Modelowanie przepływu cieczy przez ośrodki porowate

Transkrypt

1 Mdelwanie prepłwu ciec pre śrdi prwate Wład II 2. Równania ruchu ciec. Za punt wjścia d reślenia równań ruchu lepiej ciec Newtnwsiej pre pr ciała stałeg prjmujem drugie praw Newtna. Onacając pre r sił diałające w ciec dniesine d jednsti bjętści (gęstść diałającch sił) drugie praw Newtna mżem w artejańsim uładie współrędnch,, predstawić wrem: n = ρ t, n = ρ t, (2.1). n = ρ t, gdie: sładwe r n reśla wetr recwistej (w sensie średniej) prędści prepłwającej ciec i psiada,,. n n n Prędść n mżna pr ałżeniu, że prwatść pwierchniwa A jest w prbliżeniu równa prwatści bjętściwej, pwiąać prędścią iltracji r następującm wiąiem: r 1 n= r. (2.2) Krstając pwżseg wiąu równania (2.1) mżna apisać inacej: = ρ t, ρ t = = ρ t., (2.3) Gęstść sił r jest sumą sił, tórch źródł wnia diałania ciśnienia p, wanm cęst ciśnieniem prwm, energii ptencjalnej płnącej ciec ra sił lepści (lepieg pru prepłwu). Onacając: sładwe sił lepści (pru prepłwu) lep ρ r pre lep lep lep ρ, ρ, ρ, sładwe gęstści sił ciężści (blicne energii ptencjalnej prepłwu) u u u ρ, ρ, ρ, 1

2 gdie u = g ra sładwe gęstści sił pchdącch d ciśnienia p p p,,. Stąd r mżna apisać wrem: p u r = ρ ρ p u r = ρ ρ p u r = ρ ρ lep, lep lep., (2.4) Zna minus wnia atu, że gęstść sił r jest siłą bewładnści, a więc siłą preciwnie sierwaną d acji, jaimi są sił najdujące się p prawej strnie równań (2.4). W reultacie drugie praw Newtna w dniesieniu d sładwch sił w ierunach,, mżna apisać w pstaci: p u 1 t lep = +, ρ p u 1 t lep = +, (2.5) ρ p u 1 t lep = +. ρ Pwżse równania pr użciu apisu wsaźniweg Einsteina mają pstać: p i 1 1 g t i i i lep = ( δ 3 ), +, (2.6) i ρ gdie prównując wrażenia (2.5) i (2.6) trmujem: lep - naca sładwe sił tarcia lepieg u g δ = - naca sładwe sił maswej ciężści ciec. i i i 3 Dla ciec Newtna pór lepi jest prprcjnaln d prędści iltracji, lec dwrtnie d niej sierwan i wraża się wrem: gdie c jest współcnniiem pru lepieg prepłwajacej ciec. r s r Wprwadźm prędść wiąaną prędścią wiąiem: pr cm wetr c lep i=, (2.7) r s r K = λ r rk w wiąu (2.8) wraża się wrem:, (2.8) a λ = 1/. r K grad 1 p g δ i i = + 3 ρ, (2.9) 2

3 Pchdna cąstwa p casie wetra s r równa się: r s r rk t t = λ t. (2.10) Pdstawiając (2.8) d (2.6), p uwględnieniu wiąu (2.7) mżem apisać: r s rk 1 K 1 s K t λ r t r r + = + λ. (2.11) λ Jeżeli prędści mian gradientu ciśnienia jest mała w prównaniu pstałmi wielściami w równaniu (2.11) (agadnienia quasi statcne) t mżem prjąć, że: i równanie (2.11) wada się d pstaci: Rwiąaniem teg równania jest uncja: rk λ = t 0 r s 1 t 1 = λ r s r s e λ = 0 r. (2.12). (2.13) Ja widać t na rs. 4 im więse pr tarcia lepieg w prpadu prepłwu laminarneg ciec r pre śrde prwat, tm sbciej wartść bewględna wetra siąga wartść blisą eru. s 3

4 r s t Rs. 4 Prebieg uncji ( ) w casie dla wartści / λ =10;50;100. Mżna więc stwierdić, że dla dpwiedni dużch wielści pru lepieg p bard rótim casie (mniejsm niż 1 seunda) dstajem wiąe liniw: c mżna apisać inacej w pstaci: r rk = λ g p r grad c g i i = + δ 3 ρ, (2.14). (2.15) Z pprednich rważań (Rdiał III.1) wiem, że wsść hdraulicna pminięciem, e wględu na jej mała wielść, energii inetcnej prepłwającej ciec wraża się wrem: p i i = + g δ 3. (2.16) ρ Wprwadając pnadt w miejsce g/c wielść nacającą współcnni iltracji, dstajem praw Darc eg dla prpadu śrda jednrdneg i itrpweg: r = grad. (2.17) Preprwadając analgicne rumwanie dla prpadu śrda anitrpweg równanie (2.17) prjmie pstać: 4

