Stacjonarny rachunek zaburzeń

Transkrypt

1 Stacjoary rachuek zaburzeń 231 Rozdział 19 Stacjoary rachuek zaburzeń 19.1 Istota problemu W wielu praktyczych problemach i obliczeiach kwatowo-mechaiczych musimy rozwiązywać stacjoare rówaie Schrödigera H ψ = E ψ, (19.1) lecz ie umiemy tego zrobić. Przedstawimy więc metodę przybliżoą dla przypadku, w którym hamiltoia H moża zapisać w postaci H = H 0 + V, (19.2) przy czym spełioe są astępujące założeia. Zarówo H 0 jak i V ie zależą od czasu, to zaczy t H 0 = t V = 0. (19.3) Sytuacją, w której pojawia się jawa zależość od czasu zajmiemy się oddzielie, kostruując tzw. rachuek zaburzeń z czasem (zależy od czasu). Część hamiltoiau V azwiemy oddziaływaiem lub zaburzeiem. Przyjmiemy, że elemety macierzowe V są małe w porówaiu z odpowiedimi elemetami dla operatora H 0 zwaego hamiltoiaem iezaburzoym. Waruek te uściślimy zresztą dalej. Iymi słowy, przyjmujemy że eergie związae z oboma człoami hamiltoiau spełiają oszacowaie E H0 E V, (19.4) co jeszcze doprecyzujemy. Waruek te pozwala uzasadić, że oddziaływaie V jest tylko małym zaburzeiem w stosuku do człou główego, którym jest H 0. Powyższe założeie pozwala am apisać V = λw, (19.5) gdzie λ jest małym, lecz dowolym, parametrem pomociczym. W praktyce oddziaływaie V często zawiera mały parametr. Natomiast operator W ma już elemety macierzowe (eergie wartości oczekiwae) tego samego rzędu co hamiltoia iezaburzoy H 0. Założymy, że zamy (potrafimy rozwiązać) problem własy dla hamiltoiau iezaburzoego. Przyjmiemy, że H 0 ma dyskrete widmo { E }, oraz stay włase { ϕ i }, gdzie ideks S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 231

2 Stacjoary rachuek zaburzeń 232 umeruje poziomy eergetycze, zaś ideks i stay zdegeerowae, tj. wszystkie róże stay, które odpowiadają jedej i tej samej eergii E. A więc mamy H 0 ϕ i = E ϕi. (19.6) Odotujmy, że ideks może odpowiadać jedej liczbie kwatowej umerującej stay, lub też pewemu zbiorowi liczb kwatowych (a więc może być tzw. multiideksem). Podobie ideks i, dla określoego ideks i ma g różych wartości, czyli tyle ile wyosi krotość degeeracja poziomu eergetyczego E. Zgodie z ogólymi zasadami wiemy, że stay włase { ϕ i } posiadają iezbęde własości, tz. tworzą bazę w rozważaej przestrzei staów i spełiają waruki ortoormalości i zupełości ϕ i ϕ j m = δ ij δ m, g ϕ i ϕ i = ˆ1. (19.7) Zapiszmy peły hamiltoia w postaci H = H(λ) = H 0 + λw, (19.8) i przedyskutujmy w skrócie jego własości. Dla hamiltoiau (19.8) możemy oczekiwać, że jego stay i wartości włase jakoś będą zależeć od parametru λ. Wobec tego zagadieie włase (19.1) zapiszemy w postaci H(λ) ψ(λ) = E(λ) ψ(λ). (19.9) Oczywiście gdy λ 0 to H(λ) = H 0, a więc problem z oddziaływaiem redukuje się do problemu iezaburzoego, tz., do rówaia (19.6). Wobec tego, oczekujemy, że dla λ 0 E(λ) E, ψ(λ) ϕ i. (19.10) Rys. 19.1: Eergie zaburzoe w fukcji parametru λ. Schematyczy rysuek ilustruje przykład rozważaej sytuacji. Gdy λ = 0 (brak zaburzeia) kolejym eergiom E odpowiadają iezaburzoe stay włase hamiltoiau H 0. Eergie E 1 i E 2 są iezdegeerowae, E 3 jest zdegeerowaa trzykrotie, zaś E 4 dwukrotie. Zaburzeie (gdy λ > 0) zmieia wartości eergii (hamiltoiaem jest już H(λ), a ie H 0 ), a także częściowo usuwa degeerację. Zaburzoa eergia E 3 ulega rozszczepieiu a trzy podpoziomy i degeeracja zostaje usuięta. Natomiast w przypadku E 4 zaburzeie degeeracji ie usuwa. Zwróćmy uwagę, że dla pewych wartości zaburzeia może się pojawić dodatkowa degeeracja. Tak dzieje się dla λ = λ 1. Tak więc problem asz polega a zalezieiu (choćby przybliżoych) rozwiązań pełego zagadieia własego (19.9) dla hamiltoiau H(λ) a podstawie zaych rozwiązań dla hamiltoiau iezaburzoego. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 232

3 Stacjoary rachuek zaburzeń 233 Jedą z metod poszukiwaia przybliżoych rozwiązań zagadieia własego (19.9) moża zapropoować w astępujący sposób. Przyjmijmy, że poszukiwae eergie i stay włase moża rozwiąć w szeregi względem parametru λ: E(λ) = ε + λ 1 ε (1) + λ 2 ε (2) + λ 3 ε (3) +, (19.11a) ψ(λ) = φ + λ 1 φ (1) + λ 2 φ (2) + λ 3 φ (3) +, (19.11b) gdzie współczyiki ε (k) oraz φ (k) ie zależą od parametru λ. Celem poszukiwaego przybliżeia jest wyliczeiu poprawek choćby tylko kilku wyrazów rozwiięć. Tu jedak powstaje pewa trudość. A miaowicie asz problem może charakteryzować się degeeracją. Jeśli E(λ) przy λ 0 dąży do poziomu zdegeerowaego o eergii E, to któremu spośród staów ϕ i odpowiada sta φ, do którego w myśl rozwiięcia (19.11b) zbiega ψ(λ). Ze względu a tę trudość rozważymy oddzielie ajpierw przypadek bez degeeracji, a potem przypadek zdegeeroway Rachuek zaburzeń dla stau iezdegeerowaego Wprowadzeie Rozważamy teraz astępującą sytuację. Sta ϕ jest jedym ze staów własych iezaburzoego hamiltoiau H 0. Odpowiada o eergii E i jest iezdegeeroway (dlatego ie ma górego ideksu). A zatem piszemy H 0 ϕ = E ϕ. (19.12) Jak zmiei się eergia E oraz sta własy ϕ pod wpływem zaburzeia V = λw. Szukamy rozwiązań dla pełego zagadieia własego [ H0 + λw ] ψ (λ) = E (λ) ψ (λ), (19.13) takich, że dla λ 0 zachodzi E (λ) E, ψ (λ) ϕ. (19.14) Tak jak to ogólie omawialiśmy, szukamy rozwiązań rówaia zaburzoego (19.13) w postaci rozwiięć w szereg względem parametru λ, przy czym teraz jawie zazaczamy (za pomocą dolego ideksu ), że szukamy poprawek do eergii i wektora stau określoego przez rówaie włase (19.12). Aalogiczie do rozwiięć (19.11) mamy teraz E (λ) = ε + λ 1 ε (1) + λ 2 ε (2) + λ 3 ε (3) +, (19.15a) ψ (λ) = φ + λ 1 φ (1) + λ 2 φ (2) + λ 3 φ (3) +. (19.15b) A priori ket φ ie musi być rówy rozwiązaiu iezaburzoemu ϕ. Jedak ze względu a relację (19.14) oczywiste jest, że dla λ 0 mamy ψ (λ) φ = ϕ. (19.16) W aalogiczy sposób oczywiste jest, że ε z (19.12) E (λ) ε w (19.15a) odpowiada iezaburzoej eergii własej = E. (19.17) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 233

