Rozdział 9. Baza Jordana
|
|
- Kazimiera Szczepaniak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rodiał 9 Baa Jordana Niech X będie n wmiarową prestrenią wektorową nad ciałem F = R lub F = C Roważm dowoln endomorfim f : X X Wiem, że postać macier endomorfimu ależ od wboru ba w prestreni X Wiem również, że jeżeli endomorfim f jest diagonaliowaln, to jego macier w baie prestreni X łożonej jego n liniowo nieależnch wektorów własnch jest macierą diagonalną Ponieważ nie każd endomorfim jest diagonaliowaln, atem nasuwa się ptanie o to, jak prosta może bć postać macier endomorfimu niediagonaliowalnego W scególności, c istnieje baa prestreni wektorowej X, w której macier endomorfimu f : X X jest macierą Jordana? Prkład 91 Roważm macier J R 4 4 postaci J = gdie R Macier J jest macierą Jordana Niech e 1,e 2,e 3,e 4 będie baą 4 wmiarowej recwistej prestreni X ora niech f : X X będie endomorfimem wnaconm pre macier J Z postaci macier J otrmujem a, f e 1 = e 1 f e 2 = e 1 +e 2 f e 3 = e 2 +e 3, lub równoważnie b f e 4 = e 3 +e 4 f e 1 = e 1 f e 2 e 2 = e 1 f e 3 e 3 = e 2 f e 4 e 4 = e 3 Z równań tch wnika, że e 1 jest wektorem własnm endomorfimu f odpowiadającm wartości własnej ; poostałe wektor e 2,e 3,e 4 spełniają równania f ide k+1 = e k, k = 1,2,3 Powżs prkład sugeruje sposób konstrukcji ba prestreni wektorowej, w której macier endomorfimu jest macierą Jordana 61
2 91 Wektor główne 91 Wektor główne Pr ałożeniach i onaceniach sformułowanch na pocątku rodiału, prpuśćm że F jest wartością własną endomorfimu f Onaca to, że dla endomorfimu f istnieje co najmniej jeden wektor własn, któr na potreb tego rodiału onacm i będiem nawać wektorem głównm rędu 1 odpowiadającm wartości własnej Wektor główne rędu k 2 definiujem indukcjnie: prpuśćm, że v k 1 X jest wektorem głównm rędu k 1 odpowiadającm wartości własnej Definicja 91 Jeżeli istnieje nieerow wektor v k X spełniając warunek f id X v k = v k 1, 91 to wektor ten nawam wektorem głównm rędu k odpowiadającm wartości własnej Powżsą definicję można również sformułować dla macier Wektor własn F n macier A odpowiadając wartości własnej nawać będiem wektorem głównm rędu 1 Prpuśćm, że v k 1 F n jest wektorem głównm rędu k 1 odpowiadającm wartości własnej Definicja 92 Jeżeli istnieje nieerow wektor v k F n będąc rowiąaniem równania A Iv k = v k 1, 92 to wektor ten nawam wektorem głównm rędu k odpowiadającm wartości własnej Prkład 92 Roważm macier A R 3 3 postaci 2 1 A = Ponieważ ϕ A = atem macier A ma dwie różne wartości własne: 1 = 1 ora 2 = 2 Wnacm dla tch wartości własnch wektor główne Dla 1 = 1, rowiąując równanie = otrmujem: = =, R; wektor główn ręd 1 ma więc postać 1 =,,t, t R\{} Ab wnacć wektor główne rędu 2 roważm, dla ustalonego t, równanie = 1 1 t Łatwo stwierdić, że równanie to nie posiada rowiąań Onaca to, że dla wartości własnej 1 = 1 nie istnieją wektor główne rędu k 2 62
3 91 Wektor główne Dla 2 = 2, rowiąując równanie = otrmujem: =, = ; wektor główn ręd 1 ma więc postać 2 = t,,t, t R\{} Ab wnacć wektor główne rędu 2, roważm, dla ustalonego t, równanie = Jego rowiąaniem jest =, = t; wektor główn rędu 2 ma więc postać v 2 2 = r,t,r, r R Zauważm, że postać wektora v 2 2 ależ od sposobu wboru wektora 2 Ab wnacć wektor główne rędu 3, roważm, dla ustalonch t R\{}, r R, równanie 1 r = t r Łatwo stwierdić, że równanie to nie posiada rowiąań, a tm samm nie istnieją dla wartości własnej 2 = 2 wektor główne rędu k 3 Podsumowując, dla macier A postaci 93 udało się wnacć tr liniowo nieależne wektor główne: jeden odpowiadając wartości własnej 1 ora dwa odpowiadające wartości własnej 2 Prjmując na prkład t = r = 1, otrmujem 1 =,,1, 2 = 1,,1, v 2 3 = 1,1,1 Ustalając w prestreni R 3 baę kanonicną, macier A określa endomorfim f : R 3 R 3 : 2 1 f,, = 2 = 2+,2,+ +, Wnacone powżej wektor 1,v1 2,v2 2 są również baą prestreni R 3, a atem możem aptać o postać macier endomorfimu f w tej właśnie baie Ponieważ f 1 = f,,1 =,,1 = v 2 2, f 2 = f 1,,1 = 2,,2 = v 2 2, f v 2 2 = f 1,1,1 = 3,2,3 = v 2 2, więc macier A f endomorfimu f w baie łożnej wektorów głównch macier A ma postać 1 A f = t t 63
