Wykªady z Funkcji Analitycznych

Transkrypt

1 Uniwersytet Jagiello«ski Wydziaª Matematyki i Informatyki Instytut Matematyki Wykªady z Funkcji Analitycznych (Wykªad dwusemestralny) Marek Jarnicki (Wersja z 3 stycznia 2)

2

3

4 Spis tre±ci Cz ± I. Semestr VI Rozdziaª. Wst p Liczby zespolone Sfera Riemanna Homograe Funkcja exp Odwzorowania przy pomocy funkcji elementarnych Rozdziaª 2. Funkcje holomorczne I Pochodna zespolona Funkcje holomorczne Podstawowe wªasno±ci funkcji holomorcznych Rodziny normalne, twierdzenia Montela i Vitalego Zasada symetrii RiemannaSchwarza Twierdzenie Cauchy'egoDixona Jednowymiarowe rozmaito±ci zespolone Funkcje holomorczne w Szeregi Laurenta Osobliwo±ci izolowane Funkcje meromorczne Twierdzenie o residuach Zastosowania do obliczania caªek Funkcje holomorczne dane caªk Funkcja Γ Eulera Transformacja Laplace'a Cz ± II. Semestr VII Rozdziaª 3. Funkcje holomorczne II Twierdzenie o residuach pochodnej logarytmicznej, twierdzenia Rouchégo i Hurwitza Twierdzenie Schottky'ego Twierdzenia Picarda Krotno± Odwzorowania biholomorczne Odwzorowania biholomorczne pier±cieni Twierdzenie Riemanna Twierdzenie Rungego Twierdzenie Mittag-Leera Twierdzenie Weierstrassa Funkcja ζ Riemanna Lemat Fatou iii

5 iv Marek Jarnicki, Wykªady z Funkcji Analitycznych, wersja z 3 stycznia 2 Spis tre±ci Rozdziaª 4. Funkcje harmoniczne i subharmoniczne Funkcje harmoniczne Funkcje harmoniczne w pier±cieniu Twierdzenia Harnacka Funkcje subharmoniczne Cz ± III. Uzupeªnienia (poza zasadniczym wykªadem) Rozdziaª 5. Obszary Riemanna i przedªu»anie funkcji holomorcznych Regiony Riemanna nad C Snop Ikieªków funkcji holomorcznych Morzmy Rozszerzenia holomorczne Naturalne przestrzenie Frécheta Rozdziaª 6. Geometria hiperboliczna koªa jednostkowego Geometria hiperboliczna koªa jednostkowego Rozdziaª Oznaczenia Rozdziaª Literatura cytowana Rozdziaª Indeks nazwisk Rozdziaª Indeks

6 Cz ± I Semestr VI

7

8 ROZDZIAŠ Wst p Poni»szy rozdziaª, nie maj cy charakteru systematycznego wykªadu, zawiera przegl d elementarnych poj i wªasno±ci, których znajomo± jest niezb dna do zrozumienia dalszych cz ±ci wykªadu... Liczby zespolone Liczby zespolone C to ciaªo (R 2, +, ) z dziaªaniami okre±lonymi nast puj co: (x, y) + (u, v) := (x + u, y + v), (x, y) (u, v) := (xu yv, xv + yu). Liczb rzeczywist x R identykujemy z liczb zespolon (x, ) C; odwzorowanie R x (x, ) C jest monomorzmem ciaª. Od tej chwili przyjmujemy,»e x = (x, ) dla x R. W szczególno±ci, uwa»amy,»e R C. Na przestrze«c mo»emy tak»e patrze jako na dwuwymiarow rzeczywist przestrze«wektorow (C, +; R, ), gdzie α (x, y) := (αx, αy); odnotujmy,»e to mno»enie zewn trzne jest zgodne z wy»ej zdeniowanym mno»eniem wewn trznym, tzn. α (x, y) = (α, ) (x, y). Baz tej przestrzeni s wektory (, ) = i (, ) =: i. Mamy (x, y) = x (, ) + y (, ) = x + iy; liczb x nazywamy cz ±ci rzeczywist liczby zespolonej z = (x, y) = x + iy i piszemy x = Re z, za± liczb y cz ±ci urojon z i piszemy y = Im z. Odnotujmy,»e i 2 =. Liczb z := x iy nazywamy liczb sprz»on do z. Odwzorowanie C z J z C jest izomorzmem ciaª. Ponadto, J J = id C oraz J R = id R. Jest to jedyne nietrywialne odwzorowanie o tych wªasno±ciach. Norma euklidesowa liczby zespolonej z = x + iy, zwana moduªem tej liczby, z := x 2 + y 2 = z z jest norm zespolon, tzn. zw = z w dla dowolnych z, w C. Przypomnijmy nierówno± trójk ta: z w z + w z + w. Z topologicznego punktu widzenia przestrze«c traktujemy jako przestrze«metryczn z odlegªo±ci euklidesow ρ(z, w) := z w. Dla a C b dziemy stosowa nast puj ce oznaczenia: K(a, r) := {z C : z a < r}, < r +, K(a, + ) := C, K (a, r) := K(a, r) \ {a}, K(r) := K(, r), D := K(), C(a, r) := {z C : z a = r} = K(a, r), T := C(), K(a, r) := {z C : z a r}, r < +, K(a, ) := {a}, K(r) := K(, r), A(a, r, r + ) := {z C : r < z a < r + }, r < r + +, A(r, r + ) := A(, r, r + ). Odnotujmy,»e A(a, r, r + ) = K(a, r + ) dla r < oraz A(a,, r + ) = K (a, r + ). Dla z = x + iy, zbiór arg z := {ϕ R : x = z cos ϕ, y = z sin ϕ} nazywamy argumentem liczby z. Zapis z = z cos ϕ + i z sin ϕ = z (cos ϕ + i sin ϕ), ϕ arg z, nazywamy postaci trygonometryczn liczby zespolonej. Zauwa»my,»e: arg = R; 3

9 4 Marek Jarnicki, Wykªady z Funkcji Analitycznych, wersja z 3 stycznia 2. Wst p dla z mamy: ϕ, ϕ 2 arg z ϕ ϕ 2 2πZ ( ) ; arg(zw) = arg z + arg w; dla z = r(cos ϕ + i sin ϕ) mamy z n = r n (cos nϕ + i sin nϕ) jest to tzw. wzór de Moivre'a ( 2 ) ; dla z mamy: arg(/z) = arg z; arg z = arg z. Dla z deniujemy argument gªówny Arg z liczby z jako ten (jedyny) z jej argumentów, który le»y w przedziale ( π, π]. Zdeniujmy ponadto Arg :=. Odnotujmy,»e: Arg z = z = x R + := [, + ), Arg z = π z = x R < := (, ), Arg z = Arg z, z C \ R. Zbiór n z := {w C : w n = z} nazywamy pierwiastkiem zespolonym nstopnia z liczby z. Mamy: n z = { z /n( cos ϕ + 2kπ n n = {}; + i sin ϕ + 2kπ ) } : k =,..., n, z, ϕ arg z, n gdzie a /n oznacza pierwiastek arytmetyczny z liczby a. Geometrycznie: zbiór n z skªada si z wierzchoªków nk ta foremnego wpisanego w okr g C( z /n ), którego jeden wierzchoªek ma argument (Arg z)/n. Przypu± my,»e ka»demu punktowi z pewnego zbioru A C przyporz dkowali±my niepusty zbiór P (z) C, np. A z arg z lub A z n z. Powiemy,»e funkcja ci gªa p : A C jest gaª zi jednoznaczn funkcji wieloznacznej P, je»eli p(z) P (z) dla dowolnego z A. W tym sensie mo»emy mówi o gaª zi jednoznacznej argumentu, czy te» gaª zi jednoznacznej ntego pierwiastka. Zauwa»my,»e: Z istnienia gaª zi jednoznacznej argumentu wynika istnienie gaª zi jednoznacznej ntego pierwiastka (p(z) := z /n (cos a(z) a(z) n + i sin n )). wiczenie: Czy zachodzi twierdzenie odwrotne? Je»eli a : A R jest gaª zi jednoznaczn argumentu, to a + 2kπ jest gaª zi jednoznaczn argumentu dla dowolnego k Z. Je»eli A jest spójny, za± a, a 2 s dwoma gaª ziami jednoznacznymi argumentu, to a a 2 2πk dla pewnego k Z. Je»eli p : A C jest gaª zi jednoznaczn ntego pierwiastka, to εp jest gaª zi jednoznaczn ntego pierwiastka dla dowolnego ε n. W zbiorze C \ R istnieje gaª ¹ jednoznaczna argumentu i ka»da gaª ¹ argumentu w C \ R ma posta a(z) = Arg z + 2kπ dla pewnego k Z. Ogólniej, dla dowolnej póªprostej L o pocz tku w zerze, w obszarze C \ L istnieje jednoznaczna gaª ¹ argumentu. W szczególno±ci, dla dowolnego z C := C \ {}, w kole K(z, z ) istnieje jednoznaczna gaª ¹ argumentu. Je»eli C(r) A dla pewnego r >, to w zbiorze A nie istnieje gaª ¹ jednoznaczna pierwiastka (a wi c i argumentu)..2. Sfera Riemanna Sfera Riemanna ( ) 3 Ĉ to jednopunktowe uzwarcenie C, Ĉ := C { }, gdzie: symbol / C, zbiór U Ĉ jest otoczeniem, je»eli { } A(R, + ) U dla pewnego R >. ` Dla c C, A, B C, stosujemy nast puj ce oznaczenia: A B := {ab : a A, b B}, ca := {ca : a A} = {c} A, A + B := {a + b : a A, b B}, c + A := {c + a : a A} = {c} + A = A + c, A := ( )A. `2 Abraham de Moivre (667754) matematyk francuski. `3 Bernhard Riemann (826866) matematyk niemiecki.

