Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów
|
|
- Milena Stachowiak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wykład 3. Własności grafów 1 / 87
2 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87
3 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). Wówczas Graf G = (V, E) nazywamy sumą grafów G 1 i G 2 i oznaczamy G = G 1 G 2, gdy V = V 1 V 2 oraz E = E 1 E 2 3 / 87
4 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). Wówczas Graf G = (V, E) nazywamy sumą grafów G 1 i G 2 i oznaczamy G = G 1 G 2, gdy V = V 1 V 2 oraz E = E 1 E 2 G G 1 2 a c d b e 4 / 87
5 Zespolenie grafów Graf G = (V, E) nazywamy zespoleniem grafów G 1 i oznaczmy G 2 G = G 1 + G 2, gdy V = V 1 V 2 oraz E = E 1 E 2 {{v 1, v 2} : v 1 V 1, v 2 V 2} 5 / 87
6 Zespolenie grafów Graf G = (V, E) nazywamy zespoleniem grafów G 1 i oznaczmy G 2 G = G 1 + G 2, gdy V = V 1 V 2 oraz E = E 1 E 2 {{v 1, v 2} : v 1 V 1, v 2 V 2} a G+ 1 G 2 c d b e 6 / 87
7 Zespolenie grafów Graf G = (V, E) nazywamy zespoleniem grafów G 1 i oznaczmy G 2 G = G 1 + G 2, gdy V = V 1 V 2 oraz E = E 1 E 2 {{v 1, v 2} : v 1 V 1, v 2 V 2} a G+ 1 G 2 c d b e Twierdzenie Jeśli G = G 1 + G 2, to V = V 1 + V 2 oraz E = E 1 + E 2 + V 1 V 2. 7 / 87
8 Graf regularny Graf prosty, w którym wszystkie wierzchołki mają ten sam stopień nazywamy grafem regularnym. 8 / 87
9 Graf regularny Graf prosty, w którym wszystkie wierzchołki mają ten sam stopień nazywamy grafem regularnym. Jeżeli każdy wierzchołek grafu ma stopień r, to graf ten nazywamy grafem regularnym stopnia r lub grafem r-regularnym. Graf regularny stopnia 3 nazywamy grafem kubicznym. 9 / 87
10 Graf regularny Graf prosty, w którym wszystkie wierzchołki mają ten sam stopień nazywamy grafem regularnym. Jeżeli każdy wierzchołek grafu ma stopień r, to graf ten nazywamy grafem regularnym stopnia r lub grafem r-regularnym. Graf regularny stopnia 3 nazywamy grafem kubicznym. a) b) c) d) e) Własność Graf r-regularny o n wierzchołkach posiada nr 2 krawędzi. 10 / 87
11 Graf silnie regularny (ang. strongly regular graph) k-regularny graf G nazywamy grafem k-silnie regularnym, jeżeli istnieją nieujemne liczby λ i µ takie, że 11 / 87
12 Graf silnie regularny (ang. strongly regular graph) k-regularny graf G nazywamy grafem k-silnie regularnym, jeżeli istnieją nieujemne liczby λ i µ takie, że 1 dla każdej pary wierzchołków u i v połączonych krawędzią istnieje dokładnie λ wierzchołków połączonych jednocześnie z u i v, 12 / 87
13 Graf silnie regularny (ang. strongly regular graph) k-regularny graf G nazywamy grafem k-silnie regularnym, jeżeli istnieją nieujemne liczby λ i µ takie, że 1 dla każdej pary wierzchołków u i v połączonych krawędzią istnieje dokładnie λ wierzchołków połączonych jednocześnie z u i v, 2 dla każdej pary wierzchołków u i v nie połączonych krawędzią istnieje dokładnie µ wierzchołków połączonych jednocześnie z u i v 13 / 87
14 Graf silnie regularny (ang. strongly regular graph) k-regularny graf G nazywamy grafem k-silnie regularnym, jeżeli istnieją nieujemne liczby λ i µ takie, że 1 dla każdej pary wierzchołków u i v połączonych krawędzią istnieje dokładnie λ wierzchołków połączonych jednocześnie z u i v, 2 dla każdej pary wierzchołków u i v nie połączonych krawędzią istnieje dokładnie µ wierzchołków połączonych jednocześnie z u i v Grafy k-silnie regularne charakteryzuje ciąg (n, k, λ, µ) 14 / 87
15 Graf silnie regularny (ang. strongly regular graph) k-regularny graf G nazywamy grafem k-silnie regularnym, jeżeli istnieją nieujemne liczby λ i µ takie, że 1 dla każdej pary wierzchołków u i v połączonych krawędzią istnieje dokładnie λ wierzchołków połączonych jednocześnie z u i v, 2 dla każdej pary wierzchołków u i v nie połączonych krawędzią istnieje dokładnie µ wierzchołków połączonych jednocześnie z u i v Grafy k-silnie regularne charakteryzuje ciąg (n, k, λ, µ) (8, 4, 0, 4) 15 / 87
16 Grafy trójkątne Grafem trójkątnym T n nazywamy graf prosty, którego wierzchołki odpowiadają wzajemnie jednoznacznie dwuelementowym podzbiorom zbioru n elementowego oraz każde dwa wierzchołki połączone są krawędzią wtedy i tylko wtedy gdy przecięcie odpowiadających im zbiorów jest niepuste. 16 / 87
17 Grafy trójkątne Grafem trójkątnym T n nazywamy graf prosty, którego wierzchołki odpowiadają wzajemnie jednoznacznie dwuelementowym podzbiorom zbioru n elementowego oraz każde dwa wierzchołki połączone są krawędzią wtedy i tylko wtedy gdy przecięcie odpowiadających im zbiorów jest niepuste. {1,3} {1,2} {2,3} T 2 T 3 17 / 87
18 Graf T 4 Dla zbioru czteroelementowego mamy 6 podzbiorów dwuelementowych {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4} 18 / 87
19 Graf T 4 Dla zbioru czteroelementowego mamy 6 podzbiorów dwuelementowych {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4} {1,3} {1,4} {3,4} {1,2} {2,4} {2,3} 19 / 87
20 Grafy trójkątne Własności grafu T n 1 Graf T n ma V = ( ) n 2 = n(n 1) wierzchołków / 87
