10. Kolorowanie wierzchołków grafu
|
|
- Danuta Helena Baran
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 p. 10. Kolorowanie wierzchołków grafu 10.1 Definicje i twierdzenia Przez k-kolorowanie wierzchołków grafu G rozumiemy przyporzadkowanie każdemu wierzchołkowi grafu G jednego z k kolorów 1, 2,...,k.
2 p. 10. Kolorowanie wierzchołków grafu 10.1 Definicje i twierdzenia Przez k-kolorowanie wierzchołków grafu G rozumiemy przyporzadkowanie każdemu wierzchołkowi grafu G jednego z k kolorów 1, 2,...,k. Kolorowanie jest właściwe jeżeli żadne dwa różne i przyległe wierzchołki nie sa tego samego koloru. Zatem właściwe k-kolorowanie wierzchołków grafu G (bez pętel) jest to podział (V 1,...,V k ) zbioru V (G) na k (być może pustych) zbiorów niezależnych.
3 Graf G jest k-kolorowalny wierzchołkowo jeżeli posiada właściwe k-kolorowanie wierzchołków. Dla wygody zamiast właściwe kolorowanie wierzchołków będziemy mówili kolorowanie a zamiast właściwe k-kolorowanie wierzchołków k-kolorowanie; podobnie będziemy skracali k-kolorowalny wierzchołkowo do k-kolorowalny. p.
4 p. Graf G jest k-kolorowalny wierzchołkowo jeżeli posiada właściwe k-kolorowanie wierzchołków. Dla wygody zamiast właściwe kolorowanie wierzchołków będziemy mówili kolorowanie a zamiast właściwe k-kolorowanie wierzchołków k-kolorowanie; podobnie będziemy skracali k-kolorowalny wierzchołkowo do k-kolorowalny. Oczywiście, graf jest k-kolorowalny wtedy i tylko wtedy, gdy podległy mu graf prosty jest k-kolorowalny. Zatem w naszych rozważaniach ograniczymy się jedynie do grafów prostych.
5 p. Graf G jest k-kolorowalny wierzchołkowo jeżeli posiada właściwe k-kolorowanie wierzchołków. Dla wygody zamiast właściwe kolorowanie wierzchołków będziemy mówili kolorowanie a zamiast właściwe k-kolorowanie wierzchołków k-kolorowanie; podobnie będziemy skracali k-kolorowalny wierzchołkowo do k-kolorowalny. Oczywiście, graf jest k-kolorowalny wtedy i tylko wtedy, gdy podległy mu graf prosty jest k-kolorowalny. Zatem w naszych rozważaniach ograniczymy się jedynie do grafów prostych. Graf prosty jest 1-kolorowalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest pusty a jest 2-kolorowalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest dwudzielny.
6 p. Definicja. Liczba chromatyczna χ(g) grafu G jest to najmniejsze k dla którego G jest k-kolorowalny; jeżeli χ(g) = k to o G mówimy, że jest k-chromatyczny.
7 p. Definicja. Liczba chromatyczna χ(g) grafu G jest to najmniejsze k dla którego G jest k-kolorowalny; jeżeli χ(g) = k to o G mówimy, że jest k-chromatyczny. Twierdzenie. Dla dowolnego grafu G ω(g) χ(g) (G) + 1, gdzie ω(g) to rzad największej kliki a (G) to maksymalny stopień wierzchołka w G.
8 p. Definicja. Liczba chromatyczna χ(g) grafu G jest to najmniejsze k dla którego G jest k-kolorowalny; jeżeli χ(g) = k to o G mówimy, że jest k-chromatyczny. Twierdzenie. Dla dowolnego grafu G ω(g) χ(g) (G) + 1, gdzie ω(g) to rzad największej kliki a (G) to maksymalny stopień wierzchołka w G. Twierdzenie (Brooks, 1941). Jeżeli graf G nie jest ani grafem pełnym ani nieparzystym cyklem to χ(g) (G).
9 p. Twierdzenie. n 2 n 2 2m χ(g) 2m + 1
10 p. Twierdzenie. n 2 n 2 2m χ(g) 2m + 1 Definicja. Podzbiór U zbioru wierzchołków V grafu G nazywamy pokryciem jeżeli każda krawędź grafu G ma przynajmniej jeden koniec w U.