10 Marek Jarnicki, Wykªady z Funkcji Analitycznych, wersja z 3 stycznia 2.3. Homograe 5 Topologia Ĉ jest metryzowalna, np. poprzez metryk sferyczn, je»eli a = b =, je»eli a C, b = + a 2 d(a, b) :=,, a, b je»eli a =, b C Ĉ. + b 2 a b, je»eli a, b C + a 2 + b 2 Wida,»e dla ci gu (z k ) k= C mamy: z ( C,d) b k wtedy i tylko wtedy, gdy z k +. Deniujemy: + a = a + := dla dowolnego a C, a = a := dla dowolnego a Ĉ \ {}, / :=, / :=. wiczenie.2.. (a) Sfera Riemanna Ĉ jest homeomorczna z dwuwymiarow sfer euklidesow S := B 3 ((,, /2), /2) R 3 poprzez rzut stereograczny R : S Ĉ, R(N) :=, gdzie N := (,, ), ( u R(u, v, w) := w, v ), (u, v, w) S \ {N}; w R C ω (S \ {N}, R 2 ). (b) R (z) = ( Re z + z 2, Im z + z 2, z 2 + z 2 ), z C; R C ω (R 2, R 3 ). (c) d(a, b) = R (a) R (b), a, b Ĉ, gdzie oznacza norm euklidesow w R3. (d) Rzut stereograczny jest odwzorowaniem konforemnym w S \ {N}, tzn. dla dowolnych dwóch krzywych γ, γ 2 : [, ] S klasy C takich,»e γ () = γ 2 () S \ {N}, γ (), γ 2(), k t skierowany pomi dzy wektorami (R γ ) (), (R γ 2 ) () jest równy k towi skierowanemu pomi dzy wektorami γ (), γ 2()..3. Homograe Homogra nazywamy dowolne odwzorowanie h : Ĉ Ĉ postaci h(z) = az + b [ a b ] cz + d, det, (*) c d przy czym: dla c = kªadziemy h( ) :=, dla c kªadziemy h( d/c) := i h( ) := a/c. Obserwacja.3. (Wªasno±ci homograi szczegóªy pozostawiamy jako wiczenie). () Mamy nast puj ce homograe elementarne: Nazwa Opis Parametry Liczba parametrów rzeczywistych translacje z z + b b C 2 obroty z az a T homotetie z tz t > odwzorowania aniczne z az + b a C, b C 4 inwersja z /z

11 6 Marek Jarnicki, Wykªady z Funkcji Analitycznych, wersja z 3 stycznia 2. Wst p Ka»de odwzorowanie aniczne jest zªo»eniem obrotu, homotetii i translacji. (2) Zªo»enie homograi jest homogra. Ka»da homograa jest odwzorowaniem bijektywnym. Odwzorowanie odwrotne do homograi jest homogra. Ka»da homograa jest homeomorzmem Ĉ na Ĉ. Zbiór wszystkich homograi H jest grup ze skªadaniem. Translacje, obroty i odwzorowania aniczne tworz podgrupy. (3) Ka»da homograa jest zªo»eniem homograi elementarnych. Grupa H zale»y od 6 niezale»nych parametrów rzeczywistych. (4) Ka»da homograa h jest odwzorowaniem konforemnym na C h (C). (5) Równanie z p = λ, (**) z q gdzie p, q C, p q, λ >, przedstawia: dla λ = prost, dla λ okr g ( p λ 2 q C λ 2, λ p q ) λ 2, wzgl dem których punkty p i q s symetryczne ( 4 ). Odwrotnie, dowolna prosta lub okr g mog by opisane równaniem (**). W przypadku okr gu C(z, r), punkt p C \ ({z } C(z, r)) wybieramy w sposób dowolny i kªadziemy q := z + r2, λ := p z. p z r (6) Dowoln prost uzupeªnion nazywamy okr giem niewªa±ciwym. Okr g wªa±ciwy lub nie, dany równaniem (**) jest przeksztaªcany przez homogra (*) na okr g wªa±ciwy lub nie dany równaniem w h(p) = λ qc + d. w h(q) pc + d W szczególno±ci punkty symetryczne przechodz zawsze w punkty symetryczne. Zauwa»my,»e: je»eli h jest odwzorowaniem anicznym, to prosta przechodzi na prost i okr g na okr g, h jest inwersj, to otrzymujemy równanie w /p = λ q, w /q p co oznacza,»e obrazem prostej jest albo prosta (gdy p = q ), albo okr g (gdy p q ), za± obrazem okr gu jest albo okr g (gdy λ q p ), albo prosta (gdy λ q = p ). (7) Niech H + := {x + iy C : y > }. Dla dowolnego a H + homograa h(z) := z a z a przeksztaªca H + na koªo jednostkowe D. Istotnie, h(a) = oraz dla x R mamy h(x) = x a =, x a czyli h(r) T. Poniewa» homograe s homeomorzmami przeksztaªcaj cymi proste na proste lub okr gi, musimy mie h(h + ) = D. `4 W przypadku okr gu C(z, r) oznacza to,»e punkty te le» na jednej póªprostej wychodz cej z z oraz p z q z = r 2. Dodatkowo, umawiamy si»e punkty z i s równie» symetryczne wzgl dem C(z, r).

12 Marek Jarnicki, Wykªady z Funkcji Analitycznych, wersja z 3 stycznia 2.4. Funkcja exp 7 (8) Dla dowolnych a D, ζ T, homograa h(z) := ζ z a az przeksztaªca D na D. Istotnie, h(a) = oraz dla dowolnego z = /z T mamy h(z) = z a = z a =, a/z z a czyli h(t) T. Dalej rozumujemy, jak poprzednio. (9) Zbiór A wszystkich homograi postaci takiej, jak w (8) jest podgrup grupy Aut H (D) wszystkich homograi przeksztaªcaj cych D na D. () Aut H (D) = A. W szczególno±ci, grupa Aut H (D) zale»y od 3 parametrów rzeczywistych. Ponadto, grupa ta dziaªa tranzytywnie na D, tzn. dla dowolnych a, b D istnieje h Aut H (D) takie,»e h(a) = b. Istotnie, niech f Aut H (D) i niech g A b dzie takie,»e g(f()) =. Wtedy h := g f Aut H (D) oraz. Poniewa» h() =, musi by b =. Punkty i s symetryczne wzgl dem T. Wynika st d,»e h( ) =, a wi c c =. Poniewa» h(t) = T, musi by a/d T, czyli h jest obrotem. () Niech D j b dzie dowolnym koªem lub poªpªaszczyzn i niech a j D j, b j bc D j, j =, 2. Wtedy istnieje homograa h taka,»e h(d ) = D 2 oraz h(a ) = a 2, h(b ) = b 2. (2) Homograa postaci (*), h id, mo»e mie jeden lub dwa punkty staªe wyznaczane z równania az+b cz+d = z. h() =. Wystarczy pokaza,»e h musi by obrotem. Niech h(z) = az+b cz+d Deniujemy funkcj wykªadnicz exp : C C, Obserwacja.4. (Wªasno±ci exp)..4. Funkcja exp exp(z) = e z := n= z n n!, z C. () Funkcja exp jest poprawnie okre±lona. Jest to funkcja C C klasy C ω. Denicja jest zgodna dla z = x R. (2) e a+b = e a e b, a, b C. Istotnie, e a+b (a + b) n = = n! n= n n= k= ( ) n a k k k! b n k ( (*) = (n k)! n= a n )( n! n= gdzie ( ) to iloczyn Cauchy'ego ( ) 5 szeregów. (3) e a, a C. (4) e z = e x (cos y + i sin y), z = x + iy C. (5) Deniujemy cos z := eiz + e iz, sin z := eiz e iz, z C. 2 2i b n ) = e a e b, n! S to tzw. wzory Eulera ( 6 ). Denicje s zgodne dla z = x R. Odnotujmy,»e np. cos i = e+/e 2 > 3 2. (6) e z = e w z w = 2πik dla pewnego k Z. `5 Augustin Cauchy (789857) matematyk i zyk francuski. `6 Leonhard Euler (77783) matematyk i zyk szwajcarski.

