Funkcje pola we współrzędnych krzywoliniowych cd.

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Funkcje pola we współrzędnych krzywoliniowych cd."

Włodzimierz Chrzanowski
6 lat temu
Przeglądów:

1 Funkcje pola we współrędnych krywoliniowych cd. Marius Adamski 1. spółrędne walcowe. Definicja. Jeżeli M jest rutem punktu P na płascynę xy, a r i ϕ są współrędnymi biegunowymi M, to mienne u = r, v = ϕ, w = naywamy współrędnymi walcowymi P. rdϕ dr P d ^ ϕ^ ϕ r^ r M dϕ y x Międy współrędnymi walcowymi a kartejańskimi istnieje następujący wiąek: x = r cos ϕ y = r sin ϕ. = Ortogonalność. Jeżeli ustalimy współrędną r, to otrymamy powierchnię bocną walca o osi głównej pokrywającej się osią. Jeżeli następnie ustalimy ϕ poostawiając poostałe współrędne mienne, otrymamy półpłascynę awierającą oś. Ocywiście obie te powierchnie są prostopadłe. Jeżeli natomiast ustalimy, to dostaniemy płascynę równoległą do xy, która jest prostopadła do w/w powierchni. Zatem wsystkie powierchnie utworone pre ustalenie jednej e współrędnych są prostopadłe. ynika powyżsego, że współrędne walcowe są ortogonalne. 1

2 spółcynniki Lamego. Pryrosty skalarne wektora wodącego w kierunkach wersorów ˆr, ˆϕ, ẑ są równe odpowiednio ds r = dr, ds ϕ = rdϕ, ds = d. Zatem d r = ˆrds r + ˆϕds ϕ + ẑds = ˆrUdr + ˆϕV dϕ + ẑ d, gdie U, V, to współcynniki Lamego. Z równości tej wynika postać współcynników Lamego układu walcowego: U = 1, V = r, = 1. Element objętości we współrędnych walcowych dτ = ds r ds ϕ ds = rdrdϕd. 2. spółrędne sferycne. Definicja. spółrędnymi sferycnymi punktu P naywamy mienne u = r, v = ϑ, w = ϕ takie, że r - odległość P od pocątku układu współrędnych, ϑ - kąt pomiędy promieniem OP a dodatnią cęścią osi, ϕ - kąt pomiędy płascyną awierającą punkt P i oś a dodatnią cęścią osi x. rsinϑdϕ rsinϑ dr ϑ r dϑ P rdϑ ϑ^ r^ ϕ^ y dϕ x ϕ Międy współrędnymi sferycnymi a kartejańskimi istnieje następujący wiąek: x = r sin ϑ cos ϕ y = r sin ϑ sin ϕ. = r cos ϑ Ortogonalność. Jeżeli ustalimy współrędną r to otrymamy sferę o środku w pocątku układu. Jeżeli natomiast ustalimy ϑ to otrymamy powierchnię bocną stożka o wierchołku w 0, 0, 0, która jest ocywiście prostopadła do powierchni sfery. Jeżeli następnie ustalimy ϕ to dostaniemy półpłascynę awierającą oś. Płascyżna ta jest prostopadła arówno do sfery, jak i do stożka. Z powyżsego wynika, że współrędne sferycne są ortogonalne. 2

3 spółcynniki Lamego. Pryrosty skalarne wektora wodącego w kierunku wersorów ˆr, ˆϑ, ˆϕ są równe odpowiednio ds r = dr, ds ϑ = rdϑ, ds ϕ = r sin ϑdϕ. Zatem współcynniki Lamego U = 1, V = r, = r sin ϑ. Elemnet objętości we współrędnych sferycnych dτ = r 2 sin ϑdrdϑdϕ. 3. Operatory różnickowe we współrędnych krywoliniowych. Gradient we współrędnych krywoliniowych. Jeżeli u, v, w są ortogonalnymi współrędnymi krywoliniowymi, to pryrost funkcji skalarnej Φu, v, w można apisać jako natomiast pryrost wektora wodącego dφ = Φ u Φ Φ du + dv + v w dw, d r = r r r du + dv + u v w dw = ˆt 1 Udu + ˆt 2 V dv + ˆt 3 dw, gdie ˆt 1, ˆt 2, ˆt 3 są wersorami osi odpowiednio u, v, w, a U = r r r u, V = v, = w to współcynniki Lamego. Mając powyżse na wlędie można apisać różnickę upełną Φ w postaci ˆt 1 Φ dφ = U u + ˆt 2 Φ V v + ˆt 3 Φ ˆt 1 Φ ˆt 1 Udu + ˆt 2 V dv + ˆt 3 dw = w U u + ˆt 2 Φ V v + ˆt 3 Φ d r. w Ponieważ dφ d r = Φ, mamy Φ = ˆt 1 Φ U u + ˆt 2 Φ V v + ˆt 3 Φ w. Zatem operator we współrędnych krywoliniowych jest postaci = ˆt 1 u + ˆt 2 V v + ˆt 3 Mnożąc różnickę upełną wektora wodącego d r kolejno pre u, v ora w można otrymać ależności typu d r u = r u udu. Z drugiej jednak strony d r u = du, ponieważ jest to rut pryrostu d r na kierunek wrostu u. Ostatecnie otrymujemy relacje r u u = 1 r v v = 1 r w w = 1 Pry takich onaceniach operator można apisać w. u = ˆt 1U v = ˆt 2 V. w = ˆt 3 = u u + v v + w w. 3

