WYKŁAD IV. VI.2. Modele hydrodynamiki wód podziemnych.

Transkrypt

1 WYKŁAD IV VI.. Modele hdrodnamiki wód podiemnch. Równania hdrodnamiki wód podiemnch ostał określone pr prjęciu następującch ałożeń: ośrodek porowat twor strukturę ciała stałego traktowanego jako ośrodek ciągł, wewnątr której istnieje sieć kanalików filtracjnch wajemnie połąconch. nie wstępują por amknięte awierające ciec lub ga sieć kanalików jest na tle regularna, że można określić elementarną objętość repreentatwną VER, która repreentować będie wodrębnion prostopadłościan o nieskońcenie małch wmiarach (rs. 4.7.). por ośrodka wpełnionee są ciecą. proces prepłwu ciec odbwa się w stałej temperature (proces iotermicn). na proces filtracji nie ma wpłwu pole elektrcne i magnetcne iemi nie uwględniam wpłwu potencjału chemicnego. ruch ciec ropatrujem obserwując go wględem nieruchomego układu odniesienia i, a więc w układie Lagrange a. Rs Objętość repreentatwna VER. Proces achowwania się ciec opisują równania: konsttutwne równania stanu równania ciągłości prepłwu równania ruchu ciec pre ośrodek porowat. Jak wkażem, powżs układ równań powala określić model matematcn prepłwu ciec pre ośrodek porowat. Uskane równania musą bć uupełnione pre warunki bregowe i pocątkowe. VI..1. Konsttutwne równania stanu. Pre por ośrodka porowatego może prepłwać płn o dużej ściśliwości objętościowej (np. ga, miesanin ciec i gau) lub ciec wkaująca się bardo małą ściśliwością. Mówim wted o liniowo sprężstm reżimie filtracji. W niniejsm rodiale ogranicm się do dwóch prpadków równania stanu: gd mam do cnienia ciecą i ciałem stałm mało ściśliwm lub nieściśliwm. Dla takiego prpadku panujące w ciec ciśnienie lub jego prrost powoduje odkstałcenia objętościowe arówno ciec jak i skał. Uwględniając mian objętościowe ciec i skieletu, mówim o reżimie sprężstm prepłwu filtracjnego. Gd pomijam efekt sprężstości objętościowej, mówim o tw. stwnm reżimie filtracji. Zakładam, że faa stała ośrodka nie ulega odkstałceniom postaciowm i dopuscam w tej faie roważań jednie mian objętościowe, wrażające się mianą porowatości porowatej matrc ciała stałego.

2 Sprężstość objętościową ciec opisuje prawo Hooke a, według którego wględna miana gęstości ciec ρ jest proporcjonalna do mian ciśnienia w nim panującego: ρ = β dp. (0.1) w ρ gdie: β - onaca współcnnik objętościowej ściśliwości ciec, definiowan jako wględna miana w objętości ciec pr mianie ciśnienia o 1 atm. [100 kpa]. Na prkład: dla słodkich wód podiemnch można prjąć: βw = = 5 10, at Pa a dla wód mineraliowanch: ( 5 M 8 i ) ( β w = = ), ρg at Pa gdie M i to mineraliacja wod w g/l. Dla wod słodkiej rowiąanie równania (0.1) ma postać: ρ 0,9997 0,0005 p = e, (0.) pr niewielkich wielkościach ciśnienia (do 100 at) można prjąć, że mian gęstości są nienacne i wówcas ρ = const. (0.3) Sprężstość porowatej matrc ciała stałego, w tm ocwiście dla gruntów i skał objawia się w prpadku pomijania odkstałceń postaciowch mianą porowatości matrc. Można prjąć, że porowatość objętościowa f mienia się proporcjonalnie do mian ciśnienia skał: dp prenosonego pre s df = β dp. (0.4) s s Wiedąc, że ciśnienie prenosone pre ciało porowate jest równe ciśnieniu prenosonemu pre ciec, choć preciwnie skierowanemu, to: stąd dps = dp, (0.5) df = β dp, (0.6) s gdie β s jest współcnnikiem objętościowej ściśliwości skał. Wartość β s ależ od rodaju materiału budującego ciało porowate. W prpadku skał lub gruntu awiera się w granicach: βs = Pa Dla prpadku niewielkich ciśnień można więc prjąć, że skała, podobnie jak ciec jest nieściśliwa. W taki prpadku akładam, że: f = const. (0.7)

3 W dalsej cęści monografii ajmować się będiem wiąkami konsttutwnmi bardiej łożonmi, uwględniającmi odkstałcenia postaciowe skieletu ciała porowatego ora cech lepkie skieletu. IV... Równanie ciągłości prepłwu. Równanie ciągłości prepłwu wnika asad achowania mas ciec prepłwającej pre prostopadłościenn element VER repreentowan pre prostopadłościan o krawędiach d, d, d. Rs Prepłw ciec pre obsar elementarn VER. Dla jasności wkładu wprowadenie równania ciągłości prepłwu predstawim dwoma sposobami: klascnm predstawiającm bilans mas prepłwającch pre ścian elementarnego prostopadłościanu VER i metodą nieco bardiej aawansowaną na podstawie anali bilansu mas prepłwającch pre obsar Ω ogranicon dowolną powierchnią S. Metoda klascna. Masę płnu wpłwającą do prostopadłościanu w casie dt w kierunku osi (rs. 4.8) oblicam worem: gdie: m = ρf dt = ρ dddt, (0.8) m masa ciec wpłwającej do VER kierunku, jest składową wektora prędkości filtracji w kierunku osi, ρ gęstość prepłwającej ciec, F powierchnia prostopadłościanu prostopadła do osi, dt prrost casu, w którm masa m powierchnię F. Masę płnu wpłwającą prostopadłościanu VER w kierunku oblicam e woru: ( ρ ) m + dm = ρdddt + ddddt. (0.9) Prrost mas w casie dt określan jako różnica mas wpłwającch i wpłwającch w kierunku osi wnosi: dm = ( ρ ) ddddt. (0.10) Postępując analogicnie możem określić prrost mas ciec w kierunku osi i :

4 dm dm = = ( ρ ) ( ρ ) ddddt ddddt, (0.11). (0.1) Suma prrostów mas poscególnch kierunków (0.10), (0.11), (0.1) daje całkowit prrost mas prepłwającej ciec w obsare VER w casie dt i wraża się worem: dm ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) = + + ddddt. (0.13) Jeżeli w dowolnm casie t masa ciec najdującej się w prostopadłościanie d, d, d wraża się worem: ( ) ( ρ) m t f ddd gdie: f określa porowatość objętościową, to w casie następując: =, (0.14) ( + ) = ρ + ( ρ ) Prrost mas w prediale casu dt oblicam, więc worem: Ostatecnie prrost mas w okresie dt wnosi: t + dt masę całkowitą oblicam w sposób m t dt f f d f ddd. (0.15) ( f ρddd) dm = dt. (0.16) t dm = ( ρ f ) t ddddt. (0.17) Porównując wartość prrostu mas wnikającą bilansu prepłwu ciec pre ścian prostopadłościanu VER (0.13)do wartości dm wnikającej e woru(0.17), dostajem ostatecnie: ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) ( ρ f ) + + = t. (0.18) Równanie różnickowe (0.18)est równaniem ciągłości prepłwu ciec ściśliwej pre ściśliw skielet ośrodka porowatego. Powżs wnik uskano popre bardo elementarne roumowanie predstawione głównie dla celów ddaktcnch. Zawcaj stosuje się nieco odmienn sposób dochodenia do równanie ciągłości prepłwu filtracjnego. Metoda całkowania. Niech Ω określa obsar elementarn wpełnion ośrodkiem dwufaowm. Onacm S powierchnię ogranicającą, pre którą odbwa się prepłw filtracjn ciec. Niech n onaca wersor normaln do S i skierowan na ewnątr obsaru Ω. Prepłw ciec pre powierchnię S ogranicającą obsar Ω rs. 4.9 określa równanie:

5 S ( ρ f ) ρids + dω = 0 t. (0.19) Ω Rs Prepłw medium pre powierchnię S ogranicającą obsar Ω. Korstając twierdenia Gaussa Ostrogradkiego, możem amienić całkę powierchniową na objętościową. Dostajem, więc: Ω ( ρi ) ( ρ f ) dω + dω = 0 t. (0.0) Powżse równanie powala apisać wiąek lokaln w postaci: i Ω di( ρ) = ( ρ f ) t (0.1) Jak bło do prewidenia powżs wiąek jest identcn równaniem (0.18). IV..3. Równania ruchu ciec. Za punkt wjścia do określenia równań ruchu lepkiej ciec Newtonowskiej pre por ciała stałego prjmujem drugie prawo Newtona. Onacając pre o sił diałające w ciec odniesione do jednostki objętości (gęstość diałającch sił) drugie prawo Newtona możem w kartejańskim układie współrędnch,, predstawić worem:. o o o n = ρ, t n = ρ t, (0.) n = ρ t, gdie: n określa wektor recwistej (w sensie średniej) prędkości prepłwającej ciec i posiada składowe,,. n n n

6 Prędkość n można pr ałożeniu, że porowatość powierchniowa f A jest w prbliżeniu równa porowatości objętościowej f, powiąać prędkością filtracji następującm wiąkiem: 1 n =. (0.3) f Korstając powżsego wiąku równania (0.) można apisać inacej: o o o t f, = ρ = ρ t f = ρ t f., (0.4) Gęstość sił o jest sumą sił, którch źródło wnika diałania ciśnienia p, wanm cęsto ciśnieniem porowm, energii potencjalnej płnącej ciec ora sił lepkości (lepkiego oporu prepłwu). Onacając: składowe sił lepkości (oporu prepłwu) ρo lep pre ρ olep, ρ olep, ρ olep, składowe gęstości sił ciężkości (oblicone energii potencjalnej prepłwu) gdie u ρ, u ρ, u ρ, u = g ora składowe gęstości sił pochodącch od ciśnienia Stąd o można apisać worem: p, p p,. o o o p u = ρ ρo p u = ρ ρo p u = ρ ρo lep lep lep,., (0.5) Znak minus wnika faktu, że gęstość sił o jest siłą bewładności, a więc siłą preciwnie skierowaną do akcji, jakimi są sił najdujące się po prawej stronie równań(0.5). W reultacie drugie prawo Newtona w odniesieniu do składowch sił w kierunkach,, można apisać w postaci: 1 p u = + o t f ρ lep,

7 1 p u = + olep t f ρ 1 p u = + olep. t f ρ, (0.6) Powżse równania pr użciu apisu wskaźnikowego Einsteina mają postać: f 1 i 1 p = g ( δ ), + o f t ρ i i i3 i lepi gdie porównując wrażenia (0.6) i (0.7)otrmujem: o - onaca składowe sił tarcia lepkiego u lepi i i i3, (0.7) = g δ - onaca składowe sił masowej ciężkości ciec. Dla ciec Newtona opór lepki jest proporcjonaln do prędkości filtracji, lec odwrotnie do niej skierowan i wraża się worem: o lepi = c, (0.8) i gdie c jest współcnnikiem oporu lepkiego prepłwajacej ciec. Wprowadźm prędkość s wiąaną prędkością wiąkiem: s = λk pr cm wektor K w wiąku (0.9)wraża się worem: K grad 1 p g δ i i = + 3 ρ a λ = 1/ c. Pochodna cąstkowa po casie wektora s równa się: s K = λ t t t, (0.9), (0.30). (0.31) Podstawiając (0.9) do (0.7), po uwględnieniu wiąku (0.8) możem apisać: 1 s λ K 1 + = K s + λ K f t f t λ. (0.3) Jeżeli prędkości mian gradientu ciśnienia jest mała w porównaniu poostałmi wielkościami w równaniu (0.3) (agadnienia quasi statcne) to możem prjąć, że: i równanie (0.3) sprowada się do postaci: λ K = 0 f t

8 1 s 1 = s f t λ. (0.33) Rowiąaniem tego równania jest funkcja: s = s e λ 0 f t. (0.34) Jak widać to na rs im więkse opor tarcia lepkiego w prpadku prepłwu laminarnego ciec pre ośrodek porowat, tm sbciej wartość bewględna wektora osiąga wartość bliską eru. s s t Rs Prebieg funkcji ( ) w casie dla wartości / f λ = : a)10; b)50; c)100. Można więc stwierdić, że dla odpowiednio dużch wielkości oporu lepkiego po bardo krótkim casie (mniejsm niż 1 sekunda) dostajem wiąek liniow: co można apisać inacej w postaci: = λk g p = grad + iδ i3 c ρg, (0.35). (0.36) Z poprednich roważań (Rodiał III.1) wiem, że wsokość hdraulicna pominięciem, e wględu na jej mała wielkość, energii kinetcnej prepłwającej ciec wraża się worem: H p = + iδ i3. (0.37) ρg Wprowadając ponadto w miejsce g/c wielkość k onacającą współcnnik filtracji k, dostajem prawo Darc ego dla prpadku ośrodka jednorodnego i iotropowego: = kgradh. (0.38)

9 Preprowadając analogicne roumowanie dla prpadku ośrodka aniotropowego równanie (0.38) prjmie postać: gdie = k H,, (0.39) i ij j k i jest tensorem prepuscalności o 9 współcnnikach prepuscalności wrażon worem: ij k k k k k k k =, (0.40) 1 3 k k k pr cm e wględu na smetrię tensorawstepuje tlko 6 możliwch różnch wielkości współcnników prepuscalności. Najcęściej w prpadku ośrodków aniotropowch mam do cnienia tensorem prepuscalności, któr posiada jednie wartości różne od era na głównej prekątnej: k ij k =. (0.41) 0 k k 33 Uskaliśm tą drogą równania ruchu godne prawem Darc ego. W dalsch roważaniach będiem stosować bardiej ogóln sposób dochodenia do podstawowch wiąków ficnch modelu. Prowadą one do identcnch reultatów, jednak są nieco bardiej łożone pod wględem aparatu matematcnego. Z tego wględu decdowaliśm się na predstawienie obdwu dróg dochodenia do równań modelu. Powżse roważania prowadą również do wniosku, że podcas prepłwu filtracjnego ciec pre ośrodek porowat wstępuje siła oporów lepkich, która determinuje prędkość prepłwu filtracjnego, ale również oddiałwuje na skielet ośrodka porowatego, pr cm ma w tm prpadku wrot preciwn i wnosi: g R =. (0.4) k Siłę R wrażoną wiąkiem (0.4) będiem nawali siłą unosenia filtracji. Siła ta ma duż wpłw na odkstałcenia postaciowe skieletu gruntowego, a także na stan granicne ośrodka porowatego. IV..4.Równania hdrodnamiki wód podiemnch dla prpadku prepłwu ciec nieściśliwej pre nieodkstałcaln ośrodek porowat. Zakładając, że ośrodek gruntow jest ciałem idealnie stwnm, a ciec prepłwająca pre siatkę kanalików filtracjnch jest nieściśliwa, układ równań opisując proces prepłwu laminarnego sprowada się do: o równania stanu: ρ = const, (0.43) o równania ciągłości prepłwu