4 Stacjoary rachuek zaburzeń 234 czyli iezaburzoej eergii własej z (19.12). Należy tutaj podkreślić, że w rozwiięciach (19.15) traktujemy wielkości ε (k), oraz φ (k) dla k 1 jako poprawki, które po pomożeiu przez odpowiedie potęgi parametru λ są małe. Taka iterpretacja wymagać więc będzie przyajmiej jakiegoś uzasadieia. Pojawia się tu też problem czy szeregi (19.11) są zbieże. Do dyskusji tych problemów wrócimy a zakończeie. Na razie przyjmujemy, że dalsze kroki są sesowe i uzasadioe. Zwróćmy jeszcze uwagę, że rówaie (19.13) określa ψ(λ) z dokładością do czyika fazowego. Aby określić te czyik zażądamy, aby poprawki φ (k) dla k 1 były ortogoale do rozwiązaia iezaburzoego φ = ϕ. A więc mamy waruek φ φ(k) = ϕ φ (k) = δ 0k, k 0, (19.18) co, wobec (19.16), od razu uwzględia ormowaie stau iezaburzoego. Waruek (19.18) moża też wprowadzić iaczej. A miaowicie zażądajmy, aby rzut stau zaburzoego a sta iezaburzoy był uormoway do jedyki. Odpowiada to żądaiu spełieia relacji ϕ ψ (λ) = 1. (19.19) Podstawiając rozwiięcie (19.15b) otrzymujemy 1 = ϕ φ + λ1 ϕ φ (1) + λ2 ϕ φ (2) + λ3 ϕ φ (3) +, (19.20) co musi być spełioe dla dowolego λ. A więc pierwszy czło jest jedyką ϕ φ = 1, a astępe człoy muszą zikać ϕ φ (k) = 0 dla k 1. Zatem waruek (19.19) prowadzi do tego samego rezultatu co bezpośredio arzucoa relacja (19.18). Wioskujemy więc, że waruki (19.18) i (19.19) są sobie rówoważe Formalizm matematyczy Bierzemy rówaie (19.13) i podstawiamy rozwiięcia (19.15). Otrzymujemy ( H0 + λw )[ φ + λ 1 φ (1) + λ 2 φ (2) + ] = ( ε + λ1 ε (1) + λ2 ε (2) + )[ φ + λ1 φ (1) + λ2 φ (2) + ]. (19.21) W dalszym ciągu aszych obliczeń będziemy a ogół ograiczać się do wyrazów co ajwyżej rzędu λ 2 (przypomiamy, że traktujemy λ jako mały parametr). Wobec tego wymażając powyższe rozwiięcie dostajemy z dokładością do λ 2 : H 0 φ + λ1 H 0 φ (1) + λ2 H 0 φ (2) + λ1 W φ + λ2 W φ (1) = = ε φ + λ 1 ε φ (1) + λ 2 ε φ (2) +λ 1 ε (1) φ + λ 2 ε (1) φ (1) + λ 2 ε (2) φ. (19.22) Wyrazy pomiięte zarówo po lewej jak i po prawej stroie powyższego rówaia zawierają parametr λ co ajmiej w trzeciej potędze. Następie po obu stroach rówaia (19.22) porządkujemy wyrazy przy jedakowych potęgach λ. H 0 φ + λ1[ H 0 φ (1) + W φ ] + λ 2[ H 0 φ (2) + W φ(1) ] = ε φ + λ 1[ ε φ (1) + ε (1) φ ] + λ 2[ ε φ(2) + ε(1) φ(1) + ε(2) φ ]. (19.23) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 234

5 Stacjoary rachuek zaburzeń 235 Rozwiięcia względem parametru λ muszą mieć rówe współczyiki przy tych samych potęgach λ. A więc z (19.23) wyika ciąg rówań λ 0 : H 0 φ = ε φ, λ 1 : H 0 φ (1) + W φ = ε φ(1) + ε(1) φ λ 2 : H 0 φ (2) + W φ (1) = ε φ (2) + ε (1) φ (1) + ε (2) φ., (19.24) Oczywiście możemy dalej kostruować aalogicze rówaia (dla wyższych potęg parametru λ), lecz w praktyczych zastosowaiach ograiczeie się do powyższych człoów jest ajzupełiej wystarczające. Zapiszmy jeszcze układ rówań (19.24) w postaci wygodej do dalszych obliczeń ( H0 ε ) φ = 0, (19.25a) ( H0 ε ) φ (1) ( H0 ε ) φ (2) + ( W ε (1) + ( W ε (1) ) φ = 0, (19.25b) ) φ (1) ε (2) φ = 0. (19.25c) Od razu zauważamy, że wobec (19.16) i (19.17) rówaie odpowiadające człoowi rozwiięcia z dokładością do λ 0 odpowiada rówaiu iezaburzoemu (19.6), a więc ie wosi ic przydatego do obliczeń poprawek. Nietrudo jest uogólić asze rozważaia i wypisać rówaie rzędu k (tj. odpowiadające wyrazom przy λ k ). Zawiera oo poprawki do rzędu k włączie i ma postać ( H0 ε ) φ (k) + ( W ε (1) ε (2) φ(k 2) ε (3) ) φ (k 1) φ(k 3) ε (k) φ = 0. (19.26) Zwróćmy uwagę, że w każdym ze składików tego rówaia suma górych ideksów umerujących rzędy poprawek zawsze wyosi k. Cecha ta przysługuje także dalszym relacjom wyprowadzoym ze wzoru (19.26). Dlatego też jest pomoca przy sprawdzaiu poprawości kolejych kroków aszego wyprowadzeia. Oczywiście rówaia (19.25) staowią szczególe przypadki wzoru (19.26), odpowiedio dla k = 0, k = 1 oraz dla k = 2. Rówaia (19.26) wraz z warukiem ortogoalości (19.18) lub (19.19) odgrywać będą zasadiczą rolę w dalszych obliczeiach prowadzących do wyrażeń dla kilku pierwszych poprawek ε (k) do eergii, a także poprawek φ (k) do wektora stau. Dalej prowadząc asze rozważaia, przypomijmy, iż przybliżeie rzędu zerowego φ = ϕ, oraz ε = E, (19.27) jest już am zae (por. (19.16) i (19.17)). Natomiast poprawki φ (k) dla k 1 możemy rozłożyć w bazie wektorów { ϕ j m }, bowiem są to (z założeia) stay włase iezaburzoego hamiltoiau H 0, które tworzą bazę w przestrzei staów. A więc mamy φ (k) = m ϕ j m ϕj m φ(k), (19.28) gdzie pomięliśmy w sumie czło m =, który ze względu a relację ortogoalości (19.18) i tak ie daje wkładu. Stay ϕ j m przy m mogą być zdegeerowae, z czego zdaje sprawę góry ideks. Stwierdzamy, że wyzaczeie poprawek φ (k) do wektora stau ϕ sprowadza się do obliczeia współczyików ϕ j m φ(k) w rozkładzie (19.28) dla ideksów m. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 235

