Funkcje wielu zmiennych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Funkcje wielu zmiennych"

Transkrypt

1 Funkcje wielu miennch wkład MATEMATYKI Automatka i robotka studia niestacjonarne sem II, rok ak 2009/2010 Katedra Matematki Wdiał Informatki Politechnika Białostocka Niech R ndef ={( 1, 2,, n ): 1 R 2 R n R} Funkcjąnmiennch określoną na biored R n o wartościach w R nawam prporądkowanie każdemu punktowi e bioruddokładnie jednej licb recwistej Funkcję taką onacam pre f:d R lub w=f( 1, 2,, n ), gdie( 1, 2,, n ) D Wartość funkcjif w punkcie( 1, 2,, n ) onacam pref( 1, 2,, n ) Dlan=2 mam funkcję dwóch miennch =f(,) R 2 (,) =f(,) R D R 2 (,) R =f(,) Dlan=3 mam funkcję trech miennch w=f(,,) R 3 (,,) w=f(,,) R D R 3 R 1 w=f(,,)

2 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne 1 Diedina, wkres i warstwice funkcji wielu miennch Zbiór wsstkich punktów prestreni R n, dla którch funkcjaf jest określona nawam diediną funkcjifi onacam pred f Jeżeli dan jest wór określając funkcję, to biór punktów prestreni R n, dla którch wór ten ma sens, nawam diediną naturalną funkcji Prkład 11 (Prkład funkcji dwóch miennch) Niech f(,)= Niech f(,)= WówcasD f = R 2 WówcasD f ={(,): } Niech f(,)=arcsin WówcasD f ={(,): 1 1 0} Prkład 12 (Prkład funkcji trech miennch) Niech g(,,)= WówcasD g ={(,,): } 2

3 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne Prkład 13 (Inne prkład funkcji wielu miennch) NatężenieI prądu w oporniku o oporerjest według prawa Ohma funkcją napięciau, prłożonego do acisków tego opornika, ora oporur, tn I= U R TemperaturaT w punkciep(,,) ogrewanego ciała w chwilitjest funkcją cterech miennch, mianowicie tego punktu ora casut, tn T=T(,,,t) Wkresem funkcjin-miennch nawam biór {( 1,, n,w): ( 1,, n ) D f w=f( 1,, n )} R n R Dlan=2 {(,,): (,) D f =f(,)} R 3 =f(,) D f Poiomicą wkresu funkcji dwóch miennch = f(, ) odpowiadającą poiomowi h R nawam biór {(,): (,) D f f(,)=h} R 2 =f(,) f(,)=h poiomica wkresu funkcjif Warstwicą wkresu funkcjif:d f R,n 3 odpowiadającą warstwieh R nawam biór {( 1,, n ) D f : ( 1,, n ) D f f( 1,, n )=h} R n 3

4 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne 11 Wkres ważniejsch funkcji dwóch miennchf: R 2 R Wkresem funkcji =A+B+C jest płascna o wektore normalnm n=[ A, B,1], prechodąca pre punkt(0, 0, C) Wkresem funkcji =a( ) jest paraboloida obrotowa, tj powierchnia obrotowa powstała obrotu paraboli=a 2 (lub=a 2 ) wokół osio a>0 Wkresem funkcji =± R jest górna lub dolna półsfera o środku w pocątku układu współrędnch i promieniu R = R = R Wkresem funkcji =k jest stożek, tj powierchnia powstała obrotu półprostej= k,=0, dla 0 wokół osio k>0 4

5 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne ( ) Wkresem funkcji =h jest powierchnia obrotowa powstała obrotu wkresu funkcji =h(), =0, dla 0 wokół osio Wkresem funkcji =g() lub =k() jest powierchnia walcowa powstała presunięcia wkresu funkcji=g(), dla=0równolegle do osioy lub wkresu funkcji=k(), dla=0równolegle do osiox Wkres funkcji=f( a, b)+c powstaje wkresu funkcji=f(,) pre presunięcie o wektor v=[a,b,c] v=[a,b,c] Wkres funkcji= f(,) powstaje wkresu funkcji=f(,) pre smetrcne odbicie wględem płascn OXY 5

6 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne 2 Powierchnie obrotowe ( ) Krwa obracająca się dookoła prostej ataca powierchnię obrotową Obróćm krwą o równaniu =(t), =(t), =(t), t a,b dookoła osioz Wówcas punktp((t 0 ),(t 0 ),(t 0 )) krwej atoc okrąg o równaniu ( ) =[(t 0 )] 2 +[(t 0 )] 2 leżąc na płascźnie =(t 0 ) Po eliminacjit 0 ( ) otrmujem równanie powierchni obrotowej atacane j pre krwą Prkład 21 (Prkład powierchni obrotowch) Niech linia prosta =t, =t, =2t, t R obraca się dookoła osioz Wówcas punktp(t 0,t 0,2t 0 ) prostej atoc okrąg o równaniu ( ) =2(t 0 ) 2 leżąc na płascźnie =2t 0 Po eliminacjit 0 ( ) otrmujem równanie powierchni obrotowej atacanej pre daną prostą = 2 2 < równanie stożka Niech okrąg =a+rcost, =0, =rsint, t R obraca się dookoła osioz Wówcas punktp(a+rcost 0,0,rsint 0 ) prostej atoc okrąg o równaniu ( ) =(a+rcost 0 ) 2 Po eliminacjit 0 ( ) otrmujem równanie ( a) =r 2 < równanie torusa; powierchni obrotowej atacanej pre okrąg =a+rcost, =0, =rsint, t R 6

7 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne 3 Granice funkcji wielu miennch Niech(P k ( k1,, kn )) ki N będie ciągiem punktów w Rn Definicja 31 Mówim, że ciąg(p k ) dąż do punktup 0 ( 01,, 0n ) R n, jeżeli lim k i = 0i, dla każdegoi=1,2,,n, k i + onaca to bieżność dla każdej współrędnej ( ) 1 Prkład 32 NiechP n ( n, n )= n,( 1)n ciąg punktów w prestreni R 2 n Wówcas lim ( n, n )=(0,0) n + Niechf: R n R będie funkcjąn-miennch NiechP 0 ( 01,, 0n ) R n ora niech funkcjaf będie określona prnajmniej na S(P 0 ) def = gdier>0 jest pewną licbą { ( 1,, n ) R n : (1 01 ) 2 + +( n 0n ) 2 <r} \{P 0 }, ( k1,, kn ) ki 0i i=1,2,,n lim f( 1,, n )=g [ def ] lim k i = 0i,i=1,,n lim k 1,, kn )=g k i k i 31 Własności granic funkcji wielu miennch Twierdenie 33 Jeżeli funkcjef ig mają granice właściwe w punkciep 0 R n, to lim [f(p)±g(p)]= lim f(p)± lim g(p) lim c f(p)=c lim f(p) lim [f(p) g(p)]= lim f(p) lim g(p) lim f(p) f(p) lim g(p) = lim g(p), o ile lim g(p) 0 Twierdenie 34 Jeżeli funkcjeϕ i,i=1,,n if spełniają warunki: lim T T 0 ϕ i (T)= 0i, T R m T S(T 0 ) (ϕ 1 (T),,ϕ n (T)) ( 01,, 0n ) lim f(p)=g, to limf(ϕ 1 (T),,ϕ n (T))=g T T 0 7