21 Grafy trójkątne Własności grafu T n 1 Graf T n ma V = ( ) n 2 = n(n 1) wierzchołków. 2 2 Stopień dowolnego wierzchołka wynosi 2n / 87
22 Grafy trójkątne Własności grafu T n 1 Graf T n ma V = ( ) n 2 = n(n 1) wierzchołków. 2 2 Stopień dowolnego wierzchołka wynosi 2n 4. 3 n 2 jest liczbą wierzchołków sąsiednich jednocześnie do u i v, jeżeli u i v są sąsiednie. 22 / 87
23 Grafy trójkątne Własności grafu T n 1 Graf T n ma V = ( ) n 2 = n(n 1) wierzchołków. 2 2 Stopień dowolnego wierzchołka wynosi 2n 4. 3 n 2 jest liczbą wierzchołków sąsiednich jednocześnie do u i v, jeżeli u i v są sąsiednie. 4 4 jest to liczbą wierzchołków sąsiednich do u i v, jeżeli u i v nie są sąsiednie. 23 / 87
24 Grafy trójkątne Własności grafu T n 1 Graf T n ma V = ( ) n 2 = n(n 1) wierzchołków. 2 2 Stopień dowolnego wierzchołka wynosi 2n 4. 3 n 2 jest liczbą wierzchołków sąsiednich jednocześnie do u i v, jeżeli u i v są sąsiednie. 4 4 jest to liczbą wierzchołków sąsiednich do u i v, jeżeli u i v nie są sąsiednie. Wniosek Grafy trójkątne są grafami silnie regularnymi, które charakteryzuje ciąg (( ) ) n, 2n 4, n 2, / 87
25 Graf pełny Graf prosty, w którym każda para wierzchołków jest połączona krawędzią nazywamy grafem pełnym. Graf pełny o n wierzchołkach oznaczmy symbolem K n. 25 / 87
26 Graf pełny Graf prosty, w którym każda para wierzchołków jest połączona krawędzią nazywamy grafem pełnym. Graf pełny o n wierzchołkach oznaczmy symbolem K n. K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 26 / 87
27 Graf pełny Własność Stopień każdego wierzchołka w grafie pełnym K n wynosi n / 87
28 Graf pełny Własność Stopień każdego wierzchołka w grafie pełnym K n wynosi n 1. Twierdzenie Graf pełny K n ma krawędzi. E Kn = n (n 1) 2 28 / 87
29 Graf pusty Grafem pustym nazywamy graf, którego zbiór krawędzi jest pusty (nie jest pusty zbiór wierzchołków, czyli V > 0 oraz E = 0). Graf pusty mający n wierzchołków oznaczamy symbolem N n. 29 / 87
30 Graf pusty Grafem pustym nazywamy graf, którego zbiór krawędzi jest pusty (nie jest pusty zbiór wierzchołków, czyli V > 0 oraz E = 0). Graf pusty mający n wierzchołków oznaczamy symbolem N n. N 8 30 / 87
31 Graf pusty Grafem pustym nazywamy graf, którego zbiór krawędzi jest pusty (nie jest pusty zbiór wierzchołków, czyli V > 0 oraz E = 0). Graf pusty mający n wierzchołków oznaczamy symbolem N n. Własność 1 Graf N n składa się z n wierzchołków izolowanych. N 8 31 / 87
32 Graf pusty Grafem pustym nazywamy graf, którego zbiór krawędzi jest pusty (nie jest pusty zbiór wierzchołków, czyli V > 0 oraz E = 0). Graf pusty mający n wierzchołków oznaczamy symbolem N n. Własność 1 Graf N n składa się z n wierzchołków izolowanych. 2 Graf N n jest grafem regularnym stopnia 0. N 8 32 / 87
33 Graf cykliczny Graf spójny regularny stopnia 2 nazywamy grafem cyklicznym. Graf cykliczny mający n wierzchołków oznaczamy symbolem C n. 33 / 87
34 Graf cykliczny Graf spójny regularny stopnia 2 nazywamy grafem cyklicznym. Graf cykliczny mający n wierzchołków oznaczamy symbolem C n. C 5 34 / 87
35 Graf cykliczny Graf spójny regularny stopnia 2 nazywamy grafem cyklicznym. Graf cykliczny mający n wierzchołków oznaczamy symbolem C n. Własność 1 W grafie cyklicznym każde dwie sąsiednie krawędzie są połączone szeregowo. C 5 35 / 87
36 Graf cykliczny Graf spójny regularny stopnia 2 nazywamy grafem cyklicznym. Graf cykliczny mający n wierzchołków oznaczamy symbolem C n. Własność 1 W grafie cyklicznym każde dwie sąsiednie krawędzie są połączone szeregowo. 2 Graf cykliczny C n posiada n krawędzi. C 5 36 / 87
37 Graf liniowy Jeżeli z grafu C n usuniemy dokładnie jedną krawędź, to otrzymany graf nazywamy grafem liniowym o n wierzchołkach i oznaczamy symbolem P n. 37 / 87
38 Graf liniowy Jeżeli z grafu C n usuniemy dokładnie jedną krawędź, to otrzymany graf nazywamy grafem liniowym o n wierzchołkach i oznaczamy symbolem P n. P 6 38 / 87
39 Graf liniowy Jeżeli z grafu C n usuniemy dokładnie jedną krawędź, to otrzymany graf nazywamy grafem liniowym o n wierzchołkach i oznaczamy symbolem P n. Własność 1 Graf P n nie jest grafem regularnym. P 6 39 / 87
40 Graf liniowy Jeżeli z grafu C n usuniemy dokładnie jedną krawędź, to otrzymany graf nazywamy grafem liniowym o n wierzchołkach i oznaczamy symbolem P n. P 6 Własność 1 Graf P n nie jest grafem regularnym. 2 Graf P n posiada zawsze 2 wierzchołki stopnia pierwszego, a pozostałe n 2 wierzchołki są stopnia drugiego. 40 / 87
41 Koło Kołem W n nazywamy graf W n = C n 1 + N / 87
42 Koło Kołem W n nazywamy graf W n = C n 1 + N 1. N 1 C 5 W 6 W 6 = C 5 + N 1 42 / 87
43 Graf dwudzielny Niech G = (V, E) będzie grafem prostym. Graf G jest grafem dwudzielnym, jeśli zbiór wierzchołków V jest sumą dwóch niepustych zbiorów rozłącznych V 1 i V 2, takich, że każda krawędź tego grafu łączy wierzchołek ze zbioru V 1 z wierzchołkiem ze zbioru V / 87
