Obsah. Petr Hasil. (konjunkce) (disjunkce) A B (implikace) A je dostačující podmínka pro B; B je nutná podmínka pro A A B: (A B) (B A) A (negace)
|
|
- Edyta Kaczmarczyk
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Množiny, číselné obory, funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 Obsah Množinové operace Operace s funkcemi Definice a operace s polynomy Racionální lomené funkce 4 Goniometrické funkce Cyklometrické funkce Exponenciální funkce Logaritmické funkce Mocninná funkce c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 Množinové operace Množinové operace Operace x A (prvek) A B (podmnožina) A B (vlastní podmnožina) A B = {[a, b] : a A, b B} A B = {x : x A x B} A B = {x : x A x B} A B = {x : x A x B} (kartézský součin) (sjednocení) (průnik) (rozdíl) Výroky A B A B (konjunkce) (disjunkce) A B (implikace) A je dostačující podmínka pro B; B je nutná podmínka pro A A B: (A B) (B A) A (negace) (ekvivalence), (obecný a existenční kvantifikátor) V : x A má vlastnost P... V : x A má vlastnost P ( x A : P) ( x A : P) ( x A : P) ( x A : P) c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 4 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 5 / 5
2 Množinové operace Výroky (A B) A B (De Morganovo pravidlo) (A B) A B (De Morganovo pravidlo) (A B) A B (A B) (A B) (B A) (A B) ( B A) (obměna implikace) Značení Přirozená čísla: N = {,,,...} (N 0 = N {0}). Celá čísla: Z = {...,,, 0,,,...}. Racionální čísla: Q = {q = z n : z Z, n N}. Čísla, která nejsou racionální, tj. nelze je vyjádřit jako podíl celého a přirozeného čísla, nazýváme iracionální a značíme I. Reálná čísla: R = Q I. K reálným číslům lze jednoznačně přiřadit všechny body nekonečné přímky (číselné osy) dle jejich vzdálenosti od počátku. Komplexní čísla: C = {z = a + bi : a, b R, i = }. Komplexním číslem z nazýváme uspořádanou dvojici reálných čísel [a, b] a píšeme z = [a, b] = a + bi. Číslu a říkáme reálná část komplexního čísla z, číslu b imaginární část komplexního čísla z. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 6 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 8 / 5 Uspořádání Binární relace na množině A (podmnožina kartézského součinu A A) se nazývá uspořádání, jestliže je reflexivní, tj. x A : x x, antisymetrická, tj. x, y A : (x y y x) x = y, tranzitivní, tj. x, y, z A : (x y y z) x z. Dvojice (A, ) se pak nazývá uspořádaná množina. Úplné uspořádání Je-li relace na množině A uspořádání a je úplná, tj. platí x, y A : x y y x, nazýváme ji úplné uspořádání. Dvojice (A, ) se pak nazývá úplně uspořádaná množina (řetězec). Horní a dolní závora Necht A = (A, ) je uspořádaná množina, B A a U, L A. Jestliže platí x B : x U, nazýváme prvek U horní závora množiny B. Jestliže platí x B : L x, nazýváme prvek L dolní závora množiny B. Má-li množina B aspoň jednu horní (dolní) závoru, nazýváme ji shora (zdola) ohraničenou. Je-li ohraničená zdola i shora, nazýváme ji ohraničenou. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 9 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 0 / 5
3 Supremum a infimum Necht A je uspořádaná množina, B A, B a a s, a i A. Supremum množiny B se nazývá její nejmenší horní závora, píšeme a s = sup B. Analogicky, infimum množiny B se nazývá její největší dolní závora, píšeme a i = inf B. Axiomatické zavedení reálných čísel Necht R je množina, na níž jsou definovány binární operace sčítání (+) a násobení ( ) a binární relace uspořádání ( ), přičemž jsou splněny následující axiomy (R) (R). (R, +) je komutativní grupa. (R) komutativita: a, b R : a + b = b + a, (R) asociativita: a, b, c R : (a + b) + c = a + (b + c), (R) nulový prvek: 0 R : a R : 0 + a = a, (R4) opačný prvek: a R b R : a + b = 0 (značíme a). (R {0}, ) je komutativní grupa. (R5) komutativita: a, b R : a b = b a, (R6) asociativita: a, b, c R : (a b) c = a (b c), (R7) jednotkový prvek: R {0} : a R : a = a, (R8) inverzní prvek: a R {0} b R : a b = (značíme a ). (R, +, ) je pole (komutativní těleso). (R9) distributivní zákon: a, b, c R : (a + b) c = a c + b c. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 4 (R, ) je úplně uspořádaná množina. (R0) Relace je reflexivní, antisymetrická, tranzitivní a úplná. 5 Operace +, jsou slučitelné s relací. (R) a, b, c R : a b a + c b + c, (R) a, b, c R, c > 0 : a b a c b c. 6(R) Každá neprázdná shora ohraničená podmnožina množiny R má supremum. Definice Množina reálných čísel je libovolná množina s dvojicí binárních operací a uspořádáním splňující podmínky (R) (R). (i) Podle (R4) platí x N ( x) R : x + ( x) = 0. Potom lze položit Z := N {0} { x : x N}. (ii) Podle (R8) platí x Z \ {0} x R : x x =. Potom lze položit { } Q := x y : x Z, y N. Uzavřenost na sčítání a násobení je obsažena v tom, že +, jsou binární operace na R, tj. a, b R : a + b R, a b R. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 4 / 5
4 Množina racionálních čísel nesplňuje podmínku (R). X = {x Q : x > 0, x < } sup X =, ale Q. Důkaz sporem: Předpokládejme, že = m n, kde m, n jsou nesoudělná, m Z, n N. = m n = m n n = m Tedy m je sudé číslo m je sudé číslo l : m = l n = (l) n = l n je sudé, tj. n je sudé. Celkem tedy m i n jsou sudá čísla, což je spor s předpokladem, že jde o čísla nesoudělná. Tím jsme také dokázali, že I. Definice Necht X, Y R, X, Y. Symbolem X Y rozumíme, že pro každé x X a každé y Y platí x y. (Axiom spojitosti) Axiom (R) je ekvivalentní tzv. axiomu spojitosti: Pro libovolné množiny X, Y R, X, Y a X Y, existuje prvek c R s vlastností X c Y. Axiom (R) je samozřejmě také ekvivalentní axiomu infima. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 5 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 6 / 5 Axiom spojitosti axiom suprema, infima Necht X R je shora ohraničená a označme U(X ) množinu horních závor množiny X. X je shora ohraničená, tedy U(X ) a platí X U(X ). Tedy c R : X c U(X ), toto c je hledaným suprémem množiny X jehož existenci jsme chtěli dokázat: ) c X c je horní závora, ) skutečnost, že c je nejmenší horní závora, plyne z faktu, že c U(X ). Tvrzení pro infimum dokážeme podobně pomocí množiny L(X ) dolních závor. Příklad (sup, inf) X = (0, ), pak sup X =, inf X = 0 (0, X ) X = [0, ], pak sup X =, inf X = 0 (0, X ) X = (, ), pak inf X = a supremum (v R) neexistuje. Někdy se definuje supremum a infimum prázdné množiny (v rozšířených reálných číslech) inf = +, sup =. X Y sup X sup Y a inf Y inf X c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 7 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 8 / 5
5 Věta Necht r, r, r > 0 jsou reálná čísla. Pak existuje přirozené číslo n takové, že nr > r. Důkaz. Sporem předpokládejme, že takové n neexistuje, tedy n N : nr r. Odtud máme n r r, což je spor s neohraničeností N. Věta (Q hustá v R) Necht r, r, r < r jsou libovolná reálná čísla, pak existuje racionální číslo p takové, že r < p < r. Důkaz. Necht r, r R, r < r. (i) r < 0, r > 0, pak p = 0 Q. Bez újmy na obecnosti lze tedy předpokládat, že r, r jsou kladná. (ii) 0 < r < r (kdyby 0 > r > r, konstrukci překlopíme ) necht n N je takové, že platí n(r r ) >. Takové n existuje, nebot kdyby neexistovalo, pak by n r r pro n N, ale N není omezená shora. Tedy nr > + nr (jsou vzdálena o více než ), necht m N je nejmenší takové, že m > nr (tj. m nr ) m nr + nr < m < nr a odtud r < m n < r. Q je hustá v R. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 9 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 0 / 5 Věta (I hustá v R) Necht r, r, r < r jsou libovolná reálná čísla, pak existuje iracionální číslo p takové, že r < p < r. Věta 4 r R, r > 0, n N existuje právě jedno x R, x > 0, takové, že Důkaz. Již víme, že I. Dále platí, že pro a I a q Q je a + q I. (Jinak by bylo a + q + ( q) = a Q, protože by šlo o součet racionálních čísel a + q a q.) Necht r, r R, r < r. Potom r a < r a a protože Q je hustá v R existuje z Q splňující r a < z < r a, tedy r < z + a < r, kde z + a I. Důkaz. x n = r (píšeme n r = x). x = sup {a R : a > 0, a n r} c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5
