PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH
|
|
|
- Julian Bednarski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH
2 Szkic wykładu 1 Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona 2
3 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej W teorii rachunku prawdopodobieństwa najczęściej rozpatrywanymi rozkładami zmiennej losowej skokowej sa:
4 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej W teorii rachunku prawdopodobieństwa najczęściej rozpatrywanymi rozkładami zmiennej losowej skokowej sa: rozkład dwupunktowy,
5 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej W teorii rachunku prawdopodobieństwa najczęściej rozpatrywanymi rozkładami zmiennej losowej skokowej sa: rozkład dwupunktowy, rozkład dwumianowy,
6 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej W teorii rachunku prawdopodobieństwa najczęściej rozpatrywanymi rozkładami zmiennej losowej skokowej sa: rozkład dwupunktowy, rozkład dwumianowy, rozkład Poissona.
7 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Mówimy, że zmienne losowa X ma rozkład dwupunktowy, jeśli może przyjmować jedynie dwie wartości, oznaczone dalej umownie jako x 1 oraz x 2, z prawdopodobieństwami odpowiednio: przy czym p + q = 1. P(X = x 1 ) = p, P(X = x 2 ) = q,
8 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Mówimy, że zmienne losowa X ma rozkład dwupunktowy, jeśli może przyjmować jedynie dwie wartości, oznaczone dalej umownie jako x 1 oraz x 2, z prawdopodobieństwami odpowiednio: przy czym p + q = 1. P(X = x 1 ) = p, P(X = x 2 ) = q, W przypadku szczególnym, gdy x 1 = 1, x 2 = 0, mówimy, że X ma rozkład zero-jedynkowy z parametrem p.
9 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Mówimy, że zmienne losowa X ma rozkład dwupunktowy, jeśli może przyjmować jedynie dwie wartości, oznaczone dalej umownie jako x 1 oraz x 2, z prawdopodobieństwami odpowiednio: przy czym p + q = 1. P(X = x 1 ) = p, P(X = x 2 ) = q, W przypadku szczególnym, gdy x 1 = 1, x 2 = 0, mówimy, że X ma rozkład zero-jedynkowy z parametrem p. Parametr p nazywamy prawdopodobieństwem sukcesu.
10 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Mówimy, że zmienne losowa X ma rozkład dwupunktowy, jeśli może przyjmować jedynie dwie wartości, oznaczone dalej umownie jako x 1 oraz x 2, z prawdopodobieństwami odpowiednio: przy czym p + q = 1. P(X = x 1 ) = p, P(X = x 2 ) = q, W przypadku szczególnym, gdy x 1 = 1, x 2 = 0, mówimy, że X ma rozkład zero-jedynkowy z parametrem p. Parametr p nazywamy prawdopodobieństwem sukcesu. Gdy X ma rozkład zero-jedynkowy, wówczas: E(X) = p, D 2 (X) = pq.
11 Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykładowy wykres funkcji prawdopodobieństwa rozkładu zero-jedynkowego Na osi odciętych zaznaczone sa dwie realizacje zmiennej zero-jedynkowej, tj. 0 i 1, natomiast pionowe odcinki reprezentuja prawdopodobieństwa wystapienia tych realizacji, tj. q = 1 p oraz p.
12 Rozkład dwumianowy Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p, jeśli jej funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wyraża się wzorem: P(X = x) = ( n x ) p x q n x, dla x = 0, 1,..., n, gdzie: n N, p (0, 1), q = 1 p, p jest tzw. prawdopodobieństwem sukcesu,
13 Rozkład dwumianowy Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p, jeśli jej funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wyraża się wzorem: P(X = x) = ( n x ) p x q n x, dla x = 0, 1,..., n, gdzie: n N, p (0, 1), q = 1 p, ( p jest tzw. prawdopodobieństwem sukcesu, n = x) x!(n x)! jest symbolem Newtona (wykrzyknik oznacza silnię).
14 Rozkład dwumianowy Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p, jeśli jej funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wyraża się wzorem: P(X = x) = ( n x ) p x q n x, dla x = 0, 1,..., n, gdzie: n N, p (0, 1), q = 1 p, ( p jest tzw. prawdopodobieństwem sukcesu, n = x) x!(n x)! jest symbolem Newtona (wykrzyknik oznacza silnię). W rozkładzie dwumianowym: E(X) = np, D 2 (X) = npq.
15 Rozkład dwumianowy Uwagi Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona W przypadku zmiennej o rozkładzie dwumianowym zakłada się, że mamy do czynienia z eksperymentem losowym polegajacym na wykonaniu ciagu tzw. doświadczeń Bernoulliego.
16 Rozkład dwumianowy Uwagi Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona W przypadku zmiennej o rozkładzie dwumianowym zakłada się, że mamy do czynienia z eksperymentem losowym polegajacym na wykonaniu ciagu tzw. doświadczeń Bernoulliego. Nazwa doświadczeń pochodzi od nazwiska trzeciego ze znanej rodziny matematyków Jakuba Bernoulliego.
17 Rozkład dwumianowy Uwagi Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona W przypadku zmiennej o rozkładzie dwumianowym zakłada się, że mamy do czynienia z eksperymentem losowym polegajacym na wykonaniu ciagu tzw. doświadczeń Bernoulliego. Nazwa doświadczeń pochodzi od nazwiska trzeciego ze znanej rodziny matematyków Jakuba Bernoulliego. Doświadczenia Bernoulliego to ciag n identycznych doświadczeń losowych, spełniajacych trzy warunki: 1. Sa dwa możliwe wyniki każdego doświadczenia, nazywane odpowiednio sukcesem i porażka.
18 Rozkład dwumianowy Uwagi Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona W przypadku zmiennej o rozkładzie dwumianowym zakłada się, że mamy do czynienia z eksperymentem losowym polegajacym na wykonaniu ciagu tzw. doświadczeń Bernoulliego. Nazwa doświadczeń pochodzi od nazwiska trzeciego ze znanej rodziny matematyków Jakuba Bernoulliego. Doświadczenia Bernoulliego to ciag n identycznych doświadczeń losowych, spełniajacych trzy warunki: 1. Sa dwa możliwe wyniki każdego doświadczenia, nazywane odpowiednio sukcesem i porażka. 2. Prawdopodobieństwo sukcesu, oznaczane symbolem p, jest w każdym doświadczeniu stałe.
