1 Warunki Cauchy'ego-Riemanna itd. 2 Caªki bez u»ycia residuów

Transkrypt

1 Analiza zespolona, lista zada«nr Warunki Cauchy'ego-Riemanna itd.. Dla nast puj cych funkcji wypisa ich cz ±ci rzeczywiste i urojone. Sprawdzi, czy nast puj ce funkcje speªniaj w caªej pªaszczy¹nie równania Cauchy'egoRiemanna. Sprawdzi te», czy cz ±ci rzeczywiste i urojone speªniaj równanie Laplace'a. (a) f = z 3 ; (b) f = (Rez)z ; (c) f = e iz ; (d) f = zrez; (e) f = z ; (f) f = z +.. Sprawdzi, czy nast puj ce funkcje s harmoniczne. Je±li tak, to znale¹ funkcj harmonicznie sprz»on do danej, oraz wynik zapisa jako funkcj samego z. (a) x y + 4xy; (b) x ; x +y (c) x 3 + 6x y 3xy y 3 ; (d) x y (x +y ) ; (e) e x (x cos y y sin y). Caªki bez u»ycia residuów Przypomnienie. Niech f holomorczna w Ω C, Ω otwarty; niech a Ω, niech krzywa obiegaj ca punkt a jednokrotnie antyzegarowo. Wtedy: f(z)dz = ; () 3. Obliczy caªk Rezdz dla: (a) = [, + i]; f(a) = πi f (n) (a) = n! πi (b) jest okr giem o ±rodku w i promieniu. f(z) dz; () z a f(z) dz. (3) (z a) n+ 4. Obliczy caªk : z dz, gdzie okr g o ±rodku w i promieniu. 5. Obliczy caªk z dz, je»eli:

2 (a) = [ i, i]; (b) jest lewym póªokr giem ªa z cym punkt i z punktem i, (c) jest prawym póªokr giem ªa z cym punkt i z punktem i 6. Caªki Fresnela czyli Fresnelki czyli Fr dzelki ( Terminologia P. Ch.) Obliczy caªki Fresnela: F c = cos(x )dx, F s = sin(x )dx. Odp. Obie π 8. Rozw. Scaªkujmy funkcj f(z) = eiz po konturze Γ = Γ Γ R Γ, gdzie: R R + ; Γ = [, R]; Γ R = {z C(, R), arg(z) π 4 }; Γ 3 odcinek zamykaj cy kontur Γ, tzn. odcinek ª cz cy e iπ/4 R z zerem. Poniewa» f(z) jest holomorczna na caªej C, to e iz dz = Obliczmy lub oszacujmy caªki na ka»dej cz ±ci konturu Γ. e iz dz = Γ R Γ (cos(x ) + i sin(x ))dx R F c + if s (4) wi c po przej±ciu R otrzymamy oba Fr dzelki. dz: Sparametryzujmy z Γ 3 przez: z = e iπ/4 t, t [R, ]. Mamy wi c, dla z Γ 3 : Γ 3 e iz z = e iπ/t = it, dz = e iπ4 dt, zatem: e iz Γ dz = ire iφ dφ; e iz Γ 3 dz = R e t e iπ/4 dt R π eiπ/4 π = ( + i) 8. (5) dz: Sparametryzujmy z Γ przez: z = Re iφ, φ [, π 4 ]; eiz = e ir e iφ = e ir (cos φ+i sin φ) ; I = e iz Γ dz = π/4 dφ ire irφ e ir cos φ R sin φ ; szacujemy moduª z caªki I przez caªk z moduªu (... funkcja podcaªkowa). Uwaga. Mo»na skorzysta z lematu Jordana, ale raz oszacujmy wprost. I = π/4... dφ π/4... dφ = π/4 szacujemy sinus od doªu, tak by sinφ byª oszacowany od góry: sk d I R Porównuj c (4) oraz (5) mamy: F c = φ [, π/4] : sin φ 4 π φ, π/4 cos(x )dx = dφ Re R sin φ ; dφe 4R /π = R π 4R e 4R /π R. π 8, F s = π sin(x )dx 8,