4 91 Wektor główne Jest to macier Jordana macier A, którą w upełnie inn sposób uskaliśm w prkładie 82 ob rodiał 8, str 55 Zauważm również, że dla macier P R 3 3, której kolumnami są wektor 1,v1 2,v2 2, tj mam P 1 AP = P = [ ] 1,v1 2,v2 2 = , = = J Macier P jest więc macierą ustalającą podobieństwo międ macierą A ora jej macierą Jordana Własności wektorów głównch Własność 91 Dla każdej wartości własnej istnieją wektor główne rędu co najmniej 1 Własność 92 Wektor główne odpowiadające różnm wartościom własnm są liniowo nieależne Własność 93 Wektor główne różnch rędów odpowiadające tej samej wartości własnej są liniowo nieależne Własność 94 Dla wartości własnej o krotności r krotności jako pierwiastka wielomianu charakterstcnego istnieje dokładnie r liniowo nieależnch wektorów głównch; wśród nich są wsstkie liniowo nieależne wektor własne odpowiadające wartości własnej Z powżsch własności wektorów głównch wnika, że dla dowolnego endomorfimu f : X X, któr posiada n wartości własnch liconch krotnościami, n = dimx istnieje baa prestreni X łożona jego wektorów głównch Ponadto, ależności 91 wnika, że jeżeli v i jest wektorem głównm rędu i i = 1,,k odpowiadającm wartości własnej endomorfimu f, to f =, f v 2 = v 2 +v1, f v k = v k +vk 1 Tm samm endomorfim f awężon do prestreni liniowej ropiętej pre wektor,,vk jest również endomorfimem, tj { } { } f : span,,vk f span,,vk ; jego macierą w baie,,vk jest klatka Jordana stopnia k mająca wartość własną na prekątnej Onaca to, że macier endomorfimu f w baie łożonej jego wektorów 64
5 92 Macier prejścia głównch jest macierą Jordana Baę tę nawam baą Jordana prestreni X wględem endomorfimu f Uwaga 91 Casami macier Jordana defniuje się jako macier blokową, której bloki klatki Jordana to maciere kwadratowe, na prekątnej wartościami własnmi i jednkami pod prekątną a nie nad prekątną, jak w prjętej pre nas definicji 81 Ab uskać taką właśnie klatkę Jordana wstarc wektor główne ponumerować tak, ab ostatni bł pierwsm, a pierws ostatnim, tj Ponieważ f f w 1 w 2 w i = vk i+1 = f = f v k v k 1 = v k, dla i = 1,,k +vk 1 = v k 1 = w 1 +w2, +v k 2 = w 2 +w3, f w k = f = = wk atem klatka Jordana ma w tm prpadku postać: 1 J k = 1 92 Macier prejścia Niech X będie n wmiarową prestrenią wektorową nad ciałem F Niech e = e 1,,e n ora ẽ = ẽ 1,,ẽ n będą dwiema baami prestreni X Każd wektor ba ẽ możem wraić jako kombinację liniową wektorów ba e: ẽ 1 = p 11 e 1 +p 21 e 2 ++p n1 e n, ẽ 2 = p 12 e 1 +p 22 e 2 ++p n2 e n, ẽ n = p 1n e 1 +p 2n e 2 ++p nn e n Otrmaną w ten sposób macier współcnników P = [p ij ] F n n nawam macierą prejścia e starej ba e do nowej ba ẽ Zanotujm, że i tą kolumnę macier prejścia tworą współrędne i tego wektora nowej ba jako kombinacji liniowej wektorów starej ba Macier prejścia jest więc macierą endomorfimu id X : span{ẽ 1,,ẽ n } span{e 1,,e n } Dowoln element X możem wraić jako kombinację liniową elementów ba e, jak również ba ẽ Posukam tera ależności międ tmi repreentacjami Mam = n α j e j ora = n α j ẽ j 94 65
6 92 Macier prejścia Wkorstując macier prejścia mam: n n n = α j ẽ j = α j p ij e i = i=1 n n p ij α j e i i=1 Stąd ora postaci rowinięcia wektora wględem ba e wnika ależność międ współrędnmi wektora wględem starej ora nowej ba: α 1 p 11 p 12 p 1n α 1 α 2 = p 21 p2n α 2 95 α n p n1 α n Zależność tę możem ująć krótko: p nn α = P α, 96 gdie α odpowiednio α to wektor współrędnch wględem starej nowej ba, a P to macier prejścia pierwsej ba do drugiej Zauważm również, że równania 96 wnika: α = P 1 α, co onaca, że macierą prejścia ba nowej to starej jest macier P 1 Prkład 93 Roważm w R 2 dwie ba: starą e 1 = 1,2,e 2 =,1 ora nową ẽ 1 = 1,1, ẽ 2 = 1,1 Wnacm macier prejścia ba starej do nowej Mam ẽ 1 = 1,1 = p 11 1,2+p 21,1 = p 11,2p 11 +p 21 ẽ 2 = 1,1 = p 12 1,2+p 22,1 = p 12,2p 12 +p 22 skąd wnika, że: p 11 = 1,p 21 = 1,p 12 = 1,p 22 = 3 Macier prejścia ma więc postać: [ ] 1 1 P = 1 3 Niech tera 2, 1 będie wektorem wrażonm w starej baie Wnacm jego współrędne w nowej baie Mam [ ] = [ ] 1 [ 2 1 ] = 1 2 [ ][ 2 1 ] = [ 7/2 3/2 Ab sprawdić poprawność wniku predstawim obdwa wektor w tej samej baie kanonicnej k: k 1 = 1,,k 2 =,1: ] 2,1 e = 2e 1 +e 2 = 21,2+,1 = 2,5 k 7/2,3/2ẽ = 7 2ẽ ẽ2 = 7 2 1, ,1 = 2,5 k 66
7 93 Zmiana ba, a postać macier odworowania liniowego 93 Zmiana ba, a postać macier odworowania liniowego Na akońcenie tego rodiału badam jak mienia się macier odworowania liniowego wra e mianą ba prestreni międ którmi to odworowanie jest określone Niechf : X Y będie odworowaniem liniowm ora niechdimx = n,dimy = m Prjmując w prestreni X baę e = e 1,,e n, a w prestreni Y baę g = g 1,,g m, odworowanie f repreentowane jest pre macier A F m n, tj = A 97 Ustalając w prestreni X nową baę ẽ = ẽ 1,,ẽ n możem wnacć macier prejścia ba e do ba ẽ; onacm ją pre P Ocwiście P F n n Podobnie, dokonując miana ba w prestreni Y g na g = g 1,, g m możem wnacć macier prejścia Q F m m ba g do g Niech odpowiednio ỹ będą współrędnmi wektorów odp w nowch baach prestreni X i Y Otrmujem = P ora = Qỹ Łącąc powżse ależności równaniem 97 mam lub równoważnie Qỹ = AP, ỹ = Q 1 AP Onaca to, że w nowch baach prestreni X ora Y odworowanie f repreentowane jest pre macier Q 1 AP W scególności, jeżeli f : X X jest endomorfimem repreentowanm pre macier A wnaconą w baie e prestreni X, to macierą tego endomorfimu w baie ẽ jest macier P 1 AP, gdie P jest macierą prejścia bae e do ba ẽ 931 Baa łożona wektorów własnch Roważm endomorfim f : F n F n, gdie F = R lub F = C; prestreń wektorową F n roważam nad ciałem F Prpuśćm, że endomorfim f jest diagonaliowaln Onaca to, że istnieje baa v prestreni F n łożona wektorów własnch endomorfimu f Niech A będie macierą tego endomorfimu w wbranej baie prestreni F n Z powżsch roważań wnika, że jeżeli P jest macierą prejścia wbranej ba prestreni F n do ba v, to w tej nowej baie endomorfim f jest repreentowan pre macier diagonalną diag 1,, n, gdie i jest wartością własną endomorfimu f odpowiadającą wektorowi własnemu v i i = 1,,n Macierą ustalającą podobieństwo międ macierami A ora diag 1,, n jest macier P, tn P 1 AP = diag 1,, n Ponieważ i tą kolumną macier P są współrędne i tego wektora ba v wględem starej ba prestreni F n, atem wbierając jako tę starą baę baę kanonicną, i tą kolumną macier P są współrędne i tego wektora własnego endomorfimu f, tn P = [v 1,,v n ] ob prkład 75, str 52 67
8 93 Zmiana ba, a postać macier odworowania liniowego 932 Baa Jordana Jeżeli endomorfim f : F n F n nie jest diagonaliowaln to nie istnieje baa prestreni F n łożona jego wektorów własnch Zawse możem natomiast wnacć baę prestreni F n łożoną jego wektorów głównch Onacm tę baę pre v Wiem, że w baie tej macier endomorfimu f ma postać Jordana Jeżeli A jest macierą ednomorfimu f w innej baie, a P jest macierą prejścia tej ba do ba łożonej wektorów głównch, to wówcas P 1 AP = J, gdie J jest macierą Jordana endomorfimu f Wbierając jako tę starą baę baę kanonicną, i tą kolumną macier P są współrędne i tego wektora głównego endomorfimu f ob prkład 92 Na akońcenie roważm następując Prkład 94 Niech D : Π 3 Π 3 będie endomorfimem określonm worem Df = f Wbierając w prestreni Π 3 baę e 1 = 1, e 2 =, e 3 = 2, e 4 = 3, otrmujem: De 1 =, De 2 = e 1, De 3 = 2e 2, De 4 = 3e 3 W baie e 1,e 2,e 3,e 4 prestreni Π 3 macier A endomorfimu D ma więc postać A = Ponieważ ϕ A = 4 atem = jest jedną wartością własną macier A endomorfimu D Ponieważ dimkera I = dimkera = 4 ranka = 1, atem dla macier A istnieje tlko jeden liniowo nieależn wektor własn postaci t,,,, t R\{} Macier A nie jest więc diagonaliowalna Wnacm jej wektor główne Dla ustalonego t, mam: w = skąd wnika: = r, = t, = w =, gdie r R\{} Tm samm v 2 = r,t,, jest wektorem głównm ręd 2 Podobnie, dla ustalonch t ora r, mam w = t r t,, 68
9 skąd wnika: = s, = r, = 1 2 t,w =, gdie s R\{} Tm samm v3 = s,r, 1 2 t, jest wektorem głównm ręd3 Musim wnacć jesce wektor główn rędu 4 Mam w = skąd wnika, że = p, = s, = 1 2 r,w = 1 6t, gdie p,s,r,t R\{} Ustalając p = s = 1, r = 2, t = 6 otrmujem cter liniowo nieależne wektor główne macier A = 6,,,, v 2 = 2,6,,, v 3 = 1,2,3,, v 4 = 1,1,1,1 Odpowiadają one cterem wektorom głównm endomorfimu D: s r 1 2 t, v 1 = 6, v 2 = 2+6, v 3 = , v 4 = Łatwo stwierdić, że macier P = [,v 2,v 3,v 4] = jest macierą prejścia ba e 1,e 2,e 3,e 4 do ba łożonej wektorów głównch endomorfimu D Faktcnie, P 1 AP = = = J Macier Jordana J jest macierą endomorfimu D w baie łożonej jego wektorów głównch
Postać Jordana macierzy
Rodiał 8 Postać Jordana macier 8.1. Macier Jordana Niech F = R lub F = C. Macier J r () F r r postaci 1. 1... J r () =..........,.... 1 gdie F, nawam klatką Jordana stopnia r. Ocwiście J 1 () = [. Definicja
Bardziej szczegółowoRozwiazania zadań. Zadanie 1A. Zadanie 1B. Zadanie 2A
Rowiaania adań Zadanie A = ( i) = 4 8i 4 = 8i Badam licbȩ espolon a 8i Jej moduł 8i jest równ 8 Jej postać espolona jest równa 8(cosα + isinα) α = /π St ad cosα = i sinα = Mam pierwiastki które oblicam
Bardziej szczegółowoZadania z AlgebryIIr
Zadania AlgebrIIr Seria () Rowia ι ać uk lad równań: + + t = + = 7 + + t = ; + + = ; + 7 6t = + = 7 + + = 8 = 8 + + t = + 9 = 9 ; + 7t = + = 7 + + t = + 8 7 = () Podać bae ι prestreni rowia ι ań uk ladu:
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń liniowa R n.
MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Prestreń liniowa R n. Element (wektor) prestreni R n będiem onacać [,,, ] Element erow [,, L, ]. Diałania. a) ilocn element pre licbę: b) sma elementów [ c, c, ] c L, c
Bardziej szczegółowo,..., u x n. , 2 u x 2 1
. Równania różnickowe cąstkowe Definicja. Równaniem różnickowm cąstkowm (rrc) nawam równanie różnickowe, w którm wstępuje funkcja niewiadoma dwóch lub więcej miennch i jej pochodne cąstkowe. Ogólna postać
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią 2012/2013
Algebra geometrią 22/23 Seria XVI Javier de Lucas Zadanie. Wnacć rąd macier: A :, B : 2 4 3 4 3 2 3 3 5 7 3 3 6 3 Rowiąanie: Macier A: Sposób: Rąd macier to wmiar prestreni generowanej pre jej kolumn.
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. Macierze przekształceń liniowych. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t
Zesaw adań : Preksałcenia liniowe. Maciere preksałceń liniowch () Kóre podanch niżej preksałceń ϕ : K n K m są preksałceniami liniowmi: a) n = m = 3, ϕ( + ) = +, b) n = m = 3, ϕ( ) = +, 3 + + + +, d) n
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 15: Funkcjonały dwuliniowe i formy kwadratowe (1) Sprawdzić, czy następujące odwzorowania ξ : R 3 R 3 R: x y. x y z. f(x)g(x)dx.
Zestaw adań 5: Funkcjonał dwuliniowe i form kwadratowe () Sprawdić, c następujące odworowania ξ : R 3 R 3 R: x x a) ξ( x, c) ξ( x, x ) = xx + + ; b) ξ(, x ) = xx + 2 + ; d) ξ( x, x x ) = x + x + 2; ) =
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna w przestrzeni. Kierunek. Długość. Zwrot
- podstawowe pojęcia Geometria analitcna w prestreni Wektorem acepionm w prestreni R 3 nawam uporądkowaną parę punktów A ora B i onacam go pre AB. Punkt A nawam jego pocątkiem, a punkt B - jego końcem.
Bardziej szczegółowoWartości i wektory własne
Rozdział 7 Wartości i wektor własne Niech X będzie skończenie wmiarową przestrzenią liniową nad ciałem F = R lub F = C. Niech f : X X będzie endomorfizmem, tj. odwzorowaniem liniowm przekształającm przestrzeń
Bardziej szczegółowoPRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA)
PRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA) Def. 1 (X, K,, ) X, K - ciało : X X X ( to diałanie wewnętrne w biore X) : K X X ( to diałanie ewnętrne w biore X) Strukturę (X, K,, ) naywamy prestrenią wektorową : 1) Struktura
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t. x y + 2t 2x 3y + 5z t x z t
Zesaw adań : Preksałcenia liniowe () Kóre podanch niżej preksałceń ϕ : K n K m są preksałceniami liniowmi: a) n = m = 3, ϕ( + +, b) n = m = 3, ϕ( +, 3 + + + +, d) n = m = 3, ϕ( +, c) n = m = 3, ϕ( e) n
Bardziej szczegółowoGRUPY SYMETRII Symetria kryształu
GRUPY SYMETRII Smetria krstału Zamknięte (punktowe) operacje smetrii (minimum jeden punkt prestreni nie porusa się wskutek astosowania amkniętej operacji smetrii): Obrot i obrot inwersjne; Inwersja (smetria
Bardziej szczegółowoPrzykład 6.3. Uogólnione prawo Hooke a
Prkład 6 Uogónione prawo Hooke a Zwiąki międ odkstałceniami i naprężeniami w prpadku ciała iotropowego opisuje uogónione prawo Hooke a: ] ] ] a Rowiąując równania a wgędem naprężeń otrmujem wiąki: b W
Bardziej szczegółowoPOTENCJALNE POLE SIŁ. ,F z 2 V. x = x y, F y. , F x z F z. y F y
POTENCJALNE POLE SIŁ POLE SKALARNE Polem skalarnm V(r) nawam funkcję prpisującą każdemu punktowi w prestreni licbę recwistą (skalar): V (r): r=(,, ) V (r) POLE WEKTOROWE SIŁ Polem wektorowm sił F(r) nawam
Bardziej szczegółowo1. REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW SIŁ. Redukcja płaskiego układu sił
. REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW IŁ Redukcja płaskiego układu sił Zadanie. Znaleźć wartość licbową i równanie linii diałania wpadkowej cterech sił predstawionch na rsunku. Wartości licbowe sił są następujące:
Bardziej szczegółowoPostać Jordana macierzy
Rozdział 8 Postać Jordana macierzy Niech F = R lub F = C Macierz J r λ) F r r postaci λ 1 0 0 0 λ 1 J r λ) = 0 λ 1 0 0 λ gdzie λ F nazywamy klatką Jordana stopnia r Oczywiście J 1 λ) = [λ Definicja 81
Bardziej szczegółowoPochodna kierunkowa i gradient Równania parametryczne prostej przechodzącej przez punkt i skierowanej wzdłuż jednostkowego wektora mają postać:
ochodna kierunkowa i gradient Równania parametrcne prostej prechodącej pre punkt i skierowanej wdłuż jednostkowego wektora mają postać: Oblicam pochodną kierunkową u ( u, u ) 1 + su + su 1 (, ) d d d ˆ
Bardziej szczegółowoElementy symetrii makroskopowej w ujęciu macierzowym.
Uniwerstet Śląski Insttut Chemii Zakład Krstalografii Laboratorium Krstalografii Element smetrii makroskopowej w ujęciu macierowm. 2 god. Cel ćwicenia: tworenie macier smetrii elementów smetrii makroskopowej
Bardziej szczegółowoWykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2
Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. Zadania przygotowujące do egzaminu: .Wskazówka: Zastosować wzór de Moivre'a;
emer leni 5/6 lgebra liniowa Znaleźć i nakicować biór 8 C j ; a) ( ) b) { C j j } c) { C Im( ) } ; Zadania rgoowjące do egamin Wkaówka Zaoować wór de Moire'a; d) C Im Wnacć licb dla kórch macier je odwracalna
Bardziej szczegółowoAdam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Ukośne zginanie 13. UKOŚNE ZGINANIE
. UKOŚNE GINNIE.. Naprężenia i odkstałcenia Ukośne ginanie pręta prmatcnego wstępuje wówcas gd układ sił ewnętrnch po jednej stronie jego prekroju poprecnego pręta redukuje się do momentu ginającego, którego
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu miennch wkład MATEMATYKI Automatka i robotka studia niestacjonarne sem II, rok ak 2009/2010 Katedra Matematki Wdiał Informatki Politechnika Białostocka Niech R ndef ={( 1, 2,, n ): 1 R 2
Bardziej szczegółowoRównania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,
Bardziej szczegółowoDodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami wewnętrznymi tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona.
Wykład - LICZBY ZESPOLONE Algebra licb espolonych, repreentacja algebraicna i geometrycna, geometria licb espolonych. Moduł, argument, postać trygonometrycna, wór de Moivre a.' Zbiór Licb Zespolonych Niech
Bardziej szczegółowoKONWENCJA ZNAKOWANIA MOMENTÓW I WZÓR NA NAPRĘŻENIA
ĆWICZENIE 5 KONWENCA ZNAKOWANIA OENTÓW I WZÓR NA NAPRĘŻENIA Wektor momentu pr ginaniu ukośnm można rutować na osie,, będące głównmi centralnmi osiami bewładności prekroju. Prjmujem konwencję nakowania
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoIII. LICZBY ZESPOLONE
Pojęcie ciała 0 III LICZBY ZESPOLONE Defiicja 3 Niech K będie dowolm biorem Diałaiem wewętrm (krótko będiem mówić - diałaiem) w biore K awam każdą fukcję o : K K K Wartość fukcji o dla elemetów K oacam
Bardziej szczegółowocz.2 Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok.321
Wkład 8: Brła stwna c. Dr inż. Zbigniew Sklarski Katedra Elektroniki, paw. C-, pok.3 skla@agh.edu.pl http://laer.uci.agh.edu.pl/z.sklarski/ 05.04.08 Wdiał nformatki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatka
Bardziej szczegółowoI. Rachunek wektorowy i jego zastosowanie w fizyce.
Blok 1: Rachunek wektorow i jego astosowanie w fice Podstawowe wielkości ficne w kinematce Opis ruchu w różnch układach odniesienia Ruch wględn I Rachunek wektorow i jego astosowanie w fice Wsstkie wielkości
Bardziej szczegółowoZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE
KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN ODDZIAŁ W POZNANIU Vol. 6 nr Archiwum Technologii Masn i Automatacji 6 ROMAN STANIEK * ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE W artkule predstawiono ależności matematcne
Bardziej szczegółowo4.2.1. Środek ciężkości bryły jednorodnej
4..1. Środek ciężkości rł jednorodnej Brłą jednorodną nawam ciało materialne, w którm masa jest romiescona równomiernie w całej jego ojętości. Dla takic ciał arówno gęstość, jak i ciężar właściw są wielkościami
Bardziej szczegółowoAdam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Proste zginanie
dam Bodnar: trmałość ateriałów. Proste ginanie. PROSTE GINNIE.. Naprężenia i odkstałcenia Proste ginanie pręta prmatcnego wstępuje wówcas gd układ sił ewnętrnch po jednej stronie jego prekroju poprecnego
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią 2012/2013
Algebra geometrą 22/2 Egamn psemn, 24 VI 2 r. Instrukcje: Każde adane jest a punktów. Praca nad rowąanam mus bć absolutne samodelna. Jakakolwek forma komunkacj kmkolwek poa plnującm egamn jest całkowce
Bardziej szczegółowo1. Podstawy rachunku wektorowego
1 Postaw rachunku wektorowego Wektor Wektor est wielkością efiniowaną pre ługość (mouł) kierunek iałania ora wrot Dwa wektor o tm samm moule kierunku i wrocie są sobie równe Wektor presunięt równolegle
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu miennch wkład MATEMATYKI Automatka i Robotka sem I, rok ak 2008/2009 Katedra Matematki Wdiał Informatki Politechnika Białostocka Niech R n def = {( 1, 2,, n ): 1 R 2 R n R } Funkcją n miennch
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoPrzykład 6.1. Przestrzenny stan naprężenia i odkształcenia
Prkład Pretrenn tan naprężenia i odktałcenia Stan naprężenia Stan naprężenia w punkcie jet określon a pomocą diewięciu kładowch, które onacam literą odpowiednimi indekami Pierw indek onaca normalną ewnętrną
Bardziej szczegółowonapór cieczy - wypadkowy ( hydrostatyczny )
5. apór hdrostatcn i równowaga ciał płwającch Płn najdując się w stanie równowagi oddiałwuje na ścian ogranicające ropatrwaną jego objętość i sił te nawane są naporami hdrostatcnmi. Omawiana problematka
Bardziej szczegółowoAdam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Hipotezy wytężeniowe.
HIPOTEZY WYTĘŻENIOWE Wtężenie i jego miara Wkres rociągania stali miękkiej pokauje że punkt materialn najdując się w jednoosiowm stanie naprężenia prechodi w trakcie więksania naprężenia pre kolejne stan
Bardziej szczegółowoRuch kulisty bryły. Kąty Eulera. Precesja regularna
Ruch kulist brł. Kąt Eulera. Precesja regularna Ruchem kulistm nawam ruch, w casie którego jeden punktów brł jest stale nieruchom. Ruch kulist jest obrotem dookoła chwilowej osi obrotu (oś ta mienia swoje
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoP K. Położenie punktu na powierzchni kuli określamy w tym układzie poprzez podanie dwóch kątów (, ).
Materiał ddaktcne Geodeja geometrcna Marcin Ligas, Katedra Geomatki, Wdiał Geodeji Górnicej i Inżnierii Środowiska UKŁADY WSPÓŁZĘDNYCH NA KULI Pierwsm prbliżeniem kstałtu Ziemi (ocwiście po latach płaskich
Bardziej szczegółowoσ x σ y σ z σ z, Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Równania fizyczne.