6 Stacjoary rachuek zaburzeń 236 Dalszą aalizę problemu opieramy a rówaiu (19.26). Pomóżmy to rówaie lewostroie przez ϕ i m. Otrzymamy wtedy ϕ i m ( H 0 ε ) φ (k) + ϕi m ( W ε (1) ) φ (k 1) ε (2) ϕ j m φ (k 2) ε (3) ϕ i m φ (k 3) ε (k) ϕ i m φ = 0. (19.29) Poieważ hamiltoia iezaburzoy H 0 jest hermitowski, a ϕ j m jest sprzężeiem stau własego odpowiadającego eergii E m, więc dostajemy ( E m E ) ϕ i m φ (k) + ϕi m W φ(k 1) ε (1) ϕ i m φ (k 1) ε (2) Wygodie jest zapisać powyższą formułę w postaci ( E m ) E ϕ i m φ (k) = ϕi m W φ(k 1) + ϕ i m φ (k 2) ε (k) ϕ i m φ = 0. (19.30) k p=1 ε (p) ϕi m φ(k p). (19.31) Zauważmy, że w sumie każdy ze składików ma góre ideksy dodające się do k (tak jak to być powio), bowiem po lewej stroie rówaia występuje współczyik ϕ i m φ(k) obliczay w k-tym rzędzie. Zbadajmy teraz rówaie (19.31) dla dwóch przypadków m = oraz m. W pierwszym przypadku, to jest dla m =, mamy oczywiście ϕ i m = ϕ (ideks i staje się zbyteczy, bo z założeia badamy poziom iezdegeeroway). Czło zawierający różicę eergii zika, zatem z (19.31) mamy ϕ W φ (k 1) = k p=1 ε (p) ϕ φ (k p). (19.32) Ze względu a wybray waruek (19.18) widzimy, że za wyjątkiem człou k = p, wszystkie pozostałe składiki sumy zikają. Otrzymujemy zatem ϕ W φ (k 1) = ε (k) ϕ φ. (19.33) Poieważ φ zatem = ϕ (por. (19.27)) więc iloczy skalary po prawej, to po prostu jedyka. A ε (k) = ϕ W φ (k 1). (19.34) A więc do obliczeia poprawki ε (k) rzędu k do eergii stau iezdegeerowaego potrzebujemy poprawki rzędu (k 1)-szego do wektora stau. Fakt, że poprawka k-tego rzędu do eergii wyraża się poprzez poprawki do wektora stau w rzędzie o jede iższym ma, jak widać, ogóly charakter. Z tego też względu w praktyczych problemach poprawki do wektora stau obliczamy zazwyczaj w rzędzie o jede iższym iż poprawki do eergii. Zobaczmy teraz jak obliczyć poprawki do wektora stau. W tym celu trzeba skorzystać ze wzoru (19.28), a więc obliczyć współczyiki ϕ i m φ (k) przy m. Aby tego dokoać posłużymy się poowie rówaiem (19.31), z którego wyika ϕ i m φ(k) = ϕi m W φ (k 1) E m E + k p=1 ε (p) E m E ϕ i m φ(k p). (19.35) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 236

7 Stacjoary rachuek zaburzeń 237 Ostati czło sumy (w którym p = k) zawiera czyik ϕ i m φ. Na mocy relacji (19.27) φ = ϕ, zaś powstały tak czyik (iloczy skalary) ϕ i m ϕ = 0. co wyika to z (19.7), poieważ tutaj m. A więc suma w (19.35) przebiega efektywie do k 1, czyli mamy ϕ i m φ(k) = ϕi m W φ (k 1) E m E + k 1 p=1 ε (p) E m E ϕ i m φ(k p). (19.36) Widzimy więc, że do obliczeia współczyików ϕ i m φ (k) określających według wzoru (19.28) poprawkę rzędu k do wektora stau potrzebujemy poprawek iższych rzędów. Obliczając te współczyiki według powyższego wzoru, podstawiamy je astępie do wzoru (19.28) i w te sposób zajdujemy poprawki φ (k) do wektora stau w postaci φ (k) = m ϕ j m ϕ j m W φ (k 1) E m E k 1 p=1 ε (p) E m E ϕ j m φ(k p). (19.37) Ogóle rówaia (19.34) oraz (19.37) staowią zakończeie formalej aalizy problemu zaburzoego. Wskazują oe, że procedura obliczeń ma charakter sukcesywy. Poprawki rzędu zerowego zamy, (patrz rówaia (19.27)), są to po prostu wartości i stay włase dla zagadieia iezaburzoego. Za ich pomocą możemy zbudować poprawki pierwszego rzędu, astępie drugiego, i tak dalej. Zilustrujemy tę procedurę obliczając poprawki pierwszego i drugiego rzędu. Uwaga termiologicza Na zakończeie ogólych rozważań wyjaśijmy pewą kwestię termiologiczą. Obliczoe tutaj poprawki ε (k) oraz φ (k) są poprawkami w sesie rozwiięć (19.11) lub (19.15). Faktycze poprawki do eergii i wektora stau zajdziemy możąc ε (k) i φ (k) przez λ k. A zatem E (k) = λ k ε (k), ψ (k) = λ k φ (k). (19.38) Poprawki ε (k) Wymożeie jak w powyższych wzorach doprowadzi do tego, że końcowe wyiki dla poprawek oraz φ (k) zależą od elemetów macierzowych operatora W = V/λ (por. (19.5)). E (k) i ψ (k) ie będą zależeć od W lecz od V wyjściowego zaburzeia. Parametr λ zaś wszędzie się poskraca, w tym sesie jest to parametr pomociczy. Wtedy też eergia własa i sta własy pełego hamiltoiau wyrażą się przez szeregi E (λ) = E + E (1) + E (2) + E (3) +, (19.39a) ψ (λ) = ψ + ψ (1) + ψ (2) + ψ (3) +. (19.39b) przy czym ψ = ϕ co wyika z (19.16) i (19.38). Wyrazy szeregu zależą od wartości i staów własych hamiltoiau iezaburzoego oraz od operatora oddziaływaia V Poprawki pierwszego rzędu Poprawki pierwszego rzędu do eergii E i do wektora stau ϕ obliczamy ze wzorów (19.34) i (19.37) kładąc w ich k = 1. Dla eergii, z (19.34) otrzymujemy od razu ε (1) = ϕ W φ = ϕ W ϕ, (19.40) gdzie skorzystaliśmy z relacji (19.27). Możąc obie stroy przez λ i podstawiając W = V/λ, w myśl relacji (19.38) mamy E (1) = ϕ V ϕ. (19.41) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 237

