Środek ciężkości bryły jednorodnej

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "4.2.1. Środek ciężkości bryły jednorodnej"

Transkrypt

1 4..1. Środek ciężkości rł jednorodnej Brłą jednorodną nawam ciało materialne, w którm masa jest romiescona równomiernie w całej jego ojętości. Dla takic ciał arówno gęstość, jak i ciężar właściw są wielkościami stałmi. Jeżeli ciężar właściw onacm pre γ, a ojętość rł pre, to całkowit ciężar ora ciężar elementu ojętości rł możem wraić worami: γ, d γ d. Po podstawieniu tc ależności do worów (4.5) ora (4.6) i skróceniu pre stał cnnik γ otrmam: d r r d d,,, (4.11) d. (4.1) Osarem całkowania jest tutaj cała ojętość rł. Z otrmanc worów wnika, że położenie środka ciężkości (środka mas) rł jednorodnc ależ tlko od ic kstałtu geometrcnego. W wnacaniu środków ciężkości pomocne jest następujące twierdenie, którego dowód poostawiam telnikowi. Jeżeli rła jednorodna ma płascnę, oś lu środek smetrii, to środek ciężkości tej rł ędie leżał na płascźnie, osi lu w środku smetrii. Prkład 4.1. Wnacć położenie środka ciężkości jednorodnego ostrosłupa foremnego o podstawie kwadratu o oku i wsokości (rs. 4.3). Rowiąanie. Ponieważ oś jest osią smetrii, środek ciężkości ędie leżał na tej osi, cli 0. Wstarc atem wnacć jedną współrędną treciego woru (4.1).

2 d O Rs Wnacanie środka ciężkości ostrosłupa d. (a) W mianowniku tego woru wstępuje ojętość ostrosłupa: 3. () W celu wnacenia całki wstępującej w licniku woru (a) ostrosłup podielim na element d w postaci cienkic płtek kwadratowc, równoległc do podstaw, o oku i gruości d. Ojętość tak prjętego elementu d d. Bok krawędi elementu najdiem proporcji wnikającej rsunku:., stąd ( )

3 Mam więc: d ( ) d. (c) Po podstawieniu worów (c) i () do (a) i wkonaniu całkowania otrmam sukaną współrędną środka ciężkości: ( ) 0 d 4. 3

4 4... Środek ciężkości powiercni jednorodnej Takie rł, jak cienkie płt, lac, powłoki itp., którc gruość jest nikomo mała w porównaniu poostałmi wmiarami, ędiem nawali powiercniami materialnmi. Jeżeli ciężar jednostki powiercni jest stał, d to powiercnię taką nawam powiercnią jednorodną. d ciężar d jednostki powiercni onacm pre γ, powiercnię całkowitą O pre, a powiercnię elementarną pre d (rs. 4.4), to możem napisać: Rs Wnacanie położenia środka ciężkości powiercni γ, d γ d. Po podstawieniu tc ależności do worów (4.6) i po skróceniu licnika i mianownika pre γ const otrmam wor na współrędne środka ciężkości powiercni jednorodnej: d d,,. (4.13) Wstępujące w tc worac całki są całkami powiercniowmi rociągniętmi na całą powiercnię. Jeżeli powiercnia jednorodna jest figurą płaską i leż na płascźnie np., to współrędna 0 ora d d d,. (4.14) Punkt o współrędnc określonc worami (4.14) nawam środkiem ciężkości figur płaskiej.

5 4..3. Środek ciężkości linii jednorodnej W astosowaniac tecnicnc cęsto spotkam rł, takie jak drut, pręt, lin itp., którc dwa wmiar są nikomo małe w porównaniu długością. Brł te nawam liniami materialnmi, tn. prjmujem, że cała masa jest rołożona wdłuż linii środków d B prekrojów poprecnc. Jeżeli ciężar jednostki długości jest stał, to d taką linię nawam linią A jednorodną. Po onaceniu ciężaru jednostki O długości pre, a długości linii γ AB (rs. 4.5) pre ciężar całkowit linii i ciężar elementu długości ędą wrażał wor: γ, d γ d. Rs Wnacanie położenia środka ciężkości linii jednorodnej Postępując analogicnie jak w prpadku powiercni jednorodnej e worów (4.6), otrmam wor na współrędne środka ciężkości linii jednorodnej: gdie jest długością linii. d d,, d, (4.15)

napór cieczy - wypadkowy ( hydrostatyczny )

napór cieczy - wypadkowy ( hydrostatyczny ) 5. apór hdrostatcn i równowaga ciał płwającch Płn najdując się w stanie równowagi oddiałwuje na ścian ogranicające ropatrwaną jego objętość i sił te nawane są naporami hdrostatcnmi. Omawiana problematka

Bardziej szczegółowo

P K. Położenie punktu na powierzchni kuli określamy w tym układzie poprzez podanie dwóch kątów (, ).

P K. Położenie punktu na powierzchni kuli określamy w tym układzie poprzez podanie dwóch kątów (, ). Materiał ddaktcne Geodeja geometrcna Marcin Ligas, Katedra Geomatki, Wdiał Geodeji Górnicej i Inżnierii Środowiska UKŁADY WSPÓŁZĘDNYCH NA KULI Pierwsm prbliżeniem kstałtu Ziemi (ocwiście po latach płaskich

Bardziej szczegółowo

ANALIZA KONSTRUKCJI POWŁOKOWEJ. CIENKOŚCIENNY ZBIORNIK CIŚNIENIOWY

ANALIZA KONSTRUKCJI POWŁOKOWEJ. CIENKOŚCIENNY ZBIORNIK CIŚNIENIOWY Cw3_biornik.doc ANALIZA KONTRUKCJI POWŁOKOWEJ. CIENKOŚCIENNY ZBIORNIK CIŚNIENIOWY 1. W P R O W A D Z E N I E Ciało utworone pre dwie akrwione powierchnie nawane jest powłoką, jeśli preciętna odlełość pomięd

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń liniowa R n.

Przestrzeń liniowa R n. MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Prestreń liniowa R n. Element (wektor) prestreni R n będiem onacać [,,, ] Element erow [,, L, ]. Diałania. a) ilocn element pre licbę: b) sma elementów [ c, c, ] c L, c

Bardziej szczegółowo

Belki złożone i zespolone

Belki złożone i zespolone Belki łożone i espolone efinicja belki łożonej siła rowarswiająca projekowanie połąceń prkła obliceń efinicja belki espolonej ałożenia echnicnej eorii ginania rokła naprężeń normalnch prkła obliceń Belki

Bardziej szczegółowo

Strukturalne elementy symetrii. Krystalograficzne grupy przestrzenne.

Strukturalne elementy symetrii. Krystalograficzne grupy przestrzenne. Uniwerstet Śląski Insttut Chemii Zakład Krstalografii Laboratorium Krstalografii Strukturalne element smetrii. Krstalograficne grup prestrenne. god. Cel ćwicenia: aponanie się diałaniem elementów smetrii

Bardziej szczegółowo

Ruch kulisty bryły. Kinematyka

Ruch kulisty bryły. Kinematyka Ruch kulist bł. Kinematka Ruchem kulistm nawam uch, w casie któego jeden punktów bł jest stale nieuchom. Ruch kulist jest obotem dookoła chwilowej osi obotu (oś ta mienia swoje położenie w casie). a) b)

Bardziej szczegółowo

ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE

ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN ODDZIAŁ W POZNANIU Vol. 6 nr Archiwum Technologii Masn i Automatacji 6 ROMAN STANIEK * ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE W artkule predstawiono ależności matematcne

Bardziej szczegółowo

WYTRZYMAŁOŚĆ ZŁOŻONA

WYTRZYMAŁOŚĆ ZŁOŻONA TRAŁOŚĆ ŁOŻONA rpadki wtrmałości łożonej praktce inżnierskiej najcęściej spotka się łożone prpadki ociążeń konstrukcji. Do prawidłowego rowiąwania tc agadnień koniecna jest najomość wceśniej omówionc prostc

Bardziej szczegółowo

3. Metody rozwiązywania zagadnień polowych

3. Metody rozwiązywania zagadnień polowych 3. Metod rowiąwania agadnień polowch 3.. Dokładne metod anali pola Dokładne metod anali pola powalają na uskanie dokładnego rowiąania równania róŝnickowego lub całkowego w dowolnm punkcie obsaru diałania

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr - Wykład 7 Ruch ogólny elementu płynu

J. Szantyr - Wykład 7 Ruch ogólny elementu płynu J. Santr - Wkład 7 Rch ogóln element płn Rch ogóln ciała stwnego można predstawić jako smę premiescenia liniowego i obrot. Ponieważ płn nie mają stwności postaciowej, w rch płn dochodi dodatkowo do odkstałcenia

Bardziej szczegółowo

1. Podstawy rachunku wektorowego

1. Podstawy rachunku wektorowego 1 Postaw rachunku wektorowego Wektor Wektor est wielkością efiniowaną pre ługość (mouł) kierunek iałania ora wrot Dwa wektor o tm samm moule kierunku i wrocie są sobie równe Wektor presunięt równolegle

Bardziej szczegółowo

2.1. Określenie i rodzaje wektorów. Mnożenie wektora przez skalar

2.1. Określenie i rodzaje wektorów. Mnożenie wektora przez skalar 2.1. kreślenie i rodje wektorów. Mnożenie wektor pre sklr Wielkości ficne wstępujące w mechnice i innch diłch fiki możn podielić n sklr i wektor. A określić wielkość sklrną, wstrc podć tlko jedną licę.

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA BUDOWLI 2 PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH

MECHANIKA BUDOWLI 2 PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH Oga Kopac, am Łogowski, Wojciech Pawłowski, ichał Płotkowiak, Krstof mber Konsutacje naukowe: prof. r hab. JERZY RKOWSKI Ponań /3 ECHIK BUDOWI Praca sił normanch Siła normana prpomnienie (): Jest to siła

Bardziej szczegółowo

( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił

( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił 3.7.. Reducja dowolego uładu sił do sił i par sił Dowolm uładem sił będiem awać uład sił o liiach diałaia dowolie romiescoch w prestrei. tm pucie ajmiem się sprowadeiem (reducją) taiego uładu sił do ajprostsej

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie środka ścinania w prętach o przekrojach niesymetrycznych

Wyznaczanie środka ścinania w prętach o przekrojach niesymetrycznych Insttut Mechaniki i Inżnierii Obliceniowej Wdiał Mechanicn echnologicn Politechnika Śląska www.imio.polsl.pl LBORORIUM WYRZYMŁOŚCI MERIŁÓW Wnacanie środka ścinania w prętach o prekrojach niesmetrcnch WYZNCZNIE

Bardziej szczegółowo

PRAWA ZACHOWANIA Prawa zachowania najbardziej fundamentalne prawa:

PRAWA ZACHOWANIA Prawa zachowania najbardziej fundamentalne prawa: PRW ZCHOWNI Pawa achowania nabadie fundamentalne pawa: o ewnętne : pawo achowania pędu, pawo achowania momentu pędu, pawo achowania enegii; o wewnętne : pawa achowania np. całkowite licb nukleonów w eakci

Bardziej szczegółowo

Wydawnictwo Wyższej Szkoły Komunikacji i Zarządzania w Poznaniu

Wydawnictwo Wyższej Szkoły Komunikacji i Zarządzania w Poznaniu CMYK ISBN 98-8-888-- Wdanicto Wżsej Skoł Komunikacji i Zarądania - Ponań, ul Różana a tel 8 9, fa 8 9 skiedu danicto@skiponanpl analia89indd Wdanicto Wżsej Skoł Komunikacji i Zarądania Ponaniu 9--8 ::

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu miennch wkład MATEMATYKI Automatka i robotka studia niestacjonarne sem II, rok ak 2009/2010 Katedra Matematki Wdiał Informatki Politechnika Białostocka Niech R ndef ={( 1, 2,, n ): 1 R 2

Bardziej szczegółowo

Graficzne modelowanie scen 3D. Wykład 4

Graficzne modelowanie scen 3D. Wykład 4 Wkład 4 Podstawowe pojęcia i definicje . Modelowanie. Definicja Model awiera wsstkie dane i obiekt ora wiąki pomięd nimi, które są niebędne do prawidłowego wświetlenia i realiowania interakcji aplikacją,

Bardziej szczegółowo

TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI 10

TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI 10 W YKŁ ADY Z T EOII S ĘŻYSTOŚCI ZADANIE BOUSSINESQA I FLAMANTA olitechnika onańska Kopac, Kawck, Łodgowski, łotkowiak, Świtek, Tmpe Olga Kopac, Kstof Kawck, Adam Łodgowski, Michał łotkowiak, Agnieska Świtek,

Bardziej szczegółowo

2.3.1. Iloczyn skalarny

2.3.1. Iloczyn skalarny 2.3.1. Ilon sklrn Ilonem sklrnm (sklrowm) dwóh wektorów i nwm sklr równ ilonowi modułów ou wektorów pre kosinus kąt wrtego międ nimi. α O Rs. 2.8. Ilustrj do definiji ilonu sklrnego Jeżeli kąt międ wektormi

Bardziej szczegółowo

PITAGORAS ARYSTOTELES ERATOSTENES. Wprowadzenie. O kulistości Ziemi. Starożytni postulatorzy kulistości Ziemi

PITAGORAS ARYSTOTELES ERATOSTENES. Wprowadzenie. O kulistości Ziemi. Starożytni postulatorzy kulistości Ziemi O kulistości Ziemi Starożtni postulator kulistości Ziemi Wprowaenie PITAGOAS sugerował, iż Ziemia jest kstałtu kulistego. Jenak postulat ten opierał się racej na tm, iż kula bła uważana a figurę oskonałą,

Bardziej szczegółowo

PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE. WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) ŚLIMAKOWE HIPERBOIDALNE. o zebach prostych. walcowe. o zębach.

PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE. WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) ŚLIMAKOWE HIPERBOIDALNE. o zebach prostych. walcowe. o zębach. CZOŁOWE OWE PRZEKŁADNIE STOŻKOWE PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) HIPERBOIDALNE ŚLIMAKOWE o ebach prostych o ębach prostych walcowe walcowe o ębach śrubowych o

Bardziej szczegółowo

- 1 - OBLICZENIA WYTRZYMAŁOŚCIOWE - DREWNO

- 1 - OBLICZENIA WYTRZYMAŁOŚCIOWE - DREWNO Użtkownik: Biuro Inżnierskie SPECBUD Autor: mg inż. Jan Kowalski Ttuł: Konstrukcje drewniane wg PN-EN Belka - 1 - Kalkulator Konstrukcji Drewnianch EN v.1.0 OBLICZENIA WYTRZYMAŁOŚCIOWE - DREWNO 2013 SPECBUD

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA OGÓLNA. Semestr: II (Mechanika I), III (Mechanika II), rok akad. 2013/2014

MECHANIKA OGÓLNA. Semestr: II (Mechanika I), III (Mechanika II), rok akad. 2013/2014 MECHANIKA OGÓLNA Semestr: II (Mechanika I), III (Mechanika II), rok akad. 2013/2014 Licba godin: sem. II *) - wkład 30 god., ćwicenia 30 god. sem. III *) - wkład 30 god., ćwicenia 30 god., ale dla kier.

Bardziej szczegółowo

DryLin T System prowadnic liniowych

DryLin T System prowadnic liniowych DrLin T Sstem prowadnic liniowch Prowadnice liniowe DrLin T ostał opracowane do astosowań wiąanch automatką i transportem materiałów. Chodiło o stworenie wdajnej, beobsługowej prowadnic liniowej do astosowania

Bardziej szczegółowo

Fale skrętne w pręcie

Fale skrętne w pręcie ae skrętne w ręcie + -(+) eement ręta r π ) ( 4 Lokane skręcenie o () moment skręcając moduł stwności r romień ręta r 4 ) ( π Pod włwem wadkowego momentu eement ręta uskuje rsiesenie kątowe i sełnion jest

Bardziej szczegółowo

ROBOT Millennium wersja 20.1 - Podręcznik użytkownika strona: 371 9. ZAŁĄCZNIKI. Robobat www.robobat.com

ROBOT Millennium wersja 20.1 - Podręcznik użytkownika strona: 371 9. ZAŁĄCZNIKI. Robobat www.robobat.com ROBO Milleium wersja. - Podręcik użtkowika stroa: 37 9. ZAŁĄCZNIKI Robobat www.robobat.com stroa: 37 ROBO Milleium wersja. - Podręcik użtkowika 9.. Załącik - Elemet prętowe (ieliiowa aalia w programie

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 361 Badanie układu dwóch soczewek

Ćwiczenie 361 Badanie układu dwóch soczewek Nazwisko... Data... Wdział... Imię... Dzień tg.... Godzina... Ćwiczenie 36 Badanie układu dwóch soczewek Wznaczenie ogniskowch soczewek metodą Bessela Odległość przedmiotu od ekranu (60 cm 0 cm) l Soczewka

Bardziej szczegółowo

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx 5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A

Bardziej szczegółowo

Stan naprężenia. Przykład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić siły masowe oraz obciążenie brzegu tarczy jeśli stan naprężenia wynosi:

Stan naprężenia. Przykład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić siły masowe oraz obciążenie brzegu tarczy jeśli stan naprężenia wynosi: Stan naprężenia Przkład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić sił masowe oraz obciążenie brzegu tarcz jeśli stan naprężenia wnosi: 5 T σ. 8 Składowe sił masowch obliczam wkonując różniczkowanie zapisane

Bardziej szczegółowo

Zadania na IV etap Ligi Matematyczni-Fizycznej klasa II

Zadania na IV etap Ligi Matematyczni-Fizycznej klasa II Zadania na IV etap Ligi Matematczni-Fizcznej klasa II Zadanie. Oblicz długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnm równoramiennm, którego obwód jest równ cm. Zadanie. W trójkącie prostokątnm wsokość

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe

Równania różniczkowe cząstkowe Równania różniczkowe cząstkowe Definicja: Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6 ozwiązwanie beek prostch i przegubowch wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch 6 Obciążenie beki mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe q rs. 6.. s. 6. rzed przstąpieniem

Bardziej szczegółowo

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,

Bardziej szczegółowo

Document: Exercise-03-manual --- 2014/12/10 --- 8:54--- page 1 of 8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 3. Optymalizacja wielowarstwowych płyt laminowanych

Document: Exercise-03-manual --- 2014/12/10 --- 8:54--- page 1 of 8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 3. Optymalizacja wielowarstwowych płyt laminowanych Document: Exercise-03-manual --- 2014/12/10 --- 8:54--- page 1 of 8 PRZEDMIOT TEMAT KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydiał Mechanicny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 3 1. CEL ĆWICZENIA Wybrane

Bardziej szczegółowo

Opis poszczególnych przedmiotów (Sylabus) Fizyka, studia pierwszego stopnia

Opis poszczególnych przedmiotów (Sylabus) Fizyka, studia pierwszego stopnia Opis poszczególnych przedmiotów (Sylabus) Fizyka, studia pierwszego stopnia Nazwa Przedmiotu: Mechanika klasyczna i relatywistyczna Kod przedmiotu: Typ przedmiotu: obowiązkowy Poziom przedmiotu: rok studiów,

Bardziej szczegółowo

R o z w i ą z a n i e Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P x i P y

R o z w i ą z a n i e Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P x i P y Przykład 1 Dane są trzy siły: P 1 = 3i + 4j, P 2 = 2i 5j, P 3 = 7i + 3j (składowe sił wyrażone są w niutonach), przecinające się w punkcie A (1, 2). Wyznaczyć wektor wypadkowej i jej wartość oraz kąt α

Bardziej szczegółowo

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Moment bezwładności Prawa ruchu Energia ruchu obrotowego Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Przypomnienie Równowaga bryły

Bardziej szczegółowo

9. Mimośrodowe działanie siły

9. Mimośrodowe działanie siły 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 1 9. 9. Mimośrodowe działanie siły 9.1 Podstawowe wiadomości Mimośrodowe działanie siły polega na jednoczesnym działaniu w przekroju pręta siły normalnej oraz dwóc momentów zginającyc.

Bardziej szczegółowo

( ) σ v. Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Analiza płaskiego stanu naprężenia.

( ) σ v. Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Analiza płaskiego stanu naprężenia. Adam Bdnar: Wtrzmałść Materiałów Analiza płaskieg stanu naprężenia 5 ANALIZA PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻENIA 5 Naprężenia na dwlnej płaszczźnie Jak pamiętam płaski stan naprężenia w punkcie cechuje t że wektr

Bardziej szczegółowo

(t) w przedziale (0 s 16 s). b) Uzupełnij tabelę, wpisując w drugiej kolumnie rodzaj ruchu, jakim poruszała się mrówka w kolejnych przedziałach czasu.

(t) w przedziale (0 s 16 s). b) Uzupełnij tabelę, wpisując w drugiej kolumnie rodzaj ruchu, jakim poruszała się mrówka w kolejnych przedziałach czasu. 1 1 x (m/s) 4 0 4 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 t (s) a) Narysuj wykres a x (t) w przedziale (0 s 16 s). b) Uzupełnij tabelę, wpisując w drugiej kolumnie rodzaj ruchu, jakim poruszała się mrówka

Bardziej szczegółowo

7.5.1. Ruch bryły swobodnej

7.5.1. Ruch bryły swobodnej 751 Ruch brł swobone Swobona brła stwna ma w prestren seść stopn swobo o oreślena e ruchu potreba seścu równań ruchu Ruch brł możem robć na ruch śroa mas wwołan pre ałane wetora głównego sł ewnętrnch obrót

Bardziej szczegółowo

Definicja obrotu: Definicja elementów obrotu:

Definicja obrotu: Definicja elementów obrotu: 5. Obroty i kłady Definicja obrotu: Obrotem punktu A dookoła prostej l nazywamy ruch punktu A po okręgu k zawartym w płaszczyźnie prostopadłej do prostej l w kierunku zgodnym lub przeciwnym do ruchu wskazówek

Bardziej szczegółowo

UZĘBIENIA CZOŁOWE O ŁUKOWO KOŁOWEJ LINII ZĘBÓW KSZTAŁTOWANE NARZĘDZIEM JEDNOOSTRZOWYM

UZĘBIENIA CZOŁOWE O ŁUKOWO KOŁOWEJ LINII ZĘBÓW KSZTAŁTOWANE NARZĘDZIEM JEDNOOSTRZOWYM MODELOWANIE INŻYNIESKIE ISSN 896-77X 40, s. 7-78, Gliwice 00 UZĘBIENIA CZOŁOWE O ŁUKOWO KOŁOWEJ LINII ZĘBÓW KSZTAŁTOWANE NAZĘDZIEM JEDNOOSTZOWYM PIOT FĄCKOWIAK Instytut Technologii Mechanicnej, Politechnika

Bardziej szczegółowo

=I π xy. +I π xz. +I π yz. + I π yz

=I π xy. +I π xz. +I π yz. + I π yz GEMETRIA MAS moment ewłdności i dewicji Zsd ogólne: 1) Moment ewłdności wględem osi ówn jest sumie momentów ewłdności wględem dwóc postopdłc płscn wiejącc tę oś: I =I π + I π I =I π + I π I = I π +I π

Bardziej szczegółowo

SYNTHESIS OF MOTION FOR A FOUR-LEGGED ROBOT

SYNTHESIS OF MOTION FOR A FOUR-LEGGED ROBOT Dr inŝ. Maciej T. Trojnacki Premsłow Insttut Automatki i Pomiarów Al. Jeroolimskie 0, 0-486 Warsawa Telefon: +48 8740 341, email: mtrojnacki@piap.pl SYNTEZA UCHU OBOTA CZTEONOśNEO W prac predstawiono nowatorską

Bardziej szczegółowo

Miarą oddziaływania jest siła. (tzn. że siła informuje nas, czy oddziaływanie jest duże czy małe i w którą stronę się odbywa).

Miarą oddziaływania jest siła. (tzn. że siła informuje nas, czy oddziaływanie jest duże czy małe i w którą stronę się odbywa). Lekcja 4 Temat: Pomiar wartości siły ciężkości. 1) Dynamika dział fizyki zajmujący się opisem ruchu ciał z uwzględnieniem przyczyny tego ruchu. Przyczyną ruchu jest siła. dynamikos (gr.) = potężny, mający

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

Rozważa się dwa typy odwzorowań: 1. Parametryzacja prosta

Rozważa się dwa typy odwzorowań: 1. Parametryzacja prosta WYKŁAD MODELOWANIE I WIZUALIZACJA TEKSTURY. Co to jest tekstra obiekt T(,, (,, t( =... tn(,,,, Plan wkład: Co to jest tekstra? Generowanie worów tekstr Wialiaja tekstr Filtrowanie tekstr Co może oiswać

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zastosowania matematki w analitce medcznej zestaw do kol. semestr. - rozwiązania i odpowiedzi (część I). ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. a) Rozważając dwa przpadki ze względu na moduł mam: skąd ostatecznie,3>.

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Zasada zachowania energii. Siły zachowawcze i niezachowawcze

Wykład 4. Zasada zachowania energii. Siły zachowawcze i niezachowawcze Wład 4 Zasada achowania enegii Sił achowawce i nieachowawce Wsstie istniejące sił możem podielić na sił achowawce i sił nie achowawce. Siła jest achowawca jeżeli paca tóą wonuję ta siła nad puntem mateialnm

Bardziej szczegółowo

Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Obowiązkowa znajomość zagadnień Charakterystyka drgań gasnących i niegasnących, ruch harmoniczny. Wahadło fizyczne, długość zredukowana

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 DEFINICJE PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 Czworokąt to wielokąt o 4 bokach i 4 kątach. Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Wysokością czworokąta nazywamy

Bardziej szczegółowo

Animowana grafika 3D. Opracowanie: J. Kęsik.

Animowana grafika 3D. Opracowanie: J. Kęsik. Animowana grafika 3D Opracowanie: J. Kęsik kesik@cs.pollb.pl Transformacje 3D Podobnie jak w prestreni -wymiarowej, dla prestreni 3-wymiarowej definijemy transformacje RST: presnięcie miana skali obrót

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCEN DLA KLASY VI. Zespół Szkolno-Przedszkolny nr 1

KRYTERIA OCEN DLA KLASY VI. Zespół Szkolno-Przedszkolny nr 1 KRYTERIA OCEN DLA KLASY VI Zespół Szkolno-Przedszkolny nr 1 2 3 KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA KLASY VI LICZBY NATURALNE I UŁAMKI Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien: - znać algorytm czterech

Bardziej szczegółowo

DRGANIA WYMUSZONE PŁYTY PROSTOKĄTNEJ Z CIECZĄ MAGNETOREOLOGICZNĄ

DRGANIA WYMUSZONE PŁYTY PROSTOKĄTNEJ Z CIECZĄ MAGNETOREOLOGICZNĄ acta mecanica et automatica, vol.5 no. ( DRGANIA WYMUSZONE PŁYTY PROSTOKĄTNEJ Z CIECZĄ MAGNETOREOLOGICZNĄ Jacek SNAMINA * * Katedra Automatacji Procesów, Wdiał Inżnierii Mecanicnej, Akademia Górnico-Hutnica

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 6. MODELE OBIEKTÓW 3-D3 część 2. 1. Powierzchnie opisane parametrycznie. Plan wykładu: Powierzchnie opisane parametrycznie

WYKŁAD 6. MODELE OBIEKTÓW 3-D3 część 2. 1. Powierzchnie opisane parametrycznie. Plan wykładu: Powierzchnie opisane parametrycznie WYKŁAD 6. owierchnie opisane paraetrcnie MODELE OIEKÓW -D cęść (,v (,v (,v f (,v f (,v f (,v v in in v v a a lan wkład: owierchnie opisane paraetrcnie v a v Krwe paraetrcne w -D D (krwa Herite a v in (,v

Bardziej szczegółowo

Fizyka I (mechanika), ćwiczenia, seria 1

Fizyka I (mechanika), ćwiczenia, seria 1 Fizka I (mechanika), ćwiczenia, seria 1 Układ współrzędnch na płaszczźnie. Zadanie 1 Odcinek o stałej długości porusza się tak, że jego punkt końcowe A i B ślizgają się po osiach odpowiednio x i pewnego

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa III program Matematyka z plusem Dział: LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE POZIOM KONIECZNY - ocena dopuszczająca Uczeń umie: szacować wyniki działań, zaokrąglać liczby

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASACH I - III GIMNAZJUM. Rok szkolny 2015/16

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASACH I - III GIMNAZJUM. Rok szkolny 2015/16 WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASACH I - III GIMNAZJUM Rok skolny 2015/16 POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: (2) - ocena dopscająca (2); (3) - ocena dostatecna (3); (4) - ocena dobra (4);

Bardziej szczegółowo

TEMAT: Próba statyczna rozciągania metali. Obowiązująca norma: PN-EN 10002-1:2002(U) Zalecana norma: PN-91/H-04310 lub PN-EN10002-1+AC1

TEMAT: Próba statyczna rozciągania metali. Obowiązująca norma: PN-EN 10002-1:2002(U) Zalecana norma: PN-91/H-04310 lub PN-EN10002-1+AC1 ĆWICZENIE NR 1 TEMAT: Próba statycna rociągania metali. Obowiąująca norma: PN-EN 10002-1:2002(U) Zalecana norma: PN-91/H-04310 lub PN-EN10002-1+AC1 Podać nacenie następujących symboli: d o -.....................................................................

Bardziej szczegółowo

Global Positioning System (GPS) zasada działania

Global Positioning System (GPS) zasada działania Global Positioning Sstem GPS asada diałania Metoda wnacania pocji GPS apewnia pocję 3D -,, H. Parametr nawigacjn odległość odbiornika od SV. Odległość od SV wlicana na podstawie pomiaru casu podcas prebtej

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III OPRACOWANO NA PODSTAWIE PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM DZIAŁ I: LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Na o cenę dopuszczający uczeń: zna pojęcie liczby naturalnej,

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI

WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 1 13. 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 13.1. TORIA PLASTYCZNOŚCI Teoria plastyczności zajmuje się analizą stanów naprężeń ciał, w których w wyniku działania obciążeń powstają

Bardziej szczegółowo

WARIANTOWANIE ROZWIĄZAŃ ZBIORNIKÓW PODZIEMNYCH STOSOWANYCH W GOSPODARSTWACH ROLNO HODOWLANYCH

WARIANTOWANIE ROZWIĄZAŃ ZBIORNIKÓW PODZIEMNYCH STOSOWANYCH W GOSPODARSTWACH ROLNO HODOWLANYCH WRINTOWNIE ROZWIĄZŃ ZIORNIKÓW POZIEMNYH STOSOWNYH W GOSPORSTWH ROLNO HOOWLNYH nna ŻKOWIZ Wdział udownictwa i Inżnierii Środowiska, Politechnika iałostocka, ul. Wiejska 45, 15-351 iałstok Streszczenie:

Bardziej szczegółowo

Przykład 2.6. Przekrój złożony z trzech kształtowników walcowanych.

Przykład 2.6. Przekrój złożony z trzech kształtowników walcowanych. Przkłd 6 Przkrój złożon z trzh ksztłtowników wlownh Polni: Wznzć główn ntrln momnt bzwłdnośi orz kirunki główn dl poniższgo przkroju złożongo z trzh ksztłtowników wlownh 0800 0 80800 Dn dotzą ksztłtowników

Bardziej szczegółowo

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL)

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL) arek isyński BO UŁ 007 - Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) -. Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) Zadaniem WPL naywamy następująe adanie optymaliaji liniowej: a a m L O L L O L L a a n n

Bardziej szczegółowo

A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)!

A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)! Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycnej MAP037 wykład dr hab. A. Jurlewic WPPT Fiyka, Fiyka Technicna, I rok, II semestr Prykłady - Lista nr : Prestreń probabilistycna. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

W przypadku przepływu potencjalnego y u z. nieściśliwego równanie zachowania masy przekształca się w równanie Laplace a: = + + t

W przypadku przepływu potencjalnego y u z. nieściśliwego równanie zachowania masy przekształca się w równanie Laplace a: = + + t J. Szantr Wkład nr 3 Przepłw potencjalne 1 Jeżeli przepłw płn jest bezwirow, czli wszędzie lb prawie wszędzie w pol przepłw jest rot 0 to oznacza, że istnieje fnkcja skalarna ϕ,, z, t), taka że gradϕ.

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka

Przedmiotowy system oceniania Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka Przedmiotowy system oceniania Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka I. Potęgi i pierwiastki. Klasa II 1. Zapisuje w postaci potęgi iloczyn tych samych czynników i odwrotnie. 2. Oblicza

Bardziej szczegółowo

Linia dwuprzewodowa Obliczanie pojemności linii dwuprzewodowej

Linia dwuprzewodowa Obliczanie pojemności linii dwuprzewodowej Linia dwuprzewodowa Obliczanie pojemności linii dwuprzewodowej 1. Wstęp Pojemność kondensatora można obliczyć w prosty sposób znając wartości zgromadzonego na nim ładunku i napięcia między okładkami: Q

Bardziej szczegółowo

Pozyskiwanie danych przestrzennych, wykorzystywanie map numerycznych i analogowych, posługiwanie się systemami GIS

Pozyskiwanie danych przestrzennych, wykorzystywanie map numerycznych i analogowych, posługiwanie się systemami GIS Poskiwanie danch pesennch, wkoswanie map numecnch i analogowch, posługiwanie się ssemami GIS Maeiał ddakcne dla eneów wasaów ealiowanch w amach pojeku "Naucciel na pakkach. Pogam doskonalenia awodowego

Bardziej szczegółowo

ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE

ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE P O L I T E C H N I K A W A R S Z A W S K A WYDZIAŁ BUDOWNICTWA, MECHANIKI I PETROCHEMII INSTYTUT INŻYNIERII MECHANICZNEJ ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE Optymaliacja transportu wewnętrnego w akładie mechanicnym

Bardziej szczegółowo

Końcoworoczne kryteria oceniania dla klasy II z matematyki przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Iwona Śliczner

Końcoworoczne kryteria oceniania dla klasy II z matematyki przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Iwona Śliczner Końcoworoczne kryteria oceniania dla klasy II z matematyki przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Iwona Śliczner Semestr I Rozdział: Potęgi i pierwiastki zapisuje w postaci potęgi iloczyn tych samych

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN GIMNAZJALNY W ROKU SZKOLNYM 2011/2012

EGZAMIN GIMNAZJALNY W ROKU SZKOLNYM 2011/2012 Centralna Komisja Egzaminacjna EGZAMIN GIMNAZJALNY W ROKU SZKOLNYM 2011/2012 CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZA MATEMATYKA ODPOWIEDZI I PROPOZYCJE OCENIANIA PRZYKŁADOWEGO ZESTAWU ZADAŃ PAŹDZIERNIK 2011 Zadania

Bardziej szczegółowo

Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Celujący

Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Celujący Liczby i wyrażenia zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej zna pojęcie liczby niewymiernej, rzeczywistej zna sposób zaokrąglania liczb umie zapisać i odczytać liczby naturalne dodatnie w systemie

Bardziej szczegółowo

Lista zadań nr 6 Środek masy, Moment bezwładności, Moment siły (2h)

Lista zadań nr 6 Środek masy, Moment bezwładności, Moment siły (2h) Lista zadań nr 6 Środek masy, Moment bezwładności, Moment siły (2h) Środek ciężkości Zaad.6.1 Wyznacz środek masy układu pięciu mas o odpowiednich współrzędnych: m 1 (2,2), m 2 (2,5), m 3 (-4,2), m 4 (-3,-2),

Bardziej szczegółowo

Transformator Φ M. uzwojenia; siła elektromotoryczna indukowana w i-tym zwoju: dφ. = z1, z2 liczba zwojów uzwojenia pierwotnego i wtórnego.

Transformator Φ M. uzwojenia; siła elektromotoryczna indukowana w i-tym zwoju: dφ. = z1, z2 liczba zwojów uzwojenia pierwotnego i wtórnego. Transformator Φ r Φ M Φ r i i u u Φ i strumień magnetycny prenikający pre i-ty wój pierwsego uwojenia; siła elektromotorycna indukowana w i-tym woju: dφ ei, licba wojów uwojenia pierwotnego i wtórnego.

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne dla klasy VI z matematyki. Opracowane na podstawie programu nauczania Matematyka z plusem LICZBY NATURALNE I UŁAMKI

Wymagania edukacyjne dla klasy VI z matematyki. Opracowane na podstawie programu nauczania Matematyka z plusem LICZBY NATURALNE I UŁAMKI Wymagania edukacyjne dla klasy VI z matematyki. Opracowane na podstawie programu nauczania Matematyka z plusem LICZBY NATURALNE I UŁAMKI Ocena dopuszczająca: - nazwy działań - algorytm mnożenia i dzielenia

Bardziej szczegółowo

PRZYRZĄD DO BADANIA RUCHU JEDNOSTAJNEGO l JEDNOSTANIE ZMIENNEGO V 5-143

PRZYRZĄD DO BADANIA RUCHU JEDNOSTAJNEGO l JEDNOSTANIE ZMIENNEGO V 5-143 Przyrząd do badania ruchu jednostajnego i jednostajnie zmiennego V 5-43 PRZYRZĄD DO BADANIA RUCHU JEDNOSTAJNEGO l JEDNOSTANIE ZMIENNEGO V 5-43 Oprac. FzA, IF US, 2007 Rys. Przyrząd stanowi równia pochyła,

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z działu: Pomiary, masa, ciężar, gęstość, ciśnienie, siła sprężystości

Przykładowe zadania z działu: Pomiary, masa, ciężar, gęstość, ciśnienie, siła sprężystości Przykładowe zadania z działu: Pomiary, masa, ciężar, gęstość, ciśnienie, siła sprężystości Zad.1 Za pomocą mierników elektronicznych, mierzących czas z dokładnością do 0,01(s), trójka uczniów mierzyła

Bardziej szczegółowo

2. Charakterystyki geometryczne przekroju

2. Charakterystyki geometryczne przekroju . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1.. Charakterystyki geometryczne przekroju.1 Podstawowe definicje Z przekrojem pręta związane są trzy wielkości fizyczne nazywane charakterystykami geometrycznymi

Bardziej szczegółowo

ZAAWANSOWANYCH MATERIAŁÓW I TECHNOLOGII

ZAAWANSOWANYCH MATERIAŁÓW I TECHNOLOGII WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA Wydział Nowych Technologii i Chemii KATEDRA ZAAWANSOWANYCH MATERIAŁÓW I TECHNOLOGII Temat: Grafika inżynierska Podstawy Inżynierii Wytwarzania T 1: elementy przestrzeni rzuty

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów

Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów Ćwiczenie 63 Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów 63.1. Zasada ćwiczenia W ćwiczeniu określa się współczynnik sprężystości pojedynczych sprężyn i ich układów, mierząc wydłużenie

Bardziej szczegółowo

Ułamki i działania 20 h

Ułamki i działania 20 h Propozycja rozkładu materiału Klasa I Razem h Ułamki i działania 0 h I. Ułamki zwykłe II. Ułamki dziesiętne III. Ułamki zwykłe i dziesiętne. Przypomnienie wiadomości o ułamkach zwykłych.. Dodawanie i odejmowanie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM OCENA ŚRÓDROCZNA: NIEDOSTATECZNY ocenę niedostateczny otrzymuje uczeń, który

Bardziej szczegółowo

Lokalizacja robota Lego Mindstorms NXT przy użyciu odometrii

Lokalizacja robota Lego Mindstorms NXT przy użyciu odometrii Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Laoratorium Sterowania Rootów Lokalizacja roota Lego Mindstorms NXT przy użyciu odometrii Uwagi wstępne 1. Wszystkie przykłady i

Bardziej szczegółowo

METODA MATEMATYCZNEGO MODELOWANIA PŁATAMI BÉZIERA KSZTAŁTU ZIARNA PSZENŻYTA

METODA MATEMATYCZNEGO MODELOWANIA PŁATAMI BÉZIERA KSZTAŁTU ZIARNA PSZENŻYTA I N Ż YNIERIA R OLNICZA A GRICULTURAL E NGINEERING 01: Z. (14) T.1 S. 5- ISSN 149-764 Polske Towarstwo Inżner Rolnce http://www.ptr.org METODA MATEMATYCZNEGO MODELOWANIA PŁATAMI BÉZIERA KSZTAŁTU ZIARNA

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI SZKOŁY PODSTAWOWEJ W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI SZKOŁY PODSTAWOWEJ W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 Wymagania konieczne (ocena dopuszczająca): nazwy działań (K) algorytm mnożenia i dzielenia ułamków dziesiętnych przez 10, 100, 1000,.. (K) kolejność wykonywania działań (K) pojęcie potęgi (K) algorytmy

Bardziej szczegółowo

Kryteria ocen z matematyki w Gimnazjum. Klasa I. Liczby i działania

Kryteria ocen z matematyki w Gimnazjum. Klasa I. Liczby i działania Kryteria ocen z matematyki w Gimnazjum Klasa I Liczby i działania obliczać wartości wyrażeń arytmetycznych, w których występują liczby wymierne skracać i rozszerzać ułamki zwykłe porównywać dwa ułamki

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc 1, Ciągi zna definicję ciągu (ciągu liczbowego); potrafi wyznaczyć dowolny wyraz ciągu liczbowego określonego wzorem ogólnym;

Bardziej szczegółowo

Optyka 2. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Optyka 2. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Optka Projekt współinansowan przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funuszu Społecznego Optka II Promień świetln paając na powierzchnię zwierciała obija się zgonie z prawem obicia omówionm w poprzeniej

Bardziej szczegółowo

Ładunki elektryczne i siły ich wzajemnego oddziaływania. Pole elektryczne. Copyright by pleciuga@ o2.pl

Ładunki elektryczne i siły ich wzajemnego oddziaływania. Pole elektryczne. Copyright by pleciuga@ o2.pl Ładunki elektryczne i siły ich wzajemnego oddziaływania Pole elektryczne Copyright by pleciuga@ o2.pl Ładunek punktowy Ładunek punktowy (q) jest to wyidealizowany model, który zastępuje rzeczywiste naelektryzowane

Bardziej szczegółowo

30R4 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - IV POZIOM ROZSZERZONY

30R4 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - IV POZIOM ROZSZERZONY 30R4 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - IV POZIOM ROZSZERZONY Magnetyzm Indukcja elektromagnetyczna Prąd przemienny Rozwiązanie zadań należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod

Bardziej szczegółowo

Praca, moc, energia. 1. Klasyfikacja energii. W = Epoczątkowa Ekońcowa

Praca, moc, energia. 1. Klasyfikacja energii. W = Epoczątkowa Ekońcowa Praca, moc, energia 1. Klasyfikacja energii. Jeżeli ciało posiada energię, to ma również zdolnoć do wykonania pracy kosztem częci swojej energii. W = Epoczątkowa Ekońcowa Wewnętrzna Energia Mechaniczna

Bardziej szczegółowo