Funkcje wielu zmiennych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Funkcje wielu zmiennych"

Transkrypt

1 Funkcje wielu miennch wkład MATEMATYKI Automatka i robotka studia niestacjonarne sem II, rok ak 2009/2010 Katedra Matematki Wdiał Informatki Politechnika Białostocka Niech R ndef ={( 1, 2,, n ): 1 R 2 R n R} Funkcjąnmiennch określoną na biored R n o wartościach w R nawam prporądkowanie każdemu punktowi e bioruddokładnie jednej licb recwistej Funkcję taką onacam pre f:d R lub w=f( 1, 2,, n ), gdie( 1, 2,, n ) D Wartość funkcjif w punkcie( 1, 2,, n ) onacam pref( 1, 2,, n ) Dlan=2 mam funkcję dwóch miennch =f(,) R 2 (,) =f(,) R D R 2 (,) R =f(,) Dlan=3 mam funkcję trech miennch w=f(,,) R 3 (,,) w=f(,,) R D R 3 R 1 w=f(,,)

2 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne 1 Diedina, wkres i warstwice funkcji wielu miennch Zbiór wsstkich punktów prestreni R n, dla którch funkcjaf jest określona nawam diediną funkcjifi onacam pred f Jeżeli dan jest wór określając funkcję, to biór punktów prestreni R n, dla którch wór ten ma sens, nawam diediną naturalną funkcji Prkład 11 (Prkład funkcji dwóch miennch) Niech f(,)= Niech f(,)= WówcasD f = R 2 WówcasD f ={(,): } Niech f(,)=arcsin WówcasD f ={(,): 1 1 0} Prkład 12 (Prkład funkcji trech miennch) Niech g(,,)= WówcasD g ={(,,): } 2

3 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne Prkład 13 (Inne prkład funkcji wielu miennch) NatężenieI prądu w oporniku o oporerjest według prawa Ohma funkcją napięciau, prłożonego do acisków tego opornika, ora oporur, tn I= U R TemperaturaT w punkciep(,,) ogrewanego ciała w chwilitjest funkcją cterech miennch, mianowicie tego punktu ora casut, tn T=T(,,,t) Wkresem funkcjin-miennch nawam biór {( 1,, n,w): ( 1,, n ) D f w=f( 1,, n )} R n R Dlan=2 {(,,): (,) D f =f(,)} R 3 =f(,) D f Poiomicą wkresu funkcji dwóch miennch = f(, ) odpowiadającą poiomowi h R nawam biór {(,): (,) D f f(,)=h} R 2 =f(,) f(,)=h poiomica wkresu funkcjif Warstwicą wkresu funkcjif:d f R,n 3 odpowiadającą warstwieh R nawam biór {( 1,, n ) D f : ( 1,, n ) D f f( 1,, n )=h} R n 3

4 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne 11 Wkres ważniejsch funkcji dwóch miennchf: R 2 R Wkresem funkcji =A+B+C jest płascna o wektore normalnm n=[ A, B,1], prechodąca pre punkt(0, 0, C) Wkresem funkcji =a( ) jest paraboloida obrotowa, tj powierchnia obrotowa powstała obrotu paraboli=a 2 (lub=a 2 ) wokół osio a>0 Wkresem funkcji =± R jest górna lub dolna półsfera o środku w pocątku układu współrędnch i promieniu R = R = R Wkresem funkcji =k jest stożek, tj powierchnia powstała obrotu półprostej= k,=0, dla 0 wokół osio k>0 4

5 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne ( ) Wkresem funkcji =h jest powierchnia obrotowa powstała obrotu wkresu funkcji =h(), =0, dla 0 wokół osio Wkresem funkcji =g() lub =k() jest powierchnia walcowa powstała presunięcia wkresu funkcji=g(), dla=0równolegle do osioy lub wkresu funkcji=k(), dla=0równolegle do osiox Wkres funkcji=f( a, b)+c powstaje wkresu funkcji=f(,) pre presunięcie o wektor v=[a,b,c] v=[a,b,c] Wkres funkcji= f(,) powstaje wkresu funkcji=f(,) pre smetrcne odbicie wględem płascn OXY 5

6 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne 2 Powierchnie obrotowe ( ) Krwa obracająca się dookoła prostej ataca powierchnię obrotową Obróćm krwą o równaniu =(t), =(t), =(t), t a,b dookoła osioz Wówcas punktp((t 0 ),(t 0 ),(t 0 )) krwej atoc okrąg o równaniu ( ) =[(t 0 )] 2 +[(t 0 )] 2 leżąc na płascźnie =(t 0 ) Po eliminacjit 0 ( ) otrmujem równanie powierchni obrotowej atacane j pre krwą Prkład 21 (Prkład powierchni obrotowch) Niech linia prosta =t, =t, =2t, t R obraca się dookoła osioz Wówcas punktp(t 0,t 0,2t 0 ) prostej atoc okrąg o równaniu ( ) =2(t 0 ) 2 leżąc na płascźnie =2t 0 Po eliminacjit 0 ( ) otrmujem równanie powierchni obrotowej atacanej pre daną prostą = 2 2 < równanie stożka Niech okrąg =a+rcost, =0, =rsint, t R obraca się dookoła osioz Wówcas punktp(a+rcost 0,0,rsint 0 ) prostej atoc okrąg o równaniu ( ) =(a+rcost 0 ) 2 Po eliminacjit 0 ( ) otrmujem równanie ( a) =r 2 < równanie torusa; powierchni obrotowej atacanej pre okrąg =a+rcost, =0, =rsint, t R 6

7 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne 3 Granice funkcji wielu miennch Niech(P k ( k1,, kn )) ki N będie ciągiem punktów w Rn Definicja 31 Mówim, że ciąg(p k ) dąż do punktup 0 ( 01,, 0n ) R n, jeżeli lim k i = 0i, dla każdegoi=1,2,,n, k i + onaca to bieżność dla każdej współrędnej ( ) 1 Prkład 32 NiechP n ( n, n )= n,( 1)n ciąg punktów w prestreni R 2 n Wówcas lim ( n, n )=(0,0) n + Niechf: R n R będie funkcjąn-miennch NiechP 0 ( 01,, 0n ) R n ora niech funkcjaf będie określona prnajmniej na S(P 0 ) def = gdier>0 jest pewną licbą { ( 1,, n ) R n : (1 01 ) 2 + +( n 0n ) 2 <r} \{P 0 }, ( k1,, kn ) ki 0i i=1,2,,n lim f( 1,, n )=g [ def ] lim k i = 0i,i=1,,n lim k 1,, kn )=g k i k i 31 Własności granic funkcji wielu miennch Twierdenie 33 Jeżeli funkcjef ig mają granice właściwe w punkciep 0 R n, to lim [f(p)±g(p)]= lim f(p)± lim g(p) lim c f(p)=c lim f(p) lim [f(p) g(p)]= lim f(p) lim g(p) lim f(p) f(p) lim g(p) = lim g(p), o ile lim g(p) 0 Twierdenie 34 Jeżeli funkcjeϕ i,i=1,,n if spełniają warunki: lim T T 0 ϕ i (T)= 0i, T R m T S(T 0 ) (ϕ 1 (T),,ϕ n (T)) ( 01,, 0n ) lim f(p)=g, to limf(ϕ 1 (T),,ϕ n (T))=g T T 0 7