19 Rozkład dwumianowy Uwagi Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona W przypadku zmiennej o rozkładzie dwumianowym zakłada się, że mamy do czynienia z eksperymentem losowym polegajacym na wykonaniu ciagu tzw. doświadczeń Bernoulliego. Nazwa doświadczeń pochodzi od nazwiska trzeciego ze znanej rodziny matematyków Jakuba Bernoulliego. Doświadczenia Bernoulliego to ciag n identycznych doświadczeń losowych, spełniajacych trzy warunki: 1. Sa dwa możliwe wyniki każdego doświadczenia, nazywane odpowiednio sukcesem i porażka. 2. Prawdopodobieństwo sukcesu, oznaczane symbolem p, jest w każdym doświadczeniu stałe. 3. Doświadczenia sa niezależne, co oznacza, że wynik jednego doświadczenia nie ma wpływu na wyniki pozostałych doświadczeń.
20 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Przykład. Przypuśćmy, że pewna fabryka produkuje pralki, wśród których 5% to pralki wadliwe.
21 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Przykład. Przypuśćmy, że pewna fabryka produkuje pralki, wśród których 5% to pralki wadliwe. Z partii produkcji wybrano losowo, ze zwracaniem 20 pralek i poddano je szczegółowej kontroli jakości.
22 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Przykład. Przypuśćmy, że pewna fabryka produkuje pralki, wśród których 5% to pralki wadliwe. Z partii produkcji wybrano losowo, ze zwracaniem 20 pralek i poddano je szczegółowej kontroli jakości. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w wybranej próbie pralek: 1. dokładnie dwie pralki sa wybrakowane,
23 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Przykład. Przypuśćmy, że pewna fabryka produkuje pralki, wśród których 5% to pralki wadliwe. Z partii produkcji wybrano losowo, ze zwracaniem 20 pralek i poddano je szczegółowej kontroli jakości. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w wybranej próbie pralek: 1. dokładnie dwie pralki sa wybrakowane, 2. co najwyżej dwie pralki maja wady,
24 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Przykład. Przypuśćmy, że pewna fabryka produkuje pralki, wśród których 5% to pralki wadliwe. Z partii produkcji wybrano losowo, ze zwracaniem 20 pralek i poddano je szczegółowej kontroli jakości. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w wybranej próbie pralek: 1. dokładnie dwie pralki sa wybrakowane, 2. co najwyżej dwie pralki maja wady, 3. żadna pralka nie jest wadliwa.
25 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Przykład. Przypuśćmy, że pewna fabryka produkuje pralki, wśród których 5% to pralki wadliwe. Z partii produkcji wybrano losowo, ze zwracaniem 20 pralek i poddano je szczegółowej kontroli jakości. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w wybranej próbie pralek: 1. dokładnie dwie pralki sa wybrakowane, 2. co najwyżej dwie pralki maja wady, 3. żadna pralka nie jest wadliwa. Jaka jest oczekiwana liczba pralek wadliwych w losowej próbie 20 pralek?
26 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Rozwiazanie. Zauważymy, że wybór pralek do kontroli jakości jest losowy i niezależny. Ponadto, prawdopodobieństwo wylosowania wadliwej pralki jest w każdym losowaniu takie samo, równe p = 0, 05, natomiast liczba losowań wynosi n = 20.
27 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Rozwiazanie. Zauważymy, że wybór pralek do kontroli jakości jest losowy i niezależny. Ponadto, prawdopodobieństwo wylosowania wadliwej pralki jest w każdym losowaniu takie samo, równe p = 0, 05, natomiast liczba losowań wynosi n = 20. Opisany eksperyment spełnia warunki doświadczeń Bernoulliego, w których sukcesem jest wylosowanie wadliwej pralki.
28 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Rozwiazanie. Zauważymy, że wybór pralek do kontroli jakości jest losowy i niezależny. Ponadto, prawdopodobieństwo wylosowania wadliwej pralki jest w każdym losowaniu takie samo, równe p = 0, 05, natomiast liczba losowań wynosi n = 20. Opisany eksperyment spełnia warunki doświadczeń Bernoulliego, w których sukcesem jest wylosowanie wadliwej pralki. Liczba wybrakowanych pralek (tj. liczba sukcesów) w próbie 20 sztuk jest zatem zmienna losowa (oznaczmy ja przez X) o rozkładzie dwumianowym z parametrami n=20, p=0, 05.
29 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Rozwiazanie c.d. Ad.1. Prawdopodobieństwo, że dokładnie dwie pralki w wylosowanej próbie 20 sztuk sa wadliwe wynosi: ( 20 P(X=2)= 2 ) (0, 05) 2 (0, 95) 18 = 20! 2!18! (0, 05)2 (0, 95) 18 0, 189.
30 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Rozwiazanie c.d. Ad.1. Prawdopodobieństwo, że dokładnie dwie pralki w wylosowanej próbie 20 sztuk sa wadliwe wynosi: ( 20 P(X=2)= 2 ) (0, 05) 2 (0, 95) 18 = 20! 2!18! (0, 05)2 (0, 95) 18 0, 189. Ad.2. Prawdopodobieństwo, że co najwyżej dwie pralki w próbie 20 sztuk sa wadliwe wynosi: P(X 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = ( ) ( 20 = (0, 05) 0 (0, 95) ( 20 2 ) (0, 05) 2 (0, 95) 18 0, 925. ) (0, 05) 1 (0, 95) 19 +
31 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Rozwiazanie c.d.
32 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Rozwiazanie c.d. Ad.3. Prawdopodobieństwo, że w próbie nie będzie wadliwych pralek, wynosi: ( ) 20 P(X = 0) = (0, 05) 0 (0, 95) 20 0,
33 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Rozwiazanie c.d. Ad.3. Prawdopodobieństwo, że w próbie nie będzie wadliwych pralek, wynosi: ( ) 20 P(X = 0) = (0, 05) 0 (0, 95) 20 0, Oczekiwana liczba wybrakowanych pralek w 20-elementowej próbie jest równa: E(X) = np = 20 0, 05 = 1. Uzyskany wynik można interpretować następujaco. Średnia liczba wadliwych pralek przypadajacych na każda 20-elementowa próbę (tj. próbę, która potencjalnie można wylosować) wynosi 1.
