10. Kolorowanie wierzchołków grafu

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "10. Kolorowanie wierzchołków grafu"

Transkrypt

1 p. 10. Kolorowanie wierzchołków grafu 10.1 Definicje i twierdzenia Przez k-kolorowanie wierzchołków grafu G rozumiemy przyporzadkowanie każdemu wierzchołkowi grafu G jednego z k kolorów 1, 2,...,k.

2 p. 10. Kolorowanie wierzchołków grafu 10.1 Definicje i twierdzenia Przez k-kolorowanie wierzchołków grafu G rozumiemy przyporzadkowanie każdemu wierzchołkowi grafu G jednego z k kolorów 1, 2,...,k. Kolorowanie jest właściwe jeżeli żadne dwa różne i przyległe wierzchołki nie sa tego samego koloru. Zatem właściwe k-kolorowanie wierzchołków grafu G (bez pętel) jest to podział (V 1,...,V k ) zbioru V (G) na k (być może pustych) zbiorów niezależnych.

3 Graf G jest k-kolorowalny wierzchołkowo jeżeli posiada właściwe k-kolorowanie wierzchołków. Dla wygody zamiast właściwe kolorowanie wierzchołków będziemy mówili kolorowanie a zamiast właściwe k-kolorowanie wierzchołków k-kolorowanie; podobnie będziemy skracali k-kolorowalny wierzchołkowo do k-kolorowalny. p.

4 p. Graf G jest k-kolorowalny wierzchołkowo jeżeli posiada właściwe k-kolorowanie wierzchołków. Dla wygody zamiast właściwe kolorowanie wierzchołków będziemy mówili kolorowanie a zamiast właściwe k-kolorowanie wierzchołków k-kolorowanie; podobnie będziemy skracali k-kolorowalny wierzchołkowo do k-kolorowalny. Oczywiście, graf jest k-kolorowalny wtedy i tylko wtedy, gdy podległy mu graf prosty jest k-kolorowalny. Zatem w naszych rozważaniach ograniczymy się jedynie do grafów prostych.

5 p. Graf G jest k-kolorowalny wierzchołkowo jeżeli posiada właściwe k-kolorowanie wierzchołków. Dla wygody zamiast właściwe kolorowanie wierzchołków będziemy mówili kolorowanie a zamiast właściwe k-kolorowanie wierzchołków k-kolorowanie; podobnie będziemy skracali k-kolorowalny wierzchołkowo do k-kolorowalny. Oczywiście, graf jest k-kolorowalny wtedy i tylko wtedy, gdy podległy mu graf prosty jest k-kolorowalny. Zatem w naszych rozważaniach ograniczymy się jedynie do grafów prostych. Graf prosty jest 1-kolorowalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest pusty a jest 2-kolorowalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest dwudzielny.

6 p. Definicja. Liczba chromatyczna χ(g) grafu G jest to najmniejsze k dla którego G jest k-kolorowalny; jeżeli χ(g) = k to o G mówimy, że jest k-chromatyczny.

7 p. Definicja. Liczba chromatyczna χ(g) grafu G jest to najmniejsze k dla którego G jest k-kolorowalny; jeżeli χ(g) = k to o G mówimy, że jest k-chromatyczny. Twierdzenie. Dla dowolnego grafu G ω(g) χ(g) (G) + 1, gdzie ω(g) to rzad największej kliki a (G) to maksymalny stopień wierzchołka w G.

8 p. Definicja. Liczba chromatyczna χ(g) grafu G jest to najmniejsze k dla którego G jest k-kolorowalny; jeżeli χ(g) = k to o G mówimy, że jest k-chromatyczny. Twierdzenie. Dla dowolnego grafu G ω(g) χ(g) (G) + 1, gdzie ω(g) to rzad największej kliki a (G) to maksymalny stopień wierzchołka w G. Twierdzenie (Brooks, 1941). Jeżeli graf G nie jest ani grafem pełnym ani nieparzystym cyklem to χ(g) (G).

9 p. Twierdzenie. n 2 n 2 2m χ(g) 2m + 1

10 p. Twierdzenie. n 2 n 2 2m χ(g) 2m + 1 Definicja. Podzbiór U zbioru wierzchołków V grafu G nazywamy pokryciem jeżeli każda krawędź grafu G ma przynajmniej jeden koniec w U.

11 p. Twierdzenie. n 2 n 2 2m χ(g) 2m + 1 Definicja. Podzbiór U zbioru wierzchołków V grafu G nazywamy pokryciem jeżeli każda krawędź grafu G ma przynajmniej jeden koniec w U. Twierdzenie. Podzbiór U zbioru wierzchołków V grafu G jest pokryciem wtedy i tylko wtedy gdy V \ U jest zbiorem niezależnym w G.

