Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Proste zginanie

Transkrypt

1 dam Bodnar: trmałość ateriałów. Proste ginanie. PROSTE GINNIE.. Naprężenia i odkstałcenia Proste ginanie pręta prmatcnego wstępuje wówcas gd układ sił ewnętrnch po jednej stronie jego prekroju poprecnego redukuje się do momentu (par sił), którego płascna diałania jest prostopadła do płascn prekroju, a wektor jest równoległ do jednej głównch centralnch osi bewładności prekroju poprecnego. oment ten nawam momentem ginającm. Nasm adaniem będie wnacenie macier naprężeń i odkstałceń ora współrędnch wektora premiescenia w dowolnm punkcie takiego pręta. Roważm więc, pokaan na rs.. pręt prmatcn o polu prekroju poprecnego określon w układie osi (,,) w którm oś jest osią pręta a osie (, ) są głównmi centralnmi osiami bewładności jego prekroju poprecnego. roważanm prpadku wstępuje proste ginanie w płascźnie (, ) a wektor momentu ginającego jest równoległ do osi i dlatego na rsunku moment ten jest nawan. ateriał pręta jest iotropow, liniowo sprężst o stałch materiałowch E ora ν. v (,, ) τ τ I II I Rs.. Postawione adanie rowiążem postępując analogicnie jak w prpadku osiowego rociągania. Po dokonaniu mślowego prekroju pręta na dwie cęści, odruceniu cęści II i prłożeniu do cęści I układu sił wewnętrnch roważm tr komplet równań, tn. równania równowagi, geometrcne i ficne. Równania równowagi wnikające twierdenia o równoważności odpowiednich układu sił wewnętrnch i ewnętrnch w tm prpadku prjmą postać: d, ( τ + τ ) τ d d,, τ d, d, d. (9.) Równania geometrcne będą wnikiem anali deformacji pręta po prłożeniu obciążeń. Obra deformacji ginanego pręta prpuscon w oparciu o prjęte ałożenia odnośnie własności jego materiału i hipoteę płaskich prekrojów Bernoulliego pokauje rs... 8

2 dam Bodnar: trmałość ateriałów. Proste ginanie konfiguracja pocątkowa konfiguracja aktualna d Rs.. warstwa obojętna naliując prpuscon obra deformacji pręta po prłożeniu obciążeń prjmiem, że: prekroje płaskie i prostopadłe do osi pręta pred prłożeniem obciążenia poostał płaskie i prostopadłe do osi pręta po deformacji, odkstałcenia kątowe włókien równoległch do osi układu odniesienia są równe ero, odkstałcenia liniowe wiąane są ależnością: ε ε ν ε, górne włókna uległ wdłużeniu, a dolne skróceniu, istnieje warstwa włókien - warstwa obojętna, którch długość nie uległa mianie, choć prjęł formę krwoliniową o stałm promieniu krwin, i w konfiguracji pocątkowej włókna te leżał na płascźnie (, ). d+ d C warstwa obojętna D C D B d dϕ celu wnacenia odkstałcenia liniowego ε roważm deformację odcinka pręta o dowolnie małej długości d pred prłożeniem obciążeń (rs..). Po prłożeniu obciążenia prekroje skrajne obrócą się i utworą dowolnie mał kąt dϕ. eśli jest promieniem krwin warstw obojętnej to odkstałcenia liniowe ε włókien odległch o od warstw obojętnej wnosą: lim d lim ε d d dϕ ( + ) dϕ dϕ dϕ Rs. 9. Tak więc równania geometrcne mają postać: ε, ε ε ν ε ν, γ, γ, γ. Naprężenia wnacm korstając równań Hooke a. 9

3 dam Bodnar: trmałość ateriałów. Proste ginanie ( ε + ε + ε ) E ε E ν ε ν + + ν E ν ε + + ν ν ( ε + ε + ε ) E ν ε + + ν ν ( ε + ε + ε ) τ Gγ τ ; τ Gγ τ ; τ Gγ τ Należ tera sprawdić c wprowadone w oparciu o obserwacje deformacji pręta naprężenia spełniają równania równowagi (.) i wiąać naprężenia obciążeniami, które redukują się tlko do momentu ginającego. erowanie się naprężeń stcnch powoduje, że równania drugie, trecie i cwarte są spełnione. Sprawdam pierwse równanie: E ε d d E d jest ono spełnione bo całka predstawia moment statcn wględem osi prekroju poprecnego, a oś ta jest jego osią centralną. Równanie sóste: d d E jest spełnione bo osie (, ) są głównmi osiami bewładności prekroju poprecnego, więc całka w powżsm równaniu, predstawiająca moment dewiacji prekroju wględem tch osi jest równa ero. Sprawdenie równania piątego: E d d d E daje ależność międ krwiną osi deformowanego pręta i momentem ginającm: E, (.) co powala napisać wiąki wiążące moment ginając odkstałceniem liniowm i naprężeniem normalnm: ε (.) E

