ELEMENTARZ MATEMATYKA ARYTMETYKA I GEOMETRIA

Transkrypt

1 i SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS Warszawa ul. Bażancia 16 ELEMENTARZ MATEMATYKA ARYTMETYKA I GEOMETRIA KLASA I, II, III TADEUSZ STYŠ Warszawa, Październik 2017

2 ii

3 Contents 0.1 Wstȩp iv 1 Pierwszy Etap Nauczania Klasa I Arytmetyka. Uczymy siȩ liczyċ Dodawanie liczb jednocyfrowych Dodawanie liczb dwucyfrowych Mnożenie liczb jednocyfrowych Dzielenie liczb przez liczby jednocyfrowe Geometria. Figury Proste Prosta i odcinek Okr ag i ko lo Trȯjk aty klasa II Arytmetyka Powtȯrzenie z klasy I. Wyrażenia arytmetyczne z liczbami naturalnymi Liczby ca lkowite. Oṡ liczbowa Dodawanie i odejmowanie liczb ca lkowitych Mnożenie liczb ca lkowitych Dzielenie liczb ca lkowitych Geometria Klasa III Arytmetyka Pisemne dodawanie liczb dwucyfrowych Pisemne odejmowanie liczb dwucyfrowych Pisemne mnożenie liczb dwucyfrowych Pisemne dzielenie Geometria Odcinek, proste prostopad le i prosterȯwnoleg le Trȯjk aty Czworok aty Okr ag i ko lo iii

4 iv 0.1 Wstȩp Elementarz nauczania matematyki w klasach I, II, III obejmuje podstawow a wiedze o liczbach i figurach geometrycznych potrzebn a do kontynuowania nauki w klasach IV, V, VI, VII i VIII. Już na pierwszym etapie nauczania matematyki należy formu lowaċ pojȩcia, dobieraċ, przyk lady i ċwiczenia tak, żyby tworzy ly ci ag loṡċ wiedzy uczonej w szko lach, podstawowych, ṡrednich i szko lach wyższych. W istocie, matematyka intuincyjna uczona w szko lach podstawowych i ṡrednich zawiera elementy matematyki wyższej. Na przyk lad wynik dodawania liczb naturalnych zawsze jest liczb a naturaln a. To oznaczy, że dodawanie jest operacj a zamkniȩt a w zbiorze liczb naturalnych. Natomiast w matematyce wyższej zbiȯr liczb naturalnych z operacj a dodawania l aczn a, przemienn a i rozdzieln a ze wzglȩdu na mnożenie tworzy grupȩ addetywn a. Zatem, l acznoṡċ, przemiennoṡċ i rozdzielnoṡċ dodawania jest ważn a w lasnoṡci a tej operacji, ktȯra powinna byċ wyjaṡniona od pocz atku. W pierwszym rozdziale o liczbach naturalnych opisane s a cztery operacje arytmetyczne poprzez odpowiednio dobrane przyk lady i ċwiczenia. W zakresie geometrii, uczniowie klasy I naucz a siȩ rozpoznawaċ na rysunkach figury geometryczne, odcinek, okr ag, ko lo, trȯjk aty, prostok aty i inne figury p laskie. Zak lada siȩ, że uczniowie klasy II w zakresie arytmetyki poznaj a zbiȯr liczb ca lkowitych jako rozszerzenie zbioru liczb naturalnych. Naucz a siȩ pisemnego wykonywania operacji arytmetycznych dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia na ma lych liczbach ca lkowitych. W zakesie geometrii, poznaj a w lasnoṡci figur geometrycznych obwȯd i pole figur p laskich, opis tȯjk atȯw, czworok atȯw i okrȩgȯw i ko la, po lożenie prostych na p laszczyżnie, proste rȯwnoleg le, proste prostopad le. W klasie III powtȯrzenie i rozszerzenie wiedzy z zakresu pisemnych operacji arytmetycznych dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia na liczbach ca lkowitych dwucyfrowych i trzycyfrowych. Obliczanie prostych wyrażeṅ arytmetycznych bez nawiasȯw i z nawiasami. Z geometrii powtȯrzenie klasy II-ej, obliczanie obwodȯw i pȯl figur p laskich, po lożenie prostych na p laszczyżnie proste rȯwnoleg le, proste prostopad le, okreṡlenie k atȯw powsta lych z przeciȩcia prostych rȯwnoleg lych trzeci a prost a. Odcinek: podzia l odcinka na po lowȩ, symetralna odcinka, konstrukcja z cyrklem i linijk a, opis i konstrukcja tȯjk atȯw rȯwnobocznych, rȯwnoramiennych i trȯjk atȯw prostok atnych. Poznaj a w lasnoṡci i konstrucje kwadratu, prostok ata, rȯwnoleg loboku i rombu. Poznaj a okr ag i jego w lasnoṡci: ṡrodek okrȩgu, promieṅ okrȩgu, ṡrednica okrȩgu, ciȩciwa okrȩgu, k at ṡrodkowy i k at wpisany w okr ag. Tadeusz STYṠ Warszawa, październik 29, 2017

5 Chapter 1 Pierwszy Etap Nauczania W szkole Heliantus nauka matematyki od podstaw w klasach I,II,III, obejmuje arytmetykȩ w zakresie liczb naturalnych, ca lkowitych i prostych u lamkȯw, geometriȩ figur prostych, odcinek, trȯjk at, prostok at i okr ag. Zak lada siȩ, że w zakresie arytmetyki uczniowie klasy I poznaj a liczby naturalne w zapisie dziesiȩtnym. Naucz a siȩ wykonywania obliczeṅ prostych wyrażeṅ arytmetycznych z dodawaniem, odejmowaniem mnożeniem i dzieleniem liczb naturalnych, bez operacji pisemnych. 1.1 Klasa I Arytmetyka. Uczymy siȩ liczyċ Policz kȯ leczka na rysunku 1, 2, 3 Razem liczymy jeden, dwa, trzy kȯ leczka Napisz w kȯ leczkach liczby 1, 2, 3, 1

6 2 Podobnie liczymy kȯ leczka na rysunku 1, 2, 3 4, 5, 6, Liczymy razem jeden, dwa, trzy, cztery, piȩċ, szeṡċ kȯ leczek Napisz w kȯ leczkach liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6,,, Podobnie liczymy kȯ leczka na rysunku 1, 2, 3 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Liczymy razem jeden, dwa, trzy, cztery, piȩċ, szeṡċ, siedem, osiem, dziewiȩċ, dziesiȩċ kȯ leczek Napisz w kȯ leczkach liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

7 3,,,,,, Policz kropki w każdym wierszu i zapisz wynik z prawej strony,,,, 5,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Ċwiczenie 1.1 Policz wszystkie kropki na rysuku wyżej i zapisz wynik na marginesie prawym Ċwiczenie 1.2 Ile jest razem kropek w pierwszym i drugim wierszu? Ċwiczenie 1.3 Ile jest razem kropek w pierwszym, drugim i trzecim wierszu? Ċwiczenie 1.4 W pierwszm wierszu jest 5 kropek. O ile wiecej jest kropek w wierszu drugim Ċwiczenie 1.5 W drugim wierszu jest 10 kropek. O ile wiȩej jest kropek w wierszu trzecim?