44 Graf dwudzielny Niech G = (V, E) będzie grafem prostym. Graf G jest grafem dwudzielnym, jeśli zbiór wierzchołków V jest sumą dwóch niepustych zbiorów rozłącznych V 1 i V 2, takich, że każda krawędź tego grafu łączy wierzchołek ze zbioru V 1 z wierzchołkiem ze zbioru V 2. x 1 x 2 x 3 x3 y 2 y 3 x 2 x 1 y 1 y 1 y 2 44 / 87
45 Graf dwudzielny Twierdzenie Jeżeli graf G jest grafem dwudzielnym, to każdy cykl w G ma długość parzystą. 45 / 87
46 Graf dwudzielny Twierdzenie Jeżeli graf G jest grafem dwudzielnym, to każdy cykl w G ma długość parzystą. Dowód. Niech V = V 1 V 2 oraz niech v 0v 1v 2... v mv 0 będzie cyklem w G. Załóżmy, bez straty ogólności, że v 0 V 1, wtedy v 1 V 2, v 2 V 1, itd. (Wierzchołki o indeksach parzystych należą do zbioru V 1, a o indeksach nieparzystych do zbioru V 2). Ponieważ cykl jest długości m oraz v m V 2, więc cykl ma długość parzystą. 46 / 87
47 Graf pełny dwudzielny Graf dwudzielny jest pełnym grafem dwudzielnym, jeśli każdy wierzchołek zbioru V 1 jest połączony z każdym wierzchołkiem zbioru V 2 dokładnie jedną krawędzią. Graf pełny dwudzielny, w którym V 1 = r i V 2 = s oznaczamy symbolem K r,s. 47 / 87
48 Graf pełny dwudzielny Graf dwudzielny jest pełnym grafem dwudzielnym, jeśli każdy wierzchołek zbioru V 1 jest połączony z każdym wierzchołkiem zbioru V 2 dokładnie jedną krawędzią. Graf pełny dwudzielny, w którym V 1 = r i V 2 = s oznaczamy symbolem K r,s. x 3 x 2 x 1 x 2 y 2 x 1 x 2 x 3 x 3 Własność y 1 x 2 x x 1 1 y2 K 1,3 K 2,2 K 2,3 y 1 y 1 y 1 K 2,3 y 2 1 K r,s = N r + N s x 3 y 2 x 1 x 2 x 3 y 3 x 2 x 1 y 1 y K 3,3 y 2 1 K y3 3,3 48 / 87
49 Graf pełny dwudzielny Graf dwudzielny jest pełnym grafem dwudzielnym, jeśli każdy wierzchołek zbioru V 1 jest połączony z każdym wierzchołkiem zbioru V 2 dokładnie jedną krawędzią. Graf pełny dwudzielny, w którym V 1 = r i V 2 = s oznaczamy symbolem K r,s. x 3 x 2 x 1 x 2 y 2 x 1 x 2 x 3 x 3 Własność y 1 x 2 x x 1 1 y2 K 1,3 K 2,2 K 2,3 y 1 y 1 y 1 y 2 K 2,3 x 3 y 2 x 1 x 2 x 3 1 K r,s = N r + N s 2 Każdy graf K r,s ma r + s wierzchołków. y 3 x 2 x 1 y 1 y K 3,3 y 2 1 K y3 3,3 49 / 87
50 Graf pełny dwudzielny Graf dwudzielny jest pełnym grafem dwudzielnym, jeśli każdy wierzchołek zbioru V 1 jest połączony z każdym wierzchołkiem zbioru V 2 dokładnie jedną krawędzią. Graf pełny dwudzielny, w którym V 1 = r i V 2 = s oznaczamy symbolem K r,s. x 3 x 2 x 1 x 2 y 2 x 1 x 2 x 3 x 3 Własność y 1 x 2 x x 1 1 y2 K 1,3 K 2,2 K 2,3 y 1 y 1 y 1 y 2 K 2,3 x 3 y 2 x 1 x 2 x 3 1 K r,s = N r + N s 2 Każdy graf K r,s ma r + s wierzchołków. y 3 x 2 3 Każdy graf K r,s ma r s krawędzi. x 1 y 1 y K 3,3 y 2 1 K y3 3,3 50 / 87
51 Algorytm testowania dwudzielności grafu BIPART(G, s; S, T, bip) Algorytm 1 Q 0, bip true, S Dane: G spójny graf, dowolny 2 for każdy v V wierzchołek s grafu G 3 do Wynik: jeżeli graf jest dwudzielny, 4 d(v) wówczas bip ma wartość true oraz 5 d(s) 0, s Q generowane są zbiory S i T, takie, 6 while Q and bip = true że S T = V i S T = 7 do 8 u head[q] 9 for każdy v Adj[u] 10 do 11 if d(v) = then d(v) d(u) + 1; v Q 12 else if d(u) = d(v) then bip false 13 if bip = true 14 then 15 for v V 16 do 17 if d(v) = 0(mod2) then S S {v} 18 T V \ S 51 / 87
52 Kostki Graf, którego wierzchołki odpowiadają ciągom binarnym (a 1, a 2,..., a n), oraz którego krawędzie łączą ciągi różniące się dokładnie jednym wyrazem nazywamy n kostką Q n. 52 / 87
53 Kostki Graf, którego wierzchołki odpowiadają ciągom binarnym (a 1, a 2,..., a n), oraz którego krawędzie łączą ciągi różniące się dokładnie jednym wyrazem nazywamy n kostką Q n / 87
54 W trakcie przyjęcia pan Szaradek udał się do toalety. W tym czasie goście rozłożyli na stole w jednym rzędzie (w losowy sposób) n > 1 monet i podali liczbę ze zbioru {1,..., n}. Pani Szaradkowa odwróciła do góry nogami dokładnie jedną monetę. Czy patrząc na układ monet na stole Pan Szaradek, który wrócił z toalety już po odwróceniu monet, jest w stanie odpowiedzieć na pytanie jaką liczbę podali goście? Wskazówka: Rozstrzygnąć, dla jakich n jest to możliwe. 54 / 87
55 Graf krawędziowy Grafem krawędziowym L(G) grafu G, nazywamy graf, którego wierzchołki odpowiadają wzajemnie jednoznacznie krawędziom G oraz dowolne dwa wierzchołki w grafie L(G) są sąsiednie wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające im krawędzie są sąsiednie w G. 55 / 87
56 Graf krawędziowy Grafem krawędziowym L(G) grafu G, nazywamy graf, którego wierzchołki odpowiadają wzajemnie jednoznacznie krawędziom G oraz dowolne dwa wierzchołki w grafie L(G) są sąsiednie wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające im krawędzie są sąsiednie w G. 56 / 87
57 Dopełnienie grafu Dopełnieniem grafu G = (V, E) nazywamy graf G, którego zbiór wierzchołków jest taki sam, jak grafu G oraz w którym dwa wierzchołki są sąsiednie wtedy i tylko wtedy, gdy nie są sąsiednie w grafie G. 57 / 87
