Integralność konstrukcji

Transkrypt

1 1 Integralność konstrukcji Wykład Nr 4 Metoda naprężenia nominalnego Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

2 NAPRĘŻENIA NOMINALNE (lub średnie) - S i NAPRĘŻENIA LOKALNE - a) rozciąganie pręta pryzmatycznego: y = S; b) zginanie pręta pryzmatycznego: y = S, gdy S < R e, y max < S, gdy S >R e ; c) rozciąganie elementu z karbem: y S y max = k t S, gdy k t S R e ; y < k t S, gdy k t S >R e. Rys 4.1. Przykłady rozkładu naprężeń nominalnych S i lokalnych y w przekrojach wzdłuż osi x.

3 WYKRES WÖHLERA (tzw. KRZYWA S-N) MATERIAŁU Rys 4.2. Krzywa S-N dla gładkich próbek ze stali A517 przy zginaniu obrotowym, z naprężeniem średnim m = 0.

4 4.2. WYKRES WÖHLERA (tzw. KRZYWA S-N) MATERIAŁU Pojęcia podstawowe: a) Wytrzymałość zmęczeniowa trwała materiału największa amplituda naprężenia a przy której nie dochodzi do zniszczenia próbki. Wytrzymałość zmęczeniową trwałą wyznacza się ją z krzywej S - N dla próbek gładkich, jako: asymptotę Z = a, przy N (stale zwykłej jakości i niskostopowe) W tym przypadku jest to największa amplituda naprężenia, przy której nie nastąpi zniszczenie zmęczeniowe próbki. wartość Z = a przy N = 10 7 lub 10 8 cykli, gdy brak asymptoty (np. stopy Al, Cu) Wytrzymałość zmęczeniowa trwała jest stałą materiałową, ale zależy od sposobu obciążenia, np. przy zginaniu jest o % wyższa niż przy rozciąganiu. Stale: rozciąganie przy R = -1 wytrzymałości) Z 0.5 R m (wartość niższa w stalach o wysokiej 4

5 WYKRES WÖHLERA (tzw. KRZYWA S-N) MATERIAŁU Pojęcia podstawowe: b) Wytrzymałość zmęczeniowa ograniczona największa amplituda naprężenia a, przy której nie nastąpi zniszczenie próbki przed upływem danej liczbie cykli N (np. N =10 5 ). c) Zmęczenie wysokocyklowe naprężenia są na tyle niskie ze można pominąć odkształcenia plastyczne d) Zmęczenie niskocyklowe typowo w zakresie cykli, znaczne odkształcenia plastyczne. Czynniki wpływające na wytrzymałość zmęczeniową: obecność karbu, naprężenia średnie m, środowisko, Mikrostruktura, naprężenia resztkowe (w związku z wpływem naprężenia średniego cyklu m ).

6 4.3. MATEMATYCZNY OPIS KRZYWEJ S - N MATERIAŁU Jeżeli krzywa Wöhlera (S-N) może być we współrzędnych podwójnie logarytmicznych aproksymowana linią prostą, to do jej opisu używa się zależności a versus N w ormie: a) równania: a = A N B (4.1 a) Rys. 4.3a Ilustracja opisu matematycznego krzywej Wöhlera wg równania (4.1a) 6

7 4.3. MATEMATYCZNY OPIS KRZYWEJ S - N MATERIAŁU Jeżeli krzywa Wöhlera (S-N) może być we współrzędnych podwójnie logarytmicznych aproksymowana linią prostą, to do jej opisu używa się zależności a versus N w ormie: a) równania: a = A N B (4.1 a) b) równania Basquina: a = (2N ) b (4.1 b) Rys. 4.3b Ilustracja opisu matematycznego krzywej Wöhlera wg równania (4.1b) 7

8 MATEMATYCZNY OPIS KRZYWEJ S - N MATERIAŁU (4.1 a) (4.1 b) Stałe materiałowe A, B lub, b wyznacza się z dopasowania do równania (4.1 a) lub (4.1 b) danych z badań na próbkach gładkich. Przy dużych odkształceniach plastycznych należy używać naprężenia rzeczywistego ~ a Ponieważ 2N jest liczbą nawrotów obciążenia (1 cykl=2 nawroty), to można interpretować jako wartość a, przy której następuje zniszczenie próbki po jednym nawrocie (półcyklu), tj. przy 2N = 1 (N = 0.5).

9 4.3. MATEMATYCZNY OPIS KRZYWEJ S - N MATERIAŁU (4.1 b) Komentarz do równania Basquina (4.1b): Gdyby własności materiału przy obciążeniu cyklicznie zmiennym były takie, jak przy obciążeniu monotonicznym, to naprężenie byłoby równe rzeczywistemu naprężeniu niszczącemu ( ), - por. rys. 2.4 i rów. (2.10) - gdyż próbę monotonicznego rozciągania można traktować jako jeden nawrót obciążenia zmęczeniowego. Jednak różni się nieco od ~ ~, gdyż wyznacza się przez ekstrapolację do N = 0.5 prostej dopasowanej do punktów ( a, N ) otrzymanych z badań zmęczeniowych, gdy wartości materiału uległy zmianie na skutek cyklicznego umocnienia lub osłabienia (por. p. 3.3). Podobnie jak, naprężenie jest zawsze wyższe od niszczącego naprężenia inżynierskiego i od R m, przy czym różnica ta jest mniejsza dla metali o wyższej wytrzymałości, które wykazują małe odkształcenia plastyczne. Wartości b dla różnych metali są na ogół zbliżone. 9 ~