8 4 Ċwiczenie 1.6 Oblicz sume = = = = = = = = = Ċwiczenie 1.7 Oblicz sume = = = = = = Ċwiczenie 1.8 Oblicz rȯżnice 10 5 = 15 5 = 20 5 = 15 5 = 20 5 =

9 5 Ċwiczenie 1.9 Oblicz rȯżnice 10 1 = 10 3 = 10 4 = 10 5 = 10 6 = 10 7 = 10 8 = 10 9 = Ċwiczenie 1.10 Oblicz sume = = = = = = = =

10 6 Ċwiczenie 1.11 Oblicz wyrażenie arytmetyczne = = = = = = = = Ċwiczenie 1.12 Wype lnij tabliczkȩ dodawania Dodawanie liczb jednocyfrowych Cyfry liczb dziesiȩtnych: Przyk lad 1.1 Liczby dwucyfrowe od 10 do Niżej napisz liczby dwucyfrowe od 10 do 20 w postaci sumy 10+liczba jednoṡci

11 7 10+ = 10, 10+ = = 11, 10+ = = 12, 10+ = = 13, 10+ = = 14, 10+ = 19 Przyk lad 1.2 Liczby dwucyfrowe od 21 do Niżej napisz liczby dwucyfrowe od 21 do 30 w postaci sumy 20+liczba jednoṡci 20+ = 21, 20+ = = 22, 20+ = = 23, 20+ = = 24, 20+ = = 25, 20+ = 30 Przyk lad 1.3 Liczby dwucyfrowe od 31 do Niżej napisz liczby dwucyfrowe od 31 do 40 w postaci sumy 20+liczba jednoṡci 30+ = 31, 30+ = = 32, 30+ = = 33, 30+ = = 34, 30+ = = 35, 30+ = 40 Przyk lad 1.4 Liczby dwucyfrowe od 41 do

12 8 Niżej napisz liczby dwucyfrowe od 41 do 50 w postaci sumy liczba dziesi atek+liczba jednoṡci. Napisz sk ladniki sumy we lug wzoru podanego w pierwszym wierszu = 41, = 46 + = 42, + = 47 + = 43, + = 48 + = 44, + = 49 + = 45, + = 50 Przyk lad 1.5 Liczby dwucyfrowe od 51 do Niżej napisz liczby dwucyfrowe od 51 do 60 w postaci sumy liczba dziesi atek+liczba jednoṡci. Napisz sk ladniki sumy we lug wzoru podanego w pierwszym wierszu = 51, = 66 + = 52, + = 57 + = 53, + = 58 + = 54, + = 59 + = 55, + = 60 Przyk lad 1.6 Dla każdej dwucyfrowe od 61 do podaj jej cyfrȩ dziesi atek i cyfreȩ jednoṡci wed lug wzoru W liczbie 61 cyfra dziesi atek 6, cyfra jednoṡci 1

13 9 liczba cyfra dziesi atek cyfra jednoṡci Przyk lad 1.7 Dla każdej dwucyfrowe od 71 do podaj jej cyfrȩ dziesi atek i cyfreȩ jednoṡci wed lug wzoru W liczbie 71 cyfra dziesi atek 7, cyfra jednoṡci 1 liczba cyfra dziesi atek cyfra jednoṡci Przyk lad 1.8 Dla każdej dwucyfrowej podaj jej cyfrȩ dziesi atek i cyfreȩ jednoṡci wed lug wzoru W liczbie 81 cyfra dziesi atek 8, cyfra jednoṡci 1

14 10 liczba cyfra dziesi atek cyfra jednoṡci Przyk lad 1.9 Cyfry 10 = cyfra dziesiatek 1; cyfra jednosci 0 15 = cyfra dziesiatek 1; cyfra jednosci 5 24 = cyfra dziesiatek 2; cyfra jednosci 4 36 = cyfra dziesiatek 3; cyfra jednosci 6 47 = cyfra dziesiatek 4; cyfra jednosci 7 55 = cyfra dziesiatek 5; cyfra jednosci 5 69 = 6 10 cyfra dziesiatek 6; cyfra jednosci 9 73 = 7 10 cyfra dziesiatek 7; cyfra jednosci 3 86 = 8 10 cyfra dziesiatek 8; cyfra jednosci 6 98 = cyfra dziesiatek 9; cyfra jednosci 8 99 = cyfra dziesiatek 2; cyfra jednosci 0 Ċwiczenie 1.13 Napisz liczbȩ dwucyfrow a ktȯra ma cyfrȩ jednoṡci rȯwn a 7 i cyfrȩ dziesi atek rȯwn a 9 Ċwiczenie 1.14 Ile dziesi atek ma liczba 67? Ile jednoṡci ma liczba 76? Ċwiczenie 1.15 Napisz liczbȩ dwucyfrow a ktȯra ma cyfrȩ jednoṡci i cyfrȩ dziesi atek t a sam a rȯwn a 4

15 11 Ċwiczenie 1.16 Oblicz sumȩ = = = = = = Dodawanie liczb dwucyfrowych Dodajemy jednoṡci obu liczb a natȩpnie dodajemy dziesi atki obu liczb Przyk lad 1.10 Wykonaj dodawanie = = = = Ċwiczenie 1.17 Wykonaj dodawanie = = = = = = = = Ċwiczenie 1.18 Wykonaj dodawanie = = = = = = = =

16 12 Ċwiczenie 1.19 Wykonaj dodawanie = = = = Ċwiczenie 1.20 Wykonaj dodawanie = = = = = = = = Ċwiczenie 1.21 Wykonaj dodawanie = = = = Mnożenie liczb jednocyfrowych Liczby jednocyfrowe Mnożenie przez dodawanie , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 = 3 2 = 6, = 4 3 = 12 4

