Geometria wykreślna. 3. Równoległość. Prostopadłość. Transformacja celowa. dr inż. arch. Anna Wancław. Politechnika Gdańska, Wydział Architektury

Transkrypt

1 Geometria wykreślna 3. Równoległość. Prostopadłość. Transformacja celowa. dr inż. arch. Anna Wancław Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Studia inżynierskie, kierunek Architektura, semestr I 1

2 3. Równoległość. Prostopadłość. Transformacja celowa Równoległość prostych, prostej i płaszczyzny, płaszczyzn Zadania. Prostopadłość prostych w przestrzeni i w rzutach Prostopadłość prostej i płaszczyzny, prostopadłość dwóch płaszczyzn Zadania Wielościany definicje, klasyfikacja Transformacja celowa - rzeczywiste wielkości Budowa wielościanów - zadanie 2

3 Równoległość prostych, prostej i płaszczyzny, płaszczyzn b a

4 Własność (niezmiennik) rzutowania równoległego: rzutem prostych równoległych są proste równoległe

5 b Równoległość Zadanie 1. a x 12 Skonstruować rzut pionowy trójkąta ABC, równoległego do płaszczyzny a=ab, wiedząc, że punkt B leży na rzutni poziomej. B b C A a

6 Zadanie 1. B b a x 12 Wiedząc, że punkt B leży na rzutni poziomej, wyznaczamy jego rzut pionowy (pokrywający się z osią rzutów x 12 ). B b C A a

7 Zadanie 1. B b a x 12 Do wyznaczenia rzutu pionowego trójkąta ABC wykorzystamy własność zachowania równoległości w rzucie prostokątnym. A B k C b a Przyjmijmy na płaszczyźnie a dowolną prostą k, równoległą do boku BC. Zatem rzut poziomy prostej k będzie równoległy do rzutu poziomego boku BC. 7

8 Zadanie 1. 1 B b 2 x 12 a Ponieważ prosta k leży na a, przecina się z prostymi a i b w punktach 1, 2. Wyznaczamy rzuty pionowe punktów 1 i 2, a następnie rzut pionowy prostej k. B b 1 C A k 2 a

9 Zadanie 1. 1 k b C 2 a Równolegle do rzutu pionowego prostej k wyznaczamy rzut pionowy boku BC. B x 12 B b 1 C A k 2 a 9

10 Zadanie 1. 1 B k b 2 C a x 12 Powtarzamy konstrukcję biorąc pod uwagę bok AB. Przyjmujemy na płaszczyźnie a dowolną prostą l, równoległą do boku AB. 1 B C b l 3 W tym przypadku prostą l przyjęto przez punkt 2, punkt przecięcia z prostą b oznaczono jako 3. A k 2 a

11 3 Zadanie 1. 1 k b C 2 l a Wyznaczamy rzut pionowy punktu 3, a następnie rzut pionowy prostej l. B x 12 B b 3 1 C l A k 2 a 11

12 3 Zadanie 3. 1 k b C 2 l a Równolegle do rzutu pionowego prostej l wyznaczamy rzut pionowy boku AB. B x 12 1 A B b 3 C l A k 2 a

13 3 Zadanie 1. 1 k b C 2 l a Uzupełniamy rzut pionowy boku AC. B x 12 1 A B b 3 C l A k 2 a 13

14 A a Równoległość Zadanie 2. B 1 2 =2 b b x 12 Skonstruować rzut pionowy trójkąta ABC, równoległego do płaszczyzny a=ab. b=1,2 Uwaga: Punkt A jest dany w obu rzutach. C A 1 a

15 A Zadanie 2. B 1 k b 2 =2 b a C x 12 Do wyznaczenia rzutu pionowego trójkąta ABC wykorzystamy własność zachowania równoległości w rzucie prostokątnym. Przyjmijmy na płaszczyźnie a=ab dowolną prostą k, równoległą do boku AB. Zatem rzut poziomy prostej k będzie równoległy do boku AB. A 1 a Ze względu na szczególne położenie prostej b, prostą k prowadzimy przez punkt 2. 15

16 A 3 k 1 b 2 =2 a x 12 Zadanie 2. Przy pomocy punktu przecięcia się prostych k i a (punkt 3) oraz punktu 2 wyznaczamy rzut pionowy prostej k. B b k C A 3 1 a

17 A 3 B k 1 b a Zadanie 2. Równolegle do rzutu pionowego prostej k wyznaczamy rzut pionowy boku AB. 2 =2 x 12 B b k C A 3 1 a 17