12 p. Algorytm kolorowania wierzchołków 1. Znajdujemy wszystkie maksymalne zbiory niezależne (uzyskane jako dopełnienia minimalnych pokryć): W 1,W 2,...,W K, K j=1 W j = V (G) 2. Znajdujemy wszystkie minimalne pokrycia zbioru V (G) zbiorami W j. Niech takim pokryciem o minimalnej liczbie podzbiorów będzie W i1,w i2,...,w it 3. Znajdujemy rozbicie zbioru V (G) (na kolory K 1,K 2,...K t ): K 1 = W i1,k 2 = W i2 W i1,..., K t = W it (W i1... W it 1 )

13 p Wykorzystanie aparatu funkcji boolowskich w znajdowaniu optymalnych kolorowań grafu Przypomnijmy podstawowe wiadomości o dwuwartościowej algebrze Boole a. Algebra ta składa się z dwuelementowego zbioru B = {0, 1}, na którym określono działania: sumy logicznej (alternatywy): = 0; = 1; = 1; = 1; iloczynu logicznego (koniunkcji): 0 0 = 0; 1 0 = 0; 0 1 = 0; 1 1 = 1; negacji: 0 = 1; 1 = 0

14 p. Działania sumy i iloczynu logicznego sa łaczne, przemienne i rozdzielne jedno względem drugiego i dla dowolnego a B a + ( a) = 1; a ( a) = 0; a + 0 = a; a 1 = a Definicja. Funkcja boolowska n zmiennych nazywamy dowolna funkcję f : B n B, gdzie B n = B B... B. Oczywiście taka funkcja jest równocześnie działaniem n argumentowym określonym na B. Definicja. Wyrażeniem boolowskim (formuła boolowska) nazywamy ciag zmiennych i ewentualnie stałych boolowskich połaczonych znakami działań oraz nawiasami wskazujacymi kolejność wykonywania tych działań.

15 p. Każda funkcję boolowska można przedstawić za pomoca odpowiedniego wyrażenia boolowskiego. Funkcję boolowska można również określić za pomoca tabelki określajacej wartości dla wszystkich elementów dziedziny lub za pomoca wykresu - dwukolorowania wierzchołków n kostki. Wyrażenia boolowskie w których występuja tylko działania sumy, iloczynu logicznego i ewentualnie stałe boolowskie (w których nie używamy działania negacji) nazywamy wyrażeniami alternatywno koniunkcyjnymi.

16 p. Określmy dwie relacje dwuargumentowe (częściowego porzadku), jedna ( ) na B = {(0, 0), (0, 1), (1, 1)}; druga ( )na B n zdefiniowana: dla dowolnych x = (x 1,x 2,...,x n ) i y = (y 1,y 2,...,y n ) należacych do B n x y wtedy i tylko wtedy, gdy 1 s n x s y s. Funkcja boolowska f jest monotoniczna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x B n i dla każdego y B n prawdziwa jest implikacja x y = f(x) f(y)

17 p. 1 Twierdzenie. Funkcja boolowska f jest funkcja monotoniczna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wyrażenie alternatywno koniunkcyjne określajace tę funkcję. Definicja. Wektorem minimalnym funkcji monotonicznej f( ) nazywamy, każdy wektor x taki, że f(x) = 1, a dla wszystkich wektorów y będacych poprzednikami x, ale różnymi od x, f(y) = 0. Definicja. Minimalna formuła alternatywna (mfa) boolowskiej funkcji monotonicznej nazywamy wyrażenie boolowskie określajace tę funkcję, o postaci sumoiloczynu logicznego, zawierajace najmniejsza ilość składników sumy.

18 p. 1 Twierdzenie. Każdemu składnikowi (iloczynowi) sumy logicznej, będacej minimalna formuła alternatywna boolowskiej funkcji monotonicznej odpowiada wzajemnie jednoznacznie wektor minimalny tej funkcji (zmiennym występujacym w tym iloczynie odpowiadaja jedynkowe składowe wektora minimalnego, a pozostałe składowe sa równe zero). Formułę określajac a funkcję boolowska przekształcamy (redukujemy) do postaci mfa korzystajac z własności algebry Boola. Szczególnie użyteczne sa równości a+a = a; a+a b = a; (a+b) (a+c)... (a+d) = a+b c... d; oraz dualne do nich a a = a; a (a+b) = a; a b+a c+...+a d = a (b+c+...+d)