10 MATEMATYCZNY OPIS KRZYWEJ S - N MATERIAŁU Tabela 4.1 Parametry materiałowe występujące w równaniach (4.1a) i (4.1b) stale metale nieżelazne Materiał AISI 1015 normalizowana Man-Ten walcowana na gorąco RQC-100 hart. i odpuszczana AISI 4142 hart. i odpuszczana AISI 4340 lotnicza a = (2N ) b =AN B R e R m A b=b MPa MPa MPa MPa Al 2024-T Ti-6Al-4V przesycony i starzony a = A N B (4.1 a) a = (2N ) b (4.1 b)

11 MATEMATYCZNY OPIS KRZYWEJ S - N MATERIAŁU k t,,, k = 1 + k t α ρ ai, mi k = 1 + k t β ρ k i, k mi = zr = (t) RainFlow ai mi k σ a σ ar + k mσ m R m k σ a σ ar + k mσ m R m = 1 2 = 1 ari ar R=-1 t i=1 n k σ a σ ar + k mσ m σ = 1 N N i N i Reguła P-M B B N i N i = 1

12 4.4. WPŁYW NAPRĘŻEŃ ŚREDNICH ( m lub S m ) Prezentacja wyników badań zmęczeniowych materiału (tzn. na próbkach gładkich) przy niezerowych naprężeniach średnich ( m = S m ) Gdy m 0 to wyniki badań zmęczeniowych materiału przedstawia się według jednej z poniższych trzech koncepcji. a) R = const Gdyby prezentowane tu wyniki przedstawiać jako dane a vs N, to najwyżej leżałaby krzywa R=-1 a najniżej krzywa R=0. Np. dla N =10 4 : R a (MPa) Rys. 4.4 Krzywe S-N materiału przy stałym współczynniku asymetrii cyklu ( R = const.) 12

13 WPŁYW NAPRĘŻEŃ ŚREDNICH ( m lub S m ) Prezentacja wyników badań zmęczeniowych materiału (tzn. na próbkach gładkich) przy niezerowych naprężeniach średnich ( m = S m ) Gdy m 0 to wyniki badań zmęczeniowych materiału przedstawia się według jednej z poniższych trzech koncepcji. b) m = const Rys. 4.5 Krzywe S-N materiału przy stałym naprężeniu średnim m = const)

14 WPŁYW NAPRĘŻEŃ ŚREDNICH ( m lub S m ) Prezentacja wyników badań zmęczeniowych materiału (tzn. na próbkach gładkich) przy niezerowych naprężeniach średnich ( m = S m ) Gdy m 0 to wyniki badań zmęczeniowych materiału przedstawia się według jednej z poniższych trzech koncepcji. c) N = const Uwaga: wykresy N =const na rys. 4.6 otrzymano z wykresów m = const z rys. 4.5 (por. te same oznaczenia punktów na obu rysunkach). Rys. 4.6 Wykresy stałej wartości (N =const)

15 WPŁYW NAPRĘŻEŃ ŚREDNICH ( m lub S m ) Znormalizowany wykres a / ar Jeżeli każdą z krzywych N =const (rys. 4.6) przedstawi się w ormie znormalizowanego wykresu a / ar versus m, gdzie ar - wytrzymałość zmęczeniowa przy m = 0 (R = -1) dla danego N, to wszystkie takie wykresy mają następujące dwa wspólne punkty: ( a / ar = 1; m = 0) oraz ( a / ar = 0; m = R m ). Rys. 4.7 wskazuje, że występuje tendencja do konsolidacji punktów ( a / ar ; m ) dla różnych N w pojedynczą krzywą. Rys. 4.7 Znormalizowany wykres amplitudy w unkcji naprężenia średniego otrzymany z wykresów na rys. 4.5

16 WPŁYW NAPRĘŻEŃ ŚREDNICH ( m lub S m ) Matematyczny opis zależności a / ar versus m Aproksymacja linii a / ar versus m : R a) równanie Goodmana (prosta): (4.2) b) Równanie Gerbera (parabola): a m (4.3) c) Równanie Morrowa (prosta): (4.4) a ar ar a ar R m m m m 1 2 1, 1 przy m 0 amplituda niszcząca po 1 nawrocie obciążenia (2N = 1), por. równanie (4.1b) i rys. 4.3b

17 4.4. WPŁYW NAPRĘŻEŃ ŚREDNICH ( m lub S m ) Matematyczny opis zależności a / ar versus m a) równanie Goodmana (prosta): (4.2) b) Równanie Gerbera (parabola): a m 1, przy 0 (4.3) m ar Rm a m 1 c) Równanie Morrowa (prosta): (4.4) a ar ar R m m 1 2 Równanie (4.2) - najlepsze wyniki dla materiałów o niskiej ciągliwości. Równanie (4.3) - najlepsze wyniki dla materiałów o wysokiej ciągliwości (wydłużenie procentowe w próbie rozciągania > 5 %, por p. 2.1). Przewiduje ono, niezgodnie z doświadczeniami, niekorzystny wpływ m <0 na wytrzymałość zmęczeniową. Założenie zachowawcze: przy m 0 - linia punktowana pozioma. Równanie (4.4) - lepsza zgodność z eksperymentem w porównaniu z (4.2). Dobra aproksymecja wyników dla wszystkich materiałów ciągliwych. Metale kruche (żeliwo): równanie (4.2) prowadzi do wyników niezachowawczych (punkty doświadczalne leżą pod prostą Goodmana). Stosuje się do nich specjalne równania. 17