34 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykładowy wykres funkcji prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego Objaśnienia do wykresu analogiczne, jak w przypadku wykresu rozkładu zero-jedynkowego. Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution
35 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykładowy wykres funkcji prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego
36 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykładowy wykres funkcji prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego
37 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykładowy wykres funkcji prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego
38 Rozkład Poissona Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Mówimy, że zmienna X ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0, jeśli jej funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wyraża się wzorem: P(X = x) = λx x! e x, dla x = 0, 1, 2,....
39 Rozkład Poissona Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Mówimy, że zmienna X ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0, jeśli jej funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wyraża się wzorem: P(X = x) = λx x! e x, dla x = 0, 1, 2,.... Rozkład Poissona jest rozkładem granicznym rozkładu dwumianowego, tzn. jeśli w rozkładzie dwumianowym n i jednocześnie p 0 w taki sposób, że np = const, to prawdopodobieństwo P(X = x) można wyznaczać z powyższego wzoru, przyjmujac λ = np.
40 Rozkład Poissona Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Mówimy, że zmienna X ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0, jeśli jej funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wyraża się wzorem: P(X = x) = λx x! e x, dla x = 0, 1, 2,.... Rozkład Poissona jest rozkładem granicznym rozkładu dwumianowego, tzn. jeśli w rozkładzie dwumianowym n i jednocześnie p 0 w taki sposób, że np = const, to prawdopodobieństwo P(X = x) można wyznaczać z powyższego wzoru, przyjmujac λ = np. W rozkładzie Poissona: E(X) = λ, D 2 (X) = λ.
41 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem Poissona Wykresy funkcji prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego z parametrami n = 100, p = 0, 01 i rozkładu Poissona z parametrem λ = np = 1 Uwaga: Na wykresie przedstawiono prawdopodobieństwa dla x = 0, 1,..., 20, z pominięciem pozostałych możliwych realizacji x = 21,..., 100, ze względu na prawdopodobieństwa bliskie 0. Zauważymy, że prawdopodobieństwa wyznaczone z rozkładu Poissona w tym przypadku dobrze przybliżaja prawdopodobieństwa z rozkładu dwumianowego.
42 Do podstawowych rozkładów zmiennej losowej ciagłej zaliczamy:
43 Do podstawowych rozkładów zmiennej losowej ciagłej zaliczamy: rozkład jednostajny,
44 Do podstawowych rozkładów zmiennej losowej ciagłej zaliczamy: rozkład jednostajny, - rozkład normalny,
45 Do podstawowych rozkładów zmiennej losowej ciagłej zaliczamy: rozkład jednostajny, - rozkład normalny, - rozkład chi-kwadrat,
46 Do podstawowych rozkładów zmiennej losowej ciagłej zaliczamy: rozkład jednostajny, - rozkład normalny, - rozkład chi-kwadrat, - rozkład Studenta.
47 Mówimy, że zmiennej losowa ciagła X ma rozkład jednostajny na przedziale [a, b], jeśli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem: 1 b a, dla x [a, b], f (x) = 0, dla pozostałych x.
48 Mówimy, że zmiennej losowa ciagła X ma rozkład jednostajny na przedziale [a, b], jeśli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem: 1 b a, dla x [a, b], f (x) = 0, dla pozostałych x. W rozkładzie jednostajnym: E(X) = b a 2, D2 (X) = 1 12 (b a)2.
49 Przykładowy wykres funkcji gęstości rozkładu jednostajnego Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution
50 Mówimy, że zmienna losowa ciagła X ma rozkład normalny z parametrami µ i σ, jeśli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem: f (x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2 dla x R, gdzie: µ, σ sa dowolnymi parametrami liczbowymi, takimi że µ R i σ > 0.
51 Mówimy, że zmienna losowa ciagła X ma rozkład normalny z parametrami µ i σ, jeśli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem: f (x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2 dla x R, gdzie: µ, σ sa dowolnymi parametrami liczbowymi, takimi że µ R i σ > 0. W rozkładzie normalnym: E(X) = µ, D 2 (X) = σ 2.
52 Mówimy, że zmienna losowa ciagła X ma rozkład normalny z parametrami µ i σ, jeśli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem: f (x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2 dla x R, gdzie: µ, σ sa dowolnymi parametrami liczbowymi, takimi że µ R i σ > 0. W rozkładzie normalnym: E(X) = µ, D 2 (X) = σ 2. Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny, wówczas mówimy, że jest normalna zmienna losowa.
53 Mówimy, że zmienna losowa ciagła X ma rozkład normalny z parametrami µ i σ, jeśli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem: f (x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2 dla x R, gdzie: µ, σ sa dowolnymi parametrami liczbowymi, takimi że µ R i σ > 0. W rozkładzie normalnym: E(X) = µ, D 2 (X) = σ 2. Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny, wówczas mówimy, że jest normalna zmienna losowa. Jej rozkład oznaczamy w skrócie symbolem N(µ, σ).
54 Przykładowy wykres funkcji gęstości rozkładu normalnego Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution
55 Przykładowy wykres funkcji gęstości rozkładu normalnego Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution
56 Przykładowe wykresy funkcji gęstości rozkładu normalnego Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution
57 Przykładowe wykresy funkcji gęstości rozkładu normalnego Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution
58 Własności funkcji gęstości rozkładu normalnego Funkcja gęstości przyjmuje zawsze wartości nieujemne, a całkowite pole pod krzywa gęstości jest równe 1 (sa to własności funkcji gęstości dowolnej zmiennej ciagłej).
59 Własności funkcji gęstości rozkładu normalnego Funkcja gęstości przyjmuje zawsze wartości nieujemne, a całkowite pole pod krzywa gęstości jest równe 1 (sa to własności funkcji gęstości dowolnej zmiennej ciagłej). Wartość E(X) = µ określa wartość przeciętna zmiennej X.
60 Własności funkcji gęstości rozkładu normalnego Funkcja gęstości przyjmuje zawsze wartości nieujemne, a całkowite pole pod krzywa gęstości jest równe 1 (sa to własności funkcji gęstości dowolnej zmiennej ciagłej). Wartość E(X) = µ określa wartość przeciętna zmiennej X. Krzywa gęstości normalnej zmiennej losowej X jest symetryczna względem prostej prostopadłej przechodza- cej przez punkt x = µ. Z tego wynika, że pola pod krzywa gęstości na lewo i na prawo od punktu µ sa równe 1 2.