19 p. 1 Algorytm kolorowania wierzchołków 1. Znajdujemy wszystkie maksymalne zbiory niezależne (uzyskane jako dopełnienia minimalnych pokryć): W 1,W 2,...,W K, K j=1 W j = V (G) 2. Znajdujemy wszystkie minimalne pokrycia zbioru V (G) zbiorami W j. Niech takim pokryciem o minimalnej liczbie podzbiorów będzie W i1,w i2,...,w it 3. Znajdujemy rozbicie zbioru V (G) (na kolory K 1,K 2,...K t ): K 1 = W i1,k 2 = W i2 W i1,..., K t = W it (W i1... W it 1 )

20 p. 1 Algorytm wyznaczania wszystkich minimalnych pokryć grafu 1. Tworzymy binarna macierz incydencji M(G) = [m ij ] n m (wiersze odpowiadaja wierzchołkom, a kolumny krawędziom) 2. Tworzymy wyrażenie boolowskie m j=1 n i=1 m ijx i 3. Przekształcamy powyższa formułę do mfa 4. Na podstawie mfa określamy wszystkie pokrycia minimalne grafu G.

21 p. 1 a b f c e d

22 (a + b)(a + d)(a + e)(b + c)(b + d)(c + d)(d + e)(e + f) = p. 1

23 p. 1 (a + b)(a + d)(a + e)(b + c)(b + d)(c + d)(d + e)(e + f) = = (a + bde)(b + c)(d + bce)(e + f) =

24 p. 1 (a + b)(a + d)(a + e)(b + c)(b + d)(c + d)(d + e)(e + f) = = (a + bde)(b + c)(d + bce)(e + f) = = (ab + bde + ac + bcde)(de + bce + df + bcef) =

25 p. 1 (a + b)(a + d)(a + e)(b + c)(b + d)(c + d)(d + e)(e + f) = = (a + bde)(b + c)(d + bce)(e + f) = = (ab + bde + ac + bcde)(de + bce + df + bcef) = = abde + bde + acde + bcde + abce + bcde + bcde + abce + bcde + abdf + bdef + acdf + bcdef + abcef + bcdef + abcef + bcdef =

26 p. 1 (a + b)(a + d)(a + e)(b + c)(b + d)(c + d)(d + e)(e + f) = = (a + bde)(b + c)(d + bce)(e + f) = = (ab + bde + ac + bcde)(de + bce + df + bcef) = = abde + bde + acde + bcde + abce + bcde + bcde + abce + bcde + abdf + bdef + acdf + bcdef + abcef + bcdef + abcef + bcdef = = bde + acde + abce + abdf + bdef + acdf =

27 p. 1 (a + b)(a + d)(a + e)(b + c)(b + d)(c + d)(d + e)(e + f) = = (a + bde)(b + c)(d + bce)(e + f) = = (ab + bde + ac + bcde)(de + bce + df + bcef) = = abde + bde + acde + bcde + abce + bcde + bcde + abce + bcde + abdf + bdef + acdf + bcdef + abcef + bcdef + abcef + bcdef = = bde + acde + abce + abdf + bdef + acdf = = bde + acde + abce + abdf + bdef + acdf =

28 p. 1 (a + b)(a + d)(a + e)(b + c)(b + d)(c + d)(d + e)(e + f) = = (a + bde)(b + c)(d + bce)(e + f) = = (ab + bde + ac + bcde)(de + bce + df + bcef) = = abde + bde + acde + bcde + abce + bcde + bcde + abce + bcde + abdf + bdef + acdf + bcdef + abcef + bcdef + abcef + bcdef = = bde + acde + abce + abdf + bdef + acdf = = bde + acde + abce + abdf + bdef + acdf = = bde + acde + abce + abdf + acdf

29 p. 1 (a + b)(a + d)(a + e)(b + c)(b + d)(c + d)(d + e)(e + f) = = (a + bde)(b + c)(d + bce)(e + f) = = (ab + bde + ac + bcde)(de + bce + df + bcef) = = abde + bde + acde + bcde + abce + bcde + bcde + abce + bcde + abdf + bdef + acdf + bcdef + abcef + bcdef + abcef + bcdef = = bde + acde + abce + abdf + bdef + acdf = = bde + acde + abce + abdf + bdef + acdf = = bde + acde + abce + abdf + acdf W 1 = {a,c,f}, W 2 = {b,f}, W 3 = {d,f}, W 4 = {c,e}, W 5 = {b,e}

30 p. 1 a b f c e d

31 p. 1 a b f c e d

32 p. 1 a b f c e d

33 p. 1 a b f c e d

34 p. 2 a b f c e d

35 p. 2 Algorytm wyznaczania pokryć minimalnych zbioru W Dane: W = n, W = {w 1,w 2,...,w n }; W = {W 1,W 2,...,W K }; v = (x 1,x 2,...,x K ); 1. Zapisujemy zbiór W i rodzinę W w postaci macierzy { 1 gdy w i W j B = [b ij ] = 0 w przeciwnym razie. 2. Tworzymy formułę funkcji boolowskiej: n i=1 K j=1 b ijx j 3. Przekształcamy powyższa formułę do mfa. 4. Iloczyny mfa określaja minimalne pokrycia zbiorów.