6 Definice Komplexní čísla C = (C, +, ) je množina, kde C = R R a operace jsou definovány následovně [a, b ] + [a, b ] = [a + a, b + b ], [a, b ] [a, b ] = [a a b b, a b + a b ]. [0, ] i [a, b] = [a, 0] + [0, b] = [a, 0] + [b, 0] [0, ] a + bi algebraický tvar z = a + bi, velikost z = a + b, goniometrický tvar z = z (cos ϕ + i sin ϕ), exponenciální tvar z = z e iϕ. (C, +, ) je komutativní těleso: (C, +) je komutativní grupa (R) (R4), (C {0}, ) je komutativní grupa (R5) (R8), platí distributivní zákon (R9). Nelze ale definovat uspořádání slučitelné s operacemi + a (R), (R). c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 4 / 5 Definice 4 Řekneme, že množina A je induktivní, jestliže platí (i) A; (ii) je-li x A, potom x + A. (i) Množina R je induktivní. (ii) Průnik libovolného systému induktivních množin je induktivní množina. (iii) Průnikem všech induktivních podmnožin R je N. (iv) Každá induktivní množina je nadmnožinou N. Jestliže tedy pro induktivní množinu A platí A N, potom A = N (princip matematické indukce). Definice 5 Necht A, B R, f A B. Jestliže ke každému prvku a A existuje právě jeden prvek b B tak, že [a, b] f, pak relaci f nazýváme zobrazení množiny A do množiny B (f : A B). Množina A se nazývá definiční obor zobrazení f, značíme D(f ) = Dom(f ). Množinu H(f ) = Im(f ) = {b B : x D(f ) : f (x) = b} nazýváme obor hodnot zobrazení f. Zobrazení f nazýváme reálná funkce (reálná funce reálné proměnné). Píšeme y = f (x). x se nazývá nezávisle proměnná (argument) funkce f. y se nazývá závisle proměnná funkce f. Číslo f (x 0 ) R se nazývá funkční hodnota funkce f v bodě x 0. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 5 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 7 / 5
7 Není-li definiční obor funkce zadán, jedná se o množinu všech x R pro která má daná funkce smysl, tj. Příklad D(f ) = {x A : y B splňující [x, y] f }. Definiční obor funkce f (x) = x je D(f ) = R \ {}. Definiční obor funkce g(x) = x je D(g) = (, 0]. Definice 6 Necht f : A B je reálná funkce. Řekneme, že f je na A prostá, pokud (Prostá = injektivní.) x, x A : x x f (x ) f (x ). Řekneme, že funkce f zobrazuje A na B (f je surjektivní), pokud ke každému b B existuje x A: f (x) = b, tj. B = H(f ). Množina G A B definovaná G = {[x, y] : x D(f ), y = f (x)} se nazývá graf funkce f. Bijekce = prosté a na. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 8 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 9 / 5 Graf funkce f = množina všech bodů roviny daných souřadnicemi [x, f (x)]. Příklad Graf prosté funkce protíná všechny vodorovné přímky nejvýše jednou. Je-li funkce na množině M ryze monotónní, pak je na ní prostá. Obr.: Funkce f (x) = x. Obr.: Nejde o graf funkce. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 0 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5
8 Definice 7 Necht f : A B je prostá na podmnožině D A, pak inverzní funkci k funkci f definované na D definujeme jako Je-li f prostá na celém definičním oboru, pak D(f ) = H(f ). Grafy funkcí f a f jsou souměrně sdružené podle osy I. a III. kvadrantu. f = {[y, x] : [x, y] f }. Tj. pro y f (D) = {b B : x D : f (x) = b} definujeme f (y) = x D, kde f (x) = y. Příklad 4 Pro funkci f (x) = x + x + určete podmnožinu definičního oboru, kde je funkce prostá, a zde určete funkci inverzní. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 Výpočet inverzní funkce Iverzní funkci k funkci f určíme tak, že v předpisu y = f (x) zaměníme proměnné x a y, tím dostaneme x = f (y). Z této rovnice pak vyjádříme, je-li to možné, proměnnou y. K elementární funkci je inverzní funkcí jiná elementární funkce: f (x) f (x) x (x 0) x x (x 0) x x x e x ln x a x (a ) log a x sin x (x [ π, π ]) arcsin x cos x (x [0, π]) arccos x tg x (x ( π, π )) arctg x cotg x (x (0, π)) arccotg x Pro všechna x, pro která má zápis smysl, platí Příklad 5 (f f )(x) = (f f )(x) = x. Určete inverzní funkci k funkci f a určete D(f ), H(f ), D(f ) a H(f ). f (x) = x 4, f (x) = e sin x. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 4 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 5 / 5
9 f (x) = e sin x f (x) = x 4 y = x 4 x = y 4 x = y 4 y = x + 4 y = x + 4 D(f ) = H(f ) = D(f ) = H(f ) = R. f (x) = x + 4. y = e sin x x = e sin y / ln( ) ln x = sin y / arcsin( ) arcsin ln x = y f (x) = arcsin ln x. D(f ) = R, funkce f je prostá pro x [ π, π ] = H(f ), D(f ) : ln x x > 0 x (0, ) arcsin ln x ln x [, ] ln x / e ( ) e x e x [ ] e, e D(f ) = (0, ) [ e, e] = [ e, e]. Celkem tedy H(f ) = D(f ) = [ e, e]. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 6 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 7 / 5 Definice 8 (Parita) Bud f taková funkce, že pro její definiční obor platí Příklad 6 x D(f ) x D(f ). Řekneme, že funkce f je sudá, jestliže pro x D(f ) platí, že f ( x) = f (x). Řekneme, že funkce f je lichá, jestliže pro x D(f ) platí, že f ( x) = f (x). Obr.: Graf sudé funkce je symetrický podle osy y. Obr.: Graf liché funkce je symetrický podle počátku. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 8 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 9 / 5
10 Věta 5 Necht funkce f je na svém definičním oboru prostá a lichá, pak inverzní funkce f je také lichá. Důkaz. Z lichosti funkce f plyne x D(f ), pak i x D(f ). Necht y D(f ) = H(f ) je libovolné, tj. x D(f ) : f (x) = y. Pro x D(f ) : f ( x) = f (x) = y y D(f ). Označme f ( y) = z, pak y = f (z) y = f (z) y = f ( z) z = f (y) z = f (y) f ( y) = f (y), Příklad 7 Rozhodněte o paritě funkce f (x) = sinh x = ex e x. Dále určete podmnožinu definičního oboru, kde je funkce prostá, a zde určete funkci inverzní. Lichá, f (y) = ln(x + + x ). tedy f je lichá. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 40 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 4 / 5 Definice 9 (Ohraničenost) Bud f funkce a M D(f ). Řekneme, že funkce f je na množině M zdola ohraničená, jestliže existuje d R takové, že pro každé x M platí f (x) d, shora ohraničená, jestliže existuje h R takové, že pro každé x M platí f (x) h, ohraničená, jestliže existují d, h R takové, že pro každé x M platí d f (x) h. Ohraničenost ekvivalentně C R : f (x) C x M. Příklad 8 Obr.: Funkce ohraničená shora. Obr.: Ohraničená funkce. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 4 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 4 / 5
11 Definice 0 Bud f funkce a M D(f ). Řekneme, že funkce f je na množině M rostoucí, jestliže x, x M : x < x f (x ) < f (x ), neklesající, jestliže x, x M : x < x f (x ) f (x ), klesající, jestliže x, x M : x < x f (x ) > f (x ), nerostoucí, jestliže x, x M : x < x f (x ) f (x ). Definice Je-li funkce f na množině M neklesající, nebo nerostoucí, nazýváme ji monotónní.je-li funkce f na množině M rostoucí, nebo klesající, nazýváme ji ryze monotónní. Příklad 9 Obr.: Rostoucí funkce. Obr.: Neklesající funkce. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 44 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 45 / 5 Věta 6 Necht f je na A rostoucí (klesající), pak inverzní funkce f je také rostoucí (klesající). Důkaz. f rostoucí ( prostá): x < x f (x ) < f (x ) y < y. Uvažujme y < y libovolné x, x : y = f (x ), y = f (x ). Možnosti: x = x nelze, x > x nelze, x < x f (y ) < f (y ). Definice (Periodičnost) Necht ˆp R, ˆp > 0. Řekneme, že funkce f je periodická s periodou ˆp, jestliže pro x D(f ) platí x ± ˆp D(f ), f (x ± ˆp) = f (x). Nejmenší prvek množiny všech period funkce f nazýváme nejmenší perioda funkce f a budeme ho značit p. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 46 / 5 Obr.: Periodická funkce. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 47 / 5