61 Własności funkcji gęstości rozkładu normalnego Funkcja gęstości przyjmuje zawsze wartości nieujemne, a całkowite pole pod krzywa gęstości jest równe 1 (sa to własności funkcji gęstości dowolnej zmiennej ciagłej). Wartość E(X) = µ określa wartość przeciętna zmiennej X. Krzywa gęstości normalnej zmiennej losowej X jest symetryczna względem prostej prostopadłej przechodza- cej przez punkt x = µ. Z tego wynika, że pola pod krzywa gęstości na lewo i na prawo od punktu µ sa równe 1 2. Interpretację ostatniej własności oprzemy na przykładzie. Załóżmy, że iloraz inteligencji w populacji dorosłej części ludzkości ma rozkład zbliżony do normalnego ze średnia µ = 100. Z tego wynika, że połowa ludzkości jest madrzej- sza od osoby przeciętnie madrej (czego nie można powiedzieć o drugiej połowie).
62 przykład Załóżmy, że na koniec każdego miesiaca obserwujemy stopę zwrotu z akcji XYZ. Na podstawie 12 danych zebranych w ciagu roku rysujemy histogram rozkładu. Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution
63 c.d. przykładu Ten sam histogram z licznościami względnymi na osi rzędnych. Krzywa reprezentuje tu funkcję gęstości rozkładu normalnego z wartościami parametrów µ i σ równymi odpowiednio średniej i odchyleniu standardowemu stóp zwrotu w badanym zbiorze. Dopasowanie krzywej rozkładu normalnego jest bardzo słabe. Copyright Giorgio Agnieszka Krenkel and Alex Sandri, Rossa GNU Free Documentation PODSTAWOWE License, Low Resolution ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH
64 c.d. przykładu Gdyby obserwację stóp zwrotu prowadzić np. w połowie każdego miesiaca, wówczas zebrane wyniki byłyby inne. Poniżej przykładowy histogram. Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution
65 c.d. przykładu Ten sam histogram z licznościami względnymi na osi rzędnych. Dopasowanie krzywej rozkładu normalnego nadal słabe. Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution
66 Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej c.d. przykładu Przypuśćmy teraz, że obserwacji stóp zwrotu dokonujemy z większa częstotliwościa, np. w wybranym dniu każdego tygodnia. Otrzymamy większa liczbę danych. Poniżej przykładowy histogram dla kilkudziesięciu obserwacji.
67 c.d. przykładu Ten sam histogram z licznościami względnymi na osi rzędnych. Dopasowanie krzywej rozkładu normalnego nieco lepsze. Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution
68 c.d. przykładu Jeśli obserwację przeprowadzać będziemy w innym dniu tygodnia, wówczas uzyskamy inny zbiór danych. Poniżej przykładowy histogram. Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution
69 c.d. przykładu Ten sam histogram z licznościami względnymi na osi rzędnych oraz krzywa gęstości rozkładu normalnego. Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution
70 c.d. przykładu Prowadzac obserwację z bardzo duża częstotliwościa, np. kilka razy dziennie przez cały rok, zbierzemy kilkaset lub nawet kila tysięcy wyników obserwacji. Poniżej ich przykładowy histogram. Copyright Giorgio Krenkel Agnieszka and Alex Sandri, Rossa GNU Free Documentation PODSTAWOWE License, Low Resolution ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH
71 c.d. przykładu Ten sam histogram z licznościami względnymi na osi rzędnych. W tym przypadku dopasowanie krzywej gęstości rozkładu normalnego jest wyraźne. Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution
72 Wnioski z przykładu Jeśli rozkład liczebności względnych jest dobrze reprezentowany przez funkcję gęstości rozkładu normalnego, wówczas mówimy, że cecha ma rozkład normalny (lub zbliżony do normalnego).
73 Wnioski z przykładu Jeśli rozkład liczebności względnych jest dobrze reprezentowany przez funkcję gęstości rozkładu normalnego, wówczas mówimy, że cecha ma rozkład normalny (lub zbliżony do normalnego). Krzywa gęstości aproksymuje rozkład częstości względnych cechy normalnej w przypadku, gdy wartości tej cechy rejestrujemy z duża częstotliwościa (jak w przedstawionym przykładzie) lub w dużej zbiorowości jednostek.
74 Wnioski z przykładu Jeśli rozkład liczebności względnych jest dobrze reprezentowany przez funkcję gęstości rozkładu normalnego, wówczas mówimy, że cecha ma rozkład normalny (lub zbliżony do normalnego). Krzywa gęstości aproksymuje rozkład częstości względnych cechy normalnej w przypadku, gdy wartości tej cechy rejestrujemy z duża częstotliwościa (jak w przedstawionym przykładzie) lub w dużej zbiorowości jednostek. Nie każda cecha ciagła ma rozkład normalny. Istnieja także inne możliwe rozkłady zmiennych ciagłych zob. następny slajd.
75 Przykład innego rozkładu Krzywa gęstości rozkładu z prawostronna asymetria Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution
76 standaryzowany z parametrami µ = 0, σ = 1 nazywamy rozkładem normalnym standaryzowanym (lub zamiennie standardowym) i oznaczamy w skrócie N(0, 1).
77 standaryzowany z parametrami µ = 0, σ = 1 nazywamy rozkładem normalnym standaryzowanym (lub zamiennie standardowym) i oznaczamy w skrócie N(0, 1). Zmienna o takim rozkładzie oznaczać będziemy dalej (dla odróżnienia) przez U, natomiast funkcję gęstości i dystrybuantę tej zmiennej symbolami odpowiednio φ(x) i Φ(x).
78 standaryzowany z parametrami µ = 0, σ = 1 nazywamy rozkładem normalnym standaryzowanym (lub zamiennie standardowym) i oznaczamy w skrócie N(0, 1). Zmienna o takim rozkładzie oznaczać będziemy dalej (dla odróżnienia) przez U, natomiast funkcję gęstości i dystrybuantę tej zmiennej symbolami odpowiednio φ(x) i Φ(x). Zauważymy, że gęstość zmiennej U ma postać: φ(x) = 1 2π e x2 2 dla x R.