36 (x 1 )(x 2 + x 5 )(x 1 + x 4 )(x 3 )(x 4 + x 5 )(x 1 + x 2 + x 3 ) = p. 2

37 p. 2 (x 1 )(x 2 + x 5 )(x 1 + x 4 )(x 3 )(x 4 + x 5 )(x 1 + x 2 + x 3 ) = = (x 1 x 3 )(x 2 + x 5 )(x 4 + x 1 x 5 )(x 1 + x 2 + x 3 ) =

38 p. 2 (x 1 )(x 2 + x 5 )(x 1 + x 4 )(x 3 )(x 4 + x 5 )(x 1 + x 2 + x 3 ) = = (x 1 x 3 )(x 2 + x 5 )(x 4 + x 1 x 5 )(x 1 + x 2 + x 3 ) = = (x 1 x 3 )[(x 2 + x 5 )(x 2 + x 1 ) + (x 3 )(x 2 + x 5 )](x 4 + x 1 x 5 ) =

39 p. 2 (x 1 )(x 2 + x 5 )(x 1 + x 4 )(x 3 )(x 4 + x 5 )(x 1 + x 2 + x 3 ) = = (x 1 x 3 )(x 2 + x 5 )(x 4 + x 1 x 5 )(x 1 + x 2 + x 3 ) = = (x 1 x 3 )[(x 2 + x 5 )(x 2 + x 1 ) + (x 3 )(x 2 + x 5 )](x 4 + x 1 x 5 ) = = (x 1 x 3 )[(x 2 + x 5 x 1 ) + (x 3 )(x 2 + x 5 )](x 4 + x 1 x 5 ) =

40 p. 2 (x 1 )(x 2 + x 5 )(x 1 + x 4 )(x 3 )(x 4 + x 5 )(x 1 + x 2 + x 3 ) = = (x 1 x 3 )(x 2 + x 5 )(x 4 + x 1 x 5 )(x 1 + x 2 + x 3 ) = = (x 1 x 3 )[(x 2 + x 5 )(x 2 + x 1 ) + (x 3 )(x 2 + x 5 )](x 4 + x 1 x 5 ) = = (x 1 x 3 )[(x 2 + x 5 x 1 ) + (x 3 )(x 2 + x 5 )](x 4 + x 1 x 5 ) = = (x 1 x 3 )[(x 2 x 4 + x 5 x 1 ) + (x 3 )(x 2 + x 5 )(x 4 + x 1 x 5 )] =

41 p. 2 (x 1 )(x 2 + x 5 )(x 1 + x 4 )(x 3 )(x 4 + x 5 )(x 1 + x 2 + x 3 ) = = (x 1 x 3 )(x 2 + x 5 )(x 4 + x 1 x 5 )(x 1 + x 2 + x 3 ) = = (x 1 x 3 )[(x 2 + x 5 )(x 2 + x 1 ) + (x 3 )(x 2 + x 5 )](x 4 + x 1 x 5 ) = = (x 1 x 3 )[(x 2 + x 5 x 1 ) + (x 3 )(x 2 + x 5 )](x 4 + x 1 x 5 ) = = (x 1 x 3 )[(x 2 x 4 + x 5 x 1 ) + (x 3 )(x 2 + x 5 )(x 4 + x 1 x 5 )] = = x 1 x 3 x 5 +x 1 x 2 x 3 x 4 +x 1 x 2 x 3 x 4 +x 1 x 3 x 4 x 5 +x 1 x 2 x 3 x 5 +x 1 x 3 x 5

42 p. 2 (x 1 )(x 2 + x 5 )(x 1 + x 4 )(x 3 )(x 4 + x 5 )(x 1 + x 2 + x 3 ) = = (x 1 x 3 )(x 2 + x 5 )(x 4 + x 1 x 5 )(x 1 + x 2 + x 3 ) = = (x 1 x 3 )[(x 2 + x 5 )(x 2 + x 1 ) + (x 3 )(x 2 + x 5 )](x 4 + x 1 x 5 ) = = (x 1 x 3 )[(x 2 + x 5 x 1 ) + (x 3 )(x 2 + x 5 )](x 4 + x 1 x 5 ) = = (x 1 x 3 )[(x 2 x 4 + x 5 x 1 ) + (x 3 )(x 2 + x 5 )(x 4 + x 1 x 5 )] = = x 1 x 3 x 5 +x 1 x 2 x 3 x 4 +x 1 x 2 x 3 x 4 +x 1 x 3 x 4 x 5 +x 1 x 2 x 3 x 5 +x 1 x 3 x 5 = x 1 x 3 x 5 + x 1 x 2 x 3 x 4