18 A Zadanie 2. 3 B k 1 b a Powtarzamy konstrukcję biorąc pod uwagę bok AC. Przyjmujemy na płaszczyźnie a=ab dowolną prostą l, równoległą do boku AC. B k 2 =2 b C x 12 Ze względu na szczególne położenie prostej b, prostą l prowadzimy przez punkt 1. Proste l i k przecinają się w punkcie 4. A 4 3 l 1 a

19 A 4 l 3 B k 1 b a Zadanie 2. Przy pomocy punktów 1 i 4 wyznaczamy rzut pionowy prostej l. 2 =2 x 12 B b k C 19 A 4 3 l 1 a

20 A 4 l 3 B k b 1 C a Zadanie 2. Równolegle do prostej l wyznaczamy rzut pionowy boku AC. 2 =2 x 12 B b k C A 4 3 l 1 a

21 A 4 l B b 1 C a Zadanie 2. Uzupełniamy rzut pionowy boku BC. 3 k 2 =2 x 12 B b k C A 4 3 l 1 a

22 Prostopadłość prostych, odwzorowanie kąta prostego w rzutach

23 Prostopadłość prostych, odwzorowanie kąta prostego w rzutach

24 Rzut prostokątny, własności 24 rzutem prostokątnym ramion kąta prostego są proste prostopadłe, gdy co najmniej jedno ramię jest do rzutni równoległe

25 Prostopadłość prostych, odwzorowanie kąta prostego w rzutach Rzutem prostokątnym ramion kąta prostego są proste prostopadłe, gdy co najmniej jedno ramię jest do rzutni równoległe. q m p n x 12 q x 12 m p n Zatem rzut pionowy prostej prostopadłej do prostej czołowej n będzie prostopadły do rzutu pionowego tej prostej, a rzut poziomy prostej prostopadłej do prostej poziomej m będzie prostopadły do rzutu poziomego tej prostej

26 n Prostopadłość w rzutach prostokątnych n p 2 m m m n m n x 12 x 12 p 1 m n 26

27 Prostopadłość prostej i płaszczyzny, oraz dwóch płaszczyzn

28 A k Prostopadłość Zadanie 3 Przez punkt A poprowadzić płaszczyznę g prostopadłą do prostej k. x 12 k A

29 A m Prostopadłość Zadanie 3 k x 12 Płaszczyznę określimy poprzez prostą poziomą i czołową bo jedynie w tym przypadku jesteśmy w stanie przyjąć wzajemnie prostopadłe proste. A m k Zatem przyjmujemy prostą poziomą m o rzucie poziomym prostopadłym do rzutu prostej k.

30 A m Prostopadłość Zadanie 3 n k x 12 Przyjmujemy prostą czołową n o rzucie pionowym prostopadłym do rzutu prostej k. m k A n

31 A n m k Prostopadłość Zadanie 3 Proste m i n określają szukaną płaszczyznę g. x 12 g =m,n m k A n

32 P p q Prostopadłość Zadanie 4 Przez punkt P poprowadzić prostą prostopadłą do płaszczyzny a =pq. x 12 p P q

33 P p q m x 12 Prostopadłość Zadanie 4 Ponieważ możemy stwierdzić w rzutach prostopadłość do prostej poziomej, przyjmijmy na płaszczyźnie a dowolną prostą poziomą m. p P q

34 P p q m Prostopadłość Zadanie 4 Wyznaczamy rzut poziomy prostej m. x 12 p P q m

35 P k p q p m x 12 Prostopadłość Zadanie 4 Jeżeli poprowadzimy rzut poziomy prostej k prostopadle do rzutu poziomego prostej m, proste będą prostopadłe niezależnie od przyjęcia jej rzutu pionowego. P q m 35

36 P p q m x 12 Prostopadłość Zadanie 4 Powtarzamy powyższe rozumowanie przyjmując na płaszczyźnie a prostą czołową n. k P n m p q

37 P p Prostopadłość Zadanie 4 n q m Wyznaczamy rzut pionowy prostej czołowej n. x 12 k p P n m q

38 P k p Prostopadłość Zadanie 3 k n q m x 12 Jeżeli poprowadzimy rzut pionowy prostej k prostopadle do rzutu pionowego prostej n, proste będą prostopadłe niezależnie od przyjęcia jej rzutu poziomego. P p n q Zatem prosta k jest prostopadłe do m i n, czyli jest prostopadła do płaszczyzny a. m