11 p. Twierdzenie. n 2 n 2 2m χ(g) 2m + 1 Definicja. Podzbiór U zbioru wierzchołków V grafu G nazywamy pokryciem jeżeli każda krawędź grafu G ma przynajmniej jeden koniec w U. Twierdzenie. Podzbiór U zbioru wierzchołków V grafu G jest pokryciem wtedy i tylko wtedy gdy V \ U jest zbiorem niezależnym w G.
12 p. Algorytm kolorowania wierzchołków 1. Znajdujemy wszystkie maksymalne zbiory niezależne (uzyskane jako dopełnienia minimalnych pokryć): W 1,W 2,...,W K, K j=1 W j = V (G) 2. Znajdujemy wszystkie minimalne pokrycia zbioru V (G) zbiorami W j. Niech takim pokryciem o minimalnej liczbie podzbiorów będzie W i1,w i2,...,w it 3. Znajdujemy rozbicie zbioru V (G) (na kolory K 1,K 2,...K t ): K 1 = W i1,k 2 = W i2 W i1,..., K t = W it (W i1... W it 1 )
13 p Wykorzystanie aparatu funkcji boolowskich w znajdowaniu optymalnych kolorowań grafu Przypomnijmy podstawowe wiadomości o dwuwartościowej algebrze Boole a. Algebra ta składa się z dwuelementowego zbioru B = {0, 1}, na którym określono działania: sumy logicznej (alternatywy): = 0; = 1; = 1; = 1; iloczynu logicznego (koniunkcji): 0 0 = 0; 1 0 = 0; 0 1 = 0; 1 1 = 1; negacji: 0 = 1; 1 = 0
14 p. Działania sumy i iloczynu logicznego sa łaczne, przemienne i rozdzielne jedno względem drugiego i dla dowolnego a B a + ( a) = 1; a ( a) = 0; a + 0 = a; a 1 = a Definicja. Funkcja boolowska n zmiennych nazywamy dowolna funkcję f : B n B, gdzie B n = B B... B. Oczywiście taka funkcja jest równocześnie działaniem n argumentowym określonym na B. Definicja. Wyrażeniem boolowskim (formuła boolowska) nazywamy ciag zmiennych i ewentualnie stałych boolowskich połaczonych znakami działań oraz nawiasami wskazujacymi kolejność wykonywania tych działań.
15 p. Każda funkcję boolowska można przedstawić za pomoca odpowiedniego wyrażenia boolowskiego. Funkcję boolowska można również określić za pomoca tabelki określajacej wartości dla wszystkich elementów dziedziny lub za pomoca wykresu - dwukolorowania wierzchołków n kostki. Wyrażenia boolowskie w których występuja tylko działania sumy, iloczynu logicznego i ewentualnie stałe boolowskie (w których nie używamy działania negacji) nazywamy wyrażeniami alternatywno koniunkcyjnymi.
16 p. Określmy dwie relacje dwuargumentowe (częściowego porzadku), jedna ( ) na B = {(0, 0), (0, 1), (1, 1)}; druga ( )na B n zdefiniowana: dla dowolnych x = (x 1,x 2,...,x n ) i y = (y 1,y 2,...,y n ) należacych do B n x y wtedy i tylko wtedy, gdy 1 s n x s y s. Funkcja boolowska f jest monotoniczna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x B n i dla każdego y B n prawdziwa jest implikacja x y = f(x) f(y)
17 p. 1 Twierdzenie. Funkcja boolowska f jest funkcja monotoniczna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wyrażenie alternatywno koniunkcyjne określajace tę funkcję. Definicja. Wektorem minimalnym funkcji monotonicznej f( ) nazywamy, każdy wektor x taki, że f(x) = 1, a dla wszystkich wektorów y będacych poprzednikami x, ale różnymi od x, f(y) = 0. Definicja. Minimalna formuła alternatywna (mfa) boolowskiej funkcji monotonicznej nazywamy wyrażenie boolowskie określajace tę funkcję, o postaci sumoiloczynu logicznego, zawierajace najmniejsza ilość składników sumy.