10 ( ) ( ) ( ) + + = 0, (0.44) które można apisać inacej w postaci: di = 0. (0.45) o równań ruchu = k = k = k,., (0.46) W olbrmiej więksości prpadków roważam agadnienia ośrodka iotropowego. Dla tego prpadku mam: Równanie ruchu ciec można apisać inacej: k = k = k = k. (0.47) = kgradh. (0.48) Podstawiając równania ruchu (0.48) do równania ciągłości prepłwu (0.44) dostajem równanie różnickowe opisujące proces prepłwu ciec nieściśliwej pre jednorodn, iotropow, nieodkstałcaln ośrodek porowat w postaci: co można apisać inacej: H H H + + = 0, (0.49) H = 0. (0.50) W dalsch roważaniach istotne wdaje się wprowadenie nowej wielkości określanej mianem potencjału prędkości prepłwu i wrażanej wiąkiem: Równanie (0.49) prjmuje w tm prpadku postać: Φ = kh. (0.51) Φ Φ Φ + + = 0 (0.5) lub Φ = 0. (0.53) natomiast równania ruchu sprowadają się do:

11 Φ =, Φ =, (0.54) Φ =, lub = grad Φ. (0.55) Wprowadone równania (0.53) i (0.55) powalają na rowiąanie agadnień prepłwu ustalonego ciec nieściśliwej pre nieodkstałcaln ośrodek porowat pr ałożeniu jednorodności i iotropowości ośrodka. IV..5. Równanie hdrodnamiki wód podiemnch dla prpadku prepłwu ciec ściśliwej uwględnieniem ściśliwości skieletu gruntowego. Powróćm do równania ciągłości prepłwu uwględniającego efekt ściśliwości ciec i fa stałej ośrodka porowatego (0.18): ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) ( ρ f ) + + = t Pochodną cąstkową po casie możem apisać inacej: ( ρ f ). (0.56) f ρ = ρ + f t t t. (0.57) Zgodnie równaniami stanu (0.1) i (0.4) ora uwględniając, że p = ρ g t t, (0.58) otrmam: ρ p = ρβw = ρ gβs t t t (0.59) ora Zwiąek (0.58) można predstawić, atem: f p H = β = ρ gβ s s t t t. (0.60) ( ρ ) f = ρ gβs + f ρ gβw t t t, (0.61) cli

12 ( ρ f ) = ρη spr t t, (0.6) gdie ( f ) η = ρg β + β. (0.63) spr s w Współcnnik η spr określan jest nawan współcnnikiem pojemności sprężstej warstw wodonośnej. Wielkość η spr jest wielkością małą i jego wartość waha się w prediale Równanie ciągłości prepłwu można apisać w formie: ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) + + = ρηspr t. (0.64) m Uwględniając, że mian gęstości ciec w ależności od miennch prestrennch,, są małe, można prjąć, że nie ależą od tch miennch nieależnch. Równanie (4.151) uprości się wówcas do postaci: + + = η spr. t (0.65) Uwględniając równania ruchu dla prpadku ośrodka iotropowego w postaci: Równanie (0.65) można predstawić w następującej formie: = k, = k, (0.66) = k. H H H η H k t. (0.67) spr + + = Ostatecnie równanie opisujące proces prepłwu ciec ściśliwej pre ściśliw ośrodek porowat można apisać: gdie = a t H H H H, (0.68) k k a = = η ρ g β β ( + f ) spr s w Współcnnik a nosi nawę współcnnika pieoprewodności.. (0.69)

13 Równanie (0.68) jest różnickowm równaniem filtracji nieustalonej w ośrodku jednorodnm i iotropowm pr sprężstm reżimie prepłwu filtracji i nosi nawę równania prewodnictwa Fouriera. Postać tego równania jest analogicna do równania prewodności cieplnej. W prpadku prepłwu pod ciśnieniem dla warstw o miążsości M równanie(0.68) predstawiane jest w innej postaci. Pomnóżm licnik i mianownik cłonu równania najdującego się po prawej stronie równania (0.68) pre M (średnią miążsość warstw wodonośnej). Możem apisać: M Mηspr = am t km t (0.70) Onacając pre: T = km - prewodność warstw S = η M - bewmiarow współcnnik pojemności wodnej warstw wodonośnej spr równanie (0.68) można predstawić w postaci: + + = T t H H H S H. (0.71) W rodiale VIII będie pokaan prkład rowiąania agadnień prepłwu nieustalonego metodami analitcnmi. Zagadnienia prepłwu nieustalonego są rowiąwane również metodami numercnmi pr pomoc profesjonalnch programów komputerowch np. [Flac, ModFlow, Mathematica 5, Maple 8,Fle PDE]. IV..6. Ogólne asad rowiąwania równań hdrodnamicnego modelu prepłwu. Metod rowiąania równania Laplace a. Wprowadenie wielkości potencjału prędkości prepłwu bliża roważanie prepłwu do ogólnej teorii pola potencjalnego, co powala na wkorstanie seregu agadnień bregowch rowiąanch pre badac w akresie teorii pola. Należ podkreślić, że ogólna teoria pola potencjalnego obejmuje teorie dotcące na prkład pola elektrcnego c magnetcnego. Roważm na pocątku metod rowiąwania równania prepłwu ciec nieściśliwej pre nieściśliw skielet ośrodka porowatego Równanie (0.53) jest równaniem różnickowm cąstkowm drugiego rędu wanm równaniem Laplace a. Jest to równanie alicające się do grup równań eliptcnch. W ogólnm prpadku równanie Laplace a jest scególnm prpadkiem równania Helmholta: Φ + cφ = 0, (0.7) gd stała c = 0 W prac [Trajdosa-Wróbla, 1965] ostał predstawione scegółowo własności tego tpu równań, twierdenia ora dowod jednonacności rowiąań. Ab roumieć dals ciąg roważań prowadącch do rowiąania konkretnch agadnień bregowch koniecne jest aponanie się teorią rowiąwania równania Laplace a. Z teorii tej dowiadujem się prede wsstkim, że funkcję ciągłą w obsare, spełniającą równanie Laplace a nawam funkcją harmonicną. Można wkaać, że funkcja harmonicna w obsare jest w tm obsare funkcją klas C, tn. że w każdm punkcie obsaru ma ciągłe drugie pochodne. Prkładem funkcji harmonicnej w prestreni trójwmiarowej w układie prostokątnm kartejańskim jest funkcja liniowa (,, ) Φ = A + B + C + D. (0.73) Ogromne jest bogactwo rowiąań równania Laplace a. Mają one tę interesującą własność, że można je otrmać, dokonując pewnch diałań nad pewnm rowiąaniem, wanm rowiąaniem podstawowm.

