METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych

Transkrypt

1 METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład - Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych

2 Parametry zmiennej losowej EX wartość oczekiwana D X wariancja DX odchylenie standardowe inne, np. kwantyle, mediana, wartość modalna itd.

3 Wartość oczekiwana EX i i f p i dla zm.losowej skokowej ( ) d dla zm.losowej ciaglej Wartość oczekiwana EX wyznacza położenie najbardziej prawdopodobnej wartości zmiennej losowej

4 Wartość oczekiwana,,6,6,,6, i i i p EX,6 ) (, ) (, 5 ) ( ) ( 5 5 d d f EX,,8,,,,6

5 ,5 7,5,95,5,95 }, {9,6 {,7} },5 {,65 )}, (, ) 5,6 {(,8,9} {,6 )},5 (,5,5) {(,5 )},5 (, ) 8,5 8 {(, }, {, )} ) (,5 ) ( (,5 ),5 {(,5,5,,,5 [,5 ),5 (, ) (, ),5 (,5 ) ( 8 8 d d d d f EX Wartość oczekiwana,5,,5,,5-6 8 f()

6 Wariancja D X ( i EX ) pi i i ( EX ) f ( ) d i p i - EX f ( ) d EX dla skokowej dla ciaglej Wariancja jest miarą rozrzutu wartości zmiennej losowej wokół wartości oczekiwanej

7 Wariancja,5,,8,6,,,6, EX p X D i i i,,6 ) ( ) (,,6,,6 6 5,6 ) ( ) ( d EX d f EX,,8,,,,6

8 ,67 6,6 6,67 6,6 9,5,5 8} 79, {,8} {.8 },5 {,5,5,)} 5,6 ( 5,),8 {(,8},8 {,5)},5 ( 8),5 {(,5,5 )},5 (, ) 8,5 8 {(, }, {, )} ) (,5 ) ( (,5 ),5 {(,5,5,5,,,5 [,5,5 ),5 (, ) (, ),5 (,5 ) ( 8 8 d d d EX d f X D Wariancja,5,,5,,5-6 8 f()

9 Odchylenie standardowe DX D X Wskaźnik zmienności,6,6,,5 f(),,5,,5-6 8 VX DX EX EX,,6,5 D X,5,,67 DX,78,,88 VX,668,,58

10 Kwantyle Kwantylem rzędu q zmiennej losowej X jest taka liczba q, że P( X ) q czyli F( ) q q Kwantyl rzędu / nazywamy medianą (Me), lub inaczej wartością środkową (ED 5 - dosis effectiva - mediana dawek efektywnych, LD 5 - dosis lethal - mediana dawek śmiertelnych - w medycynie czy przy truciznach). Kwantyle k / dla k=,, to kwartyle Kwantyle k / dla k=,...9 to decyle Kwantyle k / dla k=,...99 to centyle q

11 Kwantyle,5,,5,,5-6 8 f() F(=,5 )=,5 8 dla 8 dla dla - dla - dla F,6,5,,,,5,5,5 ) (,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,5),5) /(,5 (,5,5,5,5) (,5,5,5

12 Wartość środkowa - mediana Mediana (Me) to kwantyl rzędu,5 P( X czyli F(,5,5 ) ),5,5 Jeżeli EX = Me symetryczny to rozkład zmiennej losowej jest

13 Wartość modalna Wartość modalna (Mo) to taka wartość zmiennej losowej X dla której funkcja gęstości przyjmuje maksimum lokalne. Rozkład może być jedno i wielomodalny

14 Współczynnik asymetrii Współczynnik asymetrii (skośności) rozkładu zmiennej losowej X : ( i EX ) pi / D X dla skokowej i ( EX ) f ( ) d / D X dla ciaglej Dla rozkładów jednomodalnych: EX Mo DX Gdy = to rozkład symetryczny

15 Przykład W klatce znajdują się cztery białe myszy i dwie szare. Myszy przechodzą tunelem do innej klatki, przy czym zakładamy, że wchodzą do tunelu niezależnie. Wartością zmiennej losowej jest numer pierwszej szarej myszy przechodzącej tunelem. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej. Obliczyć EX, DX zmiennej losowej 5 5 /5 /5 /5 /5 /5 D 5 EX X

16 Przykład Dla jakiej wartości parametru A dana funkcja może być funkcją gęstości zmiennej losowej X. Obliczyć EX, DX f A ( ) dla dla pozostalych A ) ( d d d f EX ) ( 5 d d X E d f X D

17 Wybrane rozkłady

18 Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość z prawdopodobieństwem p i wartość z prawdopodobieństwem - p i p i -p p suma

19 Rozkład dwupunktowy Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa p dla f ( ) oraz p p dla

20 Rozkład dwupunktowy Dystrybuanta F( ) p dla dla dla

21 Rozkład dwupunktowy Parametry EX = p D X = p(-p)

22 Rozkład dwupunktowy Przykładem cechy opisywanej przy pomocy rozkładu dwupunktowego może być: stan zdrowia (zdrowy i chory), płeć (samiec czy samica), przeżywalność (żyje lub nie żyje), rogatość (rogaty czy bezrożny) i wiele innych. Przykładem może być również para alleli w locus, przy założeniu istnienia tylko dwóch alleli

23 Rozkład dwumianowy (Bernoulli ego) Wykonujemy n niezależnych doświadczeń w nie zmienionym schemacie. W każdym z doświadczeń może pojawić się sukces ( ) z prawdopodobieństwem p albo porażka ( ) z prawdopodobieństwem -p. Wartościami zmiennej losowej jest liczba sukcesów k =,,...,n uzyskanych w takiej serii doświadczeń. Rozkład dwumianowy jest zatem sumą n zmiennych zerojedynkowych.