39 Wielościany wokół nas

40 Wielościany - definicja Wielościan bryła geometryczna, ograniczona powierzchnią utworzoną ze skończonej ilości wielokątów spełniających następujące warunki: 1) Każde dwa wielokąty mają bok, bądź wierzchołek wspólny, albo nie mają żadnego punktu wspólnego, 2) Każdy bok wielokąta jest bokiem wspólnym tylko dla dwóch wielokątów 3) Każdy wierzchołek wielokąta jest wspólny dla co najmniej trzech wielokątów Każdy wielościan utworzony jest ze ścian, krawędzi i wierzchołków. Grzech pierworodny teorii wielościanów popełniony został już w czasach Euklidesa, i był popełniany przez Keplera, Poinsota, Cauchy'ego i wielu innych. Nigdy nie udało im się określić, czym są wielościany. Branko Grünbaum

41 Wielościany - klasyfikacja Wielościany foremne (umiarowe, platońskie) Wielościany półforemne (archimedejskie) Ostrosłupy Graniastosłupy inne

42 Wielościany foremne - czworościan - sześcian - ośmiościan - dwunastościan - dwudziestościan

43 Wielościany półforemne Istnieje 13 (15) wielościanów półforemnych oraz dwie nieskończone serie.

44 Ostrosłupy prawidłowy prosty wysokość spodek wysokości

45 Graniastosłupy prostopadłościan wysokość prawidłowy prosty

46 P P R x12 R TRANSFORMACJA - przyjęcie rzutni równolegle i prostopadle do prostej. Rzeczywista wielkość odcinka.

47 P R x12 R R x13 TRANSFORMACJA - przyjęcie rzutni równolegle do prostej. P Rzeczywista wielkość odcinka. P

48 P R x12 R R x13 TRANSFORMACJA - przyjęcie rzutni równolegle i prostopadle do prostej. P P P IV =R IV x34 Położenie rzutujące odcinka.

49 P Q TRANSFORMACJA - przyjęcie rzutni prostopadle i równolegle do płaszczyzny. Położenie rzutujące i rzeczywiste wielkości na płaszczyźnie. P R x12 R Q

50 Q TRANSFORMACJA - przyjęcie rzutni prostopadle do płaszczyzny. P 1 m R x12 P m 1 R Q Chcąc przyjąć trzecią rzutnię prostopadle do płaszczyzny PQR przyjmujemy na niej pomocniczą poziomą prostą m. Wyznaczamy rzut poziomy prostej m.

51 Q TRANSFORMACJA - przyjęcie rzutni prostopadle do płaszczyzny. P P m 1 1 m R x12 R R Przyjmujemy rzutnię trzecią prostopadle do płaszczyzny trójkąta PQR (oś rzutów x12 jest prostopadła do rzutu poziomego prostej m). Q P =m =1 Położenie rzutujące trójkąta. x13 Q

52 Q TRANSFORMACJA - przyjęcie rzutni prostopadle do płaszczyzny. P P m 1 1 m R x12 R R Przyjmujemy rzutnię trzecią prostopadle do płaszczyzny trójkąta PQR (oś rzutów x12 jest prostopadła do rzutu poziomego prostej m). Q P =m =1 Położenie rzutujące trójkąta. x13 Q

53 Q TRANSFORMACJA - przyjęcie rzutni prostopadle i równolegle do płaszczyzny. Rzeczywiste wielkości na płaszczyźnie P P m 1 1 m R x12 R R R IV m IV 1 IV P IV Rzeczywista wielkość trójkąta. Q P =m =1 Q IV x13 Q x34

54 Q TRANSFORMACJA prostopadłe do płaszczyzny rzutującej. P 1 Wyznaczyć rzut prostokątny punktu A na płaszczyznę trójkąta PQR P A m R x12 R Q A

55 Q TRANSFORMACJA prostopadłe do płaszczyzny rzutującej. P 1 m A R x12 P m 1 R R AA x PQR. P =m =1 Q Ax A x13 A Q

56 Q TRANSFORMACJA prostopadłe do płaszczyzny rzutującej. P 1 m A R x12 P m Ax 1 R R A A x // x 13. P =m =1 Q Ax A x13 A Rzeczywista odległość. Q

57 Q TRANSFORMACJA prostopadłe do płaszczyzny rzutującej. Ax P 1 m A R x12 P m Ax 1 R R P =m =1 Q Ax A x13 A Q

58 Budowa wielościanów Zadanie W W A A p p Skonstruować rzuty ostrosłupa prawidłowego czworościennego, którego krawędzią boczną jest odcinek AW, a przekątną podstawy prosta p. A p w

59 Budowa wielościanów Zadanie W A D a S Skonstruować rzuty ostrosłupa prawidłowego czworościennego, którego krawędzią boczną jest odcinek AW, a przekątną podstawy prosta p. B C p PLAN ROZWIAZANIA: 1. Ponieważ proste a i b określają płaszczyznę przekroju ostrosłupa, możliwe jest wyznaczenie trójkąta przekroju AWC (prostopadle do p prowadzimy wysokość ostrosłupa, spodek wysokości S określi nam środek podstawy i połowę przekątnej. 2. Na prostej prostopadłej do AWC, w odległości równej połowie przekątnej będą leżały pozostałe naroża podstawy B i D. Sprowadzając płaszczyznę przekroju AWC do położenia rzeczywistych wielkości (za pomocą transformacji), będziemy mogli powyższy plan wykonać w rzutach prostokątnych.

