Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie"

Transkrypt

1 Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62

2 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy przypisać jeden z k kolorów, w taki sposób, by wierzchołki przyległe (sąsiednie) miały różne kolory. 2 / 62

3 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy przypisać jeden z k kolorów, w taki sposób, by wierzchołki przyległe (sąsiednie) miały różne kolory. Jeśli graf G jest k kolorowalny, ale nie jest (k 1) kolorowalnym, to mówimy, że jest on k chromatyczny. 3 / 62

4 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy przypisać jeden z k kolorów, w taki sposób, by wierzchołki przyległe (sąsiednie) miały różne kolory. Jeśli graf G jest k kolorowalny, ale nie jest (k 1) kolorowalnym, to mówimy, że jest on k chromatyczny. Najmniejszą liczbę k różnych kolorów potrzebnych do pokolorowania wierzchołków grafu G nazywamy liczbą chromatyczną tego grafui oznaczamy χ(g). 4 / 62

5 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy przypisać jeden z k kolorów, w taki sposób, by wierzchołki przyległe (sąsiednie) miały różne kolory. Jeśli graf G jest k kolorowalny, ale nie jest (k 1) kolorowalnym, to mówimy, że jest on k chromatyczny. Najmniejszą liczbę k różnych kolorów potrzebnych do pokolorowania wierzchołków grafu G nazywamy liczbą chromatyczną tego grafui oznaczamy χ(g). χ(g) = 4, 4-chromatyczny 5 / 62

6 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy przypisać jeden z k kolorów, w taki sposób, by wierzchołki przyległe (sąsiednie) miały różne kolory. Jeśli graf G jest k kolorowalny, ale nie jest (k 1) kolorowalnym, to mówimy, że jest on k chromatyczny. Najmniejszą liczbę k różnych kolorów potrzebnych do pokolorowania wierzchołków grafu G nazywamy liczbą chromatyczną tego grafui oznaczamy χ(g). zagadnienie kolorowania grafów rozważamy tylko dla grafów spójnych χ(g) = 4, 4-chromatyczny 6 / 62

7 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy przypisać jeden z k kolorów, w taki sposób, by wierzchołki przyległe (sąsiednie) miały różne kolory. Jeśli graf G jest k kolorowalny, ale nie jest (k 1) kolorowalnym, to mówimy, że jest on k chromatyczny. Najmniejszą liczbę k różnych kolorów potrzebnych do pokolorowania wierzchołków grafu G nazywamy liczbą chromatyczną tego grafui oznaczamy χ(g). zagadnienie kolorowania grafów rozważamy tylko dla grafów spójnych istnienie krawędzi równoległych w grafie G nie ma znaczenia przy kolorowaniu jego wierzchołków χ(g) = 4, 4-chromatyczny 7 / 62

8 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy przypisać jeden z k kolorów, w taki sposób, by wierzchołki przyległe (sąsiednie) miały różne kolory. Jeśli graf G jest k kolorowalny, ale nie jest (k 1) kolorowalnym, to mówimy, że jest on k chromatyczny. Najmniejszą liczbę k różnych kolorów potrzebnych do pokolorowania wierzchołków grafu G nazywamy liczbą chromatyczną tego grafui oznaczamy χ(g). zagadnienie kolorowania grafów rozważamy tylko dla grafów spójnych istnienie krawędzi równoległych w grafie G nie ma znaczenia przy kolorowaniu jego wierzchołków wierzchołki z pętlami nie mogą być w ogóle kolorowane χ(g) = 4, 4-chromatyczny 8 / 62

9 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy przypisać jeden z k kolorów, w taki sposób, by wierzchołki przyległe (sąsiednie) miały różne kolory. Jeśli graf G jest k kolorowalny, ale nie jest (k 1) kolorowalnym, to mówimy, że jest on k chromatyczny. Najmniejszą liczbę k różnych kolorów potrzebnych do pokolorowania wierzchołków grafu G nazywamy liczbą chromatyczną tego grafui oznaczamy χ(g). zagadnienie kolorowania grafów rozważamy tylko dla grafów spójnych istnienie krawędzi równoległych w grafie G nie ma znaczenia przy kolorowaniu jego wierzchołków wierzchołki z pętlami nie mogą być w ogóle kolorowane χ(g) = 4, 4-chromatyczny Problem kolorowania wierzchołków grafów rozpatrujemy tylko dla prostych grafów spójnych. 9 / 62

10 Liczba chromatyczna pewnych klas grafów Zbiory niezależne Twierdzenie Dla grafu pełnego K n mamy χ(k n) = n. 10 / 62

11 Liczba chromatyczna pewnych klas grafów Zbiory niezależne Twierdzenie Dla grafu pełnego K n mamy χ(k n) = n. Twierdzenie Jeżeli graf jest grafem cyklicznym C n, to { 2 dla n parzystego χ(c n) = 3 dla n nieparzystego, co możemy zapisać inaczej χ(c 2i+1 ) = 3, χ(c 2i ) = 2 dla i {1, 2,...}. 11 / 62

12 Liczba chromatyczna pewnych klas grafów Zbiory niezależne Twierdzenie Dla grafu pełnego K n mamy χ(k n) = n. Twierdzenie Jeżeli graf jest grafem cyklicznym C n, to { 2 dla n parzystego χ(c n) = 3 dla n nieparzystego, co możemy zapisać inaczej χ(c 2i+1 ) = 3, χ(c 2i ) = 2 dla i {1, 2,...}. a) χ(k 4) = 4 b) χ(c 5) = 3 c) χ(c 6) = 2 12 / 62

13 Liczba chromatyczna pewnych klas grafów Zbiory niezależne Twierdzenie χ(g) = 1 jeżeli G jest grafem pustym (składającym się jednego wierzchołka). χ(g) = 2, gdy G jest grafem dwudzielnym, w szczególności każde drzewo jest 2-chromatyczne. 13 / 62

14 Liczba chromatyczna pewnych klas grafów Zbiory niezależne Twierdzenie χ(g) = 1 jeżeli G jest grafem pustym (składającym się jednego wierzchołka). χ(g) = 2, gdy G jest grafem dwudzielnym, w szczególności każde drzewo jest 2-chromatyczne. χ(g) = 1 χ(k 3,2) = 2 χ(t ) = 2 14 / 62