13 8 Marek Jarnicki, Wykªady z Funkcji Analitycznych, wersja z 3 stycznia 2. Wst p (7) Funkcje cos i sin maj okres 2π. Ponadto, cos z = z = π/2 + kπ, k N, sin z = z = kπ, k N. Deniujemy tg z := sin z cos z, z C \ {π/2 + kπ : k Z}, ctg z := cos z sin z, z C \ {kπ : k Z}. Zachodz wszystkie standardowe wzory znane dla funkcji trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej, np. cos 2 z + sin 2 z =, z C. (8) exp(c) = C. (9) Deniujemy funkcje hiperboliczne, sinus i kosinus hiperboliczny Dla z C deniujemy logarytm zespolony oraz logarytm gªówny Log : C C, cosh z := ez + e z, sinh z := ez e z, z C. 2 2 log z := {w C : e w = z} Log z := ln z + i Arg z, z C. Odnotujmy,»e: log =, log z = {ln z } + i arg z, z, dla dowolnego zbioru spójnego A C w zbiorze A istnieje gaª ¹ jednoznaczna logarytmu l wtedy i tylko wtedy, gdy w A istnieje gaª ¹ jednoznaczna argumentu a. Ponadto, l(z) = ln z + ia(z) + 2kπi, z A, dla pewnego k Z, w C\R istnieje gaª ¹ jednoznaczna logarytmu i ka»da taka gaª ¹ ma posta l(z) = ln z +i Arg z +2kπi, z A, dla pewnego k Z. Dla dowolnego a C deniujemy pot g zespolon a b := {e bw : w log a}, b C. Ponadto, kªadziemy b := {} dla b C. Odnotujmy,»e: a n = {a n } dla dowolnego n Z, gdzie po prawej stronie a n rozumiemy w sensie klasycznym, a /n = n a, n N, dla dowolnego w log a, funkcja C z e zw jest gaª zi jednoznaczn pot gi C z a z ; czy ka»da gaª ¹ musi by tej postaci ( wiczenie)?, je»eli w zbiorze A C istnieje gaª ¹ jednoznaczna logarytmu l, to dla dowolnego b C, w A istnieje gaª ¹ jednoznaczna pot gi A z z b, np. A z e bl(z) ; czy ka»da gaª ¹ musi by tej postaci ( wiczenie)? Przykªad.4.2. i i = {e (2k+/2)π : k Z} R >. wiczenie.4.3. Niech D C b dzie obszarem i niech f : D C b dzie funkcj ci gª, dla której w obszarze D istnieje jednoznaczna gaª ¹ log f. Oznaczmy j L. Mamy e L f. Niech a D i niech f(k(a, r)) K(f(a), f(a) ). Niech l b dzie dowoln gaª zi logarytmu w K(f(a), f(a) ). Wtedy L = l f + 2kπi w K(a, r) dla pewnego k Z..5. Odwzorowania przy pomocy funkcji elementarnych Przykªad.5. (nty pierwiastek). Wiemy,»e w zbiorze C\R istnieje gaª ¹ jednoznaczna n z, np. f(z) := e n Log z. Funkcja ta odwzorowuje homeomorcznie górn póªpªaszczyzn H + na k t {z C : < Arg z < π/n} (odwzorowaniem odwrotnym jest oczywi±cie z z n ).

14 Marek Jarnicki, Wykªady z Funkcji Analitycznych, wersja z 3 stycznia 2.5. Odwzorowania przy pomocy funkcji elementarnych Przykªad.5.2 (Funkcja ukowskiego ( 7 ) ). Funkcj ukowskiego nazywamy funkcj Niech f(z) = f(re it ) = u + iv, czyli f(z) := 2 (z + /z), z C. u = 2 (r + /r) cos t, v = 2 (r /r) sin t. Wtedy f(z) = f(/z), z C. ponadto, f jest injektywna w D oraz w C \ D i odwzorowuje homeomor- cznie ka»dy z tych obszarów na C \ [, ]; odwzorowania odwrotne maj posta C \ [, ] w w ± w 2 = w ± e 2 Log(w2 ). Istotnie, je»eli f(z ) = f(z 2 ) dla z, z 2 D, to (z z 2 )( /(z z 2 )) =, a st d z = z 2. Dla r >, r, obrazem okr gu C(r) jest elipsa o ogniskach ± i póªosiach 2 (r ± /r). Je»eli r, to ta elipsa oddala si do. Je»eli r, to zmierza do odcinka [, ], który jest dwukrotnie pokryty przez obraz T. Przykªad.5.3 (exp). Niech u + iv = e z = e x+iy tzn. u = e x cos y, v = e x sin y. (a) Dla dowolnego y R, pas poziomy {x + iy : x R, y π < y y + π} jest odwzorowywany bijektywnie (ale oczywi±cie nie homeomorcznie!) na C. Pozioma prosta y = y przechodzi na promie«{(e x cos y, e x sin y ) : x R}. Pas otwarty {x + iy : x R, y π < y < y + π} jest odwzorowany homeomorcznie na C \ R (odwzorowaniem odwrotnym jest Log). (b) Dla dowolnych p R, q R, pas uko±ny {(x, p x + q) : x R, q π < q q + π} jest odwzorowywany bijektywnie na C. Prosta uko±na y = p x + q przechodzi na lini ±rubow postaci {(e x cos(p x + q ), e x sin(p x + q ) : x R}. Przykªad.5.4 (sin). Funkcja sinus odwzorowuje homeomorcznie pas na C \ ((, ] [, + )) =: D. Istotnie, niech {x + iy : π/2 < x < π/2, y R} sin z = sin(x + iy) = 2i (ei(x+iy) e i(x+iy) ) = 2 (ey + e y ) sin x + i 2 (ey e y ) cos x = cosh y sin x + i sinh y cos x =: u + iv. Prosta pionowa x = przechodzi bijektywnie na prost u =. Ka»da prosta pionowa x = c przechodzi bijektywnie w jedn z gaª zi hiperboli Wypeªniaj one caªy obszar D. u 2 sin 2 c v2 cos 2 c =. Przykªad.5.5. Jak zachowuje si funkcja tg w pasie {x + iy : π/2 < x < π/2, y R}? 9 `7 Nikolai ukowski (84792) matematyk rosyjski.

15

16 ROZDZIAŠ 2 Funkcje holomorczne I 2.. Pochodna zespolona Niech Ω C b dzie zbiorem otwartym i niech f : Ω C, f = u + iv. Na funkcj f mo»emy zawsze patrze jako na odwzorowanie (u, v) : Ω R 2. W szczególno±ci, mo»na pyta o ró»niczkowalno± w sensie rzeczywistym tego odwzorowania w pewnym punkcie a Ω. Niech f R (a) oznacza rzeczywist ró»niczk Frécheta ( ) odwzorowania f w punkcie a (o ile istnieje). Wiemy,»e dla Z = X + iy mamy f R(a)(Z) = f f (a)x + x y = 2 f (a)y = x (a)z + Z 2 ( f (a) i f )Z x y (a) f y (a)z Z 2i ( f ) (a) + i f x y (a) Z =: f z (a)z + f z (a)z, gdzie f z (a) := ( f ) (a) i f 2 x y (a) f, z (a) := ( f ) (a) + i f 2 x y (a) oznaczaj pochodne formalne funkcji f w punkcie a. Oczywi±cie, do ich zdeniowania wystarczy istnienie pochodnych cz stkowych f f x (a), y (a). Denicja 2... Mówimy,»e funkcja f ma w punkcie a pochodn zespolon f (a), je»eli granica f (a) := f(a + h) f(a) lim C h h istnieje i jest sko«czona. Innymi sªowy, f ma w punkcie a zespolon ró»niczk Frécheta f C (a) oraz f C (a)(z) = f (a)z, Z C. Propozycja NWSR: (i) f (a) istnieje; (ii) f C (a) istnieje; (iii) f R (a) istnieje oraz jest operatorem C-liniowym; (iv) f R (a) istnieje oraz speªnione s równania Cauchy'egoRiemanna f u v (a) =, czyli (a) = z x y (a), u v (a) = y x (a). W szczególno±ci, je»eli f (a) istnieje, to f R (a)(z) = f (a)z oraz f (a) = f f (a) = i f (a) = x y z (a). Przykªad Funkcja f(x + iy) := xy, z = x + iy C, ma w punkcie a = obie pochodne cz stkowe ( f f x () = y () = ), które speªniaj oczywi±cie równania Cauchy'egoRiemanna, ale f () nie istnieje. Denicja Niech P n (C) := oznacza zbiór wszystkich wielomianów zespolonych jednej zmiennej zespolonej stopnia n (n Z + ), tzn. zbiór wszystkich funkcji postaci C z a + a z + + a n z n C. Jest ` René Fréchet (878973) matematyk francuski.

