Mikroekonometria 4. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński

Transkrypt

1 Mikroekonometria 4 Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński

2 Regresja kwantylowa W standardowej Metodzie Najmniejszych Kwadratów modelujemy warunkową średnią zmiennej objaśnianej: E( yi Xi) = μ ( Xi) Pokazaliśmy, że można modelować równocześnie również jej drugi 2 moment, to jest warunkową wariancję: var y Z = σ Z ( ) ( ) i i i W przypadku rozkładu normalnego, te dwa momenty w sposób jednoznaczny definiują rozkład zmiennej objaśnianej W praktyce, zmienne ciągłe mogą mieć inny rozkład Czasem chcielibyśmy modelować więcej charakterystyk rozkładu, aby lepiej zrozumieć co się dzieje w danych Rozwiązanie regresja kwantylowa

3 Regresja kwantylowa Kwantylem rzędu τ nazywamy taką wartość λτ, dla której zachodzi: F ( λ τ ) = τ 1 Kwantyl można policzyć korzystając ze wzoru: λτ = F ( τ) W regresji kwantylowej chcemy zobaczyć, jak różne kwantyle zależą od wybranych zmiennych objaśniających 1 Definiuje się tzw. kwantyle warunkowe: Q ( y X ) = F ( τ X ) i i y i Zazwyczaj, analogicznie jak w regresji liniowej, zakłada się zależność liniową: Q τ ( y i Xi) = Xβ i τ Uwaga: w tej notacji parametry mogą być różne dla każdego kwantyla τ i

4 Regresja kwantylowa estymacja Najprostszym wariantem regresji kwantylowej tzw. regresja na medianie Staramy się znaleźć postać funkcyjną warunkowej mediany Parametry znajdujemy minimalizując następującą funkcję celu: Q ( β ) N 0,5 = 0,5 y i 1 i Xβ = i 0,5 W literaturze model ten jest również nazywany estymatorem LAD (Least Absolute Deviations) Bardziej ogólnie, aby oszacować parametry dowolnego kwantyla minimalizujemy funkcję: Do optymalizacji używa się metod programowania liniowego (metoda simpleks) ( ) τ ( 1 τ) Q β = y Xβ + y Xβ τ i i τ i i τ iy : Xβ iy : Xβ i i τ i i τ

5 Regresja kwantylowa w NLOGIT 1. Wczytaj zbiór danych me.medexp.lpj 2. Policz regresję liniową, w której wydatki gospodarstw domowych na leczenie objaśniane są przez wszystkie inne dostępne zmienne 3. Przeprowadź regresję kwantylową. Czy wyniki się różnią? QREG polecenie wywołujące regresję kwantylową ; lhs = var1 analogicznie jak w MNK definiujemy zmienną objaśnianą ; rhs = var2, var3 - definiujemy zmienne objaśniające $ Domyślnie NLOGIT liczy regresję na medianie 4. Policz regresje dla kwantyli innych rzędów np. 0,1; 0, 25; 0,75; 0,9 ; Quantile = tau1, tau2 - dodanie opcji do polecenia QREG policzy regresje kwantylowe dla wybranych kwantyli rzędu tau1, tau2

6 Zalety regresji kwantylowej Brak założeń na temat rozkładu zmiennej zależnej Można modelować cały rozkład zmiennej, a nie tylko wybrane momenty Łatwość wykrycia heteroskedastyczności Bardziej odporna na występowanie outlierów niż MNK Kwantyl zmiennej przekształconej przy pomocy ściśle rosnącej funkcji g( x) jest równy przekształconemu kwantylowi oryginalnej zmiennej: Qτ ( g( yi) Xi) = g( Qτ ( y i Xi) )

7 Wady regresji kwantylowej Wzory analityczne na macierz kowariancji estymatora regresji kwantylowej są skomplikowane, a przez to rzadko stosowane W praktyce stosuje się metody symulacyjne np. bootstrap, przez co model liczy się dłużej niż np. regresja liniowa Współcześnie nie jest to duży problem