Ada Bodnar: Wtrałość Materiałów. Równania ficne. 7. RÓWNANIA FIZCZN 7.. Zwiąki ięd stane odkstałcenia i naprężenia. I i II postać równań Hooke a Zależność deforacji brł od obciążeń ewnętrnch naruca istnienie
Bardziej szczegółowoPierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej
Pierwiastki kwadratowe z liczb zespolonej Pierwiastkiem kwadratowm z liczb w C nazwam każdą liczbę zespoloną z C, dla której z = w. Zbiór wszstkich pierwiastków oznaczam smbolem w. Innmi słow w = {z C
Bardziej szczegółowoPRAWIDŁOWE ODPOWIEDZI I PUNKTACJA
MAŁOPOLSKI KONKURS MATEMATYCZNY Rok skoln 08/09 ETAP REJONOWY 0 grudnia 08 roku PRAWIDŁOWE ODPOWIEDZI I PUNKTACJA adanie odpowiedź punkt B 3 C 3 3 A 3 4 B 3 5 E 3 6 B 3 7 E 3 8 C 3 9 D 3 0 A 3 7 adania
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr - Wykład 4 Napór hydrostatyczny Napór hydrostatyczny na ściany płaskie
J. antr - Wkład Napór hdrostatcn Napór hdrostatcn na ścian płaskie Napór elementarn: d n( p pa ) d nρgd Napór całkowit: ρg nd ρgn d gdie: C Napór hdrostatcn na ścianę płaską predstawia układ elementarnch
Bardziej szczegółowoPowierzchnie stopnia drugiego
Algebra WYKŁAD 3 Powierchnie sopnia drugiego Deinicja Powierchnią sopnia drugiego kwadrką nawam biór punków presreni rójwmiarowej, spełniającch równanie A B C D E F G H I K gdie A, B,, K są sałmi i prnajmniej
Bardziej szczegółowoMechanika Robotów. Wojciech Lisowski. 2 Opis położenia i orientacji efektora Model geometryczny zadanie proste
Katedra Robotki i Mechatroniki Akademia Górnico-Hutnica w Krakowie Mechanika Robotów Wojciech Lisowski Opis położenia i orientacji efektora Model geometrcn adanie proste Mechanika Robotów KRIM, AGH w Krakowie
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,listopad
Bardziej szczegółowoStrukturalne elementy symetrii. Krystalograficzne grupy przestrzenne.
Uniwerstet Śląski Insttut Chemii Zakład Krstalografii Laboratorium Krstalografii Strukturalne element smetrii. Krstalograficne grup prestrenne. god. Cel ćwicenia: aponanie się diałaniem elementów smetrii
Bardziej szczegółowo1. Krótki zarys teorii grup 1
1. Krótki ars teorii grup 1 1.1. Grup Co prawda w dalsej cęści wkładu będiem ajmować się tlko grupami operacji smetrii, ale najpierw wprowadim ścisłe, matematcne pojęcie grup niealeŝne od wobraŝeń geometrcnch,
Bardziej szczegółowoPrzykład 3.7. Naprężenia styczne przy zginaniu belki cienkościennej.
Prkład.7. Naprężenia tcne pr ginaniu belki cienkościennej. Wnac rokład naprężenia tcnego w prekroju podporowm belki wpornikowej o prekroju cienkościennm obciążonej na wobodnm końcu pionową iłą P. Siła
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr - Wykład 7 Ruch ogólny elementu płynu
J. Santr - Wkład 7 Rch ogóln element płn Rch ogóln ciała stwnego można predstawić jako smę premiescenia liniowego i obrot. Ponieważ płn nie mają stwności postaciowej, w rch płn dochodi dodatkowo do odkstałcenia
Bardziej szczegółowox od położenia równowagi
RUCH HARMONICZNY Ruch powtarając się w regularnch odstępach casu nawa ruche okresow. Jeżeli w taki ruchu seroko rouiane odchlenie od stanu równowagi ( np. odchlenie as podcepionej do sprężn, wartość wektora
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowo2.1. ZGINANIE POPRZECZNE
.1. ZGINNIE POPRZECZNE.1.1. Wprowadenie Zginanie poprecne (ginanie e ścinaniem) wstępuje wted, gd ociążenie ewnętrne pręta redukuje się do momentu ginającego M i sił poprecnej. W prekroju takim wstępują
Bardziej szczegółowoEPR. W -1/2 =-1/2 gµ B B
Hamiltonian spinow Elektronow reonans paramanetcn jest wiąan absorpcją pola wsokiej cęstotliwości, która towars mianie orientacji spin w ewnętrnm polu manetcnm. Niesparowane spinowe moment manetcne µ s
Bardziej szczegółowo1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Bardziej szczegółowoRównoważne układy sił
Równoważne układ sił Równoważnmi układami sił nawam takie układ, którch skutki diałania na ten sam obiekt są jednakowe. Jeżeli układ sił da się astąpić jedną siłą, to siłę tą nawam siłą wpadkową. Wpadkowa
Bardziej szczegółowo23. CAŁKA POWIERZCHNIOWA NIEZORIENTOWANA
. CAŁKA POWIERZCHNIOWA NIEZORIENTOWANA Płat powiechniow o ównaniach paametcnch: ( ) ( ) ( ) () gdie oba jet obaem eglanm nawam płatem gładkim (płatem eglanm) gd w każdm pnkcie tego płata itnieje płacna
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Elementy analizy wektorowej cz I Pole wektorowe
Matematka Element anali wektorowej c I Pole wektorowe Literatura M.Gewert Z.Skoclas; Element anali wektorowej; Oficna Wdawnica GiS Wrocław 000 W.Żakowski W.Kołodiej; Matematka c II; WNT Warsawa 1984 W.Leksiński
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. 2 Łańcuchem Markowa nazywamy proces będący ciągiem zmiennych
Bardziej szczegółowo= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
Bardziej szczegółowoODKSZTAŁCENIE PLASTYCZNE MATERIAŁÓW IZOTROPOWYCH. Opis dla ośrodka ciągłego
ODKSZTAŁCENIE LASTYCZNE MATERIAŁÓW IZOTROOWYCH. Opis dla ośrodka ciągłego (opracowano na podstawie: C.N. Reid, deformation geometr for Materials Scientists, ergamon ress, Oford, 97) Wstęp Omówim tera sposób
Bardziej szczegółowojest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.
Układy liniowe Układ liniowy pierwszego rzędu, niejednorodny. gdzie Jeśli to układ nazywamy jednorodnym Pamiętamy, Ŝe kaŝde równanie liniowe rzędu m moŝe zostać sprowadzone do układu n równań liniowych
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu miennch wkład MATEMATYKI Automatka i robotka studia niestacjonarne sem I, rok ak 2009/2010 Katedra Matematki Wdiał Informatki Politechnika Białostocka Niech R ndef ={( 1, 2,, n ): 1 R 2 R
Bardziej szczegółowo( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił
3.7.. Reducja dowolego uładu sił do sił i par sił Dowolm uładem sił będiem awać uład sił o liiach diałaia dowolie romiescoch w prestrei. tm pucie ajmiem się sprowadeiem (reducją) taiego uładu sił do ajprostsej
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowoStopy spot i stopy forward. Bootstrapping
Sop spo i sop orward. Boosrapping. Rnkowe a eorecne (implikowane) sop spo i sop orward. Zależności pomięd sopami spo a sopami orward. Sop orward dla insrumenów rnku kapiałowego. 4. Sop orward dla insrumenów
Bardziej szczegółowoGrupa obrotów. - grupa symetrii kuli, R - wszystkie możliwe obroty o dowolne kąty wokół osi przechodzących przez środek kuli
Grupa obrotów - grupa smetr kul R - wsstke możlwe obrot o dowolne kąt wokół os prechodącch pre środek kul nacej O 3 grupa obrotów właścwch - grupa cągła - każd obrót określa sę pre podane os l kąta obrotu
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoMacierze normalne. D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać w postaci A = B + ic gdzie ( ) B = A + A B = A + A = ( A + A)
Macierze normalne Twierdzenie: Macierz można zdiagonalizować za pomocą unitarnej transformacji podobieństwa wted i tlko wted gd jest normalna (AA A A). ( ) D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Bardziej szczegółowoWektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy
Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218
Bardziej szczegółowoZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH LICZBY ZESPOLONE
. Oblicyć: ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH a) ( 7i) ( 9i); b) (5 i)( + i); c) 4+3i ; LICZBY ZESPOLONE d) 3i 3i ; e) pierwiastki kwadratowe 8 + i.. Narysować biór tych licb espolonych, które spełniają warunek:
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowomacierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Bardziej szczegółowo2.3.1. Iloczyn skalarny
2.3.1. Ilon sklrn Ilonem sklrnm (sklrowm) dwóh wektorów i nwm sklr równ ilonowi modułów ou wektorów pre kosinus kąt wrtego międ nimi. α O Rs. 2.8. Ilustrj do definiji ilonu sklrnego Jeżeli kąt międ wektormi
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Rozdział 10
Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w
Bardziej szczegółowoAtom wodoru. -13.6eV. Seria Lymana. od 91 nm to 122 nm. n = 2, 3,... Seria Paschena n = 4, 5,... n = 5, 6,... Seria Bracketta.
Atom wodou -3.6eV Seia Lmana n 2, 3,... od 9 nm to 22 nm Seia Paschena n 4, 5,... Seia Backetta n 5, 6,... Ogólnie: n 2, 2, 3; n (n 2 + ), (n 2 + 2),... Atom wodou We współędnch sfecnch: metoda odielania
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )
Bardziej szczegółowoUkłady równań - Przykłady
Układy równań - Prykłady Dany układ równań rowiąać trea sposobai: (a) korystając e worów Craera, (b) etodą aciery odwrotnej, (c) etodą eliinacji Gaussa, + y + = y = y = (a) Oblicy wynacnik deta aciery
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoALGEBRA rok akademicki
ALGEBRA rok akademck -8 Tdeń Tematka wkładu Tematka ćwceń ajęć Struktur algebracne (grupa cało; be Dałana na macerach perścen Defncja macer Dałana na macerach Oblcane wnacnków Wnacnk jego własnośc Oblcane
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowoGraficzne modelowanie scen 3D. Wykład 4
Wkład 4 Podstawowe pojęcia i definicje . Modelowanie. Definicja Model awiera wsstkie dane i obiekt ora wiąki pomięd nimi, które są niebędne do prawidłowego wświetlenia i realiowania interakcji aplikacją,
Bardziej szczegółowoINSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PROCESOWEJ, MATERIAŁOWEJ I FIZYKI STOSOWANEJ POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA ĆWICZENIE NR MR-2
INTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PROCEOWEJ, MATERIAŁOWEJ I FIZYKI TOOWANEJ POLITECHNIKA CZĘTOCHOWKA LABORATORIUM Z PRZEDMIOTU METODY REZONANOWE ĆWICZENIE NR MR- EPR JONÓW Ni W FLUOROKRZEMIANIE NIKLU I.
Bardziej szczegółowoBelki zespolone 1. z E 1, A 1
Belki espolone. DEFINIC Belki espolone to belki, którch prekrój poprecn składa się co najmniej dwóch materiałów o różnch własnościach ficnch (różne moduł Younga i współcnniki Poissona), pr cm apewnione
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz
Bardziej szczegółowoLista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Bardziej szczegółowo