17 2 Marek Jarnicki, Wykªady z Funkcji Analitycznych, wersja z 3 stycznia 2 2. Funkcje holomorczne I to oczywi±cie zespolona przestrze«wektorowa. Ponadto, P n (C) P n+ (C). Poªó»my, P(C) := n= P n(c). Jest to pier±cie«. Niech R(C) := oznacza pier±cie«wszystkich funkcji wymiernych jednej zmiennej zespolonej, tzn. zbiór wszystkich uªamków L/M, gdzie L, M P(C), M. Ka»da funkcja wymierna jest funkcj ci gª Ĉ Ĉ. wiczenie (a) Do ró»niczkowania zespolonego stosuj si standardowe wzory na ró»niczkowanie sumy, iloczynu i ilorazu. (b) Ka»dy wielomian p(z) = a + a z + + a n z n P n (C) jest ró»niczkowalny w sensie zespolonym w ka»dym punkcie oraz p (z) = a +2a 2 z + +na n z n P n (C). Ka»da funkcja wymierna L/M R(C) jest ró»niczkowalna w sensie zespolonym w ka»dym punkcie z C \ M (). (c) Niech f : Ω Ω b dzie odwzorowaniem bijektywnym na pewien zbiór otwarty Ω C takim,»e f (a) istnieje. Niech b := f(a), g := f : Ω Ω. Wtedy NWSR: (i) g (b) istnieje; (ii) f (a) oraz g jest ci gªe w punkcie b. Ponadto, g (b) = f (a). (d) Je»eli f (a) istnieje, to det f R (a) = f (a) 2 = det f R (a) 2. Istotnie [ ] [ ] u det f R(a) = det x (a) u y(a) u v x(a) v y(a) = det x (a) v x(a) v x(a) u = (u x(a)) 2 + (v x(a)) 2 = f (a) 2. x(a) (e) Je»eli f : Ω C jest odwzorowaniem klasy C takim,»e f (a) istnieje i f (a), to dla pewnego otwartego otoczenia U Ω punktu a, odwzorowanie f U : U V jest C dyfeomorzmem na pewne otwarte otoczenie punktu b := f(a) i je»eli g := (f U ), to g (b) istnieje i g (b) = f (a). Przykªad (a) Funkcja exp ma pochodn zespolon w dowolnym punkcie oraz exp (z) = exp(z), z C. Istotnie, poniewa» exp(x + iy) = e x (cos y + i sin y), zatem funkcja exp jest klasy C ω (R 2, C). Ponadto, dla z = x + iy, mamy exp z (z) = 2 ( exp exp ) (z) + i x y (z) = ( ) e x (cos y + i sin y) + ie x ( sin y + i cos y) =, 2 co oznacza,»e w ka»dym punkcie speªnione s równania Cauchy'egoRiemanna, czyli exp (z) istnieje dla dowolnego z. Ponadto, exp (z) = exp x (z) = exp(z), z C. (b) Niech D C b dzie obszarem, w którym istnieje gaª ¹ jednoznaczna logarytmu l. Wtedy l (z) = /z, z D. Istotnie, niech b D, a := l(b). Do funkcji f := exp stosujemy wiczenie 2..5(e), z którego wnioskujemy,»e l (b) = f (a) = exp(l(b)) = b. wiczenie sin z = cos z, cos z = sin z, z C. Dla drogi (tzn. krzywej kawaªkami klasy C ) γ : [α, β] C oraz funkcji ci gªej f = u + iv : γ C deniujemy β fdz := udx vdy + i vdx + udy = f(γ(t))γ (t)dt. γ γ γ α Zauwa»my,»e f(z)dz l(γ) f γ, gdzie γ l(γ) = β oznacza dªugo± krzywej γ, za± dla ϕ : A C kªadziemy α γ (t) dt ϕ A := sup{ ϕ(z) : z A}.

18 Marek Jarnicki, Wykªady z Funkcji Analitycznych, wersja z 3 stycznia Pochodna zespolona Propozycja 2..8 (Wzór Cauchy'egoGreena ( ) 2 ). Niech D C b dzie obszarem pspójnym, którego brzeg skªada si z p dróg Jordana zorientowanych dodatnio wzgl dem D. Niech f C (D) ( ) 3. Wówczas f(z) = ( 2πi D f(ζ) ζ z dζ + D f (ζ) ) ζ ζ z dζ dζ, z D. W szczególno±ci, je»eli f C (D) oraz f (z) istnieje dla dowolnego z D, to f(z) = f(ζ) dζ, z D. 2πi ζ z D Dowód. Ustalmy K(a, ε) D. Wówczas, na mocy wzoru Greena (zastosowanego do obszaru D ε := D \ K(a, ε)), mamy f(ζ) D ζ a dζ f(ζ) C(a,ε) ζ a dζ = f(ζ) ( f(ζ) ) D ε ζ a dζ = d D ε ζ a dζ = D ε f (ζ) ζ dζ dζ ζ a ε D f (ζ) ζ dζ dζ, ζ a przy czym okr g C(a, ε) uto»samiamy z krzyw [, 2π] t a + εe it. Uto»samienie to b dziemy stosowa konsekwentnie w przyszªo±ci. Z drugiej strony, 2πi C(a,ε) f(ζ) ζ a dζ f(a) max{ f(ζ) f(a) : ζ C(a, ε)} ε +. Propozycja Niech D C b dzie obszarem i niech f = u+iv : D C b dzie ci gªa. Wtedy NWSR: (i) dla dowolnych a, b D, caªka b a f(z)dz := f(z)dz nie zale»y od wyboru drogi γ ª cz cej a i b w D; γ (ii) funkcja f posiada pierwotn zespolon, tzn. istnieje funkcja F : D C taka,»e F (z) = f(z) dla dowolnego z D. Dowód. (ii) = (i): γ f(z)dz = β α F (γ(t))γ (t)dt = β α (F γ) (t)dt = F (γ(β)) F (γ(α)). (i) = (ii): Niezale»no± caªki f(z)dz od drogi caªkowania jest równowa»na niezale»no±ci caªek γ udx vdy, vdx + udy od drogi caªkowania, co oznacza,»e istniej funkcje ϕ, ψ C (D, R) takie,»e γ ϕ x = u, ϕ y = v, γ ψ x = v, ψ y = u. Niech F := ϕ + iψ. Wtedy F jest klasy C, speªnia w ka»dym punkcie równania Cauchy'egoRiemanna oraz F = ϕ x + iψ x = u + iv = f. Propozycja 2.. (Indeks punktu wzgl dem drogi zamkni tej). Niech γ : [, ] C b dzie dowoln drog zamkni t. Wtedy caªka krzywoliniowa Ind γ (a) := 2πi z a dz = γ (t) 2πi γ(t) a dt, a C \ γ, γ nosz ca nazw indeksu punktu a wzgl dem drogi γ, przyjmuje warto±ci caªkowite, staªe w ka»dej skªadowej spójnej zbioru C \ γ, przy czym Ind γ = w skªadowej nieograniczonej zbioru C \ γ. `2 George Green (79384) matematyk i zyk angielski. `3 Tzn. f C (Ω), gdzie Ω C jest zbiorem otwartym takim,»e D Ω. 3