24 Rozkład dwumianowy (Bernoulli ego) Prawdopodobieństwo każdej wartości zmiennej losowej obliczamy posługując się wzorem: n k n k Pn p( X k), p ( p) gdy p oraz k k,... n

25 Trójkąt Pascala n k

26 Rozkład dwumianowy (Bernoulli ego) Wiadomo, że wśród cieląt 7% jest odpornych na dany rodzaj infekcji. Niech zmienną losową będzie liczba odpornych spośród czterech cieląt. P( X P( X ) (,7) ) (,7) (,) (,),8,8,7,7,756 P( X P( X ) (,7) ) (,7) (,) (,) 6,9,9,66,,,6 P( X ) (,7) (,),,

27 Rozkład dwumianowy (Bernoulli ego),5,,5,,5,,5,,5

28 Rozkład dwumianowy (Bernoulli ego),7599,8,87,8 ) ( dla dla dla dla dla dla F

29 Rozkład dwumianowy (Bernoulli ego) Parametry zmiennej o tym rozkładzie EX n p D X n p ( p) EX,7,8 D X,7 (,7),8

30 Rozkład dwumianowy (Bernoulli ego) p=,5 n=7,,5 i p i,785,56875,665,775,775 5,665 6, ,785,,5,, Rozkład jest symetryczny

31 Rozkład geometryczny Rozkład geometryczny wynik ciągu niezależnych doświadczeń, które powtarzane są tak długo, aż pojawi się sukces z prawdopodobieństwem p. Seria składa się zatem z (k + ) doświadczeń, w tym k - porażek i jednego sukcesu. Wartością zmiennej losowej jest liczba doświadczeń poprzedzających sukces, (tzn. czas oczekiwania na sukces). Zmienna losowa ma nieskończenie wiele wartości. P p k ( k) ( p) p oraz p k,,...

32 Rozkład geometryczny Załóżmy, że każdorazowe szczepienie powoduje odporność u 6% zwierząt, a efekty kolejnych szczepień są niezależne. Ile razy powinno się szczepić cielęta, aby uzyskać co najmniej 95% odpornych zwierząt? F() (-; ) ; ),6 ; ),8 ; ),96 ; ),97 ; 5), ; 6), i P(X= i ),6,,96,8,56 5,

33 Rozkład Poisson a Rozkład Poisson a jest rozkładem granicznym dla ciągu zmiennych losowych mających rozkład dwumianowy. Wraz ze wzrostem długości serii (n) maleje prawdopodobieństwo sukcesu (p), tak, że np = const. np tzn. lim P ( k) P ( k) P ( k) k e k! n Dla rozkładu granicznego seria niezależnych doświadczeń musi być długa (minimum ), a prawdopodobieństwo sukcesu niewielkie. Parametrem rozkładu Poisson a jest = np, iloczyn długości serii (n) i prawdopodobieństwa sukcesu (p). Wartościami zmiennej, tak jak w rozkładzie Bernoulli ego, jest liczba sukcesów k =,,,... Zbiór wartości jest nieskończony i przeliczalny. Prawdopodobieństwo oblicza się ze wzoru: n, p

34 Rozkład Poisson a Przykładem zjawisk, które można opisywać rozkładem Poisson a jest liczba wypadków w jednostce czasu, liczba bakterii w danej objętości, liczba zachorowań na rzadkie choroby, czy liczba awarii jakiegoś urządzenia w danym przedziale czasu. Jedynym parametrem rozkładu Poisson a jest. Jest ona zarówno wartością oczekiwaną jak i wariancją zmiennej losowej: EX D X

35 Rozkład Poisson a PRZYKŁAD Wiadomo, że prawdopodobieństwo pojawienia się genetycznej wady włosa w okrywie lisów jest równe,. Właściciel fermy złożonej z 8 lisów chce uzyskać informację jakie jest prawdopodobieństwo, że na jego fermie znajdzie co najmniej trzy lisy z wadą. długość serii n=8, prawdopodobieństwa pojawiania się wady p =, Zatem = 8, =, P( X ) P( X ) ( P( X ) P( X ) P( X )) (,76,9,87),799,697 P( X ) k e k!,! e,,76

