ANALIZA STANU NAPRĘŻEŃ

Transkrypt

1 MACIJ PAWŁOWSKI ANALIZA STANU NAPRĘŻŃ Skrpt dla studentów Gdańsk 08

2 dr hab inż Maciej Pawłowski, prof GSW Wdiał Nauk Inżnierskich, Gdańska Skoła Wżsa Redakcja Tomas Mikołajcewski Wdanie pierwse, Gdańsk 08 Copright b Gdańska Skoła Wżsa, Gdańsk 08 Dostępne publicnie pod adresem Zabrania się: samowolnego udostępniania publicnego całości lub/i fragmentów ora spredaż kopii w wersjach: elektronicnej i wdruku Dopusca się: pobieranie i wdruk W d a w c a W YDAW NICTW O GDAŃSKIJ SZKOŁY W YŻSZJ Do 0 r pod nawą Wdawnictwo Gdańskiej Wżsej Skoł Administracji Gdańsk, ul Biskupia 4B tel , tel wdawnictwo(at)gswgdapl ISBN

3 Spis treści ANALIZA SIŁ WWNĘTRZNYCH 4 Tensor naprężeń 4 Kierunki główne tensora 6 Koła Mohra 7 NAPRĘŻNIA ZRDUKOWAN 0 Naprężenia dopuscalne 0 Hipotea Mohra 0 Hipotea Hubera 0 Porównanie obdwu hipote 3 Ćwicenia 5 DODATK 9 Własności wektora naprężeń 9 Strescenie W skrpcie omówiono pojęcie tensora naprężeń, kierunki główne naprężeń ora dwie najważniejse hipote wtężeniowe (Mohra i Hubera), akońcone ich porównaniem Naprężenie redukowane red wg hipote Hubera jest równe lub mniejse od naprężenia redukowanego wg Mohra W najgorsm prpadku, gd naprężenia główne tworą ciąg artmetcn, różnica wnosi 3,4%

4 4 Maciej Pawłowski ANALIZA SIŁ WWNĘTRZNYCH Tensor naprężeń Ciało recwiste pod wpłwem sił ewnętrnch deformuje się, co wwołuje w nim sił wewnętrne, wane naprężeniami Pre naprężenia roumie się siłę wewnętrną prpadającą na jednostkę powierchni; podaje się je wkle w MPa (megapaskalach) Stan naprężeń w danm punkcie materiału opisuje się pre sił wewnętrne diałające na nieskońcenie mał prostopadłościenn element objętości (rs ); długości krawędi nie grają roli Nawę ściance nadaje oś prostopadła do niej Mam atem dwie ścianki -owe, dwie -owe i dwie -owe Na preciwległch ściankach naprężenia są takie same, lec preciwnch wrotów, co wnika warunków równowagi Rs Sił wewnętrne, diałające na poscególne ścianki, są siłami rołożonmi (naprężeniami); nawam je wektorem naprężeń Mam atem tr wektor naprężeń: p (p, p, p ), p (p, p, p ), p (p, p, p ), diałające na poscególne ścianki Zapisuje się je w postaci macier P, wanej tensorem naprężeń (gdż jej element ależą od układu współrędnch): p p p P p p p p p p Widim, że w pierwsm wiersu jest wektor naprężeń p, w drugim p, a w trecim p Składowe normalne wektora naprężeń, jednakowmi indeksami, normalne do ścianki, wstępują na głównej prekątnej tensora; onaca się je pre Gd > 0, mówim o naprężeniach rorwającch, w preciwnm wpadku o ściskającch Składowe miesanmi indeksami onaca się pre ; są to naprężenia stcne (ścinające) w płascźnie ścianki Tensor naprężeń jest smetrcn, tn P P Τ, co onaca, że składowe miesanmi indeksami są takie same, tj ij ji Smetrcność tensora można prosto wkaać w oparciu o równowagę momentów diałającch na element o wmiarach d, d, d (rs ) Na ściankach rów-