43 p. 2 (x 1 )(x 2 + x 5 )(x 1 + x 4 )(x 3 )(x 4 + x 5 )(x 1 + x 2 + x 3 ) = = (x 1 x 3 )(x 2 + x 5 )(x 4 + x 1 x 5 )(x 1 + x 2 + x 3 ) = = (x 1 x 3 )[(x 2 + x 5 )(x 2 + x 1 ) + (x 3 )(x 2 + x 5 )](x 4 + x 1 x 5 ) = = (x 1 x 3 )[(x 2 + x 5 x 1 ) + (x 3 )(x 2 + x 5 )](x 4 + x 1 x 5 ) = = (x 1 x 3 )[(x 2 x 4 + x 5 x 1 ) + (x 3 )(x 2 + x 5 )(x 4 + x 1 x 5 )] = = x 1 x 3 x 5 +x 1 x 2 x 3 x 4 +x 1 x 2 x 3 x 4 +x 1 x 3 x 4 x 5 +x 1 x 2 x 3 x 5 +x 1 x 3 x 5 = x 1 x 3 x 5 + x 1 x 2 x 3 x 4 W 1 = {a,c,f},w 3 = {d,f},w 5 = {b,e}

44 p. 2 (x 1 )(x 2 + x 5 )(x 1 + x 4 )(x 3 )(x 4 + x 5 )(x 1 + x 2 + x 3 ) = = (x 1 x 3 )(x 2 + x 5 )(x 4 + x 1 x 5 )(x 1 + x 2 + x 3 ) = = (x 1 x 3 )[(x 2 + x 5 )(x 2 + x 1 ) + (x 3 )(x 2 + x 5 )](x 4 + x 1 x 5 ) = = (x 1 x 3 )[(x 2 + x 5 x 1 ) + (x 3 )(x 2 + x 5 )](x 4 + x 1 x 5 ) = = (x 1 x 3 )[(x 2 x 4 + x 5 x 1 ) + (x 3 )(x 2 + x 5 )(x 4 + x 1 x 5 )] = = x 1 x 3 x 5 +x 1 x 2 x 3 x 4 +x 1 x 2 x 3 x 4 +x 1 x 3 x 4 x 5 +x 1 x 2 x 3 x 5 +x 1 x 3 x 5 = x 1 x 3 x 5 + x 1 x 2 x 3 x 4 W 1 = {a,c,f},w 3 = {d,f},w 5 = {b,e} K 1 = W 1 = {a,c,f}, K 2 = W 3 \ W 1 = {d,f} \ {a,c,f} = {d}, K 3 = W 5 \ (W 1 W 3 ) = {b,e} \ {a,c,d,f} = {b,e}

45 p. 2 a b f c e d

46 10.1 Algorytmy aproksymacyjne p. 2

47 10.1 Kolorowanie krawędzi grafu p. 2

48 p. 2

49 p. 2

50 p. 2

51 p. 2

52 p. 3

53 p. 3

54 p. 3

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr : Kolorowanie grafów dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: -8-9-, p./ Zakład Badań Operacyjnych i Wspomagania

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków grafu

Kolorowanie wierzchołków grafu Kolorowanie wierzchołków grafu Niech G będzie grafem prostym. Przez k-kolorowanie właściwe wierzchołków grafu G rozumiemy takie przyporządkowanie wierzchołkom grafu liczb naturalnych ze zbioru {1,...,

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy

Bardziej szczegółowo

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań. Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie wierzchołków Mając dany graf, pokolorować jego wierzchołki w taki sposób, aby każde dwa wierzchołki sąsiednie miały inny kolor. Każda krawędź łączy wierzchołki różnych kolorów. Takie pokolorowanie

Bardziej szczegółowo

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69

Bardziej szczegółowo

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A WYKŁAD 5() ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań Matematyka zbudowana jest z pierwotnych twierdzeń (nazywamy

Bardziej szczegółowo

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).

Bardziej szczegółowo

Logika binarna. Prawo łączności mówimy, że operator binarny * na zbiorze S jest łączny gdy (x * y) * z = x * (y * z) dla każdego x, y, z S.