15 Zbiory niezależne Zachłanny algorytm kolorowania wierzchołków grafu Dane: graf prosty G, o n wierzchołkach, którego wierzchołki są ponumerowane {v 1, v 2,..., v n}, kolory numerujemy od 1 do n Wynik: pokolorowany graf G ZAKG(G) 1 przypisz kolor 1 do wierzchołka v 1 2 for k 2 to n 3 do 4 dla wierzchołka v k użyj pierwszego dostępnego koloru, 5 który nie był wykorzystany do pokolorowania wierzchołka sąsiedniego 15 / 62

16 Przykład Kolorowanie wierzchołków Zbiory niezależne v 1 v 4 v 2 v 2 v 3 v 5 v 5 v 3 v 6 Proces kolorowania rozpoczynamy od wierzchołka v 1. v 6 v 4 v 1 w wyniku działania algorytmu otrzymamy graf / 62

17 Oszacowania liczby χ(g) Kolorowanie wierzchołków Zbiory niezależne Uwaga Z definicji liczby χ(g) wynika, że jeżeli graf G ma n wierzchołków, to jego liczba chromatyczna jest nie większa od n tzn. V = n χ(g) n 17 / 62

18 Oszacowania liczby χ(g) Kolorowanie wierzchołków Zbiory niezależne Uwaga Z definicji liczby χ(g) wynika, że jeżeli graf G ma n wierzchołków, to jego liczba chromatyczna jest nie większa od n tzn. V = n χ(g) n b 3 Definicja Kliką grafu G nazywamy jego podgraf pełny. b 4 b 3 b 1 b 2 4 χ(g) 5 Twierdzenie W dowolnym grafie χ(g) ω gdzie ω jest rozmiarem (ilością wierzchołków) największej kliki. χ(g) = 4 18 / 62

19 Zbiory niezależne Twierdzenie Brooksa Jeżeli graf G = V, E jest grafem prostym, w którym stopień grafu jest równy (G), to χ(g) (G) + 1 (1) 19 / 62

20 Zbiory niezależne Twierdzenie Brooksa Jeżeli graf G = V, E jest grafem prostym, w którym stopień grafu jest równy (G), to χ(g) (G) + 1 (1) Uwaga Równość w relacji (1) zachodzi tylko w dwu przypadkach: gdy graf G jest grafem pełnym K n (n 3). Wiemy, że (K n) = n 1 i χ(k n) = n stąd (K n) + 1 = n = n = χ(k n) gdy graf G jest grafem cyklicznym o nieparzystej liczbie wierzchołków tzn. G = C 2i+1, (i = 1, 2,...). Mamy (C 2i+1 ) = 2, χ(c 2i+1 ) = 3, stąd (C 2i+1 ) + 1 = = 3 = χ(c 2i+1 ) 20 / 62

21 Zbiory niezależne Uwaga Z twierdzenia Brooksa wynika, że K 2,s jest s + 1 kolorowalny tzn. χ(k 2,s) s + 1, ale jak łatwo można stwierdzić χ(k 2,s) = / 62

22 Zbiory niezależne Uwaga Z twierdzenia Brooksa wynika, że K 2,s jest s + 1 kolorowalny tzn. χ(k 2,s) s + 1, ale jak łatwo można stwierdzić χ(k 2,s) = 2. y 2 x 1 x 2 x 3 x s y 1 22 / 62

23 Zbiory niezależne Definicja Podzbiór wierzchołków S V grafu g = (V, E), nazywamy niezależnym, jeżeli żadne dwa wierzchołki tego podzbioru, nie są sąsiednie. W szczególności każdy podzbiór jednoelementowy zbioru V oraz zbiór pusty wierzchołków jest zbiorem niezależnym grafu G. 23 / 62

24 Zbiory niezależne Definicja Podzbiór wierzchołków S V grafu g = (V, E), nazywamy niezależnym, jeżeli żadne dwa wierzchołki tego podzbioru, nie są sąsiednie. W szczególności każdy podzbiór jednoelementowy zbioru V oraz zbiór pusty wierzchołków jest zbiorem niezależnym grafu G zbiory niezależne: {2, 5, 7, 8}, {1, 3, 7}, {2, 4, 8}, {4, 6}, {3, 6}, {1, 5, 7}, {1, 4}, {3, 7, 8} 24 / 62

25 Zbiory niezależne Definicja Liczbę α(g) = max S i i gdzie S i są wszystkimi niezależnymi zbiorami grafu G, nazywamy liczbą niezależności grafu G. Zbiór S, dla którego osiągnięte jest maksimum, nazywamy maksymalnym zbiorem niezależnym. 25 / 62

26 Zbiory niezależne Definicja Liczbę α(g) = max S i i gdzie S i są wszystkimi niezależnymi zbiorami grafu G, nazywamy liczbą niezależności grafu G. Zbiór S, dla którego osiągnięte jest maksimum, nazywamy maksymalnym zbiorem niezależnym Dla grafu z rysunku mamy S = {2, 5, 7, 8} oraz α(g) = 4 26 / 62

27 Zbiory niezależne Problem pokolorowania wierzchołków grafu jest równoważny z podzieleniem zbioru wierzchołków V na k rozłącznych podzbiorów niezależnych, takich, że k i=1 V i = V. Wtedy χ(g) = k, V 1 = {1, 3}, V 2 = {4, 6}, V 3 = {2, 5, 7, 8}. Graf jest 3-kolorowalny i χ(g) = / 62

28 Oszacowanie liczby chromatycznej Zbiory niezależne Własność Liczbę chromatyczną grafu można oszacować następująco n χ(g) α(g) y x 1 x 2 x 3 x s 7 5 y 1 χ(g) 8 4 = 2 oraz z twierdzenia Brooksa mamy 6 χ(g) 2 Dla grafu K 2,s mamy α(g) = s oraz χ(g) s + 2 α(g) = s + 2 = 2 s Można zauważyć, że χ(g) = / 62

29 - definicja Definicja Mówimy, że graf G jest krawędziowo k kolorowalny jeśli jego krawędzie można pokolorować k kolorami w taki sposób, że przyległe krawędzie mają różne kolory. Jeżeli graf G jest krawędziowo k kolorowalny i nie jest krawędziowo (k 1) kolorowalny, to mówimy, że jego indeks chromatyczny χ(g) wynosi k. G 1 G 2 χ(g 1) = 4 i χ(g 2) = 5 29 / 62