5 Analia stanu naprężeń 5 noległch naprężenia są jednakowe, ale o preciwnch wrotach Naprężenia stcne tworą więc par sił, którch moment w poscególnch kierunkach musą się równoważć p p d d p p Rs Prkładowo, w kierunku osi mam: p dd d p dd d, p dv p dv, skąd wnika, że p p Analogicnie jest w kierunku poostałch osi Można pokaać (patr Dodatek), że wektor naprężeń p n na dowolnie orientowanej ściance, określonej wersorem normalnm n (n, n, n ), dan jest worem: p n n Τ P P Τ n Pn, gdie wkorstaliśm smetrcność tensora Zatem: n n + n + n p + + n n n n n n n + n + n Weźm tera element w kstałcie cworościanu (rs 3) Pochła ścianka opisana jest wersorem normalnm do niej n (n, n, n ) Tak więc, wór powżs określa wektor naprężeń p n na ściance dowolnie nachlonej a pomocą wektorów naprężeń na ściankach prostopadłościanu Wnika on równowagi sił powierchniowch na elemencie objętości Rs 3 Jeśli prjąć, że na ściankach elementu nie ma naprężeń stcnch, cli że są włącnie naprężenia normalne, to e woru powżsego otrmam:

6 6 Maciej Pawłowski np nn p n i + p n j + p n k Podstawiając a n n i + n j + n k, porównania składowch po obu stronach woru otrmam: p p p p nn Tak więc, gd brak jest naprężeń stcnch, naprężenia normalne w danm punkcie są we wsstkich kierunkach takie same, jak w prpadku ciśnienia Kierunki główne tensora Są to kierunki (ścianki), wdłuż którch (na którch) wstępują włącnie naprężenia normalne Wnaca je równanie: Pn n Uwględniając, że n In, gdie I jest macierą jednostkową (jednki na głównej prekątnej, era poa prekątną), otrmam równanie jednorodne: (P I)n 0 Jest to równanie wektorowe, równoważne trem jednorodnm równaniom skalarnm: n n n 0 Niewiadommi w tm układie równań są naprężenia i wersor n (n, n, n ) Jeśli ma istnieć nieerowe rowiąanie układu jednorodnego, to wnacnik macier współcnników musi erować się: 0, co daje równanie charakterstcne na wartości Po ropisaniu wnacnika, otrmam równanie treciego stopnia wględem : 3 + s s + s 3 0, gdie s, s, s 3 są tw niemiennikami tensora, nieależnmi od układu współrędnch Są nimi s + + suma wraów na głównej prekątnej (naprężeń normalnch), wana śladem tensora, s suma minorów głównej prekątnej, s 3 P wnacnik tensora naprężeń Rowiąaniem równania charakterstcnego są tr pierwiastki recwiste,, 3 wane wartościami głównmi Podstawiając kolejno,, 3 do układu jednorodnego otrmam rowiąania na kierunki n n, n n, n n 3, wane kierunkami głównmi; są one wajemnie prostopadłe, co wnika smetrcności tensora (dowód pomijam) Wersor n, n, n 3 tworą więc baę wersorów nowego układu współrędnch 3

7 Analia stanu naprężeń 7 W prpadku płaskiego stanu naprężeń, opisanego tensorem: niemienniki są następujące: 0 P 0, s +, s, s 3 0 Wielomian charakterstcn na wartości główne dan jest worem: 3 + s s 0 Daje on następujące wartości główne: 0,,3 s / ± [(s /) s ] /, + cli,3 ± + Koła Mohra Chcem wraić naprężenia normalne i stcne na dowolnej ściance n (n, n, n ) w kategoriach naprężeń głównch,, 3 (rs 4) 3 3 Rs 4 Wektor naprężeń p n dan jest worem: 0 0 n n p n 0 0 n n 0 0 n 3 3n Opuscając, dla skrócenia apisu, nacek n, naprężenie normalne na ściance n dane jest worem: p n n n + n + 3 n