14 Z anali wektorowej wiadomo, że Laplasjan funkcji w trójwmiarowej prestreni można predstawić w układie sfercnm (biegunowm prestrennm) w sposób następując: 1 Φ 1 Φ 1 Φ Φ = r sinθ + +. (0.74) r r r sin θ ϕ sinθ θ θ Skorstajm tożsamości, którą można bepośrednio uskać pre wkonanie diałań w obu jej stronach: ( Φ) 1 Φ 1 r r = r r r r r. (0.75) Posukajm rowiąania równania Laplace a, ależnego od miennch r, ϕ, θ. W prpadku agadnień osiowo smetrcnch pochodna cąstkowa sukanej funkcji Φ wględem miennej r stanie się pochodną wcajną, aś poostałe pochodne cąstkowe będą równe eru. Korstając ależności (0.74) i (0.75)równanie Φ = 0 apisem w postaci: Całkowanie prowadi kolejno do: 1 d r Całką ogólną (pr ałożeniu, że r 0 ) jest ( r ) Φ Φ 0 =. (0.76) dr ( ) d rφ = C1, (0.77) dr rφ = C1r + C. (0.78) C Φ ( r ) = C1 +. (0.79) r Kładąc C 1 = 0 i C = 1 otrmujem rowiąanie podstawowe równania Laplace a w prestreni 1 r Φ ( r) = ( 0) r. (0.80) Gdbśm wprowadili układ biegunow, w którm punktowi 0 odpowiadałb dowolnie P, prostokątnego układu kartejańskiego, uskalibśm rowiąanie ustalon punkt 0 ( 0 0, 0 ) (0.80) tm, że r jako odległość miennego punktu P P(,, ) wiąkiem: ( ) ( ) ( ) = od punktu P 0 wraiłab się r = + +. (0.81) Posukujem rowiąania podstawowego równania Laplace a dla prpadku płaskiego. W układie biegunowm na płascźnie Laplasjan daje się apisać w postaci: 1 Φ 1 Φ Φ = r + r r r Φ r ϕ. (0.8)

15 Wobec tego rowiąanie równania Laplace a, ależne tlko od r, najdiem całkując równanie różnickowe: 1 d dφ r = 0 r dr dr ( r 0). (0.83) Mam kolejno d r Φ = C, (0.84) dr Φ ( r ) = C + C ln r 1. (0.85) Kładąc C 1 = 0 i C = 1 otrmujem rowiąanie równania Laplace a na płascnach, które nawać będiem rowiąaniami podstawowmi: 1 r Φ ( r ) = ln ( 0) r. (0.86) Ponieważ rowiąaniem równania Laplace a jest funkcja harmonicna powinniśm nać kilka podstawowch własności funkcji harmonicnch w prestreni: o całka pochodnej normalnej funkcji ( P) domknięciu Ω = Ω + S Φ harmonicnej w obsare Ω, a ciągłej w jego brana po bregu obsaru jest równa eru S Φ ds = 0 n, (0.87) o funkcja harmonicna w każdm punkcie obsaru prbiera wartość równą średniej artmetcnej swoich wartości na każdej sfere, leżącej w obsare o środku w tm punkcie i o dowolnm promieniu 1 Φ ( P) = Φ π R 4 K P R ds, (0.88) (, ) o funkcja harmonicna niestała w obsare w żadnm punkcie obsaru nie osiąga swego kresu górnego ani dolnego (asada ekstremum), o funkcja harmonicna w obsare Ω, a ciągła w jego domknięciu Ω = Ω + S jest ogranicona swoimi ekstremalnmi wartościami. Metodka rowiąwania równania Fouriera. Równanie Fouriera różni się tm od równania Laplace a, że w równaniu tm opróc operatora Laplace a wstępuje pierwsa pochodna po casie funkcji posukiwanego rowiąania. W praktce, w celu rowiąania metodami analitcnmi tego równania stosujem najcęściej prekstałcenie całkowe Laplace a, które umożliwia nam pobcie się pochodnej po casie, a agadnienie po prejściu do prestreni Laplace a sprowada się do rowiąania równania Helmholta. Równanie to, jak pokaaliśm w poprednim podrodiale rowiąuje się metodami omówionm wżej. Scegółow opis tch metod najdie ctelnik w prac [Trajdosa-Wróbla, 1965]. Jedna istotna różnica polega na określeniu w tm prpadku warunków pocątkowch obok warunków bregowch. IV..7. Warunki bregowe i pocątkowe w modelach hdrodnamicnego prepłwu.

16 Warunki bregowe. Zagadnieniami bregowmi teorii prepłwu filtracjnego określonej równaniem Laplace a, lub Helmholta nawają się agadnienia posukiwania w obsare prepłwu takiej funkcji, która spełnia pewne warunki na bregu obsaru. Są tr takie agadnienia: Zagadnienia Dirichleta. Polega ono na posukiwaniu funkcji harmonicnej potencjału prędkości Φ( p) w ograniconm obsare Ω i ciągłej w dane wartości funkcji potencjału prędkości: Ω + S, która na bregu S prbiera gór Φ ( Q) = f ( Q) ( Q S) (0.89) Funkcja f(q) nawa się obłożeniem agadnienia Dirichleta i która ałożenia powinna bć ciągła na bregu S. Można wkaać, że rowiąanie wewnętrnego agadnienia Dirichleta jest statecne, tn. ależ w sposób ciągł od obłożenia. Warunki bregowe tpu Dirichleta określają w prpadku agadnień prepłwu filtracjnego następujące rodaje granic: breg prepuscaln, na którm istnieje granica oddielająca wod podiemne wodami powierchniowmi (row, biorniki wodne itd.) wierciadło swobodne wód gruntowch kontakt na bregu dwóch rodajów ciec np. woda słodka i morska breg, na którm wstępuje wsącanie wod w prpadku, gd następuje ono powżej poiomu wód powierchniowch Zagadnienia Neumanna. Polega ono na naleieniu funkcji harmonicnej potencjału prędkości Φ (P) w obsare Ω i ciągłej w gór dane wartości Ω + S, której pochodna normalna na bregu S prbiera Φ S = n f ( Q) ( Q S). (0.90) Funkcja f(q) jest ałożenia ciągła, a ponadto godnie własnością funkcji harmonicnch (0.88)- spełniona jest dla niej następująca równość: f ( Q) ds = 0. (0.91) S Można ponadto pokaać, że gd istnieją dla danego obsaru i danej funkcji bregowej dwa rowiąania agadnienia Neumanna, to w obsare Ω + S różnią się od siebie stałą. Warunki bregowe tpu Neumanna modelują następujące tp granic: breg nieprepuscaln, gd f(q)=0, gdż w tm prpadku wdatek prepłwając pre granicę jest równ eru. granica stanowiąca kontakt dwóch obsarów o różnej prepuscalności asilanie obsaru o określonej wdajności (nan jest wdatek wpłwającej do obsaru ciec) infiltracja lub parowanie. Zagadnienie miesane. Polega ono na naleieniu funkcji harmonicnej Φ(P) w obsare Ω i ciągłej Ω + S, której kombinacja liniowa wra pochodną normalną: Φ + α ( Q) Φ = f ( Q) n Q S ( ) (0.9)