79 standaryzowany z parametrami µ = 0, σ = 1 nazywamy rozkładem normalnym standaryzowanym (lub zamiennie standardowym) i oznaczamy w skrócie N(0, 1). Zmienna o takim rozkładzie oznaczać będziemy dalej (dla odróżnienia) przez U, natomiast funkcję gęstości i dystrybuantę tej zmiennej symbolami odpowiednio φ(x) i Φ(x). Zauważymy, że gęstość zmiennej U ma postać: φ(x) = 1 2π e x2 2 dla x R. W odniesieniu do dystrybuanty rozkładu N(0, 1) prawdziwa jest następujaca równość: Φ( x) = 1 Φ(x).
80 Wykres funkcji gęstości rozkładu normalnego standaryzowanego Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution
81 Obliczanie prawdopodobieństw w rozkładzie normalnym standaryzowanym Prawdopodobieństwo, że ciagła zmienna losowa przyjmie wartość z zadanego przedziału liczbowego, reprezentowane jest przez pole pod jej krzywa gęstości w badanym przedziale, przy czym całkowite pole pod krzywa wynosi 1.
82 Obliczanie prawdopodobieństw w rozkładzie normalnym standaryzowanym Prawdopodobieństwo, że ciagła zmienna losowa przyjmie wartość z zadanego przedziału liczbowego, reprezentowane jest przez pole pod jej krzywa gęstości w badanym przedziale, przy czym całkowite pole pod krzywa wynosi 1. Załóżmy, że U ma rozkład N(0, 1). Chcemy obliczyć dystrybuantę Φ(x) = P(U < x), gdzie x zadana wartość.
83 Obliczanie prawdopodobieństw w rozkładzie normalnym standaryzowanym Prawdopodobieństwo, że ciagła zmienna losowa przyjmie wartość z zadanego przedziału liczbowego, reprezentowane jest przez pole pod jej krzywa gęstości w badanym przedziale, przy czym całkowite pole pod krzywa wynosi 1. Załóżmy, że U ma rozkład N(0, 1). Chcemy obliczyć dystrybuantę Φ(x) = P(U < x), gdzie x zadana wartość. Prawdopodobieństwo to jest równe polu pod krzywa gęstości rozkładu N(0, 1) na przedziale (, x). Obliczenie takiego pola na piechotę jest jednak stosunkowo trudne.
84 Obliczanie prawdopodobieństw w rozkładzie normalnym standaryzowanym Prawdopodobieństwo, że ciagła zmienna losowa przyjmie wartość z zadanego przedziału liczbowego, reprezentowane jest przez pole pod jej krzywa gęstości w badanym przedziale, przy czym całkowite pole pod krzywa wynosi 1. Załóżmy, że U ma rozkład N(0, 1). Chcemy obliczyć dystrybuantę Φ(x) = P(U < x), gdzie x zadana wartość. Prawdopodobieństwo to jest równe polu pod krzywa gęstości rozkładu N(0, 1) na przedziale (, x). Obliczenie takiego pola na piechotę jest jednak stosunkowo trudne. W celu znalezienia Φ(x) = P(U < x) korzysta się często z tablic statystycznych, zawierajacych obliczone prawdopodobieństwa dla różnych x zob. następny slajd.
85 Fragment tablicy rozkładu normalnego standaryzowanego
86 Prawdopodobieństwo P(U < x) w rozkładzie N(0, 1) Np. dla x = 1, 37 mamy bezpośrednio z tablicy: P(U <1, 37)=0, 9147 Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution
87 Prawdopodobieństwo P(U x) w rozkładzie N(0, 1) Dla x = 1, 37 mamy: P(U 1, 37)= 1 P(U < 1, 37) = 1 0, 9147 = 0, 0853 Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution
88 Prawdopodobieństwo P( U < x) w rozkładzie N(0, 1) P( U < 1, 37) = P( 1, 37 < U < 1, 37) =P(U <1, 37) P(U < 1, 37)= =Φ(1, 37) Φ( 1, 37)=Φ(1, 37) (1 Φ(1, 37))=0, 9147 (1 0, 9147)=0, 8294 Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution
89 Reguła 3 sigm w rozkładzie N(0, 1) P( U < 3 σ) = P( U < 3) = P( 3 < U < 3) =P(U <3) P(U < 3)= =Φ(3) Φ( 3) = Φ(3) (1 Φ(3)) = 0, 9987 (1 0, 9987) = 0, 9974 Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution
90 Prawdopodobieństwo P(x < U < y) w rozkładzie N(0, 1) Obliczymy prawdopodobieństwo P(x < U < y) dla zadanych wartości x, y. Niech x = 0, y = 1, 43. Mamy wówczas: P(0 < U < 1, 43) =P(U <1, 43) P(U <0)=Φ(1, 43) Φ(0)=0, , 5=0, Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution
91 Obliczanie kwantyli w rozkładzie normalnym standaryzowanym 1. Na podstawie tablic rozkładu normalnego standaryzowanego możemy także łatwo odczytać, dla jakiego u zachodzi równość: p = P(U < u), gdzie p jest zadana liczba z przedziału (0, 1).
92 Obliczanie kwantyli w rozkładzie normalnym standaryzowanym 1. Na podstawie tablic rozkładu normalnego standaryzowanego możemy także łatwo odczytać, dla jakiego u zachodzi równość: p = P(U < u), gdzie p jest zadana liczba z przedziału (0, 1). 2. Punkt u spełniajacy powyższa równość nazywamy kwantylem rozkładu normalnego standaryzowanego rzędu p.
93 Obliczanie kwantyli w rozkładzie normalnym standaryzowanym 1. Na podstawie tablic rozkładu normalnego standaryzowanego możemy także łatwo odczytać, dla jakiego u zachodzi równość: p = P(U < u), gdzie p jest zadana liczba z przedziału (0, 1). 2. Punkt u spełniajacy powyższa równość nazywamy kwantylem rozkładu normalnego standaryzowanego rzędu p. 3. Przykładowo, znajdziemy kwantyl rzędu 0, 9 dla rozkładu normalnego standaryzowanego.
