Zestaw zadań 15: Funkcjonały dwuliniowe i formy kwadratowe (1) Sprawdzić, czy następujące odwzorowania ξ : R 3 R 3 R: x y. x y z. f(x)g(x)dx.
|
|
- Mikołaj Duda
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zestaw adań 5: Funkcjonał dwuliniowe i form kwadratowe () Sprawdić, c następujące odworowania ξ : R 3 R 3 R: x x a) ξ( x, c) ξ( x, x ) = xx + + ; b) ξ(, x ) = xx ; d) ξ( x, x x ) = x + x + 2; ) = xx + x + ; e) ξ( x, x ) = 0; f) ξ( x, ) =. są funkcjonałami dwuliniowmi. Które nich są smetrcne? (2) Niech V = RX n będie prestrenią wektorową wielomianów stopnia n nad ciałem R licb recwistch. Odworowanie b : V V R określone jest worem b(f(x), g(x)) = f(x)g(x)dx. Wkaać, że b jest funkcjonałem dwuliniowm, smetrcnm, niedegenerowanm, dodatnio określonm. Wnacć macier b wględem ba, X,..., X n. (3) W prestreni ortogonalnej (Q 3, ξ) macier funkcjonału dwuliniowego ξ w baie jest równa: a) b) B = ( 0, c), ) Znaleźć wór analitcn na ξ( x, x ). Znaleźć baę prostopadłą prestreni V. (4) Funkcjonał dwuliniow ξ : Q 4 Q 4 Q ma w baie kanonicnej (ε, ε 2, ε 3, ε 4 ) macier Niech W = lin(ε, ε + ε 2 ). Znaleźć baę prostopadłą prestreni W. (5) Prestreń ortogonalną (K 3, ξ), w której ξ ma w baie (ε, ε 2, ε 3 ) macier predstawić jako sumę prostą ortogonalną podprestreni niedegenerowanej i podprestreni całkowicie degenerowanej.
2 2 (6) Funkcjonał dwuliniow ξ : V V K ma w pewnej baie prestreni V macier a a a Oblicć wmiar V. a a (7) Niech char(f ) 2. Sprawdić, że a) jeśli ξ jest smetrcną formą dwuliniową nad F, q(α) = ξ(α, α) i ζ(α, β) = (q(α + β) 2 q(α) q(β)), to ζ = ξ; b) jeśli q jest formą kwadratową nad F, ξ(α, β) = (q(α + β) q(α) q(β)), N(α) = ξ(α, α), to 2 N = q. (8) Niech w prestreni Z5 2 forma kwadratowa wraża się worem ( ) x q = x a) Wnacć uupełnienie ortogonalne wektora ; ( ) 2 b) Wnacć dopełnienie ortogonalne prostej lin. (9) Niech w prestreni Z2 2 forma dwuliniowa ξ będie określona worem ( ) a c ξ, = b d a c b d. Wkaać, że (Z2 2, ξ) jest niedegenerowaną prestrenią ortogonalną, w której każd wektor jest iotropow. Wkaać, że ta prestreń nie ma ba prostopadłej. (0) Niech w prestreni R 2 forma kwadratowa wraża się worem: ( ) ( ) x x i) q = x 2 + 2x + 2 ii) q = x a) Wnacć uupełnienie ortogonalne wektora ; ( ) b) wnacć wsstkie dopełnienienia ortogonalne prostej lin. () Niech (V, ξ) będie prestrenią ortogonalną, aś q ξ - formą kwadratową tej prestreni. Wkaać, że a) ξ(α, β) = 0 wted i tlko wted, gd q ξ (α + β) = q ξ (α) + q ξ (β); b) q ξ (α + β) + q ξ (α β) = 2(q ξ (α) + q ξ (β)) dla każdch α, β V ; c) q ξ (α) = q ξ (β) wted i tlko wted, gd ξ(α + β, α β) = 0; (2) a) Udowodnić, że dla dowolnej form dwuliniowej ξ i dowolnch wektorów α, β achodi tożsamość Cauch ego: q(α)(q(α)q(β) ξ(α, β)ξ(β, α)) = q(q(α)β ξ(α, β)α); b) wkaać, że dla dowolnch dwóch wektorów α i β dodatnio określonej prestreni ortogonalnej
3 3 (V, ξ) achodi nierówność Cauch ego: ξ(α, β) 2 q(α)q(β). (3) Znaleźć baę prostopadłą prestreni (Q 3, ξ) gd q x = + x + x. (4) Niech (V, ξ) będie niedegenerowaną prestrenią ortogonalną nad ciałem F, a v,..., v n - jej baą prostopadłą unormowaną. Niech W = {x v + + x n v n V : x + + x n = 0}. Wkaać, że następujące warunki są równoważne: a) char(f ) dieli n; b) W jest degenerowana; c) W W ; d) W jest degenerowana. (5) Macier funkcjonału dwuliniowego ξ : R 3 R 3 R w baie (ε + ε 2 + ε 3, ε + ε 3, ε 3 ) jest równa 0 0. Znaleźć uupełnienie ortogonalne: a) wektora 2 0, b) podprestreni lin( ), c) podprestreni Sol(X Z = 0). (6) Niech ξ będie wkłm ilocnem skalarnm w prestreni F n, a A - macierą o m wiersach i n kolumnach. Onacm W podprestreń F n generowaną pre transponowane wierse A, aś A - prekstałcenie liniowe v A v. Wkaać, że a) W = Ker(A ); b) (Ker(A )) = W ; c) dimw + dim(ker(a )) = n. Jaką własność musi mieć ciało F, żeb dla wsstkich m, n achodiła równość F n = W Ker(A )? (7) Oblicć (w ależności od parametru a) wmiar radkału prestreni ortogonalnej w której forma a a dwuliniowa ma wględem pewnej ba macier a a (8) W prestreni Fn n macier kwadratowch stopnia n nad ciałem F określam formę kwadratową worem q(a) = tr(a 2 ) (tr(a)) 2. Wkaać, że Fn n jest sumą prostą ortogonalną swoich podprestreni A n (F ) macier antsmetrcnch i S n (F ) macier smetrcnch. (9) W prestreni F2 2 macier kwadratowch stopnia 2 nad ciałem F określam formę kwadratową worem q(a) = det(a). Wkaać, że F2 2 jest sumą ortogonalną podprestreni S 2 (F ) macier smetrcnch i A 2 (F ) macier antsmetrcnch.
4 4 (20) W prestreni F n n macier kwadratowch stopnia n nad ciałem F określam formę kwadratową worem q(a) = tr(a A). Wkaać, że F n n jest sumą ortogonalną swoich podprestreni S n (F ) macier smetrcnch i A n (F ) macier antsmetrcnch. (2) Dwa układ wektorów (v, v 2,..., v k ) i (w, w 2,..., w k ) prestreni ortogonalnej (V, ξ) nawam wajemnmi wted i tlko wted, gd ξ(v i, w j ) = { 0 gd i j gd i = j. a) wkaać, że jeśli układ wektorów (v, v 2,..., v k ) i (w, w 2,..., w k ) są wajemne, to każd nich jest liniowo nieależn; b) wkaać, że jeśli układ wektorów (v, v 2,..., v k ) niedegenerowanej prestreni ortogonalnej jest liniowo nieależn, to istnieje dla niego układ wajemn; c) naleźć choć jeden układ wajemn dla (ε, ε 2 ) w prestreni (F 2, ξ) jeśli x x x c) q( ) = x ; c2) q( ) = 2x 2 + x + 2 ; c3) q( ) = x ; d) podać prkład prestreni ortogonalnej i liniowo nieależnego układu wektorów, dla którego nie istnieje układ wajemn. e) wkaać, że układ wajemn baą jest baą. (22) Niech (v, v 2,..., v k ) i (w, w 2,..., w k ) będą wajemnmi baami niedegenerowanej prestreni ortogonalnej (V, ξ). Sprawdić, że: a) jeśli dwa endomorfim ϕ, ψ End(V ) mają własność: ba (ϕ(v ), ϕ(v 2 ),..., ϕ(v k )) i (ψ(w ), ψ(w 2 ),..., ψ(w k )) są wajemne, to det(ϕ) det(ψ) = ; b) endomorfim ϕ End(V ) taki, że ba (ϕ(v ), ϕ(v 2 ),..., ϕ(v k )) i (ϕ(w ), ϕ(w 2 ),..., ϕ(w k )) są wajemne, jest automorfimem ortogonalnm. (23) Sprawdić, że dla ustalonej macier A Fn n wór ξ(x, Y ) = tr(x AY ) określa funkcjonał dwuliniow w prestreni Fn n. Kied ten funkcjonał jest smetrcn? niedegenerowan? (24) Wkaać, że prestreń R 3 funkcjonałem dwuliniowm ξ : R 3 R 3 R danm którmkolwiek e worów: a) ξ( x, 2 ) = x x 2 + x 3 3, x 3 b) ξ( x, x 3 x ) = (x )( 2 ) + (x x 3 )( 3 ) + x 3 3, jest prestrenią euklidesową, natomiast prestreń R 3 funkcjonałem dwuliniowm ξ : R 3 R 3 R danm którmkolwiek e worów: c) ξ( x, 2 ) = x + 2, d) ξ( x, x ) = + x 2 + x 3 3,
5 e) ξ( x, x ) = x x x 2 + x 3 + x 3. nie jest prestrenią euklidesową. Które tch prestreni są niedegenerowane? (25) W prestreniach ortogonalnch R 3 funkcjonałami dwuliniowmi ξ określonmi worami c), d), e) popredniego adania wskaać nieerowe podprestrenie całkowicie degenerowane. (26) Niech ξ : RX n RX n R będie prekstałceniem danm worem 5 ξ(f, g) = f(t)g(t)dt. Sprawdić, że (RX n, ξ) jest prestrenią euklidesową. Napisać macier ξ w baie (, X, X 2,..., X n ) dla n =, 2, 3, 4. (27) Niech I będie dowolnm niejednopunktowm prediałem domkniętm, a V niech będie dowolną skońcenie wmiarową podprestrenią prestreni C(I) i niech ξ(f, g) = f(t)g(t)dt. I Wkaać, że (V, ξ) jest prestrenią euklidesową. (28) Wkaać, że a) α β q(α + β) = q(α) + q(β); b) suma dwóch wektorów iotropowch jest wektorem iotropowm wted i tlko wted, gd składniki są do siebie prostopadłe. (29) Niech (V, ξ) będie dwuwmiarową niedegenerowaną prestrenią ortogonalną nad ciałem F w którm + 0. Wkaać, że następujące warunki są równoważne: i) (V, ξ) jest prestrenią iotropową; ii) istnieje baa prestreni V, wględem której macier funkcjonału ξ jest równa dla pewnego a F; iii) istnieje baa prestreni V, wględem której macier funkcjonału ξ jest równa ; iv) istnieje baa prestreni V, wględem której macier funkcjonału ξ jest równa ; v) det(x) = c 2 dla pewnego c F. Prestreń (V, ξ) spełniającą powżse warunki nawam płascną hiperbolicną. (30) Wkaać, że każda niedegenerowana prestreń ortogonalna jest iotropowa wted i tlko wted, gd awiera płascnę hiperbolicną.(niech α będie nieerowm wektorem iotropowm; oblicć dim(ker(ξ (α))); roważć wektor β V \Ker(ξ (α))). (3) Znaleźć baę prostopadłą prestreni (Q 3, ξ) gd q( x ) = + x + x. (32) Dana jest prestreń ortogonalna (V, ξ) nad ciałem Z 5 baą prostopadłą unormowaną v, v 2, v 3, v 4. Znaleźć choć jedną płascnę hiperbolicną U awartą w V. Sprawdić, c jej uupełnienie ortogonalne jest płascną hiperbolicną.
