PRAWIDŁOWE ODPOWIEDZI I PUNKTACJA

Transkrypt

1 MAŁOPOLSKI KONKURS MATEMATYCZNY Rok skoln 08/09 ETAP REJONOWY 0 grudnia 08 roku PRAWIDŁOWE ODPOWIEDZI I PUNKTACJA adanie odpowiedź punkt B 3 C 3 3 A 3 4 B 3 5 E 3 6 B 3 7 E 3 8 C 3 9 D 3 0 A 3 7 adania 7 3 otwarte 8 4 maksmalna możliwa łącna licba punktów 8 60 strona 7

2 strona 8 Rowiąanie adania Dane jest równanie trema niewiadommi,, : Wnac wsstkie rowiąania tego równania w licbach recwistch. Pogrupujm odpowiednio wra w rowiąwanm równaniu: Można auważć, że uskaliśm tr wor skróconego mnożenia (kwadrat sum/różnic): 0 3 Kwadrat licb recwistej jest awse licbą nieujemną. Suma trech kwadratów może atem wnosić 0 włącnie w stuacji, gd wsstkie tr kwadrat prjmują wartość 0. Zatem co onaca, że równanie ma dokładnie jedno rowiąanie w licbach recwistch: 3

3 Punktacja adania 0 pkt rowiąanie, w którm nie ma istotnego postępu pkt rowiąanie, w którm postęp jest wprawdie niewielki, ale koniecn na drode do całkowitego rowiąania adania uceń pogrupował wra uskując prnajmniej jeden wór skróconego mnożenia (np. ) pkt ostał dokonan istotn postęp w rowiąaniu adania, ale nie ostał pokonane asadnice trudności adania Prkład: uceń pogrupował wra do postaci uceń w jednm prpadku potrafił poprawnie apisać wrażenie w postaci kwadratu sum/różnic (np. ( ) ) i na tm poprestał lub popełnił błęd w apisie poostałch wrażeń 3 pkt ostał pokonane asadnice trudności adania i dając na tm poprestał lub błędnie kontnuował rowiąanie Prkład: uceń w dwóch prpadkach potrafił poprawnie apisać wrażenie w postaci kwadratu sum/różnic (np. ( ) i ) i na tm poprestał lub popełnił błęd w apisie poostałch wrażeń 5 pkt asadnice trudności adania ostał pokonane bebłędnie i dając na tm poprestał lub błędnie kontnuował rowiąanie Prkład: uceń poprawnie sprowadił wrażenie do postaci prpominającej pkt ostał pokonane asadnice trudności adania, dając doprowadił rowiąanie do końca, jednak rowiąanie adania awiera usterki, błęd rachunkowe Prkład: uceń poprawnie roumował, że każd nawiasów w wrażeniu 3 0 powinien mieć wartość 0 i podał rowiąanie drobnm błędem rachunkowm (np. amiast ) 7 pkt adanie ostało rowiąane bebłędnie Uwaga: a każde inne niż predstawione poprawne rowiąanie uceń otrmuje maksmalną licbę punktów strona 9

4 Rowiąanie adania Dan jest trójkąt ABC. Wsokość CH dieli kąt ACB w taki sposób, że HCB ACH (rsunek). Dwusiecna kąta HCB precina bok AB w punkcie S i trójkąt BCS jest równoramienn. Wkaż, że S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Onacm miarę kąta ACH. Wted godnie treścią adania mam HCS SCB. Trójkąt BCS jest równoramienn, a kąt BSC jest rowart, więc SCB CBS. Z sum kątów trójkąta BCS uskujem, że BSC 80, więc CSH (kąt prległe). Zauważm, że trójkąt AHC i SHC są prstające (mają wspóln bok CH i odpowiednio równe kąt pr tm boku), więc również HAC. Z sum kątów trójkąta ABC uskujem, że 30 cli trójkąt ASC jest równobocn. Zatem SA = SB = SC, cli S jest środkiem okręgu opisanego na ABC. strona 0

