Temat: Struktury danych do reprezentacji grafów. Wybrane algorytmy grafowe.

Transkrypt

1 Temat: Struktury danych do reprezentacji grafów. Wybrane algorytmy grafowe. Oznaczenia G = V, E - graf bez wag, gdzie V - zbiór wierzchołków, E- zbiór krawdzi V = n - liczba wierzchołków grafu G E = m - liczba krawdzi grafu G i, - krawd (para uporzdkowana) z wierzchołka i do wierzchołka j w grafie skierowanym i, j - krawd (podzbiór) łczca wierzchołki i oraz j w grafie nieskierowanym G = V, E, f - graf z wagami, gdzie V - zbiór wierzchołków, E- zbiór krawdzi, f: V R ( j) Załoenia Graf skierowany nie ma ptli, czyli dla kadej krawdzi ( j) i j, zachodzi Wierzchołki grafu s reprezentowane numerami:,,..., n i, grafu. Struktury danych do reprezentacji grafu bez wag a) macierz ssiedztwa Definiujemy tablic dwuwymiarow G o rozmiarach n n. Jeeli graf jest nieskierowany to: [, j] G i 0 = dla dla i, j i, j E E

2 G: Złoono pamiciowa: n Macierz ssiedztwa jest symetryczna wzgldem głównej przektnej dla grafu nieskierowanego. Jeeli graf jest skierowany to: [, j] G i 0 = dla dla ( i, j) ( i,j) E E G: Złoono pamiciowa: n

3 Wady: dua złoono pamiciowa dla grafów rzadkich (tj. takich dla których m<<n ), nieefektywna realizacja algorytmów grafowych wymagajcych dotarcia do wszystkich wzłów incydentnych z danym wzłem. Zalety: efektywna realizacja (stały koszt) dodawania i usuwania krawdzi grafu, efektywna realizacja (stały koszt) sprawdzenia, czy w grafie jest dana krawd b) Listy incydencji Struktur danych jest w tym przypadku jednowymiarowa tablica wskaników na listy wierzchołków incydentnych. W indeksie i takiej tablicy znajduje si adres pierwszego elementu listy zawierajcej numery tych wierzchołków grafu, które incyduj z wierzchołkiem numer i. Rozmiar tablicy jest równy n. dla grafu nieskierowanego, T tablica incydencji T[]:,, T[]:,, T[]:,, T[]:,, T[]:, grafu skierowanego T[]:,, T[]:, T[]: T[]: T[]: Złoono pamiciowa: n+m

4 Wady: nieefektywna realizacja dodawania (usuwania) krawdzi grafu (Trzeba sprawdzi cał list incydencji, aby ustali, czy krawdzi wstawianej (usuwanej) nie ma ju (jest) w grafie. nieefektywna realizacja sprawdzenia, czy w grafie jest dana krawd (Trzeba przejrze cał list incydencji). struktura trudniejsza w realizacji Zalety: efektywna złoono pamiciowa dla skierowanych grafów rzadkich, efektywna realizacja algorytmów grafowych wymagajcych dotarcia do wszystkich wzłów incydentnych z danym wzłem.. Struktury danych do reprezentacji grafu z wagami a) macierz ssiedztwa Definiujemy tablic dwuwymiarow G o rozmiarach n n. Jeeli graf jest skierowanego to: [, j] G i = f dla ( i, j) (( i, j) ) dla ( i, j) E E Warto ustalana jest indywidualnie dla konkretnego grafu i konkretnego algorytmu grafowego. Na przykład dla problemu najkrótszych cieek n f max, gdzie f max to maksimum funkcji wag. G: * Złoono pamiciowa: n