8 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne 4 Ciągłość funkcji wielu miennch Niechf: R n R będie funkcjąn-miennch Funkcja jest ciągła w punkciep 0 ( 01,, 0n ) def lim f( 1,, n )=f( 01,, 0n ) Twierdenie 41 Jeżeli funkcjef ig są ciągłe w punkciep 0 ( 01,, 0n ), to w tm punkcie ciągłe są także funkcje f+g, f g, c f,c R, f g, f g, o ileg(p 0) 0 Jeżeli funkcjeϕ i,i=1,,n są ciągłe w punkcie T 0 R m oraf jest ciągła w punkcie P 0 =(ϕ 1 (T 0 ),,ϕ n (T 0 )), to funkcja jest ciągła w T 0 f(ϕ 1 (t 1,,t m ),,ϕ n (t 1,,t m )) 8

9 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne 5 Pochodne cąstkowe Niechf onaca funkcjęn-miennch określoną w otoceniu O punktup 0 ( 01,, 0n ) Smbolem i onacam prrost miennej nieależnej i,1 n n, różn od era i taki, żeb punkt P( 01,, 0i 1, 0i + i, 0i+1,, 0n ) należał do otocenia O Granicę właściwą f(p) f(p 0 ) lim i 0 i nawam pochodną cąstkową rędu pierwsego funkcjif wględem miennej i w punkciep 0 i onacam smbolem i (P 0 ) 51 Pochodne cąstkowe funkcji dwóch miennch Dla funkcji dwóch miennch f(, ) definicje pochodnch cąstkowch rędu pierwsego wględem miennchi w punkciep 0 ( 0, 0 ) są następujące (P 0) def f( 0 +, 0 ) f( 0, 0 ) = lim 0 ora (P 0) def f( 0, 0 + ) f( 0, 0 ) = lim 0 52 Interpretacja geometrcna pochodnch cąstkowch dla funkcji dwóch miennch Niechf: R 2 R, =f(,) Załóżm, żef ma pochodne cąstkowe rędu pierwsego w punkcie P 0 ( 0, 0 ) ( 0, 0 )=tgα ( 0, 0 )=tgβ α β ( 0, 0 ) jest miarą lokalnej sbkości wrostu wartości funkcjif wględem miennejpr ustalonej wartości miennej ( 0, 0 ) jest miarą lokalnej sbkości wrostu wartości funkcjif wględem miennejpr ustalonej wartości miennej Uwaga 1 Nie ma wiąku międ ciągłością funkcji wielu miennch a istnieniem pochodnch cąstkowch 9

10 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne Prkład 51 (Prkład funkcji nieciągłej i mającej pochodne cąstkowe) Funkcja wielu miennch może mieć w punkcie obie pochodne cąstkowe pierwsego rędu i może nie bć ciągła w tm punkcie, 1, dla=0 np funkcjaf(,)= nie jest ciągła w punkcie(0,0), alef ma pochodne cąstkowe w 0, dla 0 punkcie(0,0): f(,0) f(0,0) 1 1 (0,0)= lim = lim 0 0 =0 i f(0, ) f(0,0) 1 1 (0,0)= lim = lim 0 0 =0 Prkład 52 (Prkład funkcji ciągłej nie mającej pochodnch cąstkowch) Niechf(,)= Funkcjaf jest ciągła w punkcie(0,0), gdż =0=f(0,0), ale lim (,) (0,0) i (0,0)= lim = lim (0,0)= lim = lim 0 0 nie istnieje nie istnieje Jeżeli funkcja ma pochodne cąstkowe pierwsego rędu w każdm punkcie bioru otwartego D R n, to funkcje ( 1,, n ), ( 1,, n ),, ( 1,, n ), 1 2 n gdie( 1,, n ) D, nawam pochodnmi cąstkowmi pierwsego rędu funkcjif na biore D i on,,, lub f 1 2 1,f 2,,f n n Prkład 53 Niech f(,)= e ln(+) Niech g(,,)= 3 arctg(+e ) 6 Pochodna kierunkowa funkcjif: D R n R Niechf onaca funkcjęn-miennch określoną w otoceniu O punktup 0 ( 01,, 0n ) D Pochodną kierunkową funkcjif w punkciep 0 w kierunku wersora v=[v 1,v 2,,v n ] określam worem df d v (P 0) def f( 01 +tv 1,, 0n +tv n ) f( 01,, 0n ) =lim t 0 t Pochodna kierunkowa df d v funkcjif w kierunku v jest też onacana następująco v lub f v 10

11 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne Dlaf: D R 2 R Dlaf: D R 3 R df d i =, df d j = Prkład 61 Niechf(,,)= 2 2,P 0 (1,0, 1) i v= df d v (P 0) def = lim t 0 df d i =, df d j =, df d k = [ ] , 3, Wówcas 3 ( 1+ 1 ) ( 2 )( ) t t 1+ 3 t lim 3 t+1 9 t2 2 3 t 0 t 2 3t+ 15t = 2 t 3 Prkład 62 Niechf(,,)=e ++,P 0 (0,0,0) i v=[1,1,1] Wówcas df d v (P 0) def e 3t 1[ 0 0 =lim =lim ] 3e 3t t 0 t t 0 1 = 3 = ( 1 ) 3 61 Interpretacja geometrcna pochodnej kierunkowej funkcji dwóch miennch Niech funkcjaf będie określona na otoceniu punktu( 0, 0 ) Ponadto niechγonaca kąt nachlenia do płascn XOY półstcnej do krwej otrmanej w wniku prekroju wkresu funkcji f półpłascną prechodącą pre prostą ora równoległą do wersora v Wted = 0, = 0 df d v ( 0, 0 )=tgγ γ ( 0, 0,0) v Pochodna kierunkowa określa sbkość mian wartości funkcjif w kierunku v 7 Gradient funkcji Niechf: D R n R Gradientem funkcjif w punkciep 0 ( 01, 02,, 0n ) nawam wektor określon worem f(p 0 ) def = [ (P 0 ), (P 0 ),, ] (P 0 ) 1 2 n Gradient w punkciep 0 jest również onacan pre gradf(p 0 ) lub f (P 0 ), tak jak pochodna jednej miennej Prkład 71 Niechf(,)= ip 0 ( 2,1) Wówcas [ ] f=, =[ ,2 3 1], więc f( 2,1)=[15, 17] 11

12 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne 71 Pochodna kierunkowa a gradient funkcji Twierdenie 72 (wór do oblicania pochodnej kierunkowej) Niech pochodne cąstkowe i,i= 1,,n będą ciągłe w punkciep 0 ( 01,, 0n ) ora niech v będie dowolnm wersorem Wted df d v (P 0)= f(p 0 ) v Prkład 73 Niechf(,)= ,P 0 ( 2,1) i v= [ 1 2, 1 2 ] Wówcas [ df 1 d v ( 2,1)= f( 2,1) v=[15, 17] 2, 1 ] = Pochodna kierunkowa funkcji w punkcie licona w kierunku gradientu ma wartość najwięksą spośród wsstkich pochodnch kierunkowch liconch w różnch kierunkach i df d f(p 0 ) (P 0)= f(p 0 ) 72 Interpretacja geometrcna gradientu funkcji dwóch miennch Gradient funkcji w punkcie wskauje kierunek najsbsego wrostu funkcji w tm punkcie ( 0, 0 ) f( 0, 0 ) Gradient funkcji w punkcie jest prostopadł do poiomic funkcji prechodącej pre ten punkt 0 0 ( 0, 0 ) f( 0, 0 ) 8 Pochodne cąstkowe drugiego rędu Niech funkcjaf ma pochodne cąstkowe i,i=1,2,,n, na obsare D R n ora niechp 0 ( 01, 02,, 0n ) D Pochodne cąstkowe drugiego rędu funkcjif w punkciep 0 określam worami: 2 ( ( )) f 2 (P 0 )= (P 0 ), i i i ( ( )) (P 0 )= (P 0 ), i j i j 12