8 Stacjoary rachuek zaburzeń 238 Poprawka 1-ego rzędu do eergii wyraża się więc przez elemet macierzowy operatora zaburzeia obliczoy a staach ϕ. Poprawka pierwszego rzędu do wektora stau wyika z (19.37), przy czym widzimy, że dla k = 1 suma po p ie daje wkładu. Wobec tego φ (1) = m ϕ j m ϕj m W φ E m E. (19.42) Korzystając z (19.27), możąc stroami przez λ i podstawiając W = V/λ, zgodie z (19.38) dostajemy poprawkę do wektora stau ψ (1) = m ϕ j m ϕj m V ϕ E m E. (19.43) Wobec tego, możemy dla iezaburzoego (iezdegeerowaego) stau ϕ i dla jego eergii E apisać wyrażeia "poprawioe" w pierwszym rzędzie rachuku zaburzeń E = E + ϕ V ϕ, (19.44a) ψ = ϕ m ϕ j m ϕj m V ϕ E m E. (19.44b) Oczywiście drugie człoy po prawej stroie powyższych rówań staowią poprawki pierwszego rzędu rachuku zaburzeń do wielkości iezaburzoych. Zwróćmy w tym miejscu uwagę a problem ormowaia. Z ortoormalości staów własych iezaburzoego hamiltoiau i ze wzoru (19.44b) łatwo obliczyć kwadrat ormy stau ψ zalezioego w pierwszym rzędzie rachuku zaburzeń ψ 2 = ψ ψ = 1 + m ϕ j m V ϕ 2 ( E m E ) 2, (19.45) bowiem człoy "mieszae" zikają, ze względu a relację ortoormalości (19.7). Widzimy więc, że "poprawioy" w pierwszym rzędzie sta własy pełego hamiltoiau jest ieuormoway. Oczywiście po obliczeiu ormy według powyższego wzoru ie ma żadego problemu w skostruowaiu stau uormowaego ψ ψ = ψ ψ. (19.46) Sta z "tyldą" jest w ewidety sposób uormoway, wobec tego moża się im posługiwać w różorakich obliczeiach (p. średich, czy też wartości oczekiwaych), w których iezbęda jest zajomość uormowaego stau własego pełego hamiltoiau (z dokładością do pierwszego rzędu rachuku zaburzeń). Dalszą dyskusję rozwiązań uzyskaych w pierwszym rzędzie rachuku zaburzeń, przeprowadzimy dalej, po wykoaiu obliczeń w rzędzie drugim Poprawki drugiego rzędu Poprawka do eergii w drugim rzędzie rachuku zaburzeń wyika poowie ze wzoru (19.34) wziętego tym razem dla k = 2. ε (2) = ϕ W φ (1), (19.47) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 238

9 Stacjoary rachuek zaburzeń 239 gdzie podstawiamy φ (1) ε (2) = m według wzoru (19.42). W rezultacie otrzymujemy ϕ W ϕ j m ϕj m W ϕ E m E = m ϕ W ϕ j m 2 E E m. (19.48) Możąc obie stroy przez λ 2 i zastępując W przez V/λ, w myśl (19.38) otrzymamy E (2) = m ϕ V ϕ j m 2 E E m. (19.49) Poprawka 2-ego rzędu do eergii stau iezdegeerowaego wyraża się przez kwadrat elemetu macierzowego operatora zaburzeia. Moża udowodić, że poprawki k-tego rzędu do eergii będą się wyrażać przez k-tą potęgę elemetu macierzowego zaburzeia V. Obliczeia poprawki drugiego rzędu do wektora stau są iestety ieco żmudiejsze. Ze wzoru (19.37), dla k = 2 widzimy, że suma ma jede składik. A więc mamy φ (2) = m ϕ j m { ϕj m W φ(1) E m E gdzie zów musimy podstawić φ (1) daą w (19.40). Uzyskujemy dość złożoy rezultat ε (1) φ (2) = m ϕ j m + ε (1) ϕ j m φ(1) E m E }, (19.50) poprawkę rzędu pierwszego daą w (19.42), oraz poprawkę g p p ϕ W ϕ ( E m E ) ϕ j m W ϕ i p ( E m E ) g p p ϕ j m ϕ i p ϕ i p W ϕ ( E p E ) ϕ i p W ϕ ( E p E ). (19.51) Z relacji ortoormalości (19.7) wyika, że w drugiej liii mamy ϕ j m ϕi p = δ mpδ ij, a więc zostaje z iej tylko jede czło. Wobec tego dostajemy φ (2) = m ϕ j m ϕ W ϕ ϕ j m W ϕ ( E m E ) 2 + p g p ϕ j m W ϕ i p ( E m E ) ϕ i p W ϕ ( E p E ). (19.52) Oczywiście, zgodie z (19.38) możąc stroami przez λ 2 i zastępując W = V/λ, otrzymamy poprawkę drugiego rzędu do wektora stau w postaci ψ (2) = m ϕ j m ϕj m V ϕ ϕ V ϕ ( E m E ) 2 + p g p ϕ j m V ϕ i p ( E m E ) ϕ i p V ϕ ( E p E ). (19.53) Formuła ta, choć poprawa, ze względu a swoją złożoość jest w praktyce rzadko stosowaa (chyba że w obliczeiach umeryczych). S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 239