3 czyli wydawaªoby si,»e mamy ju» odpowied¹... GDYBY NIE to,»e musimy si jeszcze upewni,»e Fr dzelki ISTNIEJ! a s to caªki niewªa±ciwe o istnieniu nieewidentnym. Przetestujmy wi c Fr dzelka np. F s, zamieniaj c zmienn : x = t, dx = t dt,: F s = sin tdt. t W zerze jest to caªkowalne (dla Fr dzelka F c te»). A co dla t? Skorzystajmy z kryterium Dirichleta: Dla caªki I = a f(t)g(t)dt, je±li M f(t)dt jest wspólnie ograniczona dla dowolnego a M, a g(t) d»y do zera monotonicznie, to I istnieje. Tu bierzemy oczywi±cie f(t) = sin t, g(t) = t i to ko«czy spraw. 7. Ozn. Okr g o ±rodku w punkcie p i promieniu r b dziemy oznacza C(p, r). Obliczy caªk (a) = C(, ); (b) = C(, ); (c) = C(i, ); (d) = C( i, ). dz, je»eli: +z Wsk. Rozªo»y funkcj podcaªkow na uªamki proste. 8. Obliczy caªk e z cos z ( + z ) sin z dz gdzie = C( + i, ). Wsk. Skorzysta z wzoru caªkowego Cauchy'ego. 9. Obliczy caªk z z 4 dz gdzie = C(a, a), a >. Wsk. Rozªo»y funkcj podcaªkow na uªamki proste i korzysta z wzoru caªkowego Cauchy'ego.. Obliczy caªk gdzie = C(, a), a >. Wsk. jw. e z z + a dz. Obliczy caªk gdzie: e z z( z) 3 dz (a) = C(, ), (b) = C(, ). Wsk. Skorzysta z wzoru caªkowego Cauchy'ego dla drugiej pochodnej funkcji holomorcznej. 3

4 3 Taylor & Laurenty Tw. Laurenta: Niech f(z) b dzie holomorczna na okr gach wspóª±rodkowych C(a, R) i C (a, r) (gdzie r < R) oraz w pier±cieniu pomi dzy nimi. Wtedy w ka»dym punkcie z pier±cienia f(z) ma rozwini cie postaci gdzie f(z) = a + a (z a) + a (z a) + + b z a + b (z a) +..., (6) a n = f(z) πi C (z a) n+ dz, b n = f(z)(z a) n dz. (7) πi C Szczególny przypadek rozwini cie Taylora: Gdy f(z) jest holomorczna wewn trz okr gu C i... na okr gu, to w rozwini ciu Laurenta pojawiaj si tylko pot gi nieujemne.. Dla podanych ni»ej funkcji znale¹ cztery pocz tkowe ró»ne od zera wspóªczynniki rozwini cia w szereg Taylora wokóª z =, oraz poda promie«zbie»no±ci R odpowiedniego szeregu Taylora: (a) exp z z ; (b) sin z z ; (c) cos z; (d) cos z. 3. Rozwin funkcj f(z) = w szereg Laurenta w obszarach: I: z <, II: z >, z explicite licz c caªki. Rozw. Obszar I: Jako C bierzemy C(, R), < R <. Najsampierw popatrzmy na wspóªczynniki b n, n : b n = n z dz =, πi C z bo funkcja podcaªkowa jest holomorczna wewn trz C. Wspóªczynniki a n, n : i ogólnie a = πi C z z dz = z = ; z= a = πi C a n = πi C z z ( ) z dz = = ; z z= n+ ( ) (n) dz = =, z z z= zatem jako rozwini cie otrzymujemy szereg geometryczny, czego oczywi±cie nale»aªo si spodziewa. II: Odp. Szeregi geometryczne w odpowiedniej zmiennej: I. f(z) = + z + z +..., II. f(z) = z z z 3 4. Rozwin funkcj (z )(z ) w szereg Laurenta wokóª z = dla: (a) z < ; (b) < z < ; 4