18 p. 1 Twierdzenie. Każdemu składnikowi (iloczynowi) sumy logicznej, będacej minimalna formuła alternatywna boolowskiej funkcji monotonicznej odpowiada wzajemnie jednoznacznie wektor minimalny tej funkcji (zmiennym występujacym w tym iloczynie odpowiadaja jedynkowe składowe wektora minimalnego, a pozostałe składowe sa równe zero). Formułę określajac a funkcję boolowska przekształcamy (redukujemy) do postaci mfa korzystajac z własności algebry Boola. Szczególnie użyteczne sa równości a+a = a; a+a b = a; (a+b) (a+c)... (a+d) = a+b c... d; oraz dualne do nich a a = a; a (a+b) = a; a b+a c+...+a d = a (b+c+...+d)
19 p. 1 Algorytm kolorowania wierzchołków 1. Znajdujemy wszystkie maksymalne zbiory niezależne (uzyskane jako dopełnienia minimalnych pokryć): W 1,W 2,...,W K, K j=1 W j = V (G) 2. Znajdujemy wszystkie minimalne pokrycia zbioru V (G) zbiorami W j. Niech takim pokryciem o minimalnej liczbie podzbiorów będzie W i1,w i2,...,w it 3. Znajdujemy rozbicie zbioru V (G) (na kolory K 1,K 2,...K t ): K 1 = W i1,k 2 = W i2 W i1,..., K t = W it (W i1... W it 1 )
20 p. 1 Algorytm wyznaczania wszystkich minimalnych pokryć grafu 1. Tworzymy binarna macierz incydencji M(G) = [m ij ] n m (wiersze odpowiadaja wierzchołkom, a kolumny krawędziom) 2. Tworzymy wyrażenie boolowskie m j=1 n i=1 m ijx i 3. Przekształcamy powyższa formułę do mfa 4. Na podstawie mfa określamy wszystkie pokrycia minimalne grafu G.
21 p. 1 a b f c e d
22 (a + b)(a + d)(a + e)(b + c)(b + d)(c + d)(d + e)(e + f) = p. 1
23 p. 1 (a + b)(a + d)(a + e)(b + c)(b + d)(c + d)(d + e)(e + f) = = (a + bde)(b + c)(d + bce)(e + f) =
24 p. 1 (a + b)(a + d)(a + e)(b + c)(b + d)(c + d)(d + e)(e + f) = = (a + bde)(b + c)(d + bce)(e + f) = = (ab + bde + ac + bcde)(de + bce + df + bcef) =
25 p. 1 (a + b)(a + d)(a + e)(b + c)(b + d)(c + d)(d + e)(e + f) = = (a + bde)(b + c)(d + bce)(e + f) = = (ab + bde + ac + bcde)(de + bce + df + bcef) = = abde + bde + acde + bcde + abce + bcde + bcde + abce + bcde + abdf + bdef + acdf + bcdef + abcef + bcdef + abcef + bcdef =
26 p. 1 (a + b)(a + d)(a + e)(b + c)(b + d)(c + d)(d + e)(e + f) = = (a + bde)(b + c)(d + bce)(e + f) = = (ab + bde + ac + bcde)(de + bce + df + bcef) = = abde + bde + acde + bcde + abce + bcde + bcde + abce + bcde + abdf + bdef + acdf + bcdef + abcef + bcdef + abcef + bcdef = = bde + acde + abce + abdf + bdef + acdf =
27 p. 1 (a + b)(a + d)(a + e)(b + c)(b + d)(c + d)(d + e)(e + f) = = (a + bde)(b + c)(d + bce)(e + f) = = (ab + bde + ac + bcde)(de + bce + df + bcef) = = abde + bde + acde + bcde + abce + bcde + bcde + abce + bcde + abdf + bdef + acdf + bcdef + abcef + bcdef + abcef + bcdef = = bde + acde + abce + abdf + bdef + acdf = = bde + acde + abce + abdf + bdef + acdf =
28 p. 1 (a + b)(a + d)(a + e)(b + c)(b + d)(c + d)(d + e)(e + f) = = (a + bde)(b + c)(d + bce)(e + f) = = (ab + bde + ac + bcde)(de + bce + df + bcef) = = abde + bde + acde + bcde + abce + bcde + bcde + abce + bcde + abdf + bdef + acdf + bcdef + abcef + bcdef + abcef + bcdef = = bde + acde + abce + abdf + bdef + acdf = = bde + acde + abce + abdf + bdef + acdf = = bde + acde + abce + abdf + acdf
29 p. 1 (a + b)(a + d)(a + e)(b + c)(b + d)(c + d)(d + e)(e + f) = = (a + bde)(b + c)(d + bce)(e + f) = = (ab + bde + ac + bcde)(de + bce + df + bcef) = = abde + bde + acde + bcde + abce + bcde + bcde + abce + bcde + abdf + bdef + acdf + bcdef + abcef + bcdef + abcef + bcdef = = bde + acde + abce + abdf + bdef + acdf = = bde + acde + abce + abdf + bdef + acdf = = bde + acde + abce + abdf + acdf W 1 = {a,c,f}, W 2 = {b,f}, W 3 = {d,f}, W 4 = {c,e}, W 5 = {b,e}
30 p. 1 a b f c e d
31 p. 1 a b f c e d
32 p. 1 a b f c e d
33 p. 1 a b f c e d
34 p. 2 a b f c e d
35 p. 2 Algorytm wyznaczania pokryć minimalnych zbioru W Dane: W = n, W = {w 1,w 2,...,w n }; W = {W 1,W 2,...,W K }; v = (x 1,x 2,...,x K ); 1. Zapisujemy zbiór W i rodzinę W w postaci macierzy { 1 gdy w i W j B = [b ij ] = 0 w przeciwnym razie. 2. Tworzymy formułę funkcji boolowskiej: n i=1 K j=1 b ijx j 3. Przekształcamy powyższa formułę do mfa. 4. Iloczyny mfa określaja minimalne pokrycia zbiorów.