18 WPŁYW NAPRĘŻEŃ ŚREDNICH ( m lub S m ) Wyznaczenie trwałości przy niezerowym naprężeniu średnim m Podstawowa idea: Dla danego materiału (scharakteryzowanego przez R m lub ) trwałość zmęczeniowa przy dowolnej kombinacji amplitudy a i niezerowego naprężenia średniego m jest taka sama, jak przy amplitudzie ar i m =0. Takie podejście jest dogodne, gdy dysponujemy tylko krzywą Wöhlera dla m = 0, a chcemy wyznaczyć trwałość N (lub wytrzymałość zmęczeniową a ) przy m 0. Wtedy: N ( a, m 0) = N ( ar, m =0)

19 WPŁYW NAPRĘŻEŃ ŚREDNICH ( m lub S m ) Wyznaczenie trwałości przy niezerowym naprężeniu średnim m N ( a, m 0) = N ( ar, m =0) a Z równania Goodmana (4.2) można wyznaczyć ar jako: ar (4.5) m 1 R Trwałość przy ( a, m 0) można wyznaczyć podstawiając do równania Basquina (4.1b): m ar = (2N ) b Z równania Morrowa (4.4) mamy: prawą stronę równania (4.5) zamiast ar, otrzymując: ar a 1 m a m 1 R m 2N b (4.6) (4.7) Uwzględniając (4.7) i równanie Basquina (4.1b) otrzymamy zależność: również określaną jako: a = ( - m ) (2N ) b równanie Morrowa (4.8)

20 WPŁYW NAPRĘŻEŃ ŚREDNICH ( m lub S m ) Wyznaczenie trwałości przy niezerowym naprężeniu średnim m Np. przy tej samej amplitudzie a m /R m ar / a (wg. 4.5) (4.5) ar a 1 1 R m m

21 WPŁYW NAPRĘŻEŃ ŚREDNICH ( m lub S m ) k t,,, k = 1 + k t α ρ ai, mi k = 1 + k t β ρ k i, k mi = zr = (t) RainFlow ai mi k σ a σ ar + k mσ m R m k σ a σ ar + k mσ m R m = 1 2 = 1 ari ar R=-1 t i=1 n k σ a σ ar + k mσ m σ = 1 N N i N i Reguła P-M B B N i N i = 1

22 4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE Rzeczywiste przebiegi obciążeń w czasie (tzw. historie obciążenie - czas) spotykane w warunkach eksploatacyjnych mają zazwyczaj charakter zmiennoamplitudowy. Przykłady : Rys. 4.8 Siła w lewym kulistym przegubie zawieszenia samochodu w czasie przejazdu przez tory kolejowe 22

23 4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE Przykłady obciążeń eksploatacyjnych: 23 Rys. 4.9 Maksymalne naprężenia zginające w połączeniu skrzydła z kadłubem w czasie jednego lotu samolotu o nieruchomych skrzydłach; a ) historia rzeczywista, b ) historia uproszczona

24 4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE Przykłady obciążeń eksploatacyjnych: Rys Zapis naprężeń w drążku kierowniczym samochodu: a) rzeczywista historia obciążenia; b) ragment historii obciążenia w czasie jazdy po nierównościach; c) obciążenie w czasie manewrowania 24

25 OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE Reguła Palmgrena - Minera Założenia: Jeżeli amplituda a,i powtarza się przez N i cykli, a liczba cykli do zniszczenia określona z krzywej S-N przy tej amplitudzie wynosi N,i, to część trwałości zużytej przy a,i wynosi N i /N,i. Zniszczenie nastąpi, gdy: N N i, i 1 (4.9a) tzn. trwałość przewidywana wynosi: N, P M N i (4.9b)

26 OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE Reguła Palmgrena - Minera N N i, i 1 (4.9a) N, P M N i (4.9b) Rys Schemat objaśniający wykorzystanie reguły P - M do przewidywania trwałości materiału przy zmiennych amplitudach naprężeń dla przypadku: m = 0 (R = -1)

27 OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE Reguła Palmgrena - Minera N N i, i 1 (4.9a) N, P M N i (4.9b) Jeżeli jedna i ta sama sekwencja obciążenia, którą wtedy można nazwać okresem, jest powtarzana wiele razy, np. lot samolotu, to: B N N i, i 1 okres 1 gdzie: B - liczba powtórzeń okresu (4.10) N N i, i 1okres uszkodzenie zmęczeniowe w 1 okresie Jeżeli w jakichś cyklach historii obciążenie czas występują niezerowe naprężenia średnie, to N,i trzeba wyznaczyć np. z równań (4.6) lub (4.8).