8 8 Maciej Pawłowski Kwadrat wektora naprężeń dan jest worem: p n ( n ) + ( n ) + ( 3 n ) + Możem dołącć trecie równanie na długość wersora n: n + n + n Otrmaliśm układ trech równań liniowch wględem n, n, n Po rowiąaniu, otrmam: ( )( 3 ) + ( )( 3 ) ( 3 )( ) + ( 3 )( ) ( )( ) + ( )( ) n, n, n Uwględniając, że: ( )( ) , równanie na n prjmie postać: ( )( ) 3 3 n + W układie są to równania okręgów o promieniu ależnm od n, wane kołami Mohra Wrażenie po prawej stronie jest kwadratem promienia dla adanej składowej n Środek okręgu leż na osi w punkcie ½( + 3 ) Podobnie postępując, otrmam: ( )( ) 3 ( )( ) n +, n + Prjmując w równaniach okręgów n n n 0, otrmam tr okręgi, jak na rs 5: 3 Rs 5 Koła Mohra (trójosiowe rociąganie)

9 Analia stanu naprężeń 9 Można pokaać (dowód pomijam), że każd punkt w obsare acieniowanm na rs 5 predstawia naprężenia normalne i stcne dla określonej orientacji ścianki Gd jedna e składowch wersora n eruje się, wersor jest prostopadł (a ścianka równoległa) do tej osi Prkładowo, gd n 0, i n 0, wersor jest prostopadł, a ścianka równoległa do osi W takim prpadku naprężenia i odpowiadają punktom leżącm na danm okręgu Prkładowo, jeśli ścianka obraca się wokół osi (rs 4), cli wokół kierunku n 3, naprężenia i leżą na okręgu opartm na średnic 3 (rs 5) Gd jedna e składowch wersora n równa się, ścianka jest w położeniu pocątkowm, na której nie ma naprężeń stcnch, tj 0, a naprężenie normalne równa się naprężeniu głównemu Można pokaać, że ten sam wniosek wnika równań okręgów Tak więc, maksmalne naprężenia stcne na kołach Mohra odpowiadają naprężeniom na ściankach równoległch do kierunków głównch, obróconch o kąt 45 wględem położenia wjściowego Najwiękse nich dane jest worem: ma ½( 3 ) Wnika stąd wniosek: na dowolnej ściance naprężenie stcne ma, aś naprężenie normalne jest prediału, 3 Warto auważć, że w płaskim stanie naprężeń dalej wstępują tr koła Mohra Jedna różnica jest taka, że jedno głównch naprężeń jest erowe, tj pokrwa się pocątkiem układu na rs 5 Onaca to, że średnice dwóch kół stkają się pocątkiem układu, a obsar acieniowan nika

10 0 Maciej Pawłowski NAPRĘŻNIA ZRDUKOWAN Naprężenia dopuscalne Podstawową charakterstką stali jest granica plastcności R e [Pa], określana a pomocą prób rociągania (próbki materiału) W takim doświadceniu panuje jednoosiow stan naprężeń, jak w rociąganm pręcie c linie Dopuscalne naprężenia rociągające dop ustala się w proporcji do granic plastcności R e Tpowe wartości są następujące: dop 0,6R e, dop 0,4R e, dop 0,3R e, gd naprężenia są stałe, gd naprężenia są jednostronnie mienne (pulsujące), gd naprężenia są obustronnie mienne Gd mam łożon stan naprężeń, opisan tensorem naprężeń, powstaje problem, jak określić odpowiadając mu równoważn jednoosiow stan naprężeń, wan naprężeniem redukowanm red Zagadnienie to nie ma ścisłego rowiąania Uciekam się atem do hipote, którch jest wiele Najważniejse są dwie: hipotea Mohra, wana też hipoteą najwięksego naprężenia stcnego, i hipotea Hubera, wana też (własca na Zachodie) hipoteą Hubera-Misesa- Henck ego (HMH) Hipotea Mohra Według Mohra: red ma 3, tj naprężenie redukowane równa się podwojonej wartości najwięksego naprężenia stcnego ma, co kolei równa się różnic ekstremalnch naprężeń głównch (rs 6) red 3 Rs 6 Naprężenie redukowane wg Mohra Hipotea Hubera Hipotea Hubera oparta jest na energii odkstałcenia postaciowego Pierws, któr w 904 r opracował tę hipoteę bł Maksmilian Ttus Huber (87 950), profesor Politechniki Lwowskiej, a po II wojnie światowej Politechniki Warsawskiej i Politechniki Gdańskiej Nieależnie od Hubera, hipoteę tę opracował w 93 roku Richard von Mises ( ), a w 95 roku Heinrich Henck (885 95)