12 Funkce má bud nekonečně mnoho period, nebo žádnou. f (x) je periodická, ale nejmenší perioda p (> 0) neexistuje, { 0 x Q χ(x) = každé q Q, q > 0, je perioda, ale nejmenší x R Q perioda neexistuje (Dirichletova funkce). Další pojmy Bud f funkce a M D(f ). Je-li f (x) > 0 pro x M, řekneme, že f je na množině M kladná. Je-li f (x) 0 pro x M, řekneme, že f je na množině M nezáporná. Je-li f (x) < 0 pro x M, řekneme, že f je na množině M záporná. Je-li f (x) 0 pro x M, řekneme, že f je na množině M nekladná. Bod [0, f (0)] nazýváme průsečík funkce f s osou y. Je-li f (x 0 ) = 0, pak nazýváme bod [x 0, 0] průsečík funkce f s osou x. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 48 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 49 / 5 Operace s funkcemi Následující pojmy budou přesněji definovány později Bud f funkce a M D(f ). Je-li graf funkce f pro x M nad tečnou sestrojenou v libovolném bodě x 0 M, řekneme, že f je na množině M konvexní. Je-li graf funkce f pro x M pod tečnou sestrojenou v libovolném bodě x 0 M, řekneme, že f je na množině M konkávní. Přímku nazýváme asymptotou grafu funkce f, jestliže se její vzdálenost od grafu funkce s rostoucí souřadnicí neustále zmenšuje. Transformace grafu funkce Necht je dána funkce y = f (x) a nenulová reálná čísla a, b. Uvažujme funkci ỹ = f (x + a). Tato funkce má vůči původní funkci graf posunutý bud doleva (je-li a > 0), nebo doprava (pro a < 0), a to o velikost čísla a. Uvažujme funkci ŷ = f (x) + b. Tato funkce má vůči původní funkci graf posunutý bud nahoru (je-li b > 0), nebo dolů (pro b < 0), a to o velikost čísla b. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 50 / 5 Obr.: f (x) = (x + ) Obr.: f (x) = x + c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 5 / 5
13 Operace s funkcemi Platí Operace s funkcemi (f ± g)(x) = f (x) ± g(x), (f g)(x) = f (x) g(x). Definiční obor těchto funkcí je průnikem definičních oborů původních funkcí, tj. D(f ± g) = D(f ) D(g) = D(f g). Platí ( ) f (x) = f (x) g g(x). Definiční obor nové funkce je průnikem definičních oborů funkcí f a g zúžený o body, v nichž je g(x) = 0, tj. ( ) f D = D(f ) D(g) \ {x : g(x) = 0}. g Další operací je skládání funkcí. Definice (Složená funkce) Operace s funkcemi Necht u = g(x) je funkce s definičním oborem D(g) a oborem hodnot H(g). Necht y = f (u) je funkce s definičním oborem D(f ) H(g). Složenou funkcí (f g)(x) rozumíme přiřazení, které x D(g) přiřadí y = f (u) = f ( g(x) ). Funkci g nazýváme vnitřní složkou a funkci f vnější složkou složené funkce. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 5 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 54 / 5 Operace s funkcemi Operace s funkcemi Příklad 0 Funkce F (x) = sin x je složena z funkcí f (x) = sin x a g(x) = x tak, že Funkce F (x) = (f g)(x) = f ( g(x) ). G(x) = e x 4 je složena z funkcí f (x) = x, g(x) = e x, h(x) = x 4 tak, že ( G(x) = (f g h)(x) = f g ( h(x) )). Při určování definičních oborů složených funkcí je vhodné postupovat zevnitř. Každý definiční obor je průnikem všech získaných podmínek. Např. je-li F (x) = f (x), najdeme nejprve D(f ), poté zjistíme, ve kterých bodech je f (x) < 0 a ty odstraníme, tj. D(F ) = D(f ) \ {x : f (x) < 0}. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 55 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 56 / 5
14 Operace s funkcemi Tedy mimo definiční obory základních funkcí musíme brát v úvahu např. u funkce F (x) = f (x) g(x), že g(x) 0, F (x) = f (x), že f (x) 0, F (x) = log a f (x), že f (x) > 0, F (x) = tg f (x), že f (x) (k + ) π, k Z, F (x) = cotg f (x), že f (x) kπ, k Z, F (x) = arcsin f (x), že f (x) [, ], F (x) = arccos f (x), že f (x) [, ]. Definice 4 (Základní elementární funkce) Obecná mocnina, mnohočleny, goniometrické, cyklometrické, exponenciální a logaritmické (a hyperbolické a hyperbolometrické) funkce se nazývají základní elementární funkce. Definice 5 () Funkce, které lze získat konečným počtem sečtení, odečtení, vynásobení, podělení a složení základních elementárních funkcí se nazývají elementární funkce. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 57 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 59 / 5 Obr.: x Obr.: x, x 4 Obr.: x, x c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 60 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 6 / 5
15 Obr.: x Obr.: x, x 5 Obr.: x, x c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 6 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 6 / 5 Obr.: x, ( ) x Obr.: log x, log x Obr.: x, ( ) x, log x, log x c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 64 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 65 / 5
16 Obr.: sin x Obr.: sin x, cos x Obr.: cos x c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 66 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 67 / 5 Obr.: sin x, arcsin x Obr.: cos x, arccos x c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 68 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 69 / 5
17 Obr.: tg x Obr.: cotg x Obr.: tg x, cotg x c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 70 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 7 / 5 Obr.: tg x, arctg x c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 7 / 5 Obr.: cotg x, arccotg x c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 7 / 5
18 Definice a operace s polynomy Definice a operace s polynomy Definice 6 (Polynom) Funkci P : C C danou předpisem = a n x n + a n x n + + a x + a 0, kde a 0,..., a n C, a n 0 nazýváme polynom stupně n. Čísla a 0,..., a n nazýváme koeficienty polynomu P. Koeficient a n nazýváme vedoucí koeficient, koeficient a 0 nazýváme absolutní člen. Je-li a n = říkáme, že polynom P je normovaný. Příklad (Operace s polynomy) Sčítání a násobení konstantou (x x + 4) (x + x + x ) = x x + 4 x x 4x + = x + x 6x + 6 Násobení Obr.: =. Obr.: = x. Obr.: = x. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 75 / 5 (x )(x + x + ) = x (x + x + ) (x + x + ) = x 5 + 4x + 6x x 6x 9 = x 5 + x + 6x 6x 9 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 76 / 5 Definice a operace s polynomy Příklad (Operace s polynomy) Dělení (4x 4 x + x x + 7) : (x + ) = 4x x 7 + x+ x + (4x 4 + 8x ) 0 x 7x x + 7 ( x x) 0 7x x + 7 ( 7x 4) 0 x + Definice 7 (Kořen polynomu) Číslo α C, pro které platí P(α) = 0 nazýváme kořen polynomu P. Věta 7 (Základní věta algebry) Každý polynom (mnohočlen) stupně většího než má alespoň jeden komplexní kořen. Důkaz. Viz algebra. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 77 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 79 / 5