28 OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE Eekty interakcji obciążeń Zjawisko to polega na tym, że w zmiennoamplitudowej historii obciążenia uszkodzenie zmęczeniowe D i spowodowane danym cyklem i ( a,i, m,i ) może być inne, niż przy obciążeniu stałoamplitudowym, tzn.: D i 1 N, i gdzie: N, i trwałość przy obciążeniu stałoamplitudowym o parametrach a,i, m,i (4.11) W zależności od historii obciążenia (spektrum obciążenia), materiału, poziomu średniego naprężenia spektrum i geometrii elementu może być: D i 1 N, i niekorzystny eekt interakcji (4.12a) D i 1 N, i korzystny eekt interakcji (4.12b)

29 OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE Eekty interakcji obciążeń Ponieważ reguła Palmgrena - Minera nie uwzględnia eektu interakcji obciążeń, w bardzo wielu przypadkach może dawać wyniki wysoce niezgodne z doświadczeniem, zarówno nadmiernie zachowawcze, jak i niezachowawcze. Może być: N, PM 100 N rzeczywiste Sposoby uwzględniania eektu interakcji obciążeń: 1) nieliniowe reguły kumulacji uszkodzeń 2) względna reguła P M 3) uwzględnienie amplitud poniżej trwałej wytrzymałości zmęczeniowej

30 OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE Ad. 2 Względna reguła Palmgrena-Minera (Schütz, 1972) Założenie: jeżeli dwie historie obciążenia są dostatecznie podobne, to odchylenia od reguły P - M mają te same kierunki i względne wartości. Jeżeli dla jednego spektrum znamy gdzie to odpowiednio trwałości rzeczywiste i obliczone z reguły P-M, to dla drugiego spektrum które jest podobne będzie: N eksp N N N N, eksp obl obl N" eksp N" obl eksp N obl a stąd: N " eksp N" obl N eksp N obl (4.13) Wada: brak ogólnego kryterium podobieństwa spektrum.

31 OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE Ad. 2 Względna reguła Palmgrena-Minera (Schütz, 1972) Praktyczne zastosowanie: a) historia eksploatacyjna inna niż projektowa (zmiana zadań urządzenia, inne niż przewidziano warunki eksploatacji), b) spektrum eksploatacyjne nie zostało ocenione prawidłowo, c) nie jest możliwe przeprowadzenie w laboratorium badań symulujących pełną historię obciążenia w eksploatacji, np.: w przypadku spektrum obciążenia o długim ogonie małych amplitud ze względów czasowych trzeba pominąć znaczną liczbę małych cykli Rys Ilustracja konieczności pominięcia małych cykli w badaniach laboratoryjnych

32 4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE Rys Ilustracja konieczności pominięcia małych cykli w badaniach laboratoryjnych N - liczba przekroczeń danego poziomu amplitudy a liczba cykli uwzględniona w badaniach laboratoryjnych: 10 7 liczba cykli przewidywana w eksploatacji: 10 9 liczba cykli pominiętych w badaniach laboratoryjnych N pom = cykli = 9.9x10 8 cykli Zysk na czasie badań przy założeniu częstości obciążenia 20 Hz: 10 9 cykli = 578 dni; 10 8 cykli = 58 dni; 10 7 cykli = 6 dni Widma lotnicze: pominięcie cykli o amplitudach poniżej 0.5Z - wzrost trwałości o %. Małe cykle w realistycznych, nieregularnych historiach obciążenia mogą się okazać szkodliwe, gdy w materiale istnieją już mikrouszkodzenia zmęczeniowe (także pasma poślizgów) spowodowane przez poprzedzające cykle. 32

33 4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE Ad. 3 uwzględnienie amplitud poniżej trwałej wytrzymałości zmęczeniowej a Rys Różne propozycje modyikacji krzywej S-N do obliczeń trwałości przy obciążeniach zmiennoamplitudowych, 1 - obciążenie stałoamplitudowe (krzywe Wöhlera) Z (log)n Modyikacja krzywej S-N wg linii 2 lub 3. Poprawa ocen trwałości przy zmiennych amplitudach przy użyciu linii 2 lub 3 jest możliwe tylko przy niekorzystnych eektach interakcji (por. równanie 4.12a). przy korzystnych eektach interakcji (por. równanie 4.12b) użycie linii 2 lub 3 spowoduje pogorszenie ocen N. 33

34 OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE k t,,, ai, mi k = 1 + k t α ρ k = 1 + k t β ρ k i, k mi = zr = (t) RainFlow ai mi k σ a σ ar + k mσ m R m k σ a σ ar + k mσ m R m = 1 2 = 1 ari ar R=-1 t i=1 n k σ a σ ar + k mσ m σ = 1 N N i N i Reguła P-M B B N i N i = 1

35 OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE Zliczanie cykli metoda Rainlow W przypadku nieregularnych historii obciążenia (por. np. rys ) nie jest jasne, jakie wydarzenie uznać za cykl obciążenia. W licznych metodach liczenia cykli, które zaproponowano, wysunięto rozmaite propozycje. Obecnie za najbardziej racjonalne metody liczenia cykli uważa się techniki typu Rainlow (pierwsza propozycja - T. Endo, Japonia, 1968). W metodzie Rainlow zawsze uwzględnia się zakres między najwyższym maksimum i najniższym minimum. Rys.4.13 Podstawowe wydarzenia obciążenia nieregularnego

36 4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE Zliczanie cykli metoda Rainlow Rys Podstawowe wydarzenia obciążenia nieregularnego Rys Warunek naliczania cyklu metodą Rainlow 36

37 OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE Zliczanie cykli metoda Rainlow Rys Przykład naliczania cykli metodą Rainlow

38 OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE k t,,, ai, mi k = 1 + k t α ρ k = 1 + k t β ρ k i, k mi = zr = (t) RainFlow ai mi k σ a σ ar + k mσ m R m k σ a σ ar + k mσ m R m = 1 2 = 1 ari ar R=-1 t i=1 n k σ a σ ar + k mσ m σ = 1 N N i N i Reguła P-M B B N i N i = 1

39 OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Pęknięcia zmęczeniowe i w rezultacie zniszczenie elementów konstrukcyjnych zostają z reguły zainicjowane w karbach (nieciągłości geometryczne, jak otwory, odsadzenia, rowki itp.). Przyczyna - spiętrzenie naprężeń spowodowane karbem, którego miarą jest współczynnik koncentracji naprężeń k t (por p.6 Przypomnienie i rys.4.1c) k t zależy od: geometrii elementu, sposobu obciążenia k t nie zależy od: wielkości obciążenia, materiału, wielkości elementu Uwaga: deinicja naprężenia nominalnego S może się opierać na przekroju netto lub brutto, a jej wybór wpływa na wartość k t. W przykładzie z rys. 4.1c może więc być: S w P d t lub S P w t Wartości k t można znaleźć w różnych poradnikach.