36 (x 1 )(x 2 + x 5 )(x 1 + x 4 )(x 3 )(x 4 + x 5 )(x 1 + x 2 + x 3 ) = p. 2
37 p. 2 (x 1 )(x 2 + x 5 )(x 1 + x 4 )(x 3 )(x 4 + x 5 )(x 1 + x 2 + x 3 ) = = (x 1 x 3 )(x 2 + x 5 )(x 4 + x 1 x 5 )(x 1 + x 2 + x 3 ) =
38 p. 2 (x 1 )(x 2 + x 5 )(x 1 + x 4 )(x 3 )(x 4 + x 5 )(x 1 + x 2 + x 3 ) = = (x 1 x 3 )(x 2 + x 5 )(x 4 + x 1 x 5 )(x 1 + x 2 + x 3 ) = = (x 1 x 3 )[(x 2 + x 5 )(x 2 + x 1 ) + (x 3 )(x 2 + x 5 )](x 4 + x 1 x 5 ) =
39 p. 2 (x 1 )(x 2 + x 5 )(x 1 + x 4 )(x 3 )(x 4 + x 5 )(x 1 + x 2 + x 3 ) = = (x 1 x 3 )(x 2 + x 5 )(x 4 + x 1 x 5 )(x 1 + x 2 + x 3 ) = = (x 1 x 3 )[(x 2 + x 5 )(x 2 + x 1 ) + (x 3 )(x 2 + x 5 )](x 4 + x 1 x 5 ) = = (x 1 x 3 )[(x 2 + x 5 x 1 ) + (x 3 )(x 2 + x 5 )](x 4 + x 1 x 5 ) =
40 p. 2 (x 1 )(x 2 + x 5 )(x 1 + x 4 )(x 3 )(x 4 + x 5 )(x 1 + x 2 + x 3 ) = = (x 1 x 3 )(x 2 + x 5 )(x 4 + x 1 x 5 )(x 1 + x 2 + x 3 ) = = (x 1 x 3 )[(x 2 + x 5 )(x 2 + x 1 ) + (x 3 )(x 2 + x 5 )](x 4 + x 1 x 5 ) = = (x 1 x 3 )[(x 2 + x 5 x 1 ) + (x 3 )(x 2 + x 5 )](x 4 + x 1 x 5 ) = = (x 1 x 3 )[(x 2 x 4 + x 5 x 1 ) + (x 3 )(x 2 + x 5 )(x 4 + x 1 x 5 )] =
41 p. 2 (x 1 )(x 2 + x 5 )(x 1 + x 4 )(x 3 )(x 4 + x 5 )(x 1 + x 2 + x 3 ) = = (x 1 x 3 )(x 2 + x 5 )(x 4 + x 1 x 5 )(x 1 + x 2 + x 3 ) = = (x 1 x 3 )[(x 2 + x 5 )(x 2 + x 1 ) + (x 3 )(x 2 + x 5 )](x 4 + x 1 x 5 ) = = (x 1 x 3 )[(x 2 + x 5 x 1 ) + (x 3 )(x 2 + x 5 )](x 4 + x 1 x 5 ) = = (x 1 x 3 )[(x 2 x 4 + x 5 x 1 ) + (x 3 )(x 2 + x 5 )(x 4 + x 1 x 5 )] = = x 1 x 3 x 5 +x 1 x 2 x 3 x 4 +x 1 x 2 x 3 x 4 +x 1 x 3 x 4 x 5 +x 1 x 2 x 3 x 5 +x 1 x 3 x 5
42 p. 2 (x 1 )(x 2 + x 5 )(x 1 + x 4 )(x 3 )(x 4 + x 5 )(x 1 + x 2 + x 3 ) = = (x 1 x 3 )(x 2 + x 5 )(x 4 + x 1 x 5 )(x 1 + x 2 + x 3 ) = = (x 1 x 3 )[(x 2 + x 5 )(x 2 + x 1 ) + (x 3 )(x 2 + x 5 )](x 4 + x 1 x 5 ) = = (x 1 x 3 )[(x 2 + x 5 x 1 ) + (x 3 )(x 2 + x 5 )](x 4 + x 1 x 5 ) = = (x 1 x 3 )[(x 2 x 4 + x 5 x 1 ) + (x 3 )(x 2 + x 5 )(x 4 + x 1 x 5 )] = = x 1 x 3 x 5 +x 1 x 2 x 3 x 4 +x 1 x 2 x 3 x 4 +x 1 x 3 x 4 x 5 +x 1 x 2 x 3 x 5 +x 1 x 3 x 5 = x 1 x 3 x 5 + x 1 x 2 x 3 x 4
43 p. 2 (x 1 )(x 2 + x 5 )(x 1 + x 4 )(x 3 )(x 4 + x 5 )(x 1 + x 2 + x 3 ) = = (x 1 x 3 )(x 2 + x 5 )(x 4 + x 1 x 5 )(x 1 + x 2 + x 3 ) = = (x 1 x 3 )[(x 2 + x 5 )(x 2 + x 1 ) + (x 3 )(x 2 + x 5 )](x 4 + x 1 x 5 ) = = (x 1 x 3 )[(x 2 + x 5 x 1 ) + (x 3 )(x 2 + x 5 )](x 4 + x 1 x 5 ) = = (x 1 x 3 )[(x 2 x 4 + x 5 x 1 ) + (x 3 )(x 2 + x 5 )(x 4 + x 1 x 5 )] = = x 1 x 3 x 5 +x 1 x 2 x 3 x 4 +x 1 x 2 x 3 x 4 +x 1 x 3 x 4 x 5 +x 1 x 2 x 3 x 5 +x 1 x 3 x 5 = x 1 x 3 x 5 + x 1 x 2 x 3 x 4 W 1 = {a,c,f},w 3 = {d,f},w 5 = {b,e}