4 dam Bodnar: trmałość ateriałów. Proste ginanie (.4) Ostatecnie więc maciere naprężeń i odkstałceń pr prostm ginaniu w płascźnie (, ) lub, inacej mówiąc pr prostm ginaniu wględem osi mają postać: T T ε E ν E ν E (.5) 9.. nalia stanu naprężenia i odkstałcenia pręcie poddanm prostemu ginaniu wstępuje jednoosiow niejednorodn stan naprężenia scharakterowan jednm tlko naprężeniem normalnm, które ależ liniowo od współrędnej punktu, w którm oblicam naprężenia. ór (.4) dowodi, że końce wektorów naprężenia leżą na płascźnie, którą możem nawać płascną naprężenia. Krawędź precięcia się płascn naprężenia płascną prekroju poprecnego nawać będiem osią obojętną, gdż jest ona miejscem geometrcnm punktów, w którch wartości naprężeń normalnch spełniają równanie: Podstawienie do niego ależności (.4) daje równanie osi obojętnej dla prpadku prostego ginania w płascźnie (, ):, co pokauje, że w roważanm prpadku naprężenia erują się w punktach leżącch na osi, to jest tej głównej centralnej osi bewładności prekroju poprecnego do której równoległ jest wektor momentu ginającego. atem oś obojętna pr prostm ginaniu pokrwa się kierunkiem wektora momentu ginającego i jej położenie nie ależ od wartości momentu ginającego. Najwiękse co do bewględnej wartości naprężenia wstąpią w punktach najodleglejsch od osi obojętnej i mają wartość: ma ma, (.6) gdie: - wskaźnik wtrmałości pr ginaniu wględem osi. ma Układ (rokład) sił wewnętrnch w prekroju poprecnm pręta pokauje rs..4.

5 dam Bodnar: trmałość ateriałów. Proste ginanie h g h d h d h g oś obojętna Rs..4 Ponieważ wartości naprężeń normalnch w tm prpadku nie ależą od współrędnej to ich rokład można rsować w płascźnie, jak to ostało pokaane na rs..5. h g h g h g h d h d h d Rs. 9.5 Naprężenie normalne jest równoceśnie naprężeniem głównm w danm punkcie, a dwa poostałe naprężenia główne są równe eru i ich kierunki to jakiekolwiek dwa prostopadłe do siebie i równoceśnie prostopadłe do osi pręta. Ekstremalne naprężenia stcne wstępują w prekrojach nachlonch pod kątem 45 do osi pręta i równają się połowie naprężeń normalnch w danm punkcie prekroju poprecnego. Stan odkstałcenia jest też niejednorodn ale trójosiow. Odkstałcenia liniowe w kierunku równoległm do osi pręta są odkstałceniami głównmi. Poostałe dwa odkstałcenia główne są sobie równe a ich kierunki to jakiekolwiek dwa prostopadłe do siebie i równoceśnie prostopadłe do osi pręta. Na akońcenie warto wrócić uwagę, że naki w wprowadonch worach obowiąują pr prjętch wrotach osi układu odniesienia i wektora momentu gnącego. prpadku innch wrotów należ we worach uwględnić korektę naków... Energia sprężsta pręta ginanego Podstawienie wrażeń określającch element macier naprężeń do worów (8.8) powala na wnacenie gęstości energii sprężstej i energii sprężstej dla roważanego prpadku ginania prostego pręta w płascźnie (, ): Φ, E

6 dam Bodnar: trmałość ateriałów. Proste ginanie i stąd energia sprężsta takiego pręta o długości l wnosi: U l l dv dv d Φ d E V V E E l d E. (.7).4. miarowanie prętów ginanch Ogranicm się tera tlko do wmiarowania e wględu na stan granicn nośności prjmując, że będie on osiągnięt jeśli prnajmniej w jednm punkcie wartość naprężeń normalnch będie równa wtrmałości obliceniowej. eśli materiał pręta ma różną wtrmałość obliceniową pr rociąganiu R r i ściskaniu R c, to warunki wmiarowania prjmą postać: ma, r ma r Rr i ma c ma c Rc gdie: ma r i ma c - najwiękse naprężenia rociągające i ściskające w prekroju poprecnm, ma r i ma c - odległości od osi obojętnej skrajnch punktów prekroju poprecnego, odpowiednio, rociąganch i ściskanch. prpadku materiału o tej samej wtrmałości obliceniowej pr rociąganiu i ściskaniu równej R (materiał ionomicn), warunek wmiarowania będie jeden: ma R, gdie: - wskaźnik wtrmałości pr ginaniu wględem osi. ma.5. Proste ginanie w płascźnie (, ) Ten prpadek prostego ginania pokaan ostał na rs..6. Rs..6 Postępując analogicnie jak w prpadku prostego ginania w płascźnie (, ) otrmam następujące maciere naprężeń i odkstałceń:

7 dam Bodnar: trmałość ateriałów. Proste ginanie T T ε E ν E ν E. (.8) ależność wiążąca krwinę osi pręta po deformacji momentem ginającm, geometrią pręta i jego modułem ounga ma postać: E. (.9) Osią obojętną w tm prpadku jest oś, a najwiękse co do bewględnej wartości naprężenia, które wstąpią we włóknach najodleglejsch od osi obojętnej, mają wielkość: ma ma (.) gdie: - wskaźnik wtrmałości pr ginaniu wględem osi. ma Rokład naprężeń normalnch w prekroju poprecnm pokauje rs..7. oś obojętna Rs Prkład Prkład.6.. nacć rokład naprężeń normalnch w prekroju α α i β β belki prostokątnej o wmiarach prekroju bh..4 m obciążonej momentami jak na rsunku. 4

8 dam Bodnar: trmałość ateriałów. Proste ginanie knm Rowiąanie oment diałają w płascźnie (, ), można więc powiedieć, że wstępuje ginanie wględem osi. nacenie jej położenia jest łatwe, prechodi pre środek ciężkości prostokąta i jest prostopadła do osi. konanie wkresu momentów ginającch powala na wnacenie wartości momentów ginającch w adanch prekrojach α α i β β. Rędne wkresu momentów umiescone są po stronie włókien rociąganch. artości charakterstk geometrcnch prekroju poprecnego belki są równe: bh * 4 84 cm 4 * 4, bh 5 cm 6 6 Rokład naprężeń normalnch w prekroju α α kres momentów pokauje, że w tm prekroju rociągane są włókna dolne i moment ginając w roważanm prekroju ma wrot pokaan na poniżsm rsunku. α α 5 knm β β α α knm knm.4 m. m knm α α Pa Pr takim momencie ginającm i prjętch wrotach układu współrędnch w punktach prekroju poprecnego o dodatnich współrędnch (włókna górne) wstępują naprężenia ściskające i stąd rokład naprężeń normalnch w tm prekroju określa wór: α α. artości naprężeń we włóknach górnch i dolnch wnosą: * * g Pa, ( ) 6 4 d.. Pa. 84* 84* Ponieważ są to włókna skrajne to licąc w nich naprężenia możem wkorstać wskaźnik wtrmałości: α α * * g 6.4 Pa, d Pa. 6 5 * 5 * Rokład naprężeń pokauje rsunek wżej. α α 5

9 dam Bodnar: trmałość ateriałów. Proste ginanie Rokład naprężeń normalnch w prekroju β β tm prekroju rociągane są włókna górne i moment ginając ma wrot pokaan na poniżsm rsunku. β β knm β β Pa tm prpadku w punktach prekroju poprecnego o dodatnich współrędnch (włókna górne) wstępują naprężenia rociągające (dodatnie wg umow nakowania naprężeń normalnch) i dlatego rokład naprężeń normalnch w prekroju wnaca ależność: β β. artości naprężeń we włóknach górnch i dolnch są równe: g * 84 *. 7.6 * d Pa, 84 * Pa, (.) 7. 6 lub β β * * g 7.6 Pa, d Pa. 6 5 * 5 * Rokład naprężeń pokauje rsunek wżej. Prkład.6.. nacć wmiar a prekroju podanej belki warunku granicnego nośności jeśli wtrmałość obliceniowa materiału pr rociąganiu R r 6 Pa, a pr ściskaniu R c 8 Pa. Po określeniu prekroju wnacć rokład naprężeń normalnch. β β knm a 4a o.5a a.5a Rowiąanie stępuje prpadek prostego ginania w płascźnie (, ). Należ acąć od wnacenia położenia osi ginania i araem osi obojętnej; będie to główna centralna oś bewładności prekroju poprecnego do której równoległ jest wektor momentu ginającego. roważanm prpadku będie to oś. nacenie osi obojętnej: pole prekroju: a, 6