19 Věta 8 Necht Pje polynom stupně n a α je kořenem polynomu. Pak existuje polynom Q stupně n takový, že = (x α)q(x). Důkaz. = a n x n + + a x + a 0, pak P(α) = a n x n + + a x + a 0 (a n α n + + a α + a 0 ) = a n (x n α n ) + + a (x α) = (x α) [ a + a (x + α) + + a n (x n + x n α + + xα n + α n ] ), }{{} Q(x) st Q = n. Definice 8 (Kořenový činitel a násobný kořen) Je-li číslo α C kořen polynomu P, nazýváme lineární polynom x α kořenový činitel příslušný ke kořenu α. Číslo α je k-násobným kořenem polynomu P (k N), jestliže existuje polynom Q(x) stupně n k takový, že = (x α) k Q(x), Q(α) 0. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 80 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 8 / 5 Důsledek (věty 7) Každý mnohočlen stupně n má právě n kořenů v C, přičemž každý kořen je počítán tolikrát, kolik je jeho násobnost. Důkaz., st. n, pak α C: P(α) = 0 = (x α)q(x), je-li stq, pak má Q alespoň jeden kořen β C (je možné β = α) = (x α)(x β)q (x)... Věta 9 (Rozklad polynomu na součin kořenových činitelů) Necht P je polynom stupně n a α,..., α m (m n) jsou jeho kořeny násobnosti postupně k,..., k m, pak platí k + + k m = n a = a n x n + + a x + a 0 = a n (x α ) k (x α ) k (x α m ) km. Důkaz. Vztah k + + k m = n plyne z předchozího důsledku. Podle definice k -násobného kořene α máme = (x α ) k Q (x) a α,..., α m jsou kořeny Q (x) jako byly kořeny Q (x) = (x α ) k Q (x) = (x α ) k (x α ) k (x α m ) km C, kde C je polynom stupně 0. Porovnáním koeficientů u x n zjistíme hodnotu C C = a n. Tedy = a n (x α ) k (x α ) k (x α m ) km. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 8 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 8 / 5
20 Věta 0 Necht = a n x n + + a x + a 0 je polynom s reálnými koeficienty (tj. a i R). Je-li komplexní číslo z = α + iβ kořenem polynomu, pak je jeho kořenem i číslo z = α iβ. Důkaz. 0 = P(z) 0 = P(z) Důsledek Necht je polynom s reálnými koeficienty a z = α + iβ je k-násobným kořenem, pak i z = α iβ je k-násobným kořenem. Zejména každý mnohočlen lichého stupně má alespoň jeden reálný kořen a počet reálných kořenů polynomu stupně n je roven n, nebo je o sudé číslo menší. 0 = a n z n + + a z + a 0 = a n (z) n + + a (z) + a 0 = a n (z) n + + a (z) + a 0 = P(z), P(z) = 0, tedy z je kořenem polynomu. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 84 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 85 / 5 Věta (O rozkladu v reálném oboru) Necht je polynom s reálnými koeficienty, α,..., α m jsou jeho reálné kořeny násobnosti k,..., k m, β ± iγ,..., β p ± iγ p jsou navzájem sdružené komplexní kořeny násobnosti l,..., l p. Pak platí a k + + k m + (l + + l p ) = n = a n (x α ) k (x α m ) km[ (x β ) + γ ] l [(x β p ) + γ p] lp. Příklad Rozložte v reálném oboru polynom = x 6 + x. = x [ (x + ) x ] = x [ (x + ) x ][ (x + ) + x ] (Kořeny jsou 0, 0, ± i, ± i.) Důkaz. Důkaz plyne ze vzorce pro rozklad na součin kořenových činitelů. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 86 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 87 / 5
21 Výpočet kořenů polynomu n = : = ax + b x = b a, n = : = ax + bx + c x, = b± b 4ac a, n = : Cardanovy vzorce, n = 4: existují vzorce pro výpočet pomocí koeficientů, n 5: neexistuje obecný vzorec (dokázal E. Galois). Hornerovo schéma pro výpočet hodnoty polynomu = P(α) +P(α) = (x α)q(x) + P(α). }{{} má kořen α Kvadratický polynom = ax + bx + c D = b 4ac, x, = b± D a, = a(x x )(x x ). D > 0 x x, x, R, D = 0 x = x, x, R, D < 0 x = x, x, C. Obr.: = ax + bx + c, a > 0. Obr.: = ax + bx + c, a < 0. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 88 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 89 / 5 Doplnění na čtverec ax + bx + c = a(x + b a x + c a ), y = x + 6x + 5, y = (x + ) 9 + 5, y = (x + ) 4, y + 4 = (x + ). x + px + q = (x + p ) p 4 + q. Hornerovo schéma je algoritmus používaný při rozkladu polynomu na součin kořenových činitelů. Věta Necht jsou dány polynomy = a n x n + a n x n + + a x + a 0, Q(x) = b n x n + b n x n + + b x + b 0. Jestliže existují α, b R takové, že pak = (x α)q(x) + b, b n = a n, b k = αb k + a k, k = 0,..., n. Tato parabola má vrchol v bodě [, 4] a je otevřena směrem nahoru. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 90 / 5 P(α) = b, tedy je-li b = 0, pak je α kořenem polynomu P. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 9 / 5
22 Postup Koeficienty polynomu = a n x n + a n x n + + a x + a 0 spolu s číslem α sepíšeme do tabulky A dopočítáme čísla b n,..., b : a n a n a a 0 α b n b n b 0 b b n = a n, b k = αb k + a k, k = 0,..., n. Věta (Celočíselné kořeny) Necht P je polynom s celočíselnými koeficienty. Pak jsou všechny jeho racionální kořeny vyjádřitelné jako podíl dělitelů jeho absolutního člene a vedoucího koeficientu. Příklad 4 = x 4 5x + x + x 8, tedy a 0 = 8, a 4 =. Všechny racionální (celočíselné) kořeny jsou tedy mezi děliteli čísla 8: Tím získáme polynom Q(x) = b n x n + b n x n + + b x + b 0 a číslo b takové, že platí = (x α)q(x) + b. Skutečně ±, ±, ±, ±6, ±9, ±8. = (x )(x + )(x ). c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 9 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 9 / 5 Příklad 5 Rozložte polynom = x 4 5x + x + x 8 na součin kořenových činitelů. Racionální kořeny jsou mezi čísly ±, ±, ±, ±6, ±9, ±8. Protože Q(x) je kvadratický polynom, není nutné dál pokračovat v Hornerově schématu. Zbývající kořeny dopočítáme pomocí diskriminantu Našli jsme kořeny,. Q(x) = x 6x + 9 = (x )(x + )Q(x) Q(x) = x 6x + 9 D = 6 6 = 0 x, = 6 ± 0 Tedy polynom P má dva jednoduché kořeny, a jeden dvojnásobný kořen.odtud = (x )(x + )(x ). =.... c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 94 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 95 / 5
23 Racionální lomené funkce Racionální lomené funkce Definice 9 Necht P, Q jsou polynomy takové, že Q je nenulový (tj. Q(x) 0) a P, Q nemají společné kořeny, pak funkce R(x) = Q(x) se nazývá racionální lomená funkce. Je-li navíc st P < st Q nazývá se ryze racionálně lomená funkce. Věta 4 Každou neryze lomenou funkci je možné (pomocí dělení polynomů) vyjádřit jako součet polynomu a ryze lomené racionální funkce. Věta 5 Necht P, Q jsou polynomy s reálnými koeficienty (P, Q R[x]), st P = n, st Q = m, α R je k-násobný kořen mnohočlenu Q, tj. Q(x) = (x α) k Q (x), kde Q (α) 0. Pak existují čísla A,..., A k R taková, že Q(x) = A (x α) k + A (x α) k + + A k (x α) + P (x) Q (x), () kde P je jistý mnohočlen stupně n k. Zejména má-li Q pouze reálné kořeny α,..., α m násobnosti k,..., k m, pak existují čísla A,..., A k,..., A m,..., Am k m R taková, že Q(x) = A (x α ) k + + A k (x α ) + A (x α ) k + + A k (x α ) + + A m (x α m ) km + + Am k m (x α m ). () c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 97 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 98 / 5 Racionální lomené funkce Racionální lomené funkce Důkaz. Q(x) =, pro A R platí rovnost (x α) k Q (x) (x α) k Q (x) = A (x α) k + AQ (x) (x α) k Q (x), zejména platí pro A = P(α) Q (α). Pro takto zvolené A je číslo α kořenem AQ (x), tj. P(α) P(α) Q (α) Q (α) = 0 AQ (x) = (x α)q (x) Q(x) = (x α) k Q (x) = A (x α) k + (x α)q (x) (x α) k Q (x) = A (x α) k + B (x α) k + Q (x) BQ (x) (x α) k Q (x). Věta 6 Necht P, Q R[x], st P < st Q a Q má dvojici komplexních kořenů β ± iγ, každý z nich násobnosti l. Pak existují reálná čísla B, C,..., B l, C l taková, že platí Q(x) = [ (x β) + γ ] l Q (x) = B x + C [ (x β) + γ ] l + + B l x + C l [ (x β) + γ ] + P (x) Q (x), kde Q (x) má stupeň (st Q l) a P (x) je jistý polynom. Opakováním postupu dostaneme tvrzení (). Tvrzení () dostaneme z () použitím pro další kořeny. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 99 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 00 / 5