11 Analia stanu naprężeń Ciało recwiste pod diałaniem sił ewnętrnch donaje deformacji, na którch sił obciążające wkonują pewną pracę L Praca ta amienia się na energię sprężstą U, pre którą roumie się pracę sił wewnętrnch na odkstałceniach pre nie wwołanch W roważaniach teoretcnch posługujem się gęstością energii sprężstej Φ U/ V, tj energią sprężstą odniesioną do objętości elementu Jest to atem energia właściwa, c jednostkowa Jej wmiarem są paskale [Pa] Dla uproscenia roważań, termin gęstość energii c energia właściwa cęsto astępujem słowem energia, pamiętając domślnie, że chodi o gęstość energii, prpadającej na jednostkę objętości Pre odkstałcenia postaciowe roumie się odkstałcenia be mian objętości elementu Naprężenia stcne natur deformują element be mian objętości, jak na rs 7 prostopadłościan staje się równoległościanem Praca wkonana pre te naprężenia wnosi: L s dd ½dβ ½ dvβ, gdie β jest kątem odkstałcenia postaciowego, cli kątem obrotu ścianek prostopadłch We wore powżsm uwględniliśm, że siła mienia się liniowo premiesceniem, stąd cnnik ½; praca właściwa jest polem pod wkresem naprężeń w funkcji odkstałceń (rs 8), acienionm na tm rsunku d d Rs 7 Deformacja elementu wwołana ścinaniem Rs 8 nergia odkstałcenia postaciowego wwołana ścinaniem β Zatem gęstość energii wwołanej ścinaniem Φ s L s /dv ½ β Uwględniając, że β /G, gdie G /( + ν) jest modułem sprężstości postaciowej, jest modułem Younga, aś ν jest licbą Poissona, mam w końcu, że Φ s /G Stosując wrescie asadę superpocji (diałanie tch naprężeń jest nieależne od siebie), energia deformacji Φ s wwołanej ścinaniem wrai się worem: Φ s ( + + )/G Problemem jest energia deformacji Φ n wwołana naprężeniami normalnmi, rociągającmi c ściskającmi lement nie ulega deformacji, gd stosunek długości krawędi po obciążeniu nie ulega mianie Ma to miejsce, gd wdłużenia wględne ε, ε, ε są takie same, tj gd ε ε ε const Inacej mówiąc, miana elementu jest wówcas geometrcnie podobna Wdłużenia wględne dane są uogólnionm prawem Hooke a: ε [ ν( + )]/, ε [ ν( + )]/, ε [ ν( + )]/,