58 Dopełnienie grafu Dopełnieniem grafu G = (V, E) nazywamy graf G, którego zbiór wierzchołków jest taki sam, jak grafu G oraz w którym dwa wierzchołki są sąsiednie wtedy i tylko wtedy, gdy nie są sąsiednie w grafie G. u u y v y v x w x w Własność 1 Dopełnieniem grafu pełnego K n jest graf pusty N n. 58 / 87
59 Dopełnienie grafu Dopełnieniem grafu G = (V, E) nazywamy graf G, którego zbiór wierzchołków jest taki sam, jak grafu G oraz w którym dwa wierzchołki są sąsiednie wtedy i tylko wtedy, gdy nie są sąsiednie w grafie G. u u y v y v x w x w Własność 1 Dopełnieniem grafu pełnego K n jest graf pusty N n. 2 Dopełnieniem grafu pełnego dwudzielnego K r,s są dwa grafy pełne K r i K s. 59 / 87
60 Podgraf grafu Graf H = V H, E H, γ H jest podgrafem grafu G = V G, E G, γ G wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki: V H V G E H E G γ H = γ G EH x 5 x 5 g e x 3 x 4 f x 3 x 4 b g e d a f x 5 x 1 x 1 c x 2 G G G 2 1 x 3 a b c d x 4 60 / 87
61 Własności podgrafów Własność 1 Każdy graf jest swoim własnym podgrafem. 61 / 87
62 Własności podgrafów Własność 1 Każdy graf jest swoim własnym podgrafem. 2 Podgraf G podgrafu G grafu G jest podgrafem grafu G tzn ( G G G G ) G G. 62 / 87
63 Własności podgrafów Własność 1 Każdy graf jest swoim własnym podgrafem. 2 Podgraf G podgrafu G grafu G jest podgrafem grafu G tzn ( G G G G ) G G. 3 Pojedynczy wierzchołek grafu G jest podgrafem grafu G. 63 / 87
64 Własności podgrafów Własność 1 Każdy graf jest swoim własnym podgrafem. 2 Podgraf G podgrafu G grafu G jest podgrafem grafu G tzn ( G G G G ) G G. 3 Pojedynczy wierzchołek grafu G jest podgrafem grafu G. 4 Pojedyncza krawędź grafu G łącznie z jej końcami jest podgrafem grafu G. 64 / 87
65 Własności podgrafów Własność 1 Każdy graf jest swoim własnym podgrafem. 2 Podgraf G podgrafu G grafu G jest podgrafem grafu G tzn ( G G G G ) G G. 3 Pojedynczy wierzchołek grafu G jest podgrafem grafu G. 4 Pojedyncza krawędź grafu G łącznie z jej końcami jest podgrafem grafu G. 5 Każdy graf prosty G o n-wierzchołkach jest podgrafem grafu pełnego K n. 65 / 87
66 Własności podgrafów Własność 1 Każdy graf jest swoim własnym podgrafem. 2 Podgraf G podgrafu G grafu G jest podgrafem grafu G tzn ( G G G G ) G G. 3 Pojedynczy wierzchołek grafu G jest podgrafem grafu G. 4 Pojedyncza krawędź grafu G łącznie z jej końcami jest podgrafem grafu G. 5 Każdy graf prosty G o n-wierzchołkach jest podgrafem grafu pełnego K n. 6 Liczba wszystkich różnych grafów prostych zawierających n wierzchołków jest równa 2 n(n 1) 2 66 / 87
67 grafu Niech dany będzie graf G = V, E, γ i krawędź e E. G e oznacza podgraf otrzymany z grafu G przez usunięcie krawędzi e. Niech F będzie dowolnym podzbiorem zbioru krawędzi grafu G (F E), wówczas G F oznacza podgraf grafu G powstały przez usunięcie wszystkich krawędzi należących do zbioru F. v u f e g x z z d z u d u f f c v e v e b c g g c y a y x a y x a G G - b G - {d,b} 67 / 87
68 grafu Niech dany będzie graf G = V, E, γ i niech wierzchołek v V. G v oznacza podgraf grafu G otrzymany z G przez usunięcie wierzchołka v i wszystkich krawędzi do niego incydentnych. Jeżeli S jest dowolnym podzbiorem zbioru wierzchołków V grafu G (S V S V ), to G S oznacza graf, który otrzymamy z grafu G przez usunięcie wszystkich wierzchołków należących do zbioru S i wszystkich krawędzi incydentnych do dowolnego wierzchołka ze zbioru S. u u f v e v g g a a v y y y x x G - z G - {z,u} G - {z,x} 68 / 87
69 Graf częściowy Graf H nazywamy grafem częściowym lub grafem spinającym grafu G jeżeli jest podgrafem G i V H = V G. x 5 x 5 x 4 x 3 x 4 x 3 x 1 x G 2 x 1 x H 2 69 / 87
70 Klika Kliką nazywamy podgraf, w którym każde dwa wierzchołki są połączone krawędzią. 70 / 87
71 Klika Kliką nazywamy podgraf, w którym każde dwa wierzchołki są połączone krawędzią. 71 / 87
72 Klika Klikę nazywamy maksymalną, jeśli nie da się dodać do niej wierzchołka tak, aby razem z nią również tworzył klikę. 72 / 87
73 Klika Klikę nazywamy maksymalną, jeśli nie da się dodać do niej wierzchołka tak, aby razem z nią również tworzył klikę. Klikę nazywamy największą (najliczniejszą), jeśli nie ma w grafie kliki o większej liczbie wierzchołków. 73 / 87
74 Klika Klikę nazywamy maksymalną, jeśli nie da się dodać do niej wierzchołka tak, aby razem z nią również tworzył klikę. Klikę nazywamy największą (najliczniejszą), jeśli nie ma w grafie kliki o większej liczbie wierzchołków. Ilość wierzchołków największej kliki oznaczamy przez ω(g). 74 / 87
75 Klika Klikę nazywamy maksymalną, jeśli nie da się dodać do niej wierzchołka tak, aby razem z nią również tworzył klikę. Klikę nazywamy największą (najliczniejszą), jeśli nie ma w grafie kliki o większej liczbie wierzchołków. Ilość wierzchołków największej kliki oznaczamy przez ω(g). 75 / 87
76 Klika Klikę nazywamy maksymalną, jeśli nie da się dodać do niej wierzchołka tak, aby razem z nią również tworzył klikę. Klikę nazywamy największą (najliczniejszą), jeśli nie ma w grafie kliki o większej liczbie wierzchołków. Ilość wierzchołków największej kliki oznaczamy przez ω(g). 76 / 87