10 dam Bodnar: trmałość ateriałów. Proste ginanie moment statcn wględem osi : S o 4a * a + 8a * 5a 48a, położenie osi ginania: S o 48a 4a. a ( a) a* ( 4a) 4 4a* oment bewładności wględem osi ginania: + a Górne włókna belki są rociągane a dolne ściskane. Potrebn wmiar a e wględu na: * 6 rociąganie a Rr a 6* a 5. * 4 r m a ściskanie * 6 4a Rc 4a 8* a 4. 4* 4 c a należ prjąć a ma( a,a ). Prjęto do wkonania a 5. cm. 4 4 * 5 * cm 4 artości naprężeń normalnch wnosą: c r * * g. 6. Pa, ( ) 4 d.. Pa, 4 * * ich rokład pokaano niżej. m 6 knm wmiar w cm knm Prkład.6.. mierone tensometrem elektrooporowm odkstałcenia liniowe dolnch włókien belki ginanej jak na rsunku wnosą: ε d. 4. nacć wartość momentu ginającego ora rokład naprężeń normalnch w prekroju poprecnm belki jeśli moduł ounga jej materiału E 5 GPa. Pa ε d 9 wmiar w cm 9 Rowiąanie 7

11 dam Bodnar: trmałość ateriałów. Proste ginanie Belka jest ginana w płascźnie (, ). ej górne włókna są ściskane, więc w prjętm układie współrędnch, rokład naprężeń normalnch w prekroju poprecnm określa ależność :. (a) nacenie położenia osi ginania : pole prekroju: 5 *4 9*9*6 9.5 cm, moment statcn wględem osi : S o 5 * 4*. 5* 9* 9* cm, położenie osi ginania: S o cm oment bewładności wględem osi ginania: 5* * 9 + 5* 4* * 4. 5* 9* (. 76 6) cm 4. 6 nacone na podstawie mieronch odkstałceń naprężenia normalne w dolnch włóknach belki są równe: 9 d Eε d 5* * Pa. Naprężenia normalne we włóknach dolnch oblicone e woru (a) wnosą: (. 76 ) d *, * i porównania ich wielkością naprężeń otrmanch na podstawie pomiarów wnacam wartość momentu ginającego : * 6 (. 76* ) 8. * 99. Naprężenia normalne we włóknach górnch wnosą: 9 9 knm. o.9.76 g 99. *. 9* * 7. Pa. Rokład naprężeń normalnch jest niżej pokaan Pa 9 wmiar w cm 8. 8

12 dam Bodnar: trmałość ateriałów. Proste ginanie Prkład.6.4. Dwie drewniane belki prostokątne o wmiarach prekroju.. m i.. m położone na sobie obciążono momentem 4 knm. nacć rokład naprężeń normalnch w obu belkach pr ałożeniu braku tarcia międ nimi ora w prpadku ich połącenia. Rowiąanie adanie jest jednokrotnie statcnie niewnacalne, bo do wnacenia momentów ora diałającch na poscególne belki dsponujem tlko jednm równaniem momentów. Brakujące równanie, równanie geometrcne wnika równości krwin obu belek. Tak więc komplet równań prbiera postać: + E E (. *. ) (. *. ) + 4* wniku jego rowiąania otrmujem wielkości momentów diałającch na poscególne belki: knm, knm artości naprężeń we włóknach skrajnch belek niepołąconch: * m m m Pa (. *. 6) * m m m Pa (. *. 6) artości naprężeń we włóknach skrajnch belek połąconch: 4. * m m m. Pa. (. *. 6 ) Rokład naprężeń normalnch pokaano niżej. 5 wmiar w cm. Pa belki niepołącone 9. belki połącone

13 dam Bodnar: trmałość ateriałów. Proste ginanie Prkład.6.5. Oblicć mianę objętości V, ginanego momentem, pręta o długości l i momencie bewładności, wkonanego materiału o stałch E ora ν. Rowiąanie Całkowitą mianę objętości V pręta ginanego otrmam całkując po jego objętości sumę odkstałceń liniowch na prekątnej głównej macier odkstałceń: l ( ) ( ν ) ε + ε + ε dv d V d. E V miana objętości jest równa ero, gdż całka d, w powżsm wrażeniu bo to moment statcn wględem osi centralnej.