12 Maciej Pawłowski gdie, dla skrócenia apisu, podwójne indeks pr astąpiliśm pojedncm indeksem Wdłużenia ε są jednakowe, gd naprężenia są jednakowe, tj gd const W preciwnm wpadku element dona deformacji (mian proporcji) pod wpłwem naprężeń normalnch, cm będie wiąała się energia deformacji Φ U, wwołana różnicowanmi naprężeniami normalnmi Cste odkstałcenia postaciowe pod wpłwem różnch naprężeń normalnch to takie, pr którch nie ma mian objętości elementu Wględna miana objętości elementu dana jest worem: V/V ε + ε + ε, wprowadonm w adaniu 3 Sumując wdłużenia wględne, dane uogólnionm prawem Hooke a, otrmam: V/V ( ν)( + + )/ Z otrmanego woru wnika nana własność, że licba Poissona ν ½, lec nie może bć ujemna Po drugie, wględna miana objętości elementu V/V jest proporcjonalna do śladu tensora naprężeń Warunkiem więc wstępowania cstch odkstałceń postaciowch wwołanch naprężeniami normalnmi jest erowanie się śladu tensora Warunek ten spełniają naprężenia m, m, m, gdie m ⅓( + + ) jest średnim naprężeniem normalnm Tak więc, energia odkstałcenia sprężstego Φ U Φ V + Φ n ma dwa składniki: energię sprężstą Φ V, wiąaną e mianą objętości elementu, wwołaną pre średnie naprężenia normalne m, i energię odkstałcenia postaciowego Φ n, wwołaną naprężeniami m, m, m Najprościej energię odkstałcenia postaciowego otrmać e woru: Φ n Φ U Φ V (obsar acieniowan na rs 9) nergię sprężstą oblica się wg nanego woru: Φ U ½( ε + ε + ε ) Korstając uogólnionego prawa Hooke a, po wkonaniu diałań otrmam: Φ U [ + + ν( + + )]/ m Rs 9 nergia odkstałcenia postaciowego wwołana rorwaniem Gd naprężenia są stałe, równe m, stałe są także wdłużenia wględne ε ε ε ε m, równe ( ν) m / Oblicenie energii odkstałcenia objętościowego jest następujące: Φ V ½( ε + ε + ε ) 3 / m ε m 3( ν) m / ( ν)( + + ) /6 ε

13 Analia stanu naprężeń 3 Wór ten można prekstałcić dalej, korstając tożsamości algebraicnej: (a + b + c) a + b + c + (ab + ac + bc) Zatem energia odkstałcenia objętościowego prjmuje postać: Φ V ( ν)[ ( + + )]/6 Odejmując ją od energii odkstałcenia sprężstego Φ U otrmam energię odkstałcenia postaciowego Φ n, wiąaną rorwaniem Po wkonaniu diałań otrmam: Φ n ( + ν)[ + + ( + + )]/3 Wór ten można prekstałcić dalej, korstając tożsamości algebraicnej: a + b + c (ab + ac + bc) ½[(a b) + (b c) + (c a) ] Zatem energia odkstałcenia objętościowego, wiąana rorwaniem, prjmuje postać: Φ n ( + ν)[( ) + ( ) + ( ) ]/6 Uwględniając, że ( + ν)/ /G, otrmam ostatecnie: Φ n [( ) + ( ) + ( ) ]/G Całkowita energia odkstałcenia postaciowego Φ p Φ n + Φ s jest równa sumie energii Φ n, wiąanej rorwaniem i energii Φ s, wiąanej e ścinaniem Dodając je, otrmam ostatecnie: Φ p {½[( ) + ( ) + ( ) ] + 3( + + )}/6G Dla jednoosiowego rociągania, wór powżs daje energię odkstałcenia postaciowego Φ p /6G Prrównując te energie do siebie, otrmam naprężenie redukowane, dane worem: ( ) + ( ) + ( ) ( + + ) red + 3 W prpadku kierunków głównch naprężenia stcne nikają, a naprężenia normalne prechodą w wartości główne Materiał w danm punkcie jest bepiecn, gd red dop Porównanie obdwu hipote Gd mam jednoosiowe rociąganie połącone e ścinaniem, hipotea Hubera daje: red + 3 W prpadku samego ścinania, red 3 Skąd wnika, że pr cstm ścinaniu dopuscalne naprężenia na ścinanie dop dop / 3 0,58 dop wnosą 58% dop Inacej mówiąc, materiał nie lubią ścinania

