizace Šárka Petříčková / 14

26 Vizualizace Šárka Petříčková / 14

27 Vizualizace Šárka Petříčková / 14

28 Vizualizace Šárka Petříčková / 14

29 Vizualizace Šárka Petříčková / 14

30 Vizualizace Šárka Petříčková / 14

31 Vizualizace Šárka Petříčková / 14

32 Další cíle Další cíle Vytvoření obecného řešiče úlohy pro libovolnou křivku Fučíkova spektra Přidání tlumení a budicí síly Šárka Petříčková / 14

33 Reference Další cíle E. A. Coddington, N. Levinson, Theory od Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill Inc., 1955, Chpt. 1., pp E. N. DANCER, On the Dirichlet problem for weakly nonlinear elliptic partial differential equations, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 76A (1977), pp S. FUČÍK; Solvability of Nonlinear Equations and Boundary Value Problems, D. Reidel Publishing Company, Dordrecht (1980), Chpt , pp E. MEISSNER, Über Schüttel-schwingungen in Systemen mit Periodisch Veranderlicher Elastizität; Schweizer Bauzeitung, 72, No. 10 (1918), pp P. NEČESAL, Nonlinear boundary value problems with asymmetric nonlinearities - periodic solutions and the Fučík spectrum, Ph.D. thesis, University of West Bohemia, Pilsen, Šárka Petříčková / 14

Podobne dokumenty

Stavový popis Stabilita spojitých systémů (K611MSAP) Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT. čtvrtek 20. dubna 2006

Stavový popis Stabilita spojitých systémů (K611MSAP) Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT. čtvrtek 20. dubna 2006 Modelování systémů a procesů (K611MSAP) Přednáška 4 Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT Pravidelná přednáška K611MSAP čtvrtek 20. dubna 2006 Obsah 1 Laplaceova transformace Přenosová funkce