30 Indeks chromatyczny grafów pełnych Twierdzenie Indeks chromatyczny grafu pełnego K n wynosi: { n 1 jeżeli n parzyste χ(k n) = n jeżeli n nieparzyste a) b) c) χ(k 4) = 3, χ(k 5) = 5, χ(k 7) = 7 30 / 62

31 Indeks chromatyczny grafów cyklicznych Łatwo zauważyć, że indeks chromatyczny grafu cyklicznego C n wynosi: { 2 gdy n parzyste, χ(c n) = 3 gdy n nieparzyste. χ(c 5) = 3, χ(c 6) = 2 31 / 62

32 Indeks chromatyczny grafów dwudzielnych Twierdzenie Königa, 1916 Jeżeli w grafie dwudzielnym G = (V, E) największy stopień wierzchołka jest równy, to jego indeks chromatyczny χ(g) = = 3 więc χ(g) = 3 32 / 62

33 Twierdzenie Vizinga Kolorowanie wierzchołków Twierdzenie Vizinga, 1964 Jeżeli graf G = (V, E) jest grafem prostym, w którym największy stopień wierzchołka wynosi, to indeks chromatyczny spełnia nierówność χ(g) + 1. G 1 G 2 W każdym z grafów G 1 i G 2 na rysunku największy stopień wierzchołka (G 1) = (G 2) = 4, natomiast = 4 i χ(g 2) = 5. Zatem 4 χ(g 1) = 5 i 4 χ(g 2) = 5 33 / 62

34 Przykład Kolorowanie wierzchołków Pewien serwis techniczny posiada cztery różne warsztaty {w 1, w 2, w 3, w 4} oraz cztery różne ekipy specjalistów {e 1, e 2, e 3, e 4}. Serwis otrzymał do wykonania siedem różnych napraw w różnych miejscowościach. Każda naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego warsztatu, co przedstawia graf G na rysunku w 1 1 e 1 w 2 w e 2 e 3 3 w 4 e 4 W istniejących warunkach jedna ekipa, wyposażona w jeden warsztat, może jednego dnia wykonać co najwyżej jedną naprawę. Należy opracować taki plan realizacji napraw w poszczególnych dniach, aby liczba niezbędnych dni była minimalna. Rozwiązanie powyższego zadania będzie oparte na pokolorowaniu krawędzi grafu G tak, aby liczba kolorów była minimalna. Naprawy wyznaczone na krawędziach tego samego koloru mogą być realizowane w tym samym dniu. Minimalna ilość dni w ciągu których, może być zrealizowane całe zamówienie jest równa indeksowi chromatycznemu grafu pokazanego na rysunku. Innym rozwiązaniem jest: naprawy (1, 2, 3, 6) będą realizowane jednego dnia, następnego dnia naprawy (4, 5), a trzeciego dnia - naprawa / 62

35 Grafy planarne Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Definicja Graf G nazywamy grafem planarnym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka geometryczna reprezentacja tego grafu, na której dowolne dwie krawędzie mogą mieć co najwyżej jeden punkt wspólny, będący wierzchołkiem incydentnym z tymi krawędziami. Graf, który nie jest planarny nazywamy grafem nieplanarnym. 2 1 d g 5 a c b e f / 62

36 Regiony Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Reprezentacja planarnego grafu G dzieli płaszczyznę na maksymalne i rozłączne podzbiory. Zbiory te nazywamy regionami. Regiony będziemy oznaczać literą f i dla i {1, 2,..., n}. 36 / 62

37 Regiony Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Reprezentacja planarnego grafu G dzieli płaszczyznę na maksymalne i rozłączne podzbiory. Zbiory te nazywamy regionami. Regiony będziemy oznaczać literą f i dla i {1, 2,..., n}. Z definicji tej wynika, że region jest wyznaczony przez pewną płaską reprezentację grafu G, a nie przez sam abstrakcyjny graf. x 5 x 9 x 11 x 10 f 1 f 4 x 6 x 6 x 5 x 8 f 3 x 12 f 1 f 2 f 2 x 4 x 7 f 5 f 3 x 7 x 13 x 14 x 3 x 4 x 3 f 5 a) f b) x 1 x 6 2 f 6 x 1 x 2 f 4 37 / 62

38 Regiony Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Reprezentacja planarnego grafu G dzieli płaszczyznę na maksymalne i rozłączne podzbiory. Zbiory te nazywamy regionami. Regiony będziemy oznaczać literą f i dla i {1, 2,..., n}. Z definicji tej wynika, że region jest wyznaczony przez pewną płaską reprezentację grafu G, a nie przez sam abstrakcyjny graf. x 5 x 9 x 11 x 10 f 1 f 4 x 6 x 6 x 5 x 8 f 3 x 12 f 1 f 2 f 2 x 4 x 7 f 5 f 3 x 7 x 13 x 14 x 3 x 4 x 3 f 5 a) f b) x 1 x 6 2 f 6 x 1 x 2 f 4 Region f 4 jest regionem nieskończonym. Każdy graf planarny posiada tylko jeden region nieskończony. Przez zmianę płaskiej reprezentacji grafu można zmienić postać regionu z nieskończonego na skończony i odwrotnie. 38 / 62

39 Twierdzenie Eulera dla grafów planarnych Grafy planarne Kolorowanie regionów Twierdzenie Eulera, 1750 Niech dany będzie spójny graf planarny o n wierzchołkach, m krawędziach i f regionach. Wówczas zachodzi związek f = m n + 2 n = 7 f 1 x 5 f 4 x 6 m = 11 f = m n + 2 = = = 6 f 3 f 2 x 4 x 7 x 3 f 5 f 6 x 1 x 2 39 / 62

40 Grafy planarne Kolorowanie regionów Wniosek nierówności Eulera dla grafów planarnych Jeżeli graf G jest planarnym, prostym grafem spójnym mającym n wierzchołków i m krawędzi, to m 3n 6. Jeżeli ponadto graf G nie ma trójkątów (czyli cykli długości 3), to m 2n / 62

41 Grafy planarne Kolorowanie regionów Wniosek nierówności Eulera dla grafów planarnych Jeżeli graf G jest planarnym, prostym grafem spójnym mającym n wierzchołków i m krawędzi, to m 3n 6. Jeżeli ponadto graf G nie ma trójkątów (czyli cykli długości 3), to m 2n 4. Twierdzenie Graf K 5 jest grafem nieplanarnym 41 / 62

