Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów

Transkrypt

1 Wykład 4 - Model w przestrzeni stanów Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015

2 Wstęp Do zaprojektowania układu regulacji pozycji siłownika pneumatycznego, poszukiwany jest model dynamiki układu w postaci modelu w przestrzeni stanów z czasem ciągłym { Ẋ (t) = Amc X (t) + B mc U(t) (1) y(t) = C mc X (t) gdzie: X (t) R n - wektor stanu, U(t) R m - wektor sygnałów sterujących, y(t) R p - sygnał wyjściowy wyjście / wektor sygnałów wyjściowych, A mc R n n - macierz stanu B mc R n m - macierz sterowania, C mc R p m - macierz wyjścia.

3 Równania stanu - zmienne fizykalne Zmienne stanu i sterujące u nt (t) = U nt (t) u pt (t) = U pt (t) x 1 = s(t) x 2 = v(t) x 3 = P nt (t) P atm x 4 = P pt (t) P atm (2) gdzie: u nt (t) = U nt (t) napięcie wysterowania rozdzielacza proporcjonalnego (dla komory nadtłokowej) u pt (t) = U pt (t) napięcie wysterowania rozdzielacza proporcjonalnego (dla komory podtłokowej) x 1 (t) = s(t) położenie (przemieszczenie) tłoka siłownika x 2 (t) = v(t) prędkość ruchu tłoka siłownika x 3 (t) = P nt (t) P atm = p nt (t) - ciśnienie względne w komorze nadtłokowej siłownika x 4 (t) = P pt (t) P atm = p pt (t) - ciśnienie względne w komorze podtłokowej siłownika

4 Równania stanu - zmienne fizykalne Równania stanu dx 1 (t) = x 2 (t) dt dx 2 (t) = k tvp x 2 (t) + A tlont x 3 (t) A tlopt x 4 (t) dt m obc m obc m obc dx 3 (t) = n ntop nto A tlont x 2 (t) + n ntorϑ nto k qmnt u nt (t) dt V nto V nto dx 4 (t) = n ptop pto A tlopt x 2 (t) + n ptorϑ pto k qmpt u pt (t) dt V pto V nto (3) Równanie wyjścia y(t) = x 1 (t) (4)

5 Równania stanu - zmienne fizykalne Ostatecznie, dla sterowania dławieniowego rozdzielonego, model procesu ruchu realizowanego przez pneumatyczny napęd siłownikowy opisują zależności macierzowe Ẋ (t) = gdzie 0 a a 22 a 23 a 24 0 a a x 1 (t) x 2 (t) x 3 (t) x 4 (t) b b 42 [ unt (t) u pt (t) ] + (5) y(t) = [ ]X (t) (6) a 12 = 1; a 22 = k tvp ; a 32 = n ntop nto A tlont m obc a 23 = A tlont m obc ; a 24 = A tlopt V nto m obc ; b 31 = n ntorϑ nto k qmnt V nto Układ liniowy : parametry macierzy mają stałe wartości ; a 42 = n ptop pto A tlopt V pto (7) ; b 42 = n ptorϑ pto k qmpt V nto (8)

6 Równania stanu - zmienne fazowe przyjmując u(t) = u nt (t) = u pt = U(t) P(t) = p nt (t) p pt (t) (9) a następnie przechodząc od fizykalnych do fazowych zmiennych stanu, po wprowadzeniu jako trzeciej zmiennej przyspieszenia a(t) ruchu tłoka siłownika i uwzględnieniu zależności x 3 (t) = a(t) = A tlont m obc P(t) k tvp m obc v(t) (10) Fazowe zmienne stanu i zmienne sterujące są następujące u nt (t) = U nt (t) u pt (t) = U pt (t) x 1 (t) = s(t) x 2 (t) = v(t) x 3 (t) = a(t) (11)

7 Równania stanu - zmienne fazowe Równania stanu dx 1 (t) = x 2 (t) dt dx 2 (t) = x 3 (t) dt [ dx 3 (t) = 1 n nto P nto A 2 tlont + n ] ptop pto A 2 tlopt x 2 (t) k tvp x 3 (t)+ dt m obc V nto V pto m obc + n ntorϑ nto k qmnt A tlont m obc V nto Równanie wyjścia u nt (t) n ptorϑ pto k qmpt A tlopt u pt (t) m obc V pto (12) y(t) = x 1 (t) (13)

8 Równania stanu - zmienne fazowe oznaczając C mnt ωom 2 = n ntorϑ nto k qmnt A tlont ; C mpt ωom 2 = n ptorϑ pto k qmpt A tlopt (14) m obc V nto m obc V pto 2D m ω om = k tvp m obc [ ] (15) ωom 2 = 1 n nto P nto A 2 tlont + n ptop pto A 2 tlopt m obc V nto V pto (16) Równania stanu i wyjścia można sprowadzić do postaci macierzowej, z trzema parametrami liniowego modelu zachowań prędkościowych ruchu tłoka napędu pneumatycznego o właściwościach oscylacyjnych z: wzmocnieniem prędkościowym C m, pulsacją drgań swobodnych ω om tłumieniem D m

