0, co implikuje tezę. W interpretacji geometrycznej: musi istnieć punkt, w którym styczna ( f (c)

Transkrypt

1 RACHUNEK RÓŻNCZKOWY cd Twierdzeie Lagrage a: Jeżeli jest ciągła w [a,b], jest różiczkwala w a,b), t ca,b) : b)-a)= c) b-a) b) Dwód Wystarczy rzpatrzyć ukcję t) t) t a), t[a,b], która b a spełia załżeia twierdzeia Rlle a Stąd istieje ca,b) takie, że c) Stąd trzymujemy c) ' c) b), c implikuje tezę b a terpretacja i wiski W iterpretacji gemetryczej: musi istieć pukt, w którym stycza c) t współczyik b) kierukwy styczej) jest rówległa d sieczej t współczyik kierukwy b a sieczej) Z tw Lagrage a: x x) x ) c) x c x, x x},max{ x, x } mi{ x xa,b) x)= stała w a,b) xa,b) x)> rsąca w a,b) xa,b) x)< malejąca w a,b) Dwód x x x) x ) c) x x ) c ) zawsze b taki przypadek rzpatrujemy), x x z załżeia, a więc x ) x ), czyli rsąca Ekstrema ukcji Niech ukcja : Otx, ) x x) będzie kreśla a pewym tczeiu puktu x De Fukcja ma w pukcie x maksimum lkale właściwe jeżeli Sx,) : x Sx,) x)<x ) miimum lkale właściwe jeżeli Sx,) : x Sx,) x)>x )

2 maksimum lkale jeżeli Sx,) : x Sx,) x)x ) miimum lkale jeżeli Sx,) : x Sx,) x)x ) WK istieia ekstremum tw Fermata) Jeżeli ma w pukcie x ekstremum jest różiczkwala w x t x )= x) x Dw dla miimum) x x jedya mżliwa t ) dla dla x x x x ale graica istieje i jest a tylk jeda, czyli Uwaga Fukcja mże mieć ekstremum jedyie w puktach w których pchda zeruje się lub ie istieje WW istieia ekstremum Jeżeli jest ciągła w pukcie x jest różiczkwala w Sx,) x)< dla xx -, x ) [ x)> dla xx -, x )] x)> dla xx, x +) [ x)< dla xx, x +)] t ma w pukcie x miimum [maksimum] lkale właściwe Dwód dla miimum)niech x Sx,) Z tw Lagrage,a x Sx,) x)-x )= x +x-x )) x-x )>,,) b x +x-x )) i x-x ) są teg sameg zaku Twierdzeie i wzór Taylra- ugólieie twierdzeia Lagrage a Niech zacza przedział dmkięty kńcach x i x tz =[mi{x,x}, max{x,x}] Twierdzeie Taylra Jeżeli : R ma ciągłe pchde d rzędu - w ma pchdą rzędu we wętrzu it ) t cit takie, że ' x ) '' x ) x) x ) x x ) x x!! ) x x )! ) x x! ) P x) ) x ) ) c) r x) Dw Rzważmy ukcję pmciczą : R pstaci t ) t) P t) M t x ) x) P x) Dbieramy tak M, żeby x), czyli M Widać, że także x ) x x ) Fukcja spełia a przedziale załżeia twierdzeia Rlle a, czyli : c it c )

3 Fukcja spełia a przedziale x, c }, max{ x, } mi{ c załżeia twierdzeia Rlle a, czyli : c it c ) Pwtarzamy rzumwaie razy: c it : c ) ) ) ) c) Ozaczając c=c it mamy t) x) M! i c) M! ) x) P x) c) Otrzymaliśmy więc dwa wzry a M Prówując stąd teza x x )! Zapis różiczkwy wzru Taylra ) ) x) x ) d x, x x ) d x, x x ) d c, x x )! )!! ) Przykład Napisać wzór Taylra dla ukcji x) = l x przyjmując x = i =3 3 x ) x ) 3c l x x 3 Uwaga Dla x = wzór Taylra si azwę wzru Maclauria : R R C - zbiór ukcji -krtie różiczkwalych w spsób ciągły a przedziale Tw: C -ta pchda ) jest ciągła a C - zbiór ukcji ciągłych a przedziale C C C waruek wystarczający istieia ekstremum) C Ot x, ) k ) x ) dla k,,, ma w p x miimum maksimum) lkale właściwe ) x ) Dw: dla miimum) z wzru Taylra: c) x) x )! ) Z tw lkalym zachwaiu zaku c) ) ) x x ) raz x x ), czyli x x x) x ), c zacza, że ma w p x miimum lkale właściwe ) Dla maksimum aalgiczie c) ) Ekstrema glbale : R D R De: Fukcja ma w x D miimum glbale właściwe x x) x ) Fukcja ma w Fukcja ma w Fukcja ma w D xx D xx x D miimum glbale x x) x ) x D maksimum glbale właściwe x x) x ) x D maksimum glbale x x) x ) D xx D xx 3

4 Algrytm szukaia ekstremów glbalych ukcji ciągłej a zbirze dmkiętym i graiczym a więc zwartym) º Szukamy puktów krytyczych we wętrzu D x ) -ie istieje), º Sprawdzamy wartści ukcji a brzegu D, 3º Obliczamy wartści ukcji w tych puktach i prówujemy Asymptty De Prsta x x jest asympttą piwa lewstrą ukcji lim x) De Prsta xx Prsta x x jest asympttą piwa prawstrą ukcji lim x) Prsta x x jest asympttą piwa bustrą ukcji lim x) i lim x) mgą być róże) Prsta xx xx xx y ax b jest asympttą ukśą lewstrą ukcji lim x) ax b x y ax b jest asympttą ukśą prawstrą ukcji lim x) ax b Pwyższe deiicje mża ugólić De Fukcja x) x g jest asympttą prawstrą ukcji lim x) g x) x Tw Jeżeli prsta y ax b jest asympttą ukśą lewstrą ukcji, t x) a lim, b lim x x) ax, a,b graice skńcze x x Dwód bezpśredi z deiicji - jak ćwiczeie Wypukłść ukcji : R R, przedział De Fukcję : R azywamy wypukłą w gdy ) x x t[,] t) x tx t) x) t x) wykres jest piżej sieczej), Jeżeli ) zastąpimy warukiem t) x tx ) t) x ) t x ) x, x t,), t azywamy ściśle wypukłą w aczej 4

5 ) x x x ) x ) x, x, Jeszcze iaczej ) x ar x : x) a x x ) x ) w każdym pukcie istieje prsta pdpierająca) C Tw x - ściśle wypukła Tw C x - wypukła Dwód Natychmiastwy z wzru Taylra De Fukcja : R jest wklęsła ukcja ) jest wypukła Tw: C x - ściśle wklęsła Pukt przegięcia De Pukt x ) P azywamy puktem przegięcia ukcji y x) jeżeli ukcja jest, x x ma styczą w pukcie x ) różiczkwala w pukcie wypukła w pewym lewstrym sąsiedztwie x wklęsła w prawstrym lub a dwrót P ), x terpretacja W pukcie przegięcia wykres ukcji przechdzi z jedej stry styczej a drugą Tw i ma w pukcie x pukt przegięcia ) x ) C Puktów przegięcia szukamy więc wśród puktów, w których druga pchda zika lub ie istieje 5