24 Racionální lomené funkce Racionální lomené funkce Důkaz. Q(x) = [ (x β) +γ ] lq (x) Bx+C = [ ] l + (Bx+C)Q (x) [ ] lq. (x β) +γ (x β) +γ (x) Necht B, C jsou takové, že (Bx + C)Q (x) má kořeny β ± iγ, tj. platí (Bx + C)Q (x) = [(x β) + γ ]P (x). Pak platí Q(x) = [ Bx + C (x β) [ (x β) + γ ] l + + γ ] P (x) [ (x β) + γ ] l Q (x) Opakováním tohoto postupu l-krát dostáváme = Bx + C [ (x β) + γ ] l + P (x) [ (x β) + γ ] l Q (x). Q(x) = B x + C [ (x β) + γ ] l + + B l x + C l [ (x β) + γ ] + P (x) Q (x). Shrnutí Rozklad racionální lomené funkce na součet parciálních zlomků st P < st Q, st Q = k + + k m + (l + + l p ) Q(x) = [ (x α ) k (x α m) km (x β ) +γ A [] [] k ] l ] lp [ (x β p) +γp = (x α ) k + + A (x α ) + + A [m] (x α m ) + + A km (x α m ) B [] + x + C [] [ ] (x β ) + γ l + + B[] l x + C [] l [ (x β ) + γ] + B [p] + x + C [p] [ ] (x βp ) + γp lp + + B[p] l p x + C [p] l [(x p βp ) + γp] [m] k m c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 0 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 0 / 5 Racionální lomené funkce Goniometrické funkce Příklad 6 Rozložte funkci na parciální zlomky. x + x 5 + x + x x+ x 5 +x +x = x+ x(x 4 +x +) = x+ x(x +)(x +) = x x x + + x x +4 Vlastnosti goniometrických funkcí f (x) = sin x: D(f ) = R, H(f ) = [, ], lichá, periodická p = π, f (x) = cos x: D(f ) = R, H(f ) = [, ], sudá, periodická p = π, f (x) = tg x = sin x cos x : D(f ) = R {(k + ) π, k Z}, H(f ) = R, lichá, periodická p = π, f (x) = cotg x = cos x sin x : D(f ) = R {kπ, k Z}, H(f ) = R, lichá, periodická p = π. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 0 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 05 / 5
25 Goniometrické funkce Goniometrické funkce x 0 π 6 sin x 0 cos x tg x 0 π 4 cotg x π π 0 0 Vzorce sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y sin x + cos x = sin x = sin x cos x cos x = cos x sin x sin x = ± cos x cos x = ± +cos x cos ( x π ) = sin x c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 06 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 07 / 5 Cyklometrické funkce Cyklometrické funkce Příklad 7 Načrtněte graf funkce y = arcsin(sin x). Definice 0 Inverzní funkci k funkci sin x definované na intervalu [ π, π ] nazýváme arkus sinus a značíme arcsin x. Vlastnosti D(f ) = [, ], H(f ) = [ π, π ], rostoucí, lichá D(f ) = R, H(f ) = [ π, π ], perioda: g(f (x)) = g(f (x + p)) periodičnost g: p = π x [ π, π ] : arcsin(sin x) = x x [ π, π ] : x = π + t, sin x = sin(π + t) = sin t = sin( t), arcsin(sin x) = arcsin(sin( t)) = t = π x x 0 π arcsin x 0 6 π 4 π π c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 09 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 0 / 5
26 Cyklometrické funkce Cyklometrické funkce Definice Inverzní funkci k funkci cos x definované na intervalu [0, π] nazýváme arkus kosinus a značíme arccos x. Příklad 8 Načrtněte graf funkce y = arccos(cos x). perioda p = π, x [ π, 0] x [0, π] Vlastnosti D(f ) = [, ], H(f ) = [0, π], klesající, ani sudá ani lichá x 5π arccos x π 6 π 4 0 π π π π 4 π 6 0 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 Cyklometrické funkce Cyklometrické funkce Příklad 9 Dokažte, že pro x [, ] platí Pro α R: sin α = cos(π/ α). arcsin x + arccos x = π. Necht α = arcsin x, x [, ] α [ π/, π/]. Tedy α = arcsin x sin α = x x = cos(π/ α) kde (π/ α) [0, π] arccos x = arccos(cos(π/ α)) = π/ α = π/ arcsin x arcsin x + arccos x = π. Definice Inverzní funkci k funkci tg x definované na intervalu [ π/, π/] nazýváme arkus tangens a značíme y = arctg x. Vlastnosti D(f ) = R, H(f ) = ( π/, π/), rostoucí, lichá x 0 arctg x 0 π 6 π 4 π π c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 4 / 5
27 Cyklometrické funkce Cyklometrické funkce Příklad 0 Načrtněte graf funkce y = arctg(tg x). Definice Inverzní funkci k funkci cotg x definované na intervalu [0, π] nazýváme arkus kotangens a značíme y = arccotg x. D(f ) = R {(k + ) π }, k Z Vlastnosti D(f ) = R, H(f ) = (0, π), klesající, ani sudá ani lichá x 0 arccotg x π 5π 6 π 4 π π π π 4 π 6 0 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 5 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 6 / 5 Cyklometrické funkce Exponenciální funkce Příklad Načrtněte graf funkce y = arccotg(cotg x). Definice 4 (Mocnina) Necht a, x R, a > 0. Potom definujeme mocninu jako sup{a r : r x, r Q}, a >, a x ( = ) x, a 0 < a <, x =, a =. D(f ) = R {kπ, k Z} x = n N a n = a } {{ a}, n-krát x = n, n N a n = a, n a /n = y, y > 0 y n = a, a r = a p/q = ( a p) /q, p q Q. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 7 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 9 / 5
28 Exponenciální funkce Logaritmické funkce Definice 5 Necht a R, a > 0. Funkci y = a x nazýváme exponenciální funkce o základu a. Vlastnosti D(f ) = R, H(f ) = (0, ), a 0 = pro a > 0, grafy funkcí a x a (/a) x jsou osově souměrné podle osy y, pro a > je rostoucí, a = konstantní a 0 < a < klesající, a x+y = a x a y, x, y R, ( a x ) y = a xy, x, y R, Eulerovo číslo: e = lim n ( + n) n = Definice 6 Inverzní funkce k funkci y = a x se nazývá logaritmus o základu a, pro a (0, ) (, ) (pro a = není a x prostá funkce), značí se y = log a x. Vlastnosti D(f ) = (0, ), H(f ) = R, log a = 0 pro 0 < a < je klesající a pro a > rostoucí, grafy funkcí log a x a log x jsou osově souměrné podle osy x, a log e x = ln x. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 0 / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 Logaritmické funkce Mocninná funkce Vzorce x, y, a, b R +, a, b log a = 0, log b b = = log a b log b a, log a x y = y log a x, log a x y = log a x + log a y, log a x y = log a x log a y, log a x y = y log a x, x = a log a x, log a x = log b x log b a. Definice 7 Necht r R. Funkci y = x r, x > 0 nazýváme mocninnou funkcí. Vlastnosti D(f ) = (0, ) { (0, ), r 0, H(f ) = {}, r = 0, pro r > 0 je na (0, ) rostoucí, pro r < 0 klesající a pro r = 0 konstantní, x r = e r ln x, x (0, ). Pro některá r lze samozřejmě rozšířit i do nekladných hodnot x. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza 5 / 5
5. a 12. prosince 2018
Integrální počet Neurčitý integrál Seminář 9, 0 5. a. prosince 08 Neurčitý integrál Definice. Necht funkce f (x) je definovaná na intervalu I. Funkce F (x) se nazývá primitivní k funkci f (x) na I, jestliže
Bardziej szczegółowoEdita Pelantová, katedra matematiky / 16
Edita Pelantová, katedra matematiky seminář současné matematiky, září 2010 Axiomy reálných čísel Axiomy tělesa Axiom 1. x + y = y + x a xy = yx (komutativní zákon). Axiom 2. x + (y + z) = (x + y) + z a
Bardziej szczegółowoMATEMATIKA 3. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATIKA 3 Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Osnova: Komplexní funkce - definice, posloupnosti, řady Vybrané komplexní funkce
Bardziej szczegółowoKomplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18
Komplexní analýza Mocninné řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18 Posloupnosti komplexních čísel opakování
Bardziej szczegółowoOperace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument)
KAPITOLA : Funkce - úvod [MA-8:P.] reálná funkce (jedné) reálné proměnné... f : A R...... zobrazení množin A R do množin reálných čísel R funkční hodnota... = f() ( argument) ( tj. reálná funkce f : A
Bardziej szczegółowoNecht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f(b) f(a) b a. Geometricky
Monotónie a extrémy funkce Diferenciální počet - průběh funkce Věta o střední hodnotě (Lagrange) Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f (ξ)
Bardziej szczegółowox2 + 2x 15 x 2 + 4x ) f(x) = x 2 + 2x 15 x2 + x 12 3) f(x) = x 3 + 3x 2 10x. x 3 + 3x 2 10x x 2 + x 12 10) f(x) = log 2.
