Twierdzenia o funkcjach uwikłanych i odwracaniu funkcji

Transkrypt

1 Tierdzenia o funkcjach uikłanych i odracaniu funkcji Ostatnio popraiłem 6 grudnia 2014 r. Duża cz eść zadań pochodzi od dr Marcina Kuczmy Definicja 3.1 przestrzeni metrycznej zupełnej Przestrzeń metryczna X z metryka ϱ jest zupełna tedy i tylko tedy, gdy dla każdego ciagu n punktó przestrzeni X, spełniajacego arunek Cauchy ego, tzn. istnieje p X takie, że p = lim n n. ε>0 nε k,l>nε ϱ k, l < ε, Przestrzeniami metrycznymi zupełnymi sa np. R k dla doolnego k i podzbiory domkniete tych przestrzeni, przestrzeń C[a, b] funkcji ciagłych na przedziale [a, b], z metryka ϱf, g = sup { f g : [a, b] } bo ciag spełniajacy jednostajny arunek Cauchy ego jest zbieżny jednostajnie i jego granica jest funkcja ciagł a. Podzbiory niedomkniete przestrzeni metrycznych, rozpatryane jako przestrzenie metryczne sa niezupełne. Jeśli boiem zbiór A nie jest domkniety, to istnieje punkt leżacy poza tym zbiorem i bed acy granica punktó tego zbioru: = lim n. Wtedy n jednak ciag n nie ma granicy zbiorze A. Wynika stad np. że przedział otarty nie jest przestrzenia metryczna zupełna, zbiór liczb ymiernych Q nie jest przestrzenia metryczna zupełna. Sformułujemy teraz tierdzenie zane tierdzeniem Banacha o punkcie stałym. Banach zauażył, że to tierdzenie było ielokrotnie doodzone konkretnych sytuacjach i podał sformułoanie, które obejmuje iele rozpatryanych przypadkó. W zastosoaniach czesto elementami przestrzeni metrycznej sa pene funkcje, przekształcenie jest ziazane na ogół z jakimś rónaniem funkcyjnym, a punkt stały zob. niżej jest roziazaniem tego rónania funkcyjnego. Tierdzenie 3.2 Banacha o odzoroaniu zeżaj acym kontrakcji Jeśli X jest przestrzenia metryczna zupełna a F : X X przekształceniem zeżaj a- cym, tzn. spełniajacym arunek Lipschitza ze stała L mniejsza od 1, to F ma dokładnie jeden punkt stały, tzn. istnieje dokładnie jeden punkt p X taki, że F p = p. Doód. Niech X bedzie doolnym punktem przestrzeni. Niech 0 = oraz n+1 = F n. Z arunku Lipschitza ynika, że ϱ n+2, n+1 Lϱ n+1, n. Łata indukcja przekonuje nas, że dla doolnej liczby naturalnej n zachodzi nieróność ϱ n+1, n L n ϱ 1, 0. Niech k, n bed a doolnymi liczbami naturalnymi. Mamy ϱ n+k, n ϱ n+k, n+k 1 + ϱ n+k 1, n+k ϱ n+1, n ϱ 1, 0 L n+k 1 + L n+k L n Ln ϱ 1 L 1, 0 0. n Wynika stad, że ciag n spełnia arunek Cauchy ego, zatem jest zbieżny. Zdefiniujmy p = lim n. Dzieki n ciagłości F zachodza róności: F p = F lim n = lim F n = lim n+1 = lim n = p. n n n n Jeśli dla penego p zachodzi też F p = p, to ϱp, p = ϱf p, F p Lϱp, p. Ponieaż 1 > L 0, iec ostatnia nieróność może zachodzić jedynie przypadku ϱp, p = 0, czyli gdy p = p. 65

2 Uaga 3.3 o ciagłej zależności punktu stałego, M.W.Hirsh, C.C.Pugh, 1968 Jeśli F : X X jest odzoroaniem zeżaj acym ze stała Lipschitza L < 1, F p=p, G: X X jest przekształceniem takim, że ϱf, G ε dla każdego X zaś q jest punktem stałym przekształcenia G, czyli G = q, to ϱp, ε. 1 L Doód. Oszacoanie ynika z nieróności ϱp, = ϱf p, G ϱf p, F + ϱf, G Lϱp, + ε. Ja oczyiście nie iem, czy tej uagi nie napisał ktoś cześniej, ale janej formie ystepuje ona pracy panó, których naziska ymieniłem. Tierdzenie Banacha o punkcie stałym jest nie tylko narzedziem za pomoca, którego można ykazyać istnienia i jednoznaczności roziazań penych rónań. W licznych przypadkach rozpatryany jego doodzie ciag n jest ciagiem, który nadaje sie do praktycznego przybliżenia roziazania interesujacego nas rónania, jego yrazy nazyamy kolejnymi przybliżeniami punktu p. Możemy szacoać bład. Ciag L n jest zbieżny do 0 dostatecznie szybko na to, by przybliżanie punktu p yrazami ciagu n mogło mieć praktyczne znaczenie. Przejdziemy teraz do jednego z najażniejszych tierdzeń tego ykładu. Tierdzenie 3.4 o odracaniu funkcji Niech f : G R l bedzie funkcja różniczkoalna każdym punkcie zbioru otartego G R k, niech przekształcenie Df : G L R k ; R l bedzie ciagłe i niech dla penego punktu p G różniczka Dfp bedzie linioym izomorfizmem przestrzeni R k i R l. Wtedy istnieje zbiór otarty U G, taki że i p U i funkcja f przekształca zbiór U na otarty podzbiór przestrzeni R l, ii funkcja f jest różnoartościoa na zbiorze U, iii funkcja 1 f U odrotna do ograniczenia f U funkcji f do zbioru U jest różniczkoalna i jej pochodne czastkoe sa ciagłe punktach zbioru fu. Doód. Przestrzenie R k i R l sa izomorficzne, zatem k = l. Zdefiniujmy pomocnicze przekształcenie g zorem g = Dfp 1 fp + fp. Mamy g0 = 0 oraz Dg0 = Dfp 1 Dfp = I. Linioy izomorfizm przestrzeni R k na siebie przekształca zbiory otarte na zbiory otarte, ynika to np. z tierdzenia o oszacoaniu minimalnego stopnie rozciagania izomorfizmu amcz1 praie na końcu. Przesuniecie też ma te łasność. Wobec tego ystarczy ykazać tierdzenie przypadku przekształcenia g. określonego penym otoczeniu H punktu 0. Potem złożyć je z linioym izomorfizmem Dfp a nastepnie z przesunieciem o ektor fp. Niech r g = +r. Ponieaż Dg0 = I, iec lim = 0. Mamy też Dg = I +Dr, 0 zatem limdr = 0, iec 0 rónież lim Dr = 0. Istnieje iec 0 taka liczba δ > 0, że jeśli δ, to Dr < 1, przy czym dziedzina odzoroania g zaiera kule 2 B0, 2δ. Z tierdzenia o artości średniej ynika, że r r 1 y 2 dla, y B0, δ. Wykażemy, że istnieje taka funkcja γ : B0, δ B0, δ, że dla każdego B0, δ zachodzi róność g + γ =, co oznacza, że na kuli B0, δ pradziy jest zór g 1 = + γ. Wynika stad automatycznie, że kula B0, δ 66

3 zaarta jest obrazie przekształcenia g, dokładniej obrazie kuli B0, 2δ przy przekształceniu g. Rónanie = g + γ = + γ + r + γ rónoażne jest rónaniu γ = r + γ. Dla ustalonego B0, δ i y B0, δ niech G = r +. Mamy G = r y y δ, i ec G przekształca kule B0, δ siebie. Dalej: G y 1 G y 2 = r+y 2 r+y 1 1 y 2 2 y 1, iec na mocy tierdzenia Banacha o odzoroaniu zeżaj acym G ma dokładnie jeden punkt stały γ kuli B0, δ. W ten sposób zdefinioaliśmy przekształcenie γ: punktoi przypisujemy punkt stały przekształcenia G. Zachodzi nieróność r 1 r Z niej i z uagi o ciagłej zależności punktu stałego ynika ciagłość przekształcenia γ. Z tierdzenia o różniczce funkcji odrotnej ynika, że funkcja ciagła g 1 jest różniczkoalna na kuli otartej B0, δ. Zbiór U może być określony jako g 1 B0, δ. Doód został zakończony. Uagi o doodzie 1 Różnoartościoość funkcji g na kuli B0, δ jest oczyista. Z lipschitzoskości funkcji g ynika boiem nieróność g g y r r y 1 y = 1 y, 2 2 a z tego już łato ynika różnoartościoość g na kuli B0, δ. Obraz kuli B0, δ zaiera punkty odległe o δ, bo co najmniej takiej odległości musza sie znaleźć obrazy końcó średnicy kuli B0, δ. Sugeruje to, że obraz kuli B0, δ zaiera pena kule o promieniu 1 δ. Jednak głóna trudność doodu łaśnie na tym polega, by ykazać, 2 że tak jest rzeczyistości, tierdzenie Banacha zostało użyte łaśnie po to, by ykazać, że przekształcenie g 1 może być określone na zbiorze otartym. 2 Zamiast przekształcenia G określonego na kuli B0, δ można rozażyć przekształcenie na zbiorze złożonym z funkcji, mianoicie Γ: C B0, δ; B0, δ C B0, δ; B0, δ zdefinioane za pomoca zoru Γγ = r + γ. W zbiorze C B0, δ; R l norma zdefinioana jest za pomoca zoru γ = sup { γ : B0, δ }. Bez trudu spradzamy, że Γ rzeczyiście przekształca zbiór C B0, δ; B0, δ siebie, że jest przekształceniem zeżaj acym. Ma iec punkt stały. Zupełność przestrzeni C B0, δ; R l ynika z tego, że granica jednostajnie zbieżnego ciagu funkcji ciagłych jest ciagła. I już nic nie trzeba doodzić. Można iec ominać doodzenie ciagłości odzoroania odrotnego dobierajac odpoiednio dziedzine przekształcenia zeżaj acego: zamiast kuli k ymiaroej można rozażać przestrzeń złożona z funkcji. Definicja 3.5 dyfeomorfizmu podzbioró otartych przestrzeni euklidesoych Jeśli G R k jest otartym podzbiorem R k, to przekształcenie f : G R l nazyane jest dyfeomorfizmem klasy C 1, jeżeli zbiór fg jest otarty przestrzeni R l, f jest różnoartościoe, f i f 1 sa klasy C 1. Dyfeomorfizm to inaczej homeomorfizm klasy C 1 podzbioró otartych przestrzeni euklidesoych, którego przekształcenie odrotne jest rónież klasy C 1. Z definicji dyfeomorfizmu ynika od razu, że ymiary dziedziny i jej obrazu musza być róne, czyli k = l. Można ykazać bez iekszych trudności, że każde da zbiory otarte i ypukłe R k sa dyfeomorficzne. Koło otarte i pierścień kołoy bez brzegu dyfeomorficzne nie sa, ale doód tego odłożymy do nastepnego semestru. 67

4 Tierdzenie 3.6 o funkcjach uikłanych Załóżmy, że odzoroanie f : G R l jest klasy C 1 i przekształca otarty podzbiór G przestrzeni R k+l przestrzeń R l. Niech p G b edzie takim punktem, że macierz utorzona z pochodnych i p y j, 1 i, j l ma yznacznik różny od 0 oraz f p = 0. Istniej a tedy takie otoczenia U punktu p R k i V punktu q R l, że dla każdego U istnieje dokładnie jedno y V, dla którego zachodzi róność f = 0. Odzoroanie g : U V określone zorem f g = 0 jest klasy C 1 zbiorze U. 1 Doód tego tierdzenia podamy nieco później. Spróbujemy natomiast objaśnić jego treść. Zauażmy na stepie, że jeśli zbiory G 1 R k i G 2 R l sa otarte, to G 1 G 2 jest otarty R k+l oraz, że każdy zbiór otarty R k+l zaierajacy punkt p q zaiera zbiór postaci G 1 G 2 zaierajacy punkt p, czyli doolny zbiór otarty można zastapić zbiorem tej postaci. Dalej bedziemy zakładać, że G = G 1 G 2. Zaczniemy od bardzo prostych przykładó. Gdyby chodziło jedynie o tak proste sytuacje, nikt żadnych tierdzeń ogólnych by nie formułoał z braku potrzeby. Przykład 3.7 Niech f = a + by + c. Mamy i ec k = l = 1. Funkcja f określona jest na całej płaszczyźnie, iec G 1 = R = G 2. Załóżmy, że 0 y = b. Przy tym założeniu z rónania a + by + c = 0 można yznaczyć y = a+c, czyli określić b funkcje g. W przypadku linioym różniczka jest niezależna od punktu. Nie ma też ograniczeń ani dziedzinie można przyjać U = R ani zbiorze artości można przyjać V = R. Przykład ten yjaśnić ma naze tierdzenia: chodzi o określenie funkcji przypisujacej iksom igreki, z tym że zór nie jest dany janej postaci łato osiagalnej przypadku linioym. Jasne jest, że tym przypadku arunek b 0 jest rónież konieczny dla istnienia funkcji g. y Przykład 3.8 Niech teraz f = 2+5y+3z 2 z 3+3y+2z 5. Tym razem k = 1, l = 2. Mamy 2 + 5y + 3z 2 = 5, 2 + 5y + 3z 2 = 3, 3 + 3y + 2z 2 = 3, y z y 3 + 3y + 2z 2 = 2, zatem z 1 1 y z = = y 2 z Możemy iec spróboać określić ielkości y i z jako funkcje zmiennej. Chcac znaleźć konkretne zory trzeba roziazać układ rónań: { 5y + 3z = 2 2 3y + 2z = 5 3 którym to układzie y, z sa nieiadomymi, a pełni role parametru. Otrzymujemy zory y = 5 11, z = Podobnie jak poprzednio nie sa tu potrzebne żadne ograniczenia na argument ani zmienne y, z. Warunek z tierdzenia o funkcjach uikłanych to arunek na to, by układ rónań linioych miał dokładnie jedno roziazanie przy ustalonym. 1 Oczyiście funkcja g jest zdefinioana poprzednim zdaniu: każdemu U odpoiada dokładnie jeden y V... to zdanie określa funkcje, której dziedzina jest zbiór U i której artości leża zbiorze V. Naza tierdzenia bierze sie stad, że funkcja g nie jest zdefinioana zorem postaci g =..., lecz jej artość punkcie spełnia pene rónanie. Termin angielski: Implicit Function Theorem. 68

5 Przykład 3.9 Należy zrócić uage na to, że ograniczenie dotyczace możliości yboru punktu dotyczy zaróno otoczenia punktu p jak i otoczenia punktu q. Bez któregokoliek z tych ograniczeń teza przestaje być pradzia. By o tym przekonać sie ystarczy rozażyć funkcje f y = 2 + y 2 25, tutaj k = l = 1, G 1 = G 2 = R. Mamy f 3 4 = 0, y = 2, y y = 2y, zatem pochodne cz astkoe funkcji f sa ciagłe szedzie. Mamy 3 y 4 = 8 0. Teza tierdzenia może być ypoiedziana tym przypadku tak: jeśli jest liczba punktem dostatecznie bliska 3 tzn. U, to istnieje dokładnie jedna liczba y bliska 4 y V taka, że f y = 0. Oczyiście bez trudu stierdzamy, że y = 25 2, zatem g = Można oczyiście przyjać np. U = 2, 4, V = 3, 5 albo U = 5, 5 i V = 0, +. Bez ograniczenia możliości yboru liczby y nie ma jednoznaczności jej yboru: zakładajac jedynie, że y R możemy napisać y = ± 25 2, iec ybór jest na ogół duznaczny, zatem nie ma jak zdefinioać funkcji g. Gdybyśmy chcieli łaczyć do dziedziny funkcji g punkt 5 lub punkt 5, to rónanie f y = 0 nie definioałoby już liczby y jednoznacznie, przyczyn a tego jest róność ±5 y 0 = 0, czyli niespełnienie założeń tierdzenia. Ponieaż jednak ±5 0 = ±10 0, i ec penym otoczeniu punktu ±5 0 można potraktoać zbiór zdefinioany rónaniem 0 = f y jako ykres funkcji, której argumentami s a igreki zaś artościami iksy. 2 y Przykład 3.10 Niech f = 2 +y 2 +z 2 14 y z +y+z. Rónanie f = 0 z 0 opisuje zbiór, który jak łato można zauażyć jest cześci a spólna sfery o rónaniu 2 +y 2 +z 2 = i płaszczyzny o rónaniu + y + z = 0, która przechodzi przez punkt 0 =, tzn. 0 przez środek sfery. Oczyiście mamy do czynienia z okregiem. Nie bedziemy go jednak parametryzoać, tj. znajdoać przekształcenia z penego przedziału na ten okrag lub jego cześć. Wykażemy jedynie, że opis za pomoca układu rónań jest dostatecznie dobry tym sensie, że sa spełnione założenia tierdzenia o funkcjach uikłanych każdym punkcie tego okregu po eentualnej zmianie spółrzednej pełniacej role y 2 2y 2z zmiennej niezależnej. Mamy Df =. Przypomnijmy, że rzad z macierzy to maksymalny ymiar yznacznika różnego od 0, który można otrzymać ykreślajac z niej pena liczbe ierszy i kolumn. Jasne jest, że rzad macierzy Dfp jest róny y 1 tedy i tylko tedy, gdy = y = z, p =, innych przypadkach jest on róny z 2. Jeśli jednak = y = z i jednocześnie + y + z = 0, to = y = z = 0 i obec tego 2 + y 2 + z , zatem e szystkich punktach p zbioru zdefinioanego rónaniem fp = 0 0 macierz Dfp ma rz ad 2. Wobec tego zbiór ten jest lokalnie ykresem funkcji zmiennej lub zmiennej y lub zmiennej z. Doód TFU korzystaj acy z tierdzenia o odracaniu funkcji. Niech F = y f. Mamy DF = idk 0 l,k y, gdzie id k oznacza macierz y y y y 2 Nie trzeba oczyiście zakładać, że konkretny yznacznik ymiaru l jest różny od 0. Założyć należy, że peien yznacznik ymiaru l macierzy DF jest różny od 0 i ybrać odpoiednio zmienne, które bed a pełnić role argumentó. Tierdzenie zostało tak ypoiedziane, by nie komplikoać oznaczeń. Ten przykład pokazać ma jak należy zmienić teze, jeśli zmodyfikoane zostały założenia. 69

6 identyczności działajacej na R k, 0 l,k oznacza macierz zeroa, która ma l ierszy i k kolumn, oznacza macierz utorzon a z pochodnych czastkoych funkcji f zgledem pierszych k zmiennych oznaczanych przez i reszcie y oznacza macierz pochodnych czastkoych funkcji f zgledem ostatnich l zmiennych. Z założenia macierz p y ma yznacznik różny od 0. St ad ynika, że różniczka DF p ma yznacznik różny od 0, bo róny detid k det p y = 1 det p y 0 y. Możemy iec skorzystać z tierdzenia o odracaniu funkcji. Funkcja F ograniczona do dostatecznie małego zbioru otartego zaierajacego punkt p ma funkcj e odrotna, która oznaczymy przez H. Z definicji funkcji odrotnej ynika, że dla każdego z jej dziedziny zachodzi róność F H =. Ponieaż F nie zmienia pierszych k spółrz ednych punktu i identyczność rónież ich nie zmienia, iec H rónież nie może ich zmienić. Istnieje iec funkcja h, taka że H y = h. Nas interesuja punkty, takie że y f = 0, czyli F = 0. Mamy F H =. Wobec tego F H 0 = 0, zatem F = h 0 0. Ponieaż F jest funkcj a różnoartościoa, iec h 0 to jedyny możliy ybór punktu y, dla którego F = 0. Przyjmujemy g = h 0. Trzeba opisać otoczenia, na których rozpatrujemy funkcje F i H. Otóż otoczenia te można zmniejszać. Można iec przyjać, po eentualnym zmniejszeniu, że otoczenie punktu p q jest postaci U V, a otoczenie punktu p 0 róne jest F U V. Doód korzystajacy bezpośrednio z t. o Banacha o odzoroaniu zeżaj acym Niech j y = i, j 1 i k, y y = y i, zatem y jest macierz a, 1 j l 1 i,j l która ma l ierszy i k kolumn, y jest macierz a kadratoa, która ma l kolumn i tyle samo ierszy. W tierdzeniu zakładamy, że y p ma yznacznik różny od 0, co oznacza, że przekształcenie linioe z R l do R l zdefinioane za pomoca tej macierzy jest różnoartościoe, przekształca R l na R l, czyli jest izomorfizmem. Oznaczmy jeszcze B = p q i C = p y. Teraz możemy napisać Df p u v = Bu + Cv. Gdyby odzoroanie f było linioe, tzn. gdyby f u v = Bu + Cv, to można by rónanie 0 = f p+u q+v rozi azać napisaszy v = C 1 Bu i rzecz cała zakończyć. Oczyiście tak być nie musi, ale ponieaż zamierzamy ykazać jedynie, że dla dostatecznie małych u istnieja małe v takie, że 0 = f p+u q+v, i ec bedziemy zakładać, że v = C 1 Bu + h roziazanie rónania nielinioego poinno być blisko roziazania rónania linioego. Dokładniej ustalamy u i szukamy h takiego, że 0 = f p+u q C Bu+h. 1 Niech r u v = f p+u q+v Bu Cv. Rónanie z nieiadom a h można zapisać postaci 0 = f p+u q+v = Bu + Cv + r u v = Bu + C C 1 Bu + h + r u C Bu+h = Ch + 1 +r u C Bu+h, albo krócej 1 h = C 1 r u RH C 1 Bu+h Jeśli potraktujemy u jako stała i przyjmiemy Γ u h = C 1 r u C Bu+h, to okazuje sie, 1 że rónanie RH przybiera postać h = Γ u h, czyli że h ma być punktem stałym Γ u. Wystarczy określić dziedzine Γ u tak, by przekształcenie odzoroyało ja siebie i by na tej dziedzinie było zeżaj ace. Oczyiście dziedzina poinna być zupełna, iec domknieta R l. Ponieaż f ma ciagłe pochodne czastkoe otoczeniu punktu p, i ec odzo- 70

7 roanie r też ma ciagłe pochodne czastkoe otoczeniu punktu p. Mamy też Dr 0 0 = 0. Z ci agłości pochodnych czastkoych oraz ostatniej róności ynika, że dla każdej liczby ε > 0 istnieje liczba δ > 0 taka, że jeśli u < δ i < δ, to Dr u < ε. Niech c = C 1, b = B. Oczyiście c > 0, b 0. Możemy założyć, że 2cε < 1 ε możemy zmniejszać i do zmniejszonego dobierać δ > 0. Załóżmy, że 2 δ u i h δ. Mamy iec 21+c1+b 2 C 1 Bu + h c b u + h δ + δ = δ. 2 2 Z tierdzenia Lagrange a o artości średniej ynika tedy, że Γ u h = C 1 r u c ε u C 1 Bu+h C Bu+h 1 c ε u 2 + C 1 Bu + h 2 c ε u 2 + cb u + h 2 c ε δ/2 2 + δ 2 < 2cεδ < δ. 2 Wykazaliśmy, że Γ u B0, δ B0, δ. Kula B0, δ jest domkni etym podzbiorem przestrzeni R l, iec potraktoana jako przestrzeń metryczna jest zupełna. Z tierdzenia o artości średniej i nieróności Dr < ε, cε < 1 ynika, że 4 Γ u h Γ u h = C 1 r u C 1 Bu+ h C 1 r u C Bu+h 1 C 1 Dr h h cε h h 1 h h, 4 a to oznacza, że Γ u spełnia arunek Lipschitza na kuli B0, δ ze stał a 1 2. Z tierdzenia 4 Banacha o odzoroaniu zeżaj acym ynika, że Γ u ma dokładnie jeden punkt stały kuli B0, δ. Wiemy iec 2 już, że rónanie RH ma dokładnie jedno rozi azanie h spełniajace arunek h δ. Od tego momentu oznaczać bedziemy 2 to rozi azanie przez hu. δ Trzeba ykazać, że odzoroanie h przypisujace ektoroi u B0, 21+c1+ε ektor hu B0, δ jest różniczkoalne. Z uagi o ci agłej 2 zależności punktu stałego ynika, że jest ono ciagłe, co iecej Γ u1 h Γ u2 h = C 1 r u 1 C 1 Bu 1 +h + C 1 r u 2 C 1 Bu 2 +h cε u 1 C 1 Bu 1 +h + u 2 C 1 Bu 2 +h = cε u1 u C 1 Bu 1 u 2 2 cε 1 + c 2 b 2 u 1 u 2. Stad zaś i z przyołanej przed chila uagi ynika, że hu 1 hu 2 cε 1 + c 2 b 2 u 1 u = L u 1 u 2 iec przekształcenie h jest ciagłe, a naet lipschitzoskie ze stała L = 4cε 1 + c 3 2 b 2. Z zoru f p+u q+hu = 0 ynika, że jeśli h jest odzoroaniem różniczkoalnym, to zachodzi róność: 0 = p+u q+hu + p+u y q+hu Dhu. Ponieaż p+u y q+hu jest izomorfizmem δ i ε sa dostatecznie małe a różniczka zależy sposób ciagły od punktu, iec musi być spełniona róność 1 p + u p + u Dhu =. RÓŻ y q + hu q + hu Niestety nie udoodniliśmy jeszcze różniczkoalności f, natomiast znaleźliśmy kandydata na różniczke. To oczyiście ułatia dalsze rozumoanie. W dalszej cześci doodu ektor u nie bedzie zmieniany. Wystarczy zatem ykazać, że 1 p + u p + u hu + hu y q + hu q + hu lim =

8 Ta róność to po prostu stierdzenie, że macierz przez która mnożony jest ektor, jest różniczka odzoroania h punkcie u to definicja różniczkoalności. Niech ρ v = f p+u+ q+hu+v f p+u q+hu p+u q+hu p+u y q+hu v. 1 Z różniczkoalności f ynika: lim ρ 2 + v v = 0 przy v 0. Mamy i ec 2 0 = F p+u+ q+hu+ = f p+u+ q+hu+{hu+ hu} = + p+u + p+u {hu + hu} + ρ = f p+u q+hu = 0 + p+u q+hu q+hu y p+u y q+hu + q+hu {hu + hu} + ρ hu+ hu. hu+ hu = Wyznaczamy stad hu + hu korzystajac z odracalności macierzy p+u y q+hu : hu + hu = p+u 1 p+u y q+hu q+hu p+u 1 y q+hu ρ hu+ hu. 1 Zakończymy doód, gdy ykażemy, że lim p+u 1 y q+hu ρ hu+ hu = Wystarczy udoodnić, że lim ρ 0 p+u y q+hu 1 jest ci agłe. Wiemy, że zachodzi nastepuj aca róność 0 = lim 1 0 ρ 2 + hu+ hu hu+ hu = 2 hu+ hu = 0, boiem przekształcenie linioe = lim 0 1 ρ hu+ hu 2 + hu+ hu 2 Odzoroanie h spełnia arunek Lipschitza ze stała L, zatem zachodzi nieróność: L 2 = 2 + L hu + hu 2 1 Z tego, że iloczyn dóch czynnikó daży do 0 i drugi z nich jest oddzielony od 0 ynika, że pierszy daży do 0. Wiemy iec, że różniczka istnieje, zatem pochodne czastkoe istnieja. Ich ciagłość ynika z tego, że dane sa za pomoca zoru RÓŻ, którym ystepuj a funkcje ciagłe poiazane działaniami arytmetycznymi, iec ynik też jest funkcja ciagł a. Doód został zakończony. Uaga 3.11 Zasadnicza trudność tym doodzie polega na ykazaniu, że roziazanie istnieje, ten problem roziazaliśmy za pomoca tierdzenia Banacha; to że funkcja h spełnia arunek Lipschitza to niejako automatyczne rozumoanie, tu łaściie doód przebiega zgodnie z oczekianiami i nie ma ielkich możliości zmian, to samo dotyczy różniczkoalności; zapis ale nie rozumoanie można nieco skrócić proadzajac kilka dodatkoych oznaczeń, ale to rzecz gustu autor tego tekstu nie przepada za ieloma zmianami oznaczeń. Podobnie, jak doodzie tierdzenia o odracaniu funkcji, można zamiast uagi o ciagłej zależności punktu stałego, rozpatryać przekształcenie na przestrzeni metrycznej, której elementami sa funkcje określone na penej kuli domknietej, przypadku tego doodu ygodnie jest posłużyć sie funkcjami spełniajacymi arunek Lipschitza z odpoiednio dobrana stała. Z tierdzenia o funkcji uikłanej ynika od razu tierdzenie o funkcji odrotnej. Jeśli f jest klasy C 1 i Dfp jest izomorfizmem, to funkcja g zdefinioana zorem g y = f y spełnia założenia tierdzenia o funkcji uikłanej: g fp p = Dfp. 72

9 jest izomorfizmem, g fp p = 0, i ec można yznaczyć jako funkcje y dostatecznie małym otoczeniu punktu fp przy założeniu, że punkt dopasoyany do punktu y jest poszukiany pobliżu p. Zadanie. Zbadać, czy przekształcenie na zbiorze funkcji określone zorem Γhu = C 1 r u C 1 Bu+hu jest zeżaj ace, jeśli rozpatrujemy funkcje klasy C 1 określone na kuli domknietej o dostatecznie małym promieniu móimy, że funkcja jest klasy C 1 na kuli domknietej, jeśli można ja przedłużyć na pena kule otarta taki sposób, że na tej otartej przedłużenie bedzie klasy C 1. Jeśli f : G R l odzorouje zbiór otarty G R k+l przestrzeń R l przy czym f jest klasy C 1 i Dfp jest epimorfizmem dla penego punktu p G, to można ybrać k spośród jego k + l spółrzednych, nazać je kolejno 1 p, 2 p,..., k p, pozostałe nazać y 1 p,y 2 p,...,y l p, spółrzedne otoczeniu punktu p nazyane bed a 1, 2,..., k oraz y 1,y 2,...,y l. W taki sposób, że przekształcenie linioe p y bedzie izomorfizmem bo jadro Dfp jest k ymiaroe, zatem ymiar dopełniajacej podprzestrzeni róny jest l. Można iec zastosoać tierdzenie o funkcji uikłanej do funkcji F = f fp F = f fp. Z tego tierdzenia ynika, że zbiór { : F = 0} = { : f = fp} przeciety z dostatecznie małym otoczeniem punktu p jest ykresem funkcji, która przyporzadkouje iksom igreki. A może ograniczyć różne pochodne? A może nic już nie pomoże? Definicja 3.12 rozmaitości zanurzonej przestrzeni euklidesoej Zbiór M R k+l nazyany jest k ymiaroa rozmaitościa klasy C 1 zanurzona R k+l tedy i tylko tedy, gdy dla każdego punktu p M istnieje otoczenie U p R k+l, liczby naturalne i 1,i 2,...,i k i funkcje ϕ j1,ϕ j2,...,ϕ jl klasy C 1 zmiennych i1, i2,..., ik takie, że zbiór M U p składa sie z punktó, których spółrzedne o numerach i 1,i 2,...,i k sa zmiennymi niezależnymi zaś pozostałe l spółrzednych to ϕ j1 i1, i2,..., ik,ϕ j2 i1, i2,..., ik,..., ϕ jl i1, i2,..., ik, zatem rozmaitość jest LOKALNIE ykresem funkcji klasy C 1 penych k zmiennych. W definicji rozmaitości zakładamy, że {i 1, i 2,..., i k, j 1, j 2,..., j l } = {1, 2,..., k+l}. Wybór liczb i 1, i 2,..., i k zależny jest na ogół od punktu p, liczby j 1, j 2,..., j l to te spośród 1, 2,..., k + l, które pozostały po ybraniu i 1, i 2,..., i k. Rozmaitości zanurzone R k+l nazyane sa czasem hiperpoierzchniami, czasem ten termin zarezeroany jest dla przypadku l = 1, liczba l nazyana jest koymiarem rozmaitości zanurzonej R k+l. Czesto zamiast móić rozmaitość zanurzona R k+l móić bedziemy o podrozmaitości R k+l. Jeśli dla szystkich punkó zbioru M można ybrać jedno otoczenie U, o którym jest moa definicji, to M nazyać bedziemy płatem k ymiaroym R k+l. Przykłady rozmaitości to sfera k 1 R k, szczególności okrag na płaszczyźnie, ykres funkcji. Jeśli f : G R l jest odzoroaniem klasy C 1 z podzbioru otartego przestrzeni R k+l i dla penego punktu p G zbiór M = { G : f = fp} składa sie z takich punktó, że Df jest epimorfizmem, to M jest podrozmaitościa R k+l. Później poznamy jeszcze inne rozmaitości zanurzone R k+l. Udoodnimy też tierdzenia charakteryzujace rozmaitości nieco inny sposób. Rozmaitości to zbiory o stosunkoo prostej strukturze. Podamy teraz tierdzenie, które opisuje zbiór ektoró stycznych do rozmaitości penym jej punkcie. 73

10 Tierdzenie 3.13 o ektorach stycznych do podrozmaitości R k+l a. Jeśli U R k jest zbiorem otartym, odzoroanie ϕ: U R l jest klasy C 1, M = { ϕ : U}, p = q ϕ M, to: Tp M = { v Dϕv } : v R k. b. Jeśli f : G R l jest przekształceniem klasy C 1 ze zbioru G otartego R k+l, p G jest takim punktem, że dla każdego z z róności fz = fp ynika, że Dfz jest epimorfizmem, M = {z : fz = fp}, to: T p M = ker Dfp. Doód. a. Wykażemy, że jeżeli v R k jest ektorem niezeroym, to ektor v Dϕv jest styczny do M punkcie q ϕ. Definiujemy γt = ϕq+tv. Wtedy γ +0 = γ 0 T p M. Jest jasne, że γ 0 = v Dϕv. Wykażemy, że jeśli ektor v u jest styczny do M punkcie p, to u = Dϕv. Załóżmy, że qn ϕq n q n ϕ q oraz że dla penej liczby t > 0 zachodza róności lim n q n q n q 2 + ϕq n ϕ = tv 2 ϕq i lim n ϕ = tu. Możemy założyć, że ci q ag n q n q n q 2 + ϕq n ϕ 2 q n q jest zbieżny jeśli nie, to ybieramy zeń podciag zbieżny, co jest możlie, bo sfera jednostkoa jest q zarta. Niech v = lim n q. Z linioości i ci n q n q agłości Dϕ ynika, że zachodzi Dϕq róność lim n n q n = Dϕv. Potem korzystamy z różniczkoalności ϕ punkcie q, z linioości Dϕ i z definicji różniczki, by otrzymać róność lim n ϕ ϕq n q n q = =Dϕv = ϕ v. Stad ynikaja róności tv = lim n tu = lim n q n q q = v n q 2 + ϕq n ϕ 2 ϕq n ϕ q = Dϕv n q 2 + ϕq n ϕ 2 1+ ϕ v 2 oraz 1+ ϕ v 2. Wobec tego t 1 + ϕ v 2 u = Dϕv = t 1 + ϕ u 2 v, iec u = Dϕv. Udoodniliśmy piersza cześci tierdzenia. b. Po eentualnej zmianie numeracji spółrzednych R k+l można przyjać, że penym otoczeniu punktu p piersze k spółrzednych yznacza pozostałe l, czyli że istnieje taka funkcja ϕ zmiennych 1, 2,..., k, klasy C 1, o artościach z R l, że cześć spólna zbioru M z dostatecznie małym otoczeniem punktu p jest ykresem funkcji ϕ, rozpatryanej na odpoiednim otoczeniu punktu q, przy czym q ϕ = p. Niech z = y, przy czym R k, y R l. Ponieaż fp = f ϕ penym otoczeniu punktu q, iec ϕ + y ϕ Dϕ = 0. Z cz eści a ynika, że ektory styczne do M punkcie p = q ϕ maj a postać v Dϕv, zatem na mocy poprzedniej róności sa jadrze Dfp. Jeśli Dfp = 0 i = v u, to 0 = pv + pu, zatem y 1 u = p pv = Dϕv. Doód cz eści y b został zakończony. 74

11 Kilka zadań Zadanie 3.1 Niech f oznacza funkcje różniczkoalna określona na penym zbiorze otartym R k. Obliczyć a. g b. g c. g d. g, g y oraz g y, jeśli g, = f2, y 3, k = 2; oraz g y, jeśli g, = f 2 + y 2, k = 1; g oraz, jeśli g, = f cos y, sin, k = 2; y g oraz, jeśli g, y, z = f, y, k = 2. z y z Zadanie 3.2 Znaleźć dyfeomorfizm kadratu otartego na koło bez brzegu. Zadanie 3.3 Znaleźć dyfeomorfizm półpłaszczyzny otartej na koło otarte. Zadanie 3.4 Znaleźć dyfeomorfizm płaszczyzny bez domkni etej półprostej na koło otarte. Zadanie 3.5 Niech ϕ: 1, + R bedzie funkcja klasy C 1. Niech K = {, y, z : y = 0, z = ϕ}. Niech M bedzie zbiorem otrzymanym przez obrót krzyej K o 360 okół osi OZ. awykazać, że zbiór M jest duymiaroa rozmaitościa łożona R 3. bzałóżmy, że ϕ2 = 1, ϕ 2 = 5. Wykazać, że p := 1, 3, 1 M i napisać rónanie płaszczyzny stycznej do M punkcie p. Zadanie 3.6 Niech f a = ay + e y. Dla jakich a R przekształcenie f a jest dyfeomorfizmem prostej na siebie, dla jakich a R przekształcenie f a jest dyfeomorfizmem prostej na otarty podzbiór łaściy prostej, dla jakich a R przekształcenie f a nie jest dyfeomorfizmem? Znaleźć dyfeomorfizm ϕ: R 2 U, jeśli U = {, R 2 : 2 = 1 = y < 0}. Zadanie 3.7 Niech L oznacza prosta, która przechodzi przez punkty 1, 0, 0 i 2, 1, 1. Przez każdy punkt prostej L proadzimy prosta przecinajac a pod katem prostym oś OZ := {0, 0, z : z R}. Niech M bedzie suma szystkich tych prostych. Napisać rónanie zbioru M. Spradzić, czy zbiór M jest rozmaitościa zanurzona R 3. Podać rónanie płaszczyzny stycznej do zbioru M przechodzacej przez punkt 2, 1, 1. Zadanie 3.8 Znaleźć dyfeomorfizm płaszczyzny bez du domkni etych półprostych rónoległych na płaszczyzn e. Zadanie 3.9 Znaleźć dyfeomorfizm zbioru {, : 1 < 2 +y 2 < 4, 3 < y < 3} na płaszczyzn e. Zadanie 3.10 Wykazać, że nie istnieje dyfeomorfizm przekształajacy zbiór otarty zaierajacy kadrat domkniety na peien zbiór otarty taki sposób, że obrazem tego kadratu jest koło domkniete. 75

12 Zadanie 3.11 Znaleźć dyfeomorfizm przekształcajacy zbiór {, : 0 < y < } na netrze kadratu o ierzchołkach punktach: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1. Zadanie 3.12 Wyjaśnić, czy zbiór M = {, y, z : 2 +z 2 = 1 = y 2 +z 2 } jest rozmaitościa zanurzona R 3. Znaleźć zbiór ektoró stycznych do M punkcie 2 1 1, 2 1, 2 Zadanie 3.13 Niech L bedzie linioym izomorfizmem przestrzeni R k na siebie. Wykazać, że lim L =. Niech f = L 2 L i f0 = 0. Dla jakich izomorfizmó 2 L funkcja f jest różniczkoalna punkcie 0. { 3 2 y + t 2 ty 2 = 3 Zadanie 3.14 Uzasadnić, że układ rónań yznacza otoczeniu punktu t 0, 0, y 0 = 1, 1, 1 zmienne, y jednoznacznie jako funkcje zmiennej t, t 2 + y 2 2t 2 y = 0 klasy C 1 : = t, y = yt. Obliczyć 1, y 1. Zadanie 3.15 Niech F, y, z = e z y 2 z 2 z + 1. a Udoodnić, że istnieje otoczenie U punktu 0, 0 oraz funkcja z : U R klasy C 1, dla której róność F, y, z, = 0 spełniona jest dla szystkich, U. Obliczyć g 0, gdzie gt = zt, sin 2t. b Czy istnieje funkcja z : 1, 1 1, 1 R nieciagła punkcie 0, 0, dla której róność F, y, z, = 0 spełniona jest dla szystkich, 1, 1 1, 1? Zadanie 3.16 Niech f, = 3 36y + y 3, M = {, R 2 : f, = 0}, Q 1 = {, : > 0 < y}, Q 2 = {, : < 0 < y}, Q 3 = {, : < 0 > y} i Q 4 = {, : > 0 > y}. a Wykazać, że M Q 1 jest zbiorem ograniczonym, a M Q 4 nieograniczonym. b Znaleźć ma{y :, M Q 1 } oraz zbiór M Q 3. c Znaleźć przestrzeń T 18,18 M styczna do zbioru M punkcie 18, 18. d Wykazać, że istnieje taka liczba δ > 0 i funkcja α: δ, δ R, klasy C, że jeśli < δ i y < δ, to: f, = 0 = α y 2 lub y = α 2. Obliczyć α0. e Wyjaśnić, czy zbiór M Q 2 {, M Q 1 : y < } jest rozmaitościa R 2. f Znaleźć przestrzeń T 0,0 M styczna do zbioru M punkcie 0, 0. Zadanie 3.17 Uzasadnić, że penym otoczeniu punktu 0, y 0, z 0 = 2, 1, 1 rónanie y = 2 + z ln y yznacza y jako funkcje pozostałych zmiennych: y = y, z, klasy C 1. Obliczyć pochodne czastkoe tej funkcji punkcie 0, z 0 = 2, 1. Zadanie 3.18 Niech : R R 2 bedzie taka różnoartościoa funkcja klasy C, że zbiór R jest domknietym podzbiorem płaszczyzny R 2 i dla każdego t R przekształcenie linioe D t jest różnoartościoe. Doieść, że dla każdej pary liczb a, b R, a < b, istnieje taka liczba δ > 0, że dla doolnych liczb s, t [a, b] odcinki o długościach δ i środkach s i t, prostopadłe odpoiednio do ektoró s i t, sa rozłaczne. Doieść, że z założeń o funkcji ynika, że zbiór R jest jednoymiaroa rozmaitościa lub podać przykład śiadczacy o tym, że R może nie być rozmaitościa. 76

13 Zadanie 3.19 Niech f, y, z = e y + ye z + ze. Wykazać, że istnieje taka liczba δ 0, 1, że jeśli 1 < δ i y 1 < δ, to istnieje dokładnie jedna liczba z > 0, dla której spełniona jest róność f, y, z = 3e. Doieść, że przyporzadkoanie liczby z > 0 parze liczb, y jest funkcja klasy C. Znaleźć 2 z 1, 1. y Zadanie 3.20 Załóżmy, że M 1, M 2 R k sa rozmaitościami ymiaró m 1 > 0 i m 2 > 0 oraz że dla każdego punktu M 1 M 2 zachodzi róność R k = T M 1 + T M 2, gdzie T M 1 + T M 2 = {v 1 + v 2 : v 1 T M 1 i v 2 T M 2 }. Udoodnić, że M 1 M 2 jest rozmaitościa ymiaru m 1 + m 2 k. Podać przykład du rozmaitości M 1 R 3 ymiaru m 1 i M 2 R 3 ymiaru m 2, dla których zbiór M 1 M 2 jest rozmaitościa ymiaru m 1 + m 2 k, chociaż istnieja takie punkty M 1 M 2, że T M 1 + T M 2 R k. Zadanie 3.21 Odzoroanie F : R 2 R 2 jest dane zorami: F, = u, v, gdzie u = 2 3y 2, v = yy Wyznaczyć szystkie takie punkty 0, y 0 R 2, że F odzorouje różnoartościoo na pene otoczenie punktu 0, y 0 na otoczenie punktu u 0, v 0 = F 0, y 0. Jednym z takich punktó jest 1, 1; zatem penym otoczeniu punktu F 1, 1 = 2, 2 jest określone odzoroanie odrotne: = u, v, y = yu, v, przekształcajace otoczenie punktu 2, 2 na otoczenie punktu 1, 1. Uzasadnić, że jest ono klasy C 1 i obliczyć y 2, 2. u Zadanie 3.22 Odzoroanie F : R 2 R 2 jest dane zorami: F, = u, v, gdzie u = 2 +y y 2, v = 2y +y. Dla każdego punktu 0, y 0, którym różniczka DF jest osoblia, yjaśnić, czy ó punkt ma otoczenie, przekształcane przez F bijektynie na otoczenie punktu F 0, y 0. Zadanie 3.23 Podać przykład dyfeomorfizmu, odzoroujacego płaszczyzne R 2 zmiennych, na nastepuj acy podzbiór U = {u, v: u > v > 0, uv < 1} płaszczyzny R 2 zmiennych u, v; znalezione odzoroanie należy yrazić albo prost zorem, albo jako złożenie np. F = F 3 F 2 F 1 kilku dyfeomorfizmó, z których każdy jest yrażony zorem. Zadanie 3.24 Podać przykład dyfeomorfizmu, odzoroujacego płaszczyzne R 2 zmiennych, na nastepuj acy podzbiór U = {u, v: u > v 2, u + v < 6} płaszczyzny R 2 zmiennych u, v; znalezione odzoroanie należy yrazić albo prost zorem, albo jako złożenie np. F = F 3 F 2 F 1 kilku dyfeomorfizmó, z których każdy jest yrażony zorem. Zadanie 3.25 Zdefiniujmy zbiór U = {, : may, + > 0}. Znaleźć dyfeomorfizm f : R 2 na U. Wynik poinien być zapisany za pomoca zoru zaierajacego niezbyt iele funkcji elementarnych poiazanych jedna z druga znakami +,,, : lub. Zadanie 3.26 Podać przykład przekształcenia, bed acego dyfeomorfizmem zbioru U na zbiór V : 77

14 U = {, : > 0, y > 0, 1 < +y < 2}, V = {u, v: u > 0} {u, v: v > 0}. Znalezione odzoroanie należy yrazić albo prost zorem albo jako złożenie kilku dyfeomorfizmó np. F = F 3 F 2 F 1, z których każdy jest yrażony zorem. Zadanie 3.27 Podać przykład dyfeomorfizmu, odzoroujacego płaszczyzne R 2 zmiennych, na podzbiór U = {u, v: v > 0} {u, v: u < 0 < v + 1} płaszczyzny R 2 zmiennych u, v; znalezione odzoroanie należy yrazić albo prost zorem, albo jako złożenie np. F = F 3 F 2 F 1 kilku dyfeomorfizmó, z których każdy jest yrażony zorem. Zadanie 3.28 Niech W = { 1, 2,..., k R k : i > 0 dla i = 1, 2,..., k}. Odzoroanie f : W W dane jest zorem k 2 f 1, 2,..., k =, 1 3, 2 4,..., k 2 k, k k 1 k Wykazać, że f przekształca dyfeomorficznie zbiór W na siebie. Zadanie 3.29 W przestrzeni R 4 rozażamy zbiory otarte U = {u, v, s, t: u 2 + v 2 > 0, t > 0}, X = {, y, z, : 2 + y 2 > 0, > 0} zmienne dziedzinie i obrazie oznaczono różnymi literami dla ygody; rozażamy die kopie przestrzeni R 4. Określamy odzoroanie F : U X zorami F u, v, s, t =, y, z,, gdzie = tu, y = tv, z = s, = u 2 + v 2. Wykazać, że F jest dyfeomorfizmem zbioru U na cał zbiór X najprościej: yznaczyć F 1. Niech T = {, y, z, X : 2 + y 2 + z = y 2, = 1}. Wyznaczyć jego przeciobraz: F 1 T = {u, v, s, t:......} za pomoca możliie prostych rónań. Zadanie 3.30 Niech F : R k R k bedzie odzoroaniem klasy C 1, którego różniczka DF jest każdym punkcie R k operatorem linioym o normie DF 1/2. Doieść, że odzoroanie G = + F jest dyfeomorfizmem R k na R k. Zadanie 3.31 Punkt P porusza sie ruchem jednostajnym zdłuż odcinka od punktu O = 0, 0, 0 do punktu A = 1, 0, 0. W tym samym czasie punkt Q jedzie, też jednostajnie, zdłuż odcinka BC od punktu B = 0, 1, 0 do punktu C = 0, 1, 1. Niech M bedzie suma szystkich odcinkó P Q bez końcó, łacz acych punkty P i Q jednoczesnych położeniach. Podać przykład parametryzacji poierzchni M, uzasadniajacy, że to rozmaitość duymiaroa R 3 dokładnie spradzić ymagane arunki. Zadanie 3.32 Niech M = {, y, z R 3 : 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 2 yz = 0,, y, z > 0}. Uzasadnić, że to rozmaitość. Napisać rónanie płaszczyzny stycznej do M punkcie 1, , Podać przykłado a parametryzacje. Zadanie 3.33 Definiujemy M = {, y, z : 2 + y 2 + 3z 2 = y + 6z 1/3, z 0} oraz N = M {0, 0, 0}. Czy zbiór M jest duymiaroa rozmaitościa? Czy zbiór N jest duymiaroa rozmaitościa? 78 3

15 Zadanie 3.34 Niech f λ, = 3 + λ 2 y 2 dla doolnych λ,, y R. a. Dla jakich c R zbiór {, : f 0, = c} jest rozmaitościa, dla jakich c jest spójny? b. Dla jakich c R zbiór {, : f 1, = c} jest rozmaitościa, dla jakich c jest spójny? c. Znaleźć afiniczna przestrzeń styczna do zbioru {, : f 1, = 0} punkcie 3, 6 oraz przestrzeń styczna do zbioru {, : f 1, = 0} punkcie 0, 0. Zadanie 3.35 Udoodnić, że zbiór S = {, y, z R 3 : z z+1y+y 2 e z = 16} jest rozmaitościa. Znaleźć T 3,2,0 S. Zadanie 3.36 Czy krzya bed aca obrazem odzoroania R t, = t 3 3t 2 + 3t + 5, t 4 3t 3 + 3t 2 t R 2 jest podrozmaitościa R 2 klasy C 1? Zadanie 3.37 Niech M = {, : y 2 + y y 2 = 9}. Wyjaśnić, czy M jest rozmaitościa łożona R 2. Jeśli nie, to znaleźć najmniejszy taki zbiór A, że zbiór M \ A jest rozmaitościa łożona płaszczyzne. Znaleźć T p M, gdy p = 3, 0 i gdy p = 0, 3. Zadanie 3.38 Pokazać, że otoczeniu punktu 1, 1 rónanie 3 +y 2 2y = 0 może być jednoznacznie roziazane ze zgledu na i że otrzymana funkcja = ϕ jest klasy C 1 otoczeniu y = 1. Obliczyć ϕ 1. Czy rónanie może być jednoznacznie roziazane ze zgledu na zmienna y otoczeniu punktu 1, 1? Zadanie 3.39 Niech M = {, R 2 : 3 12y + 8y 3 = 0}. a Wykazać, że M nie jest rozmaitościa zanurzona R 2. b Znaleźć punkty, po usunieciu których ze zbioru M, stanie sie on rozmaitościa. c Znaleźć przestrzeń T 3, 3 M styczn a 2 do zbioru M punkcie 3, 3. 2 d Znaleźć przestrzeń T 0,0 M styczna do zbioru M punkcie 0, 0. Zadanie 3.40 Doieść, że netrze każdego ielokata ypukłego na płaszczyźnie jest zbiorem dyfeomorficznym z cała płaszczyzna. Zadanie 3.41 Czy zbiory {, y, z: 6 + y 5 + z 4 = 0}, {, y, z: 6 + y 4 + z 3 = 0} sa duymiaroymi rozmaitościami R 3? Zadanie 3.42 Niech f, = e cos y, e sin. Wykazać, że dla każdego, kolumny macierzy Df, sa zajemnie prostopadłymi ektorami o rónej długości. Wykazać, że dla każdego, R 2 macierz Df, jest nieosoblia jej yznacznik jest 0, choć funkcja f nie jest różnoartościoa. Zadanie 3.43 Znaleźć dyfeomorfizm przekształcajacy netrze trójkata o ierzchołkach punktach: 1, 0, 1, 0, 0, 1 na netrze kadratu o ierzchołkach punktach: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1. 79