10 Stacjoary rachuek zaburzeń 240 Teraz możemy wypisać eergię i wektor stau "poprawioe" w drugim rzędzie rachuku zaburzeń. Formuły (19.44) uzupełiamy poprawkami drugiego rzędu (19.49) i (19.53) i otrzymujemy ϕ V ϕ j m 2 E = E + ϕ V ϕ + m E E m, (19.54) oraz wektor stau ψ = ϕ + m ϕ j m ϕj m V ϕ E m E ϕj m V ϕ ϕ V ϕ ( E m E ) 2 + g p ϕ j m V ϕ i p ϕ i p V ϕ ( p E m E )( E p E ). (19.55) Poowie wróćmy do problemu ormowaia. Struktura stau własego hamiltoiau zaburzoego w drugim rzędzie jest podoba jak w rzędzie pierwszym (por. rówaie (19.44b)). Z (19.55) mamy bowiem ψ (λ) = ϕ + m ϕ i m Ai m, (19.56) gdzie współczyik A i m jest po prostu wyrażeiem w awiasie klamrowym po prawej stroie wzoru (19.55). Z ortoormalości iezaburzoych staów własych wyika ψ (λ) 2 = ψ (λ) ψ (λ) = 1 + m A i m 2, (19.57) przy czym każdy ze składików A i m 2 jest moco skomplikoway. Jedakże, podobie jak w rzędzie pierwszym, jeśli chcemy wykoywać praktycze obliczeia średich (wartości oczekiwaych) to iestety, mimo żmudości rachuków, musimy przeprowadzić ormowaie. Nie jest to trude, choć techiczie złożoe. Na tym kończymy kokrete obliczeia poprawek do eergii i wektora stau zaburzoego zagadieia własego (19.13). Obliczeń w trzecim rzędzie rachuku zaburzeń już ie prowadzimy Dyskusja uzyskaych rezultatów Rozważmy przede wszystkim poprawkę drugiego rzędu do eergii, daą w (19.49), lub jako trzeci czło po prawej stroie wzoru (19.54) E (2) = ϕ V ϕ j m 2 m E E m. (19.58) Na wstępie wspomialiśmy, że oddziaływaie ma być małe. Możemy teraz ieco dokładiej sformułować to żądaie. Z powyższego wzoru jaso widać, że poprawka będzie mała, jeśli tylko elemety macierzowe oddziaływaia będą małe w porówaiu z różicami eergii charakteryzującymi układ iezaburzoy. Aalizując rówaia (19.34) i (19.37) oża łatwo stwierdzić, że poprawki wyższych rzędów będą mieć strukturę matematyczą podobą do E (2), tz. będą ilorazami elemetów macierzowych oddziaływaia przez "miaowiki eergetycze". A więc przy spełieiu waruku ϕ V ϕ i m E E m, (19.59) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 240

11 Stacjoary rachuek zaburzeń 241 moża mieć adzieję, że szeregi perturbacyje (19.11) lub (19.15) będą zbieże. Ścisłe zbadaie zbieżości jest ogromie trude. Okazuje się, że waruek typu (19.59) a ogół wystarczy jedyie do zapewieia tzw. zbieżości asymptotyczej. Nie będziemy wchodzić w iuase matematycze. Zadowolimy się stwierdzeiem, że przy spełieiu waruku (19.59) przyajmiej kilka pierwszych rzędów rachuku zaburzeń daje doskoałe przybliżeia rzeczywistych (eksperymetalie mierzoych) wartości. Zwróćmy uwagę, że im miejsza jest różica eergii E E m, tym większe są poprawki w drugim rzędzie. Jeżeli poadto E > E m to poprawka jest dodatia. Więc E E + E (2) wzrasta. Co więcej, poprawka rośie, gdy eergia E m zbliża się do E (od dołu, bo jest miejsza iż E ). A więc w miarę zbliżaia się E m do E (od dołu) poprawka rośie podosząc E, tym samym (przyajmiej częściowo) iwelując wzrost E m. Możemy zatem powiedzieć, że oddziaływaie V sprawia, iż poziomy się "odpychają". Aalogicze "odpychaie" ma miejsce, gdy E < E m i poziom E m zbliża się do E od góry. Spróbujmy teraz dokoać oszacowaia poprawki E (2) wartość ajmiejszej z różic E E m, czyli więc E E. Niech E ozacza bezwzględą E m. (19.60) Zastępując w (19.58) miaowiki czymś miejszym ułamek powiększamy, a więc mamy oszacowaie E (2) = 1 E m ϕ V ϕ j m ϕj m V ϕ. (19.61) Gdyby w sumie ie brakowało człou zawierającego operator rzutowy ϕ ϕ, (w którym ie ma ideksu i, bo jest to poziom iezdegeeroway), to mielibyśmy w środku relację zupełości (19.7). Możemy jedak dodać i odjąć czło ϕ V ϕ ϕ V ϕ. Grupując jede z ich wraz z pozostałą sumą, korzystamy z relacji zupełości. W te sposób z relacji (19.61) otrzymujemy E (2) 1 [ ϕ E V 2 ϕ ϕ V ϕ 2] 1 [ = V 2 E V 2 ]. (19.62) Rozpozajemy kwadrat dyspersji oddziaływaia V w staie iezaburzoym E (2) σ2 (V ) E. (19.63) Uzyskae oszacowaie pozwala am iaczej sformułować waruek małości zaburzeia. Uzajemy, że rachuek zaburzeń jest stosowaly (daje dobre wyiki) gdy dyspersja oddziaływaia jest mała w porówaiu z różicami eergii charakteryzującymi układ iezaburzoy Rachuek zaburzeń dla stau iezdegeerowaego. Podsumowaie Szukamy przybliżoego rozwiązaia zagadieia własego H ψ = ( H 0 + V ) ψ, (19.64) którego ie umiemy (ie możemy) rozwiązać w sposób ścisły. Zakładamy, że przy braku zaburzeia, rozwiązaia zagadieia własego iezaburzoego H 0 ϕ i m = E m ϕi m, (19.65) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 241

12 Stacjoary rachuek zaburzeń 242 zamy. Mają oe wszelkie iezbęde własości (ortoormalość, zupełość, itp.). Rozwiązaia problemu zaburzoego (19.64) poszukujemy w postaci rozwiięć (szeregów perturbacyjych) E = E ψ = ψ + E(1) + ψ(1) + E(2) + E(3) + ψ(2) +, (19.66a) + ψ(3) +. (19.66b) Szukamy poprawek do eergii E, o której zakładamy, że jest iezdegeerowaa. Odpowiada jej jede i tylko jede wektor stau ϕ, (ideks i ozaczający degeerację pomijamy, bo jest o tu zbyteczy). W rzędzie zerowym rachuku zaburzeń rozwiązaiami są po prostu rozwiązaia iezaburzoe E oraz ψ = ϕ. W pierwszym rzędzie rachuku zaburzeń poprawki wyrażają się wzorami E (1) = ϕ V ϕ, (19.67a) ψ (1) = ϕ i m ϕi m V ϕ m E m E. (19.67b) Poprawki w drugim rzędzie rachuku zaburzeń dae są wzorami E (2) = ϕ V ϕ i m 2 m E E m, (19.68a) ψ (2) = ϕ i m ϕi m V ϕ ϕ V ϕ ( m E m E ) 2 + g p ϕ i m V ϕj p ϕj p V ϕ ( p E m E ) ( E p E ). (19.68b) W praktyce a ogół ograiczamy się do drugiego rzędu przy obliczeiach eergii, i do pierwszego rzędu przy obliczeiach wektora falowego Przypomiamy, że wektor stau ψ obliczoy czy to w pierwszym, czy w drugim rzędzie jest ieuormoway. Jeżeli chcemy obliczać średie (lub wartości oczekiwae) to ależy przeprowadzić ormowaie. Nie jest to trude, choć bywa techiczie żmude i skomplikowae Rachuek zaburzeń dla stau zdegeerowaego Wprowadzeie W poprzedim podrozdziale badaliśmy wpływ oddziaływaia zaburzeia a sta własy hamiltoiau iezaburzoego H 0. Zakładaliśmy przy tym, że sta te (ozaczaliśmy go przez ϕ ) był iezdegeeroway, tz., że był jedyym staem odpowiadającym eergii E. Dopuszczaliśmy jedak możliwość, że ie stay (odpowiadające eergiom E m, (m ) mogły być zdegeerowae. Zów rozpatrujemy problem zaburzoy, tj. hamiltoia (19.8). Tym razem jedak do dalszej aalizy wybieramy spośród staów własych hamiltoiau H 0 poziom eergetyczy o eergii, który jest zdegeeroway. Poziomowi temu odpowiadają stay włase E ϕ i, gdzie i = 1, 2, 3,..., g, (19.69) przy czym g > 1 jest krotością degeeracji rozważaego poziomu. Tak więc poziomowi E odpowiada podprzestrzeń staów H o wymiarze dim H = g. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 242