94 Obliczanie kwantyli w rozkładzie normalnym standaryzowanym 1. Na podstawie tablic rozkładu normalnego standaryzowanego możemy także łatwo odczytać, dla jakiego u zachodzi równość: p = P(U < u), gdzie p jest zadana liczba z przedziału (0, 1). 2. Punkt u spełniajacy powyższa równość nazywamy kwantylem rozkładu normalnego standaryzowanego rzędu p. 3. Przykładowo, znajdziemy kwantyl rzędu 0, 9 dla rozkładu normalnego standaryzowanego. 4. Z definicji, jest to taka wartość u, dla której P(U <u)=0, 9. Na podstawie danych w tablicy wnioskujemy, iż szukany kwantyl jest równy: u 1, 28.
95 Ilustracja graficzna Równość P(U <u)=0, 9 zachodzi dla u 1, 28. Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution
96 Wyznaczanie kwantyli dla rozkładu N(0, 1) c.d. Znajdziemy, jakiego rzędu jest kwantyl u rozkładu N(0, 1), spełniajacy równość: P( U <u)=1 α dla zadanego α = 0, 05. Następnie znajdziemy ten kwantyl. Mamy: 1 α =P( U <u) =P(U <u) P(U < u)= =P(U <u) (1 P(U <u)) = 2P(U <u) 1. Oznaczajac p = P(U <u), otrzymujemy: 2p 1 = 1 α, stad p = 1 α 2. Wynika z tego, że u jest kwantylem rzędu: p = 1 α 0, 05 = 1 = 0, Na podstawie tablicy otrzymujemy natychmiast: u 1, 96.
97 Prawdopodobieństwa w dowolnym rozkładzie normalnym N(µ, σ) Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny N(µ, σ) o wartościach parametrów µ i σ innych niż 0 i 1, wówczas obliczanie odpowiednich prawdopodobieństw z wykorzystaniem dostępnych tablic statystycznych wymaga zastosowania tzw. twierdzenia o standaryzacji.
98 Prawdopodobieństwa w dowolnym rozkładzie normalnym N(µ, σ) Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny N(µ, σ) o wartościach parametrów µ i σ innych niż 0 i 1, wówczas obliczanie odpowiednich prawdopodobieństw z wykorzystaniem dostępnych tablic statystycznych wymaga zastosowania tzw. twierdzenia o standaryzacji. Tw. o standaryzacji: Jeśli zmienna losowa X ma rozkład N(µ, σ), to zmienna losowa: U = X µ σ ma rozkład normalny standaryzowany N(0, 1).
99 Prawdopodobieństwa w dowolnym rozkładzie normalnym N(µ, σ) Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny N(µ, σ) o wartościach parametrów µ i σ innych niż 0 i 1, wówczas obliczanie odpowiednich prawdopodobieństw z wykorzystaniem dostępnych tablic statystycznych wymaga zastosowania tzw. twierdzenia o standaryzacji. Tw. o standaryzacji: Jeśli zmienna losowa X ma rozkład N(µ, σ), to zmienna losowa: U = X µ σ ma rozkład normalny standaryzowany N(0, 1). W ramach ilustracji, obliczymy prawdopodobieństwo F(8) = P(X < 8), zakładajac, że X ma rozkład N(10; 2).
100 Prawdopodobieństwa w dowolnym rozkładzie normalnym N(µ, σ) Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny N(µ, σ) o wartościach parametrów µ i σ innych niż 0 i 1, wówczas obliczanie odpowiednich prawdopodobieństw z wykorzystaniem dostępnych tablic statystycznych wymaga zastosowania tzw. twierdzenia o standaryzacji. Tw. o standaryzacji: Jeśli zmienna losowa X ma rozkład N(µ, σ), to zmienna losowa: U = X µ σ ma rozkład normalny standaryzowany N(0, 1). W ramach ilustracji, obliczymy prawdopodobieństwo F(8) = P(X < 8), zakładajac, że X ma rozkład N(10; 2). F(8) = P(X <8)=P( X 10 1 Φ(1) = 0, < )=P(U < 1)= Φ( 1) =
101 Ilustracja graficzna Prawdopodobieństwo F(8) = P(X < 8) w rozkładzie N(10, 2) Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution
102 Zmienna X po standaryzacji X 10 2 ma rozkład N(0, 1) Zaznaczone pola sa równe Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution
103 Przykład zastosowania Przykład. Wiadomo, że zysk (w zł) z pewnego przedsięwzięcia ma rozkład normalny N(80, 45).
104 Przykład zastosowania Przykład. Wiadomo, że zysk (w zł) z pewnego przedsięwzięcia ma rozkład normalny N(80, 45). Obliczyć prawdopodobieństwo, że inwestujac w dane przedsięwzięcie, poniesiemy stratę.
105 Przykład zastosowania Przykład. Wiadomo, że zysk (w zł) z pewnego przedsięwzięcia ma rozkład normalny N(80, 45). Obliczyć prawdopodobieństwo, że inwestujac w dane przedsięwzięcie, poniesiemy stratę. Rozwiazanie. Zysk z przedsięwzięcia jest zmienna losowa. Oznaczmy ja symbolem X. Prawdopodobieństwo, że inwestor poniesie stratę oznacza prawdopodobieństwo, że zysk będzie ujemny.
106 Przykład zastosowania Przykład. Wiadomo, że zysk (w zł) z pewnego przedsięwzięcia ma rozkład normalny N(80, 45). Obliczyć prawdopodobieństwo, że inwestujac w dane przedsięwzięcie, poniesiemy stratę. Rozwiazanie. Zysk z przedsięwzięcia jest zmienna losowa. Oznaczmy ja symbolem X. Prawdopodobieństwo, że inwestor poniesie stratę oznacza prawdopodobieństwo, że zysk będzie ujemny. Skorzystamy z tw. o standaryzacji i tablic statystycznych: ( X 80 P(X <0)=P < 0 80 ) =P(U < 1, 78)= =Φ( 1, 78)=1 Φ(1, 78)=1 0, 9625=0, 0375.
107 Mówimy, że zmienna losowa Z ma rozkład chi-kwadrat o k stopniach swobody, jeśli jest suma kwadratów k niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie normalnym standaryzowanym, czyli: Z = k Ui 2, i=1 gdzie U 1, U 2,..., U k sa niezależnymi zmiennymi losowymi, każda o rozkładzie N(0, 1).