14 4 Maciej Pawłowski W prpadku hipote Mohra musim najpierw wnacć naprężenia główne Prjmując, 0,, otrmam: 0,,3 / ± [(/) + ] / Naprężenia redukowane wg hipote Mohra red 3 [(/) + ] / Zatem: red + 4 Widim, że naprężenia redukowane red wg Mohra są nieco więkse od naprężeń redukowanch red wg Hubera W prpadku samego ścinania, red Skąd wnika, że pr cstm ścinaniu dopuscalne naprężenia na ścinanie wg Mohra dop dop / ½ dop wnosą 50% dop Pokażem, że w dowolnm prpadku naprężenia redukowane wg Hubera są równe lub mniejse niż naprężenie redukowane wg Mohra Porównanie obdwu hipote jest dużo prostse w kategoriach naprężeń głównch Możem wted wkorstać koła Mohra, pokaane na rs 5 Onacm ich średnice pre a, b 3, c 3, pr cm c a + b Z pomocą tch średnic naprężenia redukowane wrażają się worami: ( a + b ), wg Hubera, c red + red c, wg Mohra Wprowadając onacenia: red h, wg Hubera i red m, wg Mohra, ilora tch dwóch naprężeń wrai się worem: ( c a) h a + b + c a + + m c c c Wprowadając mienną a/c ( )/( 3 ), otrmam: h m +, gdie mienna 0, Ilora h/m jest smetrcn wględem ½, gdie prjmuje najmniejsą wartość, równą ¾ 0,866 (rs 0) Tak więc, najwięksa różnica międ obdwiema hipoteami, dochodąca do 3,4%, wstępuje, gd ½( + 3 ) Gd dąż do wartości skrajnch, ilora h/m, co ma miejsce, gd średnica najmniejsego koła Mohra dąż do era W granic, gd lub 3, najmniejse koło nika (redukuje się do punktu), a dwa poostałe pokrwają się e sobą, dając jedno wspólne koło o średnic 3 (rs ), be obsaru acieniowanego Gd 0, aś 3 > 0 jest to prpadek jednoosiowego rociągania Gd 0, aś 3 > 0 jest to prpadek dwuosiowego rociągania o tch samch naprężeniach W obdwu prpadkach obie hipote dają takie samo naprężenie redukowane red 3, dobre potwierdone doświadcalnie, choć wdaje się to bć sprecne intuicją

15 Analia stanu naprężeń 5 09 h/m a/c Rs 0 Stosunek naprężeń redukowanch wg Hubera i Mohra Gd naprężenia w trech kierunkach są takie same: 3 (prpadek hdrostatcn), koła Mohra nikają, ściśle mówiąc redukują się do punktu Podobnie, obie hipote dają ten sam wnik red Rs Koła Mohra dla jednakowch naprężeń w dwóch kierunkach Ćwicenia Pokaać, że uogólnionego prawa Hooke a wnika, iż różnica dwóch dowolnch wdłużeń wględnch nie ależ od treciego naprężenia normalnego O d p o w i e dź: ε Analogicnie: ε + ν ( ) ε ε ( )/G, ε ε ( )/G ( )/G Korstając uogólnionego prawa Hooke a wnacć sum wdłużeń wględnch w dwóch dowolnch kierunkach O d p o w i e dź: ε ε + ε + ε ν ν ν, ν, ( + ) ( + )

16 6 Maciej Pawłowski ε + ε ν ν ( + ) 3 Wnacć wględną mianę objętości prostopadłościanu o krawędiach a, b, c R o w iąanie Objętość prostopadłościanu V abc Logartmując wór, otrmam: lnv lna + lnb + lnc Oblicając różnicki wg woru: dln d/, mam natchmiast: V/V a/a + b/b + c/c ε + ε + ε, tj wględna miana objętości elementu równa się sumie wdłużeń wględnch krawędi 4 Pokaać, że uogólnione prawo Hooke a powala wraić naprężenia normalne w kategoriach wdłużeń wględnch ε W s k a ó w k a: potraktować uogólnione prawo Hooke a, jako układ trech równań liniowch wględem naprężeń, któr można rowiąać metodą skolną eliminacji niewiadomch, lub metodą wnacnikową (Sarrusa) R o w iąanie Zadanie rowiążem metoda eliminacji niewiadomch Ze woru na wględną mianę objętości V/V wnika równanie: + + ν ( ε + ε + ε ), natomiast sum wdłużeń wględnch w dwóch kierunkach, danch w adaniu, wnika równanie: + ν ν ν ( ε + ε ) Odejmując je od popredniego, weliminujem + Otrmam równanie na : ν + ν ν ( ε + ε + ε ) ( ε + ε ) ν ν + ( ε + ε ) + ε, ν ν ν ν + ν ν ε + ε + ε ν ν ν ν ( )( ) ( ) W ostatnim równaniu wciągam pred nawias wspóln cnnik /( ν):, + ν ν ν ( ) ( ) ( ) ε + ε + ε ν ν Tak więc, ostatecnie mam rowiąanie na : Analogicnie: ( )( ) [( ν ) ε ( )] + ν ε + ε + ν ν ( )( ) [( ν ) ε ( )] + ν ε + ε + ν ν,