40 OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Rys Przykłady zmienności k t dla różnych karbów w zależności od geometrii

41 OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Wpływ karbu przy obciążeniach statycznych. Rys.4.16 Element z karbem a) i rozkład naprężeń dla różnych przypadków: b) odkształcenie liniowo - sprężyste; c) lokalne płynięcie w materiale ciągliwym; d) płynięcie całego przekroju w materiale ciągliwym; e) naprężenie niszczące dla próbki z materiału kruchego

42 4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Wpływ karbu przy obciążeniach statycznych. Rys.4.16 Materiały ciągliwe (rys b-d): stan naprężenia w przekroju karbu przed zniszczeniem (rys. 4.16d) jest taki, jak w próbce gładkiej o przekroju A n. Stąd zniszczenie próbki z karbem, gdy: S = naprężenie niszczące w próbce gładkiej o przekroju A n, tj.: S = R e (płynięcie przekroju netto), S = R m (utrata spójności) Materiały kruche (rys.4.16e): utrata spójności, gdy: max R m czyli R S k m t 42

43 4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Wpływ karbu przy obciążeniach zmęczeniowych - współczynnik działania karbu. Gdyby o wytrzymałości zmęczeniowej decydowało naprężenie na dnie karbu, to byłoby: a N kt S N gdzie: a a (N ) - wytrzymałość zmęczeniowa próbki gładkiej (4.14) S a (N ) - wytrzymałość zmęczeniowa próbki z karbem wyrażona w naprężeniach nominalnych a i S a - przy tej samej trwałości N Doświadczenie wskazuje, że: S a a N kt N Współczynnik działania karbu k (polskie oznaczenie k ), deinicja: k S ar (4.15) ar (4.16) gdzie ar i S ar odnoszą się do R = - 1 i długiej trwałości (N = cykli) 43

44 OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Wpływ karbu przy obciążeniach zmęczeniowych - współczynnik działania karbu. Wnioski z rys. 4.17: krzywa wg równania (4.14) leży pod eksperymentalną krzywą S-N próbki z karbem dla wszystkich trwałości krzywa wg równania (4.16) leży pod eksperymentalną krzywą S-N próbki z karbem dla niskich trwałości. Oznacza to, że stosunek wytrzymałości zmęczeniowej próbki gładkiej do wytrzymałości zmęczeniowej Rys Wpływ karbu przy zginaniu próbki z karbem zależy od trwałości: obrotowym na krzywą S - N, stopu aluminium oraz porównanie wytrzymałości zmęczeniowej zredukowanej przy użyciu k t k ar( N S ( N ar ) ) N k (4.17) i k

45 OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Wpływ karbu przy obciążeniach zmęczeniowych - współczynnik działania karbu. Współczynnik wrażliwości na karb (deinicja): q k k t q 1 (4.18) Wartości graniczne q: q=1, k = k t (najwyższy możliwy wpływ karbu na wytrzymałość zmęczeniową) q=0, k =1 (karb nie wpływa na wytrzymałość zmęczeniową)

46 OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Przyczyny eektu k < k t - interpretacja jakościowa 1) Gradient naprężeń w karbie (por. rys. 4.18) Rozkład naprężeń w przekroju karbu y (x) przy założeniu materiału idealnie liniowo - sprężystego; gradient naprężeń - miara spadku naprężeń ze wzrostem odległości x punktu od karbu a) uszkodzenie zmęczeniowe w pewnej małej, skończonej objętości materiału (4.19) Rys Interpretacja wytrzymałości zmęczeniowej jako średniego naprężenia w skończonej odległości od wierzchołka karbu

47 OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Przyczyny eektu k < k t - interpretacja jakościowa 1) Gradient naprężeń w karbie a) uszkodzenie zmęczeniowe w pewnej małej, skończonej objętości materiału k średnia amplituda naprężenia między x 0 i x k S a t (4.19) k wg (4.19) będzie tym bardziej różnić się od k t im większy gradient naprężeń, a więc im mniejszy promień karbu. Trend zgodny z doświadczeniem, jak pokazuje rys Rys Współczynniki działania karbu dla różnych promieni karbu wyznaczone doświadczalnie z równania (4.16) dla stali miękkiej przy zginaniu obrotowym

48 OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Przyczyny eektu k < k t - interpretacja jakościowa 1) Gradient naprężeń w karbie b) teoria najsłabszego ogniwa Przy ustalonej wartości max region wysokich naprężeń koniecznych do inicjacji uszkodzenia w miejscu deektu mikrostrukturalnego jest tym mniejszy, im wyższy gradient d y /dx. Argument statystyczny: im mniejsza objętość materiału poddanego działaniu wysokich naprężeń, tym niższe prawdopodobieństwo, że znajdzie się tam deekt mikrostruktury, w którym nastąpi inicjacja pęknięcia (por. p. 1.2). Stąd współczynnik k będzie niższy przy większym gradiencie naprężeń, a więc mniejszym promieniu.