36 Rozkład Poisson a = i pi,558,76757,76757,87,95 5,689 6,98 7,79 8,8597 9,995,89,69,6,8,

37 Rozkład Poisson a,,,,,,,

38 Rozkład Poisson a

39 Przykład Średnia liczba bakterii w kropli substancji jest równa,5. Z ilu kropli należy utworzyć próbkę substancji, aby z prawdopodobieństwem,95 znalazła się w niej co najmniej jedna bakteria? Rozkład liczby bakterii w kropli wody jest rozkładem Poisson a o =,5, w dwóch kroplach wody liczba bakterii będzie miała rozkład o =, itd. Trzeba obliczyć liczbę kropli, aby P(X>) było równe 95%. P(X>) = - P(X=) Skoro P(X>) =,95 to (PX=) = P(X>) =,95 =,5 L. kropli ,5,,5,,5,,5,,5 5, P(X=),665,679,,5,8,98,,8,,67

40 Rozkład jednostajny Zmienna losowa, która przyjmuje dowolną wartość z przedziału (a ; b) z jednakowym prawdopodobieństwem f ( ) b a dla dla ( a; b) ( a; b)

41 Rozkład jednostajny Dystrybuanta F( ) b a a dla dla dla a ( a; b) b)

42 Rozkład jednostajny Parametry EX a b ( ) D X ( b a)

43 Rozkład normalny Rozkład normalny z wielu względów jest najważniejszym rozkładem zmiennej losowej ciągłej. Cechy bezpośrednio mierzone, takie jak masy, wysokości, długości, powierzchnie, objętości, wydajności mają rozkład normalny. Błędy losowe mają rozkład normalny. Ponadto wiele rozkładów dąży do rozkładu normalnego w określonych warunkach, czyli rozkład ten jest graniczny dla wielu innych rozkładów.

44 Rozkład normalny Funkcja gęstości rozkładu normalnego określona dla wszystkich liczb rzeczywistych f ( m) ( ) e Dwa parametry rozkładu normalnego: EX m D X DX

45 Rozkład normalny Funkcja gęstości rozkładu normalnego określona dla wszystkich liczb rzeczywistych f ( m) ( ) e Dwa parametry rozkładu normalnego: EX m D X DX

46 Rozkład normalny różne m,

47 Różne wartości odchylenia standardowego,5,

48 Rozkład normalny każdy rozkład jest jednoznacznie określony przez swoje dwa parametry: wartość oczekiwaną m i odchylenie standardowe, co zapisujemy: X~N(m ; ), jest symetryczny względem prostej =m, funkcja gęstości osiąga maksimum dla EX, stąd wartość oczekiwana, modalna i mediana są sobie równe jest określony dla liczb rzeczywistych prawdopodobieństwo występowania wartości zmiennej losowej w przedziałach liczbowych o końcach wyznaczonych przez parametry rozkładu (m i ) jest jednakowe dla każdej zmiennej o rozkładzie normalnym. Zasada ta nazywana jest regułą trzech sigm tzn: P( m X P( m P( m m ),686 X m ),95 X m ),997

49 Rozkład normalny reguła trzech sigm 99,7% 95,% 68,6% P( m P( m P( m X m ),686 X m ),95 X m ),997 Podobnie wartość dystrybuanty dla wartości zmiennej losowej wyznaczonej przez parametry jej rozkładu jest jednakowa dla każdej zmiennej o rozkładzie normalnym, tzn: Jeżeli X ~N(m ; ) oraz X ~N(m ; ) to F(X = m + k ) = F(X = m + k ).

50 Standaryzacja Przekształcenie zwane standaryzacją, jest liniowym przekształceniem, w wyniku którego uzyskujemy zmienną losową o wartości oczekiwanej równej zero i odchyleniu standardowym równym jeden. Jeśli zmienna X~N(m;) to zmienna U zdefiniowana jako ma rozkład normalny o parametrach i, czyli zmienna U~N( ; ). U X m

51 Standaryzacja i p i,5,5,5,,,8 D X 9,88 5,5,5 6,5 7,5,5 7,5 DX,8,5,5 5 EX,5 9,65 u i p i -,99,5 -,79,7 -,78, -,56,9 D X,75,5,8,768,8,5,89,995 DX,769,5,659,699 EX

52 Przykład Obliczyć P(7<X<6) wiedząc, że zmienna X~N( ; ). dla zm. los. ciągłej P(7<X<6) = F(X=6) - F(X=7) 6 F( X 6) F( U ) F( U,5),9 7 F( X 7) F( U ) F( U,75) F( U,75),77,66 P( 7 X 6) F( X 6) F( X 7),9,66,766

53 Przykład Wzrost mężczyzn podlega rozkładowi normalnemu o średniej 8 cm, przy czym,5% mężczyzn jest niższych niż 7, cm. Jaki procent mężczyzn jest wyższy niż 85 cm? P( X 7,) F( X 7,),5 7, 8 F( X 7,) F( U ) 9,8 z tablic U,96 5, P( X 85) F( X 85) FU F( U ),8,587 5

54 Dystrybuanta rozkładu normalnego

55 Gyps fulvus