Logika binarna. Prawo łączności mówimy, że operator binarny * na zbiorze S jest łączny gdy (x * y) * z = x * (y * z) dla każdego x, y, z S. Logika binarna Logika binarna zajmuje się zmiennymi mogącymi przyjmować dwie wartości dyskretne oraz operacjami mającymi znaczenie logiczne. Dwie wartości jakie mogą te zmienne przyjmować noszą przy tym

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a Po co AB? Świetne narzędzie do analitycznego opisu układów logicznych. 1854r. George Boole opisuje swój system dedukcyjny. Ukoronowanie zapoczątkowanych w

Bardziej szczegółowo

Rachunek podziałów i elementy teorii grafów będą stosowane w procedurach redukcji argumentów i dekompozycji funkcji boolowskich.

Rachunek podziałów i elementy teorii grafów będą stosowane w procedurach redukcji argumentów i dekompozycji funkcji boolowskich. Pojęcia podstawowe c.d. Rachunek podziałów Elementy teorii grafów Klasy zgodności Rachunek podziałów i elementy teorii grafów będą stosowane w procedurach redukcji argumentów i dekompozycji funkcji boolowskich.

Bardziej szczegółowo

Wykłady z Matematyki Dyskretnej

Wykłady z Matematyki Dyskretnej Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Kolorowanie

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. 1. Relacje

Matematyka dyskretna. 1. Relacje Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne podstawy programowania liniowego

Teoretyczne podstawy programowania liniowego Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i

Bardziej szczegółowo

Algebra Boole a. Ćwiczenie Sprawdź, czy algebra zbiorów jestrównież algebrą Boole a. Padaj wszystkie elementy takiej realizacji.

Algebra Boole a. Ćwiczenie Sprawdź, czy algebra zbiorów jestrównież algebrą Boole a. Padaj wszystkie elementy takiej realizacji. Algebra Boole a Algebrą Boole a nazywamy zbiór B, wyróżnione jego podzbiory O i I oraz operacje dwuargumentowe +;, które dla dowolnych elementów X, Y, Z zbioru B spełniają następujące aksjomaty: X+Y B;

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym

Bardziej szczegółowo

SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych.

SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych. SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Rozważamy graf G = (V, E) Dwie krawędzie e, e E nazywamy niezależnymi, jeśli nie są incydentne ze wspólnym wierzchołkiem. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze

Bardziej szczegółowo

5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.

5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. 5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 (12p.)Niech n 3k > 0. Zbadać jaka jest najmniejsza możliwa liczba krawędzi w grafie, który ma dokładnie n wierzchołków oraz dokładnie k składowych, z których

Bardziej szczegółowo

Wielopoziomowa synteza układów logicznych

Wielopoziomowa synteza układów logicznych Wielopoziomowa synteza układów logicznych Dwupoziomowa synteza sprowadza się do realizacji, w których pierwszy poziom tworzą bramki AND, a drugi bramki OR. Cała struktura układu jest opisana formułą typu:

Bardziej szczegółowo

Zbiory. Specjalnym zbiorem jest zbiór pusty nie zawierajacy żadnych elementów. Oznaczamy go symbolem.

Zbiory. Specjalnym zbiorem jest zbiór pusty nie zawierajacy żadnych elementów. Oznaczamy go symbolem. Zbiory Pojęcie zbioru jest w matematyce pojęciem pierwotnym, którego nie definiujemy. Gdy a jest elementem należacym do zbioru A to piszemy a A. Stosujemy również oznaczenie a / A jeżeli (a A). Będziemy

Bardziej szczegółowo

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A = Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2

Bardziej szczegółowo

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011 Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój

Bardziej szczegółowo

Minimalizacja formuł Boolowskich

Minimalizacja formuł Boolowskich Minimalizacja formuł Boolowskich Stosowanie reguł algebry Boole a w celu minimalizacji funkcji logicznych jest niedogodne brak metody, aby stwierdzić czy dana formuła może być jeszcze minimalizowana czasami

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz

Bardziej szczegółowo

Algebra Boole a i jej zastosowania

Algebra Boole a i jej zastosowania lgebra oole a i jej zastosowania Wprowadzenie Niech dany będzie zbiór dwuelementowy, którego elementy oznaczymy symbolami 0 oraz 1, tj. {0, 1}. W zbiorze tym określamy działania sumy :, iloczynu : _ oraz

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 12 - synteza i minimalizacja funkcji logicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 12 - synteza i minimalizacja funkcji logicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 12 - synteza i minimalizacja funkcji logicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 Synteza funkcji logicznych Terminy - na bazie funkcji trójargumenowej y = (x 1, x 2, x 3 ) (1) Elementarny

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki matematycznej

Elementy logiki matematycznej Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w

Bardziej szczegółowo

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie), Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne

Bardziej szczegółowo

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same 1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem

E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem Niech G będzie grafem spójnym. Wierzchołek x nazywamy rozcinającym, jeśli G\{x} jest niespójny. Niech G będzie grafem spójnym. V ' V G nazywamy zbiorem rozcinającym jeśli G\V' jest niespójny Niech G będzie

Bardziej szczegółowo

DEFINICJA. Definicja 1 Niech A i B będą zbiorami. Relacja R pomiędzy A i B jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, R A B.