Příklady k 1 zápočtové písemce Definiční obor funkce Určete definiční obor funkce: x + x 15 1 f(x x + x 1 ( x + x 1 f(x log x + x 15 x + x 1 3 f(x x 3 + 3x 10x ( x 3 + 3x 10x f(x log x + x 1 x3 + 5x 5
Bardziej szczegółowo(2) Funkce. Kristýna Kuncová. Matematika B2. Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25
(2) Funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25 Sudá a lichá funkce Určete, které funkce jsou sudé a které liché: liché: A, D, E sudé: B Kristýna Kuncová (2) Funkce 2 / 25
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B2 18/19
(6) Určitý integrál Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 1 / 28 Newtonův integrál Zdroj: https://kwcalculus.wikispaces.com/integral+applications Kristýna Kuncová (6)
Bardziej szczegółowoKomplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32
Komplexní analýza Úvod Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32 Základní informace Stránky předmětu: http://math.feld.cvut.cz/bohata/kan.html
Bardziej szczegółowoCo nám prozradí derivace? 21. listopadu 2018
Co nám prozradí derivace? Seminář sedmý 21. listopadu 2018 Derivace základních funkcí Tečna a normála Tečna ke grafu funkce f v bodě dotyku T = [x 0, f (x 0 )]: y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Normála: y
Bardziej szczegółowo(1) Derivace. Kristýna Kuncová. Matematika B2 17/18. Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35
(1) Derivace Kristýna Kuncová Matematika B2 17/18 Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35 Růst populací Zdroj : https://www.tes.com/lessons/ yjzt-cmnwtvsq/noah-s-ark Kristýna Kuncová (1) Derivace 2 / 35 Růst
Bardziej szczegółowoÚvodní informace. 18. února 2019
Úvodní informace Funkce více proměnných Cvičení první 18. února 2019 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Úvodní informace. Komunikace: e-mail: olga@majling.eu nebo olga.majlingova@fs.cvut.cz
Bardziej szczegółowoObsah. Limita posloupnosti a funkce. Petr Hasil. Limita posloupnosti. Pro a R definujeme: Je-li a < 0, pak a =, a ( ) =. vlastní body.
Obsah a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I Úvod 2 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 2 / 90 Úvod Úvod Pro a R definujeme:
Bardziej szczegółowo1 Definice. A B A B vlastní podmnožina. 4. Relace R mezi množinami A a B libovolná R A B. Je-li A = B relace na A
1 Definice 1. Množiny: podmnožina: A B x(x A x B) průnik: A B = {x A x B} sjednocení: A B = {x x A x B} rozdíl: A B = {x A x B} A B A B vlastní podmnožina 2. uspořádaná dvojice: (x, y) = {{x}, {x, y}}
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B2
(3) Průběh funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 1 / 26 Monotonie (x 2 ) = 2x (sin x) = cos x Jak souvisí derivace funkce a fakt, zda je funkce rostoucí nebo klesající?
Bardziej szczegółowoMatematika (KMI/PMATE)
Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam (smysl) koeficientů lineární
Bardziej szczegółowoMatematika 2, vzorová písemka 1
Matematika 2, vzorová písemka Pavel Kreml 9.5.20 Přesun mezi obrazovkami Další snímek: nebo Enter. Zpět: nebo Shift + Enter 2 3 4 Doporučení Pokuste se vyřešit zadané úlohy samostatně. Pokud nebudete vědět
Bardziej szczegółowoMatematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 24. z aˇr ı 2013 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 24. z aˇr ı / 52
í150doc-start í251doc-start Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 24. září 2013 1 / 52 Matematika 1 Jiří Fišer 24. září 2013 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 24. září 2013 1 / 52 Zimní semestr
Bardziej szczegółowoFunkce zadané implicitně. 4. března 2019
Funkce zadané implicitně 4. března 2019 Parciální derivace druhého řádu Parciální derivace druhého řádu funkce z = f (x, y) jsou definovány: Parciální derivace 2 f 2 = ( ) f 2 f 2 = ( ) f 2 f a 2 f 2 f
Bardziej szczegółowoElementární funkce. Edita Pelantová. únor FJFI, ČVUT v Praze. katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze
Elementární funkce Edita Pelantová FJFI, ČVUT v Praze Seminář současné matematiky katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze únor 2013 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor 2013 1 / 19 Polynomiální
Bardziej szczegółowoLinea rnı (ne)za vislost
[1] Lineární (ne)závislost Skupiny, resp. množiny, vektorů mohou být lineárně závislé nebo lineárně nezávislé... a) zavislost, 3, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010,
Bardziej szczegółowoPetr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187
Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými
Bardziej szczegółowoMatematická analýza II pro kombinované studium. Konzultace první a druhá. RNDr. Libuše Samková, Ph.D. pf.jcu.cz
Učební texty ke konzultacím předmětu Matematická analýza II pro kombinované studium Konzultace první a druhá RNDr. Libuše Samková, Ph.D. e-mail: lsamkova@ pf.jcu.cz webová stránka: home.pf.jcu.cz/ lsamkova/
Bardziej szczegółowoAproximace funkcí 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885. Body proložíme lomenou čarou.
Příklad Známe následující hodnoty funkce Φ: u Φ(u) 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885 Odhadněte přibližně hodnoty Φ(1,02) a Φ(1,16). Možnosti: Vezmeme hodnotu v nejbližším bodě. Body proložíme lomenou čarou.
Bardziej szczegółowoInverzní Z-transformace
Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 9. přednáška 11MSP úterý 16. dubna 2019 verze: 2019-04-15 12:25
Bardziej szczegółowoEuklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU
Bardziej szczegółowoMatematika prˇedna sˇka Lenka Prˇibylova 7. u nora 2007 c Lenka Prˇibylova, 200 7
Matematika přednáška Lenka Přibylová 7. února 2007 Obsah Základy matematické logiky 9 Základní množinové pojmy 13 Množina reálných čísel a její podmnožiny 16 Funkce 18 Složená funkce 20 Vlastnosti funkcí
Bardziej szczegółowoPrůvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více
5 Diferenciální počet funkcí více proměnných Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více proměnných, především budeme pracovat s funkcemi dvou proměnných Ukážeme
Bardziej szczegółowoAlgebra I Cvičení. Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se
Algebra I Cvičení Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se kterými jsem při přípravě cvičení spolupracoval. Sbírka vznikla modifikací některých
Bardziej szczegółowoUrčitý (Riemannův) integrál a aplikace. Nevlastní integrál. 19. prosince 2018
Určitý (Riemnnův) integrál plikce. Nevlstní integrál Seminář 9. prosince 28 Určitý integrál Existence: Necht funkce f (x) je definovná n uzvřeném intervlu, b. Necht je splněn n tomto intervlu kterákoliv
Bardziej szczegółowoTeorie. kuncova/ Definice 1. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže existuje.
8. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Definice. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže eistuje h 0 fa + h) fa), h pak tuto itu nazýváme derivací funkce f v bodě
Bardziej szczegółowo1 Soustava lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Soustava lineárních rovnic 2 Řešitelnost soustavy lineárních rovnic 3 Gaussova eliminační metoda 4 Jordanova eliminační
Bardziej szczegółowoÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur
ÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur 2011 2 Obsah 1 Algebraické základy 3 1.1 Binární relace.................................. 3 1.2 Zobrazení a operace............................... 7 1.3 Algebry s jednou
Bardziej szczegółowoNumerické metody minimalizace
Numerické metody minimalizace Než vám klesnou víčka - Stříbrnice 2011 12.2. 16.2.2011 Emu (Brkos 2011) Numerické metody minimalizace 12.2. 16.2.2011 1 / 19 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Princip minimalizace
Bardziej szczegółowopodle přednášky doc. Eduarda Fuchse 16. prosince 2010
Jak souvisí plochá dráha a konečná geometrie? L ubomíra Balková podle přednášky doc. Eduarda Fuchse Trendy současné matematiky 16. prosince 2010 (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince 2010
Bardziej szczegółowoKapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1 řádu Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter
Bardziej szczegółowoPojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je. Nejprve shrneme pojmy a fakta, které znáte ze střední školy.