19 4 Marek Jarnicki, Wykªady z Funkcji Analitycznych, wersja z 3 stycznia 2 2. Funkcje holomorczne I Odnotujmy,»e Ind γ (a) jest oczywi±cie niezale»ny od zmiany parametryzacji drogi γ. Dowód. Z twierdzenia o funkcjach danych caªk wynika,»e Ind γ jest funkcj ci gª. Ponadto, Ind γ (a) l(γ) 2π dist(a, γ ). a Pozostaje wi c wykaza,»e Ind γ (a) Z dla dowolnego a C \ γ. Ustalmy a i niech h(x) := x γ (t) dt, x. γ(t) a Jest to funkcja ci gªa, ró»niczkowalna poza sko«czon liczb punktów, h() =, h() = 2πi Ind γ (a). Zauwa»my,»e (e h (γ a)) = e h ( h (γ a) + γ ) = poza sko«czon liczb punktów. Tak wi c e h (γ a) = const = γ() a. Wynika st d,»e e h = γ a γ() a, a st d e h() =, a wi c h() = 2πi Ind γ (a) = 2πi k dla pewnego k Z. wiczenie 2... (a) Ind C(a,r) (z) = {, gdy z K(a, r), gdy z / K(a, r). (b) Niech γ : [, ] C b dzie zamkni t drog Jordana zorientowan dodatnio wzgl dem int γ. Wtedy {, gdy z int γ Ind γ (z) =, gdy z ext γ. Propozycja Niech γ : [, ] C b dzie dowoln krzyw zamkni t, niech a C \ γ i niech r := dist(a, γ ). Niech σ j : [, ] C b dzie drog zamkni t tak,»e σ j γ [,] r/4, j =, 2. Wtedy Ind σ (a) = Ind σ2 (a). W szczególno±ci, wzór Ind γ (a) := lim Ind σ (a), a C \ γ, σ droga zamkni ta σ γ [,] deniuje Ind γ : C \ γ Z dla dowolnej krzywej zamkni tej γ : [, ] C. Dowód. Niech Zauwa»my,»e Ponadto, Ostatecznie σ σ = Ind σ (a) Ind σ2 (a) = 2πi σ := σ a σ 2 a. σ (σ2 a) (σ a)σ 2 (σ 2 a) 2 σ a σ 2 a = σ σ a σ 2 σ 2 a. σ = σ σ 2 2 r 4 σ 2 a 3 4 r = 2 3. ( σ (t) ) σ (t) a σ 2(t) dt = σ (t) σ 2 (t) a 2πi σ(t) dt = Ind σ() =.

20 Marek Jarnicki, Wykªady z Funkcji Analitycznych, wersja z 3 stycznia Pochodna zespolona 5 Twierdzenie 2..3 (Twierdzenie Cauchy'egoGoursata ( ) 4 ). Niech Ω C b dzie otwarty i niech f : Ω C b dzie taka,»e f (z) istnieje dla dowolnego z Ω. (a) f(z)dz = T dla dowolnego zwartego trójk ta T = conv{a, b, c}, przy czym T rozumiemy jako ªaman zamkni t [a, b, c, a]. Wynik pozostaje prawdziwy dla wszystkich funkcji f C(T ) takich,»e f (z) istnieje dla dowolnego z int T. ( (b) Niech D Ω b dzie obszarem, którego brzeg skªada si ze sko«czonej liczby ªamanych Jordana 5 ) zorientowanych dodatnio wzgl dem D: tzn. D = γ γp, int γ j int γ, j =,..., p, int γ j ext γ k, j, k =,..., p, j k. Wtedy p f(z)dz := f(z)dz =. D γ j j= Wynik pozostaje prawdziwy dla wszystkich funkcji f C(D) takich,»e f (z) istnieje dla dowolnego z D. (c) Je»eli zaªo»ymy dodatkowo,»e f C (Ω) ( ) 6, to dla dowolnego obszaru D Ω, którego brzeg skªada si ze sko«czonej liczby dróg Jordana zorientowanych dodatnio wzgl dem D, mamy f(z)dz =. D Dowód. (a) Przypadek, w którym T jest zdegenerowany jest oczywisty ( wiczenie). Dalej zakªadamy,»e T nie jest zdegenerowany. Trójk t T := T dzielimy przy pomocy ±rodków boków p := 2 (a + b), q = 2 (b + c), r := 2 (c + a) na cztery trójk ty T, = conv{a, p, r}, T,2 := conv{p, b, q}, T,3 := conv{q, c, r}, T,4 := conv{p, r, q}. Wtedy 4 f(z)dz = f(z)dz. T T,j Niech T oznacza jeden spo±ród trójk tów T,,..., T,4, dla którego { } f(z)dz = max f(z)dz : j =, 2, 3, 4. T T,j j= Oczywi±cie, f(z)dz 4 f(z)dz. T T Teraz powtarzamy rozumowanie rekurencyjnie i otrzymujemy zst puj cy ci g trójk tów (T j ) j= taki,»e l( T j ) = 2 j l( T ) oraz f(z)dz 4 j f(z)dz, j N. T T j Niech {a} := j= T j, f(z) = f(a) + f (a)(z a) + α(z)(z a), gdzie α(z) przy z a. Odnotujmy,»e funkcja z f(a) + f (a)(z a) ma oczywi±cie pierwotn. Korzystaj c z Propozycji 2..9, mamy f(z)dz 4 j (f(a) + f T T (a)(z a) + α(z)(z a))dz = 4 j α(z)(z a)dz j T j 4 j l( T j ) max{ α(z)(z a) : z T j } 4 j l 2 ( T j ) α Tj = l 2 ( T ) α Tj j +. Je»eli tylko zaªo»ymy,»e f C(T ) oraz f (z) istnieje dla dowolnego z int T, to na podstawie poprzedniego dowodu, mamy T f(z)dz = dla dowolnego trójk ta T int T. Ustalmy punkt d int T `4 Edouard Goursat (858936) matematyk francuski. `5 Camille Jordan (838922) matematyk francuski. `6 W przyszªo±ci zobaczymy,»e zaªo»enie to jest automatycznie speªnione Twierdzenie 2.2.5

21 6 Marek Jarnicki, Wykªady z Funkcji Analitycznych, wersja z 3 stycznia 2 2. Funkcje holomorczne I i niech T = T s := conv{a + s(d a), b + s(d b), c + s(d c)} int T, s (, ). Poka»emy,»e f(z)dz f(z)dz przy s (co zako«czy dowód). Mamy: T s T f(z)dz f(z)dz [a+s(d a),b+s(d b)] [a,b] f(a + s(d a) + t( s)(b a))( s) f(a + t(b a)) (b a)dt s (wobec jednostajnej ci gªo±ci f na T ) i analogicznie dla pozostaªych odcinków. (b) Poprzez triangulacj ( wiczenie). (c) Korzystamy ze wzoru Greena z Analizy oraz z równa«cauchy'egoriemanna: f(z)dz = udx vdy + i vdx + udy = ( v x u y) + i (u x v y) =. D D D Propozycja Niech G C b dzie obszarem gwia¹dzistym wzgl dem punktu c i niech f : G C b dzie funkcj ci gª tak,»e T f(z)dz = dla dowolnego zwartego trójk ta T G (np. f (z) istnieje dla dowolnego z G Twierdzenie 2..3). Wtedy f ma w G pierwotn zespolon. W szczególno±ci, na podstawie Propozycji 2..9, f(z)dz = dla dowolnej drogi zamkni tej w G. γ Dowód. Zdeniujmy F (z) := [c,z] D f(ζ)dζ, z G. Ustalmy a G. Korzystaj c z zaªo»enia o zerowaniu si caªki po brzegu trójk ta, dla maªych h mamy F (a + h) F (a) f(a) = (f(z) f(a))dz max{ f(z) f(a) : z [a, a + h]} h h [a,a+h] D h. Propozycja 2..5 (Wzór caªkowy Cauchy'ego). (a) Niech G C b dzie obszarem gwia¹dzistym i niech γ : [, ] G b dzie dowoln drog zamkni t. Niech f : G C b dzie taka,»e f (z) istnieje dla dowolnego z G. Wtedy f(a) Ind γ (a) = 2πi γ f(z) z a dz, a G \ γ. (b) Niech f : K(a, r) C b dzie funkcj ci gª tak,»e f (z) istnieje dla dowolnego z K(a, r). Wtedy f(z) = f(ζ) 2πi C(a,r) ζ z dζ, z K(a, r). W szczególno±ci, dla z = a dostajemy: twierdzenie o warto±ci ±redniej po okr gu oraz nierówno± f(a) = 2πi C(a,r) f(a) 2π twierdzenie o warto±ci ±redniej po kole f(a) = πr 2 r oraz nierówno± sds 2π f(ζ) ζ a dζ = 2π 2π f(a + se iθ )dθ = πr 2 2π f(a + re iθ )dθ =: J(f; a, r), f(a + re iθ ) dθ = J( f ; a, r), r 2π f(a) πr 2 f dl 2 = A( f ; a, r). K(a,r) f(a + se iθ )sdθds = πr 2 fdl 2 := A(f; a, r), K(a,r)