8 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne 4 Ciągłość funkcji wielu miennch Niechf: R n R będie funkcjąn-miennch Funkcja jest ciągła w punkciep 0 ( 01,, 0n ) def lim f( 1,, n )=f( 01,, 0n ) Twierdenie 41 Jeżeli funkcjef ig są ciągłe w punkciep 0 ( 01,, 0n ), to w tm punkcie ciągłe są także funkcje f+g, f g, c f,c R, f g, f g, o ileg(p 0) 0 Jeżeli funkcjeϕ i,i=1,,n są ciągłe w punkcie T 0 R m oraf jest ciągła w punkcie P 0 =(ϕ 1 (T 0 ),,ϕ n (T 0 )), to funkcja jest ciągła w T 0 f(ϕ 1 (t 1,,t m ),,ϕ n (t 1,,t m )) 8

9 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne 5 Pochodne cąstkowe Niechf onaca funkcjęn-miennch określoną w otoceniu O punktup 0 ( 01,, 0n ) Smbolem i onacam prrost miennej nieależnej i,1 n n, różn od era i taki, żeb punkt P( 01,, 0i 1, 0i + i, 0i+1,, 0n ) należał do otocenia O Granicę właściwą f(p) f(p 0 ) lim i 0 i nawam pochodną cąstkową rędu pierwsego funkcjif wględem miennej i w punkciep 0 i onacam smbolem i (P 0 ) 51 Pochodne cąstkowe funkcji dwóch miennch Dla funkcji dwóch miennch f(, ) definicje pochodnch cąstkowch rędu pierwsego wględem miennchi w punkciep 0 ( 0, 0 ) są następujące (P 0) def f( 0 +, 0 ) f( 0, 0 ) = lim 0 ora (P 0) def f( 0, 0 + ) f( 0, 0 ) = lim 0 52 Interpretacja geometrcna pochodnch cąstkowch dla funkcji dwóch miennch Niechf: R 2 R, =f(,) Załóżm, żef ma pochodne cąstkowe rędu pierwsego w punkcie P 0 ( 0, 0 ) ( 0, 0 )=tgα ( 0, 0 )=tgβ α β ( 0, 0 ) jest miarą lokalnej sbkości wrostu wartości funkcjif wględem miennejpr ustalonej wartości miennej ( 0, 0 ) jest miarą lokalnej sbkości wrostu wartości funkcjif wględem miennejpr ustalonej wartości miennej Uwaga 1 Nie ma wiąku międ ciągłością funkcji wielu miennch a istnieniem pochodnch cąstkowch 9

10 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne Prkład 51 (Prkład funkcji nieciągłej i mającej pochodne cąstkowe) Funkcja wielu miennch może mieć w punkcie obie pochodne cąstkowe pierwsego rędu i może nie bć ciągła w tm punkcie, 1, dla=0 np funkcjaf(,)= nie jest ciągła w punkcie(0,0), alef ma pochodne cąstkowe w 0, dla 0 punkcie(0,0): f(,0) f(0,0) 1 1 (0,0)= lim = lim 0 0 =0 i f(0, ) f(0,0) 1 1 (0,0)= lim = lim 0 0 =0 Prkład 52 (Prkład funkcji ciągłej nie mającej pochodnch cąstkowch) Niechf(,)= Funkcjaf jest ciągła w punkcie(0,0), gdż =0=f(0,0), ale lim (,) (0,0) i (0,0)= lim = lim (0,0)= lim = lim 0 0 nie istnieje nie istnieje Jeżeli funkcja ma pochodne cąstkowe pierwsego rędu w każdm punkcie bioru otwartego D R n, to funkcje ( 1,, n ), ( 1,, n ),, ( 1,, n ), 1 2 n gdie( 1,, n ) D, nawam pochodnmi cąstkowmi pierwsego rędu funkcjif na biore D i on,,, lub f 1 2 1,f 2,,f n n Prkład 53 Niech f(,)= e ln(+) Niech g(,,)= 3 arctg(+e ) 6 Pochodna kierunkowa funkcjif: D R n R Niechf onaca funkcjęn-miennch określoną w otoceniu O punktup 0 ( 01,, 0n ) D Pochodną kierunkową funkcjif w punkciep 0 w kierunku wersora v=[v 1,v 2,,v n ] określam worem df d v (P 0) def f( 01 +tv 1,, 0n +tv n ) f( 01,, 0n ) =lim t 0 t Pochodna kierunkowa df d v funkcjif w kierunku v jest też onacana następująco v lub f v 10

11 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne Dlaf: D R 2 R Dlaf: D R 3 R df d i =, df d j = Prkład 61 Niechf(,,)= 2 2,P 0 (1,0, 1) i v= df d v (P 0) def = lim t 0 df d i =, df d j =, df d k = [ ] , 3, Wówcas 3 ( 1+ 1 ) ( 2 )( ) t t 1+ 3 t lim 3 t+1 9 t2 2 3 t 0 t 2 3t+ 15t = 2 t 3 Prkład 62 Niechf(,,)=e ++,P 0 (0,0,0) i v=[1,1,1] Wówcas df d v (P 0) def e 3t 1[ 0 0 =lim =lim ] 3e 3t t 0 t t 0 1 = 3 = ( 1 ) 3 61 Interpretacja geometrcna pochodnej kierunkowej funkcji dwóch miennch Niech funkcjaf będie określona na otoceniu punktu( 0, 0 ) Ponadto niechγonaca kąt nachlenia do płascn XOY półstcnej do krwej otrmanej w wniku prekroju wkresu funkcji f półpłascną prechodącą pre prostą ora równoległą do wersora v Wted = 0, = 0 df d v ( 0, 0 )=tgγ γ ( 0, 0,0) v Pochodna kierunkowa określa sbkość mian wartości funkcjif w kierunku v 7 Gradient funkcji Niechf: D R n R Gradientem funkcjif w punkciep 0 ( 01, 02,, 0n ) nawam wektor określon worem f(p 0 ) def = [ (P 0 ), (P 0 ),, ] (P 0 ) 1 2 n Gradient w punkciep 0 jest również onacan pre gradf(p 0 ) lub f (P 0 ), tak jak pochodna jednej miennej Prkład 71 Niechf(,)= ip 0 ( 2,1) Wówcas [ ] f=, =[ ,2 3 1], więc f( 2,1)=[15, 17] 11