17 13 Przyk lad 1.11 Wykonaj mnożenie przez dodawanie 2 3 = = = = 6, 3 2 = = = = = = 12, 4 3 = = 15 = 15, 3 5 = = 12, 2 6 = = 12, 6 = 12 = 14, 7 2 = = 14, = 27, 9 3 = Wynik mnożenia przez zero każdej liczby jest zawsze zero. Przyk lad = 0, 0 1 = 0, 0 2 = 0, 0 3 = 0, 0 4 = 0, 0 5 = 0, 0 6 = 0, 0 7 = 0, 0 8 = 0, 0 9 = 0 Wynik mnożenia przez jeden każdej liczby jest zawsze ta sama liczba Przyk lad = 1, 1 2 = 2, 1 3 = 3, 1 4 = 4, 1 5 = 5, 1 6 = 6, 1 7 = 0, 1 8 = 0, 1 9 = 9, 1 10 = 10 Mnożenie dowolnej liczby przez 2 Przyk lad = = = = = Mnożenie dowolnej liczby przez 3 = 2, 2 2 = = 4, 2 = 8, = 6, 2 4 = = 10, 2 6 = = 14, 2 8 = = 12, = 16, = 18, 2 10 = = 20 = 27,

18 14 Przyk lad = = = = = Mnożenie dowolnej liczby przez 4 = 3, 3 2 = = 6, 3 = 12, = 9, 4 4 = = 15, 3 6 = = 21, 3 8 = = 18, = 24, = 27, 3 10 = = 30 Przyk lad = = = = = Mnożenie dowolnej liczby przez 5 = 4, 4 2 = = 8, 4 = 16, = 12, 4 4 = = 20, 4 6 = = 28, 4 8 = = 24, = 32, = 36, 4 10 = = 40 Przyk lad = = = = = Mnożenie dowolnej liczby przez 6 = 5, 5 2 = = 10, 5 = 20, = 15, 5 4 = = 25, 5 6 = = 35, 5 8 = = 30, = 40, = 45, 5 10 = = 50

19 15 Przyk lad = = = = = Mnożenie jednocyfrowej liczby przez 7 = 6, 6 2 = = 12, 6 = 24, = 18, 6 4 = = 30, 6 6 = = 35, 6 8 = = 36, = 48, = 54, 6 10 = = 60 Przyk lad = = = = = Mnożenie jednocyfrowej liczby przez 8 = 7, 7 2 = = 14, 7 = 28, = 21, 7 4 = = 35, 7 6 = = 49, 7 8 = = 42, = 56, = 63, 7 10 = = 70 Przyk lad = = = = = Mnożenie jednocyfrowej liczby przez 9 = 8, 8 2 = = 16, 8 = 32, = 24, 8 4 = = 40, 8 6 = = 56, 8 8 = = 48, = 54, = 72, 8 10 = = 80

20 16 Przyk lad = = 9, 9 = 18, 9 2 = = = = = = = = = 27, = 36, = 45, = 54, = 63, = 72, = 81, 9 10 = Ċwiczenie 1.22 Wype lnij tabliczkȩ mnożenia = Dzielenie liczb przez liczby jednocyfrowe Liczby parzyste Cyfry sk ladaj a siȩ z cyfr parzystych 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 2, 4, 6, 8

21 17 i z cyfr nieparzystych 1, 3, 5, 7, 9 Liczba parzyste koṅcz a siȩ cyfr a parzyst a 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 Liczba nieparzyste koṅcz a siȩ cyfr a nieparzyst a 11, 13, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31 Liczby parzyste dziel a siȩ przezliczbȩ 2 Przyk lad : 2 = 0, 12 : 2 = 6 2 : 2 = 1, 14 : 2 = 7 4 : 2 = 2, 16 : 2 = 8 6 : 2 = 3, 18 : 2 = 9 8 : 2 = 4, 20 : 2 = : 2 = 5, 22 : 2 = 11 Dzielenie jest operacj a odwrotn a fo mnożenia. Uczymy siȩ dzieliċ wzoruj ac siȩ na przyk ladach Ċwiczenie 1.23 Sprawdż przez mnożenie 12 : 2 = 6, bo 2 6 = : 2 = 7, bo 2 7 = : 2 = 8, bo 2 8 = : 2 = 9, bo 2 9 = : 2 = 10, bo 2 10 = 20 Ċwiczenie 1.24 Wykonaj dzielenie. Sprawdż wynik przez mnożenie wpisuj ac odpowiedni a liczbȩ do kȯ leczka 8 : 2 =, bo 2 = 8 10 : 2 =, bo 2 = 10 8 : 4 =, bo 2 = 8 12 : 3 =, bo 3 = : 2 =, bo 2 = 11

22 18 Ċwiczenie 1.25 Wykonaj dzielenie. Sprawdż wynik przez mnożenie wpisuj ac odpowiedni a liczbȩ do kȯ leczka 24 : 2 =, bo 2 = : 3 =, bo 3 = : 4 =, bo 4 = : 6 =, bo 6 = : 7 =, bo 7 = 49 Ċwiczenie 1.26 Wykonaj dzielenie. Sprawdż wynik przez mnożenie wpisuj ac odpowiedni a liczbȩ do kȯ leczka 44 : 4 =, bo 4 = : 4 =, bo 4 = : 5 =, bo 5 = : 6 =, bo 6 = : 7 =, bo 7 = 56 Ċwiczenie 1.27 Wykonaj dzielenie. Sprawdż wynik przez mnożenie wpisuj ac odpowiedni a liczbȩ do kȯ leczka 64 : 8 =, bo 8 = : 5 =, bo 5 = : 6 =, bo 6 = : 3 =, bo 3 = 3 = : 7 =, bo 7 = 63 Ċwiczenie 1.28 Wykonaj dzielenie. Sprawdż wynik przez mnożenie wpisuj ac