108 Mówimy, że zmienna losowa Z ma rozkład chi-kwadrat o k stopniach swobody, jeśli jest suma kwadratów k niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie normalnym standaryzowanym, czyli: Z = k Ui 2, i=1 gdzie U 1, U 2,..., U k sa niezależnymi zmiennymi losowymi, każda o rozkładzie N(0, 1). W rozkładzie chi-kwadrat: E(Z ) = k, D 2 (Z ) = 2k. Rozkłady chi-kwadrat (podobnie, jak dalej przedstawione rozkłady Studenta) sa często wykorzystywane w procedurach wnioskowania statystycznego.
109 Przykładowe wykresy funkcji gęstości rozkładu chi-kwadrat Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution
110 Mówimy, że zmienna losowa t ma rozkład Studenta o k stopniach swobody, jeśli określona wzorem: t = U Z k, gdzie U i Z sa niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym U ma rozkład N(0, 1), natomiast Z rozkład chi-kwadrat o k stopniach swobody.
111 Mówimy, że zmienna losowa t ma rozkład Studenta o k stopniach swobody, jeśli określona wzorem: t = U Z k, gdzie U i Z sa niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym U ma rozkład N(0, 1), natomiast Z rozkład chi-kwadrat o k stopniach swobody. Rozkłady tego typu po raz pierwszy wyprowadził William Gosset (przełom XVIII i XIX wieku) publikujacy pod pseudonimem Student. Stad wywodzi się ich nazwa. Zmienna losowa jest tu oznaczana wyjatkowo mała litera t (od ostatniej litery nazwiska autora).
112 Mówimy, że zmienna losowa t ma rozkład Studenta o k stopniach swobody, jeśli określona wzorem: t = U Z k, gdzie U i Z sa niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym U ma rozkład N(0, 1), natomiast Z rozkład chi-kwadrat o k stopniach swobody. Rozkłady tego typu po raz pierwszy wyprowadził William Gosset (przełom XVIII i XIX wieku) publikujacy pod pseudonimem Student. Stad wywodzi się ich nazwa. Zmienna losowa jest tu oznaczana wyjatkowo mała litera t (od ostatniej litery nazwiska autora). W rozkładzie Studenta: E(t) = 0, D 2 (t) = k k 2, o ile k > 2.
113 Przykładowe wykresy funkcji gęstości rozkładu Studenta Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution
ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW
ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI Szkic wykładu Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 2 3 4 Przypomnienie dotychczasowych rozważań Przedziałem ufności nazywamy przedział losowy, o którym przypuszczamy
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Rozkład zmiennej losowej Polega na przyporządkowaniu każdej wartości zmiennej losowej prawdopodobieństwo jej wystąpienia.
Rozkład zmiennej losowej Polega na przyporządkowaniu każdej wartości zmiennej losowej prawdopodobieństwo jej wystąpienia. D A R I U S Z P I W C Z Y Ń S K I 2 2 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ Polega na przyporządkowaniu
1.1 Wstęp Literatura... 1
Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Wstęp................................ 1 1.2 Literatura.............................. 1 2 Elementy rachunku prawdopodobieństwa 2 2.1 Podstawy..............................
Przestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Jednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Najczęściej spotykane rozkłady dyskretne:
I. Rozkład dwupunktowy: Najczęściej spotykane rozkłady dyskretne: Def. Zmienna X ma rozkład dwupunktowy z prawdopodobieostwem 1 przyjmuje tylko dwie wartości, tzn. P(X = x 1 ) = p i P(X = x 2 ) = 1 p =
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład
Zwiększenie wartości zmiennej losowej o wartość stałą: Y=X+a EY=EX+a D 2 Y=D 2 X
Własności EX, D 2 X i DX przy przekształceniach liniowych Zwiększenie wartości zmiennej losowej o wartość stałą: Y=X+a EY=EX+a D 2 Y=D 2 X Przemnożenie wartości zmiennej losowej przez wartość stałą: Y=a*X
PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść I
PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść I Szkic wykładu 1 Przykład wprowadzajacy 2 Prawo wielkich liczb Bernoulliego i centralne tw. graniczne 3 4 Przykład wprowadzajacy W Polsce różne głosowania odbywaja
Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Podstawowe rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych skokowych Rozkład zero-jedynkowy Rozpatrujemy doświadczenie, którego rezultatem może
Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014
Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład
g) wartość oczekiwaną (przeciętną) i wariancję zmiennej losowej K.
TEMAT 1: WYBRANE ROZKŁADY TYPU SKOKOWEGO ROZKŁAD DWUMIANOWY (BERNOULLIEGO) Zadanie 1-1 Prawdopodobieństwo nieprzekroczenia przez pewien zakład pracy dobowego limitu zużycia energii elektrycznej (bez konieczności
Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa
Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Statystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 6 Magdalena Alama-Bućko 8 kwietnia 019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8 kwietnia 019 1 / 1 Rozkłady ciagłe Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
Elementy Rachunek prawdopodobieństwa
Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych
Rozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne
Rozkłady zmiennych losowych
Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli
Statystyka opisowa- cd.