5 Punktacja adania 0 pkt rowiąanie, w którm nie ma istotnego postępu pkt rowiąanie, w którm postęp jest wprawdie niewielki, ale koniecn na drode do całkowitego rowiąania adania uceń auważł tr równe kąt pr wierchołku C lub auważł dwa równe kąt w trójkącie BCS pkt ostał dokonan istotn postęp w rowiąaniu adania, ale nie ostał pokonane asadnice trudności adania Prkład: uceń auważł tr równe kąt pr wierchołku C ora auważł dwa równe kąt w trójkącie BCS 3 pkt ostał pokonane asadnice trudności adania i dając na tm poprestał lub błędnie kontnuował rowiąanie Prkład: uceń powiąał miarę kąta BSC miarą dowolnego trech równch kątów pr wierchołku C 5 pkt asadnice trudności adania ostał pokonane bebłędnie i dając na tm poprestał lub błędnie kontnuował rowiąanie Prkład: uceń powiąał miarę kąta CSH miarą dowolnego trech równch kątów pr wierchołku C 6 pkt ostał pokonane asadnice trudności adania, dając doprowadił rowiąanie do końca, jednak rowiąanie adania awiera usterki, błęd rachunkowe Prkład: uceń ustalił miar kątów trójkąta ABC lub auważł, że trójkąt ASC jest równobocn 7 pkt adanie ostało rowiąane bebłędnie Uwaga: a każde inne niż predstawione poprawne rowiąanie uceń otrmuje maksmalną licbę punktów strona

6 Rowiąanie adania 3 Do budow pewnego urądenia użwa się odlanch metalu seścianów o krawędiach cm, cm i 3 cm. Każd seścian pokrt jest cienką warstwą specjalnej farb. Wiadomo, że metal i farba użte do produkcji najmniejsego seścianu kostują 0 ł, a metal i farba użte do produkcji najwięksego seścianu kostują 5 ł. Ile kostują materiał potrebne do produkcji średniego seścianu? Wprowadźm onacenia: m kost cm 3 metalu f kost cm farb Mał seścian ma objętość cm 3 i pole powierchni 6 cm. Średni seścian ma objętość 8 cm 3 i pole powierchni 4 cm Duż seścian ma objętość 7 cm 3 i pole powierchni 54 cm Można więc apisać dwa równania wnacające kost materiałów do produkcji małego i dużego seścianu: m 6 f 0 7m 54 f 5 Po rowiąaniu układu równań uskujem m 9 f 6 To powala oblicć kost materiałów do produkcji średniego seścianu: 8m 4 f Zatem materiał potrebne do produkcji średniego seścianu kostują 76 łotch. strona

7 Punktacja adania 3 0 pkt rowiąanie, w którm nie ma istotnego postępu pkt rowiąanie, w którm postęp jest minimaln, ale prowadąc do całkowitego rowiąania adania uceń astosował poprawn sposób wnacania kostu materiałów do produkcji co najmniej jednego rodaju seścianu ale pr polu lub objętości popełnił konsekwentnie prenosone dalej błęd rachunkowe pkt rowiąanie, w którm postęp jest niewielki, ale koniecn na drode do całkowitego rowiąania adania uceń oblicł pola powierchni i objętości poscególnch seścianów i na tm poprestał 3 pkt ostał dokonan istotn postęp w rowiąaniu adania, ale nie ostał pokonane asadnice trudności adania Prkład: uceń poprawnie apisał równanie wnacające kost materiałów do produkcji co najmniej jednego rodaju seścianu uceń asosował poprawne sposob wnacania kostu materiałów do produkcji małego i dużego seścianu, ale pr polu lub objętości popełnił konsekwentnie prenosone dalej błęd rachunkowe 4 pkt ostał pokonane asadnice trudności adania i dając na tm poprestał lub błędnie kontnuował rowiąanie Prkład: uceń ułożł dwa poprawne równania wnacające kost materiałów do produkcji małego i dużego seścianu uceń poprawnie rowiąał ułożon układ równań, ale sam układ równań awiera konsekwencje błędów rachunkowch (pr oblicaniu pocątkowego pola lub objętości) 6 pkt asadnice trudności adania ostał pokonane bebłędnie i dając na tm poprestał lub błędnie kontnuował rowiąanie albo rowiąanie awiera błęd rachunkowe Prkład: uceń poprawnie rowiąał układ równań uceń astosował poprawną metodę rowiąwania układu równań drobnm błędem rachunkowm (np. pomłka w mnożeniu), uskał sensowne ficnie wniki i konsekwentnie ich użciem oblicł kost materiałów dla średniego seścianu 7 pkt ostał pokonane asadnice trudności adania, dając doprowadił rowiąanie do końca, jednak rowiąanie adania awiera usterki, błęd rachunkowe Prkład: uceń poprawnie podał wór na oblicenie kostów produkcji średniego seścianu i podstawił otrmane wniki uceń poprawnie rowiąał układ równań i oblica kost średniego seścianu, ale do obliceń prjął diesiętne prbliżenie ułamka 6 8 pkt adanie ostało rowiąane bebłędnie Uwaga: a każde inne niż predstawione poprawne rowiąanie uceń otrmuje maksmalną licbę punktów strona 3