60 Budowa wielościanów Zadanie W Ze względu na miejsce do konstrukcji, transformację prostopadle do płaszczyzny a=a,p przyjmiemy w stosunku do rzutni pionowej. W tym przypadku do wyznaczenia rzutni trzeciaej przyjmiemy pomocniczą prostą czołową n. A 1 a n p p x12 p A 1 n a w

61 Budowa wielościanów Zadanie Prostopadle do n a przyjmujemy oś rzutów x 23. A x23 1 n W p x12 p A 1 n a w

62 Budowa wielościanów Zadanie x23 W Wyznaczamy rzut trzeci danych elementów, płaszczyzna a będzie w tym rzucie rzutująca. A W =m =1 a =a =p 2 A 1 a n 2 2 p p x12 A 1 n a w

63 Budowa wielościanów Zadanie x23 W Równolegle do płaszczyzny a przyjmujemy rzutnię czwartą. Można przyjąć rzutnię w tym samym miejscu co płaszczyzna (a =x 34 ). A W =n =1 A 1 a n 2 p x12 A IV 1 IV a =a =p =x p a IV n IV p IV A 1 n a w W IV 2 IV

64 Budowa wielościanów Zadanie Ponieważ w rzucie czwartym wielkości są rzeczywiste, konstruujemy trójkąt przekroju AWC. Z rzutem spodka wysokości S pokryją się rzuty prostopadłej przekątnej BD. A W =n =1 x23 A 1 a n W 2 p x12 A IV a =p =x p W IV a IV S IV =B IV =D IV p IV 2 IV C IV A 1 n a w

65 Budowa wielościanów Zadanie Wyznaczamy w rzucie trzecim punkt C (leżący na p) oraz przekątną BD, która jest w tym rzucie w rzeczywistej B wielkości. A IV A W =n =1 S a =p =x 34 x23 2 C A 1 a n W 2 2 p p x12 W IV a IV S IV =B IV =D IV p IV D 2 IV C IV A 1 n a w

66 Budowa wielościanów Zadanie Wyznaczamy w rzucie trzecim krawędzie ostrosłupa. B x23 A 1 a n W A IV A W =n =1 S a =p =x 34 2 C 2 2 p p x12 W IV a IV S IV B IV =D IV p IV D 2 IV C IV A 1 n a w

67 Budowa wielościanów Zadanie Wyznaczamy w rzucie drugim (pionowym) punkty B, C i D. B x23 A 1 B a n W A IV A W =n =1 S a =p =x 34 2 C D 2 2 C p p x12 W IV a IV S IV B IV =D IV p IV D 2 IV C IV A 1 n a w

68 Budowa wielościanów Zadanie Wyznaczamy w rzucie drugim (pionowym) krawędzie ostrosłupa, określamy widoczność. A IV A W =n =1 a =p =x 34 B x23 2 C A B a 1 n D W 2 2 C p p x12 W IV a IV B IV =D IV p IV D 2 IV C IV A 1 n a w

69 Budowa wielościanów Zadanie Wyznaczamy w rzucie pierwszym (poziomym) punkty B, C i D. B x23 A B 1 n a W A IV A W =n =1 a =p =x 34 2 C B D p 2 2 C p C x12 W IV a IV B IV =D IV p IV D 2 IV C IV A 1 n a D w

70 Budowa wielościanów Zadanie Wyznaczamy w rzucie pierwszym (poziomym) krawędzie ostrosłupa, określamy widoczność. A IV A W =n =1 a =p =x 34 B x23 2 C A 1 n B B a p D W 2 2 C p C x12 W IV a iv B IV =D IV p IV D 2 IV C IV A 1 n a D w

71 Skonstruować rzuty ostrosłupa prawidłowego czworościennego, którego krawędzią boczną jest odcinek AW, a przekątną podstawy prosta p. A a W p p A a w

72 x23 W A a n 1 A W =m =1 2 p x12 A IV a =p =x p p IV A 1 n a w W IV 2 IV