44 p. 2 (x 1 )(x 2 + x 5 )(x 1 + x 4 )(x 3 )(x 4 + x 5 )(x 1 + x 2 + x 3 ) = = (x 1 x 3 )(x 2 + x 5 )(x 4 + x 1 x 5 )(x 1 + x 2 + x 3 ) = = (x 1 x 3 )[(x 2 + x 5 )(x 2 + x 1 ) + (x 3 )(x 2 + x 5 )](x 4 + x 1 x 5 ) = = (x 1 x 3 )[(x 2 + x 5 x 1 ) + (x 3 )(x 2 + x 5 )](x 4 + x 1 x 5 ) = = (x 1 x 3 )[(x 2 x 4 + x 5 x 1 ) + (x 3 )(x 2 + x 5 )(x 4 + x 1 x 5 )] = = x 1 x 3 x 5 +x 1 x 2 x 3 x 4 +x 1 x 2 x 3 x 4 +x 1 x 3 x 4 x 5 +x 1 x 2 x 3 x 5 +x 1 x 3 x 5 = x 1 x 3 x 5 + x 1 x 2 x 3 x 4 W 1 = {a,c,f},w 3 = {d,f},w 5 = {b,e} K 1 = W 1 = {a,c,f}, K 2 = W 3 \ W 1 = {d,f} \ {a,c,f} = {d}, K 3 = W 5 \ (W 1 W 3 ) = {b,e} \ {a,c,d,f} = {b,e}
45 p. 2 a b f c e d
46 10.1 Algorytmy aproksymacyjne p. 2
47 10.1 Kolorowanie krawędzi grafu p. 2
48 p. 2
49 p. 2
50 p. 2
51 p. 2
52 p. 3
53 p. 3
54 p. 3
TEORIA GRAFÓW I SIECI
TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr : Kolorowanie grafów dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: -8-9-, p./ Zakład Badań Operacyjnych i Wspomagania
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków grafu
Kolorowanie wierzchołków grafu Niech G będzie grafem prostym. Przez k-kolorowanie właściwe wierzchołków grafu G rozumiemy takie przyporządkowanie wierzchołkom grafu liczb naturalnych ze zbioru {1,...,
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie
Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy
Bardziej szczegółowo0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków
Kolorowanie wierzchołków Mając dany graf, pokolorować jego wierzchołki w taki sposób, aby każde dwa wierzchołki sąsiednie miały inny kolor. Każda krawędź łączy wierzchołki różnych kolorów. Takie pokolorowanie
Bardziej szczegółowoReprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów
Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69
Bardziej szczegółowo0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A
WYKŁAD 5() ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań Matematyka zbudowana jest z pierwotnych twierdzeń (nazywamy
Bardziej szczegółowoPodstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów
Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).