23 19 odpowiedni a liczbȩ do kȯ leczka 72 : 9 =, bo 9 = : 3 =, bo 3 = : 4 =, bo 4 = : 7 =, bo 7 = : 3 =, bo 7 = 78 Ċwiczenie 1.29 Wykonaj dzielenie. Sprawdż wynik przez mnożenie wpisuj ac odpowiedni a liczbȩ do kȯ leczka 80 : 5 =, bo 5 = : 9 =, bo 9 = : 2 =, bo 2 = : 5 =, bo 5 = : 9 =, bo 9 = 90 Ċwiczenie 1.30 Wykonaj dzielenie. Sprawdż wynik przez mnożenie wpisuj ac odpowiedni a liczbȩ do kȯ leczka 92 : 4 =, bo 4 = : 5 =, bo 5 = : 9 =, bo 9 = : 7 =, bo 7 = : 4 =, bo 4 = 100 Kolejnoṡċ wykonywania operacji arytmetycznych w wyrażeniu arytmetycznym: pierwsze mnożenie * drugie dzielenie : trzecie dodawanie + czwarte odejmowanie -

24 20 Przyk lad 1.23 Oblicz wartoṡċ wyrażenia arytmetycznego wykonuj ac w kolejnoṡci operacje arytmetyczne : 2 = = 36 6 : : = = 18 Ċwiczenie 1.31 Oblicz wartoṡċ wyrażenia arytmetycznego wykonuj ac w kolejnoṡci operacje arytmetyczne (a) = (b) = (c) = (d) = (e) = (f) = (g) = (h) = (i) = (j) = (k) = (l) = Ċwiczenie 1.32 Oblicz wartoṡċ wyrażenia arytmetycznego wykonuj ac w kole-

25 21 jnoṡci operacje arytmetyczne (a) 84 : = (b) 45 : = (c) 42 : = (d) 66 : = (e) 21 : = (f) = (g) 49 : = (h) 75 : = (i) = (j) 36 : = (k) 63 : = (l) 44 : = Geometria. Figury Proste W zakresie geometrii, uczniowie klasy I poznaj a figury geometryczne, odcinek, okr ag, trȯjk at i prostok at w rysunkach, pos luguj ac siȩ linijk a i cyrklem Prosta i odcinek Ċwiczenie 1.33 Narysuj linie prost a, niżej pod prost a na rysunku Ċwiczenie 1.34 Narysuj odcinek rȯwny odcinkowi na rysunku

26 22 Ċwiczenie 1.35 Niżej na linii prostej, zaznacz odcinek dwa razy d luższy od wskazanego odcinka na rysunku Ċwiczenie 1.36 Niżej na linii prostej, zaznacz odcinek dwa razy krȯtszy od wskazanego odcinka na rysunku Okr ag i ko lo Ċwiczenie 1.37 Narysuj cyrklem okr ag rȯwny okrȩgowi na rysunku Ċwiczenie 1.38 Zaznacz kredk a na rysunku ṡrodek okrȩgu, promieṅ okrȩgu i obwȯd okrȩgu Ċwiczenie 1.39 Narysuj cyrklem okr ag o promieniu dwa razy miejszym od okrȩgu na rysunku Ċwiczenie 1.40 Narysuj cyrklem okr ag o promieniu dwa razy wiȩkszym od okrȩgu na rysunku Ċwiczenie 1.41 Wnȩtrze okrȩgu nazywamy ko lem. Zakreṡl kredk a ko lo na rysunku 7

27 Trȯjk aty Poznaj na rysunkach trȯjk aty: trȯjk at rȯwnoboczny, trȯjk at rȯwnoramienny, trȯjk at prostok atny i trȯjk atȯw dowolny Zaznacz na rysunku boki, k aty i wierzcho lki trȯjk ata. Trȯjk at Trȯk at rȯwnoboczny ma wszystkie boki rȯwne i k aty też rȯwne. Zmierz boki i k aty trȯjk ata na rysunku Trȯjk at rȯwnoboczny Trȯk at rȯwnoramienny Ċwiczenie 1.42 Narysuj trȯjk at rȯwnoramienny podobny do tr jk ata rȯwnoramiennego na rysunku używaj ac cyrkla i linijki. Zmierz boki i k aty tego trȯjk ata.

28 24 Trȯjk at rȯwnoramienny Trȯjk at prostok atny Ċwiczenie 1.43 Narysuj trȯjk at prostok atny podobny do tr jk ata protok atnego na rysunku używaj ac cyrkla i linijki. Zmierz boki i k aty tego trȯjk ata. Trȯjk at prostok atny 1.2 klasa II Zak lada siȩ, że uczniowie klasy II w zakresie arytmetyki, poznaj a zbiȯr liczb ca lkowitych jako rozszerzenie zbioru liczb naturalnych. Naucz a siȩ pisemnego wykonywania operacji arytmetycznych, dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia liczb ca lkowitych. W zakesie geometrii, poznaj a w lasnoṡci figur geometrycznych, opis tȯjk atȯw, czworok atȯw i okrȩgȯw, po lożenie prostych na p laszczyżnie, proste rȯwnoleg le, proste prostopad le Arytmetyka Powtȯrzenie z klasy I. Wyrażenia arytmetyczne z liczbami naturalnymi Powtȯrzenie tematȯw z klasy I: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie w zakresie liczb naturalnych, W tym obliczanie prostych wyrażeṅ arytmetycznych, wyrażenia arytmetyczne liczb naturalnych z dodawaniem, odejmowaniem, mnożeniem i dzieleniem, kolejnoṡċ dzia laṅ bez nawiasȯw Kolejnoṡċ wykonywania operacji arytmetycznych w wyrażeniu arytmetycznym: pierwsze mnożenie * drugie dzielenie : trzecie dodawanie +

29 25 czwarte odejmowanie - Przyk lad 1.24 Oblicz wartoṡċ wyrażenia arytmetycznego wykonuj ac w kolejnoṡci operacje arytmetyczne : 2 = = 36 6 : : = = 18 Wyrażenia arytmetyczne liczb naturalnych z dodawaniem, odejmowaniem, mnożeniem i dzieleniem, kolejnoṡċ dzia laṅ z nawiasami, Nawiasy ustalaj a kolejnoṡċ wykonania dzia laṅ arytmetycznych w wyrażeniu arytmetycznym. Najpierw obliczamy wyrażenia w nawiasach. Przyk lad 1.25 Oblicz wartoṡċ wyrażenia arytmetycznego wykonuj ac w kolejnoṡci operacje arytmetyczne z nawiasami (4 2) + (9 3) = = 8 (6 2) (8 3) = 4 5 = 20 (12 6) : (10 8) = 6 : 2 = 3 (6 2) (8 3) : (10 8) = 4 5 : 2 = 20 : 2 = 10 Ċwiczenie 1.44 Oblicz wartoṡċ wyrażenia arytmetycznego wykonuj ac w kolejnoṡci operacje arytmetyczne z nawiasami (8 5) + (9 4) = = 8 (9 4) (8 5) = 5 3 = 15 (16 8) : (10 8) = 8 : 2 = 4 (18 12) (10 8) : (10 7) = 6 2 : 3 = 12 : 3 = 4 Przyk lad 1.26 Oblicz wartoṡċ wyrażenia arytmetycznego wykonuj ac w kolejnoṡci operacje arytmetyczne (24 12) + (36 24) = = 24 (56 46) (8 5) = 10 3 = 30 (82 76) : (10 7) = 6 : 3 = 2 (98 18) (8 7) : (10 8) = 80 1 : 2 = 80 : 2 = 40