13 Stacjoary rachuek zaburzeń 243 Oczekujemy, że zaburzeie częściowo (lub awet całkowicie) usuie degeerację. Ozaczymy więc przez E a (λ) eergie wartości włase pełego hamiltoiau H(λ), które mają własości E a (λ) E b (λ) gdy a b, E a (λ) E dla każdego a, gdy λ 0. (19.70) Zakładamy więc, że pod wpływem zaburzeia poziom E zostaie rozszczepioy a podpoziomy o eergiach E a (λ), umerowae przez dodatkowy ideks a przebiegający zbiór a = 1, 2, 3,..., A, przy czym oczywiście A g. Każdy spośród omawiaych podpoziomów może adal być zdegeeroway. Krotość degeeracji podpoziomu o umerze a ozaczymy przez g a. Spełioy musi być waruek A a=1 g a = g. Jeśli A = g to wszystkie g a = 1, i degeeracja jest wtedy całkowicie usuięta. Rozwiązań zagadieia własego dla pełego hamiltoiau (19.8) szukamy w postaci ψ = ψ(λ) = ψ a (λ) (19.71) Trudość jaka się tu pojawia polega a tym, że ie wiadomo do czego powiy zbiegać kety ψ a (λ) przy λ 0. Wyika to stąd, że dowola kombiacja liiowa g α i ϕ i jest wektorem własym iezaburzoego hamiltoiau H 0 odpowiadającym eergii E. A więc do jakiej kombiacji takiego typu ma zbiegać ket ψ a (λ) ie wiadomo Formalizm rachuku zaburzeń z degeeracją Aalizujemy problem podobie jak poprzedio, tz., postulujemy rozwiięcia dla E a (λ) i dla ψ a (λ) w szereg względem parametru pomociczego λ. Postępowaie takie jest w pełej aalogii z rozwiięciami (19.15a) i (19.15b) dla przypadku bez degeeracji. Tym razem jedak wyrazy rozwiięć są opatrzoe dodatkowym ideksem a. A więc teraz piszemy E a (λ) = E + λ 1 ε (1) a + λ 2 ε (2) a +, ψ a (λ) = φ a + λ 1 φ (1) a + λ 2 φ (2) a +. (19.72a) (19.72b) W rozwiięciu dla eergii od razu położyliśmy czło zerowy ε a = E, co wyika z zastosowaia drugiej z relacji (19.70) do szeregu (19.72b). Ideksy a umerujące podpoziomy mogą przebiegać róże (coraz większe) zbiory wartości wraz ze wzrostem rzędu poprawek. Może się bowiem okazać, że w pierwszym rzędzie (tj. dla poprawek ε (1) a i φ (1) a ) degeeracja ie zostaie usuięta całkowicie. W astępym rzędzie może być oa zowu usuięta tylko częściowo. Więc dla wyższych rzędów zakres zmieości ideksu a może się powiększać. Fakt te prowadzi do zaczych komplikacji. Nie będziemy jedak tego tutaj badać. Ograiczymy się do poprawek co ajwyżej rzędu pierwszego. Omawiay problem częściowego usuwaia degeeracji przedyskutujemy dalej tylko w odiesieiu do rzędu zerowego i pierwszego. Zostawimy więc te problem poza aszymi rozważaiami, choć pamiętać ależy, że zakres a może zależeć od rzędu poprawek. Przy dyskusji przypadku bez degeeracji pomoca była relacja graicza (19.16). Jak wspomialiśmy wyżej, dla sytuacji z degeeracją ie mamy takiego przejścia graiczego. Zamiast tego przyjmiemy, że zerowy czło rozwiięcia (19.72b), do którego zbiega sta ψ a (λ) przy λ 0, wyraża się jako kombiacja liiowa (względem ideksu i) staów ϕ i odpowiadających iezaburzoej eergii E. Czyli szukamy uormowaego przybliżeia zerowego φ a w postaci φ a = g g C ai ϕ i, przy czym C ai 2 = 1. (19.73) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 243

14 Stacjoary rachuek zaburzeń 244 Zwracamy uwagę, że współczyiki C ai mogą (co zresztą wyraźie zazaczamy) zależeć od ideksu a, to zaczy, kombiacje liiowe (19.73) mogą być róże dla różych podpoziomów umerowaych przez ideks a. Oczywiście stoi przed ami problem wyzaczeia współczyików C ai kombiacji liiowej (19.73). Poadto chcemy, aby powyższa kombiacja liiowa była jedozacza (o ile to możliwe). Odotujmy fakt, że postulat (założeie) (19.73) sprawia, że stay φ a są automatyczie staami własymi hamiltoiau iezaburzoego. Istotie (por. (3.49)) H 0 φ a = g C ai H 0 ϕ i = g C ai E ϕ i = E φ a. (19.74) Rzeczywiście więc stay φ a, i to dla każdego a = 1, 2, 3,..., A, odpowiadają iezaburzoej eergii własej E. Jest to ituicyjie zgode z iterpretacją staów ψ a jako rozwiązań zerowego rzędu, tj. takich dla których λ = 0, a więc zaburzeie zika. Badając problem zaburzeia stau iezdegeerowaego posługiwaliśmy się warukiem ortogoalości (19.18) lub (19.19). Tutaj postępujemy podobie. Żądamy, aby spełioy był dodatkowy waruek φ a ψ a (λ) = 1. (19.75) Jeśli teraz podstawimy rozwiięcie (19.72b) zamiast keta ψ a (λ), to stwierdzimy, że waruek (19.75) pociąga za sobą φ a φ (k) a = 0, dla k 1, (19.76) czyli ortogoalość poprawek do przybliżeia zerowego. Jedak, ze względu a rozkład (19.73) waruek te ie ozacza, że poprawki są ortogoale do staów iezaburzoych ϕ i. Nie ma bowiem powodów, aby kombiacja liiowa (19.73) wstawioa do relacji (19.76) miała dawać zero. Dalsze obliczeia są w dużej mierze podoba do przypadku bez degeeracji. Rozwiięcia (19.72) wstawiamy do zagadieia własego dla zaburzoego hamiltoiau (19.8). Krok te jest aalogiczy do sposobu, w jaki uzyskaliśmy rówaie (19.21). Jedya różica (jak dotąd) polega a obecości dodatkowych ideksów a zdających sprawę z dopuszczalej degeeracji. Uporządkowaie rozwiięć, a astępie przyrówaie wyrazów przy jedakowych potęgach parametru λ, prowadzi do rówań praktyczie takich samych jak rówaia (19.25). Nie ma więc potrzeby powtarzaia tej procedury. Postępowaie takie prowadzi teraz do układu rówań ( H0 E ) φ a = 0, (19.77a) ( H0 E a ) φ (1) a + ( W ε (1) ) a φ a = 0, (19.77b) Rówaie (19.72a) jest rówaiem własym (19.74), ie wosi oo żadych owych iformacji. Tu jedak kończą się aalogie z przypadkiem bez degeeracji. Przechodzimy do aalizy rówaia (19.77b). Przemóżmy je lewostroie przez bra ϕ i sprzężeie jedego spośród staów własych iezaburzoego hamiltoiau odpowiadających eergii E. W rezultacie otrzymujemy ϕ i ( H 0 E ) φ (1) a + ϕi ( W ε (1) a ) φ a = 0. (19.78) Pierwszy czło zika, bowiem ϕ i H 0 = E ϕ i (eergie w awiasie się zoszą). Zostaje więc am ϕ i ( W ε (1) ) a φ a = 0 (19.79) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 244