5 Analogicznie definiujemy macierz ssiedztwa dla nieskierowanego grafu z wagami. c) Listy incydencji Struktur danych jest w tym przypadku jednowymiarowa tablica wskaników na listy wierzchołków incydentnych. W indeksie i takiej tablicy znajduje si adres pierwszego elementu listy zawierajcej numery tych wierzchołków grafu, które incyduj z wierzchołkiem numer i oraz wagi tych krawdzi. Rozmiar tablicy jest równy n.. Algorytmy bazowe dla grafów bez wag i ich przykładowe zastosowanie a) Przegldania grafu metod wszerz (breadth-first search (BFS)) WP: G graf bez wag, s- wierzchołek startowy WK: Odwiedzenie kadego wierzchołka grafu G, do którego istnieje co najmniej jedna cieka z s. Struktura do reprezentacji grafu G - tablica struktur z polami: link - wskanik na list incydencji, color typ z trzema wartociami: biały, szary, czarny, Wskanik listy incydencji zawiera pola: nr numer wierzchołka next adres kolejnego elementu listy Struktura pomocnicza kolejka z operacjami: in, out, first, empty. (in(e,q)- wstawia do kolejki Q element e, out(q) usuwa element e z kolejki Q, first(q) zwraca dane z pierwszego elementu niepustej kolejki Q, empty(q) sprawdza, czy kolejka Q jest niepusta)

6 Algorytm I Krok: Inicjalizacja tablicy grafu G: nr wierzchołka color biały biały biały biały biały link,,, II Krok: Przegldanie grafu z wierzchołka s BFS(G, s) G[s].color = szary; Q= ; in(s,q); while (!empty(q)) u= first(q); temp = G[u].link; while (temp!=null) v = temp->nr; if (G[v].color == biały) 6

7 // odwiedzenie wierzchołka v G[v].color = szary; in(v,q); temp = temp->next; out(q); G[u].color = czarny; G: nr wierzchołka color czarny czarny czarny czarny czarny Link,,, b) Zastosowanie przegldania grafu metod wszerz (breadth-first search (BFS)) do ustalania najkrótszych cieek w grafie bez wag WP: G graf bez wag, s- wierzchołek startowy WK: najkrótsze cieki z wierzchołka s do pozostałych wierzchołków grafu Struktura do reprezentacji grafu G - tablica struktur z polami: link - wskanik na list incydencji, color typ z trzema wartociami: biały, szary, czarny, d odległo od wierzchołka startowego, 7

8 pi poprzednik na ciece Wskanik listy incydencji zawiera pola: nr numer wierzchołka next adres kolejnego elementu listy Struktura pomocnicza kolejka z operacjami: in, out, first, empty. (in(e,q)- wstawia do kolejki Q element e, out(q) usuwa element e z kolejki Q, first(q) zwraca dane z pierwszego elementu niepustej kolejki Q, empty(q) sprawdza, czy kolejka Q jest niepusta) Algorytm I Krok: Inicjalizacja tablicy grafu G: nr wierzchołka color biały biały biały biały biały D pi link,,, II Krok: Przegldanie grafu z wierzchołka s z jednoczesnym ustawianiem etykiet d i pi 8

9 BFS(G, s) G[s].color = szary; G[s].d = 0; Q= ; in(s,q); while (!empty(q)) u= first(q); temp = G[u].link; while (temp!=null) v = temp->nr; if (G[v].color == biały) G[v].color = szary; G[v].d = G[u].d + ; G[v].pi = u; in(v,q); temp = temp->next; out(q); G[u].color = czarny; G: nr wierzchołka color czarny czarny czarny czarny czarny d 0 pi - link,,, 9

10 Złoono czasowa BFS Jako operacj elementarn przyjmujemy wykonanie operacji in lub out na kolejce Q oraz operacj przegldania list incydencji grafu. Kady wierzchołek jest wstawiany co najwyej raz i co najwyej raz jest z niej usuwany. Std łczny czas wykonania operacji na kolejce wynosi O(n). Poniewa lista incydencji kadego wierzchołka jest przegldana tylko wtedy, gdy wierzchołek zostanie usunity z kolejki, lista incydencji kadego wierzchołka jest przegldana co najwyej raz. Suma długoci wszystkich list wynosi Θ(m). Łczny czas przegldania list wynosi zatem O(m). Inicjowanie grafu zabiera czas O(n). Reasumujc: koszt BFS wynosi O(m+n). c)przegldania grafu metod w głb (depth-first search (DFS)) WP: G graf bez wag, s- wierzchołek startowy WK: Odwiedzenie kadego wierzchołka grafu G, dla którego istnieje co najmniej jedna cieka z s Struktura do reprezentacji grafu G - tablica struktur z polami: link - wskanik na list incydencji, color typ z trzema wartociami: biały, szary, czarny, Wskanik listy incydencji zawiera pola: nr numer wierzchołka next adres kolejnego elementu listy Struktura pomocnicza stos z operacjami: push, pop, top, empty. (push(e,s)- wstawia do stosu S element e, pop(s) usuwa element e ze stosu S, top(s) zwraca dane z wierzchołka niepustego stosu S, empty(s) sprawdza, czy stos S jest niepusty) 0