5 gdie i ij =,, (2.18) i jest tensrem prepuscalnści 9 współcnniach prepuscalnści wrażn wrem: ij =, (2.19) pr cm e wględu na smetrię tensra wstepuje tl 6 mżliwch różnch wielści współcnniów prepuscalnści. Najcęściej w prpadu śrdów anitrpwch mam d cnienia tensrem prepuscalnści, tór psiada jednie wartści różne d era na głównej preątnej: ij =. (2.20) Usaliśm tą drgą równania ruchu gdne prawem Darc eg. W dalsch rważaniach będiem stswać bardiej góln spsób dchdenia d pdstawwch wiąów icnch mdelu. Prwadą ne d identcnch reultatów, jedna są niec bardiej łżne pd wględem aparatu matematcneg. Z teg wględu decdwaliśm się na predstawienie bdwu dróg dchdenia d równań mdelu. Pwżse rważania prwadą również d wnisu, że pdcas prepłwu iltracjneg ciec pre śrde prwat wstępuje siła prów lepich, tóra determinuje prędść prepłwu iltracjneg, ale również ddiałwuje na sielet śrda prwateg, pr cm ma w tm prpadu wrt preciwn i wnsi: 33 r g R = r. (2.21) rr wrażną wiąiem (2.21) będiem nawali siłą unsenia iltracji. Siła ta ma Siłę duż wpłw na dstałcenia pstaciwe sieletu gruntweg, a taże na stan granicne śrda prwateg. 3 Równania hdrdnamii wód pdiemnch dla prpadu prepłwu ciec nieściśliwej pre niedstałcaln śrde prwat. Załadając, że śrde gruntw jest ciałem idealnie stwnm, a ciec prepłwająca pre siatę analiów iltracjnch jest nieściśliwa, uład równań pisując prces prepłwu laminarneg wada się d: równania stanu: cns ρ =, (2.22) równania ciągłści prepłwu ( ) ( ) ( ) + + = 0, (2.23) tóre mżna apisać inacej w pstaci: 5

6 di r = 0. (2.24) równań ruchu = = =,., (2.25) W lbrmiej więsści prpadów rważam agadnienia śrda itrpweg. Dla teg prpadu mam: = = =. (2.26) Równanie ruchu ciec mżna apisać inacej: r = grad. (2.27) Pdstawiając równania ruchu (2.27) d równania ciągłści prepłwu (2.23) dstajem równanie różnicwe pisujące prces prepłwu ciec nieściśliwej pre jednrdn, itrpw, niedstałcaln śrde prwat w pstaci: + + = 0, (2.28) c mżna apisać inacej: 2 = 0. (2.29) W dalsch rważaniach isttne wdaje się wprwadenie nwej wielści reślanej mianem ptencjału prędści prepłwu i wrażanej wiąiem: Φ =. (2.30) Równanie (2.28) prjmuje w tm prpadu pstać: Φ Φ Φ + + = 0 (2.31) lub 2 Φ = 0. (2.32) natmiast równania ruchu wadają się d: Φ =, 6

7 Φ =, (2.33) Φ =, lub r r grad = Φ. (2.34) Wprwadne równania (2.32) i (2.34) pwalają na rwiąanie agadnień prepłwu ustalneg ciec nieściśliwej pre niedstałcaln śrde prwat pr ałżeniu jednrdnści i itrpwści śrda. 4 Równanie hdrdnamii wód pdiemnch dla prpadu prepłwu ciec ściśliwej uwględnieniem ściśliwści sieletu gruntweg. Pwróćm d równania ciągłści prepłwu uwględniająceg eet ściśliwści ciec i a stałej śrda prwateg: ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) + + = t Pchdną cąstwą p casie mżem apisać inacej: ( ) ρ. (2.35) t t ρ = ρ +. (2.36) Zgdnie równaniami stanu ra uwględniając, że p = t ρ g t, (2.37) trmam: p ρ g t w t 2 s = ρβ = ρ β t (2.38) ra p g t s t s = β = ρ β t. (2.39) Zwiąe (2.37) mżna predstawić, atem: ( ρ ) g g t 2 s t 2 w = ρ β + ρ β t, (2.40) cli ( ρ ) t = ρη t, (2.41) 7

8 gdie g η = ρ s β + w β. (2.42) ( ) Współcnni η reślan jest nawan współcnniiem pjemnści ężstej warstw wdnśnej. Wielść η jest wielścią małą i jeg wartść waha się w prediale Równanie ciągłści prepłwu mżna apisać w rmie: m ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) + + = ρη t. (2.43) Uwględniając, że mian gęstści ciec w ależnści d miennch prestrennch,, są małe, mżna prjąć, że nie ależą d tch miennch nieależnch. Równanie (4.151) uprści się wówcas d pstaci: + + = η. t Uwględniając równania ruchu dla prpadu śrda itrpweg w pstaci: (2.44) =, =, (2.45) =. Równanie (2.44) mżna predstawić w następującej rmie: η t + + =. (2.46) Ostatecnie równanie pisujące prces prepłwu ciec ściśliwej pre ściśliw śrde prwat mżna apisać: = a t, (2.47) gdie a = = g η ρ β β ( + ) s w. (2.48) Współcnni a nsi nawę współcnnia pieprewdnści. Równanie (2.47) jest różnicwm równaniem iltracji nieustalnej w śrdu jednrdnm i itrpwm pr ężstm reżimie prepłwu iltracji i nsi nawę równania prewdnictwa Furiera. Pstać teg równania jest analgicna d równania prewdnści cieplnej. 8

9 W prpadu prepłwu pd ciśnieniem dla warstw miążsści M równanie (2.47) predstawiane jest w innej pstaci. Pmnóżm licni i mianwni cłnu równania najdująceg się p prawej strnie równania (2.47) pre M (średnią miążsść warstw wdnśnej). Mżem apisać: T M M M am η t M = t (2.49) Onacając pre: = S M- prewdnść warstw = η - bewmiarw współcnni pjemnści wdnej warstw wdnśnej równanie (2.47) mżna predstawić w pstaci: S T t + + =. (2.50) W rdiale VIII będie paan prład rwiąania agadnień prepłwu nieustalneg metdami analitcnmi. Zagadnienia prepłwu nieustalneg są rwiąwane również metdami numercnmi pr pmc presjnalnch prgramów mputerwch np. [Flac, MdFlw, Mathematica 5, Maple 8]. 9