6 6 (33) Wkaać, że prestrenie ortogonalne (Z3 3, ξ) i (Z3 3, ζ) są iomorficne, gdie q ξ ( a b c ) = a 2 + b 2 + c 2 i q ζ ( a b ) = a 2 b 2 c 2. c 5 (34) Wkaać, że jeśli q(α) = q(β), to α + β α β. Sprawdić, że tak jest dla α = i 5 ( ) 0 β = na płascźnie R 7 2 e wkłm ilocnem skalarnm i narsować punkt P =, 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 Q =, R =, S = + ora odcinki P Q, P R, RS, QS i odcinki P S, RQ Oblicć wektor P S i RQ. Wkaać, że jeśli wektor α i β są iotropowe, to dla każdch skalarów a, b wektor aα + bβ i aα bβ są prostopadłe. (35) Wkaać, że prestreń ortogonalna (V, ξ) jest aniotropowa wted i tlko wted, gd nie ma podprestreni degenerowanch. (36) Prestreń ortogonalną (V, ξ) nawam hiperbolicną wted i tlko wted, gd jest ona sumą prostą ortogonalną płascn hiperbolicnch. Udowodnić, że nad ciałem o charakterstce różnej od 2 następujące warunki są równoważne: a) (V, ξ) jest hiperbolicna ; b) (V, ξ) jest niedegenerowana i istnieje podprestreń U prestreni V o własności U = U ; c) (V, ξ) jest niedegenerowana i istnieją podprestrenie U, W prestreni V takie, że V = U W, ξ U U jest erowa i ξ W W jest erowa. (37) Wkaać, że iotropowa prestreń ortogonalna ma baę łożoną wektorów iotropowch (wskaówka: ałożć niewprost, że biór wektorów iotropowch awiera się w hiperpłascnie α ). (38) Znaleźć rokład Witta prestreni Z3 4 e wkłm ilocnem skalarnm. (39) Udowodnić, że dla każdego prekstałcenia ortogonalnego f : (V, ξ) (W, ζ) achodi inkluja Ker(f) rad(v ). x x (40) Sprawdić, c prestrenie ortogonalne (R 2, ξ), (R 2, ζ) w którch q ξ ( ) = x 2 2, q ζ ( ) = + 2x + 2 są iomorficne. 0 (4) Pokaać, że maciere i są podobne nad ciałami Z 7 i R, ale nie są podobne nad ciałami Z 3 i Q. (42) Niech A będie smetrcną macierą stopnia n nad ciałem F. Niech φ : F n F n będie endomorfimem o macier A w baie kanonicnej, ζ - formą dwuliniową o macier A wględem ba kanonicnej, ξ - wkłm ilocnem skalarnm. Wkaać, że: a) wektor własne endomorfimu φ należące do różnch wartości własnch są prostopadłe do siebie wględem ζ i wględem ξ; b) jeśli baa (v,..., v n ) prestreni F n jest baą prostopadłą arówno dla ζ jak i dla ξ, to jest to baa łożona wektorów własnch endomorfimu φ.
7 (43) Udowodnić, że prestrenie ortogonalne nad ciałem F, w którch funkcjonał dwuliniowe mają 0 a 0 maciere i są iomorficne wted i tlko wted, gd a jest sumą dwóch kwadratów elementów ciała F. 0 0 a C maciere i ( i ) są podobne nad ciałem R? nad ciałem Q? (Sprawdić, że licb 3 ora 7 nie są sumami dwóch kwadratów licb wmiernch). (44) Twierdenie Lagrange a głosi, że każda dodatnia licba wmierna jest sumą cterech kwadratów licb wmiernch. Wkaać, że dla każdej dodatniej licb wmiernej r prestrenie ortogonalne (Q 4, ξ) i (Q4, ζ), w którch funkcjonał dwuliniowe mają wględem ba kanonicnch maciere a I ora ri, są iomorficne. (Wskaówka: jeśli r = a 2 + b 2 + c 2 + d 2, to badać wektor b c, d b a d c, d c b a w prestreni macierą I). (45) Sprawdić, c prekstałcenia ϕ, ψ End(RX 5 ): ϕ(f(x)) = f( X); ψ(f(x)) = X 5 f( X ) są automorfimami ortogonalnmi prestreni ortogonalnej (RX 5, ξ), jeśli a) ξ(f, g) = f(t)g(t)dt; b) ξ(a 0 + a X + a 2 X 2 + a 3 X 3 + a 4 X 4 + a 5 X 5, b 0 + b X + b 2 X 2 + b 3 X 3 + b 4 X 4 + b 5 X 5 ) = 5 a i b i i=0 (46) C maciere i są podobne a) nad ciałem licb recwistch? b) nad ciałem licb wmiernch? (47) Wkaać, że dla a, b F maciere ai i bi stopnia 2 są podobne nad ciałem F wted i tlko wted, gd ab jest sumą dwóch kwadratów w F. (48) Wkaać, że dla a F maciere I i ai stopnia 4 są podobne nad ciałem F wted i tlko wted, gd a jest sumą cterech kwadratów wciele F.(Wskaówka. Porównać adaniem e str. 6.) a (49) Wkaać, że dla a, b F maciere I i 0 a b 0 stopnia 4 są podobne nad ciałem F wted b i tlko wted, gd a jest sumą cterech kwadratów i ab jest sumą dwóch kwadratów.. (50) Zbudować iomorfim prestreni ortogonalnch (V, ξ) i (W, ζ) nad ciałem Z 3 lub udowodnić, że nie są one iomorficne: a) ξ i ζ mają wględem pewnch ba maciere i odpowiednio; 7
8 8 b) ξ jest wkłm ilocnem skalarnm w V = Z 3 4, a q ζ (xw + w 2 + w 3 + tw 4 ) = x + t dla pewnej ba (w, w 2, w 3, w 4 ) prestreni W. (5) Niech (v, v 2,..., v n ) będie baą prostopadłą unormowaną prestreni ortogonalnej (V, ξ), a (u, u 2,..., u n ) - dowolnm układem wektorów. Udowodnić, że macier P = ξ(v i, u j ), jest macierą prejcia od (v, v 2,..., v n ) do (u, u 2,..., u n ). (52) Znaleźć baę ortogonalną prestreni ortogonalnej (V, ξ), jesli: a) V = R 3, a macier funkcjonału dwuliniowego ξ : R 3 R 3 R w baie (ε + ε 2 + ε 3, ε + ε 3, ε 3 ) jest równa 0 0 ; x b) V = R 4, a q ξ ( ) = 2x + x; t c) V = Z 3 5, a macier ξ w baie kanonicnej jest równa x (53) Znaleźć baę prostopadłą unormowaną prestreni (Q 2, ξ) w której q( x baę prostopadłą unormowaną prestreń (Q 2, ξ), w której q(. ) = C ma ) = ? (Wskaówka: adanie str. 7) (54) Metoda Jacobiego najdowania podobnej macier diagonalnej. a) Niech A i = G ξ (v,..., vi) będie macierą Grama układu pocatkowch i wektorów sporód wektorów v,..., v k, a u,..., u k będą wektorami otrmanmi v,..., v k a pomocą ortogonaliacji Grama. Wkaać, że jeśli v,..., v k są liniowo nieależne i lin(v,..., v k ) jest aniotropowa, to G ξ (u,..., u k ) jest macierą diagonalną mającą na prekątnej skalar det(a ), det(a 2) det(a ), det(a 3 ) det(a 2 ),..., det(a k ) det(a k ). a a b) Niech dla macier smetrcnej A = a ij stopnia n maciere A = a, A2 = 2, a 2 a 22..., A n = A mają wnacniki różne od 0. Udowodnić, że macier A i macier diagonalna, mająca na prekątnej skalar det(a ), det(a 2) det(a ), det(a 3) det(a 2 ),..., det(a n ) są macierami podobnmi. det(a n ) (55) Metoda Lagrange a najdowania podobnej macier diagonalnej. Niech w niedegenerowanej prestreni ortogonalnej (V, ξ) wór na wartość form kwadratowej q( x. x n ) = F (x,,..., x n )
9 w ależności od współrędnch w baie (v,..., v n ) dan będie wielomianem F (X, X 2,..., X n ) = a ij X i X j. Tworm ciąg wielomianów: krok. i) jeśli a 0, to () F (X, X 2,..., X n ) = a X 2 + dodając i odejmując ( 2a prepisujem wór w postaci i= j=i a i X X i + a ij X i X j ; j=i a i X X i ) 2 i onacając Y = X + 2a F (X, X 2,..., X n ) = b Y 2 + F (X 2,..., X n ) ( ) 2 gdie F (X 2,..., X n ) = a ij X i X j a a i X X i ; ii) jeśli a = 0, to j=i (2) F (X, X 2,..., X n ) = 2a a i X X i + a ij X i X j j=i 9 a i X i, b = a i jeśli k jest najmniejsm takim numerem, że a k 0 (dlacego istnieje takie k?), to onacam Z k = a i X i X, wlicam tej równości X k = (Z k + X a i X i ) a k i=k i=k+ i wstawiam do wielomianu F ; porądkujem otrmane wrażenie doprowadając je do postaci F (X, X 2,..., X n ) = X (Z k + X ) + F (X 2,..., X k, Z k, X k+,..., X n ) i to wrażenie prekstałcam jak w prpadku i). krok 2. po wkonaniu kroku. i uskaniu wrażenia F (X, X 2,..., X n ) = b Y 2 + F (X 2,..., X n ) stosujem krok. do woru F (X 2,..., X n ) na wartość form kwadratowej na wektore prestreni lin(v 2,..., v n ); uskane wrażenie F (X 2,..., X n ) = b 2 Y2 2 + F 2 (X 3,..., X n ) wstawiam do woru F (X, X 2,..., X n ) = b Y 2 + F (X 2,..., X n ) i uskujem wór F (X, X 2,..., X n ) = b Y 2 + b 2 Y F 2 (X 3,..., X n ). krok m. jeśli po wkonaniu kroków, 2,..., m mam wór F (X, X 2,..., X n ) = b Y b m Y 2 m + F m (X m,..., X n ), to stosujem krok. do woru F m (X m,..., X n ) na wartość form kwadratowej na podprestreni lin(v m,..., v n ); reultat F m (X m,..., X n ) = b m Ym 2 + F m (X m+,..., X n ) wstawiam do
10 0 woru uskanego w kroku m. Ostatecnie po n krokach uskujem wór F (X, X 2,..., X n ) = b Y b n Y 2 n. a) sprawdić, że macier diagonalna diag(b,..., b n ) jest macierą funkcjonału ξ wględem pewnej ba prostopadłej prestreni V ; b) sprawdić, że funkcjonał liniowe f,..., f n takie, że f i ( x i v i ) = Y i (x,..., x n ) dla i =, 2,..., n tworą baę prestreni sprężonej V. Stosując metodę Jacobiego i metodę Lagrange a naleźć dwoma sposobami macier funkcjonału dwuliniowego w pewnej baie prostopadłej i porównać objętoć obliceń: a) F (x, ) = + x + 2 ; b) F (x,, x 3 ) = x + x 3 + x x 3 c) F (x,, x 3 ) = 99 2x + 48x x x x 3 + 7x3 2 ; d) F (x,, x 3, x 4 ) = + 4x x3 2 x4 2 4x + 6x x 3 2 x 3 + 2x 3 x 4 ; e) F (x,, x 3, x 4, x 5 ) = +4x2 2 +8x3 2 (56) Zbudować macier diagonalną podobną do macier a) j= 4 4x +6x x 3 2 x 3 +2x 3 x 4 + x 5 x 4 x 5. ; b) nad ciałem F. (57) Znaleźć prnajmniej jedną macier nieosobliwą P GL n (Q) taką, że macier P AP jest diagonalna, jeśli a) A = d) A = , b) A = 5 5, c) A =, e) A = 2 2 (58) Niech A będie macierą kwadratową stopnia n o wraach recwistch. Podać warunek koniecn i wstarcając na to, b równanie A = X X miało rowiąanie X GL n (R). (Wskaówka: jakie równoważne równanie spełnia niewiadoma Y = X? c to równanie ma wiąek iomorfimami prestreni ortogonalnch?). (59) Znaleźć prnajmniej jedną macier nieosobliwą P GL n (R) taką, że P P = A, jeśli a) A = 2 5, b) A = C istnieje rowiąanie P GL 3 (Q)?, c) A = 2 3 (60) Znaleźć choć jedno rowiąanie X GL 4 (R) równaniax X =, d) A = ,.
11 (6) Sprawdić, że w prestreni F n e wkłm ilocnem skalarnm a b a) dla n = 2: wektorem prostopadłm do jest ; b a b) dla n = 3: wektorem prostopadłm do a b i d b e c f e jest a d c f c f ; a d b e c) dla dowolnego n: wektorem prostopadłm do v, v 2,..., v n jest ostatnia kolumna macier dołąconej do macier v v 2 v n.
Zestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. Macierze przekształceń liniowych. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t
Zesaw adań : Preksałcenia liniowe. Maciere preksałceń liniowch () Kóre podanch niżej preksałceń ϕ : K n K m są preksałceniami liniowmi: a) n = m = 3, ϕ( + ) = +, b) n = m = 3, ϕ( ) = +, 3 + + + +, d) n
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t. x y + 2t 2x 3y + 5z t x z t
Zesaw adań : Preksałcenia liniowe () Kóre podanch niżej preksałceń ϕ : K n K m są preksałceniami liniowmi: a) n = m = 3, ϕ( + +, b) n = m = 3, ϕ( +, 3 + + + +, d) n = m = 3, ϕ( +, c) n = m = 3, ϕ( e) n
Bardziej szczegółowoRozdział 9. Baza Jordana
Rodiał 9 Baa Jordana Niech X będie n wmiarową prestrenią wektorową nad ciałem F = R lub F = C Roważm dowoln endomorfim f : X X Wiem, że postać macier endomorfimu ależ od wboru ba w prestreni X Wiem również,
Bardziej szczegółowoZadania z AlgebryIIr
Zadania AlgebrIIr Seria () Rowia ι ać uk lad równań: + + t = + = 7 + + t = ; + + = ; + 7 6t = + = 7 + + = 8 = 8 + + t = + 9 = 9 ; + 7t = + = 7 + + t = + 8 7 = () Podać bae ι prestreni rowia ι ań uk ladu:
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń liniowa R n.
MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Prestreń liniowa R n. Element (wektor) prestreni R n będiem onacać [,,, ] Element erow [,, L, ]. Diałania. a) ilocn element pre licbę: b) sma elementów [ c, c, ] c L, c
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią 2012/2013
Algebra geometrią 22/23 Seria XVI Javier de Lucas Zadanie. Wnacć rąd macier: A :, B : 2 4 3 4 3 2 3 3 5 7 3 3 6 3 Rowiąanie: Macier A: Sposób: Rąd macier to wmiar prestreni generowanej pre jej kolumn.
Bardziej szczegółowoPostać Jordana macierzy
Rodiał 8 Postać Jordana macier 8.1. Macier Jordana Niech F = R lub F = C. Macier J r () F r r postaci 1. 1... J r () =..........,.... 1 gdie F, nawam klatką Jordana stopnia r. Ocwiście J 1 () = [. Definicja
Bardziej szczegółowoPRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA)
PRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA) Def. 1 (X, K,, ) X, K - ciało : X X X ( to diałanie wewnętrne w biore X) : K X X ( to diałanie ewnętrne w biore X) Strukturę (X, K,, ) naywamy prestrenią wektorową : 1) Struktura
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. Zadania przygotowujące do egzaminu: .Wskazówka: Zastosować wzór de Moivre'a;
emer leni 5/6 lgebra liniowa Znaleźć i nakicować biór 8 C j ; a) ( ) b) { C j j } c) { C Im( ) } ; Zadania rgoowjące do egamin Wkaówka Zaoować wór de Moire'a; d) C Im Wnacć licb dla kórch macier je odwracalna
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna w przestrzeni. Kierunek. Długość. Zwrot
- podstawowe pojęcia Geometria analitcna w prestreni Wektorem acepionm w prestreni R 3 nawam uporądkowaną parę punktów A ora B i onacam go pre AB. Punkt A nawam jego pocątkiem, a punkt B - jego końcem.
Bardziej szczegółowoRozwiazania zadań. Zadanie 1A. Zadanie 1B. Zadanie 2A
Rowiaania adań Zadanie A = ( i) = 4 8i 4 = 8i Badam licbȩ espolon a 8i Jej moduł 8i jest równ 8 Jej postać espolona jest równa 8(cosα + isinα) α = /π St ad cosα = i sinα = Mam pierwiastki które oblicam
Bardziej szczegółowo,..., u x n. , 2 u x 2 1
. Równania różnickowe cąstkowe Definicja. Równaniem różnickowm cąstkowm (rrc) nawam równanie różnickowe, w którm wstępuje funkcja niewiadoma dwóch lub więcej miennch i jej pochodne cąstkowe. Ogólna postać
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) =
Zestaw zadań 4: Wektory i wartości własne () Niech V = V V 2 będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, w którym + 0 Znaleźć wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze rzutu V na V wzdłuż V 2 oraz symetrii
Bardziej szczegółowoPochodna kierunkowa i gradient Równania parametryczne prostej przechodzącej przez punkt i skierowanej wzdłuż jednostkowego wektora mają postać:
ochodna kierunkowa i gradient Równania parametrcne prostej prechodącej pre punkt i skierowanej wdłuż jednostkowego wektora mają postać: Oblicam pochodną kierunkową u ( u, u ) 1 + su + su 1 (, ) d d d ˆ
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoStrukturalne elementy symetrii. Krystalograficzne grupy przestrzenne.
Uniwerstet Śląski Insttut Chemii Zakład Krstalografii Laboratorium Krstalografii Strukturalne element smetrii. Krstalograficne grup prestrenne. god. Cel ćwicenia: aponanie się diałaniem elementów smetrii
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Elementy analizy wektorowej cz I Pole wektorowe
Matematka Element anali wektorowej c I Pole wektorowe Literatura M.Gewert Z.Skoclas; Element anali wektorowej; Oficna Wdawnica GiS Wrocław 000 W.Żakowski W.Kołodiej; Matematka c II; WNT Warsawa 1984 W.Leksiński
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu miennch wkład MATEMATYKI Automatka i Robotka sem I, rok ak 2008/2009 Katedra Matematki Wdiał Informatki Politechnika Białostocka Niech R n def = {( 1, 2,, n ): 1 R 2 R n R } Funkcją n miennch
Bardziej szczegółowoGRUPY SYMETRII Symetria kryształu
GRUPY SYMETRII Smetria krstału Zamknięte (punktowe) operacje smetrii (minimum jeden punkt prestreni nie porusa się wskutek astosowania amkniętej operacji smetrii): Obrot i obrot inwersjne; Inwersja (smetria
Bardziej szczegółowoDodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami wewnętrznymi tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona.
Wykład - LICZBY ZESPOLONE Algebra licb espolonych, repreentacja algebraicna i geometrycna, geometria licb espolonych. Moduł, argument, postać trygonometrycna, wór de Moivre a.' Zbiór Licb Zespolonych Niech
Bardziej szczegółowoPOTENCJALNE POLE SIŁ. ,F z 2 V. x = x y, F y. , F x z F z. y F y
POTENCJALNE POLE SIŁ POLE SKALARNE Polem skalarnm V(r) nawam funkcję prpisującą każdemu punktowi w prestreni licbę recwistą (skalar): V (r): r=(,, ) V (r) POLE WEKTOROWE SIŁ Polem wektorowm sił F(r) nawam
Bardziej szczegółowoWartości i wektory własne
Rozdział 7 Wartości i wektor własne Niech X będzie skończenie wmiarową przestrzenią liniową nad ciałem F = R lub F = C. Niech f : X X będzie endomorfizmem, tj. odwzorowaniem liniowm przekształającm przestrzeń
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią 2012/2013
Algebra geometrą 22/2 Egamn psemn, 24 VI 2 r. Instrukcje: Każde adane jest a punktów. Praca nad rowąanam mus bć absolutne samodelna. Jakakolwek forma komunkacj kmkolwek poa plnującm egamn jest całkowce
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowo1. REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW SIŁ. Redukcja płaskiego układu sił
. REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW IŁ Redukcja płaskiego układu sił Zadanie. Znaleźć wartość licbową i równanie linii diałania wpadkowej cterech sił predstawionch na rsunku. Wartości licbowe sił są następujące:
Bardziej szczegółowo1. Krótki zarys teorii grup 1
1. Krótki ars teorii grup 1 1.1. Grup Co prawda w dalsej cęści wkładu będiem ajmować się tlko grupami operacji smetrii, ale najpierw wprowadim ścisłe, matematcne pojęcie grup niealeŝne od wobraŝeń geometrcnch,
Bardziej szczegółowo15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr - Wykład 7 Ruch ogólny elementu płynu
J. Santr - Wkład 7 Rch ogóln element płn Rch ogóln ciała stwnego można predstawić jako smę premiescenia liniowego i obrot. Ponieważ płn nie mają stwności postaciowej, w rch płn dochodi dodatkowo do odkstałcenia
Bardziej szczegółowoElementy symetrii makroskopowej w ujęciu macierzowym.
Uniwerstet Śląski Insttut Chemii Zakład Krstalografii Laboratorium Krstalografii Element smetrii makroskopowej w ujęciu macierowm. 2 god. Cel ćwicenia: tworenie macier smetrii elementów smetrii makroskopowej
Bardziej szczegółowoZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH LICZBY ZESPOLONE
. Oblicyć: ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH a) ( 7i) ( 9i); b) (5 i)( + i); c) 4+3i ; LICZBY ZESPOLONE d) 3i 3i ; e) pierwiastki kwadratowe 8 + i.. Narysować biór tych licb espolonych, które spełniają warunek:
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoPrzykład 6.3. Uogólnione prawo Hooke a
Prkład 6 Uogónione prawo Hooke a Zwiąki międ odkstałceniami i naprężeniami w prpadku ciała iotropowego opisuje uogónione prawo Hooke a: ] ] ] a Rowiąując równania a wgędem naprężeń otrmujem wiąki: b W
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu miennch wkład MATEMATYKI Automatka i robotka studia niestacjonarne sem II, rok ak 2009/2010 Katedra Matematki Wdiał Informatki Politechnika Białostocka Niech R ndef ={( 1, 2,, n ): 1 R 2
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
Algebra liniowa z geometrią /4 Działania na zbiorach Zadanie Czy działanie : R R R określone wzorem (x x ) (y y ) := (x y x y x y + x y ) jest przemienne? Zadanie W dowolnym zbiorze X określamy działanie
Bardziej szczegółowoWykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2
Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoLista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr :
Lista Przestrzenie liniowe Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr : V = R[X], zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych, wraz ze standardowym dodawaniem
Bardziej szczegółowoPRAWIDŁOWE ODPOWIEDZI I PUNKTACJA
MAŁOPOLSKI KONKURS MATEMATYCZNY Rok skoln 08/09 ETAP REJONOWY 0 grudnia 08 roku PRAWIDŁOWE ODPOWIEDZI I PUNKTACJA adanie odpowiedź punkt B 3 C 3 3 A 3 4 B 3 5 E 3 6 B 3 7 E 3 8 C 3 9 D 3 0 A 3 7 adania
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Bardziej szczegółowo4.2.1. Środek ciężkości bryły jednorodnej
4..1. Środek ciężkości rł jednorodnej Brłą jednorodną nawam ciało materialne, w którm masa jest romiescona równomiernie w całej jego ojętości. Dla takic ciał arówno gęstość, jak i ciężar właściw są wielkościami
Bardziej szczegółowoStrukturalne elementy symetrii. Krystalograficzne grupy przestrzenne.
Uniwerstet Śląski Insttut Chemii Zakład Krstalografii Laboratorium Krstalografii Strukturalne element smetrii. Krstalograficne grup prestrenne. 2 god. Cel ćwicenia: aponanie się diałaniem elementów smetrii
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoGeometria Lista 0 Zadanie 1
Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoEPR. W -1/2 =-1/2 gµ B B
Hamiltonian spinow Elektronow reonans paramanetcn jest wiąan absorpcją pola wsokiej cęstotliwości, która towars mianie orientacji spin w ewnętrnm polu manetcnm. Niesparowane spinowe moment manetcne µ s
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Definicja Niech V, W,
Bardziej szczegółowoPowierzchnie stopnia drugiego
Algebra WYKŁAD 3 Powierchnie sopnia drugiego Deinicja Powierchnią sopnia drugiego kwadrką nawam biór punków presreni rójwmiarowej, spełniającch równanie A B C D E F G H I K gdie A, B,, K są sałmi i prnajmniej
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoσ x σ y σ z σ z, Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Równania fizyczne.
Ada Bodnar: Wtrałość Materiałów. Równania ficne. 7. RÓWNANIA FIZCZN 7.. Zwiąki ięd stane odkstałcenia i naprężenia. I i II postać równań Hooke a Zależność deforacji brł od obciążeń ewnętrnch naruca istnienie
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowo9 Przekształcenia liniowe
9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2
Bardziej szczegółowoAlgebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Bardziej szczegółowoAdam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Proste zginanie
dam Bodnar: trmałość ateriałów. Proste ginanie. PROSTE GINNIE.. Naprężenia i odkstałcenia Proste ginanie pręta prmatcnego wstępuje wówcas gd układ sił ewnętrnch po jednej stronie jego prekroju poprecnego
Bardziej szczegółowoZadania przygotowawcze, 3 kolokwium
Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium Mirosław Sobolewski 8 grudnia. Niech φ t : R 3 R 3 bedzie endomorfizmem określonym wzorem φ t ((x, x, )) (x +, tx + x, x + ), gdzie parametr t R. a) Zbadać dla jakiej
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu miennch wkład MATEMATYKI Automatka i robotka studia niestacjonarne sem I, rok ak 2009/2010 Katedra Matematki Wdiał Informatki Politechnika Białostocka Niech R ndef ={( 1, 2,, n ): 1 R 2 R
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoGraficzne modelowanie scen 3D. Wykład 4
Wkład 4 Podstawowe pojęcia i definicje . Modelowanie. Definicja Model awiera wsstkie dane i obiekt ora wiąki pomięd nimi, które są niebędne do prawidłowego wświetlenia i realiowania interakcji aplikacją,
Bardziej szczegółowo1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Bardziej szczegółowoAdam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Ukośne zginanie 13. UKOŚNE ZGINANIE
. UKOŚNE GINNIE.. Naprężenia i odkstałcenia Ukośne ginanie pręta prmatcnego wstępuje wówcas gd układ sił ewnętrnch po jednej stronie jego prekroju poprecnego pręta redukuje się do momentu ginającego, którego
Bardziej szczegółowoRuch kulisty bryły. Kąty Eulera. Precesja regularna
Ruch kulist brł. Kąt Eulera. Precesja regularna Ruchem kulistm nawam ruch, w casie którego jeden punktów brł jest stale nieruchom. Ruch kulist jest obrotem dookoła chwilowej osi obrotu (oś ta mienia swoje
Bardziej szczegółowo1 Endomorfizmy przestrzeni liniowych i ich macierze.
Ćwiczenia 26.02.2016 1 Endomorfizmy przestrzeni liniowych i ich macierze. 1.1. Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym przestrzeni liniowych nad ciałem Z 3. Niech A = (α 1, α 2, α 3 ) będzie bazą
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 1 Zadanie Definicja 1.1. (zadanie) Zadaniem nazywamy zagadnienie znalezienia rozwiązania x spełniającego równanie F (x, d) = 0, gdzie d jest zbiorem danych (od których zależy rozwiązanie x), a F
Bardziej szczegółowoALGEBRA rok akademicki
ALGEBRA rok akademck -8 Tdeń Tematka wkładu Tematka ćwceń ajęć Struktur algebracne (grupa cało; be Dałana na macerach perścen Defncja macer Dałana na macerach Oblcane wnacnków Wnacnk jego własnośc Oblcane
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych. Karol Tarnowski A-1 p.
Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Podstawowe pojęcia Własności macierzy Działania
Bardziej szczegółowoAlgebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1,
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Układy równań. Zadanie 1 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 2 Rozwiąż układ równań metodą eliminacji
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoImię i nazwisko... Grupa...
Algebra i teoria mnogości 2.09.2014 Za każde zadanie można otrzymać 0-3 pkt. W zadaniach 1-5 w puste pola należy wpisać TAK lub NIE. Każda odpowiedź oceniana jest osobno (1pkt za poprawną odpowiedź, 0.5pkt
Bardziej szczegółowo= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i
15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.
Bardziej szczegółowoDefinicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowoP K. Położenie punktu na powierzchni kuli określamy w tym układzie poprzez podanie dwóch kątów (, ).
Materiał ddaktcne Geodeja geometrcna Marcin Ligas, Katedra Geomatki, Wdiał Geodeji Górnicej i Inżnierii Środowiska UKŁADY WSPÓŁZĘDNYCH NA KULI Pierwsm prbliżeniem kstałtu Ziemi (ocwiście po latach płaskich
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Bardziej szczegółowox od położenia równowagi
RUCH HARMONICZNY Ruch powtarając się w regularnch odstępach casu nawa ruche okresow. Jeżeli w taki ruchu seroko rouiane odchlenie od stanu równowagi ( np. odchlenie as podcepionej do sprężn, wartość wektora
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska
ALGEBRA LINIOWA Wykład 2 Analityka gospodarcza, sem 1 Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska dr inż Natalia Jarzębkowska, CNMiKnO semzimowy 2018/2019 2/17 Macierze Niech M = {1, 2,, m} i N
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardziej szczegółowo1 ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH
ZADANIA Z GEOMETRII Z ALGEBRĄ LINIOWĄ grupa 2, semestr zimowy 2018/19 1 ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH 1.1 Zadania na ćwiczenia: 1.1. Rozwiązać układ równań: 1.2. Rozwiązać układ równań: 8x 1 +
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.
Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,
Bardziej szczegółowoD1. Algebra macierzy. D1.1. Definicje
D1. Algebra macierzy W niniejszym dodatku podamy podstawowe operacje macierzowe oraz niektóre techniki algebry macierzowej nie dbając szczególnie o formalizm matematyczny. Zakres jest wystarczający dla
Bardziej szczegółowoI. Rachunek wektorowy i jego zastosowanie w fizyce.
Blok 1: Rachunek wektorow i jego astosowanie w fice Podstawowe wielkości ficne w kinematce Opis ruchu w różnch układach odniesienia Ruch wględn I Rachunek wektorow i jego astosowanie w fice Wsstkie wielkości
Bardziej szczegółowoSylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek
Bardziej szczegółowoUkłady równań - Przykłady
Układy równań - Prykłady Dany układ równań rowiąać trea sposobai: (a) korystając e worów Craera, (b) etodą aciery odwrotnej, (c) etodą eliinacji Gaussa, + y + = y = y = (a) Oblicy wynacnik deta aciery
Bardziej szczegółowoPRZESTRZENIE z ILOCZYNEM SKALARNYM
V-1 H. Toruńczyk, GAL II (wiosna 2012) Używane oznaczenia: Znak dopuszcza równość zbiorów; piszę gdy ją wykluczam. F ciało skalarów rozważanej przestrzeni wektorowej (=liniowej). V, W, E, B bazy uporządkowane
Bardziej szczegółowoZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE
KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN ODDZIAŁ W POZNANIU Vol. 6 nr Archiwum Technologii Masn i Automatacji 6 ROMAN STANIEK * ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE W artkule predstawiono ależności matematcne
Bardziej szczegółowo1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.
20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowoAnimowana grafika 3D. Opracowanie: J. Kęsik.
Animowana grafika 3D Opracowanie: J. Kęsik kesik@cs.pollb.pl Transformacje 3D Podobnie jak w prestreni -wymiarowej, dla prestreni 3-wymiarowej definijemy transformacje RST: presnięcie miana skali obrót
Bardziej szczegółowo