Bardziej szczegółowoLogika binarna. Prawo łączności mówimy, że operator binarny * na zbiorze S jest łączny gdy (x * y) * z = x * (y * z) dla każdego x, y, z S.
Logika binarna Logika binarna zajmuje się zmiennymi mogącymi przyjmować dwie wartości dyskretne oraz operacjami mającymi znaczenie logiczne. Dwie wartości jakie mogą te zmienne przyjmować noszą przy tym
Bardziej szczegółowoWstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a
Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a Po co AB? Świetne narzędzie do analitycznego opisu układów logicznych. 1854r. George Boole opisuje swój system dedukcyjny. Ukoronowanie zapoczątkowanych w
Bardziej szczegółowoRachunek podziałów i elementy teorii grafów będą stosowane w procedurach redukcji argumentów i dekompozycji funkcji boolowskich.
Pojęcia podstawowe c.d. Rachunek podziałów Elementy teorii grafów Klasy zgodności Rachunek podziałów i elementy teorii grafów będą stosowane w procedurach redukcji argumentów i dekompozycji funkcji boolowskich.
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki Dyskretnej
Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Kolorowanie
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 1. Relacje
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy programowania liniowego
Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i
Bardziej szczegółowoAlgebra Boole a. Ćwiczenie Sprawdź, czy algebra zbiorów jestrównież algebrą Boole a. Padaj wszystkie elementy takiej realizacji.
Algebra Boole a Algebrą Boole a nazywamy zbiór B, wyróżnione jego podzbiory O i I oraz operacje dwuargumentowe +;, które dla dowolnych elementów X, Y, Z zbioru B spełniają następujące aksjomaty: X+Y B;
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym
Bardziej szczegółowoSKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych.
SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Rozważamy graf G = (V, E) Dwie krawędzie e, e E nazywamy niezależnymi, jeśli nie są incydentne ze wspólnym wierzchołkiem. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1B/14 Drogi w grafach Marszruta (trasa) w grafie G z wierzchołka w do wierzchołka u to skończony ciąg krawędzi w postaci. W skrócie
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
Bardziej szczegółowo1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowoZadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)
Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem
Bardziej szczegółowo2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub
WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE SIECIOWE. METODA ŚCIEŻKI KRYTYCZNEJ
PROGRAMOWANIE SIECIOWE. METODA ŚCIEŻKI KRYTYCZNEJ Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WPROWADZENIE Metody programowania sieciowego wprowadzono pod koniec lat pięćdziesiatych Ze względu na strukturę
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoZad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 (12p.)Niech n 3k > 0. Zbadać jaka jest najmniejsza możliwa liczba krawędzi w grafie, który ma dokładnie n wierzchołków oraz dokładnie k składowych, z których
Bardziej szczegółowoWielopoziomowa synteza układów logicznych
Wielopoziomowa synteza układów logicznych Dwupoziomowa synteza sprowadza się do realizacji, w których pierwszy poziom tworzą bramki AND, a drugi bramki OR. Cała struktura układu jest opisana formułą typu:
Bardziej szczegółowoZbiory. Specjalnym zbiorem jest zbiór pusty nie zawierajacy żadnych elementów. Oznaczamy go symbolem.
Zbiory Pojęcie zbioru jest w matematyce pojęciem pierwotnym, którego nie definiujemy. Gdy a jest elementem należacym do zbioru A to piszemy a A. Stosujemy również oznaczenie a / A jeżeli (a A). Będziemy
Bardziej szczegółowoMetalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Metalogika (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (1) Uniwersytet Opolski 1 / 21 Wstęp Cel: wprowadzenie
Bardziej szczegółowoMacierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =
Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2
Bardziej szczegółowoRelacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011
Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla
Bardziej szczegółowoDEFINICJA. Definicja 1 Niech A i B będą zbiorami. Relacja R pomiędzy A i B jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, R A B.