15 Stacjoary rachuek zaburzeń 245 Podstawiamy teraz kombiację liiową (19.73) zamiast keta ψ a. Dostajemy wtedy g ϕ i ( W ε (1) a ) ϕ j C aj = 0 (19.80) Rówaie (19.80) pełi kluczową rolę, więc dokładie je przeaalizujemy. Główym aszym celem jest wyzaczeie (i to w sposób jedozaczy, o ile to możliwe) współczyików C aj określających zerowe przybliżeie według wzoru (19.73). Przede wszystkim zauważmy, że rówaie (19.80) staowi tak aprawdę układ g rówań umerowaych ideksem i = 1, 2,..., g (bo tylokrota jest degeeracja poziomu E, i tyle jest staów własych ϕ i ). Dalej więc mówimy już o układzie rówań (19.80). Kotyuując, rozpisujemy elemet macierzowy w rówaiach (19.80) g [ ] ϕ i W ϕj ε(1) a ϕi ϕj C aj = 0. (19.81) Korzystamy z relacji ortoormalości (19.7) staów własych H 0 i dostajemy g [ ϕ i W ϕ j ε (1) a δ ij ] C aj = 0. (19.82) Wprowadzamy teraz macierz o wymiarze g g, zwaą macierzą zaburzeia W ij () = ϕ i W ϕ j. (19.83) Wobec tego asz układ rówań (19.82) wygląda teraz tak g [ ] W ij () ε(1) a δ ij C aj = 0. (19.84) Jest to układ rówań liiowych jedorodych względem iezaych współczyików C aj kombiacji liiowej (19.73), defiiującej zerowe przybliżeie rozwiązaia badaego zagadieia Dyskusja macierzy zaburzeia Rówaie (19.84) i macierz zaburzeia (19.83) staowią podstawowe arzędzia aalizy problemu zaburzeia stau zdegeerowaego. Poświęcimy im teraz wiele uwagi. Zapiszmy rówaie (19.84) iaczej, a miaowicie pomóżmy obie jego stroy przez λ. Zamiast elemetu macierzowego operatora W będziemy mieć V i zamiast poprawki ε (1) a odpowiedią poprawkę eergetyczą E a (1) g V ij () C aj = E a (1) C ai, gdzie V ij () = ϕ i V ϕj. (19.85) co poowie jest układem g rówań (umerowaych ideksem i). Rówaia te mają postać zagadieia własego dla macierzy zaburzeia V ij (). Wartościami własymi są poprawki pierwszego rzędu do eergii, są oe umerowae ideksem a, ideks jest ustaloy przez wybór poziomu, dla którego liczymy poprawki. Odpowiedie wektory włase (też umerowae ideksem a) są zbiorami współczyików rozkładu przybliżeń zerowych wektora stau a stay włase iezaburzoego hamiltoiau. Taka iterpretacja rówaia (19.85) wymaga pewych wyjaśień. Podamy je, przy czym jedocześie będziemy budować procedurę obliczeń i sposób kostrukcji poszukiwaych rozwiązań. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 245

16 Stacjoary rachuek zaburzeń Biorąc stay ϕ i, (i = 1, 2,..., g ) dla zdegeerowaego poziomu o eergii E włase hamiltoiau iezaburzoego) budujemy macierz zaburzeia (stay V ij () = ϕ i V ϕ j, (19.86) która ma wymiar (g g ). 2. Tworzymy i rozwiązujemy formale zagadieie włase dla macierzy zaburzeia V () ξ (a) 1. ξ (a) g = µ a ξ (a) 1. ξ (a) g. (19.87) Zajdujemy wartości włase µ a, oraz odpowiadające im g -wymiarowe wektory włase, tz. kolumy (ξ (a) 1, ξ(a) 2,..., ξ(a) g ). Ideks a umeruje koleje wartości i odpowiadające im wektory włase macierzy zaburzeia. Macierz zaburzeia ma co ajwyżej g różych wartości własych. Jeśli jeda (lub więcej) wartości własych µ a ma krotość większą od jedości, to ideks a ma zakres miejszy iż g. 3. Porówując zagadieie włase (19.87) z rówaiami (19.85) dokoujemy reiterpretacji wyików. Wartości włase µ a macierzy zaburzeia utożsamiamy z poprawkami pierwszego rzędu do eergii: E (1) a µ a. Natomiast wektory włase iterpretujemy jako współczyiki rozkładu (19.73): ( ξ (a) 1, ξ(a) 2,..., ξ(a) g ) ( Ca1, C a2,..., C ag ) (19.88) (19.89) dla kolejych (umerowaych ideksem a) zerowych przybliżeń φ a zaburzoych staów własych pełego hamiltoiau. Utworzoą kombiację (19.73) trzeba (o ile to możliwe) uormować. 4. Załóżmy, że wartość własa µ a = E a (1) macierzy zaburzeia jest iezdegeerowaa. Wówczas mamy dobrze określoą poprawkę do eergii iezaburzoej E. Poziom pierwotie zdegeeroway został rozszczepioy i podpoziom o eergii E a = E + E a (1) jest już iezdegeeroway. Sytuacja ta jest schematyczie przedstawioa a rysuku. Jedorody układ rówań (19.87) ma zikający wyzaczik, zaś ze względu a to, że wartość własa jest jedokrota, tylko jedo spośród rówań układu jest zależe liiowo od pozostałych. Możemy więc obliczyć g 1 współczyików ξ (a) i ostati współczyik wyzaczamy z waruku ormalizacji wektora stau ψ = C ai w zależości od pozostałego. Te a daego jako kombiacja liiowa φ a = g C ai ϕ i. Tak więc przybliżeie zerowego rzędu dla wektora stau jest w tym przypadku wyzaczoe jedozaczie. Dokoujemy tu jeszcze jedego kroku iterpretacyjego. W zasadzie sta φ a (zgodie z relacją (19.74)) jest staem własym hamiltoiau iezaburzoego. Reiterpretujemy jedak φ a jako przybliżeie zerowego rzędu dla stau własego hamiltoiau pełego (z zaburzeiem) odpowiadającego eergii E a = E + E (1) a. rzędu. 5. Jeśli jedak wartość własa µ a = E (1) a zagadieia (19.87) ma krotość większą iż 1, wówczas podpoziom o eergii E a = E + E a (1) jest adal zdegeeroway, przy czym krotość degeeracji g a jest rówa krotości wartości własej. W tym wypadku ie moża jedozaczie wyzaczyć wektorów własych macierzy zaburzeia. Nie moża więc jedozaczie wyzaczyć rozkładów typu (19.73). S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 246