30 Liczby ca lkowite. Oṡ liczbowa Odejmowanie jako operacja odwrotna do dodawania, liczba przeciwna do liczby naturalnej, przyk lady, Na tablicy oṡ liczbowa z zaznaczonymi liczbamy naturalnymi po prawej stronie, liczbami przeciwnymi do liczb naturalnych po lewej stronie na osi liczbowej Fig. 1. Oṡ liczbowa, Liczby ca lkowite x Liczby naturalne razem z liczbami do nich przeciwnymi tworz a zbiȯr liczb ca lkowitych Przyk lad 1.27 Zaznacz na osi liczbowej liczby przeciwne do wskazanych liczb naturalnych Fig. 1. Oṡ liczbowa, liczby ca lkowite x Na tablicy widzimy oṡ liczbow a. Wszystkie liczby naturalne razem ze wszystkimi liczbami do nich przeciwnymi tworz a zbiȯr liczb ca lkowitych... 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5... Odejmu ac od 0 liczby naturalne znajdujemy liczby ca lkowite ujemne. Pani odejmoje g loṡno, uczniowie powtarzaj a g loṡno 0 1 = 1, 0 6 = = 2, 0 7 = = 3, 0 8 = = 4, 0 9 = = 5, 0 10 = 10

31 27 Ċwiczenie 1.45 Wykonaj odejmowanie sam 0 11 =, 0 16 = 0 12 =, 0 17 = 0 13 =, 0 18 = 0 14 =, 0 19 = 0 15 =, 0 20 = Przyk lad 1.28 Razem z Nauczycielem, wszyscy wykonajmy odejmowanie g loṡno 5 10 = 5, = = 6, = = 6, = = 6, = = 6, = 6 Ċwiczenie 1.46 Wykonaj odejmowanie sam 1 10 =, = 3 12 =, = 5 14 =, = 7 15 =, = 9 16 =, = Dodawanie i odejmowanie liczb ca lkowitych Dodanie liczby ca lkowitej ujemnej do liczby ca lkowitej dodatniej oznacza rȯżnice tych liczb Przyk lad ( 4) = 5 4 = 1, 9 + ( 7) = 9 7 = 2, 5 + ( 4) = 5 4 = 1, 9 + ( 7) = 9 7 = 2, = 5 15 = 10, = 7 12 = 5, 14 + ( 4) = 14 4 = 18, 21 + ( 7) = 21 7 = 28

32 28 Odejmuj ac liczbȩ ujemn a oznacza dodanie liczby dodatniej. To znaczy, że minus przed liczb a ujemn a oznacza liczbȩ dodatni a. Zobacz niżej na przyk ladach ( 5) = +5 = 5, ( 9) = +9 = 9, ( 7) = 7, ( 45) = 45 Jak uwolniċ proste wyrażenie arytmetyczne od nawiasȯw. Minus przed nawiasem, zmieniamy znak w nawiasie na przeciwny Przyk lad 1.30 ( 10) = 10, (1 + 2) = 1 2 = 3, (1 2) = = 1, ( 1 2) = = 3, ( ( 3)) = ( 3) = 3, ( (1 2)) = (1 2) = 1 Oblicz wartoṡċ wyrażenia arytmetycznego (9 10) (5 6) = = 2, (1 + 2) (7 10) = = 0, (1 2) + (9 6) = = 6, ( 1 2) (9 6) = = 0, ( (2 3)) + ( (4 5)) = (2 3) (4 5) = 1 ( 1) = = 0, ( (1 2)) ( (4 5)) = (1 2) + (4 5) = = Mnożenie liczb ca lkowitych Iloczyn liczby ca lkowitej dodatnie przez liczbȩ ca lkowit a dodatni a jest liczb a ca lkowit a dodatni a Przyk lad = 64, 6 7 = 42 Iloczyn liczb ca lkowitych ujemnych jest dodatni Przyk lad 1.32 ( 8) ( 8) = 64, ( 6) ( 7) = 42 Iloczyn liczby ca lkowitejch ujemnej przez jest dodatni a jest liczb a ujemn a Przyk lad 1.33 ( 8) (8) = 64, 6 ( 7) = 42 Iloczyn każdej liczby ca lkowitych przez liczbȩ 0 jest rȯwny 0

33 29 Przyk lad 1.34 ( 8) 0 = 0, 0 ( 7) = 0 Przyk lad 1.35 Oblicz wartoṡċ wyrażenia arytmetycznego ( 8) ( 8) + ( 2) 7 = 64 + ( 14) = = 50 Ċwiczenie 1.47 Oblicz wartoṡċ wyrażenia arytmetycznego ( 9) ( 9) + ( 6) ( 6) = 20 ( 1) 14 ( 2) = ( 3) 4 (12 ( 2) ( 5) = Dzielenie liczb ca lkowitych Wynik dzielenia dwȯch dodatnich liczb ca lkowitych jest liczb a dodatni a Przyk lad : 4 = 2, 15 : 3 = 5 Wynik dzielenia dwȯch ujemnych liczb ca lkowitych jest liczb a dodatni a Przyk lad 1.37 ( 8) : ( 4) = 2, ( 15) : ( 3) = 5 Wynik dzielenia liczby ca lkowitej ujemnej przez liczbȩ ca lkowit a dodatni a jest liczb a ujemny. Podobnie wynik dzielenia liczby ca lkowitej dodatniej przez liczbȩ ca lkowit a ujemn a jest ujemny. Przyk lad 1.38 ( 8) : 4 = 2, 8 : ( 4) = 5 Ċwiczenie 1.48 Oblicz wartoṡċ wyrażenia arytmetycznego ( 8 : : 7) (9 : 3 6 : 2) = ( 18) : : 3 (15 : ( 5) (16 : 2)) = (( 24) : : 3) (15 : ( 5) (16 : 2)) =