11 Algorytm I Krok: Inicjalizacja tablicy grafu G: nr wierzchołka color biały biały biały biały biały link,,, II Krok: Przegldanie grafu z wierzchołka s DFS_VISIT(u) (funkcja rekurencyjna) G[u].color = szary; temp=g[u].link; while (temp!=null) v=temp->nr; if (G[v].color ==biały ) // odwiedzenie wierzchołka v DFS_VISIT(v); temp = temp->link; G[u].color = czarny;

12 DFS (G, s): DFS_VISIT(s); G: nr wierzchołka color czarny czarny czarny czarny czarny link,,, d) Zastosowanie przegldania grafu metod w głb (depth-first search (DFS)) do sortowania topologicznego grafu WP: G graf bez wag, skierowany i acykliczny (bez cykli) WK: Nowa numeracja wierzchołków taka, e jeeli graf G zawiera krawd (u, v), to w tym porzdku wierzchołek u wystpuje przed wierzchołkiem v (wierzchołek u ma mniejszy numer ni wierzchołek v). Numery wierzchołków w nowej numeracji zapamitane s w stosie wynikowym W. Jeeli graf nie jest acykliczny to takie uporzdkowanie nie jest moliwe. Struktura do reprezentacji grafu G - tablica struktur z polami: link - wskanik na list incydencji, color typ z trzema wartociami: biały, szary, czarny, Wskanik listy incydencji zawiera pola:

13 nr numer wierzchołka next adres kolejnego elementu listy Struktura pomocnicza stos z operacjami: push, pop, top, empty. (push(e,s)- wstawia do stosu S element e, pop(s) usuwa element e ze stosu S, top(s) zwraca dane z wierzchołka niepustego stosu S, empty(s) sprawdza, czy stos S jest niepusty) Algorytm I Krok: Inicjalizacja tablicy grafu Graf G: Krawd (u, v) oznacza, e cz garderoby u powinna by załoona przed czci garderoby v. slipki spodnie skarpetki buty zegarek pasek koszula krawat marynarka nr wierzchołka dane wierchołka skarpetki slipki spodnie Buty zegarek koszula pasek krawat marynarka color biały biały biały biały biały biały biały biały biały link,, ,

14 II Krok: Przegldanie grafu metod w głb z wierzchołka startowego s. Wierzchołki, które staj si czarne s wstawiane do stosu wynikowego W. Kolejno wierzchołków w stosie W okrela nowa numeracj wierzchołków grafu po sortowaniu topologicznym. DFS_VISIT(u) (funkcja rekurencyjna) W= ; G[u].color = szary; temp=g[u].link; while (temp!=null) v=temp->nr; if (G[v].color ==biały ) DFS_VISIT(v); temp = temp->link; G[u].color = czarny; push(u,w); DFS(G, s); W= ; DFS_VISIT(s); for (i=;i<=n;i++) if (G[i].color==biały) DFS_VISIT(i); nr wierzchołka dane wierchołka skarpetki slipki spodnie buty zegarek koszula pasek krawat marynarka color czarny czarny czarny czarny czarny czarny czarny czarny czarny link,, , nowa numeracja

15 Złoono czasowa DFS Jako operacj elementarn przyjmujemy liczb wywoła rekurencyjnych procedury DFS_VISIT (operacje stosowe realizowane w stosie wywoła) oraz operacj przegldania list incydencji grafu. Koszt procedury DFS wynosi O(m+n) - uzasadnienie analogiczne jak dla BFS.