77 Podgraf indukowany Podgrafem indukowanym H = (V H, E H ) grafu G = (V, E), nazywamy graf, w którym V H V oraz E H = {{u, v} : u, v V H oraz {u, v} E} podgraf indukowany G[1, 2, 3, 5, 7, 10] 77 / 87
78 Składowe spójne grafu Każdy spójny podgraf G 1 grafu G (G 1 G), który nie jest zawarty w większym (w sensie relacji zawierania zbioru wierzchołków oraz zawierania zbioru krawędzi) spójnym podgrafie grafu G nazywamy składową spójną grafu G. 78 / 87
79 Składowe spójne grafu Każdy spójny podgraf G 1 grafu G (G 1 G), który nie jest zawarty w większym (w sensie relacji zawierania zbioru wierzchołków oraz zawierania zbioru krawędzi) spójnym podgrafie grafu G nazywamy składową spójną grafu G. a x y b c w z d x 6 x x 3 79 / 87
80 Składowe spójne grafu Każdy spójny podgraf G 1 grafu G (G 1 G), który nie jest zawarty w większym (w sensie relacji zawierania zbioru wierzchołków oraz zawierania zbioru krawędzi) spójnym podgrafie grafu G nazywamy składową spójną grafu G. a x y b c w z d Oczywiście każdy wierzchołek izolowany danego grafu jest jego spójna składową. x 6 x x 3 80 / 87
81 Twierdzenie Spójny graf o n wierzchołkach, posiada co najmniej n 1 krawędzi. 81 / 87
82 Twierdzenie Spójny graf o n wierzchołkach, posiada co najmniej n 1 krawędzi. Twierdzenie Ilość krawędzi m w grafie prostym i spójnym o n wierzchołkach, spełnia zależność n(n 1) n 1 m 2 82 / 87
83 Twierdzenie Spójny graf o n wierzchołkach, posiada co najmniej n 1 krawędzi. Twierdzenie Ilość krawędzi m w grafie prostym i spójnym o n wierzchołkach, spełnia zależność n(n 1) n 1 m 2 Twierdzenie Niech G będzie grafem prostym o n wierzchołkach. Jeżeli graf G ma k składowych, to liczba m jego krawędzi spełnia nierówność n k m 1 (n k) (n k + 1) 2 Każdy graf prosty, który ma n wierzchołków i więcej niż (n 1)(n 2) 2 krawędzi jest spójny. 83 / 87
84 Lemat Acykliczny graf o n wierzchołkach posiada co najwyżej n 1 krawędzi. 84 / 87
85 Lemat Acykliczny graf o n wierzchołkach posiada co najwyżej n 1 krawędzi. Twierdzenie Niech G będzie grafem o n wierzchołkach. Wówczas dowolne dwa warunki implikują trzeci. 1 G jest spójny 2 G jest acykliczny 3 G posiada dokładnie n 1 krawędzi 85 / 87
86 Algorytm sprawdzający spójność grafu Dane: graf G = (V, E) Spojny(G) 1 for wszystkie v V 2 do 3 odwiedzony[v] = false 4 v - dowolny wierzchołek grafu 5 S v 6 while istnieje wierzchołek w S dla którego odwiedzony[v] = false 7 do 8 N zbiór wszystkich sąsiadów wierzchołka v 9 S S N 10 odwiedzony[v] = true 11 if S = V 12 then graf spójny 13 else graf niespójny 86 / 87
87 Dziękuję za uwagę!!! 87 / 87
Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie
Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY
ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych
Bardziej szczegółowoKURS MATEMATYKA DYSKRETNA
KURS MATEMATYKA DYSKRETNA LEKCJA 28 Grafy hamiltonowskie ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Drogę nazywamy
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający
Bardziej szczegółowoGraf. Definicja marca / 1
Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych
Bardziej szczegółowoSPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.
SPÓJNOŚĆ Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym
Bardziej szczegółowoPrzykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.
Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój
Bardziej szczegółowoTeoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Teoria grafów podstawy Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Grafy zorientowane i niezorientowane Przykład 1 Dwa pociągi i jeden most problem wzajemnego wykluczania się Dwa
Bardziej szczegółowoDrzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II
Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków grafu
Kolorowanie wierzchołków grafu Niech G będzie grafem prostym. Przez k-kolorowanie właściwe wierzchołków grafu G rozumiemy takie przyporządkowanie wierzchołkom grafu liczb naturalnych ze zbioru {1,...,
Bardziej szczegółowoSuma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów
Suma dwóch grafów G 1 = ((G 1 ), E(G 1 )) G 2 = ((G 2 ), E(G 2 )) (G 1 ) i (G 2 ) rozłączne Suma G 1 G 2 graf ze zbiorem wierzchołków (G 1 ) (G 2 ) i rodziną krawędzi E(G 1 ) E(G 2 ) G 1 G 2 G 1 G 2 Zespolenie
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1A/14 Literatura obowiązkowa [1] K.A.Ross, Ch.R.B.Wright: Matematyka Dyskretna. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996 [2] R.L.Graham,
Bardziej szczegółowoZad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 (12p.)Niech n 3k > 0. Zbadać jaka jest najmniejsza możliwa liczba krawędzi w grafie, który ma dokładnie n wierzchołków oraz dokładnie k składowych, z których
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki Dyskretnej
Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Kolorowanie
Bardziej szczegółowoSKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych.
SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Rozważamy graf G = (V, E) Dwie krawędzie e, e E nazywamy niezależnymi, jeśli nie są incydentne ze wspólnym wierzchołkiem. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1B/14 Drogi w grafach Marszruta (trasa) w grafie G z wierzchołka w do wierzchołka u to skończony ciąg krawędzi w postaci. W skrócie
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczna teoria grafów
Podstawowe pojęcia i klasy grafów Wykład 1 Grafy nieskierowane Definicja Graf nieskierowany (graf) G = (V,E) jest to uporządkowana para składająca się z niepustego skończonego zbioru wierzchołków V oraz
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków
Kolorowanie wierzchołków Mając dany graf, pokolorować jego wierzchołki w taki sposób, aby każde dwa wierzchołki sąsiednie miały inny kolor. Każda krawędź łączy wierzchołki różnych kolorów. Takie pokolorowanie
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoE ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem
Niech G będzie grafem spójnym. Wierzchołek x nazywamy rozcinającym, jeśli G\{x} jest niespójny. Niech G będzie grafem spójnym. V ' V G nazywamy zbiorem rozcinającym jeśli G\V' jest niespójny Niech G będzie
Bardziej szczegółowoDigraf. 13 maja 2017
Digraf 13 maja 2017 Graf skierowany, digraf, digraf prosty Definicja 1 Digraf prosty G to (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, E jest rodziną zorientowanych krawędzi, między różnymi wierzchołkami,
Bardziej szczegółowoDrzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew
Drzewa Las - graf, który nie zawiera cykli Drzewo - las spójny Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Niech T graf o n wierzchołkach będący
Bardziej szczegółowoZnajdowanie skojarzeń na maszynie równoległej
11 grudnia 2008 Spis treści 1 Skojarzenia w różnych klasach grafów Drzewa Grafy gęste Grafy regularne dwudzielne Claw-free graphs 2 Drzewa Skojarzenia w drzewach Fakt Wybierajac krawędź do skojarzenia
Bardziej szczegółowoCzy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?
DROGI i CYKLE EULERA w grafach Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? Czy można narysować podaną figurę nie odrywając ołówka od papieru
Bardziej szczegółowo6. Wstępne pojęcia teorii grafów
6. Wstępne pojęcia teorii grafów Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Wstępne pojęcia teorii grafów zima 2016/2017
Bardziej szczegółowo(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x
2. Wykład 2: algebry Boole a, kraty i drzewa. 2.1. Algebra Boole a. 1 Ważnym dla nas przykładem algebr są algebry Boole a, czyli algebry B = (B,,,, 0, 1) typu (2, 2, 1, 0, 0) spełniające własności: (1)
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 03/0 Przeszukiwanie w głąb i wszerz I Przeszukiwanie metodą
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca
Bardziej szczegółowoSpis treści Podstawowe definicje Wielomian charakterystyczny grafu Grafy silnie regularne
Spis treści 1 Podstawowe definicje 4 1.1 Grafy................................ 4 1.2 Przykłady grafów......................... 12 1.2.1 Grafy puste i pełne.................... 12 1.2.2 Grafy dwudzielne.....................
Bardziej szczegółowoZadania z ćwiczeń #18 (pon. 7 maja) Matematyka Dyskretna
Zadania z ćwiczeń #18 (pon. 7 maja) Matematyka Dyskretna Q1.: Mamy dany zbiór artykułów, z których każdy ma co najmniej k z n możliwych tagów. Chcemy bardzo z grubsza pokategoryzować artykuły w jak najmniejszą
Bardziej szczegółowoSortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych
Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Metody boolowskie w informatyce Robert Sulkowski http://robert.brainusers.net 23 stycznia 2010 1 Definicja 1 (Cykl skierowany). Niech C = (V, A)
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczna teoria grafów
Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)
Bardziej szczegółowoOpracowanie prof. J. Domsta 1
Opracowanie prof. J. Domsta 1 Algorytm FLEURY'ego: Twierdzenie 6.5 G-graf eulerowski. Wtedy cykl Eulera otrzymujemy nastepująco: a) Start w dowolnym wierzchołku b) Krawędzie w dowolnej kolejności po przebyciu
Bardziej szczegółowoGrafy. Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie:
Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie: V jest zbiorem wierzchołków, ( czasami zwanymi węzłami lub punktami grafu) E jest rodziną ( być może powtarzających się) krawędzi, czyli jedno- i dwu- elementowych
Bardziej szczegółowoReprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów
Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69
Bardziej szczegółowoGrafy (3): drzewa. Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków. UTP Bydgoszcz
Grafy (3): drzewa Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków UTP Bydgoszcz 13 (Wykłady z matematyki dyskretnej) Grafy (3): drzewa 13 1 / 107 Drzewo Definicja. Drzewo to graf acykliczny
Bardziej szczegółowoKURS MATEMATYKA DYSKRETNA
KURS MATEMATYKA DYSKRETNA LEKCJA 28 Grafy hamiltonowskie Odpowiedzi do zadania domowego www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST 1) b 2) a 3) b 4) d 5) c 6) d 7) b 8) b 9) d 10) a Zad. 1 ODPOWIEDZI
Bardziej szczegółowoAlgebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach
Bardziej szczegółowoIlustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna
Grafy płaskie G=(V,E) nazywamy grafem płaskim, gdy V jest skończonym podzbiorem punktów płaszczyzny euklidesowej, a E to zbiór krzywych Jordana (łamanych) o końcach w V i takich, że: 1) rożne krzywe mają
Bardziej szczegółowo6d. Grafy dwudzielne i kolorowania
6d. Grafy dwudzielne i kolorowania Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w6d. Krakowie) Grafy dwudzielne i kolorowania zima
Bardziej szczegółowoWykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree)
Wykład 8 Drzewo rozpinające (minimum spanning tree) 1 Minimalne drzewo rozpinające - przegląd Definicja problemu Własności minimalnych drzew rozpinających Algorytm Kruskala Algorytm Prima Literatura Cormen,
Bardziej szczegółowoGrafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane:
Wykład 4 grafy Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, E zbiór krawędzi, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane: Formalnie, w grafach skierowanych E jest podzbiorem
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2
1 MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2 GRUPA A RACHUNKI+KRÓTKIE WYJAŚNIENIA! NA TEJ KARTCE! KAŻDA DODATKOWA KARTKA TO MINUS 1 PUNKT! Imię i nazwisko...... Nr indeksu... 1. (3p.) Znajdź drzewo o kodzie Prufera
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 15/15 Twierdzenie Dla grafu prostego następujące warunki są równoważne: 1) jest drzewem, 2) nie zawiera cykli i ma krawędzi, 3)
Bardziej szczegółowoDroga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona
Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona 1 / 92 Grafy Eulera Droga i cykl Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie
Bardziej szczegółowoWykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona
Wykład 4. i Hamiltona Wykład 4. i Hamiltona 1 / 35 Grafy Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie grafu, to taką
Bardziej szczegółowo10. Kolorowanie wierzchołków grafu
p. 10. Kolorowanie wierzchołków grafu 10.1 Definicje i twierdzenia Przez k-kolorowanie wierzchołków grafu G rozumiemy przyporzadkowanie każdemu wierzchołkowi grafu G jednego z k kolorów 1, 2,...,k. p.