34 Geometria W zakresie geometrii uczniowie klasy II-ej poznaj a podstawowe w lasnoṡci figur prostych: odcinek, proste rȯwnoleg le i proste prostopad le, trȯjk aty, czworok aty, rȯwnoleg loboki, okr ag i ko lo. Punkt, prosta i p laszczyzna to s a pojȩcia pierwotne, ktȯre nie definiujemy. Na rysunkach punkt i linia prosta, dwie proste przecinaj ace siȩ, dwie proste rȯwnoleg le i dwie proste prostopad le Ċwiczenie 1.49 Zaznacz k aty wierzcho lkowe ostre kredk a czerwon a i rozwarte kredk a czarn a. Zmierz k atomierzem k aty wierzcho lkowe. Ktȯre k aty wierzcho lkowe s a rȯwne? Fig. 3. Dwie linie proste, ktȯre siȩ przecinaj a w punkcie Ċwiczenie 1.50 Zaznacz pary rȯwnych k atȯw odpowiawdaj acych.: Fig. 4. Dwie linie proste rȯwnoleg le Odpowiedż: k aty odpowiadaj ace rȯwne 1 i 5; 3 i ; 2 i ; 4 i ; Ċwiczenie 1.51 Zaznacz pary rȯwnych k atȯw naprzemianleg lych wewnȩtrznych i zewnetrznych Fig. 4. Dwie linie proste rȯwnoleg le

35 31 k aty naprzemianleg le wewnȩtrzne: k aty naprzemianleg le zewnȩtrzne: 3 i 6 4 i ; ; 1 i 8 4 i ; ; Ċwiczenie 1.52 Zaznacz pary rȯwnych k atȯw przyleg lych Fig. 4. Dwie linie proste rȯwnoleg le Odpowiedż: k aty przyleg le 1 i 2; 3 i ; 5 i ; 7 i ; K at pe lny rȯwny jest 360 0, k at pȯ lpe lny rȯwny jest 180 0, k at prosty rẇny jest Ċwiczenie 1.53 Narysuj prosta prostopad l a do prostej poziomej przechodz ac a przez punt A oraz drug a prost a rȯwnoleg l a do prostej poziomej przechodz ac a przez punkt B. B A Fig. 5. Dwie linie proste prostopad le, ktȯre siȩ przecinaj a w punkcie Trȯjk aty Trȯjkat ABC ma trzy wierzcho lki A, B, C trzy boki boki a, b, c i trzy k aty α, β, γ, czytaj greckie litery: alfa, beta, gama Pokaż na rysunku boki, wierzcho lki i k aty trȯjk ata.

36 32 C γ b a α β A c B Trȯjk at Trȯk at rȯwnoboczny ABC ma wszystkie boki rȯwne i k aty też rȯwne. Zmierz boki i k aty trȯjk ata na rysunku linijk a i kontomierzem. Oblicz sumȩ k atȯw trȯjk ata C γ b α A c a β B Trȯjk at rȯwnoboczny a =, b =, c = α =, β =, γ = Suma = Trȯk at rȯwnoramienny ABC Ċwiczenie 1.54 Trȯjk at rȯwnoramienny ma dwa ramiona i dwa k aty rȯwne. Zmierz boki i k aty tego trȯjk ata.

37 33 A b α Trȯjk at prostok atny γ C c a β B Trȯjk at rȯwnoramienny a =, b =, c = α =, β =, γ = Suma = Ċwiczenie 1.55 Narysuj trȯjk at prostok atny podobny do tr jk ata protok atnego na rysunku używaj ac cyrkla i linijki. Zmierz boki i k aty tego trȯjk ata. C γ b A α a c β B Trȯjk at prostok atny a =, b =, c = α =, β =, γ = Suma = Czworok aty Ċwiczenie 1.56 Cworok at ABCD ma cztery boki a, b, c, d, cztery k aty α, β, γ, δ. Zmierz boki i k aty tego czworok ata. Oblicz sumȩ k atȯw czworok ata.

38 34 A d α D δ c γ Czworok at ABCD a C b β B a =, b =, c =, d = α =, β =, γ =, δ = Suma = Ċwiczenie 1.57 Kwadrat ABCD ma cztery boki rȯwne a, cztery k aty proste rȯwne Zmierz boki i k aty kwadratu. Oblicz sumȩ k atȯw czworok ata. D c C δ = 90 0 γ = 90 0 d b A α = 90 0 β = 90 0 a B Czworok at ABCD a =, b =, c =, d = α =, β =, γ =, δ = Suma = Ċwiczenie 1.58 Prostok at ABCD ma cztery boki parami rȯwne a = c, b = d cztery k aty proste rȯwne Zmierz boki i k aty prostok ata. Oblicz sumȩ k atȯw prostok ata.

39 35 D c C δ = 90 0 γ = 90 0 d b A α = 90 0 β = 90 0 a B Prostok at ABCD a =, b =, c =, d = α =, β =, γ =, δ = Suma = Okr ag i ko lo Zaznacz kredk a na rysunku ṡrodek okrȩgu, promieṅ okrȩgu, ṡrednicȩ okrȩgu i obwȯd okrȩgu Ṡrednica okrȩgu rȯwna jest 2 razy promieṅ okrȩgu. Obszar wewn atrz okrȩgu nazywamy ko lem. Ċwiczenie 1.59 Narysuj cyrklem okr ag o promieniu 2cm. Zaznacz kredk a wnȩtrze okrȩgu jako ko lo o promieniu 2cm. Oblicz ṡrednicȩ okrȩgu. Srednica okregu = 1.3 Klasa III Zak lada siȩ, że uczniowie klasy III w zakresie arytmetyki, poznaj a pisemne operacje arytmetyczne dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie na dwucyfrowych i trzycyfrowych liczbach ca lkowitych z prostymi u lamkami. Jednostki miary: odleg loṡci, wagi, temperatury, czasu. Z geometrii powtȯrzenie klasy II-ej, po lożenie prostych na p laszczyżnie proste rȯwnoleg le, proste prostopad le, okreṡlenie k atȯw powsta lych z przeciȩcia prostych