49 4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Przyczyny eektu k < k t - interpretacja jakościowa 1) Gradient naprężeń w karbie c) obecność pęknięcia (por. rys. 4.20) Wierzchołek pęknięcia o długości l w próbce gładkiej znajduje się w streie wyższych naprężeń, niż wierzchołek takiego samego pęknięcia w próbce z karbem. Potwierdzenie: obecność tzw. pęknięć niepropagujących w próbkach z ostrymi karbami poddanych zmęczeniu wysokocyklowemu (N = cykli) przy amplitudach poniżej wytrzymałości zmęczeniowej. Rys Próbka gładka i próbka z karbem przy tych samych naprężeniach lokalnych w miejscu zainicjowania pęknięcia (l = 0) 49

50 4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Przyczyny eektu k < k t - interpretacja jakościowa 2) Odkształcenia plastyczne w karbie Dotyczy zmęczenia niskocyklowego we wszystkich materiałach i zmęczenia wysokocyklowego w materiałach o bardzo wysokiej ciągliwości: W streie plastycznej karbu a < k t S a, stąd musi być k < k t Rys Eekt odwróconego płynięcia w niewielkim obszarze w pobliżu karbu przy amplitudzie naprężeń S a 50

51 OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Empiryczne oszacowanie k Najczęściej używane równania empiryczne: a) Równanie Petersona: k 1 k t 1 1 (4.20) - promień dna karbu - stała materiałowa (zależna od sposobu obciążenia): zginanie, rozciąganie: 051. mm - stopy Al mm - stale niskowęglowe wyżarzane lub normalizowane mm - stale hartowane i temperowane skręcanie: skr 0.6 Stale o podwyższonej i wysokiej wytrzymałości: MPa mm R m R m 550 MPa (4.21)

52 OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Empiryczne oszacowanie k a) Równanie Petersona: k 1 k t 1 1 (4.20) R m MPa 1.8 mm (4.21) dla R m 550MPa Rys Współczynnik wrażliwości na karb q (a) i wartości stałej (b) dla stali wg równania Petersona (4.20).

53 OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Empiryczne oszacowanie k b) Równanie Neubera: k k 1 1 t 1 (4.22) - promień dna karbu - stała materiałowa (zależna od sposobu obciążenia) log R m 134 MPa 586 mm (4.23) dla R m 1520 MPa (stale) Rys Współczynnik wrażliwości na karb q (a) i wartości stałej dla stali (b) wg równania Neubera

54 OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Empiryczne oszacowanie k a) Równanie Petersona: b) Równanie Neubera: k k t (4.20) k k 1 1 t 1 (4.22) Równania (4.20) i (4.22) nadają się do przybliżonego oszacowania k dla karbów konstrukcyjnych (stosunkowo łagodnych). Jeżeli karb jest głęboki i ostry, to lepszym podejściem jest mechanika pękania.

55 OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Empiryczne oszacowanie k Rys a) Rys a) Wnioski z rys. 4.22a) i 4.23a): dla danego materiału: q rośnie z ; dla danej klasy materiałów: q rośnie z R m ; rozbieżność między k i k t jest największa dla materiałów o dużej ciągliwości i ostrym karbie (por. też rys. 4.19).

56 OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Wpływ karbu przy średnich i krótkich trwałościach Generalnie, stosunek wytrzymałości próbki gładkiej ar do wytrzymałości próbki z karbem S ar zależy od trwałości, por. równanie (4.17) i rys. 4.17: k S ar ar ( N ( N ) ) N k (4.17) Rys Wpływ karbu przy zginaniu obrotowym na krzywą S-N, stopu aluminium oraz porównanie wytrzymałości zmęczeniowej zredukowanej przy użyciu k t i k.

57 OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Wpływ karbu przy średnich i krótkich trwałościach A) Metale o dużej ciągliwości: Wpływ odwróconego płynięcia (por. rys. 4.21) jest tym większy, im wyższe naprężenia, a więc im niższa trwałość. Stąd k zmienia się od k = k (duże trwałości) do k 1 (małe trwałości). Rys Wyniki badań metalu ciągliwego ilustrujące zależność wpływu karbu od trwałości. Punkty z wykresu S - N (rys. a) zostały użyte do otrzymania k = a /S a (rys. b)

58 4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Wpływ karbu przy średnich i krótkich trwałościach A) Metale o dużej ciągliwości: Gdyby o wytrzymałości zmęczeniowej elementu konstrukcyjnego decydowała tylko amplituda naprężenia na dnie karbu a, to: Rys Wyjaśnienie trendów widocznych na rys przy pomocy koncepcji odwróconego płynięcia dla materiału sprężysto - idealnie plastycznego. 58

59 OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Wpływ karbu przy średnich i krótkich trwałościach A) Metale o dużej ciągliwości: Rys. 4.25a): brak uplastycznienia (k t S a R e ), a,a =k t S a, stąd k = k t (4.24) por. zakres (a) wykresu na rys. 4.25d Rys. 4.25d):

60 OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Wpływ karbu przy średnich i krótkich trwałościach A) Metale o dużej ciągliwości: Rys. 4.25b) odwrócone płynięcie tylko w otoczeniu karbu (k t S a R e ) a,a =R e, stąd k =R e / S a (4.25) por. zakres (b) wykresu na rys. 4.25d Rys. 4.25d):