42 Grafy planarne Kolorowanie regionów Wniosek nierówności Eulera dla grafów planarnych Jeżeli graf G jest planarnym, prostym grafem spójnym mającym n wierzchołków i m krawędzi, to m 3n 6. Jeżeli ponadto graf G nie ma trójkątów (czyli cykli długości 3), to m 2n 4. Twierdzenie Graf K 5 jest grafem nieplanarnym Twierdzenie Graf K 3,3 nie jest grafem planarnym. 42 / 62

43 Grafy planarne Kolorowanie regionów Grafy homeomorficzne Twierdzenie Kuratowskiego Definicja Dwa grafy nazywamy homeomorficznymi jeśli jeden z nich można otrzymać z drugiego przez utworzenie krawędzi szeregowych (umieszczenie dodatkowych wierzchołków na krawędziach danego grafu) lub scalenie krawędzi szeregowych. 43 / 62

44 Grafy planarne Kolorowanie regionów Grafy homeomorficzne Twierdzenie Kuratowskiego Definicja Dwa grafy nazywamy homeomorficznymi jeśli jeden z nich można otrzymać z drugiego przez utworzenie krawędzi szeregowych (umieszczenie dodatkowych wierzchołków na krawędziach danego grafu) lub scalenie krawędzi szeregowych. u u u t x v y z x v y x p q v y z 44 / 62

45 Grafy planarne Kolorowanie regionów Grafy homeomorficzne Twierdzenie Kuratowskiego Definicja Dwa grafy nazywamy homeomorficznymi jeśli jeden z nich można otrzymać z drugiego przez utworzenie krawędzi szeregowych (umieszczenie dodatkowych wierzchołków na krawędziach danego grafu) lub scalenie krawędzi szeregowych. u u u t x v y z x v y x p q v y z Twierdzenie Kuratowskiego, 1930 Dany graf G jest planarny wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera podgrafu homeomorficznego z grafem K 5 lub z grafem K 3,3. 45 / 62

46 Uogólnione grafy Petersena Grafy planarne Kolorowanie regionów Definicja Gwiaździstym wielobokiem {n/k} nazywamy graf o n wierzchołkach połączonych co k wierzchołków. Bez straty ogólności można założyć, że k < n / 62

47 Uogólnione grafy Petersena Grafy planarne Kolorowanie regionów Definicja Uogólnionym grafem Petersena nazywamy graf P n,k, dla n 3 i 1 k (n 1)/2, który składa się z grafu wewnętrznego, który jest gwiaździstym wielobokiem {n/k}, grafu zewnętrznego C n, oraz odpowiednie wierzchołki grafu zewnętrznego są połączone z grafem wewnętrznym. graf P 3,1 graf P 5,1 i P 5,2 graf P 4,1 47 / 62

48 Graf Petersena Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Definicja Graf P 5,2 nazywamy grafem Petersena. 48 / 62

49 Graf Petersena Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Definicja Graf P 5,2 nazywamy grafem Petersena. Twierdzenie Graf Petersena jest grafem nieplanarnym. 49 / 62

50 Graf Petersena Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Definicja Graf P 5,2 nazywamy grafem Petersena. Twierdzenie Graf Petersena jest grafem nieplanarnym. Dowód wynika wprost z tw. Kuratowskiego 50 / 62

51 Kolorowanie regionów Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Definicja Mówimy, że regiony grafu planarnego są regionalnie k kolorowalne (można je pokolorować k kolorami), jeśli żadne dwa regiony przyległe nie mają tego samego koloru. 51 / 62

52 Kolorowanie regionów Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Definicja Mówimy, że regiony grafu planarnego są regionalnie k kolorowalne (można je pokolorować k kolorami), jeśli żadne dwa regiony przyległe nie mają tego samego koloru. a) b) k 1 k 2 k 1 k 2 k 2 k 1 k 2 k 1 k 1 k 3 k 1 k 2 52 / 62

53 Kolorowanie regionów Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Definicja Mówimy, że regiony grafu planarnego są regionalnie k kolorowalne (można je pokolorować k kolorami), jeśli żadne dwa regiony przyległe nie mają tego samego koloru. a) b) k 1 k 2 k 1 k 2 k 2 k 1 k 2 k 1 k 1 k 3 k 1 k 2 Definicja Najmniejsza liczbę k taką, że regiony grafu planarnego G są regionalnie k kolorowalne nazywamy liczbą chromatyczną regionów tego grafu i oznaczać będziemy µ(g). 53 / 62

54 Grafy planarne Kolorowanie regionów Twierdzenie Regiony grafu można pokolorować dwoma kolorami wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wierzchołek grafu jest stopnia parzystego. k 2 k 2 a) b) k 1 k 1 k 1 k 1 k 2 k 1 k 2 k 2 k 2 k 1 54 / 62

55 Grafy planarne Kolorowanie regionów Twierdzenie Graf kubiczny można pokolorować trzema barwami wtedy i tylko wtedy, gdy jest dwudzielny. 55 / 62

56 Grafy planarne Kolorowanie regionów Twierdzenie Graf kubiczny można pokolorować trzema barwami wtedy i tylko wtedy, gdy jest dwudzielny. 56 / 62

57 Twierdzenie o czterech kolorach Grafy planarne Kolorowanie regionów Twierdzenie o czterech kolorach Każda graf planarny może być pokolorowany czterema kolorami. 57 / 62

58 Twierdzenie o czterech kolorach Grafy planarne Kolorowanie regionów Twierdzenie o czterech kolorach Każda graf planarny może być pokolorowany czterema kolorami. Historia: 58 / 62

59 Twierdzenie o czterech kolorach Grafy planarne Kolorowanie regionów Twierdzenie o czterech kolorach Każda graf planarny może być pokolorowany czterema kolorami. Historia: Pierwszy dowód pojawił się w roku Przedstawił go Alfred Kempe, londyński prawnik. Dowód okazał się błędny, ale był to jeden z najbardziej znanych fałszywych dowodów w historii matematyki. 59 / 62