4 Dywergencja we współrędnych krywoliniowych. ektor Ā we współrędnych krywoliniowych u, v, w można apisać jako Ā = A uˆt 1 + A vˆt 2 + A wˆt 3, gdie A u, A v, A w to ruty wektora Ā na kierunki wersorów odpowiednio ˆt 1, ˆt 2, ˆt 3. Jeżeli wersory te apisemy w postaci ˆt 1 = ˆt 2 ˆt 3 = V v w ˆt 2 = ˆt 3 ˆt 1 = U w u ˆt 3 = ˆt 1 ˆt 2 = UV u v to wektor Ā = V A u v w + UA v w u + UV A w u v. Taki apis wektora Ā jest prydatny dlatego, że dywergencja cłonów postaci v w jest równa 0, co udowodnimy kożystając notacji sumacyjnej: div v w = ε ijk v j w k = ε ijk v j w k + ε ijk w k v j. x i x i x i Dokonując miany indeksów w pierwsej sumie cyklicnie, a w drugiej amieniając miejscami i i j otrymujemy ε jki v k w i + ε jik w k v i = ε ijk v k w i ε ijk w k v i, x j x j x j x j ale ε ijk x j v k = rot grad v i = 0, a ε ijk x j w k = rot grad w i = 0, atem obie sumy nikają. Kożystając powyżsego można dywergencję Ā apisać jako div V Ā = Ā = A u v w + UA v w u + UV A w u v. Pierwsy składnik po uwględnieniu we współrędnych krywoliniowych: V A u v w = u V A u u + v V A u v + w V A u w v w = = u V A u u v w. Postępując podobnie poostałymi składnikami sumy ora auważając, że u v w = 1 UV jako objętość prostopadłościanu ropiętego na wektorach u, v, w otrymujemy ostatecnie div Ā = 1 UV u V A u + v UA v + w UV A w. Rotacja we współrędnych krywoliniowych. Zapisując wektor Ā w postaci Ā = A uˆt 1 +A vˆt 2 + A wˆt 3 = UA u u + V A v v + A w w i uwględniając rot u = rot v = rot w = 0, mamy rot UA Ā = Ā = u u + V A v v + A w w. Ropismy pierwsy składnik tej sumy; otrymamy: UA u u = u UA u u + v UA u v + w UA u w u. Ocywiście u UA u u u = 0. Zatem v UA u v u + w UA w w u = v UA u 1 V U ˆt 2 ˆt 1 + w UA 1 u U ˆt 3 ˆt 1, 4

5 ale ˆt 2 ˆt 1 = ˆt 3 ora ˆt 3 ˆt 1 = ˆt 2 : UA u u = w UA 1 u U ˆt 2 v UA u 1 UV ˆt 3. Postępując podobnie można otrymać analogicne wiąki dla poostałych cynników: V A v v = A w u V A v 1 UV ˆt 3 w V A 1 v V ˆt 1 w = v A 1 w V ˆt 1 u A 1 w V ˆt 2. Ostatecnie po pogrupowaniu wyraów pry odpowiednich wersorach rotacja wektora Ā prybiera postać rot Ā = ˆt 1 V v A w w V A v + ˆt 2 U + ˆt 3 UV lub w bardiej więłej postaci symbolicnego wynacnika rot Ā = 1 Uˆt 1 V ˆt 2 ˆt 3 UV u v w. UA u V A v A w w UA u u V A v v UA u u A w Laplasjan we współrędnych krywoliniowych. Laplasjan to dywergencja gradientu; astosujemy więc wyprowadone wyżej wory na gradient i dywergencję we współrędnych krywoliniowych: ˆt Φ 2 1 Φ Φ = div grad Φ = div U u + ˆt 2 Φ U v + ˆt 1 Φ = w 1 V Φ = + U Φ + UV Φ. UV u U u v V v w w Literatura [1] Zarys teorii tensorów i wektorów - Edmund Karaśkiewic + 5

Podobne dokumenty

WYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład IV Twierdzenia całkowe

WYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład IV Twierdzenia całkowe 4. Twierdenie Greena. Wykład IV Twierdenia całkowe Płascyną orientowaną będiemy określać płascynę wyróżnionym na nie obrotem, wanym obrotem dodatnim. Orientację płascyny preciwną wględem danej orientacji