22 Marek Jarnicki, Wykªady z Funkcji Analitycznych, wersja z 3 stycznia Pochodna zespolona 7 Dowód. (a) Ustalmy punkt a G \ γ i niech g(z) := { f(z) f(a) z a, je»eli z G \ {a} f (a), je»eli z = a Oczywi±cie g jest ci gªa oraz g (z) istnieje dla z G \ {a}. Na podstawie Twierdzenia 2..3(a) dostajemy g(z)dz = dla dowolnego zwartego trójk ta T G. Teraz, na podstawie Propozycji 2..4, T f(z) f(a) = g(z)dz = dz, z a a st d 2πi γ γ f(z) z a dz = 2πi γ (b) Ustalmy z K(a, r). Na podstawie (a) mamy f(z) = f(z) Ind C(a,s) (z) = f(ζ) 2πi ζ z dζ = 2π C(a,s) γ f(a) z a dz = f(a) Ind γ(a). 2π. f(a + se it ) z a se it seit dt, z a < s < r. Teraz pozostaje przej±cie graniczne s r. Aby móc skorzysta z twierdzenia Lebesgue'a o zmajoryzowanym przechodzeniu do granicy pod znakiem caªki, wystarczy upewni si,»e funkcja podcaªkowa ma caªkowaln majorant : f(a + seit ) f K(a,r) z a se it seit r, z a + ε < s < r. ε Twierdzenie Niech D C b dzie dowolnym obszarem i niech f : D C b dzie taka,»e f (z) istnieje dla dowolnego z D. Niech a, b D i niech γ, γ : [, ] D b d dowolnymi drogami ª cz cymi a i b, które s homotopijne w D. Wtedy f(z)dz = f(z)dz. γ γ Dowód. Niech H : [, ] [, ] D b dzie homotopi ª cz c te drogi, tzn. H jest odwzorowaniem ci gªym takim,»e H(, ) = γ, H(, ) = γ, H(s, ) = a, H(s, ) = b, s [, ] ( 7 ). Poniewa» H jest jednostajnie ci gªe, znajdziemy δ > takie,»e je»eli s s δ i t t δ, to H(s, t ) H(s, t ) < r := dist(h([, ] [, ]), D). Ustalmy n /δ i niech s j = t j := j/n, j =,..., n. Niech a j,k = H(s j, t k ) i niech σ k oznacza ªaman [a k,, a k,,..., a k,n, a k,n ]. Zauwa»my,»e G j,k := K(a j,k, r) D, G j,k jest obszarem gwia¹dzistym oraz H(s, t) G j,k dla s s j δ i t t k δ, j, k =,..., n. Korzystaj c z Propozycji 2..4 wnioskujemy teraz,»e γ [tk,t k ] f(z)dz = [a,k,a,k ] f(z)dz, k =,..., n, a st d γ f(z)dz = σ f(z)dz. Podobnie, γ f(z)dz = σ n f(z)dz. Teraz wystarczy wykaza,»e σ j f(z)dz = σ j f(z)dz, j =,..., n. Wiemy,»e f(z)dz =, j, k =,..., n. [a j,k,a j,k,a j,k,a j,k,a j,k ] Dodaj c te caªki dla k =,..., n i redukuj c caªki po przeciwnie przebieganych odcinkach, dostajemy» dany wzór. Jako natychmiastowy wniosek otrzymujemy: Twierdzenie 2..7 (Twierdzenie Cauchy'egoGoursata i wzór Cauchy'ego dla obszarów jednospójnych). Niech D C b dzie obszarem homotopijnie jednospójnym i niech f : D C b dzie taka,»e f (z) istnieje dla `7 Odnotujmy,»e H(s, ) nie musi by drog dla < s < por. wiczenie 2..8.

23 8 Marek Jarnicki, Wykªady z Funkcji Analitycznych, wersja z 3 stycznia 2 2. Funkcje holomorczne I dowolnego z D. Wtedy caªka f(z)dz zale»y wyª cznie od ko«ców drogi γ : [, ] D zob. Propozycja γ W szczególno±ci, f(z)dz = oraz f(a) Ind γ (a) = f(z) 2πi z a dζ, a D \ γ, γ dla dowolnej drogi zamkni tej γ : [, ] D. wiczenie Niech D, γ, γ i H b d takie, jak w zaªo»eniach Twierdzenia Korzystaj c z dowodu tego twierdzenia, pokaza,»e istnieje homotopia H : [, ] [, ] D dróg γ i γ taka,»e H (s, ) jest drog dla dowolnego < s <. Obserwacja Niech D C b dzie obszarem i niech f : D C b dzie taka,»e f (z) istnieje dla dowolnego z D. Zaªó»my,»e L jest gaª zi jednoznaczn funkcji log f w D (tzn. exp L f). Wtedy L = f /f. W szczególno±ci, L jest pierwotn funkcji f f, co wobec Propozycji 2..9, oznacza,»e dla dowolnych a, b D, caªka b f (z) a f(z) dz := f (z) γ f(z) dz nie zale»y od wyboru drogi γ ª cz cej a i b w D. Istotnie, wiemy,»e dla dowolnego a D, w pewnym otoczeniu punktu a mamy L = l f + 2kπi, gdzie l jest gaª zi logarytmu w otoczeniu f(a), za± k Z ( wiczenie.4.3). Pozostaje skorzysta z Przykªadu 2..6(b). Propozycja Niech D C b dzie obszarem homotopijnie jednospójnym i niech f : D C b dzie taka,»e f (z) istnieje dla dowolnego z D ( ) 8. Wtedy f ma w D jednoznaczn gaª ¹ logarytmu L, która musi by postaci dla pewnego k Z. L(z) = z a f (ζ) dζ + Log f(a) + 2kπi, z D, f(ζ) Dowód. Funkcja f /f ma w ka»dym punkcie obszaru D pochodn zespolon. Pozwala to poprawnie okre±li funkcj z f (ζ) h(z) := dζ + Log f(a), z D, f(ζ) gdzie a jest dowolnie ustalonym punktem z D. Wiemy,»e h = f /f w D, a st d Oznacza to,»e a (fe h ) = f e h fe h h. fe h = const = f(a)e h(a) = f(a)e Log f(a) =, czyli e h f. Tak wi c h jest gaª zi jednoznaczn logarytmu f. Mamy e h = f = e L. Ostatecznie, (h L)/(2πi) jako funkcja ci gªa o warto±ciach caªkowitych, jest staªa Funkcje holomorczne Denicja Niech Ω C b dzie otwarty i niech f : Ω C. Powiemy,»e f jest holomorczna w Ω (f O(Ω)), je»eli dla dowolnego punktu a Ω istnieje szereg pot gowy n= a n(z a) n o dodatnim promieniu zbie»no±ci R oraz liczba < r min{r, dist(a, Ω)} takie,»e f(z) = n= a n(z a) n, z K(a, r). Je»eli f O(C), to mówimy,»e f jest funkcj caªkowit. Je»eli G C jest otwarty, za± f : Ω G jest bijekcj tak,»e f O(Ω), f O(G), to mówimy,»e f jest odwzorowaniem biholomorcznym. γ `8 W przyszªo±ci (Twierdzenie 2.2.5) zobaczymy,»e istnienie f (z) dla dowolnego z D wynika z istnienia f (z) dla dowolnego z D.

24 Propozycja Niech Marek Jarnicki, Wykªady z Funkcji Analitycznych, wersja z 3 stycznia Funkcje holomorczne f(z) := a n (z a) n, z a < R. n= gdzie R oznacza promie«zbie»no±ci szeregu pot gowego. Wtedy f (z) istnieje dla dowolnego z K(a, R) oraz prawdziwy jest wzór na ró»niczkowanie pod znakiem szeregu f (z) = na n (z a) n, z K(a, R). ( ) n= Ponadto, promie«zbie»no±ci szeregu ( ) jest równy R, co oznacza,»e funkcja f ma w ka»dym punkcie z K(a, r) wszystkie pochodne zespolone oraz ( ) n f (k) (z) = k! a n (z a) n k, z K(a, R). k n=k W szczególno±ci, f C (K(a, R), C) oraz a n = f (n) (a) n!, n Z +, czyli gdzie f(z) = T a f(z), T a f(z) := oznacza szereg Taylora ( 9 ) funkcji f w punkcie a. n= z K(a, R), f (n) (a) (z a) n n! 9 Dowód. wiczenie. Zdeniujmy promie«zbie»no±ci szeregu Taylora funkcji f w punkcie a d(t a f) := sup{r : szereg T a f(z) jest zbie»ny jednostajnie w K(a, r)}. Wniosek Je»eli f O(Ω), to f ma w ka»dym punkcie z Ω wszystkie pochodne zespolone, f C ω (Ω, C) oraz f (k) O(Ω) dla dowolnego k N. Lemat (Lemat o produkcji funkcji holomorcznych). Niech γ : [, ] C b dzie dowoln drog i niech g : γ C b dzie dowoln funkcj ci gª. Zdeniujmy f(z) := g(ζ) 2πi ζ z dζ, z C \ γ. Wtedy f O(C \ γ ), γ f (k) (z) = k! g(ζ) 2πi γ (ζ z) k+ dζ, z C \ γ, k N, tzn. prawdziwy jest wzór na ró»niczkowanie pod znakiem caªki, oraz f (n) (a) f(z) = (z a) n = T a f(z), a C \ γ, z a < dist(a, γ ). n! n= W szczególno±ci, d(t a f) dist(a, γ ), a C \ γ. `9 Brook Taylor (77783) matematyk angielski.