12.03.2017 Wydział Inżynierii Produkcji I Logistyki Statystyka opisowa- cd. Wykład 4 Dr inż. Adam Deptuła HISTOGRAM UNORMOWANY Pole słupka = wysokość słupka x długość przedziału Pole słupka = n i n h h,
Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ
Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Zadanie 1. Zmienna losowa przyjmuje wartości -1, 0, 1 z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio: ¼, ½, ¼. Należy: a. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa
Estymacja parametrów w modelu normalnym
Estymacja parametrów w modelu normalnym dr Mariusz Grządziel 6 kwietnia 2009 Model normalny Przez model normalny będziemy rozumieć rodzine rozkładów normalnych N(µ, σ), µ R, σ > 0. Z Centralnego Twierdzenia
Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej
Statystyka i opracowanie danych Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne losowe Zmienna
Rozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,
Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Zadania ze statystyki, cz.6
Zadania ze statystyki, cz.6 Zad.1 Proszę wskazać, jaką część pola pod krzywą normalną wyznaczają wartości Z rozkładu dystrybuanty rozkładu normalnego: - Z > 1,25 - Z > 2,23 - Z < -1,23 - Z > -1,16 - Z
Centralne twierdzenie graniczne
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 4 Ważne uzupełnienie Dwuwymiarowy rozkład normalny N (µ X, µ Y, σ X, σ Y, ρ): f XY (x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 { [ (x ) 1
Statystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści
1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa
1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa 1.1 Elementy kombinatoryki W rozwiązywaniu pewnych problemów związanych z obliczaniem prawdopodobieństwa o skończonej liczbie zdażeń elementarnych bardzo
Testowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 6 Wrocław, 7 listopada 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących proporcji. Test dla proporcji. Niech X 1,..., X n będzie próbą statystyczną z 0-1. Oznaczmy odpowiednio
Statystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017
Statystyka Magdalena Jakubek kwiecień 2017 1 Nauka nie stara się wyjaśniać, a nawet niemal nie stara się interpretować, zajmuje się ona głównie budową modeli. Model rozumiany jest jako matematyczny twór,
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Rozkłady statystyk z próby. Statystyka
Rozkłady statystyk z próby tatystyka Rozkłady statystyk z próby Próba losowa pobrana z populacji stanowi realizacje zmiennej losowej jak ciąg zmiennych losowych (X, X,... X ) niezależnych i mających ten
Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1
Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, Ŝe 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.
4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)
4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie
Statystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Dyskretne zmienne losowe
Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która
Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Estymacja punktowa i przedziałowa
Temat: Estymacja punktowa i przedziałowa Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie czerwony uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia 1. Statystyczny opis próby. Idea estymacji punktowej pojęcie estymatora
L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3
ZADANIA - ZESTAW 3 Zadanie 3. L Prawdopodobieństwo trafienia celu w jednym strzale wynosi 0,6. Do celu oddano niezależnie 0 strzałów. Oblicz prawdopodobieństwo, że cel został trafiony: a) jeden raz, b)
), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0
Testowanie hipotez Każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy nazywamy hipotezą statystyczną. Hipoteza określająca jedynie wartości nieznanych parametrów liczbowych badanej cechy
Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1
Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, że 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.
6. Zmienne losowe typu ciagłego ( ) Pole trapezu krzywoliniowego
6. Zmienne losowe typu ciagłego (2.04.2007) Pole trapezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ograniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją ciągłą; proste x = a, x = b, a < b, oś OX
Statystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 5 Magdalena Alama-Bućko 1 kwietnia 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 1 kwietnia 2019 1 / 19 Rozkład Poissona Po(λ), λ > 0 - parametr tzw. rozkład zdarzeń
STATYSTYKA wykład 5-6
TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy
Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby
Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Przypomnijmy Populacja Próba Wielkość N n Średnia Wariancja Odchylenie standardowe 4.2 Rozkład statystyki Mówimy, że rozkład statystyki (1) jest dokładny,
LABORATORIUM Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz.
LABORATORIUM 4 1. Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz. I) WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE (STATISTICAL INFERENCE) Populacja
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa
1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową X wartości mniejszej od x, tzn. F (x) = P [X < x]. 1. dla zmiennej losowej
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5. PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Rozłady soowe Rozład jednopuntowy Oreślamy: P(X c) 1 gdzie c ustalona liczba. 1 EX c, D 2 X 0 (tylo ten rozład ma zerową wariancję!!!)
II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa
METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych
METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład - Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych Parametry zmiennej losowej EX wartość oczekiwana D X wariancja DX odchylenie standardowe inne, np. kwantyle,
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 7 i 8 1 / 9 EFEKTYWNOŚĆ ESTYMATORÓW, próba
Estymacja parametrów rozkładu cechy
Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział
Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Weryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Ważne rozkłady i twierdzenia
Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne
R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych
R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych Przykłady: Błąd pomiarowy Wzrost, wydajność Temperatura ciała Zawartość różnych składników we
Wykład 3. Rozkład normalny
Funkcje gęstości Rozkład normalny Reguła 68-95-99.7 % Wykład 3 Rozkład normalny Standardowy rozkład normalny Prawdopodobieństwa i kwantyle dla rozkładu normalnego Funkcja gęstości Frakcja studentów z vocabulary
Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
21 marca 2011 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być
Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne)
Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne) Przygotował: Dr inż. Wojciech Artichowicz Katedra Hydrotechniki PG Zima 2014/15 1 TABLICE ROZKŁADÓW... 3 ROZKŁAD
AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA
AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej KATEDRA MATEMATYKI TEMAT PRACY: ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AUTOR: BARBARA MARDOSZ Kraków, styczeń 2008 Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Definicja
Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski
Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW STATYSTYKA to nauka, której przedmiotem
Zmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
Wykład 4. Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym. 2. Rozkłady próbkowe. 3. Centralne twierdzenie graniczne
Wykład 4 Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym 2. Rozkłady próbkowe 3. Centralne twierdzenie graniczne Przybliżenie rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym Niech Y ma rozkład
Wnioskowanie statystyczne. Statystyka w 5
Wnioskowanie statystyczne tatystyka w 5 Rozkłady statystyk z próby Próba losowa pobrana z populacji stanowi realizacje zmiennej losowej jak ciąg zmiennych losowych (X, X,... X ) niezależnych i mających
STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa
STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem
Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki
Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...
Wybrane rozkłady zmiennych losowych i ich charakterystyki
Rozdział 1 Wybrane rozłady zmiennych losowych i ich charaterystyi 1.1 Wybrane rozłady zmiennych losowych typu soowego 1.1.1 Rozład równomierny Rozpatrzmy esperyment, tóry może sończyć się jednym z n możliwych
7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej
7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach
b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:
ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań
Zmienne losowe. Rozkład zmiennej losowej
Zmienne losowe Rozkład zmiennej losowej Zmienna losowa to funkcja, która przyjmuje różne wartości liczbowe wyznaczone przez los (przypadek). Zmienne losowe oznaczamy symbolem: X :! R Zmienna losowa X,
Zawartość. Zawartość
Opr. dr inż. Grzegorz Biesok. Wer. 2.05 2011 Zawartość Zawartość 1. Rozkład normalny... 3 2. Rozkład normalny standardowy... 5 3. Obliczanie prawdopodobieństw dla zmiennych o rozkładzie norm. z parametrami
STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1
1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy
STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk
Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28
Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych