2. ELEMENTY TEORII PRĘTÓW SILNIE ZAKRZYWIONYCH (Opracowano na podstawie [9, 11, 13, 34, 51])

Transkrypt

1 P Litewka Efektywny eement skońcony o dżej krywiźnie ELEENTY TEOII PĘTÓW SILNIE ZKZYWIONYCH (Opracowano na podstawie [9,, 3, 34, 5]) Premiescenia i odkstałcenia osiowe Pre pręty sinie akrywione romie się takie, da których nie można pryjąć, że proporcja pomiędy poprecnym wymiarem prekroj pręta h a promieniem krywiny jest pomijanie mała W praktyce jako granicną wartość można pryjąć h/ 0, (por [, 3]) Badania doświadcane [9] ora roważania teorii sprężystości [5] wykaały, że także da prętów sinie akrywionych słsna jest hipotea płaskich prekrojów Bernoiego W wiąk tym rokład premiesceń obwodowych na wysokości prekroj można pryjąć jako iniowy oważmy wycinek pręta sinie akrywionego o promieni krywiny pocątkowej, dłgości osi środkowej d(0) i pocątkowym kącie rowarcia predstawiony na ys h d( ) d( 0 ) d ( ) d ( 0) ys dϕ dϕ Premiescenie osiowe włókna eżącego w odegłości od osi środkowej wynosi: ogónione odkstałcenie iniowe tego włókna: d( ) d( 0) ϕ d (0) d(0) dϕ ( ) dϕ dϕ d( ) d ( ) d( ) Jeżei wprowadimy następjące onacenia: η wgędny pryrost kąta obrot prekroj, d( 0) λ wgędne wydłżenie osi środkowej, d( 0 ) dϕ d( 0 ) dłgość włókna środkowego, to odkstałcenie ( ) można predstawić w postaci: ( ) λ ( ηλ) () 3

2 P Litewka Efektywny eement skońcony o dżej krywiźnie Zmianę krywiny wycinka można wyraić jako różnicę krywiny końcowej i krywiny pocątkowej: κ k Końcowy promień krywiny wynosi: ( λ) λ ( η) η d(0) d(0) d(0) k dϕ dϕ dϕ co prowadi do wyrażenia miany krywiny κ w postaci: η η λ κ λ λ, Da małych odkstałceń można pryjąć: λ i ostatecnie: κ ( η λ) () Podstawienie () do () daje końcową postać wyrażenia na odkstałcenie osiowe w pręcie dżą krywiną okreśone pre ogónione odkstałcenia λ ora κ: Naprężenia normane ( ) λ κ okład odkstałceń na wysokości prekroj pomimo achowania hipotey płaskich prekrojów jest nieiniowy Pominięcie wpływ dżej krywiny w (3), co jest równoważne pryjęci / 0, daje naną postać iniowej aeżności odkstałcenia od współrędnej Jeżei pryjmie się, że materiał pręta jest iniowo sprężysty, to naprężenia normane można wyraić pre ogónione odkstałcenia korystając prawa Hooke'a: ( ) E ( ) Eλ Eκ (4) gdie: E modł Yonga Korystając definicji sił wewnętrnych sił normanych N ora moment ginającego : N ( ) d, ( ) d, gdie poe powierchni prekroj pręta, można naeźć: κ ora N Eλ κ We worach okreśających moment ginający i siłę normaną N występje wiekość I Jest to modyfikowany moment bewładności prekroj definiowany jako: 4 (3)