17 Analia stanu naprężeń 7 [ ] ( )( ) ( ν ) ε ( ) + ν ε + ε + ν ν Jak widać, ależność naprężeń od wdłużeń nie jest tak prosta, jak wdłużeń od naprężeń, danch uogólnionm prawem Hooke a W płaskim prpadku rociągania 0, co daje wdłużenie wględne: ε ν ( ) ( ε + ) ε ν Podstawiając je do worów na ora, po uciążliwch prekstałceniach otrmam: ν ν ( ε + νε ) ( ε + νε ), Wor te są podstawą tensometrii, która ajmuje się określaniem naprężeń normalnch a pomocą pomiaru wdłużeń wględnch ε, pomocą tensometrów Wor te można bardo łatwo otrmać, jeśli w uogólnionm prawie Hooke a prjmiem 0 i dwóch pierwsch równań wnacm naprężenia 5 Dlacego energii odkstałcenia postaciowego Φ n, wiąanej rorwaniem, nie można oblicć a pomocą maksmalnch naprężeń stcnch, więtch koła Mohra (rs 5), tj dlacego Φ n ( ma + ma + 3ma )/G? Zasadę superpocji stosujem precież pr oblicaniu energii deformacji cstego ścinania Φ s O d p o w i e dź: wrażenie to jest,5 raa więkse od Φ n W tm prpadku nie możem astosować asad superpocji, gdż naprężenia te nie są od siebie nieależne Zmieniając, np, mieni się arówno ma i 3ma 6 Pokaać, że n + n + n, gdie kwadrat składowch wersora n dane są worami na s 8 O b j aśnienie Wsstkie wersor mają dwa stopnie swobod Opiswanie składowch skalarnch wersora a pomocą kątów nachlenia wersora wględem osi układu, wanch kątami analitcnmi, nie jest bt wgodne, wstępują bowiem tr kąt, amiast dwóch Składowe skalarne n, n, n wersora n są rutami wersora na osie układu, cli kosinusami kątów nachlenia wersora α, β, γ wględem osi układu, wanch kosinusami kierunkowmi Gd składowa wersora jest dodatnia, kąt nachlenia wględem osi jest ostr, a gd jest ujemna, kąt nachlenia jest rowart W astosowaniach rut te wgodnie jest wraić na pomocą jednego kątów analitcnch, awcaj kąta γ odchlenia wersora od osi, i kąta amutu θ, cli kąta odchlenia rutu wersora na płascnę () od osi Są to dwa stopnie swobod, definiujące wersor (rs ) Z rsunku widać, że rut prekątnej prostopadłościanu na oś możem otrmać a pomocą podwójnego rutowania: najpierw na płascnę, otrmam prekątną podstaw, a potem na oś Jeśli wersor n o długości leż na prekątnej prostopadłościanu, jego rut na oś wnosi n (sinγ)cosθ, a na oś wnosi n (sinγ)sinθ Rut na oś wnosi n cosγ Zatem:

18 8 Maciej Pawłowski γ θ n (sinγcosθ, sinγsinθ, cosγ) Rs 7 Dan jest wersor n (,, 3)/ 4 Znaleźć kąt nachlenia wględem osi układu i amut θ wględem osi R o w iąanie: α arccos / 4 74,5, β arccos / 4 65,3, γ arccos 3/ 4 49,9, θ arctg(n /n ) arctg( ) 63,4 8 Mam prostokąt o bokach a i b Wdłużenie wględne boku poiomego a wnosi ε, aś boku pionowego b wnosi ε Oblicć kąt obrotu prekątnej dβ R o w iąanie: kąt nachlenia prekątnej wględem pionu dan jest worem tgβ a/b Logartmujem stronami ten wór: lntgβ lna lnb Oblicam różnickę: tgβ dβ β cos da a db b ε ε Stąd mam: dβ (ε ε )sinβcosβ Widim, że nie ma obrotu prekątnej, gd ε ε, cli gd wdłużenia wględne są takie same

19 Analia stanu naprężeń 9 DODATK Własności wektora naprężeń W celu badania własności wektora naprężeń p n, wdielm w ośrodku nieskońcenie mał cworościenn element OABC o objętości V (rs 3) Powierchnię ścian ABC onacm pre S, ewnętrną normalną do tej ścian pre n, a wektor naprężeń na tej ścianie pre p n Na poostałch ściankach wektor normalne są: i, j, k, a wektor naprężeń na nich są onacone pre p, p, p Zgodnie asadą akcji i reakcji (III prawo Newtona) możem apisać: p p, p p, p p C p n p - O B p - A p - Rs 3 Na cworościan ten diałają cter sił powierchniowe: na ściankę ABC, siła: p n S, na ściankę OBC, siła: p S p S n i p n S, na ściankę AOC, siła: p S p S n j p n S, na ściankę ABO, siła: p S p S n k p n S, ora siła masowa F (wkorstaliśm tu fakt, że ścianki prostopadłe do osi układu są rutami ścianki ukośnej) Możem tera do tego elementu astosować II prawo Newtona: m dv/dt Σsił Sumując sił, równanie ruchu prjmie postać: dv ρ V ρ VF + p dt n S p S p S p S Grupując wra i dieląc stronami pre S, otrmam: V dv ρ F pn n p n p n p, S dt gdie n, n, n są składowmi skalarnmi (kosinusami kierunkowmi) wersora n Jeśli wmiar liniowe cworościanu będiem mniejsać do era, wówcas w granic ilora V/ S 0 Wobec tego: p n n p + n p + n p

20 0 Maciej Pawłowski Wór ten onaca, że w danej chwili i w danm punkcie wektor p n ależ od orientacji elementu ds, na któr diała Stąd wektor naprężeń p n p n (r, t, n) ma wskaźnik n, ab podkreślić, że jest to wektor ależn nie tlko od miejsca i casu, jak wiele innch wektorów, ale także od orientacji elementu powierchni ds, opisanej wersorem normalnm n Równanie wektorowe jest równoważne trem równaniom skalarnm, wrażającm rut na osie układu: p n n p + n p + n p, p n n p + n p + n p, p n n p + n p + n p Widim, że wektor naprężeń p n możem wraić jako ilocn wersora n Τ (wiersowego) i tensora naprężeń P: p n n Τ P, co jest równoważne P Τ n, gdie tensor naprężeń P jest równ: p p p P p p p p p p W pierwsm wiersu tensora są składowe wektora naprężeń p (p, p, p ), wstępującego na ściance -owej, w drugim wektora p (p, p, p ), wstępującego na ściance - owej, w trecim wektora p (p, p, p ), wstępującego na ściance -owej Składowe p, p, p, wstępujące na głównej prekątnej tensora naprężeń P są naprężeniami normalnmi, poostałe składowe naprężeniami stcnmi Składowe te ależą od orientacji układu, lec tensor jako taki jest nieależn od wboru układu Jest on wielkością ficną charakterującą naprężenia wewnętrne w ośrodku ciągłm, stąd może bć tlko funkcją miejsca i (ewentualnie) casu Zatem tensor naprężeń P P(r, t) jest polem tensorowm Wraem nieależności tensora od układu są jego niemienniki Jest ich wiele Jednm nich jest suma wraów na głównej prekątnej, cli suma naprężeń normalnch p + p + p Jest ona stała w danm punkcie, nieależnie od orientacji układu