40 36 rȯwnoleg lych trzeci a prost a. Odcinek: podzia l odcinka na po lowȩ, symetralna odcinka, konstrukcja z cyrklem i linijk a Trȯjk aty: opis i konstrukcja tȯjk atȯw rȯwnobocznych, rȯwnoramiennych i trȯjk atȯw prostok atnych Czworok aty: Kwadrat, prosok at, rȯwnoleg lobok i romb Ok ag i ko lo: ṡrodek okrȩgu, promieṅ okrȩgu,ṡrednica okrȩgu, k at ṡrodkowy i k at wpisany w okr ag. Knstrukcja dwusiecznej k ata z cyrklem i linijk a Arytmetyka Powtȯrzenie tematȯw z klasy II w zakresie wyrażeṅ arytmetycznych z liczbami ca lkowitymi Pisemne dodawanie liczb dwucyfrowych Liczby dwucyfrowe maj a na pierwszym miejscu cyfrȩ dziesi atek, na drugim miejscu maj a cyfrȩ jednostek. Przyk lad = = , 67 = = = = , 77 = = Suma liczb dwucyfrowych rȯwna jest sumie ich jednoṡci i sumie ich dziesi atek. Sumȩ dzesi atek zwiȩkszamy o jeden, jeżeli suma jednoṡci jest wiȩksza od 9. Wtedy doddawanie jest z przekroczeniem progu dziesi atkowego. Przyk lad dodawania bez przekroczenia progu dziesi atkowego = = = = = = = Dodajemy wed lug schematu Przyk lad Przyk lad dodawania z przekroczeniem progu dziesi atkowego

41 37 Przyk lad Pisemne odejmowanie liczb dwucyfrowych Odejmowanie liczb dwucyfrowych bez przekroczenia progu dziesi atkowego Ċwiczenie = = = = 14 Odejmujemy wed lug schematu Przyk lad Odejmowanie liczb dwucyfrowych z przekroczeniem progu dziesi atkowego Ċwiczenie = ( ) (30 + 6) = (60 30) + (13 6) = = Odejmujemy wed lug schemetu Przyk lad = = (60 30) 30 +(13 6) Pisemne mnożenie liczb dwucyfrowych = 37 Iloczyn dwȯch liczb ma dwa czynniki. Pierwszy czynnik nazywa siȩ mnożna, drugi czynnik, przez ktȯry mnożymy, nazywa siȩ mnożnik. Ċwiczenie mnozna 24 mnonik Wynik iloczynu liczb dwucyfrowych jest liczb a trzycyfrow a lub liczb a czterocyfrow a Najpierw mnożymy mnożn a przez cyfrȩ jednoṡci mnożnika. Nastȩpnie mnożymy mnożn a przez cyfrȩ dziesi atek mnożnika. Iloczyn jest rȯwny sumie tych dwȯch mnożeṅ zapisanej wschemacie mnożenia. Poznajemy schematy mnożenia na przyk ladach

42 38 Ċwiczenie 1.63 Oblicz iloczyn mnozna 24 mnoznik, cyfra jednosci 4, cyfra dziesiatek = = 72, liczba dziesiatek 864 Ċwiczenie 1.64 Oblicz iloczyn mnozna 35 mnoznik, cyfra jednosci 5, cyfra diesiatek = = 135, liczba dziesiatek 1575 Ċwiczenie 1.65 Dokoṅcz mnożenie mnozna 43 mnoznik, cyfra jednosci 3, cyfra dziesiatek = = 224, liczba dziesiatek Ċwiczenie 1.66 Dokoṅcz mnożenie mnozna 63 mnoznik, cyfra jednosci 3, cyfra diesiatek = = 516, liczba dziesiatek Ċwiczenie 1.67 Wykonaj mnożenie mnozna 41 mnoznik, cyfra jednosci 4, cyfra dziesiatek 1 +, liczba dziesiatek

43 39 Ċwiczenie 1.68 Wykonaj mnożenie Pisemne dzielenie W operacji dzielenia pierwsza liczba jest dzieln a, druga liczba jest dzielnikiem 512 dzielna : 16 dzielnik Uczymy siȩ pisemnego dzielenia liczb wielocyfrowych przez liczby jednocyfrowe lub dwucyfrowe wed lug schematu : 3 ile razy w 5 miesci sie = 3 27 do roznicy 2 ; dopisujemy 7 27 ile razy w 27 miesci sie = 29 0 koniec dzielenia : wynik = 19 Odpowiedż: 57 : 3 = 19. Sprawdzamy: 19 3 = : 4 ile razy w 5 miesci sie = 4 11 do roznicy 1 ; dopisujemy 1 8 ile razy w 11 miesci sie = 8 36 do roznicy 3 dopidujemy = 36 0 Odpowiedż: 516 : 4 = 129. Sprawdzamy: = 516

44 40 Ċwiczenie 1.69 Wykonaj dzielenie : 3 ile razy w 7 miesci sie = 6 12 do roznicy 1 ; dopisujemy 2 12 ile razy w 12 miesci sie = 12 9 ile razy w 9 mieci sie = 9 0 Odpowiedż: 729 : 3 = 243. Sprawdzamy: = 729 Ċwiczenie 1.70 Wykonaj dzielenie : 8 ile razy w 10 miesci sie = 8 22 do roznicy 2 ; dopisujemy 2 16 ile razy w 22 miesci sie = do roznicy 6 dopisujemy 4 64 ile razy w 64 miesci sie = 64 0 Ċwiczenie 1.71 Dokoṅcz dzielenie 25? 2048 : 8 ile razy w 20 miesci sie = do roznicy 4 ; dopisujemy 4 40 ile razy w 44 miesci sie = 40 do roznicy 4 dopisujemy 8 ile razy w 48 miesci sie 8 Odpowiedż: 2024 : 8 = 25?. Sprawdzamy: 25? 8 = 2048

45 41 Przyk lad 1.44 Wykonaj pisemne dzielenie liczb (a) 63 : 3, (g) 84 : 4 (b) 75 : 5, (h) 96 : 6 (c) 39 : 3, (i) 124 : 2 (d) 215 : 5, (j) 480 : 8 (e) 625 : 5, (k) 729 : 3 (f) 1240 : 8, (l) 2048 : 8 Wyrażenie arytmetyczne Liczby po l aczone operacjami arytmetycznymi dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie nazywamy wyrażeniem arytmetycznym. Kolejnoṡċ wykonywania operacji arytmetycznych w wyrażeniu arytmetycznym: pierwsze mnożenie * drugie dzielenie : trzecie dodawanie + czwarte odejmowanie - W wyrażeniu arytmetycznym z nawiasami w pierwszej kolejnoṡci wykonujemy operacje w nawiasach. Przyk lad 1.45 Oblicz wartoṡċ wyrażenia arytmetycznego wykonuj ac w kolejnoṡci operacje arytmetyczne : 2 = 36 : : 2 98 : : : 2 98 : 2 W wyrażeniu arytmetycznym z nawiasami w pierwszej kolejnoṡci wykonujemy operacje w nawiasach. Przyk lad 1.46 Oblicz wartoṡċ wyrażenia arytmetycznego ( ) : ( ) = (336 : 3 84 : 4) + (98 : 2 25 : 5) = (125 : : 7) : 6 = (4096 : : 4) + (1640 : : 4) =

