I. Równania różniczkowe pierwszego rzędu
|
|
- Nadzieja Zawadzka
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 I. Równania różniczkowe pierwszego rzędu 1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu w postaci normalnej W rozdziale tym rozważamy równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu. Na początek zajmiemy się równaniami różniczkowymi w postaci normalnej: (1) y = f(x,y), gdzie f jest funkcją rzeczywistą określoną na zbiorze G R 2. Zgodnie z definicją, rozwiązaniem tego równania jest każda funkcja ϕ : I R określona i różniczkowalna na pewnym przedziale I R i taka, że dla każdego x I spełnione są warunki: (x,ϕ(x)) G i ϕ (x) = f(x,ϕ(x)). Niech (ξ,η) G. Zagadnienie początkowe polega na poszukiwaniu rozwiązania ϕ : I R równania (1), którego wykres przechodzi przez punkt (ξ,η), czyli ξ I i ϕ(ξ) = η. Niech teraz G R 2 będzie zbiorem otwartym i niech (ξ,η) będzie jego punktem. Przypomnijmy, że funkcja f : G R jest ciągła w punkcie (ξ,η), gdy dla każdego ciągu punktów {(x n,y n )} ze zbiorugotej własności, żex n ξ iy n η, przyndążącym do nieskończoności zachodzi równość lim f(x n,y n ) = f(ξ,η). n Funkcja f : G R jest ciągła w zbiorze G, gdy jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru. Z powyższej definicji wynika, że dla każdej pary funkcji χ, ϕ posiadających w punkcie ξ granice ζ, η odpowiednio złożenie f(χ(x), ϕ(x)) posiada granicę w punkcie ξ i limf(χ(x),ϕ(x)) = f(ζ,η). x ξ Okazuje się, że przy założeniu ciągłości prawej strony równania (1) można łączyć ze soba dwa jego rozwiązania otrzymując trzecie, będące przedłużeniem właściwym dwóch pierwszych. Lemat 1 (o sklejaniu rozwiązań). Niech f : G R będzie funkcją określoną i ciągłą na zbiorze G R 2 i niech punkt (ξ,η) G. Jeśli funkcje ϕ 1 : (α,ξ) R i ϕ 2 : (ξ,β) R są rozwiązaniami równania (1) takimi, że lim x ξ ϕ 1(x) = lim x ξ +ϕ 2(x) = η,
2 to funkcja ϕ : (α, β) R określona wzorem ϕ 1 (x) dla x (α,ξ), ϕ(x) = η dla x = ξ, ϕ 2 (x) dla x (ξ,β) jest rozwiązaniem równania (1). Dowód. Oczywiście funkcja ϕ jest różniczkowalna w każdym punkcie x ξ i ϕ (x) = f(x, ϕ(x)) dla x ξ. W punkcie ξ funkcja ϕ jest ciągła, gdyż lim x ξ ϕ(x) = lim x ξ ϕ 1(x) = η = ϕ(ξ) = lim x ξ +ϕ 2(x) = lim x ξ +ϕ(x). Pokażemy wiecej, że funkcja ϕ jest różniczkowalna w punkcie ξ. Z reguły de l Hospitala i z ciągłości funkcji f mamy ϕ(x) η lim x ξ x ξ = lim x ξ ϕ 1 (x) η x ξ = lim x ξ ϕ 1(x) 1 Podobnie, dla pochodnej prawostronnej wykazujemy, że ϕ(x) η lim x ξ + x ξ = lim x ξ f( x,ϕ 1 (x) ) = f ( ξ,ϕ(ξ) ). = f ( ξ,ϕ(ξ) ). Zatem funkcja ϕ jest różniczkowalna w punkcie ξ i ϕ (ξ) = f ( ξ,ϕ(ξ) ). Podsumowując, dla wszystkich punktów x (α, β) mamy ϕ (x) = f ( x,ϕ(x) ). Oczywiście wykres funkcji ϕ przebiega w G, co wraz z powyższym daje, że ϕ jest rozwiązaniem równania (1). Przykład 7. Trywialne równanie różniczkowe y = 0 jest równaniem różniczkowym w postaci normalnej. Z własności funkcji różniczkowalnych na przedziale wynika, że wszystkie rozwiązania integralne tego równania to funkcje stałe ϕ γ (x) = γ, x R dla γ R. 2. Równanie o rozdzielonych zmiennych Równaniem o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie normalne postaci (1) y = f(x) g(y), gdzief ig są funkcjami ciągłymi odpowiednio w przedziałach otwartych (a,b) i(c,d) 1 ( a < b +, c < d + ). Tym samym prawa strona tego równania jest określona i ciągła w prostokącie T = {(x,y) R 2 : x (a,b), y (c,d)}. 1 Funkcie f i g można też rozważać w przedziałach domkniętych. Jeśli na przykład funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym a,b, to przedłużamy funkcję f kładąc f(x) = f(a) dla x < a i f(x) = f(b) dla x > b. Tak otrzymana funkcja jest ciągła na przedziale otwartym (,+ ). 7
3 Niech F : (a, b) R będzie ustaloną funkcją pierwotną funkcji f i niech A = inf F(x), x (a,b) B = sup F(x). x (a,b) Twierdzenie 1. Załóżmy, że g(y) 0 dla wszystkich y (c,d) i niech H : (c,d) R oznacza ustaloną funkcję pierwotną funkcji 1/g oraz C = inf y (c,d) H(y), D = sup H(y). y (c,d) Wówczas istnieje funkcja odwrotna do funkcji H oraz H 1 : (C,D) (c,d), a ogół rozwiązań równania (1) w prostokącie T składa się z funkcji ϕ γ,i określonych wzorem: (2) ϕ γ,i (x) = H 1( F(x)+γ ), x I, gdzie I przebiega zbiór wszystkich przedziałów zawartych w zbiorze otwartym a parametr γ (C B,D A). γ = {x (a,b) : C < F(x)+γ < D}, Dowód. Po pierwsze z założeń twierdzenia wynika, że funkcja H ma funkcję odwrotną. Istotnie, pochodna H = 1/g jest ciągła i ma wartości różne od 0; zatem na podstawie własności Darboux zajść może tylko jeden z dwóch następujących przypadków: wszystkie wartości H (y) dla y (c,d) są ujemne, bądź wszystkie wartości H (y) dla y (c,d) są dodatnie, a to oznacza, że funkcja H jest albo ściśle malejąca albo ściśle rosnąca; w szczególności funkcja H posiada funkcję odwrotną i H 1 : (C,D) (c,d). Po drugie każda funkcja ϕ γ,i określona wzorem (2) jest rozwiązaniem równania (1). Istotnie, mamy: Funkcja ϕ γ,i jest poprawnie określona, ponieważ zbiór γ = {x (a,b) : C γ < F(x) < D γ} jest niepusty dla każdej stałej γ (C B, D A). Istotnie, dla powyższych stałych γ (3) (A,B) (C γ,d γ). W przeciwnym razie dla pewnej stałej γ (C B, D A) zachodziłaby jedna z nierówności: D γ A albo B C γ i w obu przypadkach otrzymalibyśmy sprzeczność z przynależnością stałej γ do przedziału (C B,D A). Ponadto, zbiór γ jest otwarty, jako przeciwobraz przedziału otwartego (C γ, D γ) w przekształceniu ciągłym (bo różniczkowalnym) F. Niech I będzie dowolnym przedziałem zawartym zbiorze γ. Na podstawie twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej 2 i twierdzenia o pochodnej złożenia funkcji wnosimy, że funkcja ϕ γ,i określona wzorem (2) jest różniczkowalna i ϕ γ,i (x) = 1 H ( H 1 (F(x)+γ)) ) F (x) = g(ϕ γ,i (x)) f(x) dla x I. 2 Jeżeli funkcja różnowartościowah : I R jest różniczkowalna,h (x) 0 dlax I, to funkcja odwrotna h 1 jest różniczkowalna i jej pochodna jest określona wzorem (h 1 ) (y) = 1/h ( h 1 (y) ). 8
4 Punkt (x,ϕ γ,i (x)) T dla x I, gdyż x I (a,b) orazϕ(x) H 1( (C,D) ) = (c,d). Stąd ϕ γ,i jest rozwiązaniem równania (1). Na koniec pokażemy, że każde rozwiązanie ϕ : I R równania (1) musi być postaci (2). Istotnie, ϕ jest funkcją różniczkowalną na przedziale I, (x,ϕ(x)) T oraz ϕ (x) = f(x) g(ϕ(x)) dla x I. Stąd I (a,b) i Zatem ( H(ϕ(x)) ) = H (ϕ(x)) ϕ (x) = ϕ (x) = f(x) dla x I. g(ϕ(x)) 1 g(ϕ(x)) ϕ (x) = f(x) = F (x) dla x I. Stąd, na mocy znanego twierdzenia z analizy 3 istnieje stała γ R taka, że (4) H(ϕ(x)) = F(x)+γ dla x I. Z powyższego i z określenia C i D wynika, że C < F(x)+γ < D dla x I, a więc I γ. Ponadto z określenia A i B wynika, że A F(x) B dla x I, a więc C B C F(x) < γ < D F(x) D A, co daje, że γ (C B,D A). Ponadto z (4) wynika, że ϕ(x) = H 1( F(x)+γ ) dla x I. Zatem ϕ jest jedną z funkcji postaci (2). To kończy dowód. Zanim przejdziemy do dalszej części wykładu przypomnijmy, że jedynymi zbiorami spójnymi na prostej R są: zbiór pusty, zbiory jednoelementowe i dowolne przedziały. Niech R i ξ. Składową zbioru (zawierającą punkt ξ) nazywamy sumę wszystkich podzbiorów spójnych zbioru zawierających punkt ξ. Jest to największy, niepusty zbiór spójny (a więc przedział lub zbiór jednoelementowy) zawarty w. Każdy niepusty podzbiór R jest sumą swoich składowych. Wiadomo również, że każdy zbiór otwarty w R jest co najwyżej przeliczalną sumą parami rozłącznych składowych, które są przedziałami otwartymi. 4 Własność 1. Każda składowa zbioru γ opisanego w twierdzeniu 1 jest przedziałem otwartym. Jest ich co najwyżej przeliczalnie wiele. Własność 2. Przy założeniach twierdzenia 1 funkcja ϕ γ,i postaci (2) jest rozwiązaniem integralnym równania (1) wtedy i tylko wtedy, gdy przedział I jest składową zbioru γ. Dowód. Niech ϕ γ,i będzie rozwiązaniem integralnym równania (1). Przypuśćmy przeciwnie, że I nie jest składową zbioru γ. Istnieje wtedy przedział I 1 γ taki, że I I 1, I I 1. Na podstawie twierdzenia 1 funkcja ϕ γ,i1 jest również rozwiązaniem równania (1). Jest ona przedłużeniem właściwym rozwiązania ϕ γ,i, co prowadzi do sprzeczności. 3 Chodzi o twierdzenie mówiące, że jeśli dwie funkcje f i g są określone i różniczkowalne w przedziale I oraz f (x) = g (x) dla x I, to funkcje te w całym przedziale I różnią się o stałą. Porównaj na przykład [5], wniosek po twierdzeniu 1, rozdz. IV, 1. 4 Patrz [10], rozdział XVII i XVIII. 9
5 Odwrotnie, niech I będzie składową zbioru γ i niech ϕ γ,i będzie funkcją postaci (2). Oczywiście, na podstawie twierdzenia 1 funkcja ϕ γ,i jest rozwiązaniem równania (1). Przypuśćmy, że ϕ 1 : I 1 R jest przedłużeniem właściwym rozwiązania ϕ γ,i. Wtedy z twierdzenia 1 rozwiązanie ϕ 1 jest postaci ϕ γ1,i 1, gdzie γ 1 jest pewną stałą z przedziału (C B,D A), a I 1 jest przedziałem zawartym w zbiorze γ1. Ponieważ I I 1 i ϕ γ,i (x) = ϕ γ1,i 1 (x) dla x I, to H 1 (F(x)+γ) = H 1 (F(x)+γ 1 ), co daje γ = γ 1. Zatem I oraz I 1 są przedziałami zawartymi w tym samym zbiorze otwartym γ. Skoro I jest składową zbioru γ, to I = I 1. Zatem ϕ 1 nie jest przedłużeniem właściwym rozwiązania ϕ γ,i, wbrew założeniu. Tym samym ϕ γ,i jest rozwiązaniem integralnym. Własność 3. Przy założeniach twierdzenia 1, przez każdy punkt (ξ, η) prostokąta T przechodzi dokładnie jedno rozwiązanie integralne ϕ γ,i równania (1), gdzie γ = H(η) F(ξ) i przedział I jest składową zbioru γ zawierającą punkt ξ. Dowód. Z przyjętych oznaczeń wynika, że liczba γ = H(η) F(ξ) należy do przedziału (C B,D A) i ξ γ. Niech I będzie składową zbioru γ zawierającą punkt ξ. Wówczas z twierdzenia 1 i własności 2 wynika, że funkcja ϕ γ,i określona wzorem ϕ γ,i (x) = H 1( F(x)+γ ), x I jest rozwiązaniem integralnym równania (1). Ponadto ϕ(ξ) = H 1 (H(η)) = η. Jeśli ϕ 1 : I 1 R jest innym rozwiązaniem integralnym równania (1) takim, że ξ I 1 i ϕ 1 (ξ) = η, to jest ono postaci ϕ 1 (x) = H 1( ) F(x)+γ 1 dla x I1, gdzie γ 1 (C B,D A) i I 1 jest składową zbioru γ1. Wówczas γ = H(ϕ(ξ)) F(ξ) = H(ϕ 1 (ξ)) F(ξ) = γ 1, więc I oraz I 1 są składowymi tego samego zbioru γ, zawierającymi punkt ξ. Stąd I = I 1 i w konsekwencji ϕ = ϕ 1. Lemat 2. Niech ξ będzie (prawym bądź lewym) końcem składoweji zbioru γ. Jeśli ξ (a,b), to F(ξ)+γ = C albo F(ξ)+γ = D. Dowód. Z własności 1 wynika, że ξ / γ, więc γ (a,b). Stąd C lub D +, gdyż w przeciwnym razie mielibyśmy γ = (a,b). Ponieważ to z ciągłości funkcji F dostajemy, że C < F(x)+γ < D dla x I, C F(ξ)+γ D. Przypuśćmy, że F(ξ)+γ C i F(ξ)+γ D. Wtedy C < F(ξ)+γ < D, co oznacza, że ξ γ i prowadzi do sprzeczności. 10
6 Własność 4. Przyjmijmy założenia i oznaczenia twierdzenia 1. Niech ϕ γ,i : I R będzie rozwiązaniem integralnym równania (1) i niech ξ będzie końcem (lewym lub prawym) przedziału I. Jeśli ξ (a,b), to granica lim x ξ ϕ γ,i (x) istnieje i jest równa c albo d, przy czym lim ϕ γ,i(x) = x ξ c, gdy F(ξ)+γ = lim y c +H(y), d, gdy F(ξ)+γ = lim y d H(y). Dowód. Z własności Darboux wynika, że g(y) > 0 dla y (c,d) albo g(y) < 0 dla y (c,d). My udowodnimy powyższą własność tylko w pierwszym przypadku, gdyż jej dowód w drugim przypadku przebiega podobnie. Załóżmy zatem, że g(y) > 0 dla y (c, d). Wówczas funkcje H i H 1 są rosnące i mamy lim y c +H(y) = C oraz lim H(y) = D. y d Z lematu 2 dostajemy, że F(ξ)+γ {C,D}. Zatem skoro ϕ γ,i (x) = H 1 (F(x)+γ) dla x I, to granica limϕ γ,i (x) istnieje i jest równa odpowiednio c albo d w zależności od tego czy x ξ F(ξ)+γ = C, czy F(ξ)+γ = D, a więc w zależności od tego czy F(ξ)+γ = lim y c +H(y), czy F(ξ)+γ = lim y d H(y). Mówimy, że rozwiązanie integralne ϕ : I R równania (1) dochodzi do brzegu y = c, gdy lewy bądź prawy koniec ξ przedziałui należy do przedziału(a,b) oraz lim x ξ ϕ(x) = c. Podobnie mówimy, że rozwiązanie integralne ϕ : I R równania (1) dochodzi do brzegu y = d, gdy lewy bądź prawy koniec ξ przedziału I należy do przedziału (a,b) oraz lim x ξ ϕ(x) = d. Własność 5. Przyjmijmy założenia i oznaczenia twierdzenia 1 i niech funkcja f 0. Wówczas następujące warunki są równoważne: (i) istnieje rozwiązanie integralne równania (1), które dochodzi do brzegu y = c (odpowiednio do brzegu y = d), (ii) lim y c +H(y) R (odpowiednio lim y d H(y) R). Dowód. Udowodnimy własność dla brzegu y = c, gdyż dla brzegu y = d dowód jest analogiczny. Podobnie jak w dowodzie poprzedniej własności wykażemy twierdzenie w przypadku, gdy g(y) > 0 dla y (c,d). Wówczas, jak wiemy, funkcje H i H 1 są rosnące. Implikacja (i) (ii) wynika z własności 4. Pozostaje wykazać implikację odwrotną (ii) (i). Załóżmy zatem, że lim y c +H(y) R, czyli, że C R. Z założenia, że f nie jest funkcją tożsamościowo równą 0 wynika, że funkcja F nie jest funkcją stałą, więc A < B. Stąd istnieje stała γ (C B,C A). Oczywiście γ (C B,D A), gdyż C < D. Ustalmy dowolny punkt x 1 γ. Ponieważ γ (C B,C A), to liczba C γ leży pomiędzy kresami A i B funkcji F. Stąd na podstawie własności Darboux 11
7 równanie F(x)+γ = C ma rozwiązanie należące do przedziału (a,b). Niech x 2 będzie jednym z nich. Wtedy x 2 / γ, więc x 1 x 2. Mamy zatem dwie możliwości: 1) Jeśli x 1 < x 2, to liczba ξ = inf{x (x 1,b) : F(x) + γ = C} należy do przedziału (a,b). Ponadto z ciągłości funkcji F wynika, że F(ξ) + γ = C i dla każdego x (x 1,ξ) zachodzi nierówność C < F(x)+γ, bowiem gdyby istniała liczba x 3 (x 1,ξ) nie spełniająca tej nierówności, to F(x 3 )+γ C < F(x 1 )+γ i z własności Darboux istniałaby liczba x 4 < ξ, dla której F(x 4 )+γ = C, co byłoby sprzeczne z określeniem ξ. Ponieważ F(ξ)+γ = C < D, to z ciągłości odwzorowania F w punkcie ξ, nierówność F(x) + γ < D zachodzi również w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu ξ. Stąd istnieje liczba α = inf{x (a,b) : (x,ξ) γ }. Połóżmy I = (α,ξ). Wówczas przedział I jest składową zbioru γ i funkcja ϕ = ϕ γ,i jest na podstawie własności 2. rozwiązaniem integralnym rozważanego równania. Ponadto, na podstawie własności 4 lim x ξ ϕ(x) = c. y y = D y = F(x)+γ ξ x 2 a x 1 b x y = C a α x 1 ξ x 2 b Rys. 1. Ilustracja dowodu własności 5. γ 2) Jeśli x 2 < x 1, to podobnie jak poprzednio wykazujemy, że istnieje składowa I = (ξ,β) zbioru γ, gdzie:ξ = sup{x (a,x 1 ) : F(x)+γ = C} orazβ = sup{x (a,b) : (ξ,x) γ }. Wtedy, argumentując jak poprzednio, rozwiazanie ϕ γ,i spełnia żądane warunki. Zbadamy teraz sytuację, gdy funkcja g posiada w przedziale (c, d) miejsca zerowe. Łatwo sprawdzić, że zachodzą następujące własności. Własność 6. Jeśli f(x) = 0 dla x (a,b) lub g(y) = 0 dla y (c,d), to ogół rozwiązań integralnych równania (1) w prostokącie T składa się z funkcji postaci ϕ γ (x) = γ, x (a,b), γ (c,d). W świetle powyższego w dalszym ciągu tego paragrafu możemy zakładać, że funkcje f i g nie znikają tożsamościowo. 12
8 Własność 7. Jeśli liczba η (c,d) jest miejscem zerowym funkcji g, to funkcja ϕ(x) = η, x (a,b) jest rozwiązaniem integralnym równania (1). Zakładamy teraz, że funkcje f : (a,b) R i g : (c,d) R są ciągłe i że żadna z nich nie znika tożsamościowo (mogą jednak mieć miejsca zerowe). Wówczas zbiór otwarty {y (c,d) : g(y) 0} jest sumą przeliczalnej ilości składowych (c k,d k ), gdzie k K i K jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym. Niech H k : (c k,d k ) R oznacza funkcję pierwotną funkcji 1/g na przedziale (c k,d k ) i niech T k = {(x,y) R : x (a,b), y (c k,d k )}. Z własności 4 i 5 oraz lematu o sklejaniu rozwiązań wynika następujące kryterium rozstrzygające kiedy wszystkie rozwiązania równania (1) integralne w prostokątach T k pozostają integralne w prostokącie T. Twierdzenie 2. Następujące warunki sa równoważne: (i) ogół rozwiązań integralnych równania (1) w prostokącie T składa się z rozwiązań stałych opisanych we własności 7 oraz z rozwiązań integralnych w prostokątach T k, k K, (ii) lim H(y) / R i lim H(y) / R, o ile c k c i d k d. y c + k y d k 13
9 3. Równanie jednorodne Równania różniczkowe pierwszego rzędu Niech h : (p, q) R będzie funkcją ciągłą. Równaniem różniczkowym jednorodnym nazywamy równanie postaci ( y (1) y = h x) o prawej stronie określonej w obszarach D = {(x,y) R 2 : x < 0, p < y } x < q i D + = {(x,y) R 2 : x > 0, p < y x < q }. Wówczas ma miejsce Twierdzenie 1. Ogół rozwiązań równania (1) składa się z funkcji ϕ : I R postaci (2) ϕ(x) = xψ(x), gdzie ψ : I R przebiega ogół rozwiązań nastepującego równania o rozdzielonych zmiennych (3) z = 1 x (h(z) z) w prostokątach T = {(x,z) R 2 : x < 0, p < z < q} i T + = {(x,z) R 2 : x > 0, p < z < q}. Dowód. Niech ϕ : I R będzie rozwiązaniem równania (1) w obszarze D lub D +, tzn. 0 / I oraz ( ) ϕ(x) ϕ (x) = h x Niech ψ : I R będzie funkcją określoną wzorem (4) ψ(x) = ϕ(x) x Funkcja ψ jest różniczkowalna i ψ (x) = ϕ (x)x ϕ(x) x 2 = 1 x ( ϕ (x) ϕ(x) ) x dla x I. dla x I. = 1 ( ) h(ψ(x)) ψ(x) x Stąd ψ spełnia równanie (3). Zatem z (4) wynika, że ϕ jest postaci (2). dla x I. Odwrotnie, niech ϕ : I R będzie postaci (2), gdzie ψ : I R jest rozwiązaniem równania (3) w prostokącie T lub T +, tzn. 0 / I oraz ψ (x) = 1 x ( h(ψ(x)) ψ(x) ) dla x I. Wówczas funkcja ϕ jest różniczkowalna i ϕ (x) = ψ(x)+xψ (x) = ψ(x)+ ( h(ψ(x)) ψ(x) ) ( ) ϕ(x) = h(ψ(x)) = h x Stąd ϕ spełnia równanie (1) w obszarze D lub D +. dla x I. Wniosek 1. Funkcja ϕ : I R jest rozwiązaniem integralnym równania (1) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja ψ : I R jest rozwiązaniem integralnym równania (3). 14
10 4. Równanie różniczkowe liniowe pierwszego rzędu Niech a,b : (p,q) R będą funkcjami ciągłymi na przedziale (p,q). Równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (1) y = a(x)y +b(x). Jeżeli b = 0, to równanie nazywamy dodatkowo jednorodnym. Ma ono postać (2) y = a(x)y. NiechA : (p,q) R będzie dowolną ustaloną funkcją pierwotną funkcji a, zaśb : (p,q) R będzie dowolną ustaloną funkcją pierwotną funkcji (p,q) x b(x)e A(x) R. Twierdzenie 1. Ogół rozwiązań integralnych równania (1) składa się z funkcji (3) ϕ γ (x) = ( B(x)+γ ) e A(x), x (p,q), γ R. Dowód. Każda funkcja ϕ γ postaci (3) jest różniczkowalna w przedziale (p,q) oraz dla x (p,q) ϕ γ (x) = b(x)e A(x) e A(x) + ( B(x)+γ ) e A(x) a(x) = b(x)+ϕ γ (x)a(x). Stąd ϕ γ spełnia równanie (1), a ponieważ jest określona na całym przedziale (p,q), więc jest rozwiązaniem integralnym. Odwrotnie, weźmy dowolne rozwiązanie integralne ϕ : I R równania (1). Wówczas funkcja g : I R określona wzorem g(x) = ϕ(x)e A(x), x I jest różniczkowalna oraz dla x I g (x) = ( a(x)ϕ(x)+b(x) ) e A(x) ϕ(x)e A(x) a(x) = b(x)e A(x). Z drugiej strony dla x I B (x) = b(x)e A(x). Zatem ze znanego twierdzenia z analizy istnieje stała γ R taka, że g(x) = B(x)+γ dla x I. Stąd i z definicji g wynika, że ϕ(x) = ( B(x) + γ ) e A(x) dla x I. Ponadto przedział I (p,q). Gdyby I (p,q), to funkcja ϕ γ postaci (3), byłaby przedłużeniem właściwym ϕ, co przeczyłoby integralności ϕ. Zatem I = (p,q) i ϕ = ϕ γ. To kończy dowód. Oczywiście funkcja stała B = 0 jest funkcją pierwotną funkcji stałej b = 0. Zatem przyjmując w powyższym twierdzeniu B = 0 otrzymujemy 15
11 Twierdzenie 2. Ogół rozwiązań integralnych równania (2) składa się z funkcji ϕ γ (x) = γe A(x), x (p,q), γ R. Jak widać wśród wszystkich rozwiązań integralnych równania (2) wyróżnia się rozwiązanie tożsamościowo równe 0 (dla parametru γ = 0). Jeśli ϕ γ0 jest niezerowym rozwiązaniem równania (2), to oczywiście γ 0 0. Pozostałe rozwiązania ϕ γ (x) = γ γ 0 e A(x) = γϕ γ0 (x), γ 0 gdzie γ = γ/γ 0 jest pewną stałą. Stąd mamy Wniosek 1. Jeśli ϕ 0 : (p,q) R jest niezerowym rozwiązaniem integralnym równania (2), to ogół jego rozwiązań integralnych składa się z funkcji postaci ϕ γ (x) = γϕ 0 (x), x (p,q), γ R. Przez każdy punkt (ξ, η) (p, q) R przechodzi dokładnie jedno rozwiązanie integralne równania (2), gdyż zgodnie z twierdzeniem z równania ϕ γ (ξ) = η jednoznacznie wyznaczamy parametr γ = ηe A(ξ). Wniosek 2. Niech ξ (a,b) i η R. Funkcja ϕ(x) = ηe A(ξ) e A(x), x (a,b) jest jedynym rozwiązaniem integralnym równania (2) spełniającym warunek początkowy ϕ(ξ) = η. Prostym rachunkiem dostajemy następującą własność. Własność 1. Jeśli ϕ 1,ϕ 2 : (p,q) R są rozwiązaniami integralnymi równania (1), to ich różnica ϕ 2 ϕ 1 jest rozwiązaniem integralnym równania (2). Stąd i z wniosku 1 dostajemy natychmiast dalsze dwa wnioski. Wniosek 3. Jeśli ϕ 0 : (p,q) R jest integralnym rozwiązaniem równania (1) oraz ϕ 1 : (p,q) R jest niezerowym integralnym rozwiązaniem równania (2), to ogół rozwiązań integralnych równania (1) składa się z funkcji postaci ϕ α (x) = ϕ 0 (x)+αϕ 1 (x). x (p,q), α R. Wniosek 4. Jeśli ϕ 1,ϕ 2 : (p,q) R są różnymi integralnymi rozwiązaniami równania (1),to ogół rozwiązań integralnych równania (1) składa się z funkcji postaci ϕ α (x) = ϕ 1 (x)+α ( ϕ 2 (x) ϕ 1 (x) ). x (p,q), α R. 16
12 5. Równanie Bernoulliego Równania różniczkowe pierwszego rzędu Niech a,b : (p,q) R będą funkcjami ciągłymi w przedziale (p,q) i niech α R. Równaniem Bernoulliego nazywamy równanie postaci (1) y = a(x)y +b(x)y α. Prawa strona równania (1) jest określona w prostokącie D + = {(x,y) R 2 : x (p,q), y (0,+ )} Gdy α = 0 lub α = 1 otrzymujemy równanie liniowe. Zatem w dalszym ciągu zakładać będziemy, że α 0 i α 1. Twierdzenie 1. Ogól rozwiązań równania (1) w prostokącie D + tworzą funkcje ϕ : I R postaci (2) ϕ(x) = (ψ(x)) 1 1 α, x I, gdzie ψ : I R przebiega ogół rozwiązań równania liniowego (3) z = (1 α)a(x)z +(1 α)b(x) w prostokącie T + = {(x,z) R 2 : x (p,q), z (0,+ )}. Dowód. Niech ϕ : I R będzie rozwiązaniem równania (1) w prostokącie D +. Wtedy ϕ(x) > 0 dla x I i funkcja ψ : I R określona wzorem ψ(x) = (ϕ(x)) 1 α, x I, jest różniczkowalna, jej wykres przebiega w prostokącie T + i dla x I ψ (x) = (1 α) ( ϕ(x) ) α ϕ (x) = (1 α) ( ϕ(x) ) α ( a(x)ϕ(x)+b(x) ( ϕ(x) ) α ) = = (1 α)a(x)ψ(x)+(1 α)b(x). Zatem ψ jest rozwiązaniem równania liniowego (3) w T + i funkcja ϕ jest postaci (2). Odwrotnie, niech ϕ : I R będzie funkcją postaci (2), gdzie ψ jest rozwiązaniem równania liniowego (3) w prostokąciet +. Wtedy funkcjaϕjest różniczkowalna, jej wykres przebiega w prostokącie D + i dla x I ϕ (x) = 1 ( ) 1 ψ(x) 1 α 1 ψ (x) = 1 ( ) α ( ψ(x) 1 α (1 α)a(x)ψ(x)+(1 α)b(x) ) = 1 α = a(x) ( ψ(x) ) 1 1 α +b(x) ( (ψ(x)) 1 α) 1 α = a(x)ϕ(x)+b(x) ( ϕ(x) )α. Zatem ϕ jest rozwiązaniem równania (1) w prostokącie D +. Niech teraz A : (p,q) R będzie ustaloną funkcją pierwotną funkcji a, zaś B : (p,q) R ustaloną funkcją pierwotną funkcji Niech ponadto (p,q) x (1 α)b(x)e (1 α)a(x). M = sup B(x). x (p,q) Z własności równań liniowych i twierdzenia 1 wynika 17
13 Twierdzenie 2. Ogół rozwiązań równania (1) w prostokącie D + składa się z funkcji postaci (4) ϕ γi (x) = (B(x)+γ) 1 1 α e A(x), x I, gdzie γ > M, zaś I jest dowolnym przedziałem zawartym w zbiorze + γ = {x (p,q) : B(x)+γ > 0}. Dowód. Weźmy dowolne rozwiązanie ϕ : I R równania (1) w prostokącie D +. Wówczas z twierdzenia 1 ϕ jest postaci ϕ(x) = (ψ(x)) 1 1 α, x I, gdzie ψ jest rozwiązaniem równania liniowego (3) w prostokącie T +. Oczywiście (1 α)a jest funkcją pierwotną funkcji (1 α)a, B jest funkcją pierwotną funkcji (1 α)be (1 α)a. Stąd i z własności równań liniowych istnieje stała γ R taka, że ψ(x) = (B(x)+γ) e (1 α)a(x), x I. Ponieważ wykres ψ przebiega w T +, to ψ(x) > 0 dla x I. Zatem B(x)+γ > 0 dla x I. Stąd wynika, że M + γ > 0, czyli γ > M. Jednocześnie przedział I jest zawarty w + γ. Ponadto dostajemy, że ϕ(x) = (B(x)+γ) 1 1 α e A(x), x I. Odwrotnie, weźmy funkcję postaci (4), gdzie γ > M i I + γ. Wtedy w myśl twierdzenia 1 i własności równań liniowych funkcja ϕ γi jest rozwiązaniem równania (1) w prostokącie D +. Wniosek 1. Funkcja ϕ γi jest rozwiązaniem inegralnym równania (1) w prostokącie D + wtedy i tylko wtedy, gdy I jest składową zbioru + γ. Dla szczególnych wartości wykładników α R równanie (1) rozważamy również w prostokącie D = {(x,y) R 2 : x (p,q), y (,0)}. Niech α = r/s, gdzie r Z \ {0} i s N jest liczbą naturalną nieparzystą (różną od r). Wtedy równanie (1) przyjmuje postać (1 ) y = a(x)y +b(x)( s y) r. Twierdzenie 3. Ogół rozwiązań równania (1 ) w prostokącie D składa się z funkcji ϕ : I (,0) postaci (5) ϕ(x) = ϕ(x), x I, gdzie ϕ : I (0, + ) przebiega ogół rozwiązań równania Bernoulliego postaci (6) z = a(x)z ( 1) r b(x)( s z) r w prostokącie D + = {(x,z) R 2 : x (p,q), z (0,+ )}. 18
14 Dowód. Niech ϕ : I (,0) będzie rozwiązaniem równania (1 ) w prostokącie D. Wtedy funkcja ϕ : I (0,+ ) określona wzorem ϕ(x) = ϕ(x), x I jest różniczkowalna, jej wykres przebiega w D + oraz dla x I ϕ (x) = ϕ (x) = ( a(x)ϕ(x)+b(x) ( s ϕ(x) ) r) = a(x) ϕ(x) b(x) ( s ϕ(x) ) r = = a(x) ϕ(x) ( 1) r b(x) ( s ϕ(x) )r. Zatem ϕ jest rozwiązaniem równania (6) w prostokącie D + i funkcja ϕ jest postaci (5). Odwrotnie, niech ϕ będzie funkcją postaci (5), gdzie ϕ jest rozwiązaniem równania (6). Wtedy funkcja ϕ jest różniczkowalna, jej wykres przebiega w D oraz dla x I ϕ (x) = ϕ (x) = a(x)( ϕ(x))+( 1) r b(x) ( s ϕ(x) )r = = a(x)ϕ(x)+( 1) r b(x) ( s ϕ(x) )r = a(x)ϕ(x)+( 1) 2r b(x) ( s ϕ(x) )r = = a(x)ϕ(x)+b(x) ( s ϕ(x) ) r. Stąd ϕ jest rozwiązaniem równania (1 ) w prostokącie D. Twierdzenie 4. Niech ϕ : I R będzie rozwiązaniem integralnym równania (1) w prostokącie D + lub D i niech ξ będzie prawym lub lewym końcem przedziału I. Jeśli ξ (p,q), to: lim ϕ(x) = x ξ 0, gdy α < 1, +, gdy α > 1, i ϕ przebiega w D +, gdy α > 1, i ϕ przebiega w D Dowód. Jak wynika z twierdzenia 3 możemy ograniczyć się do przypadku, gdy ϕ jest rozwiązaniem równania (1) w prostokącie D +. Z wniosku 1 przedział I jest składową zbioru + γ = {x (p,q) : B(x)+γ > 0}. Ponieważ B jest funkcją ciągłą w przedziale (p, q) i ξ (p, q), to B(ξ) + γ = 0. Stąd i z twierdzenia 2 dostajemy tezę. Zauważmy, że w przypadku, gdy parametr α jest dodatni prawa strona równania (1) oraz prawa strona równania (1 ) są określone także, gdy (x,y) (p,q) {0}. W tych przypadkach funkcja ϕ 0 (x) = 0, x (p,q) jest rozwiązaniem integralnym równania (1) w prostokącie D + = {(x,y) R 2 : x (p,q), y 0,+ )} oraz jest rozwiązaniem integralnym równania (1 ) w prostokącie Z twierdzenia 4 otrzymujemy D = {(x,y) R 2 : x (p,q), y (,0 }. Wniosek 2. Jeśli α > 1, to ogół rozwiązań integralnych równania (1) w prostokącie D + składa się wyłącznie z rozwiązań integralnych równania (1) w prostokącie D + oraz rozwiązania stałego ϕ 0. Podobnie, jeśli r > s, to ogół rozwiązań integralnych równania (1 ) w prostokącie D składa się wyłącznie z rozwiązań integralnych równania (1 ) w prostokącie D oraz rozwiązania stałego ϕ 0. 19
15 6. Równanie Zupełne Równania różniczkowe pierwszego rzędu Zanim przejdziemy do właściwego wykładu przypomnimy parę pojęć i twierdzeń rachunku różniczkowego funkcji wielu zmiennych. 5 Niech G R 2 będzie obszarem (czyli zbiorem otwartym i spójnym w R 2 ) i niech (ξ,η) G. Pochodną cząstkową funkcji F : G R względem x (odpowiednio względem y) w punkcie (ξ,η) G nazywamy granicę F x(ξ,η) = lim t 0 F(ξ +t,η) F(ξ,η) t ( ) odp. granicę F y(ξ,η) F(ξ,η +t) F(ξ,η) = lim. t 0 t Jeżeli obie pochodne cząstkowe funkcji F istnieją w każdym punkcie zbioru G i funkcje są ciągłe, to mówimy, że funkcja F jest klasy C 1. F x : G R oraz F y : G R Twierdzenie (O pochodnej złożenia). Niech ϕ, ψ : I R będą funkcjami różniczkowalnymi na przedziale I R. Jeśli: (a) punkt (ϕ(t),ψ(t)) G dla każdego t I, (b) funkcja F : G R jest klasy C 1 w obszarze G, to funkcja f(t) = F ( ϕ(t),ψ(t) ) dla t I jest różniczkowalna w przedziale I i jej pochodna wyraża się wzorem f (t) = F x( ϕ(t),ψ(t) ) ϕ (t)+f y( ϕ(t),ψ(t) ) ψ (t). Pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu funkcji F w punkcie (ξ, η) G nazywamy liczby F xx(ξ,η) = (F x) x(ξ,η), F xy(ξ,η) = (F x) y(ξ,η), F yx y ) x (ξ,η), F yy (ξ,η) = (F y ) y (ξ,η). Twierdzenie (Schwarza o pochodnych mieszanych). Niech F : G R będzie funkcją określoną w obszarze G R 2 i niech posiada pochodne cząstkowe F x, F y i F xy w każdym punkcie obszaru G. Niech ponadto F xy będzie ciągła w pewnym punkcie (ξ,η) G. Wtedy w punkcie (ξ,η) istnieje też druga pochodna cząstkowa mieszana F yx i F xy (ξ,η) = F yx (ξ,η). Twierdzenie (O funkcji uwikłanej). Niech γ R i (ξ,η) G. Załóżmy, że: (a) funkcja F : G R jest klasy C 1 w obszarze G, (b) F(ξ,η) = γ, (c) F y (ξ,η) 0. Wówczas istnieją stałe δ,ε > 0 oraz funkcja ϕ : (ξ δ,ξ +δ) (η ε,η +ε) taka, że: 1) ϕ(ξ) = η, 2) F ( x,ϕ(x) ) = γ dla x (ξ δ,ξ +δ), 3) dla każdego x (ξ δ,ξ +δ) punkt y = ϕ(x) jest jedynym rozwiązaniem równania należącym do przedziału (η ε, η + ε), 4) funkcja ϕ jest różniczkowalna i Przypomnijmy jeszcze dwa twierdzenia F(x,y) = γ F x(x,ϕ(x)) +F y(x.ϕ(x)) ϕ (x) = 0. 5 Wszystkie pojęcia z tego paragrafu czytelnik odnajdzie w książce G. M. Fichtenholza Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1999, tomy 1 i 2. 20
16 Twierdzenie (O pochodnej całki względem górnej granicy całkowania). Niech f : a, b R będzie funkcją całkowalną w przedziale a,b i Φ(x) = x a f(t)dt, x a,b. Jeśli funkcja f jest ciągła w punkcie x, to funkcja Φ jest różniczkowalna w punkcie x i Φ (x) = f(x). Twierdzenie (O różniczkowaniu całki względem parametru). Niech F : G R będzie funkcją klasy C 1 w obszarze G R 2 i niech prostokąt T postaci będzie zawarty w G. Wówczas funkcja T = {(x,y) R 2 : x a,b, y c,d } jest rózniczkowalna i f (y) = f(y) = b a b a F(x,y)dx, y c,d F y(x,y)dx dla y c,d. Przejdźmy teraz do właściwego wykładu. Niech tak jak powyżej G R 2 będzie obszarem i P,Q : G R funkcjami ciągłymi. Jeśli istnieje funkcja F : G R klasy C 1 w G i taka, że to równanie F x (x,y) = P(x,y) i F y (x,y) = Q(x,y) dla (x,y) G, (1) P(x,y)+Q(x,y)y = 0 nazywamy równaniem zupełnym, zaś funkcję F funkcją pierwotną równania (1). Twierdzenie 1. Ogół rozwiązań równania zupełnego, którego funkcją pierwotną jest F składa się z tych funkcji różniczkowalnych ϕ : I R, o wykresach przebiegających w obszarze G dla których istnieje stała γ taka, że (2) F ( x,ϕ(x) ) = γ dla x I. Stałe γ występujące w (2) nazywamy stałymi dopuszczalnymi. Dowód. Załóżmy, że (1) jest równaniem zupełnym i że ϕ : I R jest rozwiązaniem tego równania. Zatem wykres funkcji ϕ przebiega w obszarze G i P ( x,ϕ(x) ) +Q ( x,ϕ(x) ) ϕ (x) = 0 dla x I, czyli F x( x,ϕ(x) ) +F y ( x,ϕ(x) ) ϕ (x) = 0 dla x I. Stąd na podstawie twierdzenia o pochodnej złożenia ( F ( x,ϕ(x) )) = 0 dla x I. 21
17 W konsekwencji istnieje stała γ R taka, że F ( x,ϕ(x) ) = γ dla x I. Odwrotnie, jeśli ϕ : I R jest funkcją różniczkowalną o wykresie przebiegającym w G i istnieje stała γ R taka, że zachodzi (2), to różniczkując (2) stronami względem x dostajemy na podstawie twierdzenia o pochodnej złożenia, że czyli F x( x,ϕ(x) ) 1+F y ( x,ϕ(x) ) ϕ (x) = 0 dla x I, P ( x,ϕ(x) ) +Q ( x,ϕ(x) ) ϕ (x) = 0 dla x I. Zatem ϕ jest rozwiązaniem równania zupełnego (1). Z twierdzenia o funkcji uwikłanej wynika, że przy założeniu, że funkcja Q nie posiada miejsc zerowych w obszarze G, wyznaczenie stałych dopuszczalnych równoważne jest z wyznaczeniem zbioru wartości funkcji pierwotnej równania zupełnego. Dokładniej mamy Własność 1. Niech Q(x,y) 0 dla (x,y) G. Na to, aby stała γ była dopuszczalna, potrzeba i wystarcza, by istniał punkt (ξ,η) G taki, że F(ξ,η) = γ. Niech T będzie prostokątem postaci T = {(x,y) R 2 : x (a,b), y (c,d)}. Niech P,Q : T R będą funkcjami klasy C 1 w prostokącie T. Twierdzenie 2. Na to, by równanie (1) było zupełne w prostokącie T potrzeba i wystarcza, by (3) P y(x,y) = Q x(x,y) dla (x,y) T. Dowód. Konieczność warunku wynika natychmiast z twierdzenia Schwarza o pochodnych mieszanych, gdyż P y = (F x) y = F xy i Q x = (F y) x = F yx, więc P y = F xy = F yx = Q x. Załóżmy teraz, że zachodzi (3). Ustalmy punkt (x 0,y 0 ) T i niech F : T R będzie funkcją określoną wzorem (4) F(x,y) = x x 0 P(s,y 0 )ds+ y y 0 Q(x,t)dt, (x,y) T. Na mocy twierdzeń o różniczkowaniu funkcji górnej granicy całkowania i o różniczkowaniu całki względem parametru oraz na podstawie (3) mamy oraz F x(x,y) = P(x,y 0 )+ y y 0 Q x(x,t)dt = P(x,y 0 )+ Zatem F jest funkcją pierwotną równania (1). y y 0 P y(x,t)dt = = P(x,y 0 )+P(x,y) P(x,y 0 ) = P(x,y) F y (x,y) = 0+Q(x,y) = Q(x,y). Wniosek 1. Jeśli P,Q : T R są funkcjami klasy C 1 w prostokącie T i spełniony jest warunek (3), to funkcja F : T R określona wzorem (4) jest funkcją pierwotną równania (1). 22
18 7. Czynnik całkujący Niech G R 2 będzie obszarem i P,Q : G R funkcjami ciągłymi. Rozważmy równanie postaci (1) P(x,y)+Q(x,y)y = 0, które nie musi być teraz zupełne. Funkcję U : G R klasy C 1 nazywać będziemy całką równania (1), jeśli ogół jego rozwiązań będzie składał się z tych funkcji różniczkowalnych ϕ : I R, że ( x,ϕ(x) ) G dla x I i dla których istnieje stała γ taka, że U ( x,ϕ(x) ) = γ dla x I. Oczywiście funkcja pierwotna równania zupełnego jest jego całką. Powstaje myśl, żeby pomnożyć równanie (1) stronami przez taką funkcję ciągłą N : G R nieznikającą w G, by równanie (2) N(x,y)P(x,y)+N(x,y)Q(x,y)y = 0 było zupełne. Funkcję taką (jeśli istnieje) nazywamy czynnikiem całkującym równania (1). Ponieważ równania (1) i (2) są równoważne, zatem z twierdzenia 1 z poprzedniego paragrafu dostajemy Własność 1. Funkcja pierwotna równania (2) jest całką równania (1). Z powyższego wynika, że znajomość czynnika całkującego ma zasadnicze znaczenie dla rozwiązania równania (1). Podamy obecnie sposoby wyznaczania czynnika całkującego. Niech T będzie prostokątem postaci T = {(x,y) R 2 : x (a,b), y (c,d)}. Niech P,Q,: T R będą funkcjami klasy C 1 w prostokącie T. Jako prosty wniosek z twierdzenia 2 z poprzedniego paragrafu otrzymujemy Własność 2. Na to, by funkcja N : T R \ {0} klasy C 1 była czynnikiem całkującym równania (1), potrzeba i wystarcza, by w protokącie T zachodziła równość (3) (NP) y = (NQ) x lub w postaci równoważnej (3 ) N y P +NP y = N x Q+NQ x. Z powyższej własności widzimy, że znalezienie czynnika całkującego sprowadza się do rozwiązania równania (3 ) o pochodnych cząstkowych, co jest na ogół trudniejsze od rozwiązania równania (1). Jednak w pewnych przypadkach równanie (3 ) sprowadza się do równania zwyczajnego i daje się rozwiązać. Podamy dwa takie przypadki. Więcej na ten temat znaleźć można w monografii W. Nikliborca Równania różniczkowe, Część I, PTM, Warszawa Wrocław
19 Twierdzenie 1. Niech P,Q : T R będą funkcjami klasy C 1 w prostokącie T i Q nie znika w T. Na to, by równanie (1) miało czynnik całkujący, zależny tylko od zmiennej x, potrzeba i wystarcza, by funkcja (4) P y Q x Q zależała wyłącznie od zmiennej x. Jeśli ten warunek jest spełniony, to czynnik całkujący µ : (a,b) R jest określony wzorem (5) µ(x) = e R(x), x (a,b), gdzie R jest funkcją pierwotną funkcji (4). Dowód. Załóżmy najpierw, że równanie (1) posiada czynnik całkujący µ : (a,b) R zależny tylko od jednej zmiennej x. Pokażemy najpierw, że czynnik taki jest funkcją klasy C 1 w przedziale (p,q). Niech F : T R będzie funkcją pierwotną równania Wówczas µ(x)p(x,y)+µ(x)q(x,y)y = 0. (6) µ(x)p(x,y) = F x (x,y) i µ(x)q(x,y) = F y (x,y). Ponieważ funkcja P jest klasy C 1 wt, to z pierwszej równości wynika, że pochodna cząstkowa F xy istnieje i F xy (x,y) = µ(x)p y (x,y), a więc F xy jest ciągła w każdym punkcie prostokąta T. Stąd na podstawie twierdzenia Schwarza o pochodnych mieszanych wynika, że druga pochodna mieszana F yx również istnieje i jest ciągła, gdyż F yx = F xy. Z drugiego równania w (6) wynika, że µ = F y /Q, co wraz z powyższym oznacza, że µ jest funkcją klasy C1. Możemy zatem korzystać z twierdzenia 2. Z równania (3 ) otrzymujemy, że 0P + µp y = µ Q + µq x. Ponieważ funkcje µ i Q nie znikają w prostokącie T, więc powyższe jest równoważne równaniu (7) P y Q x Q czyli funkcja (4) zależy wyłącznie od zmiennej x. = µ µ, Odwrotnie, niech funkcja (4) zależy tylko od zmiennej x. Biorąc µ określone wzorem (5) mamy R = lnµ. Różniczkując tę równość stronami dostajemy (7), która z kolei równoważna jest 0P + µp y = µ Q + µq x. To na podstawie twierdzenia 2 oznacza, że µ jest czynnikiem całkującym równania (1). To kończy dowód. Analogicznie otrzymujemy Twierdzenie 2. Niech P,Q : T R będą funkcjami klasy C 1 w prostokącie T i P nie znika w T. Na to, by równanie (1) miało czynnik całkujący, zależny tylko od zmiennej y, potrzeba i wystarcza, by funkcja (8) Q x P y P 24
20 zależała wyłącznie od zmiennej y. Jeśli ten warunek jest spełniony, to czynnik całkujący ν : (a,b) R jest określony wzorem (9) ν(y) = e S(y), y (c,d), gdzie S jest funkcją pierwotną funkcji (8). Istnieje wiele twierdzeń podających warunki konieczne i dostateczne istnienia czynników całkujących innej postaci. Na przykład (co czytelnik sam może sprawdzić), na to aby równanie (1) posiadało czynnik całkujący postaci N(x, y) = µ(x)ν(y), potrzeba i wystarcza, by istniały funkcje ciągłe ϕ(x) i ψ(y), dla których zachodzi tożsamość P y(x,y) Q x(x,y) = Q(x,y)ϕ(x) P(x,y)ψ(y). Jeśli ten warunek jest spełniony i Φ i Ψ są odpowiednio funkcjami pierwotnymi funkcji ϕ i ψ, to czynnik całkujący jest dany wzorem N(x,y) = ±e Φ(x) e Ψ(y). 25
VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoBiotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą
Bardziej szczegółowo5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Bardziej szczegółowo4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne
Równania w postaci Leibniza 4 1 4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne 4.1 Równania różniczkowe w postaci Leibniza Załóżmy, że P : D R i Q: D R są funkcjami ciągłymi określonymi
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowoŁatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.
Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe
Bardziej szczegółowo2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowo2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
Bardziej szczegółowoRozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie
Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.
Bardziej szczegółowoIII. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2018 Spis treści Definicja ciągłości funkcji. Przykłady Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji Własności funkcji
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoWykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Bardziej szczegółowoWykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji odwrotnej
Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowo4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne
Równania w postaci Leibniza 4 1 4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne 4.1 Równania różniczkowe w postaci Leibniza Załóżmy,żeP:D RiQ:D Rsąfunkcjamiciągłymiokreślonymina
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 Przedmiot realizowany w układzie wykład 2 godz. tygodniowo ćwiczenia 2 godz. tygodniowo Regulamin zaliczeń www.mini.pw.edu.pl/~figurny 2 Program zajęć Równania różniczkowe
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale
Bardziej szczegółowoDefinicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem
Definicja kuli w R n ulą o promieniu r>0 r R i o środku w punkcie p R n nazywamy zbiór {x R n : ρ(xp)
Bardziej szczegółowo11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu.
Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu 11 1 11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu. 11.1 Równania różniczkowe cząstkowe. Definicje i oznaczenia. Równaniem
Bardziej szczegółowo13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.
Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowo1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE WÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH efinicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą d
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowo1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera
1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera Na państwa użytek załączam precyzyjne sformułowania i dowody nierówności Hoeldera i Minkowskiego: Twierdzenie 1.1 Nierówność Hoeldera). Niech p, q będą takimi liczbami
Bardziej szczegółowoRÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowoWykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych
Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację
Bardziej szczegółowoZnaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoLogarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest
Bardziej szczegółowoV Międzyszkolny Konkurs Matematyczny
V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny im. Stefana Banacha dla uczniów szkół średnich Zespół Szkół Nr 1 im. Adama Mickiewicza w Lublińcu 42-700 Lubliniec, ul. Sobieskiego 22 18. kwiecień 2011 rok 1. W trapezie
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami
Bardziej szczegółowo13. Równania różniczkowe - portrety fazowe
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - portrety fazowe 1 /
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowo11. Pochodna funkcji
11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,
Bardziej szczegółowoRozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna
Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoRóżniczkowalna zależność rozwiązania od warunków początkowych i parametrów
Różniczkowalna zależność 1 Różniczkowalna zależność rozwiązania od warunków początkowych i parametrów Rozważmy zagadnienie początkowe x =f(t,x,p) (1) x()=ξ. Funkcjafjestokreślonanazbiorze(a,b) R S,gdzieRjestwnętrzem
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoOśrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych.
Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Definicja (otoczenie punktu) Otoczeniem punktu x 0 R, o promieniu nazywamy zbiór x R taki, że: inaczej x x 0 x x 0, x 0 Definicja (ciągłość w punkcie)
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A
Funkcje analityczne Wykład 3. Funkcje holomorficzne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Niech A C. Funkcja
Bardziej szczegółowoLokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie
Bardziej szczegółowoSumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych
Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych Andrzej Nowicki 24 maja 2015, wersja kk-17 Niech m < n będą danymi liczbami naturalnymi. Interesować nas będzie równanie ( ) y 2 + (y + 1) 2 + + (y + m 1) 2 =
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Bardziej szczegółowoPochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoDwa równania kwadratowe z częścią całkowitą
Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoZestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19
Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19 Zad 1. Znaleźć rozwiązania ogólne u = u(x, y) następujących równań u x = 1, u y = 2xy, u yy = 6y, u xy = 1, u x + y = 0, u xxyy = 0. Zad 2. Znaleźć
Bardziej szczegółowo