1 Kapitola 1 Množiny 1.1 Základní množinové pojmy Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je souhrn, nebo soubor navzájem rozlišitelných objektů, kterým říkáme prvky. Pro známé množiny
Bardziej szczegółowoVybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2018-2019 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 1 / 11 Křivkový integrál Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 2 / 11 Parametricky zadaná křivka v R 3 :
Bardziej szczegółowoObsah. 1.2 Integrály typu ( ) R x, s αx+β
Sbírka úloh z matematické analýzy. Čížek Jiří Kubr Milan. prosince 006 Obsah Neurčitý integrál.. Základní integrály...................................... Integrály typu ) R, s α+β γ+δ d...........................
Bardziej szczegółowoMATEMATIKA 1 ALEŠ NEKVINDA. + + pokud x < 0; x. Supremum a infimum množiny.
MATEMATIKA ALEŠ NEKVINDA DIFERENCIÁLNÍ POČET Přednáška Označíme jako na střední škole N, Z, Q, R a C postupně množinu přirozených, celých, racionálních, reálných a komplexních čísel R = R { } { } Platí:
Bardziej szczegółowo1 Dedekindovy řezy (30 bodů)
Pokročilá matematická analýza úlohy pro zimní semestr Dedekindovy řezy ( bodů) V této úloze se pokusíme seznámit s Dedekindovými řezy, pomocí nichž zavedeme reálná čísla. Tuto konstrukci vymyslel a publikoval
Bardziej szczegółowofakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Extrémy Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného
Bardziej szczegółowoNekomutativní Gröbnerovy báze
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Zuzana Požárková Nekomutativní Gröbnerovy báze Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: RNDr. Jan Št ovíček, Ph.D. Studijní
Bardziej szczegółowoStochastické modelování v ekonomii a financích Konzistence odhadu LWS. konzistence OLS odhadu. Předpoklady pro konzistenci LWS
Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě Stochastické modelování v ekonomii a financích 7. 12. 2009 Obsah Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě 1 Whitův 2 pro 3 heteroskedasticitě
Bardziej szczegółowo6 Dedekindovy řezy (30 bodů)
Pokročilá lineární algebra 3. série 6 Dedekindovy řezy (3 bodů) V této úloze se pokusíme seznámit s Dedekindovými řezy, pomocí nichž zavedeme reálná čísla. Tuto konstrukci vymyslel a publikoval Dedekind
Bardziej szczegółowo3.1 Derivace funkce Definice derivace Vlastnosti derivace Derivace elementárních funkcí... 49
Obsh Číselné množiny reálné funkce 5. Množin reálných čísel...................................... 5. Množin kompleních čísel.....................................3 Reálné funkce jedné reálné proměnné..............................
Bardziej szczegółowoLaplaceova transformace
Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 5. přednáška 11MSP 219 verze: 219-3-17
Bardziej szczegółowoSb ırka pˇr ıklad u z matematick e anal yzy II Petr Tomiczek
Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah 0 Diferenciální rovnice. řádu 0. Separace proměnných Příklad : Najděte obecné řešení (obecný integrál) diferenciální rovnice y = tg x tg y.
Bardziej szczegółowoStavový popis Stabilita spojitých systémů (K611MSAP) Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT. čtvrtek 20. dubna 2006
Modelování systémů a procesů (K611MSAP) Přednáška 4 Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT Pravidelná přednáška K611MSAP čtvrtek 20. dubna 2006 Obsah 1 Laplaceova transformace Přenosová funkce
Bardziej szczegółowo(a). Pak f. (a) pro i j a 2 f
Připomeň: 1. Necht K R n. Pak 1. Funkce více proměnných II 1.1. Parciální derivace vyšších řádů K je kompaktní K je omezená a uzavřená. 2. Necht K R n je kompaktní a f : K R je spojitá. Pak f nabývá na
Bardziej szczegółowoDFT. verze:
Výpočet spektra signálu pomocí DFT kacmarp@fel.cvut.cz verze: 009093 Úvod Signály můžeme rozdělit na signály spojité v čase nebo diskrétní v čase. Další možné dělení je na signály periodické nebo signály
Bardziej szczegółowoZáklady obecné algebry
. Základy obecné algebry Ústav matematiky, Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně, 2013 Obsah 1 Algebraické struktury 3 1.1 Operace a zákony................................. 3 1.2 Některé důležité typy
Bardziej szczegółowoMatematická analýza pro učitele (text je v pracovní verzi)
Matematická analýza pro učitele (text je v pracovní verzi) Martina Šimůnková 6. června 208 2 Obsah Úvod 7. Co je to funkce.......................... 7.2 Co budeme na funkcích zkoumat................. 9.2.
Bardziej szczegółowoOdpřednesenou látku naleznete v kapitolách skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.
Lineární prostor Lineární kombinace Lineární prostory nad R Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 1.1 1.4 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: Lineární algebra 01A-2018: Lineární
Bardziej szczegółowo7. Aplikace derivace
7. Aplikace derivace 7A. Taylorův polynom 7. Aplikace derivace Verze 20. července 207 Derivace funkce se využívá při řešení úloh technické prae i teorie. Uvedeme několik z nich: vyčíslení hodnot funkce,
Bardziej szczegółowoNDMI002 Diskrétní matematika
NDMI002 Diskrétní matematika prof. RNDr. Martin Loebl, CSc. ZS 2016/17 Obsah 1 Množiny 2 1.1 Relace....................................... 2 1.2 Ekvivalence.................................... 3 1.3 Částečné
Bardziej szczegółowoDiferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se
Diferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se separovanými proměnnými. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské
Bardziej szczegółowoalgebrou úzce souvisí V druhém tematickém celku se předpokládá základní znalosti z matematické analýzy
1 Úvodem Prezentace předmětu VMP je vytvořena pro nový předmět, který si klade za cíl seznámit studenty se základy lineární algebry a se základy numerické matematiky. Zejména v prvním tématu budeme pracovat
Bardziej szczegółowoNumerické metody 8. května FJFI ČVUT v Praze
Obyčejné diferenciální rovnice Numerické metody 8. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Základní metody Pokročilejší metody Soustava Vyšší řád Program 1 Úvod Úvod - Úloha Základní úloha, kterou řešíme
Bardziej szczegółowoFunkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál
Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 29. 9. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura
Bardziej szczegółowo02GR - Odmaturuj z Grup a Reprezentací
02GR - Odmaturuj z Grup a Reprezentací podle přednášky doc. Ing. Goce Chadzitaskose, CSc 27. června 2019 Obsah 1 Grupy 4 1.1 Algebraický koncept................................ 4 1.2 Vlastnosti grup...................................
Bardziej szczegółowoKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text
Bardziej szczegółowoKombinatorika a komplexní aritmetika
a komplexní aritmetika katedra matematiky, FEL ČVUT v Praze, http://math.feld.cvut.cz/ Jan Hamhalter Datum Komplexní čísla, kombinatorika 1/56 Historie: Zavedení komplexních čísel bylo motivováno snahou
Bardziej szczegółowo1 Derivace funkce a monotonie
MA 10. cvičení intervaly monotonie a lokální extrémy Lukáš Pospíšil,2012 1 Derivace funkce a monotonie Jelikož derivace funkce v daném bodě je de-facto směrnice tečny (tangens úhlu, který svírá tečna s
Bardziej szczegółowoMatematická analýza 2. Kubr Milan
Matematická analýza. Kubr Milan. února 008 Obsah Vektorové funkce jedné reálné proměnné. 3. Základní pojmy...................................... 3. Křivky v R n........................................