13 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne dlai,j=1,2,,n Powżse pochodne onacam także odpowiednio pre f i i (P 0 ), f j i (P 0 ) lub f i i (P 0 ), f j i (P 0 ) Jeżeli funkcjaf ma pochodne cąstkowe drugiego rędu w każdm punkcie obsaru D R n, to funkcje 2 ( 1,, n ), i i j ( 1,, n ),i,j=1,2,,n gdie( 1,, n ) D, nawam pochodnmi cąstkowmi drugiego rędu funkcji f na obsare D i onacam odpowiednio pre 2 f 2 i, i j lub f i i, f j i 9 Pochodne cąstkowe wżsch rędów Jeżeli funkcjaf ma pochodne cąstkowe ręduk 2 prnajmniej na otoceniu punktup 0 ( 01, 02,, 0n ) D R n, to ( ( )) k+1 f k f i s (P 0 )= j p l i s (P 0 ), j p l gdies+p=k Twierdenie 91 (Twierdenie Schwara) Niech funkcjaf będie określona na otoceniu punktu P 0 ( 01, 02,, 0n ) Ponadto niech pochodne cąstkowe pochodne cąstkowe i j, i j, j i istnieją na otoceniu punktup 0 j i, będą ciągłe w punkciep 0 Wted (P 0 )= 2 f (P 0 ),i j ii,j=1,2,,n i j j i Uwaga 2 Prawdiwe są analogicne równości dla pochodnch miesanch wżsch rędów 10 Różnickowalność funkcjin-miennch Niech funkcjaf będie określona na otoceniu punktup 0 ( 01, 02,, 0n ) ora niech istnieją pochodne cąstkowe i (P 0 ),i=1,,,n Funkcja f jest różnickowalna w punkciep 0 wted i tlko wted, gd spełnion jest warunek: lim ( 1,, n) (0,,0) gdiep=( ,, 0n + n ) f(p) f(p 0 ) 1 (P 0 ) 1 n (P 0 ) n =0, ( 1 ) 2 + +( n ) 2 Twierdenie 101 (Warunek koniecn różnickowalności funkcji) Jeżeli funkcja jest różnickowalna w punkcie, to jest ciągła w tm punkcie Uwaga 3 Twierdenie odwrotne nie jest prawdiwe Świadc o tm prkład funkcjif(,)= 2 + 2, która jest ciągła w punkcie(0, 0), ale nie jest w tm punkcie różnickowalna, gdż nie istnieją pochodne cąstkowe tej funkcji, patr Prkład 52 13

14 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne Twierdenie 102 (Warunek wstarcając różnickowalności funkcji) Niech funkcja f będie określona na otoceniu punktup 0 ( 01, 02,, 0n ) Ponadto niech pochodne cąstkowe pochodne cąstkowe i,i=1,,n istnieją na otoceniu punktup 0 i,i=1,,n będą ciągłe w punkciep 0 Wted funkcjaf jest różnickowalna w punkciep 0 ( 01, 02,, 0n ) Różnickowalność funkcjif w punkcie( 0, 0 ) onaca, że istnieje płascna stcna (niepionowa) do wkresu tej funkcji w punkcie( 0, 0,f( 0, 0 )) =f(,) płascna stcna ( 0, 0, 0 ) Równanie płascn stcnej do wkresu funkcji Niech funkcjaf będie różnickowalna w punkciep 0 ( 0, 0 ) Równanie płascn stcnej do wkresu funkcjif w punkcie( 0, 0, 0 ), gdie 0 =f( 0, 0 ), ma postać: 11 Różnicka funkcjin-miennch 0 = ( 0, 0 )( 0 )+ ( 0, 0 )( 0 ) Niech funkcjaf będie określona na otoceniu punktup 0 ( 01, 02,, 0n ) Ponadto niech funkcjaf ma pochodne cąstkowe pierwsego rędu w punkciep 0 ( 01, 02,, 0n ) Różnicką funkcjif w punkciep 0 ( 01, 02,, 0n ) nawam funkcję miennch 1, 2,, n określoną worem: df(p 0 )( 1, 2,, n ) def = n i=1 i (P 0 ) i, Różnickę funkcjif onaca się także predf( 01, 02,, 0n ) lub krótkodf 111 Zastosowanie różnicki funkcjin-miennch Niech funkcjaf będie różnickowalna w punkciep 0 ( 01, 02,, 0n ) Wted f( ,, 0n + n ) f(p 0 )+df(p 0 )( 1,, n ), pr cm błądδ( 1, 2,, n ) powżsego prbliżenia dąż sbciej do 0 niż ( 1 ) 2 +( 2 ) 2 + +( n ) 2, tn lim ( 1,, n) (0,,0) δ( 1, 2,, n ) ( 1 ) 2 +( 2 ) 2 + +( n ) 2=0 14

15 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne Prkład 111 Wkorstując różnickę oblicm wartość prbliżoną wrażenia 2,1 8,05 Definiujem funkcję f(,)= Prjmujem 0 =2 0 =8 =0,1 i =0,05 Ponieważ =1 2 i =1 2,więc 2,1 8, , ,05=4, Zastosowanie różnicki funkcji do sacowania błędów pomiarów Niech wielkości ficne 1, 2,, n,będą wiąane ależnością=f( 1, 2,, n ) Ponadto niech i,i=1,2,,n onacają odpowiednio błęd bewględne pomiaru wielkości 1, 2,, n Wted błąd bewględn obliceń wielkościwraża się worem prbliżonm n i i=1 i Prkład 112 Pr pomoc menurki można mierć objętość ciała dokładnością V =0,1 cm 3, a pr pomoc wagi sprężnowej można ustalić jego masę dokładnością 1 g Objętość ciała mierona tm sposobem wnosiv =25 cm 3, a masam=200 g Z jaką w prbliżeniu dokładnością można oblicć gęstośćρtego ciała? Ponieważ ρ(m,v)= M V, więc ρ M =1 V i ρ V = M V 2, więc 113 Różnicka upełna ρ ρ M M+ ρ V V= ,1=0,072 Niech funkcjaf będie określona na otoceniu punktup 0 ( 01, 02,, 0n ) Ponadto niech funkcjaf ma pochodne cąstkowe pierwsego rędu w punkciep 0 ( 01, 02,, 0n ) Prrost 1, 2,, n nawam różnickami miennch nieależnch 1, 2,, n, odpowiednio i onacam smbolami d 1, d 2,, d n Różnicką upełną funkcjif w punkciep 0 ( 01, 02,, 0n ) nawam wrażenie: df(p 0 ) def = n i=1 i (P 0 )d i 15

16 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne 12 Różnickowalność odworowaniaf: R n R m Niech D R n będie otwartm niepustm podbiorem,p 0 D oraf=(f 1,,f m ):D R m Odworowanief=(f 1,,f n ):D R m nawam różnickowalnm w punkciep 0, gd istnieje macier a 11 a 1n, a m1 a mn taka że a 11 a 1n 1 f(p) f(p 0 )= + ε(p 0, 1,, n ), a m1 a mn n gdie = ( 1 ) 2 + +( n ) 2,P=( ,, 0n + n ) D,P 0 =( 01,, 0n ) D i lim 0 ε(p 0, 1,, n )=0 121 Pochodna odworowaniaf: R n R m Macier a 11 a 1n A=, a m1 a mn f(p) f(p taką że lim 0 ) A 0 =0, gdie = 1 ( 1 ) 2 + +( n ) 2, =, n P=( ,, 0n + n ) D, P 0 =( 01,, 0n ) D, nawam macierą Jacobiego (pochodną) odworowaniaf w punkciep 0 i onacam Df( 0 ) albo (f 1,,f m ) ( 1,, n ) lub D(f 1,,f m ) D( 1,, n ) 1 1 df(p 0, )=A =Df(P 0) n n nawam różnicką odworowaniaf w punkciep 0 dla prrostu Twierdenie 121 Odworowanief różnickowalne w punkciep 0 ma tlko jedną macier Jacobiego Twierdenie 122 Odworowanief różnickowalne w punkciep 0 jest ciągle w tm punkcie Twierdenie 123 Niech D R n będie otwartm niepustm podbiorem,p 0 D oraf=(f 1,,f m ): D R m będie różnickowalne wp 0 Wted funkcjef i : D R,i=1,,m mają pochodne cąstkowe i (P 0 ),i=1,,m,k=1,,n k ora macier 1 1 (P 0 ) 1 n (P 0 ) A=, m 1 (P 0 ) 16 m n (P 0 )

17 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne jest macierą Jacobiego (pochodną) odworowaniaf w punkciep 0 Jeżelim=n, to 1 1 detdf=det n 1 nawam jakobianem odworowaniafi onj 1 1 n = n n n 1 n n n Prkład odworowań i ich pochodne ( ) acost Prkład 124 Niechf : 0,2π) R 2 if(t)= Wted bsint [ ] asint0 Df(t 0 )= bcost 0 R t =acost =bsint R 2,t 0,2π) 1+t =1+t Prkład 125 Niechf: R R 3 if(t)= 2+2t Wted =2+2t t = t,t R Df(t 0 )= R 3 R t Prkład 126 Niechf: R R 3 if(t)= asint 0 acost 0 b acost asint Wted bt =acost =asint =bt,t R Df(t 0 )= 17

18 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne R 3 R t 0 +u 1 t 1 +v 1 t 2 Prkład 127 Niechf: R 2 R 3 if(t 1,t 2 )= 0 +u 2 t 1 +v 2 t 2 Wted 0 +u 3 t 1 +v 3 t 2 = 0 +u 1 t 1 +v 1 t 2 u 1 v 1 = 0 +u 2 t 1 +v 2 t 2,(t 1,t 2 ) R 2 Df(t 1,t 2 )= u 2 v 2 = 0 +u 3 t 1 +v 3 t 2 u 3 v 3 Prkład 128 Niechf: D R 2, D= 0,+ ) 0,2π) R 2 if(,ϕ)= = cosϕ = sinϕ,(,ϕ) D R 2 Df(,ϕ)= J= cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ = ) ( cosϕ Wted sinϕ [ ] cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ Prkład 129 Niechf: D R 2, D= 0,1 0,2π) R 2 if(,ϕ)= =a cosϕ =b sinϕ,(,ϕ) D R 2 18 ( ) a cosϕ Wted b sinϕ

19 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne Df(,ϕ)= [ ] acosϕ a sinϕ J= bsinϕ b cosϕ acosϕ a sinϕ bsinϕ b cosϕ =ab cosϕ Prkład 1210 Niechf: D R 3, D= 0,+ ) 0,2π) R R 3 if(,ϕ,t)= sinϕ Wted t = cosϕ = sinϕ,(,ϕ) D R 3 =t cosϕ sinϕ 0 cosϕ sinϕ 0 Df(,ϕ,t)= sinϕ cosϕ 0 J= sinϕ cosϕ 0 = Prkład 1211 Niechf: D R 3, D= 0,+ ) 0,2π) π cosϕcosψ 2,π 2 R3 if(,ϕ,ψ)= sinϕcosψ sinψ Wted = cosϕcosψ = sinϕcosψ,(,ϕ) D R 3 = sinψ cosϕcosψ sinϕcosψ cosϕsinψ Df(,ϕ,ψ)= sinϕcosψ cosϕcosψ sinϕsinψ J= 2cosψ sinψ 0 cosψ 19

20 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne 13 Ekstrema funkcji wielu miennch ( ) 131 Ekstrema lokalne Niechf:D f R,D f R n będie funkcjąn-miennch Niech U D f będie biorem otwartm i P 0 ( 01,, 0n ) U Definicja 131 Funkcjaf ma w punkciep 0 ( 01,, 0n ) minimum lokalne, jeżeli istnieje otocenie U D f punktup 0 ( 01,, 0n ), takie że dla każdego punktup U ip P 0 spełniona jest nierówność f(p) f(p 0 ) Funkcjaf ma w punkciep 0 minimum lokalne właściwe, jeżeli istnieje otocenie U D f punktup 0, takie że dla każdego punktup U ip P 0 spełniona jest nierówność f(p)>f(p 0 ) Definicja 132 Funkcjaf ma w punkciep 0 ( 01,, 0n ) maksimum lokalne, jeżeli istnieje otocenie U D f punktup 0 ( 01,, 0n ), takie że dla każdego punktup U ip P 0 spełniona jest nierówność f(p) f(p 0 ) Funkcjaf ma w punkciep 0 ( 01,, 0n ) maksimum lokalne właściwe, jeżeli istnieje otocenie U D f punktup 0 ( 01,, 0n ), takie że dla każdego punktup U ip P 0 spełniona jest nierówność f(p)<f(p 0 ) Minima i maksima lokalne nawam EKSTREMAMI LOKALNYMI 132 Ekstrema globalne Definicja 133 Licbamjest najmniejsą wartością funkcjif na biorea D f, jeżeli istnieje punktp 0 ( 01,, 0n ) A, taki że f(p 0 )=m i dla każdego punktup A f(p) f(p 0 )=m Licbęmnawam minimum globalnm funkcjif na biorea Definicja 134 LicbaM jest najwięksą wartością funkcjif na biorea D f, jeżeli istnieje punktp 0 ( 01,, 0n ) A, taki że f(p 0 )=M i dla każdego punktup A f(p) f(p 0 )=M LicbęM nawam maksimum globalnm funkcjif na biorea Minimum i maksimum globalne nawam EKSTREMAMI GLOBALNYMI 20

21 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne 133 Warunki na istnienie ekstremów funkcji wielu miennch Twierdenie 135 (Warunek koniecn istnienia ekstremum) Jeżeli to fma ekstremum w punkciep 0, istnieją pochodne i,i=1,,n cąstkowe w punkciep 0, 1 (P 0 )=0, 2 (P 0 )=0,, f(p 0 )=[0,0,,0]= 0 n (P 0 )=0 Uwaga 4 Z twierdenia tego wnika, że funkcja może mieć ekstrema tlko w punktach, w którch wsstkie jej pochodne cąstkowe są równe 0 albo w punktach, w którch prnajmniej jedna pochodna cąstkowa nie istnieje Zerowanie się pochodnch cąstkowch nie gwarantuje istnienia ekstremum lokalnego Na prkład funkcje f(,)= 3, f(,)= 2 2 spełniają warunki (0,0)=0, (0,0)=0 i nie mają ekstremów w punkcie(0,0) Definicja 136 PunktP 0 R n, w którm prnajmniej jedna pochodna cąstkowa nie istnieje lub w którm wsstkie pochodne cąstkowe są równe ero nawam punktem krtcnm funkcjif Punkt krtcnp 0, w którm jest spełnion warunek nawam punktem stacjonarnm funkcjif f(p 0 )= 0 Definicja 137 Macier Hf:= n 1 n 2 1 n 2 n 2 n nawam HESJANEM funkcji f Hesjan jest macierą ależną od tch samch miennch, od którch ależ funkcja Roważm funkcjęf: R n R ora definiujm funkcje i := i i 2 1 i 2 i 2 i, i=1,,n Zauważm, że 1 := 2 f 2 1 i n =dethf 21