12 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne 71 Pochodna kierunkowa a gradient funkcji Twierdenie 72 (wór do oblicania pochodnej kierunkowej) Niech pochodne cąstkowe i,i= 1,,n będą ciągłe w punkciep 0 ( 01,, 0n ) ora niech v będie dowolnm wersorem Wted df d v (P 0)= f(p 0 ) v Prkład 73 Niechf(,)= ,P 0 ( 2,1) i v= [ 1 2, 1 2 ] Wówcas [ df 1 d v ( 2,1)= f( 2,1) v=[15, 17] 2, 1 ] = Pochodna kierunkowa funkcji w punkcie licona w kierunku gradientu ma wartość najwięksą spośród wsstkich pochodnch kierunkowch liconch w różnch kierunkach i df d f(p 0 ) (P 0)= f(p 0 ) 72 Interpretacja geometrcna gradientu funkcji dwóch miennch Gradient funkcji w punkcie wskauje kierunek najsbsego wrostu funkcji w tm punkcie ( 0, 0 ) f( 0, 0 ) Gradient funkcji w punkcie jest prostopadł do poiomic funkcji prechodącej pre ten punkt 0 0 ( 0, 0 ) f( 0, 0 ) 8 Pochodne cąstkowe drugiego rędu Niech funkcjaf ma pochodne cąstkowe i,i=1,2,,n, na obsare D R n ora niechp 0 ( 01, 02,, 0n ) D Pochodne cąstkowe drugiego rędu funkcjif w punkciep 0 określam worami: 2 ( ( )) f 2 (P 0 )= (P 0 ), i i i ( ( )) (P 0 )= (P 0 ), i j i j 12

13 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne dlai,j=1,2,,n Powżse pochodne onacam także odpowiednio pre f i i (P 0 ), f j i (P 0 ) lub f i i (P 0 ), f j i (P 0 ) Jeżeli funkcjaf ma pochodne cąstkowe drugiego rędu w każdm punkcie obsaru D R n, to funkcje 2 ( 1,, n ), i i j ( 1,, n ),i,j=1,2,,n gdie( 1,, n ) D, nawam pochodnmi cąstkowmi drugiego rędu funkcji f na obsare D i onacam odpowiednio pre 2 f 2 i, i j lub f i i, f j i 9 Pochodne cąstkowe wżsch rędów Jeżeli funkcjaf ma pochodne cąstkowe ręduk 2 prnajmniej na otoceniu punktup 0 ( 01, 02,, 0n ) D R n, to ( ( )) k+1 f k f i s (P 0 )= j p l i s (P 0 ), j p l gdies+p=k Twierdenie 91 (Twierdenie Schwara) Niech funkcjaf będie określona na otoceniu punktu P 0 ( 01, 02,, 0n ) Ponadto niech pochodne cąstkowe pochodne cąstkowe i j, i j, j i istnieją na otoceniu punktup 0 j i, będą ciągłe w punkciep 0 Wted (P 0 )= 2 f (P 0 ),i j ii,j=1,2,,n i j j i Uwaga 2 Prawdiwe są analogicne równości dla pochodnch miesanch wżsch rędów 10 Różnickowalność funkcjin-miennch Niech funkcjaf będie określona na otoceniu punktup 0 ( 01, 02,, 0n ) ora niech istnieją pochodne cąstkowe i (P 0 ),i=1,,,n Funkcja f jest różnickowalna w punkciep 0 wted i tlko wted, gd spełnion jest warunek: lim ( 1,, n) (0,,0) gdiep=( ,, 0n + n ) f(p) f(p 0 ) 1 (P 0 ) 1 n (P 0 ) n =0, ( 1 ) 2 + +( n ) 2 Twierdenie 101 (Warunek koniecn różnickowalności funkcji) Jeżeli funkcja jest różnickowalna w punkcie, to jest ciągła w tm punkcie Uwaga 3 Twierdenie odwrotne nie jest prawdiwe Świadc o tm prkład funkcjif(,)= 2 + 2, która jest ciągła w punkcie(0, 0), ale nie jest w tm punkcie różnickowalna, gdż nie istnieją pochodne cąstkowe tej funkcji, patr Prkład 52 13

14 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne Twierdenie 102 (Warunek wstarcając różnickowalności funkcji) Niech funkcja f będie określona na otoceniu punktup 0 ( 01, 02,, 0n ) Ponadto niech pochodne cąstkowe pochodne cąstkowe i,i=1,,n istnieją na otoceniu punktup 0 i,i=1,,n będą ciągłe w punkciep 0 Wted funkcjaf jest różnickowalna w punkciep 0 ( 01, 02,, 0n ) Różnickowalność funkcjif w punkcie( 0, 0 ) onaca, że istnieje płascna stcna (niepionowa) do wkresu tej funkcji w punkcie( 0, 0,f( 0, 0 )) =f(,) płascna stcna ( 0, 0, 0 ) Równanie płascn stcnej do wkresu funkcji Niech funkcjaf będie różnickowalna w punkciep 0 ( 0, 0 ) Równanie płascn stcnej do wkresu funkcjif w punkcie( 0, 0, 0 ), gdie 0 =f( 0, 0 ), ma postać: 11 Różnicka funkcjin-miennch 0 = ( 0, 0 )( 0 )+ ( 0, 0 )( 0 ) Niech funkcjaf będie określona na otoceniu punktup 0 ( 01, 02,, 0n ) Ponadto niech funkcjaf ma pochodne cąstkowe pierwsego rędu w punkciep 0 ( 01, 02,, 0n ) Różnicką funkcjif w punkciep 0 ( 01, 02,, 0n ) nawam funkcję miennch 1, 2,, n określoną worem: df(p 0 )( 1, 2,, n ) def = n i=1 i (P 0 ) i, Różnickę funkcjif onaca się także predf( 01, 02,, 0n ) lub krótkodf 111 Zastosowanie różnicki funkcjin-miennch Niech funkcjaf będie różnickowalna w punkciep 0 ( 01, 02,, 0n ) Wted f( ,, 0n + n ) f(p 0 )+df(p 0 )( 1,, n ), pr cm błądδ( 1, 2,, n ) powżsego prbliżenia dąż sbciej do 0 niż ( 1 ) 2 +( 2 ) 2 + +( n ) 2, tn lim ( 1,, n) (0,,0) δ( 1, 2,, n ) ( 1 ) 2 +( 2 ) 2 + +( n ) 2=0 14

15 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne Prkład 111 Wkorstując różnickę oblicm wartość prbliżoną wrażenia 2,1 8,05 Definiujem funkcję f(,)= Prjmujem 0 =2 0 =8 =0,1 i =0,05 Ponieważ =1 2 i =1 2,więc 2,1 8, , ,05=4, Zastosowanie różnicki funkcji do sacowania błędów pomiarów Niech wielkości ficne 1, 2,, n,będą wiąane ależnością=f( 1, 2,, n ) Ponadto niech i,i=1,2,,n onacają odpowiednio błęd bewględne pomiaru wielkości 1, 2,, n Wted błąd bewględn obliceń wielkościwraża się worem prbliżonm n i i=1 i Prkład 112 Pr pomoc menurki można mierć objętość ciała dokładnością V =0,1 cm 3, a pr pomoc wagi sprężnowej można ustalić jego masę dokładnością 1 g Objętość ciała mierona tm sposobem wnosiv =25 cm 3, a masam=200 g Z jaką w prbliżeniu dokładnością można oblicć gęstośćρtego ciała? Ponieważ ρ(m,v)= M V, więc ρ M =1 V i ρ V = M V 2, więc 113 Różnicka upełna ρ ρ M M+ ρ V V= ,1=0,072 Niech funkcjaf będie określona na otoceniu punktup 0 ( 01, 02,, 0n ) Ponadto niech funkcjaf ma pochodne cąstkowe pierwsego rędu w punkciep 0 ( 01, 02,, 0n ) Prrost 1, 2,, n nawam różnickami miennch nieależnch 1, 2,, n, odpowiednio i onacam smbolami d 1, d 2,, d n Różnicką upełną funkcjif w punkciep 0 ( 01, 02,, 0n ) nawam wrażenie: df(p 0 ) def = n i=1 i (P 0 )d i 15