3 P Litewka Efektywny eement skońcony o dżej krywiźnie I d Pry pominięci wpływ dżej krywiny ( / 0) (5) wartość modyfikowanego moment bewładności pokrywa się wartością moment bewładności prekroj I W prypadk dżej krywiny I > I Da prekroj prostokątnego o wysokości h otrymje się: I µ I, gdie: µ h 3 n h h h Zmianę krywiny ora wgędne wydłżenie można więc wyraić pre ogónione siły prekrojowe N ora : κ ora N λ E E Po podstawieni otrymanych w ten sposób wartości miany krywiny i wgędnego wydłżenia do (3) i (4) można wyraić odkstałcenia i naprężenia osiowe popre ogónione siły N ora : ( ) ( ) N (6) I N (7) E E Wór (6) wskaje, że w stanie cystego ginania pręta o dżej krywiźnie następje presnięcie osi obojętnej prekroj w kiernk środka krywiny pręta 3 Naprężenia stycne i odkstałcenia poprecne Da prętów o dżej krywiźnie można pryjąć taki sam rokład naprężeń stycnych i odkstałceń postaciowych jak da prętów prostoiniowych (por [9, 50]) Zwiąek międy średnioną wartością kąta odkstałcenia postaciowego γ a siłą poprecną T ma postać: κ γ T (8) G gdie: G modł ścinania, κ współcynnik korekcyjny ścinania 4 Energia sprężysta pręta o dżej krywiźnie Całkowita energia sprężysta pręta składa się cęści wiąanej pracą naprężeń osiowych ora naprężeń stycnych (b siły poprecnej): 5

4 P Litewka Efektywny eement skońcony o dżej krywiźnie ( ) ( ) dv Tγd V τ (9) Pierwsą całkę można doprowadić do postaci awierającej ogónione siły N i ora ogónione odkstałcenia λ i κ (b η) dv d d, V gdie: d ( ) d α d W tym wyrażeni d onaca pryrost dłgości wdłż osi środkowej pręta Stąd: Podstawia się tera wór (3) co daje: λdd dd dd κ dd dd W pierwsej całce : d N ; w giej: i stąd: Nλd κdd κ dd dd Do giej całki podstawia się tera wór (): Nλd ηdd λ dd κ dd dd W giej całce: d, a trecią i cwartą można połącyć: Nλd ηd λ κ ( ) dd dd Wyrażenie w nawiasie w treciej całce predstawia odkstałcenie, całki trecia i cwarta prascają się i ostatecnie otrymje się: Nλd ηd (0) Wór ten można interpretować następjąco: wyraża on pracę siły normanej N na wgędnym wydłżeni osi środkowej λ i moment ginającego na wgędnym pryroście kąta obrot prekroj η (por [9]) 6

5 P Litewka Efektywny eement skońcony o dżej krywiźnie Ostatecnie więc energia sprężysta pręta sinie akrywionego wyrażona pre ogónione odkstałcenia i naprężenia ma postać: Nλd ηd ożna ją wyraić pre odkstałcenia ogónione jako: Tγd () Eλ d λ η d G γ d κ () ora pre naprężenia ogónione: N d E d E d N E d κt G d (por [9, 3]) Ewentanie po podstawieni astępcego moment bewładności J: energia sprężysta wynosi: N d E J I I d EJ N E d κt G d (3) W ce wyrażenia energii sprężystej pręta pre premiescenia obwodowe, promieniowe ora całkowity kąt obrot prekroj ϕ, w którym wgędnia się także średni kąt odkstałcenia postaciowego, (ys ) naeży wynacyć aeżności pomiędy odkstałceniami ogónionymi λ, η ora γ a tymi premiesceniami ϕ ϕ ϕ ys Zostaną one obicone na podstawie roważań geometrycnych (ys 3) opatrje się fragment łk o kącie rowarcia i wymiare w kiernk promieniowym γ 4 γ r γ γ 3 α α ys 3 7

6 P Litewka Efektywny eement skońcony o dżej krywiźnie Tensor odkstałcenia (płaski stan odkstałcenia) ma postać: Poscegóne eementy tego tensora można wyraić: rr r α γ α rr αr rα αα, ( ) α αα, α ( γ γ ) ( γ γ γ ) 3 4 α Wyrażając fnkcje premiesceń pre premiescenia osi środkowej pręta akrywionego otrymje się: 0 α α α Stąd wiekości ogónionych odkstałceń można predstawić w postaci: ϕ λ αα, η, γ ϕ r α α Zapisjąc: () α ora (), otrymje się: λ η ϕ, γ ϕ, (4) Wykorystjąc aeżności (4) można ostatecnie wyraić energię sprężystą pręta pre premiescenia:, E, d ϕ,, d G ϕ κ, d (5) 8