17 na bregu jest adana. Zakłada się pr tm, że funkcja F(Q) jest ciągła, aś α (Q) jest ciągła nieujemnie i nierówna tożsamościowo eru (wówcas agadnienia Neumanna i Dirichleta nie są scególnmi prpadkami tego agadnienia. Można wkaać, że dla danego obsaru Ω i dla danej kombinacji liniowej istnieje jedno i tlko jedno rowiąanie. Warunki tego tpu określają następujące tp granic: źródła, gd ich wdatek ależ od położenia wierciadła wód gruntowch, parowanie lub infiltracja, gd wdatek ależ od poiomu alegania wierciadła wód podiemnch, granica modelująca prepłw w prpadku konstrukcji tpu ścianki scelne, dren uscelniające fundament budowli, granica stanowiąca kontakt dwóch obsarów, gd prepłwając wdatek jest funkcją wsokości hdraulicnej. W recwistości może aistnieć stuacja, że breg ogranicając obsar Ω ostaje podielon na obsar powierchniowe, gdie spełnion musi bć jeden wżej wmienionch warunków bregowch. Warunki pocątkowe. Jeżeli wjściow układ równań różnickowch lub określone równanie awiera pierwse, albo wżse pochodne po casie, to należ podać wartości roważanch funkcji i ich pochodnch, ale o rąd niżs od najwżsego rędu pochodnej po casie w chwili t=0. W nasm roważam prpadku chodi jednie o pocątkowe wartości funkcji w chwili t=+0. Sereg badac rowiąującch na drode analitcnej predstawione powżej równanie Pr astosowaniu do rowiąania agadnienia transformację całkową Laplace a prjmuje, że w chwili t=+0 posukiwane funkcje równają się eru w całm obsare. Otrmane pre tch badac wniki nie spełniają warunku pocątkowego. Stwierdają oni, e różnica pomięd uskanm rowiąaniem pr prejściu granicnm casem do era a prjętm warunkiem pocątkowm świadc o wstępowaniu tw. efektów natchmiastowch w chwili t=+0. Zagadniem niegodności prjętch warunków pocątkowch wartościami posukiwanch funkcji w ere w prpadku równań parabolicnch ajmował się G. Doetsch [ ]. Problem ten omówion ostanie scegółowo w rod. VIII prac. IV..8. Model D dla prpadku prepłwu ciec nieściśliwej pre por nieodkstałcalnego skieletu. IV Funkcja potencjału prędkości. Rowiąanie konkretnego agadnienia prepłwu filtracjnego powinno bć traktowane jako adanie trójwmiarowe. Jednak rowiąanie seregu agadnień metodami analitcnmi nastręca duże trudności, a w prpadku metod numercnch jesteśm ograniceni wielkością pamięci masn matematcnch. Dlatego ropatrujem cęsto prepłw w określonm prekroju akładając, że w pobliżu tego prekroju własności ośrodka, geometria układu warstw, a więc i parametr prepłwu są w prbliżeniu takie same. Wówcas składowa prędkość normalna do prekroju jest równa ero. Jeżeli w asięgu ropatrwanego obsaru mienia się układ warstw lub własności ośrodka, wówcas można rowiąać agadnienie w kilku prekrojach, prjmując jednakże do obliceń awse schemat dwuwmiarow. W prpadku płaskiego prepłwu filtracji równanie prepłwu ciec nieściśliwej pre ośrodek jednorodn iotropow można apisać w postaci: Φ Φ + = 0 (0.93) lub Φ = 0. (0.94)

18 Równanie jest ważne w prpadku, gd ropatrujem prepłw pre ośrodek jednorodn i iotropow. Rowiąaniem równania (0.94) jest funkcja potencjału prędkości Φ (, ) funkcję Φ do stałej C, takiej, że kh C kh1, (0.95). Prrównując gdie H 1 i H są to ekstremalne wsokości hdraulicne na bregach obsaru filtracji wwołujące prepłw wod w ropatrwanm obsare, to dla: (, ) Φ = C = const (0.96) dostajem równanie linii jednakowego potencjału C, któr będiem nawać powierchnią ekwipotencjalną. IV..8.. Funkcja prądu. Prepłw filtracjn odbwa się wdłuż linii normalnch do powierchni ekwipotencjalnch. Wkażem, że jest tak w recwistości. W prpadku preciwnm, gdb linia prądu nie bła normalna do linii ekwipotencjalnch, można b określić składową prędkości prepłwu stcną do powierchni ekwipotencjalnej. Rs Zwiąek dla linii prądu. J Jak wnika (0.96) gradient hdraulicn wdłuż powierchni ekwipotencjalnej jest równ eru, więc erowemu gradientowi hdraulicnemu odpowiedałab skońcona wartość prędkości filtracji, co sprecne jest prawem Darc.Ropatrm dla prkładu pewien odcinek linii prądu, (linia poprowadona w polu prędkości filtracji w ten sposób, że stcne do niej w każdm punkcie wskaują kierunek wektora prędkości) na rs Weźm dwa punkt [A(, ) i B(, )] najdujące się na linii prądu i oddalone od siebie o nieskońcenie mał odcinek ds. Z punktu A preprowadim stcną do linii prądu i wdłuż niej określim obra graficn wektora prędkości w punkcie A(, ). Rutując wektor na kierunek poiom i pionow, dostaniem współrędne wektora i. Wektor wra e współrędnmi i twor trójkąt prostokątn ADE. Ponieważ punkt B najduje się nieskońcenie blisko punktu A, można prjąć dokładnością do małch wżsego rędu, że stcna AE pokrwa się siecną AB, więc ADE ABC. Stąd mam:

19 d d =. (0.97) Równanie (0.97) można apisać inacej: d + d = 0, (0.98) ale które powinno bć spełnione w dowolnm punkcie linii prądu. Ψ, określona w obsare filtracji, taka że różnicka Załóżm, że istnieje funkcja ( ) upełna tej funkcji wnosi: dψ = d d. (0.99) Jak wiem, warunkiem koniecnm i wstarcającm na istnienie różnicki upełnej w postaci: jest warunek: W nasm prpadku: df = F1 d + F d (0.100) F1 F =. (0.101) F =, F =, (0.10) 1 więc, ab istniała różnicka upełna w postaci (0.100), powinien bć spełnion warunek: co możem apisać inacej w postaci: =, (0.103) (0.104) + = 0. Równanie (0.104) jest równaniem ciągłości prepłwu dla prpadku prepłwu płaskiego ( = 0). Wkaaliśm więc, że istnieje różnicka upełna funkcji w postaci (0.100).Wraźm pochodne cąstkowe funkcji Ψ pr pomoc składowch wektorów prędkości. Ponieważ różnickę upełną funkcji Ψ można apisać w postaci: dostajem: Ψ Ψ dψ = d + d Ψ =, (0.105) Ψ =. (0.106)

20 Z równania (0.98) wnika, że dla każdej linii prądu: więc linię prądu określa równanie: (, ) dψ = 0, (0.107) cons Ψ =, (0.108) dlatego funkcję Ψ będiem nawali funkcją prądu. Zbadajm relację funkcji prądu Ψ i funkcji potencjału Φ. W tm celu skorstam e wiąków: Ψ = i Φ =, stąd dostaniem: Ψ = i Φ =, i Φ Ψ =, (0.109) Φ Ψ =. (0.110) Zwiąki (0.109) i (0.110) są wiąkami Cauch - Riemanna, więc godnie pracą [Trajdosa-Wróbla, 1965] rodin krwch: Φ = const i Ψ = const (0.111) są wajemnie ortogonalne. Układ tch linii w prpadku agadnień filtracji nawam siatką hdrodnamicną prepłwu. Różnickując wiąek (0.109) po i wiąek (0.110) po dostajem: Φ Ψ =, Φ Ψ =. (0.11) Ponieważ w powżsch wiąkach (0.11) lewe stron są identcne, możem apisać: Ψ Ψ + = 0. (0.113) Funkcja prądu Ψ spełnia więc równanie Laplace a, co możem apisać w postaci:

21 Ψ = 0. (0.114) Rowiąanie konkretnego agadnienia sprowada się do rowiąania równań różnickowch: Ψ = 0. Φ = 0, (0.115) W wniku rowiąania powżsch równań różnickowch możem określić siatkę hdrodnamicną prepłwu. Sposob rowiąania płaskich agadnień filtracji ostaną predstawione w podrodiale VIII.... Rs: 4.1.Oblicenie wdatku prepłwającego pomięd dwoma liniami prądu. Roważm niewielki obsar siatki hdrodnamicnej prepłwu predstawion na rs Oblicm wdatek prepłwając pomięd dowolną linią prądu Ψ a linią oddaloną o nieskońcenie mał odcinek Ψ + dψ. Ponieważ wdatek ciec prepłwającej pre powierchnię ds*1m wnosi: dq = ds, (0.116) wdatek prepłwając pre powierchnię ekwipotencjalną repreentowaną linią A i B wnosi: Q = ds. (0.117) A B Całkę krwoliniową we wore (0.117) można astąpić całką iterowaną: B ds = ( d d). (0.118) A B A Na podstawie woru (0.99) wiem, że dψ = d d, (0.119) stąd: Ψ d 1. (0.10) Ψ1 Q = Ψ = Ψ Ψ = Ψ

22 Znając więc wartości funkcji prądu odpowiadającch dwóm liniom prądu (prechodące pre punkt A i B na rs. 4.1), można określić wdatek prepłwając pomięd tmi liniami prądu, którm odpowiadają odpowiednie wartości funkcji prądu Ψ1, Ψ. IV..8.3.Siatka hdrodnamicna prepłwu. Więksość praktcnch adań teorii filtracji można traktować jako adanie płaskie lub osiowo smetrcne (opłw budowli wodnej, prepłw pre grode iemne, dopłw do rowu lub studni). Rowiąanie konkretnego adania będie polegało na określeniu w obsare filtracji potencjału prędkości Φ i funkcji prądu Ψ. Graficnm predstawieniem rowiąania agadnienia będie układ linii Φ =const i Ψ =const tworącch siatkę hdrodnamicną prepłwu. W podrodiałach IV..8.1 i IV...8. wprowadono równania różnickowe, jakie spełniają funkcję Φ i Ψ, a mianowicie: - dla agadnień płaskich: Φ = 0 i Ψ = 0, (0.11) - dla agadnień osiowch smetrcnch: Φ = 0 i r Ψ = 0, (0.1) r gdie: 1 r r r = + + r. (0.13) Funkcje Φ i Ψ musą spełniać również warunki bregowe. Dla prpadku płaskiego agadnienia prepłwu siatkę hdrodnamicną predstawiono prkładowo na rs Rs Prkład siatki hdrodnamicnej prepłwu. IV..8.4.Warunki bregowe i pocątkowe. W konkretnch adaniach ogranicm się do kilku rodajów warunków bregowch na granicach obsaru filtracji: a) na granicach nieprepuscalnch, b) na granicach prepuscalnch,

23 c) wdłuż linii wnaconej pre powierchnię swobodnch wód gruntowch, d) wdłuż linii wpłwu wod ponad wierciadłem wod swobodnej, e) na granic dwóch ośrodków prepuscalnch o różnch współcnnikach filtracji. Rs Rodaje granic obsaru. Rodaje granic obsaru dla prkładowo prjętego obsaru filtracji predstawiono na rs Ad.a)Nieprepuscalne granice obsaru filtracji wnacają: - ścianki scelne (linia JN), - ałożone granice obsaru filtracji (linia ALMH), - linie kontaktu obsaru filtracji warstwami nieprepuscalnmi, - kontur apór (linia łamana DCBPOGFE). Granice nieprepuscalne są liniami prądu (patr definicja linii prądu (podrodiał IV..8.) i dlatego funkcja prądu wdłuż tch linii ma wartość stałą: Ψ = const. (0.14) Ponieważ składowa normalna do granic nieprepuscalnej prędkości filtracji jest równa eru, warunek bregow na funkcję potencjału prędkości ma postać Φ = 0, (0.15) n gdie: n normalna do granic nieprepuscalnej.zawcaj granice nieprepuscalne łożone są odcinków prostch. Prjmijm, że równane takiego odcinka ma postać: = f ( ). (0.16) Równania (0.14) lub (0.15) można ropatrwać jako warunki, które winn bć spełnione wdłuż granic nieprepuscalnej opisanej równaniem (0.16). Ad. b) Pr dużch romiarach biornika wodnego można ałożć, że rokład ciśnienia pwdłuż granic prepuscalnch jest godn prawami hdrostatki.

24 Rs Warunki bregowe na granicach prepuscalnch. Dlatego w dowolnm punkcie M najdującm się na granic AB (rs.4.15) międ gruntem a biornikiem wodnm, wartość ciśnienia wnosi: p = p + ( H ) γ, (0.17) p a 1 gdie: a ciśnienie atmosfercne, γ w - ciężar własn wod, w H 1 - wsokość hdrodnamicna w punkcie M w układie osi (, ) wsokość położenia w układie osi (, ) Ponieważ funkcja potencjału prędkości wraża się worem: P Φ = k( + ) + c. (0.18) γ Wartość funkcji Φ w dowolnm punkcie M wnosi: w Pa Φ M = k( + H1) + c. (0.19) γ w Z tego wnika, że dla dowolnego punktu M, najdującego się na granic prepuscalnej w kontakcie wodą, funkcja potencjału: Φ = const. (0.130) Innmi słow, granica prepuscalna jest granicą stałego potencjału prędkości.wdłuż granic prepuscalnej, składowe stcne wektora prędkości są równe eru. Z tego wnika warunek bregow na funkcję prądu: Ψ = 0, (0.131) n gdie n to normalna do granic prepuscalnej.w prpadku, gd granica prepuscalna stanowi krwą wrażoną równaniem: = f ( ). (0.13) Będiem traktować wiaki(0.130) lub (0.131) jako warunki, które musą bć spełnione wdłuż tej granic opisanej równaniem (0.13).