16 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne 12 Różnickowalność odworowaniaf: R n R m Niech D R n będie otwartm niepustm podbiorem,p 0 D oraf=(f 1,,f m ):D R m Odworowanief=(f 1,,f n ):D R m nawam różnickowalnm w punkciep 0, gd istnieje macier a 11 a 1n, a m1 a mn taka że a 11 a 1n 1 f(p) f(p 0 )= + ε(p 0, 1,, n ), a m1 a mn n gdie = ( 1 ) 2 + +( n ) 2,P=( ,, 0n + n ) D,P 0 =( 01,, 0n ) D i lim 0 ε(p 0, 1,, n )=0 121 Pochodna odworowaniaf: R n R m Macier a 11 a 1n A=, a m1 a mn f(p) f(p taką że lim 0 ) A 0 =0, gdie = 1 ( 1 ) 2 + +( n ) 2, =, n P=( ,, 0n + n ) D, P 0 =( 01,, 0n ) D, nawam macierą Jacobiego (pochodną) odworowaniaf w punkciep 0 i onacam Df( 0 ) albo (f 1,,f m ) ( 1,, n ) lub D(f 1,,f m ) D( 1,, n ) 1 1 df(p 0, )=A =Df(P 0) n n nawam różnicką odworowaniaf w punkciep 0 dla prrostu Twierdenie 121 Odworowanief różnickowalne w punkciep 0 ma tlko jedną macier Jacobiego Twierdenie 122 Odworowanief różnickowalne w punkciep 0 jest ciągle w tm punkcie Twierdenie 123 Niech D R n będie otwartm niepustm podbiorem,p 0 D oraf=(f 1,,f m ): D R m będie różnickowalne wp 0 Wted funkcjef i : D R,i=1,,m mają pochodne cąstkowe i (P 0 ),i=1,,m,k=1,,n k ora macier 1 1 (P 0 ) 1 n (P 0 ) A=, m 1 (P 0 ) 16 m n (P 0 )

17 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne jest macierą Jacobiego (pochodną) odworowaniaf w punkciep 0 Jeżelim=n, to 1 1 detdf=det n 1 nawam jakobianem odworowaniafi onj 1 1 n = n n n 1 n n n Prkład odworowań i ich pochodne ( ) acost Prkład 124 Niechf : 0,2π) R 2 if(t)= Wted bsint [ ] asint0 Df(t 0 )= bcost 0 R t =acost =bsint R 2,t 0,2π) 1+t =1+t Prkład 125 Niechf: R R 3 if(t)= 2+2t Wted =2+2t t = t,t R Df(t 0 )= R 3 R t Prkład 126 Niechf: R R 3 if(t)= asint 0 acost 0 b acost asint Wted bt =acost =asint =bt,t R Df(t 0 )= 17

18 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne R 3 R t 0 +u 1 t 1 +v 1 t 2 Prkład 127 Niechf: R 2 R 3 if(t 1,t 2 )= 0 +u 2 t 1 +v 2 t 2 Wted 0 +u 3 t 1 +v 3 t 2 = 0 +u 1 t 1 +v 1 t 2 u 1 v 1 = 0 +u 2 t 1 +v 2 t 2,(t 1,t 2 ) R 2 Df(t 1,t 2 )= u 2 v 2 = 0 +u 3 t 1 +v 3 t 2 u 3 v 3 Prkład 128 Niechf: D R 2, D= 0,+ ) 0,2π) R 2 if(,ϕ)= = cosϕ = sinϕ,(,ϕ) D R 2 Df(,ϕ)= J= cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ = ) ( cosϕ Wted sinϕ [ ] cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ Prkład 129 Niechf: D R 2, D= 0,1 0,2π) R 2 if(,ϕ)= =a cosϕ =b sinϕ,(,ϕ) D R 2 18 ( ) a cosϕ Wted b sinϕ

19 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne Df(,ϕ)= [ ] acosϕ a sinϕ J= bsinϕ b cosϕ acosϕ a sinϕ bsinϕ b cosϕ =ab cosϕ Prkład 1210 Niechf: D R 3, D= 0,+ ) 0,2π) R R 3 if(,ϕ,t)= sinϕ Wted t = cosϕ = sinϕ,(,ϕ) D R 3 =t cosϕ sinϕ 0 cosϕ sinϕ 0 Df(,ϕ,t)= sinϕ cosϕ 0 J= sinϕ cosϕ 0 = Prkład 1211 Niechf: D R 3, D= 0,+ ) 0,2π) π cosϕcosψ 2,π 2 R3 if(,ϕ,ψ)= sinϕcosψ sinψ Wted = cosϕcosψ = sinϕcosψ,(,ϕ) D R 3 = sinψ cosϕcosψ sinϕcosψ cosϕsinψ Df(,ϕ,ψ)= sinϕcosψ cosϕcosψ sinϕsinψ J= 2cosψ sinψ 0 cosψ 19

20 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne 13 Ekstrema funkcji wielu miennch ( ) 131 Ekstrema lokalne Niechf:D f R,D f R n będie funkcjąn-miennch Niech U D f będie biorem otwartm i P 0 ( 01,, 0n ) U Definicja 131 Funkcjaf ma w punkciep 0 ( 01,, 0n ) minimum lokalne, jeżeli istnieje otocenie U D f punktup 0 ( 01,, 0n ), takie że dla każdego punktup U ip P 0 spełniona jest nierówność f(p) f(p 0 ) Funkcjaf ma w punkciep 0 minimum lokalne właściwe, jeżeli istnieje otocenie U D f punktup 0, takie że dla każdego punktup U ip P 0 spełniona jest nierówność f(p)>f(p 0 ) Definicja 132 Funkcjaf ma w punkciep 0 ( 01,, 0n ) maksimum lokalne, jeżeli istnieje otocenie U D f punktup 0 ( 01,, 0n ), takie że dla każdego punktup U ip P 0 spełniona jest nierówność f(p) f(p 0 ) Funkcjaf ma w punkciep 0 ( 01,, 0n ) maksimum lokalne właściwe, jeżeli istnieje otocenie U D f punktup 0 ( 01,, 0n ), takie że dla każdego punktup U ip P 0 spełniona jest nierówność f(p)<f(p 0 ) Minima i maksima lokalne nawam EKSTREMAMI LOKALNYMI 132 Ekstrema globalne Definicja 133 Licbamjest najmniejsą wartością funkcjif na biorea D f, jeżeli istnieje punktp 0 ( 01,, 0n ) A, taki że f(p 0 )=m i dla każdego punktup A f(p) f(p 0 )=m Licbęmnawam minimum globalnm funkcjif na biorea Definicja 134 LicbaM jest najwięksą wartością funkcjif na biorea D f, jeżeli istnieje punktp 0 ( 01,, 0n ) A, taki że f(p 0 )=M i dla każdego punktup A f(p) f(p 0 )=M LicbęM nawam maksimum globalnm funkcjif na biorea Minimum i maksimum globalne nawam EKSTREMAMI GLOBALNYMI 20

21 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne 133 Warunki na istnienie ekstremów funkcji wielu miennch Twierdenie 135 (Warunek koniecn istnienia ekstremum) Jeżeli to fma ekstremum w punkciep 0, istnieją pochodne i,i=1,,n cąstkowe w punkciep 0, 1 (P 0 )=0, 2 (P 0 )=0,, f(p 0 )=[0,0,,0]= 0 n (P 0 )=0 Uwaga 4 Z twierdenia tego wnika, że funkcja może mieć ekstrema tlko w punktach, w którch wsstkie jej pochodne cąstkowe są równe 0 albo w punktach, w którch prnajmniej jedna pochodna cąstkowa nie istnieje Zerowanie się pochodnch cąstkowch nie gwarantuje istnienia ekstremum lokalnego Na prkład funkcje f(,)= 3, f(,)= 2 2 spełniają warunki (0,0)=0, (0,0)=0 i nie mają ekstremów w punkcie(0,0) Definicja 136 PunktP 0 R n, w którm prnajmniej jedna pochodna cąstkowa nie istnieje lub w którm wsstkie pochodne cąstkowe są równe ero nawam punktem krtcnm funkcjif Punkt krtcnp 0, w którm jest spełnion warunek nawam punktem stacjonarnm funkcjif f(p 0 )= 0 Definicja 137 Macier Hf:= n 1 n 2 1 n 2 n 2 n nawam HESJANEM funkcji f Hesjan jest macierą ależną od tch samch miennch, od którch ależ funkcja Roważm funkcjęf: R n R ora definiujm funkcje i := i i 2 1 i 2 i 2 i, i=1,,n Zauważm, że 1 := 2 f 2 1 i n =dethf 21

22 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne Twierdenie 138 (Warunek wstarcając istnienia ekstremum) Załóżm, że (P 0 )=0, (P 0 )=0,, (P 0 )=0 (punktp 0 jest punktem stacjonarnm funkcjif) 1 2 n Jeżeli i (P 0 )>0, dlai=1,2,,n, to w punkciep 0 funkcjaf ma minimum lokalne właściwe 1 (P 0 )<0, 2 (P 0 )>0, 3 (P 0 )<0,, ( 1) i i (P 0 )>0,i=1,,n, to w punkciep 0 funkcjaf ma maksimum lokalne właściwe Uwaga 5 NiechP 0 będie punktem krtcnm funkcjif: R 2 R Jeżeli 2 (P 0 )<0, to w punkciep 0 funkcjaf nie ma ekstremum Np dlaf(,)= 2 2 mam (0,0)=0, (0,0)=0 i =dethf= 0 2 = 4<0, więc funkcjaf nie ma ekstremum w punkcie krtcnm(0,0) Prkład 139 Niechf: R 3 R i f(,,)= Wted =2 +1, =2, =2+2Ponieważ 2 +1=0 2 =0 2+2=0 więcp 0 ( 2 3, 1 3, 1 ) jest punktem krtcnm funkcjif Ponadto = 2 3 = 1 3 = Hf= , i 1 (P 0 )=2>0, 2 (P 0 )=3>0, 3 (P 0 )=6>0, więc funkcjaf ma w punkciep 0 ( 2 3, 1 3, 1 ) minimum lokalne, które wnosif min =f(p 0 )= 4 3 Prkład 1310 Niechf: R n R,n 2 i f( 1, 2,, n )= n 22

23 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne Wted i = 2 i,i=1,,n Ponieważ 2 1 =0 2 n =0 1 =0 n =0, więcp 0 (0,,0) jest punktem krtcnm Ponadto Hf= i 1 (P 0 )= 2<0, 2 (P 0 )=4>0,, n (P 0 )=( 2) n, ( 1) i i (P 0 )=( 1) i ( 2) i =2 i >0, dlai=1,2,,n Zatem funkcjaf ma w punkciep 0 (0,,0) maksimum lokalne, które wnosif ma =f(p 0 )=0 NiechA R n if:a R JeżeliAjest domknięt i ogranicon, af jest funkcją ciągłą, to funkcjaf osiąga w biore A wartość najmniejsą i najwięksą 1331 Algortm najdowania ekstremów globalnch funkcji na obsare domkniętm Znajdujem wsstkie punkt krtcne wewnątr bioruaioblicm wartości funkcji w tch punktach Znajdujem punkt krtcne na bregu obsaruaioblicm wartości funkcji w tch punktach Porównujem otrmane wartości funkcji najdując wartość najmniejsą i najwięksą 23

24 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne Prkład 1311 Niechf:A R 2 R i f(,)= , gdieajest trójkątem ograniconm prostmi=0,=0 i+=4 24

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu miennch wkład MATEMATYKI Automatka i robotka studia niestacjonarne sem I, rok ak 2009/2010 Katedra Matematki Wdiał Informatki Politechnika Białostocka Niech R ndef ={( 1, 2,, n ): 1 R 2 R

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń liniowa R n.

Przestrzeń liniowa R n. MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Prestreń liniowa R n. Element (wektor) prestreni R n będiem onacać [,,, ] Element erow [,, L, ]. Diałania. a) ilocn element pre licbę: b) sma elementów [ c, c, ] c L, c

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr - Wykład 7 Ruch ogólny elementu płynu

J. Szantyr - Wykład 7 Ruch ogólny elementu płynu J. Santr - Wkład 7 Rch ogóln element płn Rch ogóln ciała stwnego można predstawić jako smę premiescenia liniowego i obrot. Ponieważ płn nie mają stwności postaciowej, w rch płn dochodi dodatkowo do odkstałcenia

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

P K. Położenie punktu na powierzchni kuli określamy w tym układzie poprzez podanie dwóch kątów (, ).

P K. Położenie punktu na powierzchni kuli określamy w tym układzie poprzez podanie dwóch kątów (, ). Materiał ddaktcne Geodeja geometrcna Marcin Ligas, Katedra Geomatki, Wdiał Geodeji Górnicej i Inżnierii Środowiska UKŁADY WSPÓŁZĘDNYCH NA KULI Pierwsm prbliżeniem kstałtu Ziemi (ocwiście po latach płaskich

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach

Bardziej szczegółowo

napór cieczy - wypadkowy ( hydrostatyczny )

napór cieczy - wypadkowy ( hydrostatyczny ) 5. apór hdrostatcn i równowaga ciał płwającch Płn najdując się w stanie równowagi oddiałwuje na ścian ogranicające ropatrwaną jego objętość i sił te nawane są naporami hdrostatcnmi. Omawiana problematka

Bardziej szczegółowo

Strukturalne elementy symetrii. Krystalograficzne grupy przestrzenne.

Strukturalne elementy symetrii. Krystalograficzne grupy przestrzenne. Uniwerstet Śląski Insttut Chemii Zakład Krstalografii Laboratorium Krstalografii Strukturalne element smetrii. Krstalograficne grup prestrenne. god. Cel ćwicenia: aponanie się diałaniem elementów smetrii

Bardziej szczegółowo

Programowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych

Programowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych Ekonomia matematczna II Ekonomia matematczna II Prowadząc ćwiczenia Programowanie nieliniowe optmalizacja unkcji wielu zmiennch Modele programowania liniowego często okazują się niewstarczające w modelowaniu

Bardziej szczegółowo

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji. 0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()

Bardziej szczegółowo

Definicja pochodnej cząstkowej

Definicja pochodnej cząstkowej 1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem

Bardziej szczegółowo

PRAWA ZACHOWANIA Prawa zachowania najbardziej fundamentalne prawa:

PRAWA ZACHOWANIA Prawa zachowania najbardziej fundamentalne prawa: PRW ZCHOWNI Pawa achowania nabadie fundamentalne pawa: o ewnętne : pawo achowania pędu, pawo achowania momentu pędu, pawo achowania enegii; o wewnętne : pawa achowania np. całkowite licb nukleonów w eakci

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH LICZBY ZESPOLONE

ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH LICZBY ZESPOLONE . Oblicyć: ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH a) ( 7i) ( 9i); b) (5 i)( + i); c) 4+3i ; LICZBY ZESPOLONE d) 3i 3i ; e) pierwiastki kwadratowe 8 + i.. Narysować biór tych licb espolonych, które spełniają warunek:

Bardziej szczegółowo

ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE

ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN ODDZIAŁ W POZNANIU Vol. 6 nr Archiwum Technologii Masn i Automatacji 6 ROMAN STANIEK * ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE W artkule predstawiono ależności matematcne

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych (c.d.)

Funkcje wielu zmiennych (c.d.) Funkcje wielu zmiennych (c.d.) Ekstrema funkcji wielu zmiennych Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 1/40 Minimum lokalne

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era

Bardziej szczegółowo

Belki złożone i zespolone

Belki złożone i zespolone Belki łożone i espolone efinicja belki łożonej siła rowarswiająca projekowanie połąceń prkła obliceń efinicja belki espolonej ałożenia echnicnej eorii ginania rokła naprężeń normalnch prkła obliceń Belki

Bardziej szczegółowo

lim = 0, gdzie d n oznacza najdłuższą przekątną prostokątów

lim = 0, gdzie d n oznacza najdłuższą przekątną prostokątów 9. CAŁKA POWÓJNA 9.. Całka podwójna w prostokącie Niech P będzie prostokątem opisanm na płaszczźnie OXY nierównościami: a < < b, c < < d, a f(,) funkcją określoną i ograniczoną w tm prostokącie. Prostokąt

Bardziej szczegółowo

ANALIZA KONSTRUKCJI POWŁOKOWEJ. CIENKOŚCIENNY ZBIORNIK CIŚNIENIOWY

ANALIZA KONSTRUKCJI POWŁOKOWEJ. CIENKOŚCIENNY ZBIORNIK CIŚNIENIOWY Cw3_biornik.doc ANALIZA KONTRUKCJI POWŁOKOWEJ. CIENKOŚCIENNY ZBIORNIK CIŚNIENIOWY 1. W P R O W A D Z E N I E Ciało utworone pre dwie akrwione powierchnie nawane jest powłoką, jeśli preciętna odlełość pomięd

Bardziej szczegółowo

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0 B. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa B. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba

Bardziej szczegółowo

Graficzne modelowanie scen 3D. Wykład 4

Graficzne modelowanie scen 3D. Wykład 4 Wkład 4 Podstawowe pojęcia i definicje . Modelowanie. Definicja Model awiera wsstkie dane i obiekt ora wiąki pomięd nimi, które są niebędne do prawidłowego wświetlenia i realiowania interakcji aplikacją,

Bardziej szczegółowo

4.2.1. Środek ciężkości bryły jednorodnej

4.2.1. Środek ciężkości bryły jednorodnej 4..1. Środek ciężkości rł jednorodnej Brłą jednorodną nawam ciało materialne, w którm masa jest romiescona równomiernie w całej jego ojętości. Dla takic ciał arówno gęstość, jak i ciężar właściw są wielkościami

Bardziej szczegółowo

3. Metody rozwiązywania zagadnień polowych

3. Metody rozwiązywania zagadnień polowych 3. Metod rowiąwania agadnień polowch 3.. Dokładne metod anali pola Dokładne metod anali pola powalają na uskanie dokładnego rowiąania równania róŝnickowego lub całkowego w dowolnm punkcie obsaru diałania

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA BUDOWLI 2 PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH

MECHANIKA BUDOWLI 2 PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH Oga Kopac, am Łogowski, Wojciech Pawłowski, ichał Płotkowiak, Krstof mber Konsutacje naukowe: prof. r hab. JERZY RKOWSKI Ponań /3 ECHIK BUDOWI Praca sił normanch Siła normana prpomnienie (): Jest to siła

Bardziej szczegółowo

A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)!

A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)! Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycnej MAP037 wykład dr hab. A. Jurlewic WPPT Fiyka, Fiyka Technicna, I rok, II semestr Prykłady - Lista nr : Prestreń probabilistycna. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 6 KWIETNIA 0 CZAS PRACY: 70 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE ( PKT.) Liczbę 5 7 zaokr aglam do liczb,6.

Bardziej szczegółowo

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL)

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL) arek isyński BO UŁ 007 - Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) -. Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) Zadaniem WPL naywamy następująe adanie optymaliaji liniowej: a a m L O L L O L L a a n n

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

2.1. Określenie i rodzaje wektorów. Mnożenie wektora przez skalar

2.1. Określenie i rodzaje wektorów. Mnożenie wektora przez skalar 2.1. kreślenie i rodje wektorów. Mnożenie wektor pre sklr Wielkości ficne wstępujące w mechnice i innch diłch fiki możn podielić n sklr i wektor. A określić wielkość sklrną, wstrc podć tlko jedną licę.

Bardziej szczegółowo

1. Podstawy rachunku wektorowego

1. Podstawy rachunku wektorowego 1 Postaw rachunku wektorowego Wektor Wektor est wielkością efiniowaną pre ługość (mouł) kierunek iałania ora wrot Dwa wektor o tm samm moule kierunku i wrocie są sobie równe Wektor presunięt równolegle

Bardziej szczegółowo

Transformator Φ M. uzwojenia; siła elektromotoryczna indukowana w i-tym zwoju: dφ. = z1, z2 liczba zwojów uzwojenia pierwotnego i wtórnego.