RELACJE Relacje 1 DEFINICJA Definicja 1 Niech A i B będą zbiorami. Relacja R pomiędzy A i B jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, R A B. Relacje 2 Przykład 1 Wróćmy do przykładu rozważanego
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoMinimalizacja formuł Boolowskich
Minimalizacja formuł Boolowskich Stosowanie reguł algebry Boole a w celu minimalizacji funkcji logicznych jest niedogodne brak metody, aby stwierdzić czy dana formuła może być jeszcze minimalizowana czasami
Bardziej szczegółowoMacierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji
Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoAlgebra Boole a i jej zastosowania
lgebra oole a i jej zastosowania Wprowadzenie Niech dany będzie zbiór dwuelementowy, którego elementy oznaczymy symbolami 0 oraz 1, tj. {0, 1}. W zbiorze tym określamy działania sumy :, iloczynu : _ oraz
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 12 - synteza i minimalizacja funkcji logicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 12 - synteza i minimalizacja funkcji logicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 Synteza funkcji logicznych Terminy - na bazie funkcji trójargumenowej y = (x 1, x 2, x 3 ) (1) Elementarny
Bardziej szczegółowoElementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoI. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne
Bardziej szczegółowomacierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Bardziej szczegółowoE ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem
Niech G będzie grafem spójnym. Wierzchołek x nazywamy rozcinającym, jeśli G\{x} jest niespójny. Niech G będzie grafem spójnym. V ' V G nazywamy zbiorem rozcinającym jeśli G\V' jest niespójny Niech G będzie
Bardziej szczegółowoPrzykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),
Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.
FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga
Bardziej szczegółowoWykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41
Wykład 2 Informatyka Stosowana 8 października 2018, M. A-B Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41 Elementy logiki matematycznej Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października
Bardziej szczegółowoAlgebra. Jakub Maksymiuk. lato 2018/19
Algebra Jakub Maksymiuk lato 2018/19 Algebra W1/0 Zbiory z działaniami Podstawowe własności Potęgi Tabelka działania Przykłady Grupa symetryczna Algebra W1/1 Podstawowe własności Definicja: Działaniem
Bardziej szczegółowoRozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz:
Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy jego obraz: f(a) = {f(x); x A} = {y Y : x A f(x) = y}. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: f 1 (B) = {x X; f(x) B}. 1 Zadanie.
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoArytmetyka liczb binarnych
Wartość dwójkowej liczby stałoprzecinkowej Wartość dziesiętna stałoprzecinkowej liczby binarnej Arytmetyka liczb binarnych b n-1...b 1 b 0,b -1 b -2...b -m = b n-1 2 n-1 +... + b 1 2 1 + b 0 2 0 + b -1
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Bardziej szczegółowoRACHUNEK ZBIORÓW 5 RELACJE
RELACJE Niech X i Y są dowolnymi zbiorami. Układ ich elementów, oznaczony symbolem x,y (lub też (x,y) ), gdzie x X i y Y, nazywamy parą uporządkowaną o poprzedniku x i następniku y. a,b b,a b,a b,a,a (o
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja
Bardziej szczegółowoRelacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y)
Relacje binarne Niech X będzie niepustym zbiorem. Jeśli ϱ X X to mówimy, że ϱ jest relacją w zbiorze X. Zamiast pisać (x, y) ϱ będziemy stosować zapis xϱy. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy zwrotną,
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoElementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń
Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest
Bardziej szczegółowo1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)
Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla
Bardziej szczegółowodr inż. Rafał Klaus Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia i ich zastosowań w przemyśle" POKL
Technika cyfrowa w architekturze komputerów materiał do wykładu 2/3 dr inż. Rafał Klaus Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoChcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.
DEF. DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE Działaniem dwuargumentowym w niepsutym zbiorze nazywamy każde odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego :. Inaczej mówiąc, w zbiorze jest określone działanie dwuargumentowe, jeśli:
Bardziej szczegółowoDziałania na przekształceniach liniowych i macierzach
Działania na przekształceniach liniowych i macierzach Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 5 wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,
Bardziej szczegółowoDigraf. 13 maja 2017
Digraf 13 maja 2017 Graf skierowany, digraf, digraf prosty Definicja 1 Digraf prosty G to (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, E jest rodziną zorientowanych krawędzi, między różnymi wierzchołkami,
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Bardziej szczegółowoINŻYNIERIA BEZPIECZEŃSTWA LABORATORIUM NR 2 ALGORYTM XOR ŁAMANIE ALGORYTMU XOR
INŻYNIERIA BEZPIECZEŃSTWA LABORATORIUM NR 2 ALGORYTM XOR ŁAMANIE ALGORYTMU XOR 1. Algorytm XOR Operacja XOR to inaczej alternatywa wykluczająca, oznaczona symbolem ^ w języku C i symbolem w matematyce.