9 Równania stanu - zmienne fazowe W ten sposób otrzymuje się model stanu procesu ruchu jako członu oscylacyjnego zachowań prędkościowych Ẋ (t) = X (t)+ 0 0 U(t) 0 ωom 2 D m ω om C ntm ωom 2 C ptm ωom 2 (17) y(t) = [1 0 0] x 1 (t) (18)

10 Równania stanu - zmienne fazowe Szczególne miejsce pośród wielu modeli (różne warianty dławienia i różne układy wartości parametrów) zajmuje - ze względu na prostotę zapisu i wykorzystania - model zlokalizowany w położeniu odpowiadającym połowie objętości cylindra siłownika (0, 5V cyl ), opisany przez stałe ( modelowe ) wartości parametrów przemian gazowych (n m, ϑ m ), współczynnika tarcia (k tm ) oraz ciśnienia roboczego (P m ): dla siłownika z połączonym sterowaniem komór (r = 1) i tłokiem równopowierzchniowym (A tlo ) w postaci C m = Rϑ mk qm A tlo P m ; ω om = 2A tlo n m P m m obc V cyl ; D m = k tm 4A tlo Vcyl n m P m m obc (19)

11 Równania stanu - zmienne fazowe Model ten pozwala, przy ograniczeniu liczby koniecznych do podania wartości parametrów, w prosty sposób estymować dynamikę napędu w oparciu o minimalną wartość pulsacji ω om, przy stałym wzmocnieniu prędkościowym C m i tłumieniu D m, dla wybranych położeń tłoka siłownika s o ω om = ( n m P m A tlo 1 + m obc s o 1 s max s o ) (20) Dobrym, ze względu na zgodność modelu z wynikami doświadczalnymi, przybliżeniami są: wartość wykładnika przemiany politropowej: nm 1, 35, stałej rozdzielacza: k qm kg/s Pa, ciśnienia: P m 0, 65P zas stałej tarcia napędu: k tm 125Ns/m

12 Równania stanu - zmienne fazowe Podane modele obliczeniowe z czasem ciągłym procesu ruchu w pneumatycznym układzie napędowym mają 4 zalety: 1 pojęcia typu wzmocnienie prędkościowe, pulsacja drgań, tłumienie są dla inżynierów zrozumiałe, oraz jako wartości parametrów - intuicyjne i inżyniersko weryfikowalne, 2 jakościowo poprawnie modelują zależność dynamiki napędu od położenia tłoka, obciążenia masowego i warunków pracy, 3 spełniają warunki sterowalności i obserwowalności układu w sensie Kalmana oraz istotny w przypadku układu napędowego warunek sterowalności wyjściowej, 4 przekładają się w implementacyjnie prosty sposób w algorytm wyboru macierzy sprzężeń zwrotnych, uwzględniając założone właściwości statyczne i dynamiczne układu pozycyjnego.

13 Równania stanu - dyskretyzacja modeli Chcąc zaprojektować układ regulacji w technice mikroprocesorowej, poszukiwany jest model dynamiki układu w postaci modelu w przestrzeni stanów z czasem dyskretnym { X (k + 1) = Amd X (k) + B md U(k) y(k) = C md X (k) (21) gdzie: X (k) R n - wektor stanu, U(k) R m - wektor sygnałów sterujących, y(k) R p - sygnał wyjściowy wyjście / wektor sygnałów wyjściowych, A md R n n - macierz stanu B md R n m - macierz sterowania, C md R p m - macierz wyjścia.

14 Równania stanu - dyskretyzacja modeli Transformacja ciągłych równań różniczkowych do dyskretnych równań różnicowych. Uwzględniając : czas dyskretny k, okres próbkowania (dyskretyzacji) Tp sterowanie sygnałami odcinkowo - stałymi zmienianymi wyłącznie w chwili próbkowania (sygnałami schodkowymi), czyli: U(t) = U(kT p ) dla t kt p, k + 1T p (22)

15 Równania stanu - dyskretyzacja modeli Równanie stanu modelu przekształca się, zgodnie z zasadami dyskretyzacji w postać: X (k + 1) = exp (A mc T p x(k)) + T p 0 exp (A mc t)b mc dtu(k) (23) gdzie A md = exp (A mc T p ) = L 1 [(si A mc ) 1 ]; (24) B md = T p 0 exp (A mc t)b mc dt = A 1 mc [exp (A mc T p ) I ]B mc, det A 0 (25)

16 Równania stanu - dyskretyzacja modeli W przypadku modelu opisanego przez wzmocnienie prędkościowe C m, pulsację drgań swobodnych ω om i tłumienie D m macierz A md poszukiwana jest przy pomocy zależności Amc Tp e = L 1 A md = L 1 [(si A mc ) 1 ] t=tp (26) 1 s + 2D m ω om 1 s s 3 + 2D m ω om s 2 + ωoms 2 s 3 + 2D m ω om s 2 + ω 2 oms s + 2D m ω om 1 0 s 2 + 2D m ω om s + ωom 2 s 2 + 2D m ω om s + ωom 2 ωom s 2 + 2D m ω om s + ωom 2 s + 2D m ω om + ωom/s 2 (27) gdzie L 1 - odwrotne przekształcenie Laplace a. B md = A 1 mc (A md I )B mc, det A mc 0 (28) t=t p