8 Metoda Bootstrap Bootstrap to metoda symulacyjna, która pozwala na przeprowadzenie wnioskowania statystycznego kiedy nie znamy teoretycznych właściwości danej statystyki/estymatora Uzasadnienie: Mając D prób z pewnej populacji, dla każdej z nich można policzyć określoną statystykę i w efekcie otrzymać jej D oszacowań Średnią z tych D oszacowań moglibyśmy traktować jako jej najlepsze oszacowanie, a wariancję jako miarę niepewności Wykorzystując te charakterystyki moglibyśmy przeprowadzić wnioskowanie statystyczne Wykorzystanie w praktyce: Zazwyczaj mamy tylko jedną próbę, a nie D Z próby wielkości N losujemy ze zwracaniem B 'sztucznych' prób, również o wielkości N Dla każdej z wylosowych prób 'sztucznych' liczymy szukaną statystykę/estymator Wnioskowanie statystyczne przeprowadzamy analizując rozkład B oszacowań tej statystyki/estymatora

9 Metoda Bootstrap 1. Sprawdź czy zmiana liczby wylosowanych prób zmienia oszacowania w regresji kwantylowej. Wypróbuj 20, 50, 100 i 200 prób ; nbt = B - dodanie opcji do polecenia QREG policzy regresję kwantylową przy użyciu B 'sztucznych' prób 2. Sprawdź czy istnieje istotna korelacja między wiekiem a logarytmem wydatków medycznych używając bootstrapu. Wypróbuj 100 i 300 `sztucznych prób PROC $ CALC ; c = cor(lhhex12m,age) $ ENDPROC $ EXECUTE ; N = 100 ; bootstrap = c ; histogram $ PROC $ - początek kodu, który ma zostać powtórzony ENDPROC $ - koniec kodu EXECUTE ; N = 100 $ - wykonuje 100 razy kod znajdujący się między PROC i ENDPROC ; bootstrap bootstrapuje macierz AVC zadanej statystyki

10 Regresja kwantylowa a heteroskedastyczność Przeprowadzimy symulację, aby zobaczyć jak heteroskedastyczność wpływa na oszacowania regresji kwantylowej 1. Wygeneruj dane, bez heteroskedastyczności, z jedną zmienną objaśniającą X 2. Policz regresję liniową ze stałą i X jako zmiennymi objaśniającymi. Przeprowadź test Breusha-Pagana. 3. Policz analogiczną regresję kwantylową dla kwantyli rzędu: 0,1; 0,25; 0,5 ; 0,75 ; 0,9. Czy istnieje jakaś zależność? RESET $ SAMP; $ CREA; X = rnn(0,1) $ CREA; Y = X + rnn(0,1) $

11 Regresja kwantylowa a heteroskedastyczność 1. Wygeneruj drugą zmienną objaśnianą Y2, tym razem z heteroskedastycznością CREA; SIG = exp( *X) $ CREA; Y2 = X + SIG*rnn(0,1) $ 2. Policz regresję liniową ze stałą i X jako zmiennymi objaśniającymi. Przeprowadź test Breusha-Pagana 3. Policz analogiczną regresję kwantylową dla kwantyli rzędu: 0,1; 0, 25; 0,5; 0,75; 0,9. Czy coś się zmieniło w porównaniu z zadaniem z poprzedniego slajdu?

12 Praca domowa ME.4 1. W ekonomii finansowej jednym z centralnych zagadnień jest w jaki sposób rynek wycenia akcje firm. Teoretycznie ich cena powinna zależeć od przewidywań inwestorów odnośnie przyszłych zysków firmy. W praktyce nie obserwujemy ocen inwestorów, a jedynie ceny akcji oraz różne charakterystyki firmy. Wykorzystując zbiór me.equity.lpj oraz regresję kwantylową odpowiedz na następujące pytania: 1. Jakie charakterystyki firm wpływają na cenę ich nowych akcji? 2. W literaturze sugeruje się, że nowe akcje firm, które po raz pierwszy wchodzą na rynek finansowy (IPO Initial Public Offering) są niedocenione w porównaniu z firmami, które już mają w obrocie jakieś swoje akcje (SEO seasoned equity offering). Czy faktycznie tak jest? 3. Czy wnioski różnią się dla różnych kwantyli rozkładu? Porównaj różne formy funkcyjne Praca w grupach dwuosobowych (innych niż do tej pory) :56:43