Funkcje charakteryzujące proces. Dr inż. Robert Jakubowski

Transkrypt

1 Funkcje charakteryzujące proces eksploatacji Dr inż. Robert Jakubowski

2 Niezawodność Niezawodność Rprawdopodobieństwo, że w przedziale czasu od do t cechy funkcjonalne statku powietrznego Ubędą się mieścić w zbiorze dopuszczalnych wartości W ( τ ) { }, R t = P U = W τ t Niezawodność jest to prawdopodobieństwo zdarzenia, że zmienna będzie nie mniejsza do pewnego ustalonego czasu t. R( t) = P ( t)

3 Zawodność Zawodnośćjest prawdopodobieństwem wystąpienia uszkodzenia w przedziale czasu t, czyli jest to prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia przeciwnego do niezawodności tj. Stąd: Q( t) = P( < t) + Q( t) = 1 R t

4 Przykład Eksploatowane jest 1 samolotów. W okresie pierwszego roku eksploatacji żaden z samolotów nie uległ uszkodzeniu. W okresie drugiego roku 2 samoloty uległy uszkodzeniu. W kolejnych latach ilość uszkodzeń przedstawiono w tab.: Lata Liczba uszkodzeń Określić prawdopodobieństwo zawodności i niezawodności samolotów w poszczególnych latach eksploatacj

5 gdy Gęstość prawdopodobieństwa uszkodzeń f(t) ( + ) ( + ) R t t R t Q t t Q t f ( t) = lim = lim t t t t t f ( t) dr t = = dt dq ( t ) Oszacować gęstość prawdopodobieństwa uszkodzeń samolotów w poszczególnych latach eksploatacji f ( t) = dt R( t ) R t 2 1 t t 2 1

6 Intensywność uszkodzeń, funkcja ryzyka λ( t) dr( t) 1 dr( t) 1 dq( t) 1 dq t = dt = = = R( t) R t dt 1 Q t dt R t dt Oszacować intensywność uszkodzeń (funkcję ryzyka uszkodzeń) samolotów w poszczególnych latach eksploatacji λ( t) dr( t) dt 1 R t R t = R( t) R t t t

7 Skumulowana funkcja ryzyka uszkodzeń Λ(t) Λ( Λ t = λ ( t) dt Oszacować skumulowaną funkcję ryzyka uszkodzeń samolotów w poszczególnych latach eksploatacji t Λ t = λ ( t) dt Λ t + λ ( t ) λ ( t ) t t t

8 Oczekiwany średni czas pracy do wystąpienia uszkodzenia to = R( t) dt Można to oszacować analizując skumulowaną funkcję ryzyka wystąpienia uszkodzenia. Szacowany czas średni do wystąpienia uszkodzenia ocenia się poprzez ocenę czasu w którym Λ osiągnie wartość 1. t = ( Λ t = 1) sr

9 Przykład wyznaczania parametrów eksploatacyjnych dla wybranych modeli rozkładu intensywności uszkodzeń (rozwiązania szczególne)

10 Intensywność uszkodzeń ma stałą λ ( t) = const wartość Funkcja gęstości prawdopodobieństwa uszkodzeń: f ( t) = λ t exp λ t dt = λ e λ * Funkcja niezawodności: R( t) = exp λ t dt = e λ Skumulowana funkcja ryzyka: Λ ( t) = λ t dt = λ * λ* Oczekiwany średni czas pracy do wystąpienia uszkodzenia: λt t R( t) dt e dt o = = = 1 λ

11 Przykład obliczeń dla stałej intensywności λ ( t) =,4 rozkładu uszkodzeń np. λ=4% Funkcja gęstości prawdopodobieństwa uszkodzeń: f ( t) = λ t exp t dt =,4 e,4* λ Funkcja niezawodności: R( t) = exp t dt = e Ilość miesięcy Gęstość prawdopodobieństwa uszkodzeń Skumulowana funkcja ryzyka:,4* λ λ Λ ( t) = t dt =,4 Niezawodność Skumulowana funkcja ryzyka 1,384,961,4 1,268,67,4 48,59,15 1,92

12 Średni czas zdatnej pracy t sr = tf t dt = R t dt,4 t 1,4 1,4 = = + = tsr = e dt = e + e =,4,4 25 Skumulowana funkcja ryzyka: Λ ( t = 25) =, 4 25 = 1 R t,4* ( = 25) = e =,3679

13 Przyczyny wykorzystania modelu Prezentowany model dobrze opisuje normalny okres pracy obiektu nieodnawialnego, gdzie uszkodzenia są wynikiem oddziaływań głownie z przyczyn bodźców zewnętrznych, powtarzających się przypadkowo, ale ze stałą częstotliwością. Istnieje poważna grupa obiektów, których czas zdatności ma rozkład wykładniczy, lub nieistotnie różniący się od wykładniczego Pozwala o wiele łatwiej rozwiązywać zadania, a niżeli w przypadku innych rozkładów, gdzie nierzadko nie można znaleźć rozwiązania

14 Wykres parametrów eksploatacyjnych dla stałej intensywności uszkodzeń

15 Funkcja gęstości prawdopodobieństwa uszkodzeń ma rozkład normalny (Gaussa) 1 ( t ) 2 2σ f t = e σ 2π wartość średnia (oczekiwana) pojawienia się niesprawności σ odchylenie standardowe Niesprawności pojawiają się w czasie o ±3σ. W zakresie poza przedziałem o ± 3σ prawdopodobieństwo wystąpienia uszkodzenia jest znikome (Q(o- 3σ)=,14 Funkcja intensywności uszkodzeń monotonicznie rośnie praktycznie od w punkcie o-3σi zbliża się asymptotycznie do funkcji y 1 y( t) = t 2 σ 2

16 Praktyczne rozwiązywanie zagadnień niezawodnościowych dla funkcji gęstości uszkodzeń w postaci rozkładu normalnego Wprowadza się zmienną U: Zawodność : Q( t) = f U du 1 U ( t) = ( t ) σ 2 U f ( U ) 2 Gdzie : f ( U ) = e f ( t) 2π = σ Praktycznie do obliczeń wykorzystuje się dane w AB 2 str. 542:

17 Wyznaczyć dla stałego rozkładu gęstości uszkodzeń podstawowe charakterystyki niezawodnościowe Dokonać porównania wyników R, Q, f(t), Λ(t) i λ(t) dla λ=4%, λ=8% i λ=2% (porównanie na wykresie) Określić oczekiwane czasy pracy urządzenia