25 2 Marek Jarnicki, Wykªady z Funkcji Analitycznych, wersja z 3 stycznia 2 2. Funkcje holomorczne I Dowód. Ustalmy a C \ γ, niech r := dist(a, γ ) i niech < θ <. Wtedy dla z K(a, θr) i ζ γ mamy ζ z = ζ a (z a) n z a = (ζ a) ζ a n+, przy czym szereg jest zbie»ny jednostajnie poniewa» z a ζ a f(z) = n= ( 2πi γ n= θ. Wynika st d,»e g(ζ) ) (ζ a) n+ dζ (z a) n, z K(a, r). Twierdzenie (Charakteryzacja funkcji holomorcznych). Niech Ω C b dzie otwarty i niech f : Ω C. Wtedy NWSR: (i) f (z) istnieje dla dowolnego z Ω; (ii) f R f (z) istnieje dla dowolnego z Ω oraz z (z) =, z Ω (tzn. f speªnia w ka»dym punkcie równania Cauchy'egoRiemanna); (iii) f C(Ω, C) oraz f(z)dz = dla dowolnego trójk ta zwartego T Ω (równowa»no± (i) (iii) T to tzw. twierdzenie Morery ( ) ); (iv) f C(Ω, C) oraz dla dowolnego obszaru gwia¹dzistego G Ω funkcja f ma w G pierwotn zespolon ; (v) f C(Ω, C) oraz dla dowolnego koªa K(a, r) Ω zachodzi wzór f(z) = 2πi C(a,r) f(ζ) z ζ dζ, z K(a, r); (vi) dla dowolnego a Ω funkcja f ma w punkcie a wszystkie pochodne zespolone f (n) (a), n N, oraz f (n) (a) f(z) = (z a) n, z a < dist(a, Ω); n! (vii) f O(Ω). n= Prop Tw Prop Lemat Def Prop Dowód. (i) (ii) = (iii) (iv) = (v) = (vi) = (vii) = (i), gdzie (*) wynika z nast puj cego rozumowania: Na podstawie Propozycji 2..5, (v) zachodzi dla funkcji F i K(a, r) G. St d, na podstawie implikacji (v) = (vii), F O(G). Teraz, na podstawie Wniosku 2.2.3, f (z) istnieje dla dowolnego z Ω i mo»emy zastosowa Propozycj 2..5 do f. Obserwacja Maj c Twierdzenie 2.2.5, mo»emy przetªumaczy szereg wyników formuªowanych poprzednio dla funkcji maj cych w ka»dym punkcie pochodne zespolone na j zyk funkcji holomorcznych. Dotyczy to np. Propozycji 2..5, 2..7, Twierdzenie (Twierdzenie Cauchy'egoGoursata i wzór Cauchy'ego dla obszarów jednospójnych). Niech D C b dzie obszarem homotopijnie jednospójnym i niech f O(D). Wtedy caªka f(z)dz zale»y γ wyª cznie od ko«ców drogi γ : [, ] D. W szczególno±ci, f(z)dz = oraz γ f(a) Ind γ (a) = f(z) 2πi z a dζ, a D \ γ, dla dowolnej drogi zamkni tej γ : [, ] D. γ Propozycja Niech D C b dzie obszarem homotopijnie jednospójnym i niech f : D C b dzie holomorczna. Wtedy f ma w D jednoznaczn gaª ¹ logarytmu L, która musi by postaci L(z) = z a (*) f (ζ) dζ + Log f(a) + 2kπi, z D, f(ζ) dla pewnego k N. W szczególno±ci, ka»da gaª ¹ logarytmu f jest holomorczna i L = f f. ` Giacinto Morera (85699) matematyk wªoski.

26 Marek Jarnicki, Wykªady z Funkcji Analitycznych, wersja z 3 stycznia Funkcje holomorczne Twierdzenie (Twierdzenie Cauchy'egoGoursata i wzór Cauchy'ego dla obszarów pspójnych). Niech D C b dzie obszarem pspójnym takim, którego brzeg skªada si z p dróg Jordana zorientowanych dodatnio wzgl dem D, tzn. D = γ γp, int γ j int γ, j =,..., p, int γ j ext γ k, j, k =,..., p, j k. Niech f O(Ω), gdzie Ω D. Wtedy D f(z)dz = oraz f(a) = 2πi D f(z) dζ, a D. z a Je»eli D skªada si z p ªamanych Jordana zorientowanych dodatnio wzgl dem D, to wynik pozostaje prawdziwy dla f O(D) C(D). Dowód. Wynik wynika bezpo±rednio z Twierdzenia 2..3 oraz faktu,»e drugi ze wzorów jest konsekwencj pierwszego. Istotnie, ustalmy a D i niech { f(z) f(a) g(z) := z a, gdy z a f (a), gdy z = a. Wtedy g O(Ω) (odp. g O(D) C(D)) (por. dowód Propozycji 2..5(a)). Na podstawie pierwszej cz ±ci twierdzenia mamy g(z)dz =, czyli D 2πi D f(z) z a dz = 2πi D p f(a) z a dz = j= 2πi γ j p f(a) z a dz = f(a) Ind γj (a) = f(a) Ind γ (a) = f(a). Obserwacja Zauwa»my,»e Twierdzenie zachodzi dla f O(D) C(D) dla znacznie szerszej klasy obszarów, ni» obszary pspójne ograniczone ªamanymi Jordana. Niech D C b dzie obszarem pspójnym takim, którego brzeg skªada si z p dróg Jordana zorientowanych dodatnio wzgl dem D, D = γ γp. Przypu± my,»e ka»d z dróg γ j mo»emy aproksymowa ci giem dróg Jordana (γ j,k ) k= w ten sposób,»e: γ j,k γ j jednostajnie na [, ], je»eli dla pewnego przedziaªu [a, b] [, ] funkcja γ j (a,b) przedªu»a si do funkcji klasy C ([a, b]), to dla dowolnego k N funkcja γ j,k (a,b) przedªu»a si do funkcji klasy C ([a, b]) oraz γ j,k γ j jednostajnie na [a, b], dla dowolnego k N, drogi Jordana γ,k,..., γ p,k ograniczaj pewien obszar pspójny D k w ten sposób,»e D k D. Wtedy dla dowolnej funkcji f O(D) C(D) mamy D k f(z)dz =, k N, a st d D k f(z)dz f(z)dz. Istotnie, je»eli przedziaª [a, b] [, ] jest jak powy»ej, to D γ j,k [a,b] f(z)dz = b a f(γ j,k (t))γ j,k(t)dt b a j= f(γ j (t))γ j(t)dt = f(z)dz, γ j [a,b] przy czym zbie»no± caªek wynika z jednostajniej zbie»no±ci funkcji podcaªkowych. Pytanie dla jakiej klasy obszarów taka aproksymacja ma miejsce pozostawiamy jako wiczenie. W tej chwili zauwa»my tylko,»e tak jest je»eli ka»da droga Jordana γ j jest ±ci±le gwia¹dzista wzgl dem pewnego punktu a j int γ j w tym sensie,»e: γ,k (t) := a + ( /k)(γ (t) a ) int γ, γ j,k (t) := a j + ( + /k)(γ j (t) a j ) ext γ j, t [, ], j =,..., p, k. Wiemy równie» z Analizy,»e tak jest je»eli ka»da droga γ j jest klasy C i γ j (t), t [, ], oraz γ j () = γ j (), j =,..., p. 2