DEFINICJA. Definicja 1 Niech A i B będą zbiorami. Relacja R pomiędzy A i B jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, R A B. RELACJE Relacje 1 DEFINICJA Definicja 1 Niech A i B będą zbiorami. Relacja R pomiędzy A i B jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, R A B. Relacje 2 Przykład 1 Wróćmy do przykładu rozważanego

Bardziej szczegółowo

Macierze. Rozdział Działania na macierzach

Macierze. Rozdział Działania na macierzach Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy

Bardziej szczegółowo

Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz:

Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy jego obraz: f(a) = {f(x); x A} = {y Y : x A f(x) = y}. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: f 1 (B) = {x X; f(x) B}. 1 Zadanie.

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka liczb binarnych

Arytmetyka liczb binarnych Wartość dwójkowej liczby stałoprzecinkowej Wartość dziesiętna stałoprzecinkowej liczby binarnej Arytmetyka liczb binarnych b n-1...b 1 b 0,b -1 b -2...b -m = b n-1 2 n-1 +... + b 1 2 1 + b 0 2 0 + b -1

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK ZBIORÓW 5 RELACJE

RACHUNEK ZBIORÓW 5 RELACJE RELACJE Niech X i Y są dowolnymi zbiorami. Układ ich elementów, oznaczony symbolem x,y (lub też (x,y) ), gdzie x X i y Y, nazywamy parą uporządkowaną o poprzedniku x i następniku y. a,b b,a b,a b,a,a (o

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Relacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y)

Relacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) Relacje binarne Niech X będzie niepustym zbiorem. Jeśli ϱ X X to mówimy, że ϱ jest relacją w zbiorze X. Zamiast pisać (x, y) ϱ będziemy stosować zapis xϱy. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy zwrotną,

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest

Bardziej szczegółowo

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny) Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla

Bardziej szczegółowo

dr inż. Rafał Klaus Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia i ich zastosowań w przemyśle" POKL

dr inż. Rafał Klaus Zajęcia finansowane z projektu Rozwój i doskonalenie kształcenia i ich zastosowań w przemyśle POKL Technika cyfrowa w architekturze komputerów materiał do wykładu 2/3 dr inż. Rafał Klaus Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j = 11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.

Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM. DEF. DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE Działaniem dwuargumentowym w niepsutym zbiorze nazywamy każde odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego :. Inaczej mówiąc, w zbiorze jest określone działanie dwuargumentowe, jeśli:

Bardziej szczegółowo

Działania na przekształceniach liniowych i macierzach

Działania na przekształceniach liniowych i macierzach Działania na przekształceniach liniowych i macierzach Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 5 wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język

Bardziej szczegółowo

Digraf. 13 maja 2017

Digraf. 13 maja 2017 Digraf 13 maja 2017 Graf skierowany, digraf, digraf prosty Definicja 1 Digraf prosty G to (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, E jest rodziną zorientowanych krawędzi, między różnymi wierzchołkami,

Bardziej szczegółowo

INŻYNIERIA BEZPIECZEŃSTWA LABORATORIUM NR 2 ALGORYTM XOR ŁAMANIE ALGORYTMU XOR

INŻYNIERIA BEZPIECZEŃSTWA LABORATORIUM NR 2 ALGORYTM XOR ŁAMANIE ALGORYTMU XOR INŻYNIERIA BEZPIECZEŃSTWA LABORATORIUM NR 2 ALGORYTM XOR ŁAMANIE ALGORYTMU XOR 1. Algorytm XOR Operacja XOR to inaczej alternatywa wykluczająca, oznaczona symbolem ^ w języku C i symbolem w matematyce.

