Rozdział 9. Baza Jordana

Transkrypt

1 Rodiał 9 Baa Jordana Niech X będie n wmiarową prestrenią wektorową nad ciałem F = R lub F = C Roważm dowoln endomorfim f : X X Wiem, że postać macier endomorfimu ależ od wboru ba w prestreni X Wiem również, że jeżeli endomorfim f jest diagonaliowaln, to jego macier w baie prestreni X łożonej jego n liniowo nieależnch wektorów własnch jest macierą diagonalną Ponieważ nie każd endomorfim jest diagonaliowaln, atem nasuwa się ptanie o to, jak prosta może bć postać macier endomorfimu niediagonaliowalnego W scególności, c istnieje baa prestreni wektorowej X, w której macier endomorfimu f : X X jest macierą Jordana? Prkład 91 Roważm macier J R 4 4 postaci J = gdie R Macier J jest macierą Jordana Niech e 1,e 2,e 3,e 4 będie baą 4 wmiarowej recwistej prestreni X ora niech f : X X będie endomorfimem wnaconm pre macier J Z postaci macier J otrmujem a, f e 1 = e 1 f e 2 = e 1 +e 2 f e 3 = e 2 +e 3, lub równoważnie b f e 4 = e 3 +e 4 f e 1 = e 1 f e 2 e 2 = e 1 f e 3 e 3 = e 2 f e 4 e 4 = e 3 Z równań tch wnika, że e 1 jest wektorem własnm endomorfimu f odpowiadającm wartości własnej ; poostałe wektor e 2,e 3,e 4 spełniają równania f ide k+1 = e k, k = 1,2,3 Powżs prkład sugeruje sposób konstrukcji ba prestreni wektorowej, w której macier endomorfimu jest macierą Jordana 61

2 91 Wektor główne 91 Wektor główne Pr ałożeniach i onaceniach sformułowanch na pocątku rodiału, prpuśćm że F jest wartością własną endomorfimu f Onaca to, że dla endomorfimu f istnieje co najmniej jeden wektor własn, któr na potreb tego rodiału onacm i będiem nawać wektorem głównm rędu 1 odpowiadającm wartości własnej Wektor główne rędu k 2 definiujem indukcjnie: prpuśćm, że v k 1 X jest wektorem głównm rędu k 1 odpowiadającm wartości własnej Definicja 91 Jeżeli istnieje nieerow wektor v k X spełniając warunek f id X v k = v k 1, 91 to wektor ten nawam wektorem głównm rędu k odpowiadającm wartości własnej Powżsą definicję można również sformułować dla macier Wektor własn F n macier A odpowiadając wartości własnej nawać będiem wektorem głównm rędu 1 Prpuśćm, że v k 1 F n jest wektorem głównm rędu k 1 odpowiadającm wartości własnej Definicja 92 Jeżeli istnieje nieerow wektor v k F n będąc rowiąaniem równania A Iv k = v k 1, 92 to wektor ten nawam wektorem głównm rędu k odpowiadającm wartości własnej Prkład 92 Roważm macier A R 3 3 postaci 2 1 A = Ponieważ ϕ A = atem macier A ma dwie różne wartości własne: 1 = 1 ora 2 = 2 Wnacm dla tch wartości własnch wektor główne Dla 1 = 1, rowiąując równanie = otrmujem: = =, R; wektor główn ręd 1 ma więc postać 1 =,,t, t R\{} Ab wnacć wektor główne rędu 2 roważm, dla ustalonego t, równanie = 1 1 t Łatwo stwierdić, że równanie to nie posiada rowiąań Onaca to, że dla wartości własnej 1 = 1 nie istnieją wektor główne rędu k 2 62

3 91 Wektor główne Dla 2 = 2, rowiąując równanie = otrmujem: =, = ; wektor główn ręd 1 ma więc postać 2 = t,,t, t R\{} Ab wnacć wektor główne rędu 2, roważm, dla ustalonego t, równanie = Jego rowiąaniem jest =, = t; wektor główn rędu 2 ma więc postać v 2 2 = r,t,r, r R Zauważm, że postać wektora v 2 2 ależ od sposobu wboru wektora 2 Ab wnacć wektor główne rędu 3, roważm, dla ustalonch t R\{}, r R, równanie 1 r = t r Łatwo stwierdić, że równanie to nie posiada rowiąań, a tm samm nie istnieją dla wartości własnej 2 = 2 wektor główne rędu k 3 Podsumowując, dla macier A postaci 93 udało się wnacć tr liniowo nieależne wektor główne: jeden odpowiadając wartości własnej 1 ora dwa odpowiadające wartości własnej 2 Prjmując na prkład t = r = 1, otrmujem 1 =,,1, 2 = 1,,1, v 2 3 = 1,1,1 Ustalając w prestreni R 3 baę kanonicną, macier A określa endomorfim f : R 3 R 3 : 2 1 f,, = 2 = 2+,2,+ +, Wnacone powżej wektor 1,v1 2,v2 2 są również baą prestreni R 3, a atem możem aptać o postać macier endomorfimu f w tej właśnie baie Ponieważ f 1 = f,,1 =,,1 = v 2 2, f 2 = f 1,,1 = 2,,2 = v 2 2, f v 2 2 = f 1,1,1 = 3,2,3 = v 2 2, więc macier A f endomorfimu f w baie łożnej wektorów głównch macier A ma postać 1 A f = t t 63

4 91 Wektor główne Jest to macier Jordana macier A, którą w upełnie inn sposób uskaliśm w prkładie 82 ob rodiał 8, str 55 Zauważm również, że dla macier P R 3 3, której kolumnami są wektor 1,v1 2,v2 2, tj mam P 1 AP = P = [ ] 1,v1 2,v2 2 = , = = J Macier P jest więc macierą ustalającą podobieństwo międ macierą A ora jej macierą Jordana Własności wektorów głównch Własność 91 Dla każdej wartości własnej istnieją wektor główne rędu co najmniej 1 Własność 92 Wektor główne odpowiadające różnm wartościom własnm są liniowo nieależne Własność 93 Wektor główne różnch rędów odpowiadające tej samej wartości własnej są liniowo nieależne Własność 94 Dla wartości własnej o krotności r krotności jako pierwiastka wielomianu charakterstcnego istnieje dokładnie r liniowo nieależnch wektorów głównch; wśród nich są wsstkie liniowo nieależne wektor własne odpowiadające wartości własnej Z powżsch własności wektorów głównch wnika, że dla dowolnego endomorfimu f : X X, któr posiada n wartości własnch liconch krotnościami, n = dimx istnieje baa prestreni X łożona jego wektorów głównch Ponadto, ależności 91 wnika, że jeżeli v i jest wektorem głównm rędu i i = 1,,k odpowiadającm wartości własnej endomorfimu f, to f =, f v 2 = v 2 +v1, f v k = v k +vk 1 Tm samm endomorfim f awężon do prestreni liniowej ropiętej pre wektor,,vk jest również endomorfimem, tj { } { } f : span,,vk f span,,vk ; jego macierą w baie,,vk jest klatka Jordana stopnia k mająca wartość własną na prekątnej Onaca to, że macier endomorfimu f w baie łożonej jego wektorów 64

5 92 Macier prejścia głównch jest macierą Jordana Baę tę nawam baą Jordana prestreni X wględem endomorfimu f Uwaga 91 Casami macier Jordana defniuje się jako macier blokową, której bloki klatki Jordana to maciere kwadratowe, na prekątnej wartościami własnmi i jednkami pod prekątną a nie nad prekątną, jak w prjętej pre nas definicji 81 Ab uskać taką właśnie klatkę Jordana wstarc wektor główne ponumerować tak, ab ostatni bł pierwsm, a pierws ostatnim, tj Ponieważ f f w 1 w 2 w i = vk i+1 = f = f v k v k 1 = v k, dla i = 1,,k +vk 1 = v k 1 = w 1 +w2, +v k 2 = w 2 +w3, f w k = f = = wk atem klatka Jordana ma w tm prpadku postać: 1 J k = 1 92 Macier prejścia Niech X będie n wmiarową prestrenią wektorową nad ciałem F Niech e = e 1,,e n ora ẽ = ẽ 1,,ẽ n będą dwiema baami prestreni X Każd wektor ba ẽ możem wraić jako kombinację liniową wektorów ba e: ẽ 1 = p 11 e 1 +p 21 e 2 ++p n1 e n, ẽ 2 = p 12 e 1 +p 22 e 2 ++p n2 e n, ẽ n = p 1n e 1 +p 2n e 2 ++p nn e n Otrmaną w ten sposób macier współcnników P = [p ij ] F n n nawam macierą prejścia e starej ba e do nowej ba ẽ Zanotujm, że i tą kolumnę macier prejścia tworą współrędne i tego wektora nowej ba jako kombinacji liniowej wektorów starej ba Macier prejścia jest więc macierą endomorfimu id X : span{ẽ 1,,ẽ n } span{e 1,,e n } Dowoln element X możem wraić jako kombinację liniową elementów ba e, jak również ba ẽ Posukam tera ależności międ tmi repreentacjami Mam = n α j e j ora = n α j ẽ j 94 65

6 92 Macier prejścia Wkorstując macier prejścia mam: n n n = α j ẽ j = α j p ij e i = i=1 n n p ij α j e i i=1 Stąd ora postaci rowinięcia wektora wględem ba e wnika ależność międ współrędnmi wektora wględem starej ora nowej ba: α 1 p 11 p 12 p 1n α 1 α 2 = p 21 p2n α 2 95 α n p n1 α n Zależność tę możem ująć krótko: p nn α = P α, 96 gdie α odpowiednio α to wektor współrędnch wględem starej nowej ba, a P to macier prejścia pierwsej ba do drugiej Zauważm również, że równania 96 wnika: α = P 1 α, co onaca, że macierą prejścia ba nowej to starej jest macier P 1 Prkład 93 Roważm w R 2 dwie ba: starą e 1 = 1,2,e 2 =,1 ora nową ẽ 1 = 1,1, ẽ 2 = 1,1 Wnacm macier prejścia ba starej do nowej Mam ẽ 1 = 1,1 = p 11 1,2+p 21,1 = p 11,2p 11 +p 21 ẽ 2 = 1,1 = p 12 1,2+p 22,1 = p 12,2p 12 +p 22 skąd wnika, że: p 11 = 1,p 21 = 1,p 12 = 1,p 22 = 3 Macier prejścia ma więc postać: [ ] 1 1 P = 1 3 Niech tera 2, 1 będie wektorem wrażonm w starej baie Wnacm jego współrędne w nowej baie Mam [ ] = [ ] 1 [ 2 1 ] = 1 2 [ ][ 2 1 ] = [ 7/2 3/2 Ab sprawdić poprawność wniku predstawim obdwa wektor w tej samej baie kanonicnej k: k 1 = 1,,k 2 =,1: ] 2,1 e = 2e 1 +e 2 = 21,2+,1 = 2,5 k 7/2,3/2ẽ = 7 2ẽ ẽ2 = 7 2 1, ,1 = 2,5 k 66

7 93 Zmiana ba, a postać macier odworowania liniowego 93 Zmiana ba, a postać macier odworowania liniowego Na akońcenie tego rodiału badam jak mienia się macier odworowania liniowego wra e mianą ba prestreni międ którmi to odworowanie jest określone Niechf : X Y będie odworowaniem liniowm ora niechdimx = n,dimy = m Prjmując w prestreni X baę e = e 1,,e n, a w prestreni Y baę g = g 1,,g m, odworowanie f repreentowane jest pre macier A F m n, tj = A 97 Ustalając w prestreni X nową baę ẽ = ẽ 1,,ẽ n możem wnacć macier prejścia ba e do ba ẽ; onacm ją pre P Ocwiście P F n n Podobnie, dokonując miana ba w prestreni Y g na g = g 1,, g m możem wnacć macier prejścia Q F m m ba g do g Niech odpowiednio ỹ będą współrędnmi wektorów odp w nowch baach prestreni X i Y Otrmujem = P ora = Qỹ Łącąc powżse ależności równaniem 97 mam lub równoważnie Qỹ = AP, ỹ = Q 1 AP Onaca to, że w nowch baach prestreni X ora Y odworowanie f repreentowane jest pre macier Q 1 AP W scególności, jeżeli f : X X jest endomorfimem repreentowanm pre macier A wnaconą w baie e prestreni X, to macierą tego endomorfimu w baie ẽ jest macier P 1 AP, gdie P jest macierą prejścia bae e do ba ẽ 931 Baa łożona wektorów własnch Roważm endomorfim f : F n F n, gdie F = R lub F = C; prestreń wektorową F n roważam nad ciałem F Prpuśćm, że endomorfim f jest diagonaliowaln Onaca to, że istnieje baa v prestreni F n łożona wektorów własnch endomorfimu f Niech A będie macierą tego endomorfimu w wbranej baie prestreni F n Z powżsch roważań wnika, że jeżeli P jest macierą prejścia wbranej ba prestreni F n do ba v, to w tej nowej baie endomorfim f jest repreentowan pre macier diagonalną diag 1,, n, gdie i jest wartością własną endomorfimu f odpowiadającą wektorowi własnemu v i i = 1,,n Macierą ustalającą podobieństwo międ macierami A ora diag 1,, n jest macier P, tn P 1 AP = diag 1,, n Ponieważ i tą kolumną macier P są współrędne i tego wektora ba v wględem starej ba prestreni F n, atem wbierając jako tę starą baę baę kanonicną, i tą kolumną macier P są współrędne i tego wektora własnego endomorfimu f, tn P = [v 1,,v n ] ob prkład 75, str 52 67

8 93 Zmiana ba, a postać macier odworowania liniowego 932 Baa Jordana Jeżeli endomorfim f : F n F n nie jest diagonaliowaln to nie istnieje baa prestreni F n łożona jego wektorów własnch Zawse możem natomiast wnacć baę prestreni F n łożoną jego wektorów głównch Onacm tę baę pre v Wiem, że w baie tej macier endomorfimu f ma postać Jordana Jeżeli A jest macierą ednomorfimu f w innej baie, a P jest macierą prejścia tej ba do ba łożonej wektorów głównch, to wówcas P 1 AP = J, gdie J jest macierą Jordana endomorfimu f Wbierając jako tę starą baę baę kanonicną, i tą kolumną macier P są współrędne i tego wektora głównego endomorfimu f ob prkład 92 Na akońcenie roważm następując Prkład 94 Niech D : Π 3 Π 3 będie endomorfimem określonm worem Df = f Wbierając w prestreni Π 3 baę e 1 = 1, e 2 =, e 3 = 2, e 4 = 3, otrmujem: De 1 =, De 2 = e 1, De 3 = 2e 2, De 4 = 3e 3 W baie e 1,e 2,e 3,e 4 prestreni Π 3 macier A endomorfimu D ma więc postać A = Ponieważ ϕ A = 4 atem = jest jedną wartością własną macier A endomorfimu D Ponieważ dimkera I = dimkera = 4 ranka = 1, atem dla macier A istnieje tlko jeden liniowo nieależn wektor własn postaci t,,,, t R\{} Macier A nie jest więc diagonaliowalna Wnacm jej wektor główne Dla ustalonego t, mam: w = skąd wnika: = r, = t, = w =, gdie r R\{} Tm samm v 2 = r,t,, jest wektorem głównm ręd 2 Podobnie, dla ustalonch t ora r, mam w = t r t,, 68

9 skąd wnika: = s, = r, = 1 2 t,w =, gdie s R\{} Tm samm v3 = s,r, 1 2 t, jest wektorem głównm ręd3 Musim wnacć jesce wektor główn rędu 4 Mam w = skąd wnika, że = p, = s, = 1 2 r,w = 1 6t, gdie p,s,r,t R\{} Ustalając p = s = 1, r = 2, t = 6 otrmujem cter liniowo nieależne wektor główne macier A = 6,,,, v 2 = 2,6,,, v 3 = 1,2,3,, v 4 = 1,1,1,1 Odpowiadają one cterem wektorom głównm endomorfimu D: s r 1 2 t, v 1 = 6, v 2 = 2+6, v 3 = , v 4 = Łatwo stwierdić, że macier P = [,v 2,v 3,v 4] = jest macierą prejścia ba e 1,e 2,e 3,e 4 do ba łożonej wektorów głównch endomorfimu D Faktcnie, P 1 AP = = = J Macier Jordana J jest macierą endomorfimu D w baie łożonej jego wektorów głównch