27 22 Marek Jarnicki, Wykªady z Funkcji Analitycznych, wersja z 3 stycznia 2 2. Funkcje holomorczne I 2.3. Podstawowe wªasno±ci funkcji holomorcznych Jako natychmiastowe wnioski z Twierdzenia dostajemy. Propozycja (a) O(Ω) jest algebr. (b) Zªo»enie funkcji holomorcznych jest funkcj holomorczn. (c) Je»eli f : Ω G jest bijekcj, f O(Ω) oraz f (z), z Ω ( ), to f O(G). Propozycja (Twierdzenie Weierstrassa ( ) 2 ). Niech (f k ) k= O(Ω) i niech f k f niemal jednostajnie w Ω. Wtedy f O(Ω). Dowód. Oczywi±cie f C(Ω, C). Ponadto, dla dowolnego koªa K(a, r) Ω mamy f k (z) = f k (ζ) dζ, z K(a, r), k N. 2πi z ζ C(a,r) Poniewa» f k f jednostajnie na C(a, r), dostajemy f (z) = f (ζ) 2πi z ζ dζ, C(a,r) Teraz wystarczy skorzysta z Twierdzenia 2.2.5(v). z K(a, r). Lemat Niech D C b dzie obszarem i niech f = u + iv O(D). Je»eli f = const, to f = const. Dowód. Niech u 2 + v 2 = c = const. Przypadek c = jest trywialny. Zaªó»my wi c,»e c >. Ró»niczkuj c dostajemy co, wobec równa«cauchy'egoriemanna, daje uu x + vv x =, uu y + vv y =, uu x vu y =, vu x + uu y =. Wyznacznik tego ukªadu to u 2 + v 2. Wynika st d,»e u x = u y = v x = v y =, a wi c f = const. Propozycja (Zasada identyczno±ci). Niech D C b dzie obszarem i niech f, g O(D), A := {z D : f(z) = g(z)}. Je»eli zbiór A ma punkt skupienia w D, to f g. W szczególno±ci, je»eli f O(D), f, to zbiór f () skªada si z punktów izolowanych. Dowód. Zast puj c (f, g) przez (f g, ), redukujemy pytanie do przypadku g. Niech D := {a D : r> : f = w K(a, r)}. Zbiór D A jest oczywi±cie otwarty. Aby zobaczy,»e jest niepusty, niech a b dzie punktem skupienia zbioru A, tzn. dla pewnego ci gu (a k ) k= A \ {a} mamy a k a. Mamy oczywi±cie f(a) =. Niech k := sup{n Z + : m n : f (m) (a) = }. Je»eli k = +, to T a f =, a st d f = w K(a, d Ω (a)) =: K(a, R). Przypu± my,»e k < +. Poniewa» f(z) = T a f(z), z K(a, R), wnioskujemy,»e f(z) = (z a) k f(z), z K(a, R), gdzie f O(K(a, R)), f(a). Z drugiej stronie, poniewa» f(a k ) =, dostajemy f(a k ) =, k N. Wynika st d,»e f(a) =, co prowadzi do sprzeczno±ci. Powy»sze rozumowanie pokazuje równie»,»e zbiór A jest domkni ty w D, a wi c D = D. ` W przyszªo±ci zobaczymy (Propozycja 3.5.3),»e je»eli f : Ω C jest injektywnym odwzorowaniem holomorcznym, to f (z), z Ω. `2 Karl Weierstrass (85897) matematyk niemiecki.

28 Marek Jarnicki, Wykªady z Funkcji Analitycznych, wersja z 3 stycznia Podstawowe wªasno±ci funkcji holomorcznych Obserwacja Niech P b dzie wielomianem zespolonym dwóch zmiennych zespolonych. Wobec zasady identyczno±ci, je»eli P (sin x, cos x) = dla x R, to P (sin z, cos z) = dla z C. Obserwacja ta pozwala na automatyczne przenoszenie wzorów trygonometrycznych z przypadku rzeczywistego na zespolony. wiczenie: Czy da si na tej drodze uzyska wzór tg 2z = 2 tg z tg 2 z? wiczenie Niech I R b dzie przedziaªem otwartym i niech f C ω (I, C). Wtedy istniej obszar D C i funkcja f O(D) takie,»e D R = I oraz f = f na I. Propozycja (Zasada maksimum). Niech D C b dzie obszarem, f O(D), f const. Wtedy: (a) f nie przyjmuje w D maksimum lokalnego. (b) f nie przyjmuje minimum lokalnego w»adnym punkcie a D takim,»e f(a). (c) Je»eli D jest ograniczony, to f(z) < sup{lim sup f(w) : ζ D}, z D. w ζ (d) Je»eli D jest ograniczony oraz f przedªu»a si do funkcji póªci gªej z góry na D, to f(z) < max f, z D. D Dowód. (a) Przypu± my,»e f(z) f(a), z K(a, r) D. Na podstawie Propozycji 2..5(b) mamy f(a) πr 2 f dl 2 f(a). K(a,r) Wynika st d, i» f(z) = f(a) dla prawie wszystkich z K(a, r), co wobec ci gªo±ci funkcji f, implikuje,»e f(z) = f(a) dla wszystkich z K(a, r). Teraz, korzystaj c z Lematu wnioskujemy,»e f = const na K(a, r), i ostatecznie, na podstawie zasady identyczno±ci,»e f const w D; sprzeczno±. (b) Stosujemy (a) do funkcji /f (okre±lonej w otoczeniu punktu a). (c) Ustalmy z D i niech (D k ) k= b dzie ci giem obszarów takim,»e z D D k D k+ D, D = k= D k. Dla ka»dego k istnieje punkt w k D k taki,»e f(w k ) = max Dk f. Wobec (a) oraz zasady identyczno±ci, mamy f(z ) < f(w k ) f(w k+ ). Przechodz c do podci gu, mo»emy zaªo»y,»e w k ζ D. Wtedy f(z ) < lim sup k + f(w k ) lim sup w ζ f(w). (d) wynika z (c). Dla dowolnego zbioru zwartego K C niech K (r) := a K K(a, r). Zauwa»my,»e K (r) jest równie» zbiorem zwartym ( wiczenie). Dla zbioru otwartego Ω C niech d Ω (a) := sup{r > : K(a, r) Ω}, a Ω. Oczywi±cie, d Ω (a) = dist(a, Ω) o ile Ω C i d C +. Je»eli Ω C, to d Ω (a) d Ω (b) a b, a, b Ω; w szczególno±ci, d Ω jest funkcj ci gªa. Dla dowolnego zbioru A Ω niech d Ω (A) := inf{d Ω (a) : a A}. Zauwa»my,»e K (r) Ω dla < r < d Ω (K) ( wiczenie). Propozycja (Nierówno±ci Cauchy'ego). (a) Niech f O(K(a, r)), f C. Wtedy f (n) (a) n! C, n N. rn (b) Niech f O(Ω). Wtedy dla dowolnego zbioru zwartego K Ω oraz < r < d Ω (K) mamy f (n) K n! r n f K (r), n N. 23

29 24 Marek Jarnicki, Wykªady z Funkcji Analitycznych, wersja z 3 stycznia 2 2. Funkcje holomorczne I Dowód. (a) Na podstawie Propozycji 2..5 i Lematu 2.2.4, dla dowolnego < s < r, mamy f (n) (a) = n! f(ζ) 2πi (ζ a) n+ dζ n! 2π f(a + se iθ ) 2π s n dθ n! C, n N. sn (b) wynika z (a). C(a,s) Wniosek (Twierdzenie Weierstrassa). Niech (f k ) k= O(Ω) i niech f k f niemal jednostajnie w Ω. Wtedy f O(Ω) oraz, dla dowolnego n N, mamy f (n) k f (n) niemal jednostajnie w Ω. Dla zbioru Ω C niech L p h (Ω) := Lp (Ω) O(Ω), p +. H (Ω) := L h (Ω) to przestrze«funkcji holomorcznych ograniczonych. L 2 h (Ω) jest przestrzeni unitarn z iloczynem skalarnym L 2 h(ω) L 2 h(ω) (f, g) fgdl 2. Propozycja Niech Ω C b dzie zbiorem otwartym. (a) Dla dowolnego zbioru zwartego K Ω mamy f K πr 2 f dl 2, f O(Ω), < r < d Ω (K). K (r) (b) Dla dowolnego zbioru zwartego K Ω mamy f K πr 2 (L(K(r) )) /q( ) /p, f p dl 2 f O(Ω), < r < dω (K), p < +, K (r) gdzie /p + /q =. (c) L p h (Ω) jest przestrzeni Banacha, p +. (d) L 2 h (Ω) jest przestrzeni Hilberta. Dowód. (a) wynika natychmiast z nierówno±ci f(a) A( f ; a, r), < r < d Ω (a), a K. (b) wynika z (a) i nierówno±ci Höldera ( 3 ). (c) i (d) wynikaj z (b) i twierdzenia Weierstrassa. Obserwacja Dla f(z) = k= a k(z a) k O(K(a, r)) i < s < r mamy J( f 2 ; a, s) = 2π f(a + se iθ ) 2 dθ = 2π a k a l s k+l e i(k l)θ dθ = 2π 2π k,l= Ω a k 2 s 2k. Zauwa»my,»e powy»sza równo± daje alternatywny dowód zasady maksimum: je»eli f(z) f(a), z K(a, r), to a k 2 s 2k = J( f 2 ; a, s) f(a) 2 = a 2, < s < r, k= a st d a k =, k =, 2,..., a wi c f jest staªa. Z równo±ci tej dostajemy równie» alternatywny dowód nierówno±ci Cauchy'ego: je»eli f(z) C, z K(a, r), to a k 2 s 2k = J( f 2 ; a, s) C 2, < s < r, a st d a k C r k, k Z +. k= Zauwa»my,»e dla < s < r mamy A( f 2 ; a, s) = s ( 2π ) πs 2 f(a + τe iθ ) 2 dθ τdτ = πs 2 `3 Otto Hölder (859937) matematyk niemiecki. s k= k= 2π a k 2 τ 2k+ dτ = a k 2 s2k k +, k=