60 Twierdzenie o czterech kolorach Grafy planarne Kolorowanie regionów Twierdzenie o czterech kolorach Każda graf planarny może być pokolorowany czterema kolorami. Historia: Pierwszy dowód pojawił się w roku Przedstawił go Alfred Kempe, londyński prawnik. Dowód okazał się błędny, ale był to jeden z najbardziej znanych fałszywych dowodów w historii matematyki. Twierdzenie o czterech kolorach zostało udowodnione dopiero w 1976 roku przez dwóch amerykańskich matematyków K. Appela i W. Hakena. Był to bardzo skomplikowany dowód wspomagany komputerowo. 60 / 62

61 Twierdzenie o czterech kolorach Grafy planarne Kolorowanie regionów Twierdzenie o czterech kolorach Każda graf planarny może być pokolorowany czterema kolorami. Historia: Pierwszy dowód pojawił się w roku Przedstawił go Alfred Kempe, londyński prawnik. Dowód okazał się błędny, ale był to jeden z najbardziej znanych fałszywych dowodów w historii matematyki. Twierdzenie o czterech kolorach zostało udowodnione dopiero w 1976 roku przez dwóch amerykańskich matematyków K. Appela i W. Hakena. Był to bardzo skomplikowany dowód wspomagany komputerowo. W 2004 roku pojawił się nowy dowód tego wyniku, również wykorzystujący komputer, ale obejmujący tylko 600 redukowalnych konfiguracji, które można sprawdzić na laptopie w ciągu kilku godzin. Jego autorami są Robertson, Sanders, Seymour i Thomas z Atlanty. 61 / 62

62 Grafy planarne Kolorowanie regionów Dziękuję za uwagę!!! 62 / 62

Wykłady z Matematyki Dyskretnej

Wykłady z Matematyki Dyskretnej Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Kolorowanie

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie wierzchołków Mając dany graf, pokolorować jego wierzchołki w taki sposób, aby każde dwa wierzchołki sąsiednie miały inny kolor. Każda krawędź łączy wierzchołki różnych kolorów. Takie pokolorowanie

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym

Bardziej szczegółowo

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka

Wprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka Grafy planarne Przemysław Gordinowicz Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka Grafy i ich zastosowania Wykład 12 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Podstawy 3 Fundamentalne twierdzenie 4 Kolorowanie grafów

Bardziej szczegółowo

SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych.

SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych. SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Rozważamy graf G = (V, E) Dwie krawędzie e, e E nazywamy niezależnymi, jeśli nie są incydentne ze wspólnym wierzchołkiem. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny

Bardziej szczegółowo

6d. Grafy dwudzielne i kolorowania

6d. Grafy dwudzielne i kolorowania 6d. Grafy dwudzielne i kolorowania Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w6d. Krakowie) Grafy dwudzielne i kolorowania zima

Bardziej szczegółowo

E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem

E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem Niech G będzie grafem spójnym. Wierzchołek x nazywamy rozcinającym, jeśli G\{x} jest niespójny. Niech G będzie grafem spójnym. V ' V G nazywamy zbiorem rozcinającym jeśli G\V' jest niespójny Niech G będzie

Bardziej szczegółowo

Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew

Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Drzewa Las - graf, który nie zawiera cykli Drzewo - las spójny Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Niech T graf o n wierzchołkach będący

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 15/15 Twierdzenie Dla grafu prostego następujące warunki są równoważne: 1) jest drzewem, 2) nie zawiera cykli i ma krawędzi, 3)

Bardziej szczegółowo

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 (12p.)Niech n 3k > 0. Zbadać jaka jest najmniejsza możliwa liczba krawędzi w grafie, który ma dokładnie n wierzchołków oraz dokładnie k składowych, z których

Bardziej szczegółowo

Graf. Definicja marca / 1

Graf. Definicja marca / 1 Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna Grafy płaskie G=(V,E) nazywamy grafem płaskim, gdy V jest skończonym podzbiorem punktów płaszczyzny euklidesowej, a E to zbiór krzywych Jordana (łamanych) o końcach w V i takich, że: 1) rożne krzywe mają

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków grafu

Kolorowanie wierzchołków grafu Kolorowanie wierzchołków grafu Niech G będzie grafem prostym. Przez k-kolorowanie właściwe wierzchołków grafu G rozumiemy takie przyporządkowanie wierzchołkom grafu liczb naturalnych ze zbioru {1,...,

Bardziej szczegółowo

Grafy. Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie:

Grafy. Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie: Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie: V jest zbiorem wierzchołków, ( czasami zwanymi węzłami lub punktami grafu) E jest rodziną ( być może powtarzających się) krawędzi, czyli jedno- i dwu- elementowych

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający

Bardziej szczegółowo

Wojciech Guzicki. Konferencja SEM(Kolory matematyki) Sielpia, 26 października 2018 r.

Wojciech Guzicki. Konferencja SEM(Kolory matematyki) Sielpia, 26 października 2018 r. 1 O KOLOROWANIU Wojciech Guzicki Konferencja SEM(Kolory matematyki) Sielpia, 26 października 2018 r. W. Guzicki: O kolorowaniu 2 KILKA ZADAŃ OLIMPIJSKICH NA DOBRY POCZĄTEK W. Guzicki: O kolorowaniu 3 Zadanie

Bardziej szczegółowo

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki. SPÓJNOŚĆ Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką

Bardziej szczegółowo

Kombinowanie o nieskończoności. 2. Wyspy, mosty, mapy i kredki materiały do ćwiczeń

Kombinowanie o nieskończoności. 2. Wyspy, mosty, mapy i kredki materiały do ćwiczeń Kombinowanie o nieskończoności. 2. Wyspy, mosty, mapy i kredki materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 15 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Zadania z ćwiczeń #18 (pon. 7 maja) Matematyka Dyskretna

Zadania z ćwiczeń #18 (pon. 7 maja) Matematyka Dyskretna Zadania z ćwiczeń #18 (pon. 7 maja) Matematyka Dyskretna Q1.: Mamy dany zbiór artykułów, z których każdy ma co najmniej k z n możliwych tagów. Chcemy bardzo z grubsza pokategoryzować artykuły w jak najmniejszą

Bardziej szczegółowo

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA KURS MATEMATYKA DYSKRETNA LEKCJA 28 Grafy hamiltonowskie ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Drogę nazywamy