61 OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Wpływ karbu przy średnich i krótkich trwałościach A) Metale o dużej ciągliwości: Rys. 4.25c): odwrócone płynięcie w całym przekroju netto (S a R e ) por. rys. 4.16d. Jednorodny stan naprężenia w przekroju karbu, podobnie jak w próbce gładkiej a =S a, stąd k 1 (4.26) por. zakres (c) wykresu na rys. 4.25d) Rys. 4.25d):

62 OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Wpływ karbu przy średnich i krótkich trwałościach A) Metale o dużej ciągliwości: Rys b) Rys d) Wniosek: Linia k (S a ) z rys. 4.25d) dobrze przybliża w sensie jakościowym trend w wartościach k [N (S a )] z rys. 4.24b). Różnica między poziomem k =k i wartością k t (przy długich trwałościach) wskazuje jednak na dodatkowy wpływ innych niż odwrócone płynięcie czynników na k (por. p ).

63 OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Wpływ karbu przy średnich i krótkich trwałościach B) Metale o niskiej ciągliwości (quasi kruche): Ponieważ zniszczenie w metalach kruchych nie jest poprzedzone makroskopowymi odkształceniami plastycznymi (por. rys. 4.16e): k k ( k t ) (4.27) nawet przy niskich trwałościach. Rys Krzywa oparta na danych doświadczalnych przy N =10 3 ilustrująca słuszność założeń (4.26) i (4.27) dla metali odpowiednio ciągliwych (niska R m ) i kruchych (wysoka R m )

64 OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW k t,,, k = 1 + k t α ρ ai k = 1 + k t β ρ k i, k mi ari= k i ai = zr = (t) RainFlow ai mi k σ a σ ar + k mσ m R m k σ a σ ar + k mσ m R m = 1 2 = 1 ari ar R=-1 t i=1 n k σ a σ ar + k mσ m σ = 1 N N i N i Reguła P-M B B N i N i = 1

65 4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Wpływ karbu przy niezerowych nominalnych naprężeniach średnich, S m 0 A) Metale quasi kruche: Zakładamy, że ekstremalne wartości naprężeń nominalnych Smax, Smin nie wywołują uplastycznienia w karbie, tzn.: wówczas: k t S max < R e i k t S min < Re a = k t S a, m = k t S m (4.28) Wpływ lokalnego naprężenia średniego m na trwałość można wówczas ocenić np. z równania Goodmana (4.2): ar 1 Podstawiając (4.28) do (4.2) otrzymamy: gdzie: a m R m k S t a ar (4.29) 1 ktsm Rm ar - amplituda cyklu wahadłowego w próbce gładkiej przy której trwałość jest taka sama, jak w elemencie z karbem o współczynniku koncentracji naprężeń k t przy amplitudzie naprężenia nominalnego S a i nominalnym naprężeniu średnim S m 65

66 OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Wpływ karbu przy niezerowych nominalnych naprężeniach średnich, S m 0 A) Metale quasi kruche: Rys Ilustracja procedury uwzględnienia wpływu karbu przy S m 0 dla materiału kruchego

67 4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Wpływ karbu przy niezerowych nominalnych naprężeniach średnich, S m 0 A) Metale quasi kruche: Dyskusja równania (4.29): ar 1 k k t t S S a m R m k t S a ar 1 k t S m R m 1) W równaniu (4.29) często stosuje się k zamiast k t bo dla materiału kruchego: k k t k, zgodnie z równaniem (4.27). 2) Przypadki szczególne: a) gdy S m = 0 tos a / k lub S / k ar t a ar (4.30a) b) gdy S a 0 tos m R / k lub S R / k m t m m (4.30b) S m można przy S a =0 traktować jako wytrzymałość statyczną próbki z karbem o współczynniku koncentracji naprężeń k t zgodnie z obserwacją, że dla materiałów kruchych wytrzymałość statyczna próbek z karbem jest zredukowana przez k t (por. rys. 4.16e). 67

68 OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Wpływ karbu przy niezerowych nominalnych naprężeniach średnich, S m 0 A) Metale quasi kruche: Wykres równania (4.29) ilustrujący równania (4.30) jest oznaczony jako linia kruche na rys (4.32) (4.29) Rys Przybliżone wykresy wpływu naprężenia średniego na wytrzymałość zmęczeniową próbek gładkich i próbek z karbem w przypadkach metali kruchych i ciągliwych.

69 OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Wpływ karbu przy niezerowych nominalnych naprężeniach średnich, S m 0 B) Materiały ciągliwe: Ponieważ wytrzymałość statyczna próbek z karbem jest taka sama jak próbek gładkich (por rys.4.16d), to gdy: S a = 0 S m = R m (4.31) Wytrzymałość zmęczeniowa S a próbki z karbem jest zredukowana w stosunku do wytrzymałości próbki gładkiej przez k (N ), por. równania (4.17) tzn. S a = a / k. Stąd równanie Goodmana w ormie: k S a ar 1 (4.32) Sm Rm

70 OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Wpływ karbu przy niezerowych nominalnych naprężeniach średnich, S m 0 B) Materiały ciągliwe: Stąd równanie Goodmana w ormie: k S a ar 1 (4.32) Sm Rm Na wykresie (rys. 4.28) ilustrującym równanie (4.32) przyjęto k = k, co jest założeniem zachowawczym, bo k < k. (4.32) Rys Przybliżone wykresy wpływu naprężenia średniego na wytrzymałość zmęczeniową próbek gładkich i próbek z karbem w przypadkach metali kruchych i ciągliwych. (4.29)