Bardziej szczegółowoSemantyka rachunku predykatów
Relacje Interpretacja Wartość Spełnialność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Relacje Interpretacja Wartość Plan Plan Relacje O co chodzi? Znaczenie w logice Relacje 3 Interpretacja i wartościowanie
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna - zadania
zad. 1. Chcemy zdefiniować rekurencyjnie zbiór Z wszystkich trójkątów równoramiennych ABC, gdzie współrzędne wierzchołków będą liczbami całkowitymi, wierzchołek A zawsze będzie leżeć w początku układu
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Bardziej szczegółowoMetody Programowania
POLITECHNIKA KRAKOWSKA - WIEiK KATEDRA AUTOMATYKI i TECHNIK INFORMACYJNYCH Metody Programowania www.pk.edu.pl/~zk/mp_hp.html Wykładowca: dr inż. Zbigniew Kokosiński zk@pk.edu.pl Wykład 8: Wyszukiwanie
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Kody liczb całkowitych nieujemnych Kody liczbowe dzielimy na analityczne nieanalityczne (symboliczne)
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowob) bc a Rys. 1. Tablice Karnaugha dla funkcji o: a) n=2, b) n=3 i c) n=4 zmiennych.
DODATEK: FUNKCJE LOGICZNE CD. 1 FUNKCJE LOGICZNE 1. Tablice Karnaugha Do reprezentacji funkcji boolowskiej n-zmiennych można wykorzystać tablicę prawdy o 2 n wierszach lub np. tablice Karnaugha. Tablica
Bardziej szczegółowoGrupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.
Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowo13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.
13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje
Bardziej szczegółowoKoszt literału (literal cost) jest określony liczbą wystąpień literału w wyrażeniu boolowskim realizowanym przez układ.
Elementy cyfrowe i układy logiczne Wykład Legenda Kryterium kosztu realizacji Minimalizacja i optymalizacja Optymalizacja układów dwupoziomowych Tablica (mapa) Karnaugh a Metoda Quine a-mccluskey a Złożoność
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoMinimalizacja funkcji boolowskich
Minimalizacja funkcji boolowskich Zagadnienie intensywnych prac badawczych od początku lat pięćdziesiątych 20 wieku. Ogromny wzrost zainteresowania minimalizacją f.b. powstał ponownie w latach 80. rzyczyna:
Bardziej szczegółowoDrzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II
Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoNp. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0
ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoSPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.
SPÓJNOŚĆ Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką
Bardziej szczegółowoPierścienie łączne - ich grafy i klasy Veldsmana
Marta Nowakowska Uniwersytet Śląski Letnia Szkoła Instytutu Matematyki, Podlesice, wrzesień 22-26, 2014 Oznaczenia Graf przecięć R - łączny pierścień z 1 Z - pierścień liczb całkowitych M - lewostronny
Bardziej szczegółowoElementy cyfrowe i układy logiczne
Elementy cyfrowe i układy logiczne Wykład Legenda Optymalizacja wielopoziomowa Inne typy bramek logicznych System funkcjonalnie pełny Optymalizacja układów wielopoziomowych Układy wielopoziomowe układy
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY
PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Copyright by Nowa Era Sp. z o.o. Warszawa 019 Liczba godzin TEMAT ZAJĘĆ EDUKACYJNYCH Język matematyki 1 Wzory skróconego mnożenia 3 Liczby pierwsze,
Bardziej szczegółowo5c. Sieci i przepływy
5c. Sieci i przepływy Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5c. Sieci i przepływy zima 2016/2017 1 / 40 1 Definicje
Bardziej szczegółowoSchematy Piramid Logicznych
Schematy Piramid Logicznych geometryczna interpretacja niektórych formuł Paweł Jasionowski Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Matematyczno-Fizyczny Streszczenie Referat zajmuje się następującym zagadnieniem:
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY DRUGIEJ
MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY 1. SUMY ALGEBRAICZNE DLA KLASY DRUGIEJ 1. Rozpoznawanie jednomianów i sum algebraicznych Obliczanie wartości liczbowych wyrażeń algebraicznych
Bardziej szczegółowo