17 Stacjoary rachuek zaburzeń 247! " #$#&%(') * '$) +, ) -. + / ) #3% Rys. 19.2: Ilustracja do pierwszego rzędu rachuku zaburzeń z degeeracją. Podpoziom zaburzoy o eergii E a = E + E a (1) jest iezdegeeroway. Przypisujemy mu (w zerowym rzędzie rachuku zaburzeń) sta φ a. Ie podpoziomy zaburzoe odpowiadające iym wartościom własym macierzy zaburzeia są zazaczoe schematyczie, mogą oe być także rozszczepioe i leżeć poiżej lub powyżej podpoziomu o eergii E a Poprawki pierwszego rzędu do wektorów stau Posługiwaie się rachukiem zaburzeń dla staów zdegeerowaych jest iestety pracochłoe, chodzi tu szczególie o rozwiązaie zagadieia własego dla macierzy zaburzeia. Dlatego też, w praktyczych obliczeiach a ogół poprzestajemy a zalezieiu poprawek E a (1) pierwszego rzędu dla eergii i zerowego rzędu φ a dla wektorów stau. Mimo to jedak przedstawimy w skrócie sposób obliczaia poprawek pierwszego rzędu do wektora stau. Nie zawsze to moża zrobić, bo zaburzeie ie musi usuąć degeeracji. Założymy, że zaburzeie całkowicie usuwa degeerację. Na podstawie wyżej opisaej procedury diagoalizacji macierzy zaburzeia zamy już g różych poprawek do eergii: E a (1), (a = 1, 2,..., g ). W zerowym rzędzie mamy rówież g różych kombiacji liiowych φ a = g C ai ϕ i dla odpowiedich wektorów stau. Przystępujemy do kostrukcji poprawek pierwszego rzędu do wektorów stau. Podobie jak w przypadku iezdegeerowaym szukamy φ (1) a w postaci φ (1) a = m ϕ i m ϕi m φ(1) a, (19.90) co wyika z relacji zupełości (19.7) dla staów iezaburzoych. Problem sprowadza się do wyzaczeia współczyików ϕ i m φ (1) a. Aby je zaleźć wrócimy do rówaia (19.77b). Zaim to jedak zrobimy, zauważmy, że rozkład (19.90) ie może zawierać po prawej składika, w którym m =. Istotie, wektor φ a jest kombiacją liiową staów ϕ i. Poprawka φ (1) a jest (zgodie z (19.76)) ortogoala do φ a, więc ie może zawierać przyczyków rówoległych do φ a, czyli ie może zawierać wektorów ϕ i. A więc w kosekwecji, zamiast (19.90) mamy φ (1) a = m ϕ i m ϕi m φ(1) a. (19.91) Przechodzimy do dyskusji rówaia (19.77b), które możymy lewostroie przez bra ϕ i m przy m i otrzymujemy ϕ i m ( H 0 E ) φ (1) a = ϕi m ( W ε (1) a ) φ a. (19.92) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 247

18 Stacjoary rachuek zaburzeń 248 Poieważ ϕ i m H 0 = E m ( E m ϕ i m więc ) E ϕ i m φ (1) a = ϕi m W φ a + ε(1) a ϕi m φ a. (19.93) Zauważmy, że gdyby było m =, to oba czyiki po lewej się zerują, atomiast po prawej odtworzy się zagadieie włase dla macierzy zaburzeia. Sytuacja, w której m wosi owe iformacje. Ostati iloczy skalary zika, bo φ a jako kombiacja staów ϕ i jest ortogoaly do wektorów ϕ j m. W świetle powyższych uwag z (19.93) mamy ϕ i m φ (1) a = ϕi m W φ a E m E. (19.94) Relacji tych jest tyle, ile jest możliwych wartości ideksu a. Poieważ przyjęliśmy, że degeeracja jest całkowicie usuięta więc mamy g rówań typu (19.94). Obliczywszy współczyiki, kostruujemy g poprawek pierwszego rzędu do wektora stau. Wstawiamy (19.94) do wzoru (19.91) i otrzymujemy φ (1) a = m ϕ i m ϕ i m W ψ a E m E (19.95) gdzie występują zae już przybliżeia zerowe φ a do wektora stau. Wreszcie możąc obie stroy prze parametr λ otrzymamy końcowe wyrażeie dla poprawki pierwszego rzędu do wektora stau ψ a (1) = m ϕ i m ϕ i m V ψ a E m E. (19.96) Podkreślmy, że formuła ta jest stosowala tylko wtedy, gdy zaburzeie usuwa degeerację już w pierwszym rzędzie, gdy wszystkie wartości włase macierzy zburzeia są róże Rachuek zaburzeń z degeeracją podsumowaie Zasadiczy problem rachuku zaburzeń dla g -krotie zdegeerowaego stau o eergii E polega a koieczości szukaia rozwiięć typu (19.73), tj. φ a = g C ai ϕ i, przy czym g C ai 2 = 1. (19.97) W praktyce problem sprowadza się do rozwiązaia zagadieia własego dla macierzy zaburzeia g V ij () C aj = E (1) a C ai, gdzie V ij () = ϕ i V ϕ j. (19.98) Wartości włase tej macierzy (umerowae ideksem a) to poprawki pierwszego rzędu do eergii. Wektory włase zaś tworzą dla kolejych a zbiory współczyików C ai w kombiacjach (19.97). Krotości wartości własych określają, czy zaburzeie usuwa degeerację czy też ie. Jeśli wartość własa E a (1) jest jedokrota, to wyzacza oa podpoziom iezdegeeroway o eergii E a = E + E (1) a. Dla podpoziomu tego moża jedozaczie wyzaczyć rozkład (19.97). Jeśli ia wartość własa E (1) b jest g b-krota, to podpoziom o eergii E b = E +E (1) b pozostaje zdegeeroway g b -krotie i ie moża dlań zaleźć jedozaczego rozkładu (19.97). Z tego powodu, w praktyce zwykle poprzestajemy a zbadaiu zagadieia własego macierzy zaburzeia i wiosków płyących z jego rozwiązaia. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 248