25 Ad. c)powierchnia swobodna wód gruntowch stanowi linię rogranicającą obsar wód grawitacjnch od gruntu suchegolub od stref wód kapilarnch,gd uwględnim własności kapilarne gruntu. Rs Warunki bregowe na linii swobodnej powierchni wód gruntowch. W pierwsm prpadku akładam, że ciśnienie na kontakcie gruntu nawodnionego i suchego jest równe ciśnieniu atmosfercnemu. Korstając e woru (0.18) na linii swobodnej powierchni wanej także krwą depresji, uskujem warunek: Φ + k = const. (0.133) Gd oś jest skierowana w dół, warunek (0.133) astępujem warunkiem: Φ k = const. (0.134) Uwględniając strefę kapilarną wód gruntowch prjmujem, że na powierchni swobodnej ciśnienie posiada wartość stałą, mniejsą od cisnieniaatmosfercnego o wielkość odpowiadającą wsokości wniesienia kapilarnego wod w gruncie: p = p γ h, (0.135) a w k gdie: h k - wsokość wniosu kapilarnego. Obserwacje wkaują, że pr ruchu wód gruntowch należ prjmować h k mniejse od uskanego podcas badania wniosu kapilarnego w rurce gruntem (praca [Wiecst, 198, Jeske i innch, 1966]). Podstawiając wartość p do woru (0.1) otrmam nów warunek (0.133) lub (0.134) lec inną wartością stałej. Krwa depresji jest jednoceśnie skrajną linią prądu dla danego obsaru filtracji. Musi więc bć spełnion warunek: Ψ = const (0.136) Warunki ((0.133); (0.136)) lub ((0.134); (0.136)) są warunkami bregowmi na linii powierchni swobodnej wód gruntowch. Wstępowanie na jednm bregu jednoceśnie dwóch warunków bregowch wskawałob teoretcnie na naddeterminację warunków bregowch na tm bregu. Musim sobie jednak dawać sprawę faktu, że linia repreentująca powierchnię swobodną jest a priori nienana. Mam więc w tm prpadku do rowiąania agadnienie nienanm bregiem. Istnieje więc koniecność wstępowania dwóch warunków bregowch, a agadnienie nie posiada nieuasadnionej nadwżki jednego warunku bregowego. Swobodna powierchnia wód gruntowch może bć asilana pre opad, tajanie śniegu itp. W tm wpadku mówi się, że istnieje infiltracja powierchni terenu do swobodnej powierchni wód gruntowch. Zgodnie pracami [Wiecstego,198],[Rembe, 1998] prjmuje się w takim prpadku następującą asadę określania dopłwu do swobodnej powierchni:

26 Wdatek wod pre dowolną cęść swobodnej powierchni jest proporcjonaln do rutu poiomego łuku tej powierchni lub inacej, jest proporcjonaln do różnic odciętch końców tego łuku. Zgodnie ctowaną wżej asadą, uskujem warunek na powierchni swobodnej w postaci: Ψ Ψ = ε, (0.137) 0 0 gdie: Ψ i Ψ 0, są to wartości funkcji prądu w punktach powierchni swobodnej o odciętch ε i 0, ilość wod dopłwającej podcas jednostki casu na jednostkę długości poiomego rutu łuku krwej depresji (intenswność filtracji). Dla ropatronego prpadku intenswność infiltracji wnosiε >0. Uwględniając parowanie e swobodnej powierchni wod, mam do cnienia tw. infiltracją ujemną. Warunek bregow prjmie postać (0.34) tą różnicą, że będie posiadał wartość ujemną. Ogólnie można powiedieć, że warunki:(0.133) lub (0.134) i (0.137) są najbardiej ogólnmi warunkami dla krwej depresji, pr cm ε może bć dodatnie (infiltracja), ujemne (parowanie) lub równe eru. Ad. d) Linię wpłwu wod ponad wierciadłem wod swobodnej, będiem nawali linią wsięgu. Obsar wsięgu mogą istnieć po stronie odpowietrnej grod iemnej na ściankach studni, rowów drenażowch itp. Wdłuż linii wsięgu ciśnienie winno bć równe ciśnieniu atmosfercnemu, a więc musi bć spełnion warunek (0.133) lub (0.134). Wdłuż linii wsięgu warunek bregow wrażon popre funkcję prądu ma postać: Ψ = const. (0.138) Ad. e) Warunki na granic wstępowania dwóch gruntów o różnch współcnnikach filtracjimusim określić, gd mam do cnienia ośrodkiem uwarstwowionm. 1 k i k Rs Granica dwóch ośrodków o różnch współcnnikach filtracji. Załóżm, że woda gruntowa prepłwa pre dwa grunt różnmi współcnnikami filtracji, granicącmi sobą wdłuż linii L M (rs 4.17). Dla każdej warstw wdłuż linii kontaktu LM funkcja potencjału prędkości ma postać:

27 p Φ = k ( + ) + c, (0.139) γ w p Φ = k ( + ) + c, (0.140) γ w pr cm: p 1 i p odpowiednie ciśnienie na linii kontaktu w pierwsej i drugiej warstwie. Ponieważ pr prejściu wod pre granicę dwóch ośrodków, ciśnienie winno się mieniać w sposób ciągł, mam: p = p. (0.141) 1 Korstając warunku (0.141) i wrażeń (0.139) i (0.140) otrmujem warunek bregow na funkcję potencjału prędkości w postaci: lub gd dowolną stałą prjąć równą eru: Φ k Φ k Φ = + c (0.14) k 1 1 Φ k =. (0.143) 1 1 Drugi warunek otrmam wiedąc, że składowa normalna wektora prędkości jest identcna w jednm i drugim ośrodku ( prawa ciągłości prepłwu).onacając pre 1 n i normalne n składowe wektora prędkości wdłuż linii kontaktu ośrodków, L M mam: =. (0.144) 1n n Onacając następnie dla każdego ośrodków funkcje prądu Ψ 1 i Ψ i korstając e woru (0.108), warunek (0.144) można apisać w postaci: Ψ s Ψ = s 1, (0.145) gdie: s stcna wdłuż linii kontaktu. Obierając stałą całkowania równą eru, otrmam na linii granicnej warunek (0.145) w postaci: Ψ 1 = Ψ. (0.146) Równania (0.143) lub (0.144) stanowią warunki bregowe, jakie winn bć spełnione wdłuż linii kontaktu dwóch ośrodków o różnch współcnnikach filtracji. Zróżnickujem tera (0.143) po miennej stcnej do łuku linii kontaktu warstw o różnch współcnnikach: 1 Φ 1 Φ = k s k s 1 1. (0.147) Wprowadając składowe stcne wektora prędkości 1s i s otrmam:

28 k =. (0.148) k 1s s 1 Na podstawie rs można apisać: 1s 1n = tgα i 1 s n = tgα, (0.149) gdie α 1 i α onacają kąt międ normalną do linii granicnej i wektorami prędkości. Uwględniając ależności międ składowmi stcnmi i normalnmi wektorów prędkości w obdwu ośrodkach ((0.143); (0.148) i (0.149)), dostajem: tgα1 tgα =. (0.150) k k 1 Równanie (0.150) określa prawo ałamania strumienia filtracji na kontakcie dwóch warstw o różnch współcnnikach filtracji. IV..9. Aproksmacja Dupuit. Aproksmacja Dupuit jest najstarsm modelem prepłwu filtracjnego i mimo uprosceń idącch nasm daniem bt daleko, jest dość powsechnie stosowana pre inżnierów budownictwa lądowego i wodnego, melioracji i pokrewnch diedin do projektowania sstemów odwodnieniowch. Dupuit wprowadił ałożenia do opisu filtracji, które powodują, że prepłw dwu- i trójwmiarowe sprowadają się odpowiednio do prepłwów jedno- i dwuwmiarowch. Istotę tch ałożeń wjaśnim na prkładie prepłwu dwuwmiarowego rs Rs Schemat dla obraowania ałożeń aproksmacji Dupuit. W obsare filtracji poprowadim dwa prekroje prostopadłe do powierchni nieprepuscalnej, oddalone od siebie o nieskońcenie małą odległość Dupuitwprowadił następujące ałożenia: l) wsokość hdraulicna jest jednakowa we wsstkich punktach prekroju; ) prepłw jest jednostajn; d