Bardziej szczegółowo

Semantyka rachunku predykatów

Semantyka rachunku predykatów Relacje Interpretacja Wartość Spełnialność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Relacje Interpretacja Wartość Plan Plan Relacje O co chodzi? Znaczenie w logice Relacje 3 Interpretacja i wartościowanie

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna - zadania

Matematyka Dyskretna - zadania zad. 1. Chcemy zdefiniować rekurencyjnie zbiór Z wszystkich trójkątów równoramiennych ABC, gdzie współrzędne wierzchołków będą liczbami całkowitymi, wierzchołek A zawsze będzie leżeć w początku układu

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Metody Programowania

Metody Programowania POLITECHNIKA KRAKOWSKA - WIEiK KATEDRA AUTOMATYKI i TECHNIK INFORMACYJNYCH Metody Programowania www.pk.edu.pl/~zk/mp_hp.html Wykładowca: dr inż. Zbigniew Kokosiński zk@pk.edu.pl Wykład 8: Wyszukiwanie

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Kody liczb całkowitych nieujemnych Kody liczbowe dzielimy na analityczne nieanalityczne (symboliczne)

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

b) bc a Rys. 1. Tablice Karnaugha dla funkcji o: a) n=2, b) n=3 i c) n=4 zmiennych.

b) bc a Rys. 1. Tablice Karnaugha dla funkcji o: a) n=2, b) n=3 i c) n=4 zmiennych. DODATEK: FUNKCJE LOGICZNE CD. 1 FUNKCJE LOGICZNE 1. Tablice Karnaugha Do reprezentacji funkcji boolowskiej n-zmiennych można wykorzystać tablicę prawdy o 2 n wierszach lub np. tablice Karnaugha. Tablica

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji

Bardziej szczegółowo

Koszt literału (literal cost) jest określony liczbą wystąpień literału w wyrażeniu boolowskim realizowanym przez układ.

Koszt literału (literal cost) jest określony liczbą wystąpień literału w wyrażeniu boolowskim realizowanym przez układ. Elementy cyfrowe i układy logiczne Wykład Legenda Kryterium kosztu realizacji Minimalizacja i optymalizacja Optymalizacja układów dwupoziomowych Tablica (mapa) Karnaugh a Metoda Quine a-mccluskey a Złożoność

Bardziej szczegółowo

13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.

13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje

Bardziej szczegółowo

Minimalizacja funkcji boolowskich

Minimalizacja funkcji boolowskich Minimalizacja funkcji boolowskich Zagadnienie intensywnych prac badawczych od początku lat pięćdziesiątych 20 wieku. Ogromny wzrost zainteresowania minimalizacją f.b. powstał ponownie w latach 80. rzyczyna:

Bardziej szczegółowo

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów 1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i

Bardziej szczegółowo

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0 ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

1 Określenie pierścienia

1 Określenie pierścienia 1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Elementy cyfrowe i układy logiczne

Elementy cyfrowe i układy logiczne Elementy cyfrowe i układy logiczne Wykład Legenda Optymalizacja wielopoziomowa Inne typy bramek logicznych System funkcjonalnie pełny Optymalizacja układów wielopoziomowych Układy wielopoziomowe układy

Bardziej szczegółowo

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki. SPÓJNOŚĆ Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką

Bardziej szczegółowo

Pierścienie łączne - ich grafy i klasy Veldsmana

Pierścienie łączne - ich grafy i klasy Veldsmana Marta Nowakowska Uniwersytet Śląski Letnia Szkoła Instytutu Matematyki, Podlesice, wrzesień 22-26, 2014 Oznaczenia Graf przecięć R - łączny pierścień z 1 Z - pierścień liczb całkowitych M - lewostronny

Bardziej szczegółowo

Schematy Piramid Logicznych

Schematy Piramid Logicznych Schematy Piramid Logicznych geometryczna interpretacja niektórych formuł Paweł Jasionowski Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Matematyczno-Fizyczny Streszczenie Referat zajmuje się następującym zagadnieniem:

Bardziej szczegółowo

5c. Sieci i przepływy

5c. Sieci i przepływy 5c. Sieci i przepływy Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5c. Sieci i przepływy zima 2016/2017 1 / 40 1 Definicje

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY DRUGIEJ

MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY DRUGIEJ MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY 1. SUMY ALGEBRAICZNE DLA KLASY DRUGIEJ 1. Rozpoznawanie jednomianów i sum algebraicznych Obliczanie wartości liczbowych wyrażeń algebraicznych

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 2 października Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października / 33

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 2 października Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października / 33 Wykład 1 Informatyka Stosowana 2 października 2017 Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 1 / 33 Wykłady : 45h (w semestrze zimowym) (Egzamin) 30h (w semetrze letnim) (Egzamin) 3h lekcyjne

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Techniki Cyfrowej i Mikroelektroniki

Wstęp do Techniki Cyfrowej i Mikroelektroniki Wstęp do Techniki Cyfrowej i Mikroelektroniki dr inż. Maciej Piotrowicz Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych PŁ piotrowi@dmcs.p.lodz.pl http://fiona.dmcs.pl/~piotrowi -> Wstęp do... Układy

Bardziej szczegółowo