22 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne Twierdenie 138 (Warunek wstarcając istnienia ekstremum) Załóżm, że (P 0 )=0, (P 0 )=0,, (P 0 )=0 (punktp 0 jest punktem stacjonarnm funkcjif) 1 2 n Jeżeli i (P 0 )>0, dlai=1,2,,n, to w punkciep 0 funkcjaf ma minimum lokalne właściwe 1 (P 0 )<0, 2 (P 0 )>0, 3 (P 0 )<0,, ( 1) i i (P 0 )>0,i=1,,n, to w punkciep 0 funkcjaf ma maksimum lokalne właściwe Uwaga 5 NiechP 0 będie punktem krtcnm funkcjif: R 2 R Jeżeli 2 (P 0 )<0, to w punkciep 0 funkcjaf nie ma ekstremum Np dlaf(,)= 2 2 mam (0,0)=0, (0,0)=0 i =dethf= 0 2 = 4<0, więc funkcjaf nie ma ekstremum w punkcie krtcnm(0,0) Prkład 139 Niechf: R 3 R i f(,,)= Wted =2 +1, =2, =2+2Ponieważ 2 +1=0 2 =0 2+2=0 więcp 0 ( 2 3, 1 3, 1 ) jest punktem krtcnm funkcjif Ponadto = 2 3 = 1 3 = Hf= , i 1 (P 0 )=2>0, 2 (P 0 )=3>0, 3 (P 0 )=6>0, więc funkcjaf ma w punkciep 0 ( 2 3, 1 3, 1 ) minimum lokalne, które wnosif min =f(p 0 )= 4 3 Prkład 1310 Niechf: R n R,n 2 i f( 1, 2,, n )= n 22

23 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne Wted i = 2 i,i=1,,n Ponieważ 2 1 =0 2 n =0 1 =0 n =0, więcp 0 (0,,0) jest punktem krtcnm Ponadto Hf= i 1 (P 0 )= 2<0, 2 (P 0 )=4>0,, n (P 0 )=( 2) n, ( 1) i i (P 0 )=( 1) i ( 2) i =2 i >0, dlai=1,2,,n Zatem funkcjaf ma w punkciep 0 (0,,0) maksimum lokalne, które wnosif ma =f(p 0 )=0 NiechA R n if:a R JeżeliAjest domknięt i ogranicon, af jest funkcją ciągłą, to funkcjaf osiąga w biore A wartość najmniejsą i najwięksą 1331 Algortm najdowania ekstremów globalnch funkcji na obsare domkniętm Znajdujem wsstkie punkt krtcne wewnątr bioruaioblicm wartości funkcji w tch punktach Znajdujem punkt krtcne na bregu obsaruaioblicm wartości funkcji w tch punktach Porównujem otrmane wartości funkcji najdując wartość najmniejsą i najwięksą 23

24 Automatka i robotka, sem II rok akademicki 2009/2010 MATEMATYKA - wkład studia niestacjonarne Prkład 1311 Niechf:A R 2 R i f(,)= , gdieajest trójkątem ograniconm prostmi=0,=0 i+=4 24

Przestrzeń liniowa R n.

Przestrzeń liniowa R n. MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Prestreń liniowa R n. Element (wektor) prestreni R n będiem onacać [,,, ] Element erow [,, L, ]. Diałania. a) ilocn element pre licbę: b) sma elementów [ c, c, ] c L, c

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr - Wykład 7 Ruch ogólny elementu płynu

J. Szantyr - Wykład 7 Ruch ogólny elementu płynu J. Santr - Wkład 7 Rch ogóln element płn Rch ogóln ciała stwnego można predstawić jako smę premiescenia liniowego i obrot. Ponieważ płn nie mają stwności postaciowej, w rch płn dochodi dodatkowo do odkstałcenia

Bardziej szczegółowo

P K. Położenie punktu na powierzchni kuli określamy w tym układzie poprzez podanie dwóch kątów (, ).

P K. Położenie punktu na powierzchni kuli określamy w tym układzie poprzez podanie dwóch kątów (, ). Materiał ddaktcne Geodeja geometrcna Marcin Ligas, Katedra Geomatki, Wdiał Geodeji Górnicej i Inżnierii Środowiska UKŁADY WSPÓŁZĘDNYCH NA KULI Pierwsm prbliżeniem kstałtu Ziemi (ocwiście po latach płaskich

Bardziej szczegółowo

napór cieczy - wypadkowy ( hydrostatyczny )

napór cieczy - wypadkowy ( hydrostatyczny ) 5. apór hdrostatcn i równowaga ciał płwającch Płn najdując się w stanie równowagi oddiałwuje na ścian ogranicające ropatrwaną jego objętość i sił te nawane są naporami hdrostatcnmi. Omawiana problematka

Bardziej szczegółowo

Strukturalne elementy symetrii. Krystalograficzne grupy przestrzenne.

Strukturalne elementy symetrii. Krystalograficzne grupy przestrzenne. Uniwerstet Śląski Insttut Chemii Zakład Krstalografii Laboratorium Krstalografii Strukturalne element smetrii. Krstalograficne grup prestrenne. god. Cel ćwicenia: aponanie się diałaniem elementów smetrii

Bardziej szczegółowo

PRAWA ZACHOWANIA Prawa zachowania najbardziej fundamentalne prawa:

PRAWA ZACHOWANIA Prawa zachowania najbardziej fundamentalne prawa: PRW ZCHOWNI Pawa achowania nabadie fundamentalne pawa: o ewnętne : pawo achowania pędu, pawo achowania momentu pędu, pawo achowania enegii; o wewnętne : pawa achowania np. całkowite licb nukleonów w eakci

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych (c.d.)

Funkcje wielu zmiennych (c.d.) Funkcje wielu zmiennych (c.d.) Ekstrema funkcji wielu zmiennych Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 1/40 Minimum lokalne

Bardziej szczegółowo

ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE

ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN ODDZIAŁ W POZNANIU Vol. 6 nr Archiwum Technologii Masn i Automatacji 6 ROMAN STANIEK * ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE W artkule predstawiono ależności matematcne

Bardziej szczegółowo

Belki złożone i zespolone

Belki złożone i zespolone Belki łożone i espolone efinicja belki łożonej siła rowarswiająca projekowanie połąceń prkła obliceń efinicja belki espolonej ałożenia echnicnej eorii ginania rokła naprężeń normalnch prkła obliceń Belki

Bardziej szczegółowo

ANALIZA KONSTRUKCJI POWŁOKOWEJ. CIENKOŚCIENNY ZBIORNIK CIŚNIENIOWY

ANALIZA KONSTRUKCJI POWŁOKOWEJ. CIENKOŚCIENNY ZBIORNIK CIŚNIENIOWY Cw3_biornik.doc ANALIZA KONTRUKCJI POWŁOKOWEJ. CIENKOŚCIENNY ZBIORNIK CIŚNIENIOWY 1. W P R O W A D Z E N I E Ciało utworone pre dwie akrwione powierchnie nawane jest powłoką, jeśli preciętna odlełość pomięd

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 6 KWIETNIA 0 CZAS PRACY: 70 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE ( PKT.) Liczbę 5 7 zaokr aglam do liczb,6.

Bardziej szczegółowo

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL)

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL) arek isyński BO UŁ 007 - Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) -. Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) Zadaniem WPL naywamy następująe adanie optymaliaji liniowej: a a m L O L L O L L a a n n

Bardziej szczegółowo

Graficzne modelowanie scen 3D. Wykład 4

Graficzne modelowanie scen 3D. Wykład 4 Wkład 4 Podstawowe pojęcia i definicje . Modelowanie. Definicja Model awiera wsstkie dane i obiekt ora wiąki pomięd nimi, które są niebędne do prawidłowego wświetlenia i realiowania interakcji aplikacją,

Bardziej szczegółowo

4.2.1. Środek ciężkości bryły jednorodnej

4.2.1. Środek ciężkości bryły jednorodnej 4..1. Środek ciężkości rł jednorodnej Brłą jednorodną nawam ciało materialne, w którm masa jest romiescona równomiernie w całej jego ojętości. Dla takic ciał arówno gęstość, jak i ciężar właściw są wielkościami

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA BUDOWLI 2 PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH

MECHANIKA BUDOWLI 2 PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH Oga Kopac, am Łogowski, Wojciech Pawłowski, ichał Płotkowiak, Krstof mber Konsutacje naukowe: prof. r hab. JERZY RKOWSKI Ponań /3 ECHIK BUDOWI Praca sił normanch Siła normana prpomnienie (): Jest to siła

Bardziej szczegółowo

A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)!

A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)! Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycnej MAP037 wykład dr hab. A. Jurlewic WPPT Fiyka, Fiyka Technicna, I rok, II semestr Prykłady - Lista nr : Prestreń probabilistycna. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

3. Metody rozwiązywania zagadnień polowych

3. Metody rozwiązywania zagadnień polowych 3. Metod rowiąwania agadnień polowch 3.. Dokładne metod anali pola Dokładne metod anali pola powalają na uskanie dokładnego rowiąania równania róŝnickowego lub całkowego w dowolnm punkcie obsaru diałania

Bardziej szczegółowo

2.1. Określenie i rodzaje wektorów. Mnożenie wektora przez skalar

2.1. Określenie i rodzaje wektorów. Mnożenie wektora przez skalar 2.1. kreślenie i rodje wektorów. Mnożenie wektor pre sklr Wielkości ficne wstępujące w mechnice i innch diłch fiki możn podielić n sklr i wektor. A określić wielkość sklrną, wstrc podć tlko jedną licę.

Bardziej szczegółowo

1. Podstawy rachunku wektorowego

1. Podstawy rachunku wektorowego 1 Postaw rachunku wektorowego Wektor Wektor est wielkością efiniowaną pre ługość (mouł) kierunek iałania ora wrot Dwa wektor o tm samm moule kierunku i wrocie są sobie równe Wektor presunięt równolegle

Bardziej szczegółowo

Transformator Φ M. uzwojenia; siła elektromotoryczna indukowana w i-tym zwoju: dφ. = z1, z2 liczba zwojów uzwojenia pierwotnego i wtórnego.

Transformator Φ M. uzwojenia; siła elektromotoryczna indukowana w i-tym zwoju: dφ. = z1, z2 liczba zwojów uzwojenia pierwotnego i wtórnego. Transformator Φ r Φ M Φ r i i u u Φ i strumień magnetycny prenikający pre i-ty wój pierwsego uwojenia; siła elektromotorycna indukowana w i-tym woju: dφ ei, licba wojów uwojenia pierwotnego i wtórnego.

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 6. MODELE OBIEKTÓW 3-D3 część 2. 1. Powierzchnie opisane parametrycznie. Plan wykładu: Powierzchnie opisane parametrycznie

WYKŁAD 6. MODELE OBIEKTÓW 3-D3 część 2. 1. Powierzchnie opisane parametrycznie. Plan wykładu: Powierzchnie opisane parametrycznie WYKŁAD 6. owierchnie opisane paraetrcnie MODELE OIEKÓW -D cęść (,v (,v (,v f (,v f (,v f (,v v in in v v a a lan wkład: owierchnie opisane paraetrcnie v a v Krwe paraetrcne w -D D (krwa Herite a v in (,v

Bardziej szczegółowo

PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE. WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) ŚLIMAKOWE HIPERBOIDALNE. o zebach prostych. walcowe. o zębach.

PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE. WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) ŚLIMAKOWE HIPERBOIDALNE. o zebach prostych. walcowe. o zębach. CZOŁOWE OWE PRZEKŁADNIE STOŻKOWE PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) HIPERBOIDALNE ŚLIMAKOWE o ebach prostych o ębach prostych walcowe walcowe o ębach śrubowych o

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASACH I - III GIMNAZJUM. Rok szkolny 2015/16

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASACH I - III GIMNAZJUM. Rok szkolny 2015/16 WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASACH I - III GIMNAZJUM Rok skolny 2015/16 POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: (2) - ocena dopscająca (2); (3) - ocena dostatecna (3); (4) - ocena dobra (4);

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

Ruch kulisty bryły. Kinematyka

Ruch kulisty bryły. Kinematyka Ruch kulist bł. Kinematka Ruchem kulistm nawam uch, w casie któego jeden punktów bł jest stale nieuchom. Ruch kulist jest obotem dookoła chwilowej osi obotu (oś ta mienia swoje położenie w casie). a) b)

Bardziej szczegółowo

2015-01-15. Edycja pierwsza 2014/1015. dla kierunku fizyka medyczna, I rok, studia magisterskie

2015-01-15. Edycja pierwsza 2014/1015. dla kierunku fizyka medyczna, I rok, studia magisterskie 05-0-5. Opis różnicę pomiędy błędem pierwsego rodaju a błędem drugiego rodaju Wyniki eksperymentu składamy w dwie hipotey statystycne: H0 versus H, tak, by H0 odrucić i pryjąć H. Jeśli decydujemy, że pryjmujemy

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił

( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił 3.7.. Reducja dowolego uładu sił do sił i par sił Dowolm uładem sił będiem awać uład sił o liiach diałaia dowolie romiescoch w prestrei. tm pucie ajmiem się sprowadeiem (reducją) taiego uładu sił do ajprostsej

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE

ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE P O L I T E C H N I K A W A R S Z A W S K A WYDZIAŁ BUDOWNICTWA, MECHANIKI I PETROCHEMII INSTYTUT INŻYNIERII MECHANICZNEJ ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE Optymaliacja transportu wewnętrnego w akładie mechanicnym

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6 ozwiązwanie beek prostch i przegubowch wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch 6 Obciążenie beki mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe q rs. 6.. s. 6. rzed przstąpieniem

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie środka ścinania w prętach o przekrojach niesymetrycznych

Wyznaczanie środka ścinania w prętach o przekrojach niesymetrycznych Insttut Mechaniki i Inżnierii Obliceniowej Wdiał Mechanicn echnologicn Politechnika Śląska www.imio.polsl.pl LBORORIUM WYRZYMŁOŚCI MERIŁÓW Wnacanie środka ścinania w prętach o prekrojach niesmetrcnch WYZNCZNIE

Bardziej szczegółowo

Wydawnictwo Wyższej Szkoły Komunikacji i Zarządzania w Poznaniu

Wydawnictwo Wyższej Szkoły Komunikacji i Zarządzania w Poznaniu CMYK ISBN 98-8-888-- Wdanicto Wżsej Skoł Komunikacji i Zarądania - Ponań, ul Różana a tel 8 9, fa 8 9 skiedu danicto@skiponanpl analia89indd Wdanicto Wżsej Skoł Komunikacji i Zarądania Ponaniu 9--8 ::

Bardziej szczegółowo

14. Grupy, pierścienie i ciała.

14. Grupy, pierścienie i ciała. 4. Grup, pierścienie i ciała. Definicja : Zbiór A nazwam grupą jeśli jest wposaŝon w działanie wewnętrzne łączne, jeśli to działanie posiada element neutraln i kaŝd element zbioru A posiada element odwrotn.

Bardziej szczegółowo

DryLin T System prowadnic liniowych

DryLin T System prowadnic liniowych DrLin T Sstem prowadnic liniowch Prowadnice liniowe DrLin T ostał opracowane do astosowań wiąanch automatką i transportem materiałów. Chodiło o stworenie wdajnej, beobsługowej prowadnic liniowej do astosowania

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB SŁABOSŁYSZĄCYCH (A3) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych,

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych

Bardziej szczegółowo

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

PITAGORAS ARYSTOTELES ERATOSTENES. Wprowadzenie. O kulistości Ziemi. Starożytni postulatorzy kulistości Ziemi

PITAGORAS ARYSTOTELES ERATOSTENES. Wprowadzenie. O kulistości Ziemi. Starożytni postulatorzy kulistości Ziemi O kulistości Ziemi Starożtni postulator kulistości Ziemi Wprowaenie PITAGOAS sugerował, iż Ziemia jest kstałtu kulistego. Jenak postulat ten opierał się racej na tm, iż kula bła uważana a figurę oskonałą,

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1 Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient Dla prostoty ograniczymy się do

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a

Bardziej szczegółowo

AB = x a + yb y a + zb z a 1

AB = x a + yb y a + zb z a 1 1. Wektory w przestrzeni trójwymiarowej EFINICJA. Uporzadkowana pare punktów (A, B) nazywamy wektorem i oznaczamy AB. Punkt A to poczatek wektora, punkt B to koniec wektora. EFINICJA. Je±li B = A, to wektor

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Pochodna funkcji zastosowania do badania przebiegu zmienności funkcji

Wykład 7: Pochodna funkcji zastosowania do badania przebiegu zmienności funkcji Wkłd 7: Pochodn funkcji zstosowni do bdni przebiegu zmienności funkcji dr Mriusz Grządziel semestr zimow, rok kdemicki 2013/2014 Funkcj logistczn Rozwżm funkcję logistczną = f 0 (t) = 1+5e 0,5t f(t) 0

Bardziej szczegółowo

Wykład 10. Funkcje wielu zmiennych

Wykład 10. Funkcje wielu zmiennych Wkład 1. Funkcje wielu zmiennch dr Mariusz Grządziel 6 maja 1 (ostatnie poprawki: 1 maja 1) Funkcje wielu zmiennch Przestrzeń dwuwmiarowa, oznaczana w literaturze matematcznej smbolem R, może bć utożsamiona

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 200 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA OGÓLNA. Semestr: II (Mechanika I), III (Mechanika II), rok akad. 2013/2014

MECHANIKA OGÓLNA. Semestr: II (Mechanika I), III (Mechanika II), rok akad. 2013/2014 MECHANIKA OGÓLNA Semestr: II (Mechanika I), III (Mechanika II), rok akad. 2013/2014 Licba godin: sem. II *) - wkład 30 god., ćwicenia 30 god. sem. III *) - wkład 30 god., ćwicenia 30 god., ale dla kier.

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Opracował: dr hab. Mieczysław Kula, prof. WSBiF dr Michał Baczyński

Matematyka. Opracował: dr hab. Mieczysław Kula, prof. WSBiF dr Michał Baczyński Matematka Opracował: dr hab. Miecsław Kula, prof. WSBiF dr Michał Bacński I. Ogóle iformacje o predmiocie: Cel predmiotu: Celem główm kursu jest apoaie studetów wbrami diałami matematki stosowami w aukach

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Odległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka.

Odległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka. GEOMETRIA ANALITYCZNA ZADANIA. Odległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka. Zad. 1 Wyznacz odległość między punktami A i B (długość odcinka AB) jeżeli: d = Zad. 2 a) A=(5,-3) B=(-2,3) b) A=(-2,2)

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń 3 Wkład III: Waruki optmalości dla zadań bez ograiczeń Podae poiże waruki optmalości dla są uogólieiem powszechie zach waruków dla fukci ede zmiee (zerowaie się pierwsze pochode i lokala wpukłość) 3 Twierdzeie

Bardziej szczegółowo

Matematyka II nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne

Matematyka II nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne Matematyka II nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne Elementy składowe sylabusu Nazwa jednostki prowadzącej kierunek Nazwa kierunku studiów Poziom kształcenia Profil studiów Forma studiów Kod przedmiotu

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

Document: Exercise-03-manual --- 2014/12/10 --- 8:54--- page 1 of 8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 3. Optymalizacja wielowarstwowych płyt laminowanych

Document: Exercise-03-manual --- 2014/12/10 --- 8:54--- page 1 of 8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 3. Optymalizacja wielowarstwowych płyt laminowanych Document: Exercise-03-manual --- 2014/12/10 --- 8:54--- page 1 of 8 PRZEDMIOT TEMAT KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydiał Mechanicny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 3 1. CEL ĆWICZENIA Wybrane

Bardziej szczegółowo

2.3.1. Iloczyn skalarny

2.3.1. Iloczyn skalarny 2.3.1. Ilon sklrn Ilonem sklrnm (sklrowm) dwóh wektorów i nwm sklr równ ilonowi modułów ou wektorów pre kosinus kąt wrtego międ nimi. α O Rs. 2.8. Ilustrj do definiji ilonu sklrnego Jeżeli kąt międ wektormi

Bardziej szczegółowo

KRYSTYNA JEŻOWIECKA-KABSCH HENRYK SZEWCZYK MECHANIKA PŁYNÓW

KRYSTYNA JEŻOWIECKA-KABSCH HENRYK SZEWCZYK MECHANIKA PŁYNÓW KRYSTYNA JEŻOWIECKA-KABSCH HENRYK SZEWCZYK MECHANIKA PŁYNÓW OFICYNA WYDAWNICZA POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ WROCŁAW Wanie poręcnika jest otowane pre Ministra Eukacji Naroowej Recenenci ALICJA JARŻA ZDZISŁAW

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-P1_1P-091 PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI STYCZEŃ ROK 2009 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 120 minut

Bardziej szczegółowo

Metody dokładne w zastosowaniu do rozwiązywania łańcuchów Markowa

Metody dokładne w zastosowaniu do rozwiązywania łańcuchów Markowa Metody dokładne w astosowaniu do rowiąywania łańcuchów Markowa Beata Bylina, Paweł Górny Zakład Informatyki, Instytut Matematyki, Uniwersytet Marii Curie-Skłodowskiej Plac Marii Curie-Skłodowskiej 5, 2-31

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie funkcji inżynierskich w arkuszach kalkulacyjnych zadania z rozwiązaniami

Zastosowanie funkcji inżynierskich w arkuszach kalkulacyjnych zadania z rozwiązaniami Tadeus Wojnakowski Zastosowanie funkcji inżynierskich w arkusach kalkulacyjnych adania rowiąaniami Funkcje inżynierskie występują we wsystkich arkusach kalkulacyjnych jak Excel w MS Office Windows cy Gnumeric

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ

ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTEP Zadanie minimalizacji bez ograniczeń f(ˆx) = min x R nf(x) f : R n R funkcja ograniczona z dołu Algorytm rozwiazywania Rekurencyjny

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 361 Badanie układu dwóch soczewek

Ćwiczenie 361 Badanie układu dwóch soczewek Nazwisko... Data... Wdział... Imię... Dzień tg.... Godzina... Ćwiczenie 36 Badanie układu dwóch soczewek Wznaczenie ogniskowch soczewek metodą Bessela Odległość przedmiotu od ekranu (60 cm 0 cm) l Soczewka

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Global Positioning System (GPS) zasada działania

Global Positioning System (GPS) zasada działania Global Positioning Sstem GPS asada diałania Metoda wnacania pocji GPS apewnia pocję 3D -,, H. Parametr nawigacjn odległość odbiornika od SV. Odległość od SV wlicana na podstawie pomiaru casu podcas prebtej

Bardziej szczegółowo

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego 1. Liczby rzeczywiste P1.1. Przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego,

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Arkusz I Próbny Egzamin Maturalny z Matematyki

Arkusz I Próbny Egzamin Maturalny z Matematyki Arkusz I Próbny Egzamin Maturalny z Matematyki Poziom Podstawowy 2 kwietnia 2010 r. Czas trwania 170min. Arkusz przygotowany przez serwis www.akademiamatematyki.pl Zadanie 1. ( 1 pkt. ) Liczba jest o większa

Bardziej szczegółowo

SKRYPT Z MATEMATYKI. Wstęp do matematyki. Rafał Filipów Piotr Szuca

SKRYPT Z MATEMATYKI. Wstęp do matematyki. Rafał Filipów Piotr Szuca Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego SKRYPT Z MATEMATYKI Wstęp do matematki Rafał Filipów Piotr Szuca Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2015 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2015 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 0 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

ISBN

ISBN Danuta Wróbel, Alicja Zielińska Uniwersytet Łódzki, Studium Języka Polskiego dla Cudzoziemców, 90-231 Łódź, ul. Matejki 21/23 Grzegorz Rudziński Uniwersytet Łódzki, Wydział Filologiczny Katedra Lingwistyki

Bardziej szczegółowo

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie momentu magnetycznego obwodu w polu magnetycznym

Wyznaczanie momentu magnetycznego obwodu w polu magnetycznym Ćwiczenie E6 Wyznaczanie momentu magnetycznego obwodu w polu magnetycznym E6.1. Cel ćwiczenia Na zamkniętą pętlę przewodnika z prądem, umieszczoną w jednorodnym polu magnetycznym, działa skręcający moment

Bardziej szczegółowo

Rozważa się dwa typy odwzorowań: 1. Parametryzacja prosta

Rozważa się dwa typy odwzorowań: 1. Parametryzacja prosta WYKŁAD MODELOWANIE I WIZUALIZACJA TEKSTURY. Co to jest tekstra obiekt T(,, (,, t( =... tn(,,,, Plan wkład: Co to jest tekstra? Generowanie worów tekstr Wialiaja tekstr Filtrowanie tekstr Co może oiswać

Bardziej szczegółowo

Pomiar bezpośredni przyrządem wskazówkowym elektromechanicznym

Pomiar bezpośredni przyrządem wskazówkowym elektromechanicznym . Rodzaj poiaru.. Poiar bezpośredni (prost) W przpadku poiaru pojednczej wielkości przrząde wskalowan w jej jednostkach wartość niedokładności ± określa graniczn błąd przrządu analogowego lub cfrowego

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

MATURA 2012. Powtórka do matury z matematyki. Część VIII: Geometria analityczna ODPOWIEDZI. Organizatorzy: MatmaNa6.pl, naszemiasto.

MATURA 2012. Powtórka do matury z matematyki. Część VIII: Geometria analityczna ODPOWIEDZI. Organizatorzy: MatmaNa6.pl, naszemiasto. MATURA 2012 Powtórka do matury z matematyki Część VIII: Geometria analityczna ODPOWIEDZI Organizatorzy: MatmaNa6.pl, naszemiasto.pl Witaj, otrzymałeś już ósmą z dziesięciu części materiałów powtórkowych

Bardziej szczegółowo

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 METODY OBLICZENIOWE Projekt nr 3.4 Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 Zadanie Nasze zadanie składało się z dwóch części: 1. Sformułowanie, przy użyciu metody Lagrange a II rodzaju, równania różniczkowego

Bardziej szczegółowo

TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI 10

TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI 10 W YKŁ ADY Z T EOII S ĘŻYSTOŚCI ZADANIE BOUSSINESQA I FLAMANTA olitechnika onańska Kopac, Kawck, Łodgowski, łotkowiak, Świtek, Tmpe Olga Kopac, Kstof Kawck, Adam Łodgowski, Michał łotkowiak, Agnieska Świtek,

Bardziej szczegółowo

5.7. Przykład liczbowy

5.7. Przykład liczbowy 5.7. Prład licbow onać oblicenia nośności beli podsuwnicowej e sali S75 pręsłami o długościach l m swobodnie podparmi na słupach esaad obsługiwanej pre dwie suwnice naorowe o jednaowch paramerach usuowanej

Bardziej szczegółowo

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a.

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a. Ćwiczenia 3032010 - omówienie zadań 1-4 z egzaminu poprawkowego Konwersatorium 3032010 - omówienie zadań 5-8 z egzaminu poprawkowego Ćwiczenia 4032010 (zad 445-473) Kolokwium nr 1, 10032010 (do zad 473)

Bardziej szczegółowo

Fale skrętne w pręcie

Fale skrętne w pręcie ae skrętne w ręcie + -(+) eement ręta r π ) ( 4 Lokane skręcenie o () moment skręcając moduł stwności r romień ręta r 4 ) ( π Pod włwem wadkowego momentu eement ręta uskuje rsiesenie kątowe i sełnion jest

Bardziej szczegółowo

Notatki do wykładu z Analizy Matematycznej dla II roku 1 studiów zawodowych z matematyki

Notatki do wykładu z Analizy Matematycznej dla II roku 1 studiów zawodowych z matematyki Notatki do wykładu z nalizy Matematycznej dla II roku 1 studiów zawodowych z matematyki Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w Białymstoku 23 stycznia 2008 1 c Jarosław Kotowicz 2007 Spis

Bardziej szczegółowo

TEMAT: Próba statyczna rozciągania metali. Obowiązująca norma: PN-EN 10002-1:2002(U) Zalecana norma: PN-91/H-04310 lub PN-EN10002-1+AC1

TEMAT: Próba statyczna rozciągania metali. Obowiązująca norma: PN-EN 10002-1:2002(U) Zalecana norma: PN-91/H-04310 lub PN-EN10002-1+AC1 ĆWICZENIE NR 1 TEMAT: Próba statycna rociągania metali. Obowiąująca norma: PN-EN 10002-1:2002(U) Zalecana norma: PN-91/H-04310 lub PN-EN10002-1+AC1 Podać nacenie następujących symboli: d o -.....................................................................

Bardziej szczegółowo