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2

MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2 1 MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2 GRUPA A RACHUNKI+KRÓTKIE WYJAŚNIENIA! NA TEJ KARTCE! KAŻDA DODATKOWA KARTKA TO MINUS 1 PUNKT! Imię i nazwisko...... Nr indeksu... 1. (3p.) Znajdź drzewo o kodzie Prufera

Bardziej szczegółowo

a) 7 b) 19 c) 21 d) 34

a) 7 b) 19 c) 21 d) 34 Zadanie 1. Pytania testowe dotyczące podstawowych własności grafów. Zadanie 2. Przy każdym z zadań może się pojawić polecenie krótkiej charakterystyki algorytmu. Zadanie 3. W zadanym grafie sprawdzenie

Bardziej szczegółowo

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem

Bardziej szczegółowo

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 9-10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 9-10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 9-10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy 2011-12

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1A/14 Literatura obowiązkowa [1] K.A.Ross, Ch.R.B.Wright: Matematyka Dyskretna. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996 [2] R.L.Graham,

Bardziej szczegółowo

Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych

Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Oznaczenia: G graf, V liczba wierzchołków, E liczba krawędzi 1. Spójność grafu Graf jest spójny jeżeli istnieje ścieżka łącząca każdą parę jego wierzchołków.

Bardziej szczegółowo

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów Suma dwóch grafów G 1 = ((G 1 ), E(G 1 )) G 2 = ((G 2 ), E(G 2 )) (G 1 ) i (G 2 ) rozłączne Suma G 1 G 2 graf ze zbiorem wierzchołków (G 1 ) (G 2 ) i rodziną krawędzi E(G 1 ) E(G 2 ) G 1 G 2 G 1 G 2 Zespolenie

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów

Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów Spis tresci 1 Spis tresci 1 Często w zagadnieniach praktycznych rozważa się pewien zbiór obiektów wraz z zależnościami jakie łączą te obiekty. Dla przykładu można badać pewną grupę ludzi oraz strukturę

Bardziej szczegółowo

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów, cz. 2

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów, cz. 2 Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów, cz. 2 P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów

Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Jadwiga Czyżewska Pisane pod kierunkiem W.Guzickiego W 2013 roku na II etapie VIII edycji Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów pojawiło się zadanie o następującej

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)

Bardziej szczegółowo

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych. Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Wst p Grafy i Zastosowania Wierzchoªki 8: Kolorowanie Grafów Mapy Kraw dzie Zliczanie Podsumowanie

c Marcin Sydow Wst p Grafy i Zastosowania Wierzchoªki 8: Kolorowanie Grafów Mapy Kraw dzie Zliczanie Podsumowanie 8: Kolorowanie Grafów Spis zagadnie«kolorowanie wierzchoªków Kolorowanie map Kolorowanie kraw dzi Wielomian chromatyczny Zastosowania Problem kolorowania grafów ma wiele odmian (np. kolorowanie wierzchoªków,

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Teoria grafów podstawy Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Grafy zorientowane i niezorientowane Przykład 1 Dwa pociągi i jeden most problem wzajemnego wykluczania się Dwa

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 1: Definicja grafu. Rodzaje i części grafów dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 261-83-95-04, p.225/100

Bardziej szczegółowo

10. Kolorowanie wierzchołków grafu

10. Kolorowanie wierzchołków grafu p. 10. Kolorowanie wierzchołków grafu 10.1 Definicje i twierdzenia Przez k-kolorowanie wierzchołków grafu G rozumiemy przyporzadkowanie każdemu wierzchołkowi grafu G jednego z k kolorów 1, 2,...,k. p.

Bardziej szczegółowo

Grafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków

Grafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków Wykłady popularne z matematyki Grafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków Joanna Jaszuńska Politechnika Warszawska, 6 maja 2010 Grafy Wykłady popularne z matematyki,

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna - 6.Grafy

Matematyka dyskretna - 6.Grafy Matematyka dyskretna - 6.Grafy W tym rozdziale zajmiemy się grafami. Są to wykresy zawierające rozmaite informacje, przedstawiające połączenia pomiędzy różnymi swoimi elementami. Algorytmy na nich oparte

Bardziej szczegółowo

Kody blokowe Wykład 5a;

Kody blokowe Wykład 5a; Kody blokowe Wykład 5a; 31.03.2011 1 1 Kolorowanie hiperkostki Definicja. W teorii grafów symbol Q n oznacza kostkę n-wymiarową, czyli graf o zbiorze wierzchołków V (Q n ) = {0, 1} n i zbiorze krawędzi

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie skojarzeń na maszynie równoległej

Znajdowanie skojarzeń na maszynie równoległej 11 grudnia 2008 Spis treści 1 Skojarzenia w różnych klasach grafów Drzewa Grafy gęste Grafy regularne dwudzielne Claw-free graphs 2 Drzewa Skojarzenia w drzewach Fakt Wybierajac krawędź do skojarzenia

Bardziej szczegółowo

Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych

Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych Łukasz Kowalik kowalik@mimuw.edu.pl Instytut Informatyki Uniwersytet Warszawski Łukasz Kowalik, Siedem cudów informatyki p. 1/25 Problem 1: mnożenie

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów II. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Teoria grafów II. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Teoria grafów II Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Graf planarny Graf planarny Graf, który może być narysowany tak, by uniknąć przecinania się krawędzi, nazywamy grafem

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW. MATERIA LY VI. semestr letni 2013/2014. Jerzy Jaworski. Typeset by AMS-TEX

TEORIA GRAFÓW. MATERIA LY VI. semestr letni 2013/2014. Jerzy Jaworski. Typeset by AMS-TEX TEORIA GRAFÓW. MATERIA LY VI. semestr letni 2013/2014. Jerzy Jaworski 20 Typeset by AMS-TEX 8. GRAFY PLANARNE. 8.1. Grafy p laskie i planarne. TEORIA GRAFÓW. MATERIA LY VI. 21 Mówimy, że graf jest uk ladalny

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr : Kolorowanie grafów dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: -8-9-, p./ Zakład Badań Operacyjnych i Wspomagania

Bardziej szczegółowo

Problem Hadwigera-Nelsona. Agnieszka Maślanka

Problem Hadwigera-Nelsona. Agnieszka Maślanka Problem Hadwigera-Nelsona Agnieszka Maślanka Spis treści 1 Wstęp 2 2 Liczba chromatyczna grafów o różnych typach 3 3 Liczba chromatyczna różnych obiektów matematycznych 5 4 Oszacowanie dolne dla rozwiązań

Bardziej szczegółowo

Z twierdzenia Pitagorasa mamy więc: =1 3 4 =1 4, CE 2 =AC 2 AE 2 =1 2. skądwynika,żece= 1 2.ZatemCD=1.