17 Równania stanu - dyskretyzacja modeli Ostatecznie otrzymuje się model z czasem dyskretnym: { X (k + 1) = Amd X (k) + B md U(k) y(k) = C md X (k) (29) UWAGA: W praktyce do realizacji w czasie rzeczywistym procedur identyfikacji i sterowania przy użyciu formalnie uzyskanych macierzy modelu dyskretnego zaleca się stosować przybliżony sposób transformacji opisu modelu ciągłego w dyskretny.

18 Równania stanu - dyskretyzacja modeli (uproszczenia) szereg Taylora Jeśli funkcja f : D Y, gdzie D R oraz Y jest przestrzenią unormowaną i ma w punkcie x 0 D pochodne dowolnego rzędu, to można rozważać szereg n=0 gdzie przyjęto f (0) (x 0 ) = f (x 0 ). 1 n! f (n) (x 0 )(x x 0 ) n, (30) Jeżeli x 0 = 0, to szereg ten nazywamy szeregiem Maclaurina. Rozwinięcie funkcji w szereg Maclaurina ma następującą postać f (n) (0) f (x) = f (0) + x n (31) n! n=1 Dla funkcji wykładniczej, szereg Maclaurina ma postać e x x n = n! n=1 (32)

19 Równania stanu - dyskretyzacja modeli (uproszczenia) W praktyce do realizacji w czasie rzeczywistym procedur identyfikacji i sterowania przy użyciu formalnie uzyskanych macierzy modelu dyskretnego zaleca się stosować przybliżony sposób transformacji opisu modelu ciągłego w dyskretny polegający na: Krok 1: zastąpieniu funkcji exp (A mc T p ) szeregiem funkcyjnym MacLaurina, Krok 2: zapisie macierzy A md i B md w postaci A md = i=0 A i mc T i i! p; B md = T p i=0 A i mc (i + 1)! T i pb mc (33) Krok 3: uwzględnieniu tylko kilku pierwszych (lub pierwszego) wyrazów tego rozwinięcia.

20 Równania stanu - dyskretyzacja modeli (uproszczenia) Postępowanie to odwołuje się do transformacji Tustina polegającej na ograniczeniu rozwinięcia potęgowego operatora s do jednego wyrazu przy wyznaczaniu transmitancji dyskretnej. Transformacja Tustina polega na aproksymacji Padé funkcji eksponencjalnej z = e st (34) Przekształcenie metodą Tustina polega na wykorzystaniu następujących podstawień przy transformacji z przestrzeni Laplace a do przestrzeni z : s = 2 T (z 1) (z + 1) (35)

21 Równania stanu - dyskretyzacja modeli (uproszczenia) Prawidłowość doboru okresu próbkowania i przeprowadzenia powyższej aproksymacji wynika z twierdzenia Kotielnikowa- Shannona, określającego pod jakim warunkiem z sygnału dyskretnego x(k) złożonego z próbek danego sygnału ciągłego x(t), można wiernie odtworzyć sygnał x(t). Częstotliwość próbkowania musi być większa niż dwukrotność najwyższej składowej częstotliwości w mierzonym sygnale. ω p = 2π T p ; ω p 2ω om (36) Taka aproksymacja znajduje swe uzasadnienie w stwierdzeniu skali różnic wartości pomiędzy pulsacją próbkowania ω p wynikająca z okresu T p a pulsacją ω om. Przy milisekundowym okresie próbkowania, np. Tp < 0, 8, 2 > ms, otrzymuje się pulsację próbkowania ω p < 7850, 3140 > rd/s która jest o rzędy wielkości większa od pulsacji drgań swobodnych ω om < 10, 60 > rd/s zachowań ruchowych (siłowych) napędu - takie częstotliwości charakteryzują nawet szybkie napędy pozycyjne.

22 Równania stanu - dyskretyzacja modeli (uproszczenia) Model z czasem ciągłym Ẋ (t) = X (t)+ 0 ωom 2 D m ω om y(t) = [1 0 0] x 1 (t) U(t) C ntm ωom 2 C ptm ωom 2 Doprowadzany jest przez usunięcie z zależności wyrazów z czynnikiem T p wyższym niż kwadratowy, do postaci modelu z czasem dyskretnym X (k+1) = 1 T p αt p βt p 0 2αβ 1 αt p 2β(1 β) X (k)+ 0 C m T p α 2C m αβ U(k) gdzie y(k) = [1 0 0] X (k) α = 1 2 ω2 omt p ; β = 1 D m ω om T p

23 Wykład 4 - Model w przestrzeni stanów Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015