8 Rowiąanie adania 4 Na okręgu o środku S opisano trape ABCD. Podstawa AB jest stcna do okręgu w punkcie P, a ramię BC w punkcie Q (rsunek). Wkaż, że odcinki PQ ora CS są równoległe. Onacm kąt trapeu pr wierchołku C jako a. Z własności trapeu kąt pr wierchołku B jako kąt pr tm samm ramieniu ma miarę 80. Środek okręgu wpisanego w wielokąt leż na precięciu dwusiecnch, więc półprosta CS dieli kąt o wierchołku C na dwa kąt o równch miarach ( i ). Stcne do okręgu wpisanego poprowadone punktu B wnacają na okręgu punkt P i Q. Z własności stcnch odcinki BQ i BP są równej długości, cli trójkąt PBQ jest równoramienn. Z sum jego kątów możem oblicć, że kąt pr wierchołkach P i Q mają miarę. Odcinki PQ i CS są nachlone pod kątem do prostej BC (kąt odpowiadające). Zatem również PQ CS. strona 4

9 Punktacja adania 4 0 pkt rowiąanie, w którm nie ma istotnego postępu pkt rowiąanie, w którm postęp jest wprawdie niewielki, ale koniecn na drode do całkowitego rowiąania adania Prkład uceń auważł, że suma kątów pr wierchołkach B i C to 80 uceń auważł, że CS jest dwusiecną kąta pr wierchołku C uceń auważł równość odcinków BP i BQ pkt ostał dokonan istotn postęp w rowiąaniu adania, ale nie ostał pokonane asadnice trudności adania Prkład: uceń auważł dwa faktów podanch w prkładach punktacji a pkt 4 pkt ostał pokonane asadnice trudności adania i dając na tm poprestał lub błędnie kontnuował rowiąanie Prkład: uceń auważł, że suma kątów pr wierchołkach B i C to 80, że CS jest dwusiecną kąta pr wierchołku C i że odcinki BP i BQ są równej długości uceń korsta własności np. promieni poprowadonch do punktu stcności i apisuje ależności, które prowadą do ustalenia ależności międ miarami kątów PQB i SCB 5 pkt asadnice trudności adania ostał pokonane bebłędnie i dając na tm poprestał lub błędnie kontnuował rowiąanie albo rowiąanie awiera błęd rachunkowe Prkład: uceń dodatkowo auważł, że trójkąt PBQ jest równoramienn i auważł ależności międ jego kątami uceń ustalił ależność międ miarami kątów PQB i SCB 7 pkt ostał pokonane asadnice trudności adania, dając doprowadił rowiąanie prawie do końca lub doprowadił je do końca popełniając drobn błąd rachunkow itp. Prkład: uceń auważł, że kąt PQB i SCB są równe i na tm poprestał 8 pkt adanie ostało rowiąane bebłędnie Uwaga: a każde inne niż predstawione poprawne rowiąanie uceń otrmuje maksmalną licbę punktów strona 5