71 OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Wpływ karbu przy niezerowych nominalnych naprężeniach średnich, S m 0 C) Koncepcja uogólniona: Równania (4.29) i (4.32) (przy czym w (4.29) załóżmy k zamiast k t ) mogą być przedstawione wspólnie w ormie: a) gdy dana jest krzywa S - N dla próbki gładkiej przy R = -1: b) gdy dana jest krzywa S - N w naprężeniach nominal- ar 1 ar nych dla próbki z karbem przy R = -1: k S R S 1 k k m S S m S a a m m R m m (4.33a) (4.33b) gdzie: k m - współczynnik działania karbu dla naprężeń średnich, który wynosi: k m = m / S m (4.34) materiały kruche: k m = k k (4.35a) materiały ciągliwe (w uproszczeniu): k m = 1 (4.35b)

72 OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Wpływ karbu przy niezerowych nominalnych naprężeniach średnich, S m 0 C) Koncepcja uogólniona: Dokładne określanie współczynnika działania karbu dla naprężeń średnich (k m ) w przypadku materiałów ciągliwych: gdy: k t S max < R e i k t S min < R e (rys.4.29a) k m = k t (4.36) Rys Próbka z karbem z materiału sprężysto - idealnie plastycznego przy obciążeniu cyklicznym z niezerowym nominalnym naprężeniem średnim: a) brak płynięcia;

73 OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Wpływ karbu przy niezerowych nominalnych naprężeniach średnich, S m 0 C) Koncepcja uogólniona: Dokładne określanie współczynnika działania karbu dla naprężeń średnich (k m ) w przypadku materiałów ciągliwych: gdy: k t S max > R e i k t S < 2R e (rys.4.29b) - brak odwróconego płynięcia: m max k t S a R e k t S a stąd: k m R e kts S m a (4.37) Rys Próbka z karbem z materiału sprężysto - idealnie plastycznego przy obciążeniu cyklicznym z niezerowym nominalnym naprężeniem średnim: b) płynięcie tylko przy obciążeniu S max

74 OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Wpływ karbu przy niezerowych nominalnych naprężeniach średnich, S m 0 C) Koncepcja uogólniona: Dokładne określanie współczynnika działania karbu dla naprężeń średnich (k m ) w przypadku materiałów ciągliwych: gdy: k t S max > R e i k t S min >R e (rys.4.29c) - odwrócone płynięcie, wówczas dla materiału idealnie sprężysto-plastycznego: max = R e i min = -R e m = 0 k m = 0 (4.38) Rys Próbka z karbem z materiału sprężysto - idealnie plastycznego przy obciążeniu cyklicznym z niezerowym nominalnym naprężeniem średnim: c) odwrócone płynięcie

75 OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Wpływ karbu przy niezerowych nominalnych naprężeniach średnich, S m 0 C) Koncepcja uogólniona: Dokładne określanie współczynnika działania karbu dla naprężeń średnich (k m ) w przypadku materiałów ciągliwych: Uwagi: k m obliczone wg (4.37) mieści się w zakresie pomiędzy minimalną wartością k m = 0 wg (4.38) i maksymalną wartością k m = k t wg (4.36). Ogólnie odwrócone płynięcie ma miejsce, gdy: t Smax Smin Re k 2 t max k R 1 R R t 1 e k S 2 max S 2R e

76 4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Wpływ karbu przy niezerowych nominalnych naprężeniach średnich, S m 0 C) Koncepcja uogólniona: Rys Próbka z karbem z materiału sprężysto - idealnie plastycznego przy obciążeniu cyklicznym z niezerowym nominalnym naprężeniem średnim: a) brak płynięcia; b) płynięcie tylko przy obciążeniu S max ; c) odwrócone płynięcie; d) zależność współczynnika działania karbu dla naprężeń średnich, k m, od S max wg równań (4.35) - (4.37) 76

77 OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Przykłady przybliżonej konstrukcji krzywej S-N dla elementów z karbami (R = -1) a) Metoda Collinsa (1981, tylko metale ciągliwe) Założenie: ar (10 6 ) = Z rc ; gdzie: Z rc wytrzymałość zmęczeniowa trwała próbki gładkiej przy R = -1 Rys Konstrukcja wykresu Collinsa

78 4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW Przykłady przybliżonej konstrukcji krzywej S-N dla elementów z karbami (R = -1) b) Metoda Juvinalla (1991, materiały ciągliwe i kruche). Odcinek między N = 1 i N = 10 3 tylko dla materiałów ciągliwych. Założenia: 1) k = k (założenie zachowawcze). Inni autorzy: k =k dla materiałów kruchych k =1 dla materiałów ciągliwych. 2) N Z = 10 6 (stale, żeliwa) N Z = (stopy Al). 3) m, m - współczynniki zależne od: sposobu obciążenia, materiału, wielkości elementu, stanu powierzchni. Rys Konstrukcja wykresu Juvinalla 78

79 UOGÓLNIONA PROCEDURA OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH k t,,, k = 1 + k t α ρ ai, mi k = 1 + k t β ρ k i, k mi = zr = (t) RainFlow ai mi k σ a σ ar + k mσ m R m k σ a σ ar + k mσ m R m = 1 2 = 1 ari ar R=-1 t i=1 n k σ a σ ar + k mσ m σ = 1 N zr = (t) N i N i Koncepcje wieloosiowego zmęczenia Crossland Wang-Brown Bannantine & Socie Dang Van etc. 1, 2, 3 t B Reguła P-M N i B N i = 1