Bardziej szczegółowoFunkce více proměnných: limita, spojitost, derivace
Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, derivace Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 22. 9. 2014 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Zobrazení a funkce více
Bardziej szczegółowoUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Lukáš Perůtka Hledání optimálních strategií číselného síta Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: Prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc.,
Bardziej szczegółowoLogika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
Bardziej szczegółowoObsah. 1 Konstrukce (definice) Riemannova integrálu Výpočet Newtonova Leibnizova věta Aplikace výpočet objemů a obsahů 30
Určitý integrál Robert Mřík 6. září 8 Obsh 1 Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. Výpočet Newtonov Leibnizov vět. 18 3 Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo 19 4 Aplikce výpočet objemů obshů 3 c Robert
Bardziej szczegółowoPetr Beremlijski, Marie Sadowská
Počítačová cvičení Petr Beremlijski, Marie Sadowská Katedra aplikované matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB - Technická univerzita Ostrava Cvičení : Matlab nástroj pro matematické modelování
Bardziej szczegółowoDefinice Řekneme, že PDA M = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,Z 0,F) je. 1. pro všechna q Q a Z Γ platí: kdykoliv δ(q,ε,z), pak δ(q,a,z) = pro všechna a Σ;
Deterministické zásobníkové automaty Definice 3.72. Řekneme, že PDA M = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,Z 0,F) je deterministický (DPDA), jestliže jsou splněny tyto podmínky: 1. pro všechna q Q a Z Γ platí: kdykoliv δ(q,ε,z),
Bardziej szczegółowoGeometrická nelinearita: úvod
Geometrická nelinearita: úvod Opakování: stabilita prutů Eulerovo řešení s využitím teorie 2. řádu) Stabilita prutů Ritzovou metodou Stabilita tenkých desek 1 Geometrická nelinearita Velké deformace průhyby,
Bardziej szczegółowoKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 8. přednáška: Kvadratické formy Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la Text byl vytvořen
Bardziej szczegółowoGEM a soustavy lineárních rovnic, část 2
GEM a soustavy lineárních rovnic, část Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část / Minulá přednáška Gaussova
Bardziej szczegółowoMendelova univerzita v Brně user.mendelu.cz/marik
INŽNÝRSKÁ MATMATIKA Robert Mařík Mendelova univerzita v Brně marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik ABSTRAKT. Učební text k mým přednáškám z předmětu Inženýrská matematika. Text je poměrně hutný a není
Bardziej szczegółowoMetody, s nimiž se seznámíme v této kapitole, lze použít pro libovolnou
2. Řešení nelineárních rovnic Průvodce studiem Budeme se zabývat výpočtem reálných kořenů nelineární rovnice f(x) =0, (2.0.1) kde f je v jistém smyslu rozumná reálná funkce. Pro některé funkce (kvadratické,
Bardziej szczegółowoUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta
Univerzita arlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAALÁŘSÁ PRÁCE Matěj Novotný Operátory skládání na prostorech funkcí atedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Jiří Spurný
Bardziej szczegółowox y (A)dy. a) Určete a načrtněte oblasti, ve kterých je funkce diferencovatelná. b) Napište diferenciál funkce v bodě A = [x 0, y 0 ].
II.4. Totální diferenciál a tečná rovina Značení pro funkci z = f,: totální diferenciál funkce f v bodě A = 0, 0 ]: dfa = A 0+ A 0 Označme d = 0, d = 0. Pak dfa = A d+ A d Příklad91.Je dána funkce f, =.
Bardziej szczegółowoKompaktnost v neklasických logikách
Univerzita Karlova v Praze Filozofická fakulta Katedra logiky Diplomová práce Petra Ivaničová Kompaktnost v neklasických logikách Compactness in non-classical logics Praha, 2010 Vedoucí práce: Prof. RNDr.
Bardziej szczegółowoCauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici
Řešení ODR v MATLABu Přednáška 3 15. října 2018 Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 Víme, že v intervalu a, b existuje jediné řešení. (f (x, y) a f y jsou spojité
Bardziej szczegółowoReprezentace dat. BI-PA1 Programování a Algoritmizace I. Ladislav Vagner
Reprezentace dat BI-PA1 Programování a Algoritmizace I. Ladislav Vagner Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı ČVUT v Praze xvagner@fit.cvut.cz 9., 11. a 12. října 2017 Obsah Dvojková
Bardziej szczegółowoKapitola 2. Nelineární rovnice
Kapitola. Nelineární rovnice Formulace: Je dána funkce f : R! R definovaná na intervalu ha; bi. Hledáme x ha; bi tak, aby f(x) = 0. (x... kořen rovnice) Poznámka: Najít přesné řešení analyticky je možné
Bardziej szczegółowoStatistika (KMI/PSTAT)
Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení deváté aneb Důležitá rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 15 Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina
Bardziej szczegółowoSpeciální funkce, Fourierovy řady a Fourierova transformace
1 Speciální funkce, Fourierovy řady a Fourierova transformace Při studiu mnoha přírodních jevů se setkáváme s veličinami, které jsou všude nulové s výjimkou malého časového intervalu I, ale jejich celková
Bardziej szczegółowo(A B) ij = k. (A) ik (B) jk.
Příklady z lineární algebry Michael Krbek 1 Opakování 1.1 Matice, determinanty 1. Je dána matice 1 2 0 M = 3 0 1. 1 0 1 Určete M 2, MM T, M T M a vyjádřete M jako součet symetrické a antisymetrické matice!
Bardziej szczegółowokontaktní modely (Winklerův, Pasternakův)
TÉMA 7: Pružný poloprostor, modely podloží pružný poloprostor základní předpoklady pružný poloprostor Boussinesqueovo řešení kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův) 1 Pružný poloprostor (1) vychází z
Bardziej szczegółowoÚvod do Informatiky (FI:IB000)
Fakulta Informatiky Masarykova Univerzita Úvod do Informatiky (FI:IB000) Doc. RNDr. Petr Hliněný, Ph.D. hlineny@fi.muni.cz 15. března 2010 Obsažný a dobře přístupný úvod do nezbytných formálních matematických
Bardziej szczegółowoMatematika III Stechiometrie stručný
Matematika III Stechiometrie stručný matematický úvod Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík Ústav matematiky Přednášky LS 2015-2016 Obsah 1 Zápis chemické reakce 2 umožňuje jednotný přístup
Bardziej szczegółowoVýzvy, které před matematiku staví
1 / 21 Výzvy, které před matematiku staví výpočetní technika Edita Pelantová Katedra matematiky, FJFI, České vysoké učení technické v Praze 25. pledna 2018 Praha Zápisy čísel v minulosti 2 / 21 Římský
Bardziej szczegółowoNumerické metody KI/NME. Doc. RNDr. Jiří Felcman, CSc. RNDr. Petr Kubera, Ph.D.
Numerické metody KI/NME Doc. RNDr. Jiří Felcman, CSc. RNDr. Petr Kubera, Ph.D. RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. Ústí nad Labem 2016 Kurz: Obor: Klíčová slova: Anotace: Numerické metody Informační systémy, Informatika
Bardziej szczegółowoMatematika I (KMI/PMATE) Co se naučíme? x = a a x = b. rozumět pojmu střední hodnota funkce na daném intervalu. Obrázek 1.
Mtemtik I (KMI/PMATE). Integrální počet funkcí jedné proměnné.. Co se nučíme? Po sérii přednášek věnovných integrálům byste měli být schopni: rozumět definici pojmu neurčitý integrál používt metodu přímé
Bardziej szczegółowoObsah. Aplikovaná matematika I. Vlivem meze Vlivem funkce Bernhard Riemann. Mendelu Brno. 3 Vlastnosti určitého integrálu
Určitý integrál Aplikovná mtemtik I Dn Říhová Mendelu Brno Obsh Zákldní úloh integrálního počtu Definice určitého integrálu 3 Vlstnosti určitého integrálu 4 Výpočet určitého integrálu 5 Geometrické plikce
Bardziej szczegółowoZápadočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky bakalářská práce vícebodové okrajové úlohy Plzeň, 18 Hana Levá Prohlášení Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala
Bardziej szczegółowoprof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií
Náhodné vektory prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký,
Bardziej szczegółowoLineární algebra II, přednáška Mgr. Milana Hladíka, Ph.D.
Lineární algebra II, přednáška Mgr. Milana Hladíka, Ph.D. Poznámky sepsal Robert Husák Letní semestr 29/21 Obsah 1 Permutace 1 2 Determinant 3 3 Polynomy 7 4 Vlastní čísla 9 5 Positivně definitní matice
Bardziej szczegółowoUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. bankovnictví. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Barbora Janečková Aplikace 2-dimenzionálních rozdělení v bankovnictví Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí
Bardziej szczegółowoKombinatorika a grafy I
Kombinatorika a grafy I Martin Balko 1. přednáška 19. února 2019 Základní informace Základní informace úvodní kurs, kde jsou probrány základy kombinatoriky a teorie grafů ( pokračování diskrétní matematiky
Bardziej szczegółowoRovnice proudění Slapový model
do oceánského proudění Obsah 1 2 3 Co způsobuje proudění v oceánech? vyrovnávání rozdílů v teplotě, salinitě, tlaku, ρ = ρ(p, T, S) vítr - wind stress F wind = ρ air C D AU 2 10 slapy produkují silné proudy,
Bardziej szczegółowoPetr Křemen FEL ČVUT. Petr Křemen (FEL ČVUT) Vysvětlování modelovacích chyb 133 / 156
Vysvětlování modelovacích chyb Petr Křemen FEL ČVUT Petr Křemen (FEL ČVUT) Vysvětlování modelovacích chyb 133 / 156 Co nás čeká 1 Konjunktivní dotazy 2 Vyhodnocování konjunktivních dotazů v jazyce ALC
Bardziej szczegółowo