29 3) prędkość filtracji jest prostopadła do powierchni prekroju prostopadłego, któr jest prostopadł do powierchni nieprepuscalnej. 4) Filtrująca ciec jest nieściśliwa podobnie jak skielet pre por, którego odbwa się prepłw. W wniku tch ałożeń prędkość filtracji będie jednakowa w każdm punkcie danego prekroju i wniesie: dh = k. (0.151) dl Jest wiele adań w praktce inżnierskiej, do którch to adań dostatecną dokładnością można stosować teorię Dupuit. Wielkość błędu wnikającego prjęcia ałożeń Dupuit ależ od stopnia, w jakim ałożenia teorii Dupuit odbiegają od recwistości, w scególności, gd linie prądu nie prebiegają prostopadle do powierchni prekroju stanowiącą płascnę prostopadłą do powierchni nieprepuscalnej. W ależności od kstałtu powierchni prekroju, rowiąwać będiem adania w prostokątnm, walcowm lub sfercnm układie współrędnch. Uogólnienie teorii Dupuit na prpadek prepłwu nieustalonego, będącego wnikiem dopłwu wód infiltracjnch do swobodnej powierchni prepłwu jest teoria Boussinesqu a. IV..10. Założenia i równanie teorii Boussinesqu a. Roważm prpadek prepłwu swobodnego w trójwmiarowej prestreni,,. Płascna,,0 najduje się na granic warstw prepuscalnej i nieprepuscalnej. W teorii Boussinesqu a opisującej prepłw nieustalon prjmuje się następujące ałożenia: 1) ośrodek, pre któr następuje prepłw jest jednorodn i iotropow, ) prepłw odbwa się w akresie liniowego prawa prepłwu Darc ego (ruch laminarn), wsokość hdraulicna wdłuż wciętego obsaru prostopadłościanu jest w każdm punkcie jednakowa i równa wsokości tego prostopadłościanu (rs. 4.19), 3) prepłwająca pre ośrodek ciec (w domśle woda) jest nieodkstałcalna, 4) własności filtracjne określa stał w całm obsare współcnnik filtracji k, 5) prędkość filtracji jest wektorem dwuwmiarowm o składowch i odpowiednio w kierunku osi i spełniającch równania Dupuit: = k i = k, (0.15) 6) do powierchni swobodnej dopłwają wod infiltracjne o wdatku infiltracji Q inf, 7) wdatek infiltracji prpadając na obsar elementarn równ jest: Qinf = εdd, (0.153) gdie ε określa prędkość dopłwu wód infiltracjnch wana dalej intenswnością infiltracji, obsar filtracji mienia się w casie, co na schemacie 4.19 repreentuje podniesienie się wierciadła wod w prediale casu dt o wielkość dh, 8) pre podstawę prostopadłościanu nie wstępuje prepłw breg nieprepuscaln

30 Rs Schemat obraując ałożenia teorii Boussinesqu a. Całkowit prrost wdatku Q stanowi sumę prrostu wdatków prepłwającch w kierunku osi, i, więc: dq = dq + dq + dq. (0.154) Prrost wdatku w kierunku osi e wględu na brak prepłwu pre podstawę prostopadłościanu elementarnego wnosi: dq = Q = εdd. (0.155) inf Oblicm prrost wdatku dq : dq = d, (0.156) gdie Q = F, pr cm F = dh ora = k, (0.157) więc dq = kh d d. (0.158) Ponieważ k jest wielkością stałą, a jest mienną nieależną od, więc: dq = k H dd. (0.159)

31 Podobnie oblicm prrost wdatku dq e woru: dq = k H dd. (0.160) Całkowit prrost wdatku prepłwającego pre obsar elementarn wnosi: dq = k H dd + k H dd + εdd. (0.161) Zmiana wdatku dq w casie dt w obsare filtracji powoduje wrost lub ubtek całkowitej objętości fa ciekłej w obsare filtracji: dv dq =, (0.16) dt gdie dv określa prrost objętości obsaru elementarnego, któr można wraić worem: Zmianę objętości dv możem w prbliżeniu oblicć e woru: dv = dqdt. (0.163) dv = µ dhdd, (0.164) e gdie µ e jest współcnnikiem porowatości efektwnej. Ponieważ dh określa prrost wsokości hdraulicnej w casie dt, możem uwględniając fakt, że prjęt pre nas układ odniesienia jest układem Lagrange a, apisać: dh = dt, (0.165) t więc: dv H = µ e t dddt. (0.166) Korstając e woru (0.166) i uwględniając wor (0.161) i (0.16), można apisać: µ e dddt = k H + k H + ε dddt t. (0.167) Dieląc obie stron równania pre dddt dostajem ostatecnie równanie Boussinesqu a w postaci: H µ e k H k = + H + ε. (0.168) t W prpadku braku infiltracji równanie Boussinesqu a sprowada się do równania Dupuit dla prpadku prepłwu prestrennego (model dwuwmiarow prepłwu trójwmiarowego). Powżse równanie (0.168) jest nieliniowe i tego powodu istnieje istotna trudność w jego rowiąwaniu. W takim prpadku posukuje się równania liniowego, które daje rowiąania bliżone do równania orginalnego. Posukiwanie takiego równania nawa się procesem linearacji, a ekwiwalentne równanie liniowe równaniem linearowanm Boussinesqu a.

32 IV Linearacja równania prepłwu nieustalonego. W literature preentowane są dwie metod linearacji równania Boussinesqu a: metoda Boussinesqu a, metoda Bagrowa Wiergina. Metoda Boussinesqu a wnika astąpienia cłonów nieliniowch równania cłonami liniowmi akładając, że wsokość hdraulicna H w cłonach najdującch się w nawiasie jest wielkością stałą i równa się wielkości średniej miążsości warstw wodonośnej, więc równanie(0.168) możem apisać w postaci: µ e = k Hśr + k Hśr + ε t H = H. (0.169) śr Możem wciągnąć H śr pred nak pochodnej, a następnie po podieleniu obu stron równania pre kh dostajem linearowane równanie Boussinesqu a w postaci: śr µ ε e H H = + + khśr t khśr. (0.170) Metoda Bagrowa Wiergina jest nieco bardiej łożona i opiera się na następującm roumowaniu: pochodne cąstkowe po i wstępujące w równaniu (0.167) możem apisać worami równoważnmi: H H H H i H = = ; (0.171) pomnóżm obie stron równania (0.171) pre H, wówcas po uwględnieniu powżsch ależności możem apisać H H µ eh = kh + kh + ε H t śr ; (0.17) cłon po prawej stronie powżsego równania można apisać wrażeniem równoważnm: H µ eh = µ e t t ; (0.173) astępując H pr drugich pochodnch po i pre H śr, ora podstawiając dostajem linearowane równanie Bousinessqu a w postaci: τ = H

33 µ e τ τ = + τ + ε śr kh t k. (0.174) Obdwa równania (0.169) i (0.174) mają podobną postać, ale ich rowiąanie prowadi do odmiennch rowiąań opisującch proces prepłwu. Konsekwencje obdwu linearacji predstawim w dalsej cęści prac na prkładach adania prepłwu pre groblę uwględnieniem asilania wodami infiltracjnmi (w rodiale VIII).