Z twierdzenia Pitagorasa mamy więc: =1 3 4 =1 4, CE 2 =AC 2 AE 2 =1 2. skądwynika,żece= 1 2.ZatemCD=1. O kolorowaniu Wojciech Guzicki. Kilka zadań na początek Kolorowanie jest częstym tematem zadań o charakterze olimpijskim. Na początku tego wykładu pokażę 0 takich zadań; większość(dokładniej: wszystkie

Bardziej szczegółowo

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? DROGI i CYKLE EULERA w grafach Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? Czy można narysować podaną figurę nie odrywając ołówka od papieru

Bardziej szczegółowo

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach

Bardziej szczegółowo

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca

Bardziej szczegółowo

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69

Bardziej szczegółowo

1 Wykład dwunasty wstęp do kolorowań, twierdzenie o pięciu barwach

1 Wykład dwunasty wstęp do kolorowań, twierdzenie o pięciu barwach 1 Wykład dwunasty wstęp do kolorowań, twierdzenie o pięciu barwach 1.1 Ogólne kolorowania wierzchołkowe 1.1.1 Banały Wpierw powszechnie znane definicje: Definicja 1.1. Kolorowaniem wierzchołkowym grafu

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów Podstawowe pojęcia i klasy grafów Wykład 1 Grafy nieskierowane Definicja Graf nieskierowany (graf) G = (V,E) jest to uporządkowana para składająca się z niepustego skończonego zbioru wierzchołków V oraz

Bardziej szczegółowo

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV Algorytmy grafowe Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów

Bardziej szczegółowo

Spis treści Podstawowe definicje Wielomian charakterystyczny grafu Grafy silnie regularne

Spis treści Podstawowe definicje Wielomian charakterystyczny grafu Grafy silnie regularne Spis treści 1 Podstawowe definicje 4 1.1 Grafy................................ 4 1.2 Przykłady grafów......................... 12 1.2.1 Grafy puste i pełne.................... 12 1.2.2 Grafy dwudzielne.....................

Bardziej szczegółowo

Praca dyplomowa magisterska

Praca dyplomowa magisterska Politechnika Gdańska WYDZIAŁ ELEKTRONIKI TELEKOMUNIKACJI I INFORMATYKI Katedra: Katedra Algorytmów i Modelowania Systemów Forma i poziom studiów: stacjonarne, jednolite magisterskie Kierunek studiów: Informatyka

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów. Magdalena Lemańska

Teoria grafów. Magdalena Lemańska Teoria grafów Magdalena Lemańska Literatura Aspekty kombinatoryki Victor Bryant Graph Theory V.K. Balakrishnan Fundamentals of domination in graphs T. Haynes, S. Hedetniemi, P. Slater Wstęp Graf Grafem

Bardziej szczegółowo

Czy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał Kieza

Czy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał Kieza Czy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał Kieza Łatwo zauważyć, że kwadrat można podzielić na 2, 4, 6,..., a także na dowolną parzystą liczbę trójkątów o równych

Bardziej szczegółowo

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x 2. Wykład 2: algebry Boole a, kraty i drzewa. 2.1. Algebra Boole a. 1 Ważnym dla nas przykładem algebr są algebry Boole a, czyli algebry B = (B,,,, 0, 1) typu (2, 2, 1, 0, 0) spełniające własności: (1)

Bardziej szczegółowo

Algorytmy multikolorowania grafów w modelu rozproszonym

Algorytmy multikolorowania grafów w modelu rozproszonym Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Wydział Matematyki i Informatyki Rafał Witkowski Algorytmy multikolorowania grafów w modelu rozproszonym rozprawa doktorska Promotor: prof. dr hab. Michał Karoński Poznań,

Bardziej szczegółowo

Opracowanie prof. J. Domsta 1

Opracowanie prof. J. Domsta 1 Opracowanie prof. J. Domsta 1 Algorytm FLEURY'ego: Twierdzenie 6.5 G-graf eulerowski. Wtedy cykl Eulera otrzymujemy nastepująco: a) Start w dowolnym wierzchołku b) Krawędzie w dowolnej kolejności po przebyciu

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów - Teoria rewersali - Teoria śladów

Teoria grafów - Teoria rewersali - Teoria śladów 17 maja 2012 1 Planarność Wzór Eulera Kryterium Kuratowskiego Algorytmy testujące planarność 2 Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące

Bardziej szczegółowo

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI 1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 14c 2 Definicje indukcyjne Twierdzenia dowodzone przez indukcje Definicje indukcyjne Definicja drzewa

Bardziej szczegółowo

Rachunek podziałów i elementy teorii grafów będą stosowane w procedurach redukcji argumentów i dekompozycji funkcji boolowskich.

Rachunek podziałów i elementy teorii grafów będą stosowane w procedurach redukcji argumentów i dekompozycji funkcji boolowskich. Pojęcia podstawowe c.d. Rachunek podziałów Elementy teorii grafów Klasy zgodności Rachunek podziałów i elementy teorii grafów będą stosowane w procedurach redukcji argumentów i dekompozycji funkcji boolowskich.