5 (c) z >. 5. Rozwin funkcj (z +)(z +4) w szereg Laurenta wokóª z = dla: (a) z < ; (b) < z < ; (c) z >. 6. Pokaza,»e [ ( x f(z) exp z )] = J (x) + zj (x) + z J (x) + + z n J n (x) +... z gdzie z J (x) + z J (x) + + ( )n z n J n (x) +... (8) J n (x) = π cos(nθ x sin θ)dθ. (9) π Rozw. Punktem osobliwym f(z) jest jedynie z = (jaki to punkt osobl.? ppo,b,pio?) wi c na podstawie tw. Laurenta mo»na napisa rozwini cie f(z): [ ( x exp z )] = a + a z + a z + + b z z + b z +..., gdzie a n = [ ( x exp z )] dz πi C z z n+, b n = [ ( x exp z )] z n dz, πi C z gdzie C, C s dowolnymi okr gami o ±rodku w z =. Mo»na wi c w obu przypadkach wzi okr g jednostkowy. Mamy wi c parametryzacj : z = e iθ, a z = i sin θ, dz = ieiθ dθ i mamy a n = πi π e ix sin θ e niθ dθ = πi π cos(x sin θ nθ)dθ; cz ± urojona a n jest równa zeru, bo Im a n = π cos(x sin θ nθ)dθ, co mo»na stwierdzi, zamieniaj c zmienn θ π φ. Mamy wi c, zgodnie z denicj (9): a n = J n (x), b n = ( ) n J n (x). To ostatnie wynika z faktu,»e rozwini cie Laurenta nie zmieni si tu przy zamianie z z. Uwaga. Wspóªczynniki J n(x) s to funkcje Bessela, a wzór (8) mo»e sªu»y jako jedna z denicji tych»e. 7. Znale¹ residua funkcji: (a) z3 +z + z(z ) w punktach,, ; (b) (c) (d) (e) e z z (z ) e ez z 4 e miz w punktach, ; w punktach,, i, i; (a ) w punktach ai, ai; (z +a ) Odp. ie am (am + ) w punkcie ai 4a 3 e miz (z +a ) 3 (a ) w punktach ai, ai; (f) (z 3 z 5 ) w punktach osobliwych; 5

6 (g) ctg 3 z w punktach osobliwych; (h) sin z w punktach osobliwych; z+ (i) z punkcie i; (+z ) 4 (j) z 6 (+z) 3 w punkcie. 4 Caªki trygonometryczne 8. Obliczy caªk : π 9. Wykaza,»e przy < b < a zachodzi:. Wykaza,»e przy a <. Wykaza,»e dla a < π π a + b cos θ dθ sin θdθ a + b cos θ = π b (a a b ). cos 3θdθ + a a cos θ = π a + a a π dθ ( + a cos θ) = π a 3 5 Caªki z funkcji wymiernych. Wykaza,»e (a) (b) (c) x dx (x + a ) = π (a > ); 3 6a 3 dx π(a + b) =, a, b > ; (x + a )(x + b ) ab 3 (a + b) x 6 dx (a 4 + x 4 ) = 3 π 6a, a >. 6 Caªki z funkcji wymiernych razy f. trygonometryczne 3. Wykaza,»e (a) cos xdx x + a = πe a a (a > ); 6

7 (b) (c) (d) x sin xdx (x + a ) = πe a 4a (a > ); cos xdx (x + a )(x + b ) = π b a ( e a a ) e b b (a b, a, b > ); cos xdx (x + a ) = πe a (a + 3a + 3) (a > ); Uwaga. wynik sprawdzony dla 3 3 a 5 a = only 7 Caªki z funkcji wieloznacznych 7. Caªki po dziurce od klucza lub kawaªku tortu 4. Caªkuj c po "dziurce od klucza" funkcj : < a < I(a) = z a+ z + x a+ dx x + = exp((a + )Logz z + π sin πa. wykaza,»e dla Sk d si bierze powy»szy warunek na a? Rozw. Warunki zbie»no±ci caªki po póªosi rzeczywistej: asymptotyka w pobli»u + musi by x α, α <, co daje: a + < tzn. a <. Zachowanie w zerze: Musi zachodzi : a + > czyli a >. Zachowanie f(z) w C: f(z) ma biegun prosty w z = i punkt rozgaªe»ienia w z =. Kontur 'dziurka od klucza' Γ = Γ + Γ R Γ Γ r. (Γ ± kontur jest odcinkiem [r, R] nad (+) i pod (-) brzegiem rozci cia; Γ r okr g otaczaj cy ; Γ R = {z : z = Re iφ, φ [, π} ). Mamy: Γ = πires (f, ) Bierzemy tak warto± z a+,»e na Γ + mamy faz. Wtedy lim r,r Γ + = I(a). Po obiegu po Γ R faza f(z) zmienia si do e πi(a+) = e πia wskutek zmiany fazy czynnika z a+. Zatem lim = e πia I(a). Ze standardowych szacowa«mamy: lim = = lim. r,r r R Γ Γ R Liczymy residuum: Res (f, ) = lim z z a+ Γ r + z ( + z) = ( )a+. Liczba po r.h.s. jest wysoce niejednoznaczna. Ale! Tu mamy przepis na jej ujednoznacznienie, tzn. wybór jednej spo±ród (sko«czenie albo niesko«czenie wielu zale»nie od wymierno±ci a) warto±ci. Pami tajmy bowiem,»e idziemy po ªuku od warto±ci rzeczywistej z = z e i. Po obiegni ciu zera o póª obrotu, mamy jednoznacznie: ( ) a+ = e iπ(a+) = e iπa. Skªadaj c wszystko powy»sze do kupy, mamy: I(a)( e iπa ) = iπres (f, ) = iπ( )e iπa, tzn. I(a) = πi e iπa = πi i e iπa = +π eiπa e iπa e iπa = π sin πa. e iπa 7