Transformator Φ M. uzwojenia; siła elektromotoryczna indukowana w i-tym zwoju: dφ. = z1, z2 liczba zwojów uzwojenia pierwotnego i wtórnego. Transformator Φ r Φ M Φ r i i u u Φ i strumień magnetycny prenikający pre i-ty wój pierwsego uwojenia; siła elektromotorycna indukowana w i-tym woju: dφ ei, licba wojów uwojenia pierwotnego i wtórnego.

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 15: Funkcjonały dwuliniowe i formy kwadratowe (1) Sprawdzić, czy następujące odwzorowania ξ : R 3 R 3 R: x y. x y z. f(x)g(x)dx.

Zestaw zadań 15: Funkcjonały dwuliniowe i formy kwadratowe (1) Sprawdzić, czy następujące odwzorowania ξ : R 3 R 3 R: x y. x y z. f(x)g(x)dx. Zestaw adań 5: Funkcjonał dwuliniowe i form kwadratowe () Sprawdić, c następujące odworowania ξ : R 3 R 3 R: x x a) ξ( x, c) ξ( x, x ) = xx + + ; b) ξ(, x ) = xx + 2 + ; d) ξ( x, x x ) = x + x + 2; ) =

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji

Bardziej szczegółowo

Ekstrema globalne funkcji

Ekstrema globalne funkcji SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASACH I - III GIMNAZJUM. Rok szkolny 2015/16

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASACH I - III GIMNAZJUM. Rok szkolny 2015/16 WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASACH I - III GIMNAZJUM Rok skolny 2015/16 POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: (2) - ocena dopscająca (2); (3) - ocena dostatecna (3); (4) - ocena dobra (4);

Bardziej szczegółowo

Programowanie nieliniowe. Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a

Programowanie nieliniowe. Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a Programowanie nieliniowe Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a Plan wykładu Przykład problemu z nieliniową funkcją celu Sformułowanie problemu programowania matematycznego Podstawowe definicje

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 6. MODELE OBIEKTÓW 3-D3 część 2. 1. Powierzchnie opisane parametrycznie. Plan wykładu: Powierzchnie opisane parametrycznie

WYKŁAD 6. MODELE OBIEKTÓW 3-D3 część 2. 1. Powierzchnie opisane parametrycznie. Plan wykładu: Powierzchnie opisane parametrycznie WYKŁAD 6. owierchnie opisane paraetrcnie MODELE OIEKÓW -D cęść (,v (,v (,v f (,v f (,v f (,v v in in v v a a lan wkład: owierchnie opisane paraetrcnie v a v Krwe paraetrcne w -D D (krwa Herite a v in (,v

Bardziej szczegółowo

PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE. WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) ŚLIMAKOWE HIPERBOIDALNE. o zebach prostych. walcowe. o zębach.

PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE. WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) ŚLIMAKOWE HIPERBOIDALNE. o zebach prostych. walcowe. o zębach. CZOŁOWE OWE PRZEKŁADNIE STOŻKOWE PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) HIPERBOIDALNE ŚLIMAKOWE o ebach prostych o ębach prostych walcowe walcowe o ębach śrubowych o

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM Matematyka Poziom rozszerzony Listopad 0 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź Wskazówki do rozwiązania.

Bardziej szczegółowo

Mechanika Robotów. Wojciech Lisowski. 2 Opis położenia i orientacji efektora Model geometryczny zadanie proste

Mechanika Robotów. Wojciech Lisowski. 2 Opis położenia i orientacji efektora Model geometryczny zadanie proste Katedra Robotki i Mechatroniki Akademia Górnico-Hutnica w Krakowie Mechanika Robotów Wojciech Lisowski Opis położenia i orientacji efektora Model geometrcn adanie proste Mechanika Robotów KRIM, AGH w Krakowie

Bardziej szczegółowo

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y =

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\Fale wodnem.doc. Drgania i fale III rok Fizyki BC. Model: - długi kanał o prostokątnym przekroju i głębokości h,

G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\Fale wodnem.doc. Drgania i fale III rok Fizyki BC. Model: - długi kanał o prostokątnym przekroju i głębokości h, 13-1-00 G:\AA_Wklad 000\FIN\DOC\Fale Fale wodne: Drgania i fale III rok Fiki BC Model: - długi kanał o prostokątnm prekroju i głębokości h, - ruch fali wdłuż, nieależn od x, wchlenia wdłuż, - woda nieściśliwa

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

Ruch kulisty bryły. Kinematyka

Ruch kulisty bryły. Kinematyka Ruch kulist bł. Kinematka Ruchem kulistm nawam uch, w casie któego jeden punktów bł jest stale nieuchom. Ruch kulist jest obotem dookoła chwilowej osi obotu (oś ta mienia swoje położenie w casie). a) b)

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 15

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 15 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 15 Niech r ( t ) [ x( t), y( t), z( t)], t I ( r ( t ) x( t) i y( t) j z( t) k, t I ) będzie równaniem wektorowym krzywej w R 3. Definicja Krzywą o równaniu r ( t ) [ a cost,

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zastosowania matematki w analitce medcznej zestaw do kol. semestr. - rozwiązania i odpowiedzi (część I). ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. a) Rozważając dwa przpadki ze względu na moduł mam: skąd ostatecznie,3>.

Bardziej szczegółowo

2015-01-15. Edycja pierwsza 2014/1015. dla kierunku fizyka medyczna, I rok, studia magisterskie

2015-01-15. Edycja pierwsza 2014/1015. dla kierunku fizyka medyczna, I rok, studia magisterskie 05-0-5. Opis różnicę pomiędy błędem pierwsego rodaju a błędem drugiego rodaju Wyniki eksperymentu składamy w dwie hipotey statystycne: H0 versus H, tak, by H0 odrucić i pryjąć H. Jeśli decydujemy, że pryjmujemy

Bardziej szczegółowo

Część 1 2. PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH 1 2. PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH Wstęp

Część 1 2. PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH 1 2. PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH Wstęp Cęść 1. PRC SIŁ WEWNĘTRZNYCH 1.. PRC SIŁ WEWNĘTRZNYCH.1. Wstęp Na wstępie prpomnijm, że gd premiescenie danego eementu jest funkcją diałającej nań sił Δ = f(p), to praca sił na tm premiesceniu jest równa:

Bardziej szczegółowo

( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił

( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił 3.7.. Reducja dowolego uładu sił do sił i par sił Dowolm uładem sił będiem awać uład sił o liiach diałaia dowolie romiescoch w prestrei. tm pucie ajmiem się sprowadeiem (reducją) taiego uładu sił do ajprostsej

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych.

Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Definicja (otoczenie punktu) Otoczeniem punktu x 0 R, o promieniu nazywamy zbiór x R taki, że: inaczej x x 0 x x 0, x 0 Definicja (ciągłość w punkcie)

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6 ozwiązwanie beek prostch i przegubowch wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch 6 Obciążenie beki mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe q rs. 6.. s. 6. rzed przstąpieniem

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Wydawnictwo Wyższej Szkoły Komunikacji i Zarządzania w Poznaniu

Wydawnictwo Wyższej Szkoły Komunikacji i Zarządzania w Poznaniu CMYK ISBN 98-8-888-- Wdanicto Wżsej Skoł Komunikacji i Zarądania - Ponań, ul Różana a tel 8 9, fa 8 9 skiedu danicto@skiponanpl analia89indd Wdanicto Wżsej Skoł Komunikacji i Zarądania Ponaniu 9--8 ::

Bardziej szczegółowo

ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE

ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE P O L I T E C H N I K A W A R S Z A W S K A WYDZIAŁ BUDOWNICTWA, MECHANIKI I PETROCHEMII INSTYTUT INŻYNIERII MECHANICZNEJ ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE Optymaliacja transportu wewnętrnego w akładie mechanicnym

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie środka ścinania w prętach o przekrojach niesymetrycznych

Wyznaczanie środka ścinania w prętach o przekrojach niesymetrycznych Insttut Mechaniki i Inżnierii Obliceniowej Wdiał Mechanicn echnologicn Politechnika Śląska www.imio.polsl.pl LBORORIUM WYRZYMŁOŚCI MERIŁÓW Wnacanie środka ścinania w prętach o prekrojach niesmetrcnch WYZNCZNIE

Bardziej szczegółowo

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe typu ciągłego. Parametry zmiennych losowych. Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład III)

Zmienne losowe typu ciągłego. Parametry zmiennych losowych. Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład III) Zmienne losowe tpu ciągłego. Parametr zmiennch losowch. Izolda Gorgol wciąg z prezentacji (wkład III) Zmienna losowa tpu ciągłego Zmienna losowa X o ciągłej dstrbuancie F nazwa się zmienną losową tpu ciągłego,

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A

Bardziej szczegółowo

( ) Pochodne. Załómy, e funkcja f jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Liczb

( ) Pochodne. Załómy, e funkcja f jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Liczb Pocodne Załómy, e unkcja jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu. Liczb ( + ) ( ) nazywamy ilorazem rónicowym unkcji w punkcie dla przyrostu. Pocodn ( ) unkcji w punkcie nazywamy granic ilorazu rónicowego,

Bardziej szczegółowo

DryLin T System prowadnic liniowych

DryLin T System prowadnic liniowych DrLin T Sstem prowadnic liniowch Prowadnice liniowe DrLin T ostał opracowane do astosowań wiąanch automatką i transportem materiałów. Chodiło o stworenie wdajnej, beobsługowej prowadnic liniowej do astosowania

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe

Równania różniczkowe cząstkowe Równania różniczkowe cząstkowe Definicja: Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 Równania różniczkowe liniowe Metoda przewidwań Metoda przewidwań całkowania równania niejednorodnego ' p( x) opiera się na następującm twierdzeniu. Twierdzenie f ( x) Suma

Bardziej szczegółowo

14. Grupy, pierścienie i ciała.

14. Grupy, pierścienie i ciała. 4. Grup, pierścienie i ciała. Definicja : Zbiór A nazwam grupą jeśli jest wposaŝon w działanie wewnętrzne łączne, jeśli to działanie posiada element neutraln i kaŝd element zbioru A posiada element odwrotn.

Bardziej szczegółowo

Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych

Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych Na podstawie książki J. Rusinka, Równania różniczkowe i różnicowe w zarządzaniu, Oficna Wdawnicza WSM, Warszawa 2005. 21 maja 2012 Definicja Stabilność Niech = F (x, ) będzie równaniem różniczkowm. Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej

Bardziej szczegółowo

Temat: Zastosowania pochodnej

Temat: Zastosowania pochodnej Temat: Zastosowania pochodnej A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga A n n a R a j u r a, M a

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego

Bardziej szczegółowo

Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce

Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce Wykład 6, pochodne funkcji Siedlce 20.12.2015 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 ; x 1 (a; b), x0 x1. Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych

Bardziej szczegółowo

Przykład 3.1. Projektowanie przekroju zginanego

Przykład 3.1. Projektowanie przekroju zginanego Prkład.1. Projektowane prekroju gnanego Na belkę wkonaną materału o wtrmałośc różnej na ścskane rocągane dałają dwe sł P 1 P. Znając wartośc tch sł, schemat statcn belk, wartośc dopuscalnego naprężena

Bardziej szczegółowo

Zastosowania pochodnych

Zastosowania pochodnych Zastosowania pochodnych Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIAROWEJ Przykład: objętość kuli Kulka z łożyska tocznego ma średnicę 2,3 mm, co oznacza, że objętość

Bardziej szczegółowo

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h) Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx 5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.

Bardziej szczegółowo

PITAGORAS ARYSTOTELES ERATOSTENES. Wprowadzenie. O kulistości Ziemi. Starożytni postulatorzy kulistości Ziemi

PITAGORAS ARYSTOTELES ERATOSTENES. Wprowadzenie. O kulistości Ziemi. Starożytni postulatorzy kulistości Ziemi O kulistości Ziemi Starożtni postulator kulistości Ziemi Wprowaenie PITAGOAS sugerował, iż Ziemia jest kstałtu kulistego. Jenak postulat ten opierał się racej na tm, iż kula bła uważana a figurę oskonałą,

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Pochodna funkcji zastosowania do badania przebiegu zmienności funkcji

Wykład 7: Pochodna funkcji zastosowania do badania przebiegu zmienności funkcji Wkłd 7: Pochodn funkcji zstosowni do bdni przebiegu zmienności funkcji dr Mriusz Grządziel semestr zimow, rok kdemicki 2013/2014 Funkcj logistczn Rozwżm funkcję logistczną = f 0 (t) = 1+5e 0,5t f(t) 0

Bardziej szczegółowo

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji matematyki z wykorzystaniem komputera

Scenariusz lekcji matematyki z wykorzystaniem komputera Scenariusz lekcji matematki z wkorzstaniem komputera Temat: Wpłw współcznników a i b na położenie wkresu funkcji liniowej. (Rsowanie wkresów prz użciu arkusza kalkulacjnego EXCEL.) Czas zajęć: 9 min Cele:

Bardziej szczegółowo

PROGNOZA OSIADANIA BUDYNKU W ZWIĄZKU ZE ZMIANĄ SPOSOBU POSADOWIENIA THE PROGNOSIS OF BUILDING SETTLEMENT DUE TO CHANGES OF FOUNDATION

PROGNOZA OSIADANIA BUDYNKU W ZWIĄZKU ZE ZMIANĄ SPOSOBU POSADOWIENIA THE PROGNOSIS OF BUILDING SETTLEMENT DUE TO CHANGES OF FOUNDATION XXVI Konferencja awarie budowlane 213 Naukowo-Technicna ZYGMUNT MEYER, meyer@ut.edu.pl Zachodniopomorski Uniwersytet Technologicny w cecinie, Katedra Geotechniki MARIUZ KOWALÓW, m.kowalow@gco-consult.com

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB SŁABOSŁYSZĄCYCH (A3) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych,

Bardziej szczegółowo

MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1

MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1 MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1 Rozkład materiału nauczania wraz z celami kształcenia oraz osiągnięciami dla słuchaczy CKU Nr 1 ze specyficznymi potrzebami edukacyjnymi ( z podziałem na semestry

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a

Bardziej szczegółowo