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Algorytmy grafowe: podstawowe pojęcia, reprezentacja grafów, metody przeszukiwania, minimalne drzewa rozpinające, problemy
Bardziej szczegółowoWprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka
Grafy planarne Przemysław Gordinowicz Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka Grafy i ich zastosowania Wykład 12 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Podstawy 3 Fundamentalne twierdzenie 4 Kolorowanie grafów
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
Bardziej szczegółowoŚcieżki w grafach. Grafy acykliczne i spójne
TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL II Ścieżki w grafach. Grafy acykliczne i spójne Ścieżka lub droga w grafie [digrafie] G nazywamy dowolny ciag d = (a 0, k 1, a 1,..., k n, a n ), gdzie n N {0}, a i V G,
Bardziej szczegółowoGrafy dla każdego. dr Krzysztof Bryś. Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska.
Grafy dla każdego dr Krzysztof Bryś brys@mini.pw.edu.pl Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska www.mini.pw.edu.pl Warszawa, 28 marca 2015 Graf składa się z elementów pewnego zbioru
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna - 5.Grafy.
Matematyka dyskretna - 5.Grafy. W tym rozdziale zajmiemy się grafami. Są to wykresy zawierające rozmaite informacje, przedstawiające połączenia pomiędzy różnymi swoimi elementami. Algorytmy na nich oparte
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Grafy dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 1 / 20
Bardziej szczegółowoTEORIA GRAFÓW I SIECI
TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr : Grafy Berge a dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 6-83-95-0, p.5/00 Zakład Badań Operacyjnych i
Bardziej szczegółowoE: Rekonstrukcja ewolucji. Algorytmy filogenetyczne
E: Rekonstrukcja ewolucji. Algorytmy filogenetyczne Przypominajka: 152 drzewo filogenetyczne to drzewo, którego liśćmi są istniejące gatunki, a węzły wewnętrzne mają stopień większy niż jeden i reprezentują
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki Dyskretnej
Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Grafy
Bardziej szczegółowoGramatyki grafowe. Dla v V, ϕ(v) etykieta v. Klasa grafów nad Σ - G Σ.
Gramatyki grafowe Def. Nieskierowany NL-graf (etykietowane wierzchołki) jest czwórką g = (V, E, Σ, ϕ), gdzie: V niepusty zbiór wierzchołków, E V V zbiór krawędzi, Σ - skończony, niepusty alfabet etykiet
Bardziej szczegółowoZłożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych
Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Oznaczenia: G graf, V liczba wierzchołków, E liczba krawędzi 1. Spójność grafu Graf jest spójny jeżeli istnieje ścieżka łącząca każdą parę jego wierzchołków.
Bardziej szczegółowoGrafy i Zastosowania. 5: Drzewa Rozpinające. c Marcin Sydow. Drzewa rozpinające. Cykle i rozcięcia fundamentalne. Zastosowania
Grafy i Grafy i 5: Rozpinające Spis zagadnień Grafy i i lasy cykle fundamentalne i własności cykli i rozcięć przestrzenie cykli i rozcięć* : zastosowanie w sieciach elektrycznych minimalne * algorytm Kruskala*
Bardziej szczegółowoElementy teorii grafów Elementy teorii grafów
Spis tresci 1 Spis tresci 1 Często w zagadnieniach praktycznych rozważa się pewien zbiór obiektów wraz z zależnościami jakie łączą te obiekty. Dla przykładu można badać pewną grupę ludzi oraz strukturę
Bardziej szczegółowoG. Wybrane elementy teorii grafów
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów Grafy są stosowane współcześnie w różnych działach nauki i techniki. Za pomocą grafów znakomicie
Bardziej szczegółowoZnajdowanie maksymalnych skojarzeń przy pomocy eliminacji Gaussa
Znajdowanie maksymalnych skojarzeń przy pomocy eliminacji Gaussa Marcin Mucha, Piotr Sankowski Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski - p. 1/55 Definicja problemu Skojarzeniem w grafie G = (V, E)
Bardziej szczegółowoWojciech Guzicki. Gdynia, 23 września 2016 r.