Bardziej szczegółowo

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Metody boolowskie w informatyce Robert Sulkowski http://robert.brainusers.net 23 stycznia 2010 1 Definicja 1 (Cykl skierowany). Niech C = (V, A)

Bardziej szczegółowo

Cała prawda o powierzchniach

Cała prawda o powierzchniach Topologia Właściwości geometryczne, niezmiennicze przy ciagłych deformacjach Można: rozciagać giać Nie można: rozcinać złamać Jednak można rozciać wzdłuż linii, a potem skleić wzdłuż tejże linii: rozwiazać

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska

Teoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Teoria grafów dla małolatów Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Wstęp Matematyka to wiele różnych dyscyplin Bowiem świat jest bardzo skomplikowany wymaga rozważenia

Bardziej szczegółowo

Matematyczne kolorowanki. Tomasz Szemberg. Wykład dla studentów IM UP Kraków, 18 maja 2016

Matematyczne kolorowanki. Tomasz Szemberg. Wykład dla studentów IM UP Kraków, 18 maja 2016 Wykład dla studentów IM UP Kraków, 18 maja 2016 Gra wstępna Dany jest prostokąt podzielony na 8 pól. Gracze zamalowują pola na zmianę. Jeden na kolor czerwony, a drugi na kolor niebieski. Gra wstępna Dany

Bardziej szczegółowo

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.kaims.pl/ kuszner/ kuszner@eti.pg.gda.pl Oficjalna strona wykładu http://www.kaims.pl/

Bardziej szczegółowo

Wybrane zagadnienia teorii grafów ćwiczenia 1

Wybrane zagadnienia teorii grafów ćwiczenia 1 Wybrane zagadnienia teorii grafów ćwiczenia 1 WQO, minory well quasi orderings Przypomnijmy: porządek częściowy (X, ) jest WQO, jeśli w każdym nieskończonym ciągu x 1, x 2,... istnieje para indeksów i

Bardziej szczegółowo

6. Wstępne pojęcia teorii grafów

6. Wstępne pojęcia teorii grafów 6. Wstępne pojęcia teorii grafów Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Wstępne pojęcia teorii grafów zima 2016/2017

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126

Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126 Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za pomoc siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek 2

Bardziej szczegółowo

Droga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona

Droga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona 1 / 92 Grafy Eulera Droga i cykl Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

Digraf. 13 maja 2017

Digraf. 13 maja 2017 Digraf 13 maja 2017 Graf skierowany, digraf, digraf prosty Definicja 1 Digraf prosty G to (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, E jest rodziną zorientowanych krawędzi, między różnymi wierzchołkami,

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy, drogi w grafach dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 261-83-95-04, p.225/100

Bardziej szczegółowo

Polowanie na Snarka. Męczarnia w trzech konwulsjach

Polowanie na Snarka. Męczarnia w trzech konwulsjach Polowanie na Snarka 2009. Męczarnia w trzech konwulsjach Jest to zapis odczytu wygłoszonego na XLIII Szkole Matematyki Poglądowej, Wbrew intuicji, Grzegorzewice, sierpień Zofia MIECHOWICZ, Zielona Góra

Bardziej szczegółowo

Matematyka od zaraz zatrudnię

Matematyka od zaraz zatrudnię Uniwersytet Jagielloński Gdzie jest matematyka? Soczewka, 26-28 listopada 2010 Kolorowanie grafów Dobre kolorowanie wierzchołków grafu, to nadanie im kolorów w taki sposób, że każde dwa wierzchołki połaczone

Bardziej szczegółowo

Grafy (3): drzewa. Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków. UTP Bydgoszcz

Grafy (3): drzewa. Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków. UTP Bydgoszcz Grafy (3): drzewa Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków UTP Bydgoszcz 13 (Wykłady z matematyki dyskretnej) Grafy (3): drzewa 13 1 / 107 Drzewo Definicja. Drzewo to graf acykliczny

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna (Ćwiczenia)

Matematyka Dyskretna (Ćwiczenia) Matematyka Dyskretna (Ćwiczenia) Jarosław Grytczuk 1 O trudnej sztuce liczenia 1.1 Zasada Mnożenia 1. Pewien pan ma 5 garniturów, 7 krawatów i 10 koszul. Ile różnych zestawów może skompletować? 2. W zawodach

Bardziej szczegółowo

Ciągi komplementarne. Autor: Krzysztof Zamarski. Opiekun pracy: dr Jacek Dymel

Ciągi komplementarne. Autor: Krzysztof Zamarski. Opiekun pracy: dr Jacek Dymel Ciągi komplementarne Autor: Krzysztof Zamarski Opiekun pracy: dr Jacek Dymel Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Pojęcia podstawowe 3 2.1 Oznaczenia........................... 3 2.2 "Ciąg odwrotny"........................

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie grafów planarnych, discharging

Kolorowanie grafów planarnych, discharging Wykład 6 (12.04.2013) Opracował: Krzysztof Węsek Kolorowanie grafów planarnych, discharging 1 Przykłady dischargingu Standardowo będziemy oznaczać dla grafu G i jego rysunku planarnego (graf i rysunek

Bardziej szczegółowo

Badanie grafów Halina z językiem Python

Badanie grafów Halina z językiem Python Uniwersytet Jagielloński w Krakowie Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Aleksander Krawczyk Nr albumu: 1054611 Badanie grafów Halina z językiem Python Praca magisterska na kierunku Informatyka

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona

Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona Wykład 4. i Hamiltona Wykład 4. i Hamiltona 1 / 35 Grafy Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie grafu, to taką

Bardziej szczegółowo

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej V Konkurs Matematyczny Politechniki iałostockiej Rozwiązania - klasy pierwsze 27 kwietnia 2013 r. 1. ane są cztery liczby dodatnie a b c d. Wykazać że przynajmniej jedna z liczb a + b + c d b + c + d a

Bardziej szczegółowo

Algorytmika Problemów Trudnych

Algorytmika Problemów Trudnych Algorytmika Problemów Trudnych Wykład 9 Tomasz Krawczyk krawczyk@tcs.uj.edu.pl Kraków, semestr letni 2016/17 plan wykładu Algorytmy aproksymacyjne: Pojęcie algorytmu aproksymacyjnego i współczynnika aproksymowalności.

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji

Bardziej szczegółowo

3 Abstrakcyjne kompleksy symplicjalne.

3 Abstrakcyjne kompleksy symplicjalne. 3 Abstrakcyjne kompleksy symplicjalne. Uwaga 3.1. Niech J będzie dowolnym zbiorem indeksów, niech R J = {(x α ) α J J α x α R} będzie produktem kartezjańskim J kopii R, niech E J = {(x α ) α J R J x α

Bardziej szczegółowo

DEFINICJA. Definicja 1 Niech A i B będą zbiorami. Relacja R pomiędzy A i B jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, R A B.

DEFINICJA. Definicja 1 Niech A i B będą zbiorami. Relacja R pomiędzy A i B jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, R A B. RELACJE Relacje 1 DEFINICJA Definicja 1 Niech A i B będą zbiorami. Relacja R pomiędzy A i B jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, R A B. Relacje 2 Przykład 1 Wróćmy do przykładu rozważanego

Bardziej szczegółowo