8 5. Caªkuj c po "dziurce od klucza" funkcj : z a (z + ) exp(alogz(z + ) wykaza,»e dla < a < 3 I(a) = Sk d si bierze powy»szy warunek na a? Rozw. Caªy setup jak poprzednio. x a dx π( a) = (x + ) 4 cos πa. Warunki zbie»no±ci caªki po póªosi rzeczywistej: asymptotyka w pobli»u + : a 4 < tzn. a < 3; asymptotyka w zerze: a >, w sumie < a < 3. Funkcja podcaªkowa ma dwa bieguny drugiego rz du w z = +i oraz z = i. Pami taj c o fazie, mamy: I(a)( e iπa ) = iπ(res (f, i) + Res (f, i)). Liczymy residua: ( az Res (f, +i) = lim[f(z)(z i) ] a = lim z i z i (z + i) z a ) (z + i) 3 = za (z + i) 3 ( a z + i ) z z=i = i a 3 i 3 (a ) = ia i a 4. Znów wyra»enie i a jest ogólnie niejednoznaczne, ale znów ujednoznaczniamy je przez przepis,»e dochodzimy do i po ªuku startuj c z jedynki. Naówczas: i a = e iπa/, i mamy: Res (f, +i) = iπa/ a ie 4. Drugie residuum liczymy tak samo: Razem: Res (f, i) = 6. Obliczy caªk : za (z i) 3 ( a z i ) = ( i) a a (a ) = ie3iπa/ z z= i ( i) 3 4 I(a) = πi e iπa i a 4 (eiπa/ e 3iπa/ ) = π a = π a sin(πa/) sin(πa) = π a 4 cos(πa/). x α dx, n N, α R + xn e iπa/ e iπa/ e iπa e iπa Dla jakich α powy»sza caªka jest zbie»na? (oczywi±cie α mo»e zale»e od n). Wsk. Caªkowa po dziurce od klucza lub (bardziej sugerowane) kawaªku tortu. 7. Caªki po konturze ODS Terminologia: Konturem ODS b dziemy nazywa gur, zªo»on z dwóch póªokr gów o promieniach r oraz R (R > r), o ±rodkach w i le» cych w górnej póªpªaszczy¹nie, oraz odcinków [ R, r] i [r, R], le» cych na osi rzeczywistej. Geneza nazwy ODS b dzie podana na»yczenie zainteresowanych 8

9 7. Caªkuj c funkcj f(z) = (Logz) (z + a ) po konturze ODS wykaza,»e przy a > (log x) x + a dx = π 8a (π + 4(log a) ), log x x + a dx = π log a. a 8. Wykaza w podobny sposób,»e log x ( + x ) dx = π Caªkuj c funkcj Logz wzdªu» brzegu obszaru {z : r < z < R} {z : arg z π} +z 4 wykaza,»e 3. Wykaza,»e 3. Wykaza,»e log x π dx = + x4 8, x log x π dx = + x4 8. log x x(x + a ) dx = 3/ πa 5/ ( 3 log a 3π 4 log( + x ) + x dx = π log. Wsk. Caªkowa funkcj Log(z+i) +z po brzegu górnego póªkola K(, R). ), a >. 9