46 Geometria W zakresie geometrii uczniowie klasy III-ej poznaj a konstrukcje z linijk a i cyrklem: odcinka, prostych rȯwnoleg lych i prostych prostopad lych, trȯjk atȯw, czworok atȯw, rȯwnoleg lobokȯw, okr ag i ko lo Odcinek, proste prostopad le i prosterȯwnoleg le Ċwiczenia: pos lugiwane siȩ linijk a i cyrklem. Ċwiczenie 1.72 Narysuj odcinek o d lugoṡci 3cm. Ċwiczenie 1.73 Narysuj odcinek dwa razy d luższy od odcinka na rysunku używaj aj ac linijki i cyrkla Ċwiczenie 1.74 Podziel odcinek na dwie rȯwne czȩṡci używaj aj ac cyrkla i linijki Ċwiczenie 1.75 Narysuj prost a prostopad l a do prostej na rysunku i przechodz acej przez dany ponkt Ċwiczenie 1.76 Narysuj prost a rȯwnoleg l a do prostej na rysunku i przechodz acej przez dany ponkt Ċwiczenie 1.77 Zaznacz pary k atȯw rȯwnych Fig. 4. Dwie linie proste rȯwnoleg le

47 43 Ċwiczenie 1.78 Zaznacz pary k atȯw naprzemianleg lych wewnȩtrznych i zewnȩtrznych Ċwiczenie 1.79 Zaznacz pary k atȯw przyleg lych Trȯjk aty Poznaj na rysunkach trȯjk aty: trȯjk at rȯwnoboczny, trȯjk at rȯwnoramienny, trȯjk at prostok atny i trȯjk atȯw dowolny Trȯjk at rȯwnoboczny. Trȯjk at rȯwnoboczny ma wszystkie boki rȯwne i wszystkie k aty też rȯwne. Przyk lad 1.47 Narysuj trȯjk at rȯwnoboczny o danym boku a = 3cm używaj ac cyrkla i linijki. Zmierz boki i k aty trȯjk ata na rysunku C γ b a A α β c B Trȯk at rȯwnoramienny ABC. Trȯjk at rȯwnoramienny ma dwa boki rȯwne i dwa k aty przy podstawie rȯwne.

48 44 Przyk lad 1.48 Zmierz boki i k aty tego trȯjk ata. Oblicz sumȩ k atȯw tego trȯjk ata C γ b a α A c β B Trȯjk at rȯwnoramienny ABC Narysuj trȯjk at rȯwnoramienny o podstawie a = 2cm i o bokach b = 3cm, c = 3cm używaj ac linijki i cyrkla. Trȯjk at prostok atny. alpha = 90 0 Trȯjk at prostok atny ma jeden k at prosty rȯwny Ċwiczenie 1.80 Zmierz boki i k aty tego trȯjk ata. C γ b a α β A c B Trȯjk at prostok atny ABC Narysuj trȯjk at prostok atny o bokach a = 3cm, b = 4cm, c = 5cm używaj ac linijki i cyrkla. Oblicz sumȩ k atȯw tego trȯjk ata. Trȯjk at dowolny. Przyk lad 1.49 Narysuj trȯjk at o danych bokach a = 2cm, b = 3cm, c = 4cm używaj ac linijki i cyrkla. Zmierz k aty tego trȯjk ata. Oblicz sumȩ k atȯw tego trȯjk ata

49 45 A C γ b a α β B c Trȯjk at ABC Czworok aty Ċwiczenie 1.81 Czworok at ABCD ma cztery boki a, b, c, d, cztery k aty α, β, γ, δ. Zmierz boki i k aty tego czworok ata. Oblicz sumȩ k atȯw czworok ata. D δ c C γ d b α A Czworok at ABCD a β B a =, b =, c =, d = α =, β =, γ =, δ = Suma = Ċwiczenie 1.82 Kwadrat ABCD ma cztery boki rȯwne a, cztery k aty proste rȯwne Zmierz boki i k aty kwadratu. Oblicz sumȩ k atȯw czworok ata.

50 46 D c C δ = 90 0 γ = 90 0 d b A α = 90 0 β = 90 0 a B Czworok at ABCD a =, b =, c =, d = α =, β =, γ =, δ = Suma = Ċwiczenie 1.83 Prostok at ABCD ma cztery boki parami rȯwne a = c, b = d cztery k aty proste rȯwne Zmierz boki i k aty prostok ata. Oblicz sumȩ k atȯw prostok ata. D c C δ = 90 0 γ = 90 0 d b A α = 90 0 β = 90 0 a B Prostok at ABCD a =, b =, c =, d = α =, β =, γ =, δ = Suma = Okr ag i ko lo Obszar wewn atrz okrȩgu nazywamy ko lem. Na pierwszyym rysunku, zaznacz ṡrodek okrȩgu, promieṅ okrȩgu, ṡrednicȩ okrȩgu i obwȯd okrȩgu. Na drukim

51 47 rysunku zaznacz ko lo. Ṡrednica okrȩgu rȯwna jest 2 razy promieṅ okrȩgu. Ċwiczenie 1.84 Narysuj cyrklem okr ag o promieniu 1cm. Zaznacz kredk a wnȩtrze okrȩgu jako ko lo o promieniu 1cm. Oblicz ṡrednicȩ okrȩgu. Srednica okregu = Ċwiczenie 1.85 Narysuj okr ag o promieniu 2cm. W tym okȩgu narysuj k at ṡrokowy i k at wpisany w okr ag opary na tym samym luku co k at ṡrodkowy. Zmierz k atomierzem k at ṡrodkowy i k at wpisany w okr ag. Ċwiczenie 1.86 Narysuj cyrklem okr ag o promieniu 2cm. Zaznacz kredk a wnȩtrze okrȩgu jako ko lo o promieniu 2cm. Oblicz ṡrednicȩ okrȩgu. Srednica okregu =