1 O KRÓTKICH CYKLACH W GRAFACH Wojciech Guzicki W. Guzicki: O krótkich cyklach w grafach 2 5zadań Zadanie 1.(XXXVII OM, zawody III stopnia, zadanie 5) W turnieju szachowym uczestniczy 2n zawodników(zakładamy,
Bardziej szczegółowoKernelizacja ćwiczenia 1
Kernelizacja ćwiczenia 1 kernelizacja na palcach, lemat o słoneczniku Zadanie 1. W problemie Max-SAT, mając daną formułę CNF-SAT i liczbę k pytamy, czy istnieje wartościowanie tej formuły spełniające co
Bardziej szczegółowoNiektóre własności 1-diagnozowalnych struktur typu PMC
BIULETYN INSTYTUTU AUTOMATYKI I ROBOTYKI NR 18, 2003 Niektóre własności 1-diagnozowalnych struktur typu PMC Roman KULESZA Zakład Automatyki, Instytut Teleinformatyki i Automatyki WAT, ul. Kaliskiego 2,
Bardziej szczegółowoTeoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska
Teoria grafów dla małolatów Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Wstęp Matematyka to wiele różnych dyscyplin Bowiem świat jest bardzo skomplikowany wymaga rozważenia
Bardziej szczegółowo0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A
WYKŁAD 5() ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań Matematyka zbudowana jest z pierwotnych twierdzeń (nazywamy
Bardziej szczegółowoEgzaminy i inne zadania. Semestr II.
Egzaminy i inne zadania. Semestr II. Poniższe zadania są wyborem zadań ze Wstępu do Informatyki z egzaminów jakie przeprowadziłem w ciągu ostatnich lat. Ponadto dołączyłem szereg zadań, które pojawiały
Bardziej szczegółowoSiedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych
Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych Łukasz Kowalik kowalik@mimuw.edu.pl Instytut Informatyki Uniwersytet Warszawski Łukasz Kowalik, Siedem cudów informatyki p. 1/25 Problem 1: mnożenie
Bardziej szczegółowoKombinowanie o nieskończoności. 2. Wyspy, mosty, mapy i kredki materiały do ćwiczeń
Kombinowanie o nieskończoności. 2. Wyspy, mosty, mapy i kredki materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 15 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja
Bardziej szczegółowoAlgorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II
Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.sphere.pl/ kuszner/ kuszner@sphere.pl Oficjalna strona wykładu http://www.sphere.pl/ kuszner/arir/ 2005/06
Bardziej szczegółowoRozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz:
Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy jego obraz: f(a) = {f(x); x A} = {y Y : x A f(x) = y}. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: f 1 (B) = {x X; f(x) B}. 1 Zadanie.
Bardziej szczegółowoLI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)
LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna - 6.Grafy
Matematyka dyskretna - 6.Grafy W tym rozdziale zajmiemy się grafami. Są to wykresy zawierające rozmaite informacje, przedstawiające połączenia pomiędzy różnymi swoimi elementami. Algorytmy na nich oparte
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. 2 Łańcuchem Markowa nazywamy proces będący ciągiem zmiennych
Bardziej szczegółowoRachunek podziałów i elementy teorii grafów będą stosowane w procedurach redukcji argumentów i dekompozycji funkcji boolowskich.
Pojęcia podstawowe c.d. Rachunek podziałów Elementy teorii grafów Klasy zgodności Rachunek podziałów i elementy teorii grafów będą stosowane w procedurach redukcji argumentów i dekompozycji funkcji boolowskich.
Bardziej szczegółowoRodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Bardziej szczegółowoMarek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1
Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów W matematyce teorię grafów klasyfikuje się jako gałąź topologii. Jest ona jednak ściśle związana z algebrą i
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 15/15 TWIERDZENIE HALLA Twierdzenie o kojarzeniu małżeństw rozważa dwie grupy dziewcząt i chłopców, oraz podgrupy dziewczyn i podgrupy
Bardziej szczegółowoLista 4. Kamil Matuszewski 22 marca 2016
Lista 4 Kamil Matuszewski 22 marca 2016 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Zadanie 2 Ułóż algorytm który dla danego n-wierzchołkowego drzewa i liczby k pokoloruje jak najwięcej wierzchołków tak, by na każdej ścieżce
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowo- Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S.
1 Zbiór potęgowy - Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S. - Dowolny podzbiór R zbioru 2 S nazywa się rodziną zbiorów względem S. - Jeśli S jest n-elementowym zbiorem,
Bardziej szczegółowoTEORIA GRAFÓW I SIECI
TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy, drogi w grafach dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 261-83-95-04, p.225/100
Bardziej szczegółowoTeoria grafów. Magdalena Lemańska
Teoria grafów Magdalena Lemańska Literatura Aspekty kombinatoryki Victor Bryant Graph Theory V.K. Balakrishnan Fundamentals of domination in graphs T. Haynes, S. Hedetniemi, P. Slater Wstęp Graf Grafem
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy programowania liniowego
Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i
Bardziej szczegółowoZofia Kruczkiewicz, Algorytmu i struktury danych, Wykład 14, 1
Wykład Algorytmy grafowe metoda zachłanna. Właściwości algorytmu zachłannego:. W przeciwieństwie do metody programowania dynamicznego nie występuje etap dzielenia na mniejsze realizacje z wykorzystaniem
Bardziej szczegółowoAlgebry skończonego typu i formy kwadratowe
Algebry skończonego typu i formy kwadratowe na podstawie referatu Justyny Kosakowskiej 26 kwietnia oraz 10 i 17 maja 2001 Referat został opracowany w oparciu o prace Klausa Bongartza Criterion for finite
Bardziej szczegółowoa) 7 b) 19 c) 21 d) 34
Zadanie 1. Pytania testowe dotyczące podstawowych własności grafów. Zadanie 2. Przy każdym z zadań może się pojawić polecenie krótkiej charakterystyki algorytmu. Zadanie 3. W zadanym grafie sprawdzenie
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoMinimalne drzewa rozpinające
KNM UŚ 26-28 listopada 2010 Ostrzeżenie Wprowadzenie Motywacja Definicje Niektóre pojęcia pojawiające się podczas tego referatu są naszymi autorskimi tłumaczeniami z języka angielskiego. Nie udało nam
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania. Drzewa. Piotr Chrząstowski-Wachtel
Wstęp do programowania Drzewa Piotr Chrząstowski-Wachtel Drzewa Drzewa definiują matematycy, jako spójne nieskierowane grafy bez cykli. Równoważne określenia: Spójne grafy o